PhD thesis (in polish)

44 Rozdział 3: Kryteria separowalnosci
3. Tr(ρW 2 ) > 0 ⇒ λTr(ρW 2 ) Tr(ρW 1 )
Weźmy dowolny stan ρ 1 ∈ D(W 2 ). Zdefiniujmy nieunormowaną macierz gęstości
ρ 2 = Tr(ρW 2 )ρ 1 − Tr(ρ 1 W 2 )ρ. Zachodzi dla niej Tr(ρ 2 W 2 ) = 0, więc można zastosować
do niej wynik kroku pierwszego. Otrzymujemy w wyniku Tr(ρW 2 )Tr(ρ 1 W 1 ) −
Tr(ρ 1 W 2 )Tr(ρW 1 ) 0. Dostajemy teraz nierówność:
Tr(ρW 2 )Tr(ρ 1 W 1 ) Tr(ρ 1 W 2 )Tr(ρW 1 )
Dzieląc obie strony przez ujemną liczbę Tr(ρ 1 W 2 )Tr(ρW 2 ), dostajemy nierówność:
Tr(ρ 1 W 1 )
Tr(ρ 1 W 2 ) Tr(ρW 1)
Tr(ρW 2 )
Nierówność powyższa zachodzi dla dowolnego ρ 1 ∈ D(W 2 ), dlatego zachodzi również
dla infimum prawej strony po zbiorze D(W 2 ). Infimum to definiuje wielkość λ.
Mnożąc obie strony tak otrzymanej nierówności przez Tr(ρW 1 ) otrzymujemy tezę.
Pokazaliśmy w ten sposób, że niezależnie od znaku lewej strony nierówności (3.4) jest ona
spełniona. □
Dowód drugiej części twierdzenia jest zmodyfikowaną wersją dowodu z [79].
Definicja 3.6. Świadka k-splątania nazywamy optymalnym, jeżeli nie istnieje świadek od
niego doskonalszy.
Na mocy twierdzenia 3.5 możemy podać bardziej operacyjną definicję optymalności
świadka:
Wniosek 3.7. Świadek jest optymalny wtedy i tylko wtedy, gdy odjęcie od niego dowolnej
macierzy dodatniej wyprowadza poza zbiór świadków.
Przy stwierdzaniu optymalności świadka k-splątania W , kluczową rolę odgrywa zbiór
wektorów k-separowalnych, na których wartość własna świadka W jest równa zero. Oznaczamy
go jako P k (W ). Znając ten zbiór, można zawęzić zbiór macierzy dodatnich, które
mogą być odjęte od świadka splątania, poprzez warunek na jądro takiej macierzy dodatniej
P :
ker P ⊃ spanP k (W )
Jeżeli warunek ten nie zachodzi, to istnieje wektor k-separowalny Ψ w zbiorze P k (W ),
na którym wartość średnia macierzy P jest większa od zera. Oznacza to, że obserwabla
W − P nie jest świadkiem k-splątania, ponieważ istnieją stany k-separowalne, na których
przyjmuje ona ujemną wartość średnią.
Widzimy, że im więcej liniowo niezależnych wektorów jest w zbiorze P k (W ), tym
ostrzejsze warunki musi spełniać macierz dodatnia, którą możemy odjąć od W nie wychodząc
poza zbiór świadków k-splątania. Najkorzystniejsza sytuacja ma miejsce, gdy
zbiór P k (W ) napina całą przestrzeń Hilberta układu. Wtedy odjęcie dowolnej macierzy
dodatniej od świadka W wyprowadza poza zbiór świadków k-splątania i mamy pewność
że świadek jest optymalny. Dostajemy tym samym następujący warunek:
Twierdzenie 3.8 (Warunek wystarczający optymalności). Jeżeli dla świadka k-splątania
W zachodzi równość: spanP k (W ) = C d 1
⊗ C d 2
, to świadek ten jest optymalny
Charakteryzacja optymalności za pomocą zbioru P k (W ) i powyższe twierdzenie pochodzą
z pracy [79].