PhD thesis (in polish)

50 Rozdział 3: Kryteria separowalnosci
gdzie Φ 1 i Φ 2 są odwzorowaniami kompletnie dodatnimi. Spośród wszystkich odwzorowań
rozkładalnych, żadne nie wykrywa więcej niż transpozycja [85]. Jak pokażemy później,
każdy stan splątany jest wykrywany przez pewne odwzorowanie dodatnie, które nie jest
kompletnie dodatnie. Asher Peres, który odkrył kryterium częściowej transpozycji [86],
założył, że jest ono warunkiem koniecznym i wystarczającym separowalności. Dopiero
Horodeccy [85] doprecyzowali, że separowalność jest równoważna zachowaniu dodatniości
pod działaniem na podukład wszystkich odwzorowań dodatnich działających pomiędzy
przestrzeniami podukładów i że kryterium częściowej transpozycji jest warunkiem wystarczającym
separowalności tylko w wymiarach 2 × 2 i 2 × 3, natomiast w wyższych
wymiarach kryterium dodatniości stanu po zadziałaniu częściowej transpozycji (PPT)
jest tylko warunkiem koniecznym.
Transpozycja nie zmienia elementów diagonalnych macierzy, zachowuje więc ślad. Polega
ona tylko na zamianie miejscami pozadiagonalnych elementów macierzy, co pozwala
myśleć o niej jako o inwersji względem podprzestrzeni macierzy symetrycznych. Transpozycja
jest więc izometrią dla normy HS. Analogiczne własności ma jej amplifikacja
(I ⊗ T ).
Stany PPT Stany zachowujące dodatniość po częściowej transpozycji nazywa się stanami
PPT. Zbiór stanów PPT dla wymiarów podukładów 2 × 2 i 2 × 3 pokrywa się ze
zbiorem stanów separowalnych. Dla wyższych wymiarów podukładów tak nie jest i do
zbioru stanów PPT należą również stany splątane. Udowadnia się, że jeżeli stan splątany
jest PPT, to jest on stanem ze splątaniem związanym [87]. Pomimo wielu starań, problem
istnienia stanów o ujemnej częściowej transpozycji ze splątaniem związanym wciąż
pozostaje otwarty [88], dlatego w tej pracy określenie stan PPT i stan ze splątaniem
związanym traktować będziemy jako sformułowania równoważne.
Odwzorowanie redukujące. Dodatniość transpozycji jest oczywista. Innym odwzorowaniem,
którego dodatniość jest łatwa do zauważenia jest odwzorowanie redukujące:
R(ρ) = Tr(ρ)I − ρ
By pokazać, że nie jest ono kompletnie dodatnie, zastosujmy je znowu do projektora na
wektor maksymalnie splątany:
⎡
(I ⊗ R) ⎢
⎣
1/2 0 0 1/2
0 0 0 0
0 0 0 0
1/2 0 0 1/2
⎤ ⎡
⎥
⎦ = ⎢
⎣
0 0 0 −1/2
0 1/2 0 0
0 0 1/2 0
−1/2 0 0 0
Wartościami własnymi otrzymanej macierzy są: 1/2 (trzykrotnie zdegenerowana) oraz
−1/2.
Na stany qubitu odwzorowanie R działa jak antypodyczność w sferze Blocha [57] i
wyraża się jako R(·) = σ y T (·)σ y [89], dlatego w wymiarze 2 × 2 dodatniość I ⊗ R jest
równoważna dodatniości I ⊗T . W wyższych wymiarach implikacja zachodzi tylko w jedną
stronę i I ⊗ T wykrywa więcej stanów niż I ⊗ R.
⎤
⎥
⎦