α = α = α β α β α = α

II peatükk
VEKTORID
§ 1. Geomeetrilised vektorid
Vaatleme kõigi punktide hulka ruumis. Punkte tähistame suurte ladina tähtedega.
Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku.
Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel.
Vektoril on alguspunkt A ja lõpp-punkt B ning teda tähistatakse AB või ka kreeka
tähestiku väikese tähega (kreeka tähe puhul noolt tähe kohal ei kasutata). Vektori α =
AB
pikkust tähistatakse α = AB = AB .
Def. 2. Kahte geomeetrilist vektorit α ja β loetakse võrdseiks ja kirjutatakse α = β ,
kui need vektorid on kollineaarsed ( α β )
( α β )
= .
, samasuunalised ( α β )
↑↑ ja ühepikkused
Geomeetrilist vektorit kasutatakse suuna näitamiseks ja selle suunaga seotud arvulise
suuruse (selleks on vektori pikkus) iseloomustamiseks. Vektorite võrdsuse definitsioonist
järeldub, et iga vektorit α võib kanda ruumi mistahes punkti A (vt. järgmist joonist). Teisiti
öeldes: iga vektori α ja iga punkti A jaoks leidub parajasti üks punkt B nii, et α = AB .
Def. 3. Vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kokku, nimetatakse nullvektoriks.
Nullvektorit tähistatakse kreeka tähega θ (teeta).
Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse
AC = AB + BC .
Siit tuleneb reegel mis tahes kahe geomeetrilise vektori α ja β summa α + β
leidmiseks. Selleks tuleb valida ruumist mistahes punkt A ja kanda vektor α punkti A. Siis
leidub selline punkt B, et α = AB . Seejärel kantakse vektor β punkti B, tekib vektor
β =
BC . Nii saadaksegi α + β = AB + BC = AC .
7

Võib veenduda, et saadud summa ei sõltu punti A valikust.
Järgnevalt defineeritakse geomeetrilise vektori korrutamine skalaariga. Skalaaride all
mõistetakse matemaatikas arve ja arvude mitmeid üldistusi. Meil siin tähendab sõna “skalaar”
sama, mis sõna “arv”. Arvu all mõistame aga reaalarvu.
Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori α korrutiseks nimetatakse vektorit cα ,
mis rahuldab tingimusi:
1) vektor cα on paralleelne vektoriga α ;
2) kui c ≥ 0 , siis vektori cα suund ühtib vektori α suunaga, c < 0 korral aga on vektorid
cα ja α vastassuunalised;
3) vektori cα pikkus saadakse vektori α pikkuse α korrutamisel arvu c
absoluutväärtusega c .
Seega
cα α , cα = c ⋅ α .
Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks.
Esitame tõestuseta järgmise teoreemi.
Teoreem. Lineaarsed tehted kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmisi
omadusi:
1° α + β = β + α iga α, β ∈ V korral (liitmise kommutatiivsus);
2° ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) iga α, β , γ ∈ V korral (liitmise assotsiatiivsus);
3° leidub selline vektor θ ∈ V , et α + θ = θ + α = α iga α ∈ V korral (nullvektori
olemasolu);
4° iga vektori α ∈ V jaoks leidub selline vektor β ∈ V , et α + β = β + α = θ
(vastandvektori olemasolu);
a + b α = aα + bα
iga a,
b∈ R ja α ∈ V korral;
5° ( )
6° ( )
7° ( ab) α a( bα
)
a α + β = aα + aβ
iga a ∈ R ja α, β ∈ V korral;
= iga a,
b∈ R ja
8° 1α = α iga α ∈ V korral.
α ∈ V korral;
§ 2. Aritmeetilised vektorid
a1; a2; ... ; a
n
,
Def. 1. n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks vektoriks nimetatakse n arvu ( )
võetuna kindlas järjekorras.
Tähistame ka aritmeetilisi vektoreid kreeka tähestiku väikeste tähtedega:
α = ( a1; a2; ... ; an
) . Kõigi n-mõõtmeliste aritmeetiliste vektorite hulka tähistame
n
R ja teda
nimetatakse n-mõõtmeliseks aritmeetiliseks ruumiks. Aritmeetiliste vektoritega hulgas
teostatakse samuti lineaarseid tehteid.
n
R
8

Def. 2. Aritmeetiliste vektorite
( a1; a2; ... ; an
) β = b1; b2
; ... ; bn
summaks nimetatakse aritmeetilist vektorit
α + β = ( a1 + b1 ; a2 + b2; ... ; an + bn
) .
α = ja ( )
α =
1; 2; ... ;
n
korrutiseks
Def. 3. Arvu (skalaari) c ja aritmeetilise vektori ( a a a )
nimetatakse aritmeetilist vektorit
Esitame tõestuseta järgmise teoreemi.
( )
cα = ca1; ca2; ... ; can
.
Teoreem 1. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega n-mõõtmelises aritmeetilises
n
ruumis V = R rahuldavad eelmises paragrahvis toodud teoreemis loetletud omadusi 1° ─ 8°.
Nullvektoriks ruumis
vektori ( a a a )
n
R on vektor
( 0; 0; ... ; 0)
θ = ,
α =
1; 2; ... ;
n
vastandvektoriks aga
( a a a )
− α = −
1; −
2; ... ; −
n
.
Lisaks lineaarsetele tehetele defineeritakse n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis
üks tehe, milleks on skalaarkorrutis.
Def. 4. Vektorite
1; 2; ... ;
n
skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu
Esitame tõestuseta järgmise teoreemi.
α = ( a a a ) ja β = ( b b b )
; ; ... ;
n
1 2
n
∑ aibi a1b 1
a2b2
... anbn
.
i = 1
α ⋅ β = = + + +
n
Teoreem 2. Skalaarkorrutis n-mõõtmelises aritmeetilises ruumis V = R rahuldab
omadusi
1° α ⋅α
≥ 0 iga α ∈ V korral; α ⋅ α = 0 parajasti siis, kui α = θ (vt. selgitust peale
teoreemi);
2° α ⋅ β = β ⋅ α iga α, β ∈ V korral (kommutatiivsus);
3° α ⋅ ( β + γ ) = ( α ⋅ β ) + ( α ⋅ γ ) iga α, β , γ ∈ V korral (distributiivsus);
4° ( α + β ) ⋅ γ = ( α ⋅ γ ) + ( β ⋅ γ ) iga α, β , γ ∈ V korral (distributiivsus);
5° a( α ⋅ β ) = ( aα ) ⋅ β = α ⋅ ( aβ
) iga a ∈ R ja α, β ∈ V korral.
n
R veel
Kui A ja B on mingid tingimused, siis väljend “A parajasti siis, kui B” tähendab, et
tingimuse A kehtivusest järeldub tingimuse B kehtivus ja vastupidi, s.t. tingimused A ja B on
samaväärsed ehk leiavad aset samaaegselt.
9