mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu
Rudarsko-geološko-naftni fakultet
MEHANIKA KONTINUUMA I REOLOGIJA
Lidija Frgić
Mladen Hudec
Zagreb, 2006.

OZNAKE
SADRŽAJ
1. UVOD.............................................................................................................................1
1.1. Pojam kontinuuma..................................................................................................1
1.2. Mjerne jedinice........................................................................................................ 3
1.3. Skalari i vektori....................................................................................................... 3
2. TEORIJA NAPREZANJA............................................................................................ 5
2.1. Tenzor naprezanja....................................................................................................7
2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja...........................9
2.3. Simetrija tenzora naprezanja................................................................................. 10
2.4. Statički uvjeti ravnoteže...................................................................................... 11
2.5. Transformacija tenzora naprezanja........................................................................13
2.6. Glavna naprezanja................................................................................................. 15
2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente.............................................................20
3. TEORIJA DEFORMACIJA........................................................................................24
3.1. Tenzor deformacija................................................................................................25
3.2. Glavne deformacije...............................................................................................29
3.3. Oktaedarske deformacije...................................................................................... 30
3.4. Ravninsko stanje deformacija................................................................................31
3.5. Brzina deformacije............................................................................................... 32
3.6. Brzina prirasta naprezanja..................................................................................... 32
4. TEORIJA ELASTIČNOSTI......................................................................................... 33
4.1. Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora
deformacija................................................................................................................... 33
4.2. Ravninsko stanje naprezanja............................................................................... 39
4.3. Ravninsko stanje deformacija..............................................................................40
5. REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE............................................................... 41
I
str.

5.1. Materijali idealnih svojstava..................................................................................42
5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal..........................................................42
5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal.......................... 44
5.1.3.Viskozan fluid.............................................................................................. 45
5.2. Reološki modeli s dva elementa............................................................................ 48
5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal....................................................48
5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid................................................................ 50
5.2.3. Elastoplastičan materijal............................................................................. 53
5.3. Složeni reološki modeli više elemenata.................................................................54
5.3.1. Bingham-ov model......................................................................................54
5.3.2. Lethersich-ov model....................................................................................55
5.3.3. Schwedoff-ov model................................................................................... 57
5.3.4. Burgerov model...........................................................................................58
6. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA...........................................................61
6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA................................ 62
6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA..........................68
6.2.1. Kriterij plastičnosti......................................................................................69
6.2.2. Pravilo tečenja.............................................................................................71
6.2.3. Pravilo očvršćavanja................................................................................... 71
6.2.4. Kriterij loma................................................................................................ 73
6.2.4.1. Von Misesov kriterij loma.............................................................73
6.2.4.2. Trescin kriterij loma...................................................................... 73
6.2.4.3. Mohr - Coulombov kriterij loma...................................................73
6.2.4.4. Drucker-Pragerov kriterij loma..................................................... 75
6.2.4.5. Lade-Duncanov kriterij loma........................................................ 76
6.2.4.6. Hoek-Brownov kriterij loma......................................................... 77
6.2.5. Elastoplastični modeli tla............................................................................ 78
6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA...................................... 81
LITERATURA..........................................................................................................................84
II

OZNAKE
A površina presjeka [m 2 ]
ai
ei
projekcija ubrzanja [m/s 2 ].
energija čestica
r razmak između čestica
r intenzitet radijus vektora
r
radijus vektor
F intenzitet sile
F
F i,
A
vektor sile
projekcija vektora sile na koordinatne osi
N normalna sila
T2, T3
Mt
M2, M3
transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3
moment uvijanja (torzije)
momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.
n normala ravnine presjeka
S + i S - privlačna i odbojna sila između čestica
x projekcija radijus vektora na koordinatne osi
i
α i,
A prikloni kut vektora prema koordinatnoj osi
ε ij tenzor deformacija
•
ε
ij
tenzor brzina deformacija
σ ij tenzor naprezanja
•
σ
ij
tenzor brzine prirasta naprezanja.
σ normalno naprezanje [N/m 2 ]
τ posmično naprezanje [N/m 2 ]
ρ vektor punog naprezanja
ρ projekcija vektora punog naprezanja na koordinatne osi
i
γ gustoća [kg/m 3 ]
Značenje ostalih simbola, vezano za posebna poglavlja rada, objašnjeno je u samom
tekstu gdje su spomenute oznake i navedene.
III

1. UVOD
Literatura iz područja podzemne i nadzemne eksploatacije mineralnih sirovina te iz
područja izgradnje podzemnih prostorija i tunela, isto kao i literatura iz područja inženjerske
geologije i hidrogeologije, poziva se na postavke i rezultate mehanike kontinuuma i reologije.
Isto se tako takvi podaci mogu naći u literaturi o bušenjima na veliku dubinu i primjenama
tekućina s izraženim reološkim svojstvima u naftnom rudarstvu. Sadržaj i nivo predavanja
prilagođen je predznanju slušača iz podurčja matematike i fizičkih disciplina.
Sadržaj predavanja je u detaljima ograničen na čvrsta tijela, iako daje neke od općih
relacija zajedničkih i za čvrsta tijela i za fluide.
1.1. Pojam kontinuuma
Čvrsta tijela i fluidi imaju korpuskularnu strukturu, što znači da se sastoje od
molekula, atoma i subatomskih čestica koje su međusobno manje ili više pokretljive. Između
čestica postoje interkorpuskularne sile elektromagnetskog karaktera, a kojih intenzitet ovisi o
međusobnim razmacima čestica.
Postoji posebna grana mehanike kontinuuma - mikroreologija - koja objašnjava
fenomene promjene volumena i oblika tijela, polazeći od stvarne mikrostrukture i zakona
nuklearne fizike.
Normalno mjerljive veličine u tehnici daleko prelaze dimenzije unutar kojih treba
voditi računa o utjecajima pojedinih čestica, pa se promjene formi i volumena mogu
promatrati makroskopski, prihvaćajući materiju kao neprekidnu sredinu. Govori se tada o
mehanici neprekidnih (neprekinutih) sredina ili mehanici kontinuuma i njezinoj tehničkoj
primjeni makroreologiji ili jednostavno reologiji. U širem smislu tu je obuhvaćena i teorija
elastičnih tijela kao poseban slučaj, isto kao i hidromehanika.
Naziv reologija izveden je iz grčkog glagola ρεω (reo) što znači teći ili protjecati.
Mehanika kontinuuma prihvaća ponašanje materijala kao činjenicu, kao odgovor
materijala na vanjske utjecaje, bez pokušaja objašnjenja, ali na temelju eksperimentalnih
podataka. Stvaraju se tzv. matematski modeli mehaničkih karakteristika materijala.
Da bi se mogla uočiti uzročno posljedična veza vanjskih utjecaja i promjene oblika
neka posluži (opet matematski!) model koji pretpostavljaju Grimsehl i Tomaschek za
kristalinične strukture. U takvim tijelima elementarne čestice osciliraju oko nekog
ravnotežnog položaja.
1

Pretpostavljaju se, naime, privlačne i odbojne sile između dviju čestica, koje u svakom
momentu moraju biti uravnotežene. Za privlačnu silu između dviju čestica vrijedi zakon
sličan općem zakonu gravitacije:
S
=
pri čemu su:
+
e
⋅ e
1 2
2
r
e1 , e2 - energije obiju čestica
r - razmak između čestica.
Odbojne sile rastu brže uz smanjivanje razmaka među česticama, po zakonu:
S
−
=
e
⋅ e
1 2
n
r
;
gdje
je n
>
2.
Slika 1.1
Na slici 1.1 prikazane su obje krivulje, od kojih jedna daje veličinu privlačnih a druga
odbojnih sila između čestica. Krivulja R prikazuje ovisnost rezultirajuće sile među česticama,
kao razliku navedenih krivulja S + i S - , ovisno o njihovom međurazmaku.
Rezultirajućoj krivulji mogu se dati dva objašnjenja:
2
(1.1)
(1.2)
a) ako se izvana djeluje na česticu tlačnom silom, onda par čestica reagira
smanjivanjem međurazmaka,

) za razmicanje međurazmaka, tj. povećanje r, potrebna je vlačna sila. Postoji
granični međurazmak iza kojeg dolazi do destrukcije materijala.
Kao zaključak treba napomenuti da na svaki vanjski utjecaj materija odgovara
promjenom međurazmaka među elementarnim česticama, a to daje ukupnu promjenu
geometrijske forme, odnosno deformaciju tijela.
U mehanici kontinuuma se rješavaju problemi prostornog djelovanja sila na prostorna
tijela, što je vezano uz dosta složenu matematsku aparaturu. Znatno pojednostavljenje može
kod toga značiti sistematizacija označavanja raznih veličina i pojednostavljenje simbolike.
1.2. Mjerne jedinice
Sve fizičke veličine možemo mjeriti, tj. odrediti njihovu veličinu bez obzira na to radi
li se o dužini, masi, vremenu, toplini itd. Kao rezultat mjerenja dobiva se neka brojna
vrijednost (intenzitet) koji je vezan uz definiciju mjerne jedinice u kojoj se taj intenzitet
izražava npr.:
masa m = 3,62 [kg] (kilograma)
vrijeme t = 12 [s] (sekunda)
dužina d = 2,88 [m] (metara).
Obvezuje nas Međunarodni sustav mjernih jedinica (System International; SI), te će
sve veličine biti uvijek označavane u obveznim jedinicama.
1.3. Skalari i vektori
Nekim veličinama dovoljno je odrediti njihov intenzitet, kao npr.:
temperatura T = 293º [K] (stupnjeva Kelvina).
Istovremeno poznajemo, naročito u mehanici, veličine kojima uz intenzitet treba
odrediti i hvatište i smjer u kojem djeluje ili orijentaciju. Takve orijentirane veličine su npr.:
sile, brzine, ubrzanja, radiusvektori i sl.
Vektore simboliziramo naznakom vektora
radiusvektor r ili r
sila F ili F .
3

Slika 1.2
Kod računskih operacija s vektorima koristimo projekciju vektora na proizvoljno
odabrani koordinatni sustav. U mehanici kontinuuma je, radi jednostavnijeg pisanja formula,
relacija i uvjeta, uveden koordinatni sustav s indeksiranim osima. Koordinatne osi
geometrijskog prostora označavaju se: x1, x2, i x3 odnosno (1), (2) i (3). Tako se radiusvektor r
razlaže na projekcije, prema slici 1.2.
xi = r • cosα
i i = 1,2,3
(1.3)
Analogno se vektor sile F A može razložiti na projekcije
Fi , A A i,
A
= F ⋅ cosα
i = 1,2,3 A = A, B, C ....
(1.4)
Već iz ovoga primjera vidi se ekonomičnost oznaka i pisanja izraza. Obratne veze,
pretvaranje vektora izraženog pomoću koordinata znači izračunavanje intenziteta vektora i
priklonih kutova između vektora i koordinatnih osi:
r = Σ x
i = 1,2,3 (1.5)
2
i
x i
i
r
= α cos (1.6)
Predznacima cosinusa određen je potpuno položaj (orijentacija) vektora u prostoru.
4

2. TEORIJA NAPREZANJA
Ako se tijelo opterećeno vanjskim silama FA, FB, FC, FD i FE nalazi u stanju ravnoteže,
mora i svaki dio toga tijela biti uravnotežen. Ako ravninom π presiječemo tijelo na dva dijela
(sl. 2.1 a) i u presječenoj ravnini nadomještavamo djelovanje jednog (odbačenog) dijela na
drugi unutrašnjim silama L R i R D (sl. 2.1 b)
odijeljeni dio
Slika 2.1
Svaka od tih sila je očigledno jednaka rezultanti svih sila koje djeluju na drugi
R = F + F + F
(2.1)
L
D
A
D
B
E
C
R = F + F
(2.2)
Uobičajena je sistematizacija koja se sastoji u postavljanju lokalnog koordinatnog
sustava Ox 1 x2
x3
u težištu presjeka koji možemo orijentirati kao na sl. 2.1 c. Redukcijom
(paralelnim pomakom) sile R L u ishodište O dobivamo dinamu sila: glavni vektor sila P i
vektor glavnog momenta M , pa projiciranjem vektora na lokalne osi dobivaju se
komponente:
5

pri čemu je
P 2 3
= R L = N i + T j + T k
(2.3)
M t 2 3
= M i + M j + M k
(2.4)
N normalna sila (komponenta usmjerena u smjeru vanjske normale n
T2, T3
M1 = Mt
M2, M3
ravnine presjeka
komponente transverzalne sile u smjeru osi 2 i 3
moment uvijanja (torzije)
momenti savijanja oko osi 2, odnosno 3.
Slika 2.2
U klasičnoj otpornosti materijala daju se ovisnosti raspodjele unutrašnje sile po
površini poprečnih presjeka za tijela koja imaju oblik štapova. U općem slučaju tijela
podjednakih dimenzija treba zamisliti da se unutrašnja sila RL dijeli na neki način po površini
zamišljenog presjeka, pa na dio površine A otpada dio rezultante ΔR. Smanjujući dimenziju
ΔA do vrlo malih dimenzija dA (slika 2.2) može se za svaku točku presjeka doći do granične
vrijednosti
Δ R d R ⎡ N ⎤
ρ = lim ≈ ; ⎢ 2 ⎥ (2.5)
Δ A→
0 Δ A dA ⎣ m ⎦
6

Dobivena veličina ρ naziva se punim ili totalnim naprezanjem, to je sila na jedinici
unutarnje površine. Dimenzija naprezanja slijedi iz te definicije i osnovna jedinica prema SI
mjerama je [N/m 2 ]. U rješavanju tehničkih problema primjenjuju se i [kN/m 2 ] ili [MN/m 2 ].
Principijelno je pitanje da li je formalna pretvorba l [N/m 2 ]= l [Pa] (Pascal) adekvatna za
tehničke primjene. Između tlaka tekućine koji se mjeri paskalima i barima i naprezanja u
čvrstim tijelima postoji fizička razlika gotovo ista kao i između energije koja se mjeri Joulima
(1 J = 1 N∙m) i statičkog momenta koji se isto tako dobiva kao N∙m. Zbog toga je uvijek
razumljivije ostati kod dvostrukih dimenzija: sila/površina [N/m 2 ].
Vektor punog naprezanja ρ treba podijeliti na dvije komponente (slika 2.3), za koje će
se vidjeti da drugačije utječu na materijal, i to komponentu koja ima smjer vanjske normale n
i komponentu koja djeluje u ravnini presječne plohe. Definira se:
σ = normalno naprezanje (sigma) i
τ = posmično naprezanje (tau).
Slika 2.3
Komponenta totalnog naprezanja u smjeru normale na presječnu ravninu smatra se
pozitivnom ako je vlačna tj. usmjerena u smjeru vanjske normale n , odnosno negativnom ili
tlačnom ako je suprotnog smjera.
2.1. Tenzor naprezanja
Radi jednostavnosti a i jednoobraznosti, uvodi se desni koordinatni sustav O x1 x2 x3 i
iz napregnutog tijela izdvaja mali kvadar čije su stranice paralelne s koordinatnim ravninama,
7

Slika 2.4
Na kvadru se mogu uočiti tri ravnine čije su normale n 1 ; n 2 i n3
paralelne s
odgovarajućim koordinatnim osima. Naravno da na svakoj od tih ravnina djeluju različiti
vektori totalnog naprezanja, označeni s 1 2 , ρ
ρ i 3
ρ . Projiciranjem tih vektora u smjerove
odabranog koordinatnog sustava dobivamo komponente koje dobivaju po dva indeksa, kako
je to prikazano na slici 2.4. Kod toga uvijek prvi indeks označava plohu (zapravo smjer
vanjske normale), a drugi smjer u koji se projicira. Iz slike se vidi da komponente koje imaju
po dva ista indeksa σ11, σ22, σ33 predstavljaju normalna naprezanja, a komponente τ12, τ13,
τ21, τ23, τ31, τ32 posmična naprezanja.
U tehničkim primjenama je uobičajeno različito označavanje σ i τ, dok se u teorijskoj
mehanici kontinuuma upotrebljava ili jedna ili druga oznaka za obje vrste naprezanja. Sve
komponente možemo jednostavno označiti kao:
σ ij i = 1,2,3 j = 1,2,3 i upisati u matricu:
σ
ij
=
⎡ σ
⎢
⎢
τ
⎢⎣
τ
11
21
31
τ
σ
τ
12
22
32
τ
τ
σ
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
8
(2.6 )
Ukupno stanje naprezanja u jednoj točki napregnutog tijela opisuje 9 komponenata.
Takav skup komponenata predstavlja tenzor drugog reda, budući da se svaka od komponenata
definira s dvije oznake (indeksa) kojeg nazivamo tenzorom naprezanja.

2.2. Veze između unutrašnjih sila i komponenata tenzora naprezanja
U analizi naprezanja služimo se često metodom presjeka. U općem se slučaju u težištu
zamišljenog presjeka nekog tijela javlja dinama sila koja se sastoji od glavnog vektora sila P
i vektora glavnog momenta M (slika 2.5). Pri tome se normala ravnine presjeka n podudara
sa osi x. Projekcije glavnog vektora sila P u smjeru koordinatnih osi su uzdužna sila N i
poprečne sile T2 i T3, a vektora glavnog momenta M , moment uvijanja (torzije) Mt i momenti
savijanja M2 i M3. Na elementarnoj površini dA ucrtane su komponente naprezanja. Kako je
normalno naprezanje dano izrazom
dN
σ 11 = ⇒ dN = σ 11dA
(2.7 )
dA
ukupna normalna sila N dobiva se integriranjem po površini presjeka:
∫ ∫ dN = ∫ ∫
N =
σ 11dA
(2.8)
A A
Poprečne sile dobivaju se iz definicije posmičnog naprezanja
dT
τ = ⇒ dT = τ dA
(2.9)
dA
pa integriranjem po površini presjeka dobivamo
∫ ∫ dT2
= ∫ ∫
T =
12dA
2 τ (2.10)
A A
∫ ∫ dT3
= ∫ ∫
T =
13dA
3 τ (2.11)
A A
Slika 2.5
9

Kako je elementarni moment savijanja dM jednak umnošku elementarne sile σ11dA i njezinog
kraka oko osi možemo napisati
odnosno
∫ ∫
M 2 = dM 2 = z σ
M
A
∫ ∫
∫ ∫
A
11
dA
10
(2.12)
= dM 3 = − y 11dA
(2.13)
3 σ
A
∫ ∫
A
U ovom slučaju je moment elementarne sile oko osi x3 suprotan smjeru djelovanja
momenta M3 pa odatle negativan predznak ispred integrala. Za moment uvijanja možemo
napisati da je jednak
∫ ∫
∫ ∫
( y dA - zτ
dA)
M t = dM t = τ 13 12
(2.14)
A
2.3. Simetrija tenzora naprezanja
A
Elementarni kvadar sa slike 2.6 može se na primjer projicirati na ravninu O x1 x2
Slika 2.6

Na suprotnim stranicama djeluju istoimene komponente tenzora naprezanja, ali
suprotnog smjera, budući da su normale na te plohe suprotne. Ako se zanemare diferencijalne
veličine višeg reda može se uvjet zbroja momenata oko ishodišta Σ MO = 0 napisati u obliku:
dx
2
2
Nakon kraćenja ostaje:
Kako je
12
slijedi da je:
dx1
( σ 11 A1
− σ 11 A1
) + ( σ 22 ⋅ A2
− σ 22 ⋅ A2
) ⋅ + τ 12 ⋅ A1
⋅ dx1
− τ 21 ⋅ A2dx
2
1
1
21
2
2
2
=
0
11
(2.15)
τ ⋅ A ⋅ dx = τ ⋅ A ⋅ dx
(2.16)
A1 = dx2 × dx3
A2 = dx1 × dx3
τ12 = τ21
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Ovo bi se moglo pokazati za sve parove posmičnih naprezanja, pa se Zakon o
jednakosti posmičnih naprezanja može općenito napisati:
τij = τji
(2.20)
Tenzor naprezanja je dakle simetričan, budući da su članovi s jednakim indeksima
jednaki. Treba uočiti da se vektori τij i τji na jednom bridu elementa ili sustižu ili razilaze.
Korištenjem tri uvjeta ravnoteže tipa Σ Mi = 0 smanjen je broj u principu nepoznatih
komponenata tenzora naprezanja s 9 na svega 6, ali je pri tome ostalo samo tri uvjeta
ravnoteže koji se mogu upotrijebiti za pronalaženje 6 preostalih komponenata. Problem
raspodjele naprezanja u tijelu ostaje statički neodređen!
2.4. Statički uvjeti ravnoteže
U općenitom slučaju na element kontinuuma djeluju sile vezane na masu elementa.
To su u prvom redu gravitacijske sile ili inercijske sile. Radi toga moraju komponente tenzora
naprezanja dobiti neki prirast Δσij ako se koordinata xi promijeni za dxi (vidi sliku 2.7).
Uvjet ravnoteže Σ F1 = 0 može se napisati u obliku:
( 11 11 11 1 21 21 21 2 31 31 31 3 1
σ + Δ σ − σ ) ⋅ A + ( τ + Δ τ − τ ) ⋅ A + ( τ + Δ τ − τ ) ⋅ A + f ⋅ V = 0 (2.21)
Kada se pokrate istoimeni članovi suprotnih predznaka, ostaje:
Δ σ ⋅ A + Δ τ ⋅ A + Δ τ ⋅ A + f ⋅ V = 0
(2.22)
11
1
21
2
31
3
1

Treba uvrstiti da je:
Slika 2.7
A1 = dx2 . dx3 A2 = dx1 . dx3 A3 = dx1 . dx2 i V= dx1 . dx2 . dx3 (2.23)
∂ σ
11
Δ σ 11 = dx1
(2.24)
∂ x1
∂ τ
21
Δ τ 21 = dx2
(2.25)
∂ x2
Δ
∂ τ
31
τ 31 = dx3
(2.26)
∂ x3
Konačno, kad se pokrati jednadžba s dx1 . dx2 . dx3 dobije se konačni uvjet za Σ F1 = 0:
∂ σ
∂ x
11
1
+
∂ τ
∂ x
12
2
+
∂ τ
∂ x
13
3
+
f
Ovdje je f1 projekcija sile težine ili inercije na os (1), dakle
f1 = i
pri čemu je:
1
=
0
12
(2.27)
a ⋅ γ (2.28)
γ = gustoća [kg/m 3 ] (2.29)
ai = projekcija ubrzanja [m/s 2 ]. (2.30)

Dobiveni uvjeti ravnoteže mogu se napisati i u općem obliku:
∂ σ
∂ x
∂ τ
∂ x
∂ τ
11
1
21
1
13
∂ x
1
+
+
+
∂ τ
12
∂ x
∂ σ
∂ x
∂ τ
∂ x
2
22
2
23
2
+
+
+
∂ τ
13
∂ x
∂ τ
3
∂ x
∂ σ
∂ x
23
3
3
33
+
+
+
f
1
f
f
2
3
=
=
=
0
0
0
13
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Postoji i mogućnost skraćenog pisanja. Deriviranje po nekoj koordinati može se
naznačiti samo zarezom:
∂ σ ij
σ ij,
j =
(2.34)
∂ x
j
U tenzorskom računu vrijedi pravilo da ponavljanje indeksa znači sumiranje po tom
indeksu. Na taj način može se dobiveni uvjet ravnoteže napisati u posve skraćenom obliku:
σ ij,
j + fi
= 0 i = 1,2,3 j = 1,2,3 (2.35)
U svakoj od triju jednadžbi ravnoteže za smjer "i" postoje tri člana s raznim "j".
Ukupno se mogu napisati samo tri jednadžbe ravnoteže.
2.5. Transformacija tenzora naprezanja
Odabrane geometrijske koordinatne osi su posve proizvoljne, pa mora postojati
mogućnost da se isti tenzor prikaže i u koordinatom sustavu koji je rotiran u odnosu na
prvobitno odabrani. Zadatak se može riješiti tako da se nađu komponente naprezanja na nekoj
proizvoljno orijentiranoj plohi, polazeći od komponenata tenzora izraženom za koordinatni
sustav O x1 x2 x3. Zamislimo elementarni kvadar stranica dx1 dx2 dx3 presječen ravninom kroz
tri vrha, tako da se dobije tetraedar (slika 2.8).
Slika 2.8

Normala ravnine presjeka n zatvara sa smjerovima koordinatnih osi kutove koji su
označeni na slici s αi . Ako se kosa površina tetraedra označi s A, onda su trokutne površine
na koordinatnim ravninama projekcije te kose površine:
= A ⋅ cosα
;
= A ⋅ cos α ;
= A ⋅ cos α ;
(2.36)
A1 1
A2 2
Radi kraćeg pisanja može označiti cosαi = ai pa se može napisati:
i
i
A3 3
A = A ⋅ a
(2.37)
Naravno da pri tome suma kvadrata kosinusa mora zadovoljavati uvjet:
2 2 2
a + a + a = 1
(2.38)
1
2
3
Da bi mogli dobiti naprezanje na kosoj površini, treba iz uvjeta ravnoteže tetraedra
naći vektor totalnog naprezanja na kosoj plohi. Na lijevoj polovini slike 2.9 pokazane su
komponente tenzora naprezanja izražene u koordinatnom sustavu O x1x2x3, a na desnoj
komponente vektora totalnog naprezanja ρ1, ρ2 i ρ3 u smjeru tih koordinatnih osi.
Slika 2.9
Ako za tetraedar, bez djelovanja volumenskih sila, postavimo uvjet ravnoteže npr.
Σ = 0 − σ ⋅ A − τ ⋅ A − τ ⋅ A + ρ ⋅ A = 0
(2.39)
F1 11 1 21 2 31 3 1
Kada se skrati s A dobije se komponenta totalnog naprezanja:
ρ = σ ⋅ a + τ ⋅ a + τ ⋅ a
(2.40)
1
11
1
21
2
31
3
Iz uvjeta ΣF2 = 0 odnosno ΣF3 = 0 dobivaju se preostale dvije komponente punog naprezanja:
ρ = τ ⋅ a + σ ⋅ a + τ ⋅ a
(2.41)
2
3
11
13
1
1
22
23
2
2
32
33
3
ρ = τ ⋅ a + τ ⋅ a + σ ⋅ a
(2.42)
3
14

Dobivene projekcije mogu se tek sada razložiti na komponentu koja je u smjeru
normale ravnine presjeka σnn
σ = ρ ⋅ a + ρ ⋅ a + ρ ⋅ a
(2.43)
nn
1
1
2
2
3
3
Veličinu posmične komponente τnm moglo bi se dobiti iz rezultirajućeg vektora
naprezanja na kosoj plohi:
pri čemu je
2 2
τ nm = ρ − σ
(2.44)
nn
2
1
2
2
2
3
ρ = ρ + ρ + ρ
(2.45)
S druge strane možemo komponente naprezanja na kosoj plohi podijeliti u dvije
komponente, od kojih je jedna u smjeru normale n , a druga u smjeru osi l okomite na
normalu. Orijentacija osi l mora zadovoljavati uvjet ortogonalnosti s osi n , zbroj kvadrata
kosinusa mora biti jednak jedinici.
2
1
2
2
2
3
b + b + b = 1
(2.46)
Uvjet ortogonalnosti izražen preko kosinusa vektora normale glasi:
a1 1 2 2 3 3
⋅ b + a ⋅ b + a ⋅ b = 0
(2.47)
Ako u ishodištu, u kojem je zadan tenzor naprezanja s komponentama izraženim preko
osi i, j, k, postavimo novi koordinatni sustav n, l, m, koji je također ortogonalan, možemo
kosinuse smjera između osi n, l, m i osi i, j, k označiti s ai , aj , ak , bi , bj , bk , ci , cj , ck
Koristeći pravilo sumacije izvode se opći izrazi:
σ = σ ⋅ a ⋅ a
(2.48)
nn
nl
ij
ij
i
i
j
j
τ = σ ⋅ a ⋅ b
(2.49)
τ = σ ⋅ a ⋅ c
(2.50)
nm
2.6. Glavna naprezanja
ij
i
j
Očigledno je da intenziteti komponenata tenzora naprezanja izraženi u raznim
(ortogonalnim) koordinatnim sustavima daju različite vrijednosti za pojedine komponente.
Tražeći ekstremna normalna naprezanja dolazi se do uvjeta da takva naprezanja postoje na tri
15

međusobno okomite osi g1, g2, g3 a da pri tome na plohama paralelnim s tim koordinatnim
osima nema posmičnih naprezanja. Dobiva se tzv. sekularna jednadžba koja naravno ima tri
rješenja. Rješenja te jednadžbe su glavna naprezanja σ1, σ2 i σ3 koja moraju zadovoljiti
jednadžbu:
3 2
g − g Iσ g σ
σ
σ σ ⋅ − σ ⋅ II − III = 0 g = 1,2,3
(2.51)
Kod toga su I σ, II σ i III σ invarijante tenzora naprezanja i iznose:
I = σ + σ + σ
(2.52)
σ
11
11
22
22
33
22
33
33
11
2
12
II = σ ⋅ σ + σ ⋅ σ + σ ⋅ σ − τ − τ − τ
(2.53)
σ
III
σ
⎡ σ
= det
⎢
⎢
τ
⎢⎣
τ
11
21
31
τ
σ
τ
12
22
32
τ
τ
σ
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
2
23
2
31
16
(2.54)
Simbol det označava vrijednost determinante matrice komponenata tenzora
naprezanja. Vrijednost invarijanti ne ovisi o prethodnom izboru položaja koordinatnih osi,
nego o stvarnim svojstvima tenzora naprezanja u promatranoj točki.
Vrijednosti glavnih naprezanja dobiju se rješenjem kubne jednadžbe, ona su uvijek
realna, a smjerove iz uvjeta za svaku od glavnih osi:
2 2 2
a + a + a = 1
(2.55)
1
2
3
te iz uvjeta da je projekcija totalnog naprezanja na dvije koordinatne osi jednaka projekciji
glavnog naprezanja.
( − σ ) ⋅ + τ ⋅ a + τ ⋅ a = 0
σ (2.56)
21
11
g
a1 12 2 13 3
( σ − σ ) ⋅ a + ⋅ a = 0
τ ⋅ τ
(2.57)
a1 + 22 g 2 23 3
Uvrštavajući redom glavna naprezanja σg = σ1, σ2 i σ3 dobivaju se kosinusi smjerova
svih triju glavnih osi.
Grafički se mogu odnosi naprezanja na raznim plohama povučenim kroz istu točku
napregnutog tijela prikazati pomoću Mohrovih kružnica naprezanja. Za prostorno stanje mogu
se nacrtati tri kružnice kojih su promjeri jednaki razlikama glavnih naprezanja, a središta leže
u aritmetičkim sredinama parova glavnih naprezanja, slika 2.10.

Slika 2.10
Smisao traženja glavnih naprezanja je u pronalaženju ekstremnih naprezanja u jednoj
točki. Tenzor naprezanja koji je prvobitno bio definiran komponentama σij u koordinatnom
sustavu i, j, k definira se preko glavnih naprezanja σ1 = σmaks , σ2 i σ3 = σmin , uz zadane
odgovarajuće smjerove glavnih osi. Prikazi istog tenzora naprezanja vidljivi su iz slike 2.11.
naprezanja.
Slika 2.11
Prema definiciji na ravninama glavnih (normalnih) naprezanja nema posmičnih
17

Iz Mohrove kružnice može se vidjeti da najveća posmična naprezanja nastaju na
ravninama koje s ravninama glavnih naprezanja zatvaraju kut π/4 = 45 o . Mogu se naći tri
prizme kvadratnog presjeka na čijim ravninama djeluju ekstremna posmična naprezanja.
Intenzitet tih posmičnih naprezanja jednak je polovini razlike glavnih naprezanja, a na istoj
plohi djeluje normalno naprezanje koje je jednako polovini zbroja istih dvaju glavnih
naprezanja.
σ
σ
σ
m
n
l
=
=
=
σ
σ
σ
1
2
1
+ σ
2
+ σ
2
+ σ
2
3
3
2
τ
τ
m
τ
n
l
=
=
=
σ
σ
σ
1
2
1
− σ
2
− σ
2
− σ
2
3
3
2
18
(2.58)
Pronalaženje glavnih naprezanja i njihovih smjerova je znatno jednostavnije u slučaju
ravninskog stanja naprezanja. Tada je σ33,= τ13 = τ23 = 0 pa sekularna jednadžba dobiva
kvadratnu formu, čija su rješenja:
2
σ 11 + σ 22 ⎛ σ 11 − σ 22 ⎞
σ 1,
2
± ⎜
⎟ +
2
= τ
(2.59)
12
2
⎝ 2 ⎠
Smjer glavnih naprezanja dan je izrazom:
2 ⋅ τ 12
tg 2ϕ
= −
(2.60)
σ − σ
11
22
Mohrove kružnice svode se na samo jednu, kako je to prikazano na slici 2.12.
Slika 2.12

Elementu s komponentama naprezanja zadanim u koordinatnom sustavu O x1 x2
odgovara na istom mjestu element koji je napregnut glavnim naprezanjima, a stranice mu
imaju orijentaciju ϕ. Istovremeno se može nacrtati i element opterećen najvećim posmičnim
naprezanjima (sl. 2.13).
Slika 2.13
Sva tri elementa opterećena su jednim istim tenzorom naprezanja koji je pri tome
prikazan u tri različita koordinatna sustava.
Tenzor naprezanja može se izraziti na razne načine, a da pri tome to predstavlja jedno
isto stanje naprezanja u promatranoj točki napregnutog tijela. Ovo je u principu isto kao da
vektor sile projiciramo u razne koordinatne sustave.
Tenzor naprezanja je izražen komponentama u proizvoljno odabranom koordinatnom
sustavu O x1 x2 x3. Pronalaženjem intenziteta i smjera glavnih naprezanja taj se isti tenzor
izražava komponentama u smjerovima glavnih osi naprezanja g1 g2 g3. Može se, dakle,
izjednačiti:
⎡ σ 11 τ 12 τ 13 ⎤
⎡ σ 1
σ =
⎢
⎥
= =
⎢
ij ⎢
τ 21 σ 22 τ 23 ⎥
σ g ⎢
0
⎢⎣
τ
⎥⎦
⎢
31 τ 32 σ 33
⎣ 0
σ
0
0
2
0 ⎤
0
⎥
⎥
σ ⎥ 3 ⎦
Za ravninsko stanje naprezanja ostaju samo komponente:
σ
ij
⎡ σ
= ⎢
⎣ τ
11
21
τ
σ
12
22
⎤
⎥
⎦
=
σ
g
=
⎡ σ 1
⎢
⎣ 0
0 ⎤
σ
⎥
2 ⎦
=
⎡ σ
⎢
⎣τ
m
maks
τ
σ
maks
m
⎤
⎥
⎦
19
(2.61)
(2.62)

2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente
Iako to do sada nije bilo naglašeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa
prema tome i dijeliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izražene
u istim koordinatama:
σ = σ ± σ
(2.63)
ij
'
ij
''
ij
Bilo kakav tenzor naprezanja može se podijeliti na svoju simetričnu i nesimetričnu ili
antimetričnu komponentu, samo su nazivi nešto drugačiji:
devijatorsku
- sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod
kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrično stanje naprezanja). To je,
naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posmičnih
naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini,
- devijatorska komponenta sadrži ostatak tenzora (nesimetrično ili antimetrično stanje
naprezanja).
Glavna naprezanja u smjerovima osi g1, g2 i g3 dijele se, dakle, na sfernu
D
σ g komponentu:
20
S
σ gl i
S D
σ = σ + σ g = 1,2,3
(2.64)
g
g
σ
g
g
⎡ σ 1
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
σ
0
0
2
0 ⎤
0
⎥
⎥
σ ⎥ 3 ⎦
⎡ σ
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
σ
S
g
0
0
σ
0
S
g
0
⎤
0 ⎤ ⎡ σ
⎥ ⎢
0 ⎥ + ⎢
S
σ ⎥ ⎢
g ⎦ ⎣
⎡ σ
1
− σ
0
0
S
g
σ
2
0
− σ
S
D
σ g =
⎢
⎢
⎢
g
0
0
S
σ g
0
⎥
0 ⎥ +
S
σ ⎥
g
⎢
⎢
⎢
1
0
0
D
σ 2
0
⎥
0 ⎥ =
D
σ ⎥
3
S
σ i +
⎣
0
0
⎦
Sferna komponenta predstavlja u stvari prosječno normalno naprezanje i može se
izraziti prvom invarijantom naprezanja:
S
σ g ⋅ Iσ
= 1 2 3 11 22 +
⎣
0
0
⎤
⎦
0
S
g
σ
D
i
σ
3
0
0
− σ
S
g
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.65)
1 1
1
= ( σ + σ + σ ) = ( σ + σ σ 33 )
(2.66)
3 3
3
tj. zbrojem normalnih naprezanja na međusobno okomitim ravninama.

Obje se komponente mogu pokazati na elementu kojeg su bridovi paralelni s osima
glavnih naprezanja g1, g2 i g3 (sl. 2.14)
Slika 2.14
Ova podjela je proistekla iz analize ekstremnih posmičnih naprezanja. Ta podjela ima
svoj puni fizički smisao kod izučavanja deformacija čvrstih tijela, kao što će se pokazati
kasnije (str. 22).
Iz tijela opterećenog u promatranoj točki glavnim naprezanjima σ S i σ D može se isjeći
pravilni oktaedar kojeg dijagonale imaju smjerove glavnih osi naprezanja g1, g2 i g3, što je
prikazano na slici 2.15.
Slika 2.15
Sferna komponenta naprezanja daje ista naprezanja na bilo kojoj plohi povučenoj kroz
točku, dakle i na plohama oktaedra. Pri tome takvo stanje naprezanja ne prouzrokuje nigdje
21

posmična naprezanja. Sferna komponenta tenzora naprezanja daje na plohama oktaedra
naprezanja:
σ = σ
(2.67)
S
okt
S
g
τ = 0
(2.68)
S
okt
Plohe pravilnog oktaedra imaju kosinuse smjera normala u odnosu na osi g1, g2 i g3
1
m i =
i = 1,2,3 (2.69)
3
Naravno da je pri tome:
2 2 2
m + m + m = 1
(2.70)
1
2
3
Devijatorska komponenta τokt može se naći iz totalnog naprezanja ρ na oktaedarskoj
plohi, koje iznosi:
ρ
=
σ
2
1
pa se odatle dobiva:
τ
D
okt
=
ρ
+
2
σ
−
2
2
3
+
σ
2
3
S 2
D
( σ ) σ = 0
okt
Nakon što se uvrsti dobivena vrijednost za ρ i izraz sredi, dobiva se konačno:
τ D
okt
=
1
3
( ) ( ) ( ) 2
2
2
σ − σ + σ − σ + σ − σ
1
2
2
3
3
1
22
(2.71)
(2.72)
(2.73)
Ako se, dakle, tenzor naprezanja podijeli na sfernu i devijatorsku komponentu i
promatraju pri tome naprezanja koja se dobivaju na plohama oktaedra, dobivaju se dva stanja
od kojih je prvo izotropno, a drugo predstavlja neku vrstu čistog smicanja:
σ
σ
S
D
okt
=
=
1
3
0
( σ + σ + σ )
1
2
3
=
1
⋅ I
3
σ
τ
τ
D
okt
S
=
=
0
2
3
⋅
I
2
σ
3
−
II
σ
(2.74)
Obje komponente oktaedarskih naprezanja pokazane su na slici 2.16 iz koje je vidljivo
da u stvari najopćenitije stanje naprezanja možemo svesti na jedno izotropno stanje pokazano
na lijevom oktaedru i stanje čistog smicanja na plohama tog istog oktaedra. Pri tome ne treba
zaboraviti da dijagonale tog oktaedra predstavljaju glavne osi naprezanja u promatranoj točki.

Slika 2.16
Ova dioba tenzora naprezanja ima svoj duboki fizički smisao. Pri povezivanju
naprezanja s pripadnim deformacijama za realne materijale uočava se potpuno drugačije
ponašanje za opterećenje materijala sfernom komponentom tenzora naprezanja u odnosu na
reakciju materijala na opterećenje smicanjem, dakle devijatorskom komponentom tenzora
naprezanja.
23

3. TEORIJA DEFORMACIJA
Pod utjecajem vanjskih sila tijelo će se u općem slučaju pomaknuti iz svojeg
prvobitnog položaja I u položaj II. Na tijelu promatramo točku P i diferencijalnu dužinu ds
koje se pomiču zajedno s tijelom.
Promjenu konfiguracije, koja je pokazana na slici 3.1 može se promatrati na dva
načina:
a) pomoću prostornih koordinata u čvrstom koordinatnom sustavu O x1 x2 x3
b) pomoću prostornog koordinatnog sustava O X1 X2 X3 koji se pomiče zajedno s
tijelom, pa su to materijalne ili prirodne koordinate vezane uz tijelo.
x
3
x 2
0
r
I
P
ds
x 1
X 2
n
b
X 3
Slika 3.1
Euler je dao formulaciju za prvi način promatranja. Da bi se mogla naći deformacija
konfiguracije kontinuuma izražava se koordinata u globalnom sustavu xi kao funkcija
prirodne koordinate XL i vremena t:
x L
i xi
( X , t)
= (3.1)
Analogno je Lagrange definirao materijalnu koordinatu XL u ovisnosti o globalnoj
koordinati xi i vremenu t:
X i
koordinatama:
L X L ( x , t)
= (3.2)
Dužina uočenog elementa ds može se također izraziti na oba načina. U globalnim
∂ x ∂ x
= dX
(3.3)
2
i j
ds gij
⋅ dxi
⋅ dx j = gij
⋅ ⋅ ⋅ dX L ⋅ dX M = CLM
⋅ dX L ⋅
∂ X L ∂ X M
II
R
0
P`
ds`
X 1
M
24

te analogno u materijalnim koordinatama:
∂ X ∂ X
ds ⋅
2
L M
= GLM
⋅ dX L ⋅ dX M = GLM
⋅ ⋅ ⋅ dxi
⋅ dx j = cij
⋅ dxi
dx j
∂ xi
∂ x
(3.4)
j
Dobiveni izrazi definiraju Green-Cauchy-jevu mjeru deformacije
C
c
relacijom:
∂ x
∂ x
i j
LM = gij
⋅ ⋅
(3.5)
∂ X L ∂ X M
∂ X
∂ X
L M
ij = GLM
⋅ ⋅
∂ xi
∂ x
(3.6)
j
Razlika između deformirane i prvobitne dužine u prostornim koordinatama izražena je
( g − c )
1
ε ij = ⋅ ij ij
(3.7)
2
a u materijalnim koordinatama:
1
ELM = ⋅ ( CLM
− GLM
)
(3.8)
2
Promjena položaja točke naziva se pomakom, pa se tenzori deformacija mogu izraziti
pomoću pomaka. Tako se za prostorne koordinate dobiva:
1 ⎛
⎞
⎜
∂ u ∂ u i j ∂ uk
∂ uk
ε =
+ + ⋅ ⎟
ij ⎜
⎟
(3.9)
2
⎝
∂ x j ∂ xi
∂ xi
∂ x j ⎠
Istovremeno u materijalnim koordinatama imamo:
1 ⎛ ∂ u
⎞
⎜ L ∂ uM
∂ uk
∂ uk
E LM =
+ + ⋅ ⎟
(3.10)
2 ⎝ ∂ X M ∂ X L ∂ X M ∂ X L ⎠
Na kraju, ako se radi o malim pomacima tj. pomacima koji su maleni u odnosu na
dimenzije tijela, postaju oba dobivena tenzora jednaka, a produkti u trećim članovima postaju
kao diferencijalne veličine drugog reda zanemarivi:
ε
ij
≈
1 ⎛ ∂ u
⎜
⎝
∂ u
( u u )
i j
E LM ≈
+ = i , j +
2 ⎜ ∂ x j ∂ x ⎟
i 2
3.1. Tenzor deformacija
⎞
⎟
⎠
1
j , i
25
(3.11)
Ove dobivene definicije tenzora deformacija mogu se za male deformacije pokazati i
direktno. Neka se elementarni kvadar deformira kao što je to pokazano na slici 3.2.

u 2C
u 2A
x 2
C
u A
A B
u u
1A
u C
A`
C`
Slika 3.2
Ako točka A kvadra kojemu promatramo samo pomake u ravnini O x1 x2 ima pomak
u A (vektor!), onda su komponente tog pomaka u1,A i u2,A. Pomaci susjednih točaka B i C mogu
se naći po pravilu totalnog diferencijala - uz zanemarenje viših članova:
u
∂ u
∂ u
1B
i
i
i = ui,
A + dxi
+ dx j
(3.12)
∂ xi
∂ x j
Ovo se može primijeniti na sve četiri komponente deformacija elementa, kao što je to
pokazano na slici 3.3.
dx 2
A B B`
A
u 1 =(u 1C-u 1A)
C
12
dx
1 1
B
dx
C
A
C`
C
A
Slika 3.3
B`
u B
x
1
dx1
21
dx
2
dx 2
u 2 =(u 2C-u 2A)
26

Za produljenje stranica Δdx1 se dobiva:
∂ u
1
1
Δ dx1 = u1B
− u1A
Δ dx1
= dx1
ε 11 = = u1,
1
(3.13)
∂ x1
dx1
Analogno za produljenje Δdx2
∂ u
2
2
Δ dx2 = u 2B
− u 2 A Δ dx2
= dx2
ε 22 = = u 2,
2
(3.14)
∂ x2
dx2
Kutevi zaokreta stranica mogu se dobiti vrlo jednostavno, naravno uz pretpostavku
malih deformacija:
ε
12
Δ u1
∂ u1
= = =
dx ∂ x
2
Isto se tako dobiva:
ε
21
Δ u
=
dx
2
1
2
∂ u
=
∂ x
2
1
=
u
1,
2
u
2,
1
Δ x
Δ x
27
(3.15)
(3.16)
Sama promjena jednog od kuteva priklona stranica prema koordinatnoj osi ne
predstavlja karakterističnu deformaciju. Iz slike 3.2 vidi se da se prilikom deformiranja
elementa mijenjaju pravi kutevi u uglovima elementa za kut γ12
Iz slike 3.4 je vidljivo da je
γ = ε + ε
(3.17)
12
12
21
12
x 2
12
12
21
Slika 3.4
Dobivene komponente deformacija čine tenzor deformacija koji za ravninsko stanje
naprezanja ima članove:
0 ⎡ ε 11 ε 12 ⎤
⎡ ε 11 γ 12 ⎤
| ε ij | = ⎢
⎥ ε ij = ⎢
⎥
(3.18)
⎣ ε 21 ε 22 ⎦
⎣ γ 21 ε 22 ⎦
Pri tome treba definirati i veze komponenata tenzora deformacija za koje je dobiveno:
12
12
x 1

∂ u
∂ u
1
2
1 2
ε 11 =
ε 22 =
γ 12 = ε 12 + ε 21 = +
(3.19)
∂ x1
∂ x2
∂ x2
∂ x1
Ovo se može poopćiti i napisati:
ε
ij
=
1
2
( u + u )
i , j
j , i
Za prostorno stanje deformacija ostaju iste definicije, samo se tenzor proširuje:
ε
ij
=
⎡
⎢ ε
⎢ 1
⎢ γ
⎢ 2
⎢ 1
⎢
γ
⎣ 2
11
21
31
1
2
ε
1
2
γ
22
γ
12
32
1
γ
2
1
γ
2
ε
33
13
23
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
∂ u
∂ u
28
(3.20)
(3.21)
Treba napomenuti da, osim komponenata koje su ovdje simetrične, postoje i
nesimetrične, odnosno antimetrične.
Kada element samo rotira, a ne kliže kao što je to pokazano na slici 3.4, dolazi do
rotacije elementa (vidi sliku 3.5).
znači da je
Kut rotacije se može pokazati kao razlika kutova
∂ u
∂ x
1
2
i
∂ u
∂ x
2
1
, dakle:
1
ω 12 = ( u 2,
1 − u1,
2 )
(3.22)
2
Ako se, na primjer, kao na slici 3.5 pretpostavi da je element bez kuta klizanja γ12, što
u = − u
(3.23)
1,
2
dobiva se:
2,
1
1
ω 12 = ( u 2,
1 + u 2,
1 ) = u 2,
1
(3.24)
2
12 = u 1,2
x 2
21 = u 2,1
Slika 3.5
x 1

3.2. Glavne deformacije
U tenzoru deformacija postoje dijagonalni članovi εii koji predstavljaju stvarnu
dilataciju, tj. produljenje jedinične dužine u pojedinim smjerovima. Članovi izvan dijagonale
εij su kutevi klizanja (zapravo polovine tih kutova!).
γ ij
ε ij = (3.25)
2
Na isti način kao i kod tenzora naprezanja mogu se pomoću sekularne jednadžbe:
3 2
g + g Iε g ε
ε
ε ε ⋅ + ε ⋅ II + III = 0 g = 1,2,3
(3.26)
naći glavne deformacije. Pri tome se pojavljuju invarijante tenzora deformacija
I = ε + ε + ε = ε + ε + ε
(3.27)
ε
11
11
22
22
33
22
1
33
2
33
3
11
2
12
2
23
II = ε ⋅ ε + ε ⋅ ε + ε ⋅ ε − ε − ε − ε
(3.28)
ε
III
ε
⎡ ε
= det
⎢
⎢
ε
⎢⎣
ε
11
21
31
ε
ε
ε
12
22
32
ε
ε
ε
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Proračun veličina glavnih deformacija kao i smjerova u kojem se te deformacije
pojavljuju je analogan proračunu glavnih naprezanja. U smjerovima glavnih deformacija
nema klizanja. To znači da elementarni kvadar postavljen na stranicama paralelnim sa
smjerovima glavnih deformacija zadržava sve prave kuteve, a samo mu se mijenjaju dužine
stranica ( Δ dsi = ε i ⋅ dsi
).
Slika 3.6
2
31
29
(3.29)

a odatle:
Promjena obujma kvadra prikazanog na slici 3.6 može se naći kao:
Δ V
( 1 + ε ) dx + ( 1 + ε ) dx + ( 1 + ε )
1 1 2 2 3 3 1 2 3
θ = =
(3.30)
V
dx1
⋅ dx2
⋅ dx3
θ = ε + ε + ε = I
1
3.3. Oktaedarske deformacije
2
3
ε
dx
− dx ⋅ dx ⋅ dx
30
(3.31)
Kada su pronađene glavne deformacije ε1, ε 2 i ε 3 mogu se, slično kao i kod tenzora
naprezanja, naći deformacije na oktaedru, kojem su dijagonale paralelne sa smjerovima
glavnih deformacija.
I ovdje se može deformacija podijeliti na sferni dio ε S - to se ovdje naziva izotropna
deformacija i na distorzioni dio ε D , tj. devijatorsku komponentu deformacija. Bez izvoda daju
se konačni izrazi:
S 1
1
ε = ε okt = ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) = ⋅ Iε
(3.32)
3
3
D
ε = γ okt
=
2
3
( ) ( ) ( ) 2
2
2
ε − ε + ε − ε + ε − ε
1
2
2
3
3
1
(3.33)
Kao objašnjenje treba reći da se ukupna deformacija dijeli na izotropnu, koja
predstavlja čistu promjenu volumena, i na distorzionu, koja predstavlja promjenu oblika, bez
promjena volumena.
Slika 3.7

Na slici 3.7 prikazane su obje te deformacije, od kojih se prva ostvaruje bez promjena
kuteva a druga bez promjena volumena.
3.4. Ravninsko stanje deformacija
U nizu slučajeva nema deformacije ε33, jer je npr. ravnina O x1 x2 tako ukliještena u
tijelu da se dvije paralelne ravnine ne mogu međusobno pomicati. Tada su
ε = ε = ε = 0
(3.34)
33
13
23
Od kompletnog tenzora ostale su samo komponente
ε
ij
⎡
⎢ ε
= ⎢ 1
⎢ γ
⎣ 2
11
21
1
2
ε
γ
22
12
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
Za razliku od ravninskog stanja naprezanja kod kojega je σ33 = 0, ovdje je ε33 = 0.
31
(3.35)
Relacije između komponenata tenzora naprezanja mogu se, isto kao i naprezanja,
prikazati pomoću Mohrove kružnice deformacija (slika 3.8). Treba samo upozoriti da su pri
tome osi ε i γ/2.
2
2
1
11
Slika 3.8
2
12
2

3.5. Brzina deformacije
Ako se pretpostave male deformacije, može se pojednostavljeno naći:
x = x + u
i
0
i
i
Odatle se brzina gibanja točke može naći kao:
0
i
• dxi
dx du •
i
x i = = + = u i =
dt dt dt
S druge smo strane definirali komponente tenzora deformacije kao:
( + u )
v
i
32
(3.36)
(3.37)
1
ε ij = u i,
j i,
i
(3.38)
2
Ako komponente tenzora deformacije deriviramo po vremenu, dobivamo:
•
ε
ij
≅
.
dε ij
j
dt
Odatle se konačno dobiva:
1 ⎡ d ⎛ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎤ ⎡ ∂
∂ ⎤
⎢ ⎜
∂ u u
du
i ⎟
d j 1 dui
=
+
⎜
⎟ ⎥ = ⎢
+
⎥
2 ⎢
⎜ ⎟
⎣
dt ⎝ ∂ x j ⎠ dt ⎝ ∂ xi
⎠ ⎥⎦
2 ⎢⎣
∂ x j dt ∂ xi
dt ⎥⎦
( + v )
(3.39)
• 1
ε ij ≈ v i,
j j,
i
(3.40)
2
Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformacija.
3.6. Brzina prirasta naprezanja
Na sličan način kao i za brzine deformacija može se pokazati da za tenzor naprezanja
σij postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja σ ij = σ ( , t)
Za male deformacije (kada se koordinate bitno ne mijenjaju) možemo napisati:
•
σ ij =
dσ ij
dt
•
ij
x k
(3.41)

4. TEORIJA ELASTIČNOSTI
U "Otpornosti materijala" rješavali smo samo najjednostavnije slučajeve tj.
ravne štapove tako da taj dio mehanike čvrstih tijela često nazivamo "Mehanika štapova". U
"Teoriji elastičnosti" također se kao i u "Otpornosti materijala" promatra promjena stanja na­
prezanja i deformacija čvrstog elastičnog tijela pod djelovanje statičkih ili dinamičkih utjecaja
kojima uzroci mogu biti različiti npr. gravitacija, inercija, promjena temperature i drugo. Me­
đutim dok se u "Otpornosti materijala" u tumačenju pojedinih pojava polazi od jednostavnijih
prema složenijim, i od pojedinačnih zaključaka na opće zaključke i pravila, u "Teoriji elastič­
nosti" se iz općih razmatranja i općih zakonitosti ide na rješavanje pojedinačnih slučajeva.
Kao u "Otpornosti materijala", i u "Teoriji elastičnosti" se pretpostavlja da materija ima svoj­
stvo neprekinute sredine tj. da je jednoliko raspodijeljena po obujmu tijela. Kod svih je pro­
blema zajedničko da treba istovremeno zadovoljiti veći broj jednadžbi. Rješavanje problema
postaje teže što je oblik konture tijela i opterećenja na konturi složenije pa se tako više ne
mogu naći točna rješenja nego se zadovoljavamo približnim rješenjima numeričkih metoda
(metode konačnih razlika, metode konačnih elemenata ili metode rubnih elemenata). U nekim
je slučajevima povoljnije probleme rješavati eksperimentalnim putem. Sličnost oblika jed­
nadžbi u teoriji elastičnosti i elektrici omogućuju razne analogije. Ako se utvrde karakteristike
rješenja diferencijalne jednadžbe na temelju analogne električne pojave može se riješiti pro­
blem iz teorije elastičnosti. U rješavanju ravninskih problema neobično se korisnom pokazala
fotoelastičnost, gdje je na modelu izrađenom od posebnog materijala u polariziranom svijetlu
moguće utvrditi stanje naprezanja.
4.1 Veza između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija
Da bismo potpuno odredili stanje naprezanja i deformacija potrebno je neprekinutoj
deformabilnoj sredini (promatranom tijelu) dati određena fizikalna svojstva tj. odrediti veze
između naprezanja i deformacija :
σij = f (εij ) (4.1)
odnosno između komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora deformacija:
{ } [ C ] { ε }
σ = (4.2)
ij
ij
33

pri čemu je [ C ] - matrica elastičnosti.
Inverzna veza između deformacija i naprezanja glasi:
odnosno:
εij = f -1 (σij ) = g (σij ) , (4.3)
{ } [ S ] { σ }
ε = (4.4)
ij
ij
Općenito se komponente tenzora naprezanja u jednoj točki mogu izraziti kao funkcije
komponenata tenzora deformacija:
σ11= f1 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) σ22= f2 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)
σ33= f3 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ12 = f4 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)
τ23 = f5 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ31 = f6 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)
τ21 = f7 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) τ32 = f8 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31)
τ13 = f9 (ε11, ε22, ε33, ε12, ε23, ε31) (4.5)
U općem obliku takova se zavisnost kod mnogih tehničkih materijala može prikazati
beskonačnim redom potencija:
σ1 = c10 + c11ε11 + c12ε2 + c13ε33 + c14ε12 + c15ε23 + c16ε31 + c17ε11 2 + ...........+ c1mε31 n
σ2 = c20 + c21ε11 + c22ε22 + c23ε33 + c24ε12 + c25ε23 + c26ε31 + c27ε11 2 + ..........+ c2mε31 n
σ3 =c30 + c31ε11 + c32ε2 + c33ε33 + c34ε12 + c35ε23 + c36ε31 + c37ε11 2 + ..........+ c3mε31 n
τ12 = c40 + c41ε11 + c42ε21 + ... +c46ε31 + c47ε11 2 + ..........+ c4mε31 n
τ23 = c50 + c51ε11 + c52ε22 + .... +c56ε31 + c57ε11 2 + ..........+ c5mε31 n
τ31 = c60 + c61ε11 + c62ε22 + …. +c66ε31 + c67ε11 2 + ..........+ c6mε31 n
τ21 = c70 + c71ε11 + c72ε22 + .... +c76ε31 + c77ε11 2 + ...........+ c7mε31 n
τ32= c80 + c81ε11 + c82ε22 + .... +c86ε31 + c87ε11 2 + ...........+ c8mε31 n
τ13 = c90 + c91ε11 + c92ε22 + .... +c96ε31 + c97ε11 2 + .......... + c9mε31 n (4.6)
Rješavanje problema tako izraženim vezama je isuviše složeno. Kako pri eksploataciji većine
konstrukcija naprezanja i deformacije ostaju u području linearnosti izostavljaju se članovi s
potencijama različitim od 1, i to je tzv. linearna teorija. Početni članovi cm 0 u gore navedenim
izrazima nisu poznati. Oni se mogu mijenjati od točke do točke tijela, a uzrokuju ih različiti
utjecaji: temperatura prije nego što je tijelo uzeto u razmatranje, defekti u strukturi,
34

higrometrijsko stanje i drugo. Pretpostavljamo da ih nema, tj. da su početna naprezanja
jednaka nuli:
cm 0 = σm 0 = 0 (4.7)
Pretpostavljamo također da su deformacije povratne tj. da nakon uklanjanja uzroka
deformiranja, tijelo poprima svoj prvotni oblik. Takovo tijelo od idealno elastičnog materijala
kod kojeg su veze između naprezanja i deformacija linearne nazivamo Hookeovo tijelo.
Danas su već razrađene nelinearne teorije elastičnosti koje uzimaju u obzir
nelinearnost između naprezanja i deformacija (materijalna nelinearnost) ili nelinearnost
između deformacija i derivacija pomaka (geometrijska nelinearnost).
Linearna zavisnost između naprezanja i deformacija te deformacija i derivacija
pomaka dovoljna je ako deformacije nisu suviše velike. Kod većine tehničkih konstrukcija
deformacije ne prelaze 1% pa nas točnost rješenja po linearnoj teoriji malih deformacija može
zadovoljiti.
Veza između komponenata naprezanja i komponenata deformacija po linearnoj teoriji
malih deformacija može se izraziti pomoću 3 4 = 81 koeficijenata:
⎡ σ
⎢
⎢
τ
⎢⎣
τ
11
21
31
τ
σ
τ
12
22
32
τ
τ
σ
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
⎡ c
⎢
⎢
c
⎢ c
⎢
⎢ c
= ⎢ c
⎢
⎢ c
⎢ c
⎢
⎢ c
⎢
⎣ c
11
21
31
41
51
61
71
81
91
c
c
c
c
c
c
c
c
c
12
22
32
42
52
62
72
82
92
c
c
c
c
c
c
c
c
c
13
23
33
43
53
63
73
83
93
c
c
c
c
c
c
c
c
c
14
24
34
44
54
64
74
84
94
c
c
c
c
c
c
c
c
c
15
25
35
45
55
65
75
85
95
c
c
c
c
c
c
c
c
c
Kako su posmična naprezanja na međusobno okomitim plohama jednaka (Zakon o
jednakosti posmičnih naprezanja):
16
26
36
46
56
66
76
86
96
c
c
c
c
c
c
c
c
c
17
27
37
47
57
67
77
87
97
c
c
c
c
c
c
c
c
c
18
28
38
48
58
68
78
88
98
c
c
c
c
c
c
c
c
c
19
29
39
49
59
69
79
89
99
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡ ε
⎢
⎢
ε
⎢⎣
ε
11
21
31
ε
ε
ε
12
22
32
ε
ε
ε
13
23
33
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
35
(4.8)
τ = τ , τ = τ , τ = τ
(4.9)
21
12
31
13
32
23
veze između šest komponenata naprezanja i komponenata deformacija izražavamo pomoću
6 2 = 36 koeficijenata:

⎡ σ
⎢
⎢
τ
⎢⎣
τ
11
21
31
τ
σ
τ
12
22
32
τ
τ
σ
13
23
33
⎡ σ 11 ⎤ ⎡ c11
⎢ ⎥ ⎢
⎢
σ 22 ⎥ ⎢
c21
⎤
⎥ ⎢ σ ⎥ ⎢ 33 c31
⎥
= ⎢ ⎥ = ⎢
⎥ ⎢ τ 12 ⎥ ⎢ c41
⎦ ⎢ τ ⎥ ⎢
23 c51
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣
τ 31 ⎥⎦
⎢⎣
c61
c
c
c
c
c
c
12
22
32
42
52
62
c
c
c
c
c
c
U općem slučaju normalna naprezanja zavise o duljinskim deformacijama ali i o
kutnim deformacijama dok posmična naprezanja ne ovise samo od kutnim nego i duljinskim
deformacijama. Može se pokazati da su koeficijenti matrice [C] izvan dijagonale međusobno
jednaki:
cm n = cn m
čime se broj koeficijenata smanjuje na 21. Ako su poznate komponente tenzora deformacija
Hookeovog materijala pune anizotropije, uz poznavanje 21 koeficijenta mogu se odrediti
komponente tenzora naprezanja.
Materijal pune anizotropije je takav materijal koji ima istaknute fizikalne
karakteristike (npr. modul elastičnosti E, Poissonov koeficijent ν) u tri međusobno kosa
smjera (primjer za takav materijal je triklinski kristal). Kod takvog materijala nije moguće
postaviti niti jednu os simetrije i niti jednu ravninu simetrije ili zrcalenja niti za raspored
materijalnih diskretnih čestica niti za mehanička svojstva. Karakteristično je za takve
materijale da čak i u slučaju malih deformacija, komponente naprezanja zavise od svih
komponenata deformacija i obratno.
Kod materijala koji posjeduju osi ili ravnine simetrije ili ravnine rotacije, broj
koeficijenata se smanjuje. Matrica koeficijenata za materijal s tri ortogonalne osi simetrije
(ortotropno tijelo) smanjuje se na 9:
⎡ σ
⎢
⎢
σ
⎢ σ
⎢
⎢ τ
⎢ τ
⎢
⎢⎣
τ
11
22
33
12
23
31
⎤ ⎡ c11
⎥ ⎢
⎥ ⎢
c12
⎥ ⎢ c13
⎥ = ⎢
⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
⎥⎦
⎢⎣
0
c
c
c
12
22
23
0
0
0
c
c
c
13
23
33
0
0
0
c
0
0
0
44
0
0
c
0
0
0
0
55
0
13
23
33
43
53
63
0 ⎤ ⎡ ε
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
ε
0 ⎥ ⎢ ε
⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢ ε
0 ⎥ ⎢ ε
⎥ ⎢
c66
⎥⎦
⎢⎣
ε
Karakteristično je da normalna naprezanja ovise samo o duljinskim (normalnim)
deformacijama, a pomična naprezanja o kutnim (posmičnim) deformacijama.
c
c
c
c
c
c
11
22
33
12
23
31
14
24
34
44
54
64
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
c
c
c
c
c
c
15
25
35
45
55
65
c
c
c
c
c
c
16
26
36
46
56
66
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎡ ε
⎢
⎢
ε
⎢ ε
⎢
⎢ ε
⎢ ε
⎢
⎢⎣
ε
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
36
(4.10)
(4.11)
(4.12)

Broj koeficijenata se dalje smanjuje, ako su u istaknutim ortogonalnim smjerovima
elastične karakteristike jednake. Za izotropno tijelo s jednakim karakteristikama u tri
ortogonalna smjera (npr. čelik), broj koeficijenata se smanjuje na 3 te matrica koeficijenata
glasi:
⎡ σ
⎢
⎢
σ
⎢ σ
⎢
⎢ τ
⎢ τ
⎢
⎢⎣
τ
11
22
33
12
23
31
⎤ ⎡ c11
⎥ ⎢
⎥ ⎢
c12
⎥ ⎢ c12
⎥ = ⎢
⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢
⎥⎦
⎢⎣
0
c
c
c
12
11
12
0
0
0
c
c
c
12
12
11
0
0
0
c
0
0
0
44
0
0
c
0
0
0
0
44
0
0 ⎤ ⎡ ε
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
ε
0 ⎥ ⎢ ε
⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢ ε
0 ⎥ ⎢ ε
⎥ ⎢
c44
⎥⎦
⎢⎣
ε
Samo za izotropne materijale vrijedi da normalna naprezanja ovise o normalnim
deformacijama, a posmična naprezanja o posmičnim deformacijama.
Može se dokazati da su samo dva koeficijenta c11 i c12 nezavisna, dok je treći c44
zavisan, a izraziti se mogu pomoću tzv. Laméovih koeficijenata elastičnosti λ i μ :
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
37
(4.13)
c = λ + 2 μ , c = λ , c = c - c = 2 μ
(4.14)
11
12
44
11
12
Elastične konstante materijala: modul elastičnosti E , Poissonov koeficijent ν i modul
posmika G , vezane su Laméovim koeficijentima slijedećim relacijama:
ν E
λ =
, μ = G
(4.15)
ν
( 1 + ) ( 1 − 2)
Za prostorno stanje veza komponenata tenzora naprezanja i komponenata tenzora
deformacija, jednadžba 4.2 { } [ C ]{ ε }
odnosno:
⎡ σ
⎢
⎢
σ
⎢ σ
⎢
⎢ τ
⎢ τ
⎢
⎢⎣
τ
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
=
E
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν
)
σ = , glasi:
ij
⎡ ( 1 − ν )
⎢
⎢
ν
⎢ ν
⎢
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎣ 0
E
σ =
+
11
ij
ν
( 1 − ν )
[ ( 1 − ν ) ε 11 + ν ε 22 ν ε 33 ]
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν
)
ν
0
0
0
ν
ν
( 1 − ν )
0
0
0
( 1
−
0
0
0
2ν
)
0
0
( 1
−
0
0
0
0
2ν
)
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
( 1 − 2ν
) ⎥⎦
⎡ ε
⎢
⎢
ε
⎢ ε
⎢
⎢ ε
⎢ ε
⎢
⎢⎣
ε
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(4.16)
(4.17)

E
σ =
+
22
33
[ ( 1 − ν ) ε 22 + ν ε 33 ν ε 11 ]
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν
)
E
σ =
+
12
[ ( 1 − ν ) ε 33 + ν ε 11 ν ε 22 ]
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν
)
E
E E
τ =
=
ε = 2•
ε =
23
[ ( 1 − 2ν
) ε 12 ]
( 1 + ν ) ( 1 − 2ν
)
23
12
( 1 + ν ) 2 ( 1 + ν )
12
G γ
12
38
(4.18)
(4.19)
(4.20)
G γ
τ = (4.21)
G γ
τ = (4.22)
31
31
Inverzna je veza komponente tenzora deformacija izražena pomoću komponenata
tenzora naprezanja:
odnosno:
− 1
-1
[ C ] { σ } = [ C ] [ C ] { ε }
− 1 [ C ] { σ } = { ε }
{ } [ S ] { σ }
ij
ij
ij
ij
ij
ij
(4.23)
(4.24)
ε = (4.4)
Poznavajući koeficijente cij matrice elastičnosti [C] mogu se inverzijom odrediti
koeficijenti sij kvadratne matrice [ S ]:
⎡ ε
⎢
⎢
ε
⎢ ε
⎢
⎢ ε
⎢ ε
⎢
⎢⎣
ε
odnosno :
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
1
=
E
⎡ 1
⎢
− ν
⎢
⎢ − ν
⎢
0
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
− ν
1
− ν
1
ε 11 = 11 22 −
E
0
0
0
− ν
− ν
( σ − ν σ ν σ )
1
ε 22 = 22 33 −
E
33
1
0
0
0
( σ − ν σ ν σ )
1
ε 33 = 33 11 −
E
11
( σ − ν σ ν σ )
22
0
0
0
( 1 + ν )
0
0
0
0
0
0
( 1 + ν )
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0
⎥
0 ⎥
⎥
( 1 + ν ) ⎦
⎡ σ
⎢
⎢
σ
⎢ σ
⎢
⎢ τ
⎢ τ
⎢
⎢⎣
τ
11
22
33
12
23
31
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
(4.25)
(4.26)
(4.27)
(4.28)

( 1 + ν )
1 + ν
2
1
τ 12
ε 12 = τ 12 γ 12 = 2•
ε 12 =
τ 12 = τ 12 ⇒ γ 12 =
(4.29)
E
E G
G
τ 23
γ 23 = (4.30)
G
τ 31
γ 31 = (4.31)
G
4.2. Ravninsko stanje naprezanja
σ3 = τ31 = τ32 = 0 (4.32)
ε
33
1
1
≠ ⇒ ε 33 = 33 22 11
22 ν σ
E
E
( σ − ν σ − ν σ ) = ( − ν σ − ) ≠ 0
0 11
1
ε 11 = 11 −
E
( σ ν σ )
1
ε 22 = 22 −
E
ε
12
ili inverzna veza:
22
( σ ν σ )
11
39
(4.33)
(4.34)
(4.35)
1 + ν
= τ 12
(4.36)
E
E
σ 11 = 2 11 +
1 − ν
( ε ν ε )
E
σ 22 = 2 22 +
1 − ν
τ
12
E
= ε
1 + ν
22
( ε ν ε )
12
=
E
11
( 1 − ν )
1 − ν
odnosno u matričnom obliku:
⎡ σ
⎢
⎢
σ
⎢⎣
τ
11
22
12
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
=
E
1 − ν
2
⎡ 1
⎢
ν
⎢
⎢⎣
0
2
ν
1
0
ε
12
0 ⎤ ⎡ ε
0
⎥ ⎢
⎥ ⎢
ε
1 − ν ⎥⎦
⎢⎣
ε
11
22
12
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
(4.37)
(4.38)
(4.39)
(4.40)

4.3. Ravninsko stanje deformacija
ε3 = ε31 = ε32 = 0 (4.41)
σ
ε
33
33
≠
0
1
=
E
⇒
( σ − ν σ − ν σ ) = 0 ⇒ ( σ − ν σ − ν σ ) = 0 ⇒ σ = ν ( σ + σ )
33
22
Transformacijama se dobivaju izrazi za deformacije:
pri čemu je:
2
11
33
22
11
*
( σ ν σ )
33
11
22
40
(4.42)
1 − ν ⎛
ν
⎞
1
ε 11 = ⎜ σ 11 − σ 22 ⎟ ⇒ ε 11 =
* 11 − 22
(4.43)
E ⎝ 1 − ν ⎠
E
2
*
( σ ν σ )
1 − ν ⎛
ν
⎞
1
ε 22 = ⎜ σ 22 −
σ 11 ⎟ ⇒ ε 22 =
* 22 − 11
(4.44)
E ⎝ 1 − ν ⎠
E
( 1 + ν )
1 + ν
2
1
ε 12 = τ 12 ⇒ 2ε
12 =
τ 12 ⇒ γ 12 = τ
* 12
(4.45)
E
E
G
E
*
E
=
2
(4.46)
1 − ν
ν
ν =
1 − ν
(4.47)
G * = G. (4.48)
Inverzna veza komponenata naprezanja izraženih pomoću komponenata deformacija u
matričnom obliku je:
⎡ σ
⎢
⎢
σ
⎢⎣
τ
11
22
12
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
=
1
⎡
*
E
* 2
− ν
⎥ ⎥⎥
*
1 ν 0
⎢ *
⎢ν
1 0
*
⎢
⎣
0
0
1 − ν
⎤
⎦
⎡ ε
⎢
⎢
ε
⎢⎣
ε
11
22
12
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
Navedeni izrazi su analogni izrazima za ravninsko stanje naprezanja, što omogućuje
analogno rješavanje problema ravninskog stanja naprezanja i ravninskog stanja deformacija.
(4.49)

5. REOLOŠKI MODELI I MODELIRANJE
Zadatak reologije je pronalaženje analitičkih veza između komponenata tenzora
deformacija i komponenata tenzora naprezanja. Svrha je posve praktična, što znači da se
dobivene veze koriste u tehnici za zaključivanje o ponašanju materijala i konstrukcija.
Reologija se u prvom redu oslanja na rezultate ispitivanja mehaničkih svojstava pojedinih
materijala s jedne strane, a na postavke i rezultate teorijske mehanike kontinuuma s druge
strane.
Stvarno ponašanje pojedinih materijala ponekad je vrlo složeno, pa su i veze
deformacija i naprezanja složenije. Klasična mehanika kontinuuma poznavala je dvije vrste
materijala - elastična čvrsta tijela i idealne fluide, ali su detaljnija ispitivanja pokazala da u
skupini čvrstih materijala gotovo uvijek ima ili viskoznih ili drugih neelastičnih pojava, pa
sadašnja reologija posebno razmatra upravo takve pojave.
Uz navedena dva idealna tijela - elastično Hookeovo tijelo i Newtonov fluid - postoje i
neka druga tipična ponašanja koja se ne mogu svesti pod ta dva navedena. Tako je uz teoriju
elastičnosti i mehaniku fluida nastala i teorija plastičnosti, čije rezultate koristi statika čeličnih
i betonskih konstrukcija. Kao posebno poglavlje u teoriji plastičnosti uvodi se plastično
ponašanje nekih tijela i tla.
Reologija polazi od najjednostavnijih tijela, čije se ponašanje može idealno prikazati s
jednostavnim matematskim modelima (analitičkim vezama), a pri tome se takav matematski
model vizualizira, tj. daje se modelu fizički smisao. Tako se na primjer ponašanje elastičnog
tijela može simbolizirati ponašanjem elastičnog pera, a da pri tome to pero nema nikakve
veze s promatranim materijalom i problemom koji se razmatra.
Od fizičkih veličina koje treba uzeti u račun imamo:
ε ij tenzor deformacija
•
ε
ij
tenzor brzina deformacija
σ ij tenzor naprezanja
•
σ
ij
tenzor brzine prirasta naprezanja.
Za sva četiri tenzora treba posebno voditi računa o sfernoj i devijatorskoj komponenti
svakog tenzora.
Ako se istoimenim indeksima označe sferne komponente, a s raznoimenim
devijatorske komponente, mogu se napisati osnovne konstitutivne jednadžbe:
41

C ⋅ ε + C ⋅ ε = C ⋅ σ + C ⋅ σ
1
5
•
kk
• .
D
ij
2
6
kk
D
ij
3
7
•
kk
•
D
ij
C ⋅ ε + C ⋅ ε = C ⋅ σ + C ⋅ σ
pri čemu se pretpostavlja:
4
7. da je materijal homogen tj. takav kojemu svojstva ne ovise o koordinatama
8. da su deformacije infinitezimalne (u protivnom bi te veze bile složenije)
8
kk
9. da su veze izotropne tj. da su koeficijenti C1 do C8 skalari odnosno konstante za
D
ij
linearne veze ili funkcije invarijanata tenzora kada su veze između naprezanja i
deformacija “kvazilinearne”.
Prva jednadžbi naziva se obujamska (volumetrijska) jednadžba i daje vezu između
42
(5.1)
(5.2)
obujamske deformacije εv i srednjeg normalnog naprezanja σ S kao i njihovim derivacijama po
vremenu. Druga distorzijska jednadžba predstavlja vezu između devijatorskog tenzora
deformacije - distorzije i devijatorskog tenzora naprezanja kao i njihovim derivacijama po
vremenu. Sa svake strane po jedan je član različit od nule samo kod osnovnih materijala.
Osnovni idealni materijalu su: idealno elastičan, idealno plastičan i viskozan materijal.
Karakteristična svojstva osnovnih idealnih materijala prikazuje se elementarnim mehaničkim
modelima za slučaj aksijalnog naprezanja uz definiranje veza između naprezanja i
deformacija. Za prikaz ponašanja materijala sa složenim mehaničkim svojstvima
upotrebljavaju se reološki modeli.
5.1. Materijali idealnih svojstava
5.1.1. Idealno elastičan Hooke-ov materijal
Uz pretpostavku idealne linearne veze između deformacija i naprezanja
(C1 = C3 = C5 = C7 = 0) konstitutivne jednadžbe glase:
C ⋅ ε = C ⋅ σ
(5.3)
2
6
kk
D
ij
4
8
kk
D
ij
C ⋅ ε = C ⋅ σ
(5.4)
Uvodeći obujamski modul kompresije K kao vezu između obujamske deformacije i srednjeg
normalnog naprezanja obujamsku jednadžbu možemo napisati kao:
kk
K σ
1
ε = ⋅
3 ⋅
kk
(5.5)

pri čemu je:
E
K = (5.6)
3 ⋅ ( 1 − 2ν
)
izražen preko modula elastičnosti E i Poissonovog koeficijenta ν.
Za devijatorske komponente modul posmika G je veza između tangencijalnog
naprezanja i kuta klizanja:
pa uz:
τ ij
γ ij =
(5.7)
G
γ ij
ε ij =
(5.8)
2
distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:
D
D ij
ij =
2 ⋅ G
σ
ε . (5.10)
Sređivanjem i razvijanjem dobivamo poznate Lame-ove jednadžbe:
σ
ij
= 2 ⋅ μ ⋅ ε
ij
+ λ ⋅ δ
ij
⋅ ε
U slučaju jednoosnog naprezanja:
kk
;
δ
ij
δ
= 1 za i = j;
ij
( ε + ε
)
11 2 ⋅ μ ⋅ ε 11 + λ ⋅ 11 22 ε 33
= 0 za i ≠ j
43
(5.11)
σ = +
(5.12)
σ 12 = 2 ⋅ μ ⋅ ε 12
(5.13)
U četvrtom poglavlju detaljno su prikazane veze između komponenata tenzora
naprezanja i komponenata tenzora deformacija za elastična tijela.
Slika 5.1

Hooke-ovo tijelo simbolički se u reološkim modelima prikazuje u formi elastičnog
pera (slika 5.1). U reološkim modelima koji radi jednostavnosti prikazuju samo deformaciju
linearnog elementa (npr. vlačnog štapa), može se odnos deformacije i pripadnog naprezanja
pokazati kao:
σ
ε =
(5.14)
E
Za idealno elastično tijelo pretpostavlja se da deformacija nastupa trenutno i to u
konačnom iznosu, pa između komponenata tenzora brzine deformacija i brzine prirasta
naprezanja postoje iste veze kao i za odgovarajuća statička stanja. Ponašanje materijala
može se prikazati u obliku dijagrama (slika 5.2) koji povezuju deformaciju odnosno
naprezanje s vremenom. Na slici a) prikazana je ovisnost deformacije i naprezanja (sile) za
stalno opterećenje u trajanju t1, a za rastuće i padajuće naprezanje na slici b). Pri ovakvim
se prikazima uvijek pretpostavlja da naprezanja rastu dovoljno sporo da ne izazovu
oscilacije.
Slika 5.2
5.1.2. Savršeno plastičan materijal – Saint Venant-ov materijal
Saint Venant je predložio model idealno kruto-plastičnog materijala koji ima svojstva da
ne pokazuje nikakve deformacije ε dok naprezanje σ ne dosegne izvjesnu kritičnu
vrijednost:
σ 〈 σ Y ε = 0
(5.15)
44

Nakon što je dosegnuto kritično naprezanje σy:
σ = σ
ε ≠ 0
(5.16)
Y
materijal se plastično deformira.
Slika 5.3 Slika 5.4
Veličina deformacije (slika 5.3) pri tome nije određena nikakvim odnosom s
intenzitetom naprezanja ili sa vremenom, nego ovisi o proizvedenoj deformaciji ili
deformacijama susjednih elemenata. Na slici 5.4 predstavljen je fizički model tijela savršeno
plastičnih svojstava, a sastoji se od dviju ploča koje su međusobno pritegnute i među kojima
postoji Coulomb-ovo (suho) trenje:
R = f ⋅ R
(5.17)
T
N
Sila trenja popušta kada sila F= σ ∙ A pređe graničnu silu trenja.
5.1.3. Viskozan fluid
Da bi definirali Newtonov materijal treba u osnovne konstitutivne jednadžbe uvrstiti
C2 = C4 = C6 = C7 = 0. Za obujamsku jednadžbu to znači da pri izvjesnoj brzini prirasta
sferne komponente tenzora naprezanja postoji odgovarajuća brzina deformacija. Nakon što
prestane prirast naprezanja zaustavlja se i sferni dio deformacije pa jednadžba (5.1) glasi:
C
1
•
⋅ ε = C ⋅ σ
kk
3
•
odnosno izražena preko modula kompresije K:
kk
45
(5.18)
• 1 •
ε kk = ⋅ σ kk . (5.18)
3 ⋅ K

Ova jednadžba odnosi se na elastičnu promjenu obujma fluida pod utjecajem
hidrostatičkog pritiska. Ova veza kod plinova zamjenjuje se jednadžbom stanja, jer su
promjene uslijed temperature značajnije.
Distorzijska konstitutivna jednadžba glasi:
D
5 ⋅ ij
•
C ε = C ⋅ σ
8
D
ij
Supstitucijom poznate relacije između brzine prirasta deformacija v i,
j i devijatorske
komponente tenzora naprezanja D
σ ij za tekućine u jednadžbu (5.19):
dobiva se:
j
46
(5.19)
D ∂ vi
σ ij = μ
(5.20 )
∂ x
•
D 1
ε ij = ⋅ σ
2 ⋅ μ
D
ij
(5.21)
pri čemu je μ Newtonov koeficijent viskoznosti. Utjecaj sferne deformacije je vrlo malen jer
1
se tekućine smatraju nestišljivim (K = ∞). Uvodeći srednji normalni pritisak − p = σ ii , uz
3
•
• D
ε kk = 0 tj. D
ε ij = ε u izraz za tenzor naprezanja
σ
ij
pri čemu je:
δ
ij
S
ij
D
ij
D
ij
= σ + σ = δ ⋅ p + σ = - δ ⋅ p + 2 ⋅ μ ⋅ ε
⎡ 1
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
1⎥⎦
ij
Ako se u diferencijalnu jednadžbu ravnoteže:
ij
•
D
ij
(5.22)
(5.23)
σ + ρ ⋅ = 0
(5.24)
ij , j
f i
uvrste inercijske sile, te izrazi za ubrzanje i brzinu deformacije:
f
i
=
f
0
i
+
a
i
=
f
0
i
d vi
+
d t
dobiju se Navier-Stokes-ove jednadžbe gibanja viskoznog fluida:
∂
∂
v
t
i
0 1 μ
+ v i,
j • v j = f i − p,
i + ( vi,
jj + v
ρ ρ
j,
ij
)
(5.25)
(5.26)

Slika 5.5
Mehanički reološki model Newtonovog materijala prikazuje se hidrauličkim
odbojnikom (slika 5.5), probušenim klipom koji se pomiče unutar cilindra ispunjenog
tekućinom. Takav cilindar, kakav je približno amortizer automobila, ponaša se kao viskozno
tijelo pa za linearan slučaj imamo da je:
odnosno
∂ ε
∂ t
=
σ
μ
47
(5.27)
σ
ε = ⋅ t
(5.28)
μ
Idealno viskozno tijelo povećava deformaciju tijekom vremena tako dugo dok traje
opterećenje (slika 5.6). Nakon rasterećenja ostaje trajna, nepovratna deformacija.
Slika 5.6

5.2. Reološki modeli s dva elementa
U reologiji treba obuhvatiti materijale sa poznatim mehaničkim-reološkim svojstvima, ma
kakvi bili odnosi naprezanja, deformacija i vremena. Očigledno da se ponašanje materijala
pod naprezanjima ne može opisati samo sa ova tri osnovna modela. Složeni reološki
modeli su tako zamišljeni da mogu pružiti kvalitativnu sliku o ponašanju različitih
materijala pod opterećenjem. Radi boljeg opisivanja mehaničkih karakteristika pojedinih
materijala međusobno povezujemo dva, tri pa i više osnovnih modela “H”, St. V” i “N”.
Uključivanje više elemenata koji ulaze u model ponašanja nekog materijala dovodi do
potrebe određivanja većeg broja konstanata koje opisuju djelovanje svakog elementa u
sklopu, a time se gubi pouzdanost konačnih rezultata npr. kod numeričkih metoda
proračuna a pogotovo iznalaženja analitičkih rješenja. Postoje dva načina na koja se mogu
međusobno povezati dva osnovna modela i to su:
2. paralelno jedan kraj drugoga i
3. u seriju jedan za drugim.
U analizi ovih modela polazi se od činjenice da su kod paralelnog spajanja produženja svuda
jednaka, dok je ukupno naprezanje jednako zbroju komponentnih naprezanja. Kod serijskog
su spajanja naprezanje u svim dijelovima jednaka, dok je produženje jednako zbroju
pojedinačnih.
5.2.1. Viskoelastičan Kelvin-Voigtov materijal
Kelvin i Voigt pretpostavljaju materijal koji polagano dosiže konačnu deformaciju,
zadržava ju duže vrijeme bez daljnjeg primjetnog povećanja, a prilikom rasterećenja ta
deformacija se polagano gubi i tijelo se vraća u prvobitni oblik. Takovo ponašanje
materijala može se objasniti istovremenim djelovanjem elastične i viskozne komponente.
U trenutku nanošenja opterećenja cijelo opterećenje preuzima samo viskozni element. U
svakom trenutku deformacija oba elementa je ista:
ε = ε
(5.29)
H
N
Popuštanjem viskoznog elementa se sve više angažira elastični element, tako dugo dok
na kraju cijelo opterećenje ne preuzme elastični element u modelu. Na slici 5.7 prikazane su
dvije moguće kombinacije paralelnog spajanja osnovnih modela (Hooke-ovog i Newton-
ovog) koji se simbolički označava kao:
K = H || N
48

Slika 5.7
Za ovaj se model može ponašanje prikazati konstitutivnim jednadžbama s time da se u
obujamskoj jednadžbi zanemaruje isčezavajuća viskozna promjena obujma, pa je dakle C1
= C3 = 0. U drugoj distorzijskoj jednadžbi otpada promjena naprezanja, pa je samo C7 = 0,
te imamo:
C ⋅ ε = C ⋅ σ
(5.30)
2
kk
D
5 ⋅ ij
•
4
6
kk
D
ij
C ε + C ⋅ ε = C ⋅ σ
8
D
ij
Opće rješenje iz kojega se mogu poslije izvesti i rješenja za neke probleme raspodjele
deformacija i naprezanja u viskoelastičnom kontinuumu glasi:
1
ε ⋅
3 ⋅ K
μ
G
49
(5.31)
kk = σ kk
(5.32)
D
⋅ ε ij
•
+ ε
D
ij
=
1
⋅ σ
2 ⋅ G
D
ij
Svedeno na linearni slučaj – aksijalno opterećen štap jednadžba (5.32) nema utjecaj, dok
druga daje:
σ = E ⋅ ε + μ ⋅ ε ; ε =
•
•
dε
dt
(5.33)
(5.34)

Slika 5.8
Pretpostavimo slučaj da puno opterećenje djeluje trenutno u cijelom iznosu i zadržava
se kroz vrijeme t1. Iz općeg se rješenja (5.34) za linearni slučaj dobiva:
• E σ
ε + ⋅ ε =
μ μ
Rješenje u eksponencijalnom obliku:
0
50
(5.35)
⎛ E
σ
− × t ⎞
0
= ⋅
⎜
μ
ε ( t ) 1 − e
⎟
E ⎜
⎟
(5.36)
⎝
⎠
kao rezultat daje asimptotsko približavanje deformacije konačnoj deformaciji koja je jednaka
σ 0
čistoj elastičnoj deformaciji
E
dolazi do postepenog nestajanja deformacije:
ε
=
ε
t
1
⋅ e
σ 0
− •
μ
( t − t )
1
(slika 5.8). Ako se u trenutku t = t1 prekine opterećivanje,
t 〉 t
5.2.2. Viskoelastičan Maxwell-ov fluid
1
(5.37)
Na slici 5.9 je prikazan Maxwell-ov model koji se sastoji od Hooke-ovog i Newton-
ovog tijela povezanih u seriju i simbolički označenog:
M = N – H

Slika 5.9
Maxwell je opisao i dao rješenja za materijal koji ima ograničena elastična svojstva a
kojemu deformacije mogu rasti bez ograničenja, budući da ima karakteristike fluida. U
obujamskoj konstitutivnoj jednadžbi se isto kao i u prethodnom slučaju konstatira da se
obujamska deformacija ostvaruje praktički trenutno, dakle neovisno o brzini prirasta
naprezanja. U distorzijskoj jednadžbi treba prikazati da se materijal ponaša kao fluid, što
znači da sam tenzor brzine deformacija ovisi o devijatorskom dijelu tenzora naprezanja i o
tenzoru brzina prirasta naprezanja. Ovo dovodi do konstitutivnih jednadžbi oblika:
C ⋅ ε = C ⋅ σ
(5.38)
2
5
kk
•
D
ij
4
7
kk
•
D
ij
C ⋅ ε = C ⋅ σ + C ⋅ σ
i njihovog rješenja:
1
ε ⋅
3 ⋅ K
8
D
ij
51
(5.39)
kk = σ kk
(5.5)
•
D 1 •
D 1
ε ij = ⋅ σ ij + ⋅ σ
2 ⋅ G 2 ⋅ μ
D
ij
Za linearni element – štap može se napisati:
(5.40)
σ 0 1
ε = + ⋅ σ 0 ⋅ t
(5.41)
E μ
Pri tome se zanemaruje prirast naprezanja •
σ
(kod promatranja statičkih modela
pretpostavlja se da se opterećenje nanosi dovoljno polagano da ne izaziva oscilacije). Na slici
5.10 prikazan je vremenski tijek deformacija Maxwell-ovog tijela, uz pretpostavku da se
cijelo opterećenje nanosi odjednom. Elastična deformacija nastaje odmah, a nakon toga se
tijelo deformira tako dugo dok traje opterećenje. Nakon rasterećenja vraća se samo elastični
dio deformacije, dok viskozni ostaje kao trajna deformacija.

Slika 5.10
Maxwell-ovo tijelo pokazuje karakteristično ponašanje prilikom nanašanje određene
deformacije ε0 i zadržavanja te deformacije konstantnom (slika 5.11). Iz jednadžbe (5.41) za
t = 0 početno naprezanje je σ0 = ε0 ∙E. Zbog viskoznih svojstava tijela dolazi do postepenog
rasterećivanja tj. relaksacije. Ako se u vezu deformacije i naprezanja, jednadžbu (5.41) uvrsti
ε = ε0 = konstantno dobivamo:
ε
0
= σ ⋅
⎛
⎜
⎝
1
E
1 ⎞
+ ⋅ t ⎟
μ ⎠
→
σ ( t ) = ε
Nakon vremena t1 preostalo naprezanje iznosi:
σ
t
=
ε
0
μ
μ
+
E
t1
0
μ
μ
+ t
E
dok nakon duljeg vremena (t→∞) naprezanje u tijelu potpuno isčezava. Ovo vrijedi u
potpunosti za ponašanje metala prilikom žarenja, a djelomično za beton u području malih
deformacija.
52
(5.42)
(5.43)

5.2.3. Elastoplastičan materijal
Slika 5.11
Serijskim spajanje elastičnog Hooke-ovog i idealno plastičnog Saint Venant-ovog
tijela (slika 5.12) dobiva se tijelo svojstava kako su ga definirali Prandtl i Reuss. Simbolička
oznaka takvog modela je:
R = H – St. V
Slika 5.12
Za linearan odnos deformacija i naprezanja tijelo zadržava oba svojstva. Ako je
naprezanje manje od kritičnog deformacije ostaju u granicama Hooke-ovog zakona
1
σ 〈 σ Y ε = ⋅ σ
(5.44)
E
Ako je naprezanje jednako kritičnom σY onda se deformacija povećava, i ne ovisi o
intenzitetu naprezanja nego o deformaciji susjednih elemenata. Odnosi naprezanja i
deformacija tijekom vremena za slučajeve σ < σY i σ = σY pokazani su na slici 5.13.
Naprezanje veće od kritičnog σ > σY nije moguće.
53

5.3. Složeni reološki modeli više elemenata
Slika 5.13
U daljnjem tekstu bit će prikazano nekoliko složenih reoloških modela i razmatrat će se
linearni odnos deformacija i naprezanja.
5.3.1. Bingham-ov model
Kod Bingham-ovog modela (slika 5.14) paralelno spojeni St. Venant-ov i Newton-ov
model, serijski su spojeni s Hooke-ovim modelom. Shematski se može označiti:
B = H – (St.V || N).
Slika 5.14
54

Slika 5.15
Karakterističan dijagram deformacija i naprezanja u ovisnosti o vremenu prikazan je na
slici 5.15. Ponašanje mu se može opisati u dva područja:
σ
) σ 〈 σ
ε =
(5.45)
E
a Y
b )
σ Y σ
σ = σ Y ε = + ⋅ t
(5.46)
E μ
U pogledu ponašanja podsjeća na elastoplastičan materijal, ali je trajna deformacija
vezana uz vremensko trajanje opterećenja.
5.3.2. Lethersich-ov model
Elastični “sol” predstavlja materijal u kojem se naprezanja preko viskozne komponente
prenose na čvrstu komponentu. Simbolički označen model prikazan na slici 5.16
L = N – ( H || N )
predstavlja serijski spoj Newton-ovog i Kelvinov-og modela (u dijelu literature se naziva
Schofield-ov model ili model Scott Blair-a). Tijek deformacije za stalno opterećenje σ0 u
trajanju t1 prikazan je na slici 5.17. Ukupna deformacija ε jednaka je zbroju Newton-ove i
Kelvinov-e deformacije:
55

⎛ E
− •t
σ σ
⎞
= ⋅ + ⋅
⎜
μ 2
ε t 1 − e
⎟
⎜
⎟
(5.47)
μ 1 E
⎝
⎠
Slika 5.16
Slika 5.17
Kao i kod drugih modela u kojima prevladava viskozna komponenta i ovdje se
prilikom nanašenja određene deformacije te uz njezino zadržavanje ε = ε0 = konst. (slika
5.18), naprezanje pomalo gubi da bi se za t = ∞ asimptotski približavalo nuli prema izrazu:
56

σ
=
0
E
− •t
t μ
μ
1
+
1
⎛
⋅
⎜
1 − e
E ⎜
⎝
5.3.3. Schwedoff-ov model
ε
2
⎞
⎟
⎟
⎠
Slika 5.18
57
(5.48)
Po svojstvima ovaj model predstavlja tzv. plastičan gel. Pod gelovima se smatraju
materijali u kojima prevladava čvrsta faza. Simbolički se može prikazati kao paralelan spoj
Saint Venant-ovog i Maxwell-ovog modela, serijski spojen s Hooke-ovim modelom:
S = H – [ St.V || ( H-N )]
Slika 5.19
Ispod kritičnog naprezanja (σ < σY) materijal se ponaša elastično, odnos deformacija i
naprezanja je linearan (slika 5.19) dok pri kritičnom naprezanju σ = σY počinje viskozna

deformacija. Nakon rasterećenja povratni je samo elastični dio deformacije dok viskozna
ostaje kao trajna deformacija (slika 5.20).
5.3.4. Burgerov model
Slika 5.20
To je kombinacija Maxwell-ovog i Kelvin-ovog modela serijski spojenih:
B = M – K = ( H1 – N1 ) - ( H2 || N2 )
Slika 5.21
58

Ukupna deformacija jednaka je zbroju:
odnosno
ε = ε + ε
(5.49)
M
K
⎛ E2
− •t
σ σ σ
⎞
= + ⋅ + ⋅
⎜
μ 2
ε t 1 − e
⎟
⎜
⎟
(5.50)
E1
μ 1 E2
⎝
⎠
pri čemu se E1 i μ1 odnose na Maxwell-ov, a E2 i μ2 na Kelvin-ov dio modela (slika 5.21).
Tijek deformacija pri konstantnom naprezanju σ0 zadržanom kroz vrijeme t1 prikazan
je na slici 5.22.
Slika 5.22
Ako se pak deformacija zadržava konstantnom ε0 = konst. kroz vrijeme t1 dolazi do
relaksacije tj. postepenog gubljenja naprezanja kao što je prikazano na slici 5.23.
59

Slika 5.23
Reološki modeli za prostorno stanje naprezanja su vrlo složeni, naročito ako veze
deformacija i naprezanja nisu linearne. Postoje međutim i neki jednostavniji modeli za
prostorno naprezanje kao npr. model Anagnostija koji predlaže vezu sfernih dijelova tenzora
naprezanja i deformacija pomoću Kelvin-ovog modela (K = H || N) (slika 5.7), a devijatorskih
Maxwell-ovim modelom (M = N – H) (slika 5.9).
60

6. KONSTITUTIVNI MODELI KONTINUUMA
Mehanika kontinuuma tlo idealizira različitim matematičkim modelima kojima se nastoji
jednostavno i sveobuhvatno opisati ponašanje tla.
Propisane veze zavise o fizikalnim svojstvima tla, a ova ne samo o unutrašnjoj strukturi nego i o
vanjskim utjecajima. Tako se definiraju idealni materijali koji pod određenim uvjetima manje ili
više odražavaju stvarno ponašanje realnih materijala. Osnovna reološka svojstva materijala s
kojima se susrećemo u prirodi su: elastičnost, plastičnost i viskoznost (sl. 6.1).
Slika 6.1 Osnovni jednoosni reološki modeli
Razvijene su različite teorije koje u mehanici kontinuuma pomoću konstitutivnih jednadžbi
opisuju ponašanje pojedinih vrsta materijala ovisno o dominantnom svojstvu. Na osnovu
podudarnosti pojedinih svojstava razlikujemo: elastične, elastoplastične, viskoelastične,
viskoplastične, elastoviskoplastične materijale. Razlike u ponašanju materijala ogledaju se u
ciklusu opterećenje-rasterećenje-ponovno opterećenje. Dok je kod elastičnih materijala veza
naprezanja i deformacija jednoznačna (sl. 6.2a) kod elastoplastičnih materijala naprezanja ne
ovise samo o veličini deformacija nego i o čitavom procesu deformiranja (sl. 6.2b).
Matematički modeli opisani teorijom elastičnosti primjenjivani su prvotno i u idealizaciji tla.
Kasnije su razrađeni modeli koji na osnovu teorije plastičnosti sveobuhvatnije opisuju ponašanje
tla.
61

Slika 6.2 Dijagrami deformiranja idealiziranih materijala u ciklusu:
opterećenje-rasterećenje-opterećenje
Konstitutivne jednadžbe izražavaju ovisnost naprezanja o deformacijama, kao i o brzini prirasta
deformacija.
6.1. OSNOVNE PRETPOSTAVKE ELASTIČNOG MODELA
Konstitutivna jednadžba elastičnog anizotropnog kontinuuma, kod kojeg svaka od komponenata
naprezanja σ ij tenzora σ ij ovisi o svakoj komponenti deformacija ε kl tenzora ε kl i obratno,
može se izraziti
odnosno
gdje su ijkl D - tenzor elastičnosti , i ijkl C - tenzor podatljivosti, oba tenzori četvrtog reda. Za
elastičan izotropan kontinuum veza polja naprezanja i deformacija definira se pomoću Lameovih
koeficijenata λ i μ
odnosno recipročno
pri čemu je:
e
ij ijkl
kl
62
σ = D ⋅ ε
(6.1)
ε = ij Cijkl
⋅ σ kl
(6.2)
σ ij = λ ε kk δ ij +2μ
ε ij
(6.3)
[ ( 1 + ν ) ⋅ σ − ν ⋅ σ δ ]
1
ε ij = ij kk ⋅
(6.4)
ij
E

ε kk = e = ∑ ε ii - prva invarijanta deformacija
σ kk = I 1σ = ∑ σ ii - prva invarijanta naprezanja
a Croneckerov simbol δ ij tenzor za koji vrijedi:
i = j δ = 1
i ≠ j δ =0
(6.5)
Komponente tenzora elastičnosti ijkl D za izotropan kontinuum su modul elastičnosti E i
Poissonov koeficijent ν . Između E, ν , G modula posmika i K modula volumenske deformacije,
koji se u inženjerskoj praksi koriste kao fizikalne konstante kojima se opisuje elastično ponašanje
materijala i Lameovih koeficijenata postoje veze, tako da se svaki od koeficijenata dade izraziti
pomoću ostalih
Kod rješavanja problema elastičnog kontinuuma 2 μ +3λ
uz pretpostavljenu λ ⋅ E
E = μ
λ =
konstitutivnu vezu potrebno
je istovremeno zadovoljiti uvjetne jednadžbe: μ + λ (1+ ν ) ⋅ (1- 2 ν )
(i) uvjete ravnoteže
λ
E
(ii) uvjete neprekinutosti ν = μ
μ = = G
2 ⋅ ( μ + λ ) 2 ⋅ (1+ ν )
(iii) uvjete na konturi i druge.
E
K =
(6.6)
(i) Osnovne jednadžbe koje opisuju 3 ⋅ravnotežu (1 - 2 ν ) za bilo koju točku kontinuuma, izvedene na
paralelopipedu diferencijalnih veličina d x 1 , d x 2 i d x 3 , čije su stranice paralelne s
koordinatnim osima, mogu se napisati u obliku
što predstavlja sustav Navier - Cauchyevih diferencijalnih jednadžbi pri čemu σ ij označava
normalne i posmične komponente tenzora naprezanja σ ij , a Zi zapreminske sile u smjeru
x 1, x 2 i x3
. U tekstu je upotrebljena Einsteinova notacija pomoću indeksa, a indeks iza zareza
uz osnovnu oznaku predstavlja derivaciju po koordinatama.
(ii) St. Venantove jednadžbe kompatibilnosti deformacija
σ ij, j +Z i =0 i, j =1,2,3
(6.7)
ε ij,kl + ε kl,ij + ε ik, jl + ε jl,ik = 0 i, j,k,l = 1,2,3
(6.8)
povezuju normalne i posmične komponente tenzora deformacija ε ij u tri ravnine.
(iii) Ovisno o načinu na koji su zadani uvjeti Φ na plohi Γ , koja predstavlja konturu
elastičnog kontinuuma Ω , razlikujemo:
- fundamentalni problem I vrste, ako su na konturi zadana naprezanja
- fundamentalan problem II vrste, ako su na konturi zadani pomaci.
Rubni uvjeti (sl. 6.3) mogu biti zadani vrijednostima same funkcije Φ (Dirichletov rubni uvjet)
na dijelu granične plohe Γ Φ prostora Ω
63

ili derivacijom funkcije Φ , n (Neumannov rubni uvjet) na dijelu granične plohe Γ q
Očito je da za konturu Γ elastičnog kontinuuma Ω vrijedi
Φ = Φ (x i ) za xi
∈ Γ Φ
(6.9)
Φ , = Φ , ( x ) za x ∈ Γ
(6.10)
n n i i q
te da je Φ ( x i ) zadani pomak, a Φ , n( x i ) zadano naprezanje na konturi Γ .
Slika 6.3 Rubni uvjeti kontinuuma
Ovisno o načinu na koji su zadani rubni uvjeti, u rješavanju problema elastičnosti, uzimaju se
kao osnovne nepoznate veličine ili naprezanja ili pomaci.
- Ako su na konturi Γ poznate komponente naprezanja, supstitucijom konstitutivnih
jednadžbi u jednadžbe neprekinutosti i uz derivirane jednadžbe ravnoteže dobivamo
Beltrami - Michellove jednadžbe:
σ
+ 1
1+ ν σ
ij, kk kk,ij i, j j,i k, k
Za prostorne probleme treba postaviti šest uvjeta. Zadatak se pojednostavljuje uvođenjem
funkcije naprezanja
64
Γ = Γ Φ ∪ Γ q
(6.11)
ν
+( Z + Z )+ Z = 0 i, j, k = 1,2,3
1- ν
(6.12)

kao osnovne nepoznate funkcije. G. B. Airy prvi je uveo funkciju naprezanja Φ kod
rješavanja ravninskih problema. Komponente naprezanja izražene su kao derivacije
funkcije naprezanja
pa su uvjeti ravnoteže a priori zadovoljeni. Za prostorne probleme mogu se komponente
tenzora naprezanja izraziti pomoću dvije funkcije naprezanja, dok je za ravninsko stanje
naprezanja ili deformacija dovoljna samo jedna. Ispunjavanje uvjeta neprekinutosti
deformacija s tako određenim komponentama naprezanja dovodi nas do Maxwell-ove
parcijalne diferencijalne jednadžbe
pri čemu je
2
dvostruka primjena Laplaceovog diferencijalnog operatora Δ .
U slučaju zadanih pomaka, rješavanje se svodi na određivanje funkcije pomaka
koja zadovoljava uvjete na konturi Γ .
Supstitucijom konstitutivnih jednadžbi u jednadžbe ravnoteže dobivamo Lameove
jednadžbe
Funkcija pomaka mora zadovoljiti diferencijalnu jednadžbu na promatranom području Ω i mora
biti kontinuirana funkcija koordinata kako bi i jednadžbe neprekinutosti bile zadovoljene.
6.1.1. Elastični modeli tla
Φ = Φ (x 1 ,x 2 ,x 3 )
(6.13)
σ ii = Φ , jj
(6.14)
σ ij = - Φ , ij + Zi ⋅ x j + Z j ⋅ x i i, j = 1,2,3
(6.15)
Za anizotropna tla Duncan i Dunlop [1970] predlažu promjenu modula elastičnosti ovisno o kutu
β što ga pravac najvećeg glavnog naprezanja zatvara s horizontalom u slijedećem obliku:
E h i Ev
su moduli elastičnosti u horizontalnom i vertikalnom smjeru.
65
4
Δ Φ =0
(6.16)
= , ,
4 2
Δ ∂ ii ⋅ ∂
2
ii
Φ Φ ( u , u , u )
(6.17)
= 1 2 3
μ ⋅ μ +( λ + μ )e i, jj , i +Z i =0 i, j = 1,2,3 (6.18)
2
E = Eh -( Eh - E v ) ⋅ sin β (6.19)

Linearno elastično modeliranje materijala u mnogim inženjerskim problemima nije odgovarajuće
za opis stvarnog ponašanja materijala, koje je u osnovi nelinearno. Postoje dvije vrste
nelinearnosti: materijalna i geometrijska. Materijalna ili fizička nelinearnost proizlazi iz
nelinearnosti veze između naprezanja i deformacija, dok geometrijska nelinearnost obuhvaća
nelinearne veze između deformacija i pomaka kao i konačne promjene u geometriji
deformiranog kontinuuma.
R. L. Kondner [1963] predložio je nelinearan konstitutivan model tla (sl. 6.4) predstavljen
jednadžbom hiperbole:
ε 1
σ 1 - σ 3 =
a+b ε
pri čemu je:
σ 1 - veće glavno naprezanje kod triaksijalnog ispitivanja
σ 3 - manje glavno naprezanje, bočni pritisak kod triaksijalnog ispitivanja
ε 1 - uzdužna deformacija
a i b - konstante materijala čije se vrijednosti mogu odrediti eksperimentalno.
Slika 6.4 Konderov hiperbolični model tla
Konstanta a prema slici 6.4 predstavlja recipročnu vrijednost inicijalnog modula E i , a b
recipročnu vrijednost razlike naprezanja ( σ 1 - σ 3 ) za beskonačnu deformaciju.
Kako se vidi konstanta b može se izraziti iz eksperimentalne krivulje pomoću koeficijenta loma
Rf i razlike naprezanja pri slomu odnosno čvrstoće na pritisak ( σ 1 - σ 3 ) f . Ovisno o vrsti tla
koeficijent Rf poprima vrijednost od 0,5 do 1,0.
Veza između inicijalnog modula E i i bočnih pritisaka σ 3 može se prema N. Janbu [1963]
izraziti:
1
66
(6.20)

⎛ σ 3 ⎞
E i = K ⋅ pa
⎜ ⎟
⎝ p ⎠
gdje je:
pa - atmosferski pritisak
K - koeficijent modula primarnog opterećenja
n - eksponent modula
Od posebnog značaja je određivanje vrijednosti tangentnog modula elastičnosti:
E
t
=
∂
( σ − σ )
Usvajanjem Mohr-Coulombovog uvjeta loma (vidi 6.2.4.) dobiva se:
E
f
Ponašanje modela u slučaju rasterećenja i ponovnog opterećenja određeno je jedinstvenim
modulom E ur prema izrazu:
gdje je K ur koeficijent modula rasterećenja i ponovnog opterećenja i uvijek je veći od K .
Postoji nekoliko varijanti hiperboličnog modela tla. Na osnovu laboratorijskih triaksijalnih
ispitivanja kojima se određuju svojstva, vrši se izbor modela koji uključuju:
(i) promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost Poissonovog
koeficijenta
(ii) promjenljive vrijednosti i modula elastičnosti i Poissonovog koeficijenta
(iii) promjenljivu vrijednost modula elastičnosti uz konstantnu vrijednost modula volumenske
deformacije.
6.2. OSNOVNE POSTAVKE ELASTOPLASTIČNOG MODELA
1
∂ ε
1
3
=
⎡
⎢
⎢⎣
1
E
( 1 − sinφ
)( σ − σ )
⎡ R f
= ⎢ 1 −
⎣ 2c
cosφ
+ 2σ
E
ur
= K
ur
⋅
3
i
1
+
a
sinφ
n
( σ − σ )
3
1
1
E
i
R
⎤
⎥
⎦
⎛ ⎞
⎜ σ 3
p ⎟
a ⎜ ⎟
⎝ pa
⎠
2
n
f
3
K ⋅
f
p
⎤
ε 1 ⎥
⎥⎦
a
2
⎛ σ
⋅
⎜
⎝ p
3
a
⎞
⎟
⎠
n
67
(6.21)
(6.22)
(6.23)
(6.24)

Elastično ponašanje materijala može se pretpostaviti samo za djelovanje do nekog određenog
ograničenog opterećenja, iznad kojeg nastaju trajne odnosno plastične deformacije.
Prvi teoretski radovi o plastičnom ponašanju materijala vezani su za radove Coulomba, Rankina
i Trescae. Eksperimentalnim radovima pridružili su se Saint Venant, von Mises, Hencky,
Prandlt, Nadai i drugi što je rezultiralo formuliranjem klasične teorije plastičnosti tridesetih
godina ovog stoljeća, objavljene u knjizi R. Hilla [1950].
Po njoj osnovna veza između naprezanja i deformacije predstavlja nepovratan proces
deformiranja koji je vremenski neovisan i koji nastupa nakon što je dostignut određen nivo
naprezanja.
Ukupna deformacija na granici popuštanja može se prikazati zbrojem elastične i plastične
komponente
Analogno elastičnoj konstitutivnoj jednadžbi (6.1)
može se napisati konstitutivna jednadžba elastoplastičnosti
i plastičnosti u slijedećem obliku:
p
pri čemu se tenzorom plastičnosti Dijkl
opisuje inkrement plastične deformacije.
Osnovni teoretski izrazi kojima se modelira plastično ponašanje materijala su:
- kriterij plastičnosti
- pravilo tečenja
- pravilo očvršćavanja
p
Tenzor plastičnosti D ijkl ovisi o kriteriju plastičnosti i pravilima plastičnog popuštanja.
6.2.1. Kriterij plastičnosti
Plastično ponašanje materijala može se opisati skalarnom funkcijom plastičnosti
ε
ep
ij
68
e p = ε + ε
(6.25)
ij
ij
e − 1
[ ijkl ] kl
ε ij = D ⋅ σ
ep
ep − 1
[ ijkl ] kl
ε ij = D ⋅ σ
p
p − 1
[ ijkl ] kl
ε ij = D ⋅ σ
p
ijkl
ep
ijkl
e
ijkl
(6.26)
(6.27)
(6.28)
D = D - D (6.29)

F( , ,k) = f( , )-Y(k)
ij ij ij ij
σ ε σ ε (6.30)
pri čemu uvjet plastičnosti f ovisi o tenzorskim komponentama naprezanja i deformacija, a
naprezanje tečenja Y o parametru očvršćavanja (omekšavanja) k, koji uključuje prethodna stanja
naprezanja i deformacija.
Slika 6.5 Ploha popuštanja u prostoru glavnih naprezanja
Za elastično stanje funkcija plastičnosti F( σ ij , ε ij ,k) manja je od nule. Uvjet plastičnosti (sl. 6.5)
kojim se definira granica između elastičnog i plastičnog ponašanja materijala odnosno ono
naprezanje iznad kojeg nastupaju plastične deformacije glasi:
f( σ ij , ε ij )-Y(k) = 0
(6.31)
Za izotropan idealno plastičan materijal, kriterij plastičnosti koji ovisi samo o komponentama
naprezanja može se prikazati u obliku:
pri čemu su σ 1 , σ 2 i σ 3 glavna naprezanja. Površina popuštanja f definirana jednadžbom (6.32) u
koordinatnom sustavu 0σ 1σ 2 σ 3 predstavlja simetrično tijelo obzirom na pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 ,
jer je eksperimentalno dokazano da popuštanje izotropnih materijala ne ovisi o hidrostatskom
pritisku odnosno rastezanju.
U devijatorskoj ravnini koja je okomita na pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 i prolazi ishodištem, leži
krivulja tečenja - presječnica površine popuštanja i devijatorske ravnine. Dvije moguće krivulje u
devijatorskoj ravnini 0 s1s 2 s3
su šesterokut odnosno kružnica. Osi s 1 ,s 2 ,s 3 su projekcije glavnih
69
f( , , )=0
1 2 3
σ σ σ (6.32)

naprezanja σ 1 , σ 2 , σ 3 na devijatorsku ravninu i predstavljaju glavne vrijednosti devijatorskog
dijela tenzora naprezanja ij s .
6.2.2. Pravilo tečenja
Slika 6.6 Prikaz principa ortogonalnosti kod pravila tečenja
Pravila tečenja opisuju vezu između inkrementalnih prirasta naprezanja i inkrementalnih prirasta
plastičnih deformacija. Plastična deformacija proporcionalna je gradijentu naprezanja plastičnog
potencijala Q prema izrazu:
70

pri čemu je koeficijent plastičnosti dλ uvijek pozitivan. Ukoliko je inkrement plastične
deformacije u smjeru vanjske normale (princip ortogonalnosti) radi se o pridruženom pravilu
tečenja Q ≡ F (sl 6.6).
Podudarnost plohe popuštanja i plastičnog potencijala vrijedi za tzv. stabilne materijale za koje je
prema Druckerovom postulatu ploha tečenja konveksna i vektor prirasta plastičnih deformacije u
regularnoj točki površine tečenja ima smjer vanjske normale čime se osigurava jedinstvenost
rješenja problema rubnih uvjeta.
Nepridruženo pravilo tečenja javlja se u slučaju kada je Q ≠ F čime se opisuju omekšavajuća
ponašanja nestabilnih materijala.
6.2.3. Pravilo očvršćavanja
Pravila očvršćavanja predstavljaju kriterije za nastavak tečenja nakon što je dostignuta granica
popuštanja.
Iz uvjeta plastičnosti
p
d ε = dλ
da točka u prostoru glavnih naprezanja ne može ležati izvan plohe popuštanja proizlazi da s
porastom naprezanja ploha popuštanja mijenja svoj oblik i veličinu. Razlikujemo:
(i) izotropno pravilo očvršćavanja
(ii) kinematičko pravilo očvršćavanja.
(i) Izotropno pravilo očvršćavanja pretpostavlja da se ploha popuštanja širi jednoliko iz
središta prostora naprezanja (sl. 6.7a). Postoje dva osnovna načina povezivanja kritičnog
naprezanja Y(k) s razvojem plastičnih deformacija:
a) radno očvršćavanje kod kojeg je parametar očvršćivanja k jednak ukupnom plastičnom
radu
b) deformaciono očvršćavanje kod kojeg kritično naprezanje Y ovisi o efektivnoj plastičnoj
deformaciji.
Istraživanja se provode u smjeru objedinjavanja oba navedena načina.
(ii) Kinematičko pravilo očvrščavanja pretpostavlja translaciju plohe popuštanja uz
zadržavanje prvobitnog oblika (sl. 6.7b). Složenija pravila očvršćavanja pretpostavljaju
mogućnost postojanja kombiniranog očvršćavanja, izotropnog i kinematičkog.
ij
⋅ ∂
∂
Q
σ
ij
71
(6.33)
p
p
F( σ , ε , k) = f( σ , ε ) - Y(k) = 0
(6.34)
ij
ij
ij
ij

6.2.4. Kriterij loma
Slika 6.7 Pravila očvršćavanja
Kriterijem plastičnosti opisuje se posjedovanje mogućnosti plastičnog deformiranja materijala.
Stanje naprezanja u materijalu pri kojem deformacije postaju neograničene predstavlja stanje
loma i opisuje se kriterijima loma.
72

Najčešće primjenjivani kriteriji loma izraženi pomoću glavnih naprezanja σ 1 , σ 2 i σ 3 su:
(i) Von Misesov
(ii) Trescin
(iii) Mohr - Coulombov
(iv) Drucker - Pragerov
6.2.4.1 Von Misesov kriterij loma
Do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada distorzijska energija
dostigne kritičnu vrijednost. U slučaju jednoosnog naprezanja (
vrijednost distorzijske energije bit će jednaka
1 = Y ;
Izjednačavanjem jednadžbi (6.35) i (6.36) dobiva se:
σ σ 2 3
73
σ = σ =0) kritična
Plohu popuštanja predstavlja kružni valjak koji je okomit na devijatorsku ravninu a presjek s
istom daje kružnicu kao krivulju plastičnog tečenja (sl. 6.8).
6.2.4.2 Trescin kriterij loma
2
2
2
[ ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − ) ]
1 + ν
U dist = 1 2 2 3 3 σ 1
(6.35)
6E
2
U dist = Y
1+ ν
σ (6.36)
3E
2
2
2 2
( σ 1 - σ 2 ) +( σ 2 - σ 3 ) +( σ 3 - σ 1 ) = 2σ
Y
(6.37)
Prema ovome kriteriju do plastičnog popuštanja materijala doći će onda kada maksimalno
tangencijalno naprezanje dostigne kritičnu vrijednost (sl. 6.8). Matematički se to može
formulirati kao
{ }
max | σ 1 - σ 2|,| σ 2 - σ 3|,| σ 3 - σ 1| = σ Y
(6.38)
U skladu s konvencijom da je σ 1 > σ 2 > σ 3 ovaj se kriterij može napisati u obliku
σ 1 - σ 3 = σ Y
(6.39)

Slika 6.8 Ploha popuštanja po von Misesu i Tresci
Eksperimentalnim istraživanjima Tresca je dokazao da je u stanju plastičnog popuštanja
materijala maksimalno tangencijalno naprezanje konstantno u svim točkama i jednako granici
popuštanja materijala pri čistom smicanju.
Navedeni kriteriji dobro opisuju ponašanje metala i njihovih legura. Nedostatak spomenutih
kriterija je u pretpostavci da srednje normalno naprezanje σ 2 nema utjecaja na pojavu plastičnih
deformacija u materijalu, što ne vrijedi prvenstveno za stijene i tla.
6.2.4.3 Mohr - Coulombov kriterij loma
Po ovom kriteriju, slično kao u prethodnom, do plastičnog popuštanja materijala dolazi kada
maksimalno posmično naprezanje prekorači kritičnu vrijednost i glasi
pri čemu je:
τ posmično naprezanje
σ n normalno naprezanje
c kohezija
ϕ kut unutrašnjeg trenja
Izraz (6.40) predstavlja tangentu na najveću Mohrovu kružnicu za troosno stanje naprezanja
kako je prikazano na slici 6.9. Uzevši u obzir da je σ 1 > σ 2 > σ 3 može se izraz (6.40) napisati u
obliku:
74
τ σ ϕ
= c + tan
n ⋅ (6.40)

ili nakon sređivanja
σ - σ
2
Slika 6.9 Prikaz Mohr-Coulombovog uvjeta plastičnosti pomoću Mohrove kružnice
Dok je kod Trescinog kriterija maksimalno tangencijalno naprezanje mjerodavno za nastanak
tečenja, konstantno i predstavljeno polumjerom najveće Mohrove kružnice ( σ 1 - σ 3 ) / 2 , dotle se
po Mohrovom kriteriju taj isti polumjer mijenja i funkcija je koordinata središta najveće
Mohrove kružnice.
Uvjet plastičnog tečenja (6.42) predstavlja u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja
0 σ 1σ
2 σ 3 nepravilnu šesterostranu piramidu kojoj je pravac σ 1 = σ 2 = σ 3 os. Presjek ove
piramide ravninom okomitom na hidrostatsku os daje u devijatorskoj ravnini nepravilan
šesterokut (sl. 6.10).
6.2.4.4 Drucker-Pragerov kriterij loma
⎛ σ + σ σ -σ
⎞
⋅ cosϕ = c + ⎜ - ⋅ sin ϕ ⎟ ⋅ tanϕ
(6.41)
⎝ 2 2
⎠
1 3 1 3 1 3
σ + σ σ - σ
-
2 2
1 3 1 3
Drucker-Pragerov kriterij tečenja predstavlja aproksimaciju Mohr-Coulombova kriterija tečenja
odnosno modifikaciju von Misesovog. Utjecaj sfernog tenzora naprezanja na pojavu popuštanja
u materijalu uzet je u obzir uključivanjem dodatnog člana u von Misesov kriterij tečenja i glasi
75
⋅ sin ϕ = c ⋅ cos ϕ
(6.42)
α ⋅ ( σ + σ + σ )+ σ σ σ σ σ σ
′
1
2
2
2
1 2 3 ( 1 - 2 ) +( 2 - 3 ) +( 3 - 1 ) = k
6
(6.43)

Slika 6.10 Ploha popuštanja po Mohr-Coulombu i Drucker-Prageru
Parametri α i k' određuju se pomoću Mohr - Coulombovih parametara čvrstoće c i ϕ . Izraz
(6.43) predstavlja uspravni stožac u koordinatnom sustavu glavnih naprezanja 0σ 1σ 2 σ 3 .
Ukoliko Drucker-Pragerov stožac dodiruje bridove Mohr-Coulombove šesterostrane piramide
izvana, tada parametri α i k' poprimaju slijedeće vrijednosti:
α =
dok u slučaju da stožac dodiruje plašt piramide iznutra parametri α i k' iznose
α =
Kao odgovarajući za opis loma tla koriste se Mohr-Coulombov i Drucker-Pragerov kriterij.
Osim navedenih potrebno je spomenuti Lade-Duncanov i Hoek-Brownov kriterij loma.
6.2.4.5 Lade-Duncanov kriterij loma
2sin
ϕ
;k ′ =
3 ⋅ (3 - sin ϕ )
2sin
ϕ
;k ′ =
3 ⋅ (3 + sin ϕ )
6ccosϕ
3 ⋅ (3 - sin ϕ )
6ccosϕ
3 ⋅ (3 + sin ϕ )
Za nekoherentno tlo Lade-Duncan [1975] definirali su plohu popuštanja jednadžbom:
3
I 1σ
- k ϕ I 3 σ =0
gdje su I1σ i I 3σ
prva i treća invarijanta tenzora naprezanja σ ij .
76
(6.44)
(6.45)
⋅ (6.46)

Konstanta oblika k ϕ funkcija je kuta unutrašnjeg trenja ϕ i određuje oblik plohe popuštanja. U
prostoru glavnih naprezanja površina popuštanja ima oblik stošca, kojemu je os hidrostatički
pravac (sl. 6.11). Presjek stošca ovisi o vrijednosti konstante k ϕ , koja se određuje
eksperimentalno.
6.2.4.6 Hoek-Brownov kriterij loma
Slika 6.11 Ploha popuštanja po Lade-Duncanu
Hoek-Brown [1982] predložili su kriterij loma za stijenski masiv (sl. 6.12) oblika:
σ = σ + m σ σ +s σ (6.47)
1 3 c 3
2
c
pri čemu su:
σ 1 i σ 3 - veće odnosno manje tlačno glavno naprezanje
σ c - jednoaksijalna tlačna čvrstoća stijene
m i s - bezdimenzionalne konstante masiva kojima se definira kompaktnost stijenskog
masiva
Razmatranjem jednoaksijalnog tlačnog odnosno vlačnog naprezanja konstante imaju fizikalno
značenje i mogu se odrediti eksperimentalno. Za jednoaksijalni tlak kada je σ 3 = 0 uz vrijednost
s =1 glavno tlačno naprezanje izjednačava se s jednoaksijalnom tlačnom čvrstoćom stijene
( σ 1 = σ c ) . Iz toga slijedi da je za stijenski masiv bez pukotina s =1 .
Slično se za slučaj jednoaksijalnog vlaka kada je σ 1 = 0 a σ 3 = σ t može odrediti vrijednost
koeficijenta m. Ovisno o raspucalosti stijenskog masiva konstante se kreću u slijedećim
relacijama:
0,05 s 0,90
≤ ≤ (6.48)
5 m 20
≤ ≤ (6.49)
77

Slika 6.12 Hoek-Brownov kriterij loma
Primjena ovog kriterija omogućava uočavanje područja u kojima dolazi do vlačnog loma
odnosno klizanja.
6.2.5. Elastoplastični modeli tla
Cam-clay model zadovoljava navedene kriterije i pravila plastičnosti te se uz izbor
odgovarajućih parametara upotrebljava za opis ponašanja različitih vrsta tla.
Originalni Cam-clay model (sl. 6.13) definira:
(i) Ploha popuštanja izražena jednadžbom:
(ii) Pridruženo pravilo tečenja
(iii) Izotropno pravilo očvršćivanja određeno parametrom p c′
koji ujedno definira plohu
popuštanja
pri čemu je:
q = σ 1 - σ 3 - devijator naprezanja
pc′
q = M ⋅ p′
⋅ ln (6.50)
p′
78
p p p
p′ ⋅ d ε v + q ⋅ d ε = M ⋅ p′ ⋅ d ε (6.51)

+ +
p ′ =
σ σ σ
3
1′ 2′ 3 ′
- efektivno hidrostatsko naprezanje
d v p
ε - inkrement volumenske plastične deformacije
d p
ε - inkrement posmične plastične deformacije
M - konstanta materijala kojom se definira linija kritičnog stanja
Slika 6.13 Ploha popuštanja za originalni Cam-clay model tla
Vrijednost konstante ovisi o kutu unutrašnjeg trenja prema izrazu:
Prirast volumenske plastične deformacije je:
M = 6 sin ϕ ′
3 -sin
ϕ ′
pri čemu je e koeficijent pora, λ volumenski modul stišljivosti, a κ modul povratne
deformacije.
Na osnovu originalnog modela pretpostavljen je čitav niz sličnih. Osnovna razlika između
originalnog Cam-clay modela i modificiranog modela (sl. 6.14) je u obliku plohe popuštanja.
Modificirani Cam-clay model definiran je eliptičnom površinom popuštanja
79
(6.52)
d
p 1+
e pc′
d ε v =
(6.53)
λ - κ p′
2 2 2 2
q + M ⋅ p ′ = M ⋅ p′ ⋅ p ′ (6.54)
c

i pridruženim pravilom tečenja oblika
d
d = M p
ε v p′ -q
p
ε 2p′ q
2 2 2
Slika 6.14 Ploha popuštanja za modificirani Cam-clay model tla
All-Tabba [1990] pretpostavlja model s dvije plohe popuštanja (sl. 6.15) unutar veće površine
popuštanja pretpostavlja manju površinu popuštanja (gnijezdo).
Slika 6.15 Modificirani Cam-clay model tla s dvije plohe popuštanja
Noviji modeli zahtijevaju više parametara za definiranje ponašanja modela, složeniji su od Camclay
modela, ali bolje opisuju anizotropno popuštanje materijala.
80
(6.55)

6.3. OSNOVE ELASTOVISKOPLASTIČNOG MODELA
Vremenski neovisne konstitutivne jednadžbe ne mogu na zadovoljavajući način simulirati
ponašanje realnih materijala kojima svojstva ovise o vremenu.
Samo u nekim uvjetima plastične deformacije mogu biti vremenski neovisne ali općenito su
ovisne. Osim pojave plastičnosti uzrok materijalne nelinearnosti vezan je uz fenomen tečenja
materijala, preraspodjela naprezanja odnosno deformacija tokom vremena.
Početak promatranja ponašanja materijala kao jedinstvenog modela kombinirajući efekte
plastičnosti i tečenja vezan je uz radove Binghama, Henckya i Pragera. Osnove teorije elastovisko-plastičnosti
postavio je Perzyna [1960].
Model prikazan na sl. 6.16 (jednoosni problem) reagira trenutno elastično, pri čemu
viskoplastičan element ostaje neaktivan sve dok je σ < σ Y .
Slika 6.16 Jednoosni reološki elastoviskoplastični model
Viskoplastično ponašanje javlja se nakon pojave popuštanja. Prirast naprezanja uzrokuje pojavu
prirasta viskoplastičnih deformacija. Kod viskoplastičnog modela s odloženom plastičnosti ne
dozvoljava se znatniji plastični tok.
U elastoviskoplastičnom modelu ukupna deformacija na granici popuštanja sastoji se od
elastične i viskoplastične komponente
81
e vp
ε = ε + ε
(6.56)
ij
ij
ij

Analogno inkrement elastoviskoplastične deformacije možemo izraziti:
Elastične deformacije mogu se izraziti slijedećim oblikom
gdje je s ij = σ ij - δ ij σ m devijatorski dio tenzora deformacija, σ m = σ kk / 3 hidrostatsko
naprezanje, δ ij Croneckerov simbol prema izrazu 6.5, a G, ν i E konstante materijala.
Prirast elastičnih deformacija može se napisati u obliku
Prirast viskoplastičnih deformacija funkcija je trenutnog stanja naprezanja, a prema P. Perzynu
definira se u sličnom obliku pravilom tečenja kao kod elastoplastične teorije
odnosno
γ v - koeficijent plastične viskoznosti, eksperimentalno određen parametar koji
kontrolira brzinu viskoplastičnog toka
F - skalarna funkcija plastičnosti
Q - funkcija plastičnog potencijala
Φ (F) - pozitivna monotono rastuća funkcija plastičnog toka
Funkcija plastičnosti je oblika
pri čemu su ε vp
ij viskoplastične deformacije, k parametar očvršćavanja a 0
F jednoosno kritično
naprezanje. Elastično stanje je u slučaju da je F ; za F > 0; Φ (F) ≠ 0
(6.60)
∂ σ
ij
vp
ε�
= 0 za F ≤ 0; Φ (F) = 0
(6.61)
ij
F ij 0
vp = F(
σ ij , ε ) - F (k) = 0
(6.62)

Prirast viskoplastičnih deformacija uz pretpostavku pridružene viskoplastičnosti u vektorskom
obliku glasi:
Vektor tečenja a predstavlja derivaciju funkcije plastičnosti F po vektoru naprezanja σ .
P. Perzyna [1966], D. Owen i E. Hinton [1980] predlažu dva oblika funkcije plastičnog toka:
Φ (F)=e
M F - ⎛ F ⎞ 0
⎜ ⎟
⎝ F 0 ⎠
Φ (F) = F - ⎛ F ⎞ 0
⎜ ⎟
⎝ F 0 ⎠
gdje su M i N konstante, tako odabrane da što bolje simuliraju eksperimentom utvrđeno
ponašanje materijala.
-1
N
83
(6.64)
(6.65)
Na osnovu Perzynove teorije elastoviskoplastičnosti H. Sekiguchi [1985] polazeći od Cam-clay
modela predlaže slijedeće izraze za:
– funkciju plastičnosti
- i funkciju plastičnog toka
~ ε
vp
ij
= γ
< Φ
(F) >
∂ F
= γ
∂ σ
Parametri c0 i m′
odnose se na viskoplastičnost.
Površina popuštanja F kod stacionarne viskoplastičnosti ovisi o trenutnom stanju naprezanja i
mijenja se samo promjenom plastičnih deformacija. Olszak-Perzynova teorija
elastoviskoplastičnosti pretpostavlja nestacionarnu viskoplastičnost što znači da može doći do
< Φ
promjene plohe popuštanja bez promjena plastičnih deformacija.
v
v
(F) a
(6.63)
F = q p′
ln (6.66)
M ⋅ p′
pc′ m F
Φ (F) = c ⋅ e
(6.67)
0
′

LITERATURA
Al Tabbaa A. (1990): Permeability and stress-strain response of speswhite kaolin, Ph. D.
Thesis, University of Cambridge.
Bland, D.R. (1960): The theory of linear viscoelasticity, Pergamon Press, Oxford.
Drucker, D.C. and Prager, W. (1952): Soil mechanics and plastic analysis or limit design,
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,Vol. 10, No. 2, 157-165.
Duncan, J.M. and Chang, C.Y. (1970): Nonlinear analysis of stress and strain in soils, J. Soil
Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 96, No.SM 5, 495-498.
Findlay, W.N., Lai, J.S. and Onaran, K. (1976): Crep and relaxation of nonlinear viscoelastic
materijals, North Holland Publishing-Co.
Hill, R. (1950): The mathematical theory of plasticity, Oxford University Press, Oxford.
Hinton, E. Owen, D.R. (1977): Finite element programing, London Academic Press, London.
Hoek, E. and Brown, E.T. (1982): Underground excavation in rock. Institution of mining and
metalurgy, London.
Hudec, M.: Odabrana poglavlja iz mehanike kontinuuma, bilješke
Konder, R.L. (1963): Hyperbolic stress-strain response; Cohesive soils, J. Soil Mechanics
and Foundation Division, ASCE, Vol. 89, No. SM 1.
Konder, R.L. and Zelasko, J.S. (1963): A hyperbolic stress-strain formulation for sands, Proc.
2nd Panam. CSMFE, Brasil.
Kostrenčić, Z.: Teorija elastičnosti, Školska knjiga, Zagreb 1982.
Kovačić, D. (1977): Nelinearni modeli tla, Građevinar, Vol. 29. No. 3, Zagreb.
Lade, V.P. and Duncan, M.J. (1975): Elastoplastic stress-strain theory for cohesionless soil,
J. Geotechn. Engin. Div., Vol. 101 No. 10.
Mohr, O. (1900): Welche Umsaende bedingen die Elastizitaetsgrenze und den Bruch eines
Materials, ZS. d. Vereins Deutscher Ingenieure, Vol. 44, 1524-1572.
Naylor, D.J., Pande, G.N., Simpson, B. and Tabb, R. (1981): Finite elements in geotechnical
engineering, Pineridge Press, Swanse.
Olszak, W. and Perzyna, P. (1970): Stationary and non-stationary viscoplasticity; Inelastic
behavioutr of solis, McGraw-Hill Book Co.
84

Perzyna, P. (1960): The constitutive equations for rate sensitive plastic materials, Arch.
Mech. Stos., Vol. 15, 113-130.
Perzyna, P. (1966): Fundamental problems in viscoplasticity. Recent Advances in Applied
Mechanics, Academic Press, Vol. 9, 243-377, New York.
Šuklje, L. (1969): Rheological aspects of soil mechanics, John Wiley, London.
Zienkiewicz, O.C., Valliappan S. and King, I.P. (1969): Elastic-plastic solution of
enginnering problems; Initial stress. Finite element approach, Inter. J. Numerical method in
Engineering, Vol. 1, 75-100.
85