PhD thesis (in polish)

24 Rozdział 2: Geometryczny obraz zbioru stanów kwantowych
Gdy mamy dany stożek K ⊂ V , wtedy budujemy zbiór bazowy biorąc dowolny funkcjonał
f : V → R, taki że f(K) > 0. Zbiór punktów x ∈ K, f(x) = 1 tworzy wtedy zbiór
bazowy stożka K. Zbiór bazowy jest przecięciem stożka pewną warstwą afiniczną.
Każdy punkt zbioru bazowego K 0 odpowiada dokładnie jednemu półpromieniowi w
stożku K. Półpromienie odpowiadające punktom ekstremalnym nazywane są półpromieniami
ekstremalnymi.
Dualność i polarność. Dla stożka właściwego K ⊂ X definiujemy stożek K ∗ ⊂ X ∗
nazywany stożkiem dualnym do K:
K ∗ = {x ∈ X ∗ : ∀y ∈ K 〈x|y〉 0}. (2.1)
Kwantyfikowany zbiór w definicji 2.1 można ograniczyć do punktów ekstremalnych stożka
K.
Dalej rozważać będziemy tylko stożki w przestrzeniach liniowych z iloczynem skalarnym.
Jeżeli przestrzeń X wyposażona jest w iloczyn skalarny, zadaje on izomorfizm między
przestrzeniami X i X ∗ (mówi o tym tw. Riesza). W tej sytuacji można rozpatrywać stożki
K i K ∗ jako elementy tej samej przestrzeni. Może zdarzyć się wtedy, że K = K ∗ . Taki
stożek nazywamy samodualnym.
Zbiór {y : 〈x|y〉 0} jest domkniętą półprzestrzenią leżącą po jednej stronie hiperpłaszczyzny
prostopadłej do wektora x. Stożek dualny K ∗ jest przekrojem takich półprzestrzeni
dla wszystkich wektorów ze stożka K, ale jest on równy przekrojowi półprzestrzeni
odpowiadających punktom ekstremalnym.
Fakt 2.9. Własności dualności ([64], s. 155)
1. K ∗ jest stożkiem właściwym.
2. K ⊂ L ⇒ K ∗ ⊃ L ∗ .
3. (K ∩ L) ∗ = conv(K ∗ ∪ L ∗ ).
4. conv(K ∪ L) ∗ = K ∗ ∩ L ∗
5. (AK) ∗ = (A T ) −1 K ∗ 3 . W szczególności, jeżeli działamy operacją ortogonalną w
(X, 〈·|·〉), stożek K i stożek K ∗ do niego dualny transformują się tak samo. Przez
A T rozumiemy operator sprzężony w sensie iloczynu skalarnego przestrzeni X.
Jeżeli w definicji stożka właściwego zrezygnujemy z własności punktowości, otrzymamy
obiekt nazywany klinem 4 . Dowolny klin K może być zapisany jako produkt kartezjański
podprzestrzeni liniowej i stożka właściwego w jej dopełnieniu ortogonalnym K = V × L.
Zbiorem K ′ dualnym do klina K jest stożek niepełny: {0 V } × L ′ . Pełność i punktowość
są własnościami wzajemnie dualnymi ([64], s. 155).
Mając dany funkcjonał liniowy f : X → R dodatni na stożku K definiujący zbiór
bazowy stożka, można rozłożyć dowolny wektor x ∈ X na składową z jądra f i składową
3 Jest to szczególny przypadek twierdzenia Kreina-Rutmana, patrz [64], s.156
4 W literaturze anglojęzycznej wedge, patrz np. [63], s. 2