α = α = α β α β α = α

Võib veenduda, et saadud summa ei sõltu punti A valikust.
Järgnevalt defineeritakse geomeetrilise vektori korrutamine skalaariga. Skalaaride all
mõistetakse matemaatikas arve ja arvude mitmeid üldistusi. Meil siin tähendab sõna “skalaar”
sama, mis sõna “arv”. Arvu all mõistame aga reaalarvu.
Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori α korrutiseks nimetatakse vektorit cα ,
mis rahuldab tingimusi:
1) vektor cα on paralleelne vektoriga α ;
2) kui c ≥ 0 , siis vektori cα suund ühtib vektori α suunaga, c < 0 korral aga on vektorid
cα ja α vastassuunalised;
3) vektori cα pikkus saadakse vektori α pikkuse α korrutamisel arvu c
absoluutväärtusega c .
Seega
cα α , cα = c ⋅ α .
Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks.
Esitame tõestuseta järgmise teoreemi.
Teoreem. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi
omadusi:
1° α + β = β + α iga α, β ∈ V korral (liitmise kommutatiivsus);
2° ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) iga α, β , γ ∈ V korral (liitmise assotsiatiivsus);
3° leidub selline vektor θ ∈ V , et α + θ = θ + α = α iga α ∈ V korral (nullvektori
olemasolu);
4° iga vektori α ∈ V jaoks leidub selline vektor β ∈ V , et α + β = β + α = θ
(vastandvektori olemasolu);
a + b α = aα + bα
iga a,
b∈ R ja α ∈ V korral;
5° ( )
6° ( )
7° ( ab) α a( bα
)
a α + β = aα + aβ
iga a ∈ R ja α, β ∈ V korral;
= iga a,
b∈ R ja
8° 1α = α iga α ∈ V korral.
α ∈ V korral;
§ 2. Aritmeetilised vektorid
a1; a2; ... ; a
n
,
Def. 1. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu ( )
võetuna kindlas järjekorras.
Tähistame ka aritmeetilisi vektoreid kreeka tähestiku väikeste tähtedega:
α = ( a1; a2; ... ; an
) . Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka tähistame
n
R ja teda
nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks. Aritmeetiliste vektoritega hulgas
teostatakse samuti lineaarseid tehteid.
n
R
8