PhD thesis (in polish)

30 Rozdział 2: Geometryczny obraz zbioru stanów kwantowych
bazowego stożka wielościanowego). Stożek bazujący na zbiorze K 0 jest więc pośredni pomiędzy
stożkiem rożkowym i stożkiem wielościanowym.
Drugą ważną klasą stożków właściwych są stożki wielościanowe. Ich zbiorami bazowymi
są wielościany. Na kilku przykładach omówimy teraz polarność wielościanów. Na
początek rozważmy zbiór polarny do pojedynczego punktu na płaszczyźnie. Będzie nim
półpłaszczyzna ograniczona prostą prostopadłą do wektora wodzącego ⃗r punktu, przebiegająca
po drugiej stronie środka płaszczyzny w odległości 1/r od środka. W szczególności
zbiorem polarnym do punktu 0 jest cała płaszczyzna.
Korzystając z czwartej własności polarności conv(K 0 ∪ L 0 ) ∗ = K ∗ 0 ∩ L ∗ 0, można znaleźć
zbiór polarny do odcinka. W ogólności jest to kąt powstały z przecięcia półpłaszczyzn
odpowiadających końcom odcinka. Jeżeli odcinek zawiera w sobie środek układu współrzędnych,
kąt ten przechodzi w pas prostopadły do odcinka.
Rysunek 2.4: a) Zbiorem polarnym do punktu jest półpłaszczyzna.
b) zbiorem polarnym do odcinka jest kąt.
c) Zbiorem polarnym do odcinka przechodzącego przez środek płaszczyzny jest pas.
Podobnie, czwarta własność polarności pozwala scharakteryzować zbiór polarny do
wypukłego wielokąta. Wierzchołkami polarnego wielokąta K0
∗ będą punkty polarne do
półpłaszczyzn odcinanych przez proste, zawierające w sobie boki wielokąta K 0 . Wierzchołkiem
polarnym do boku łączącego wierzchołki ⃗r k = (x k , y k ) i ⃗r k+1 = (x k+1 , y k+1)
wielokąta jest kąt o wierzchołku w punkcie:
⃗r ∗ k =
1
(−∆y, ∆x)
|⃗r k × ⃗r k+1 |
2
(działanie tego wzoru można zobaczyć na rysunku 2.4 b). Jako przykład działania tego
wzoru podajemy zbiory polarne do trójkąta pitagorejskiego i trapezu.