PhD thesis (in polish)

38 Rozdział 2: Geometryczny obraz zbioru stanów kwantowych
wektor, który musi spełniać pewne warunki by macierz gęstości była półdodatnio określona.
Warunki te nie są już tak proste jak jeden warunek dla qubitu. Brzeg zbioru stanów
nie jest już sferą. Przyjrzyjmy się dalej strukturze brzegu zbioru S + (C 3 ).
W podrozdziale 2.4 scharakteryzowaliśmy zbiór ścian stożka macierzy półdodatnio
określonych, udowadniając bijekcję z kratą przestrzeni Hilberta układu. Ścianą jest zbiór
macierzy gęstości o tym samym obrazie, a ścianą komplementarną do niej jest ściana macierzy
gęstości o ortogonalnym obrazie. W wymiarze 3 dowolna para ścian komplementarnych
jest parą tworzoną przez promień ekstremalny generowany przez jednowymiarową
podprzestrzeń napinaną przez projektor rzutujący na wektor Ψ i ścianę macierzy gęstości,
których obrazem jest dwuwymiarowa podprzestrzeń {Ψ} ⊥ 10 .
Przecinając stożek B + (C 3 ) warstwą macierzy o jednostkowym śladzie, pary ścian komplementarnych
stożka przejdą na odpowiadające im pary ścian komplementarnych jego
zbioru bazowego S + (C 3 ). Parę taką tworzy punkt ekstremalny - projektor na wektor Ψ
oraz kula Blocha macierzy gęstości o obrazie {Ψ} ⊥ .
Geometrycznie patrząc, ściana komplementarna do punktu ekstremalnego zbioru
S + (C 3 ) jest przecięciem tego zbioru z brzegiem półprzestrzeni polarnej do tego punktu
ekstremalnego. Idąc od projektora na wektor Ψ (dla wygody tak obróćmy bazę, by
Ψ = [1, 0, 0] T ) po prostej przechodzącej przez stan maksymalnie zmieszany, osiągamy go
przechodząc odcinek długości
⎡
⎢
|| ⎣
1 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤
⎥
⎦ −
⎡
⎢
⎣
mijamy go i pokonując odległość
⎡
⎢
|| ⎣
1
0 0
3
0 1 0
3
0 0 1 3
⎤
⎥
⎦ −
⎡
⎢
⎣
1
0 0
3
0 1 0
3
0 0 1 3
0 0 0
0 1 2
0
0 0 1 2
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎦ || HS = || ⎣
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎦ || HS = || ⎣
2
0 0
3
0 − 1 0
3
0 0 − 1 3
1
0 0
3
0 − 1 0
6
0 0 − 1 6
⎤
⎥
⎦ || HS =
√
2
3 ,
⎤
⎥
⎦ || HS =
√
1
6 ,
docieramy do brzegu zbioru S + (C 3 ) trafiając w środek kuli Blocha macierzy o obrazie
{Ψ} ⊥ . W otoczeniu punktu przecięcia brzeg zbioru jest iloczynem kartezjańskim CP 2 ×
S + (C 2 ). Omówioną sytuację obrazuje w ogólnym wymiarze rysunek 2.8.
Wiele innych ciekawych obserwacji na temat zbioru stanów układu trójpoziomowego,
jak również dwupoziomowego, znajdziemy w pracy [67].
Struktura brzegu zbioru S + (C d ). Stan d-wymiarowego układu kwantowego przedstawiamy
w bazie uogólnionych macierzy Gell-Manna [71]. Zbiór wektorów rozkładu jest
podzbiorem kuli conv(S HS (C d )) i styka się z jej brzegiem w zbiorze d-wymiarowych stanów
czystych.
10 możliwa jest jeszcze jedna para złożona ze ściany minimalnej {0} i ściany maksymalnej równej całemu
zbiorowi S + (C 3 )