mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet

3.5. Brzina deformacije
Ako se pretpostave male deformacije, može se pojednostavljeno naći:
x = x + u
i
0
i
i
Odatle se brzina gibanja točke može naći kao:
0
i
• dxi
dx du •
i
x i = = + = u i =
dt dt dt
S druge smo strane definirali komponente tenzora deformacije kao:
( + u )
v
i
32
(3.36)
(3.37)
1
ε ij = u i,
j i,
i
(3.38)
2
Ako komponente tenzora deformacije deriviramo po vremenu, dobivamo:
•
ε
ij
≅
.
dε ij
j
dt
Odatle se konačno dobiva:
1 ⎡ d ⎛ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎤ ⎡ ∂
∂ ⎤
⎢ ⎜
∂ u u
du
i ⎟
d j 1 dui
=
+
⎜
⎟ ⎥ = ⎢
+
⎥
2 ⎢
⎜ ⎟
⎣
dt ⎝ ∂ x j ⎠ dt ⎝ ∂ xi
⎠ ⎥⎦
2 ⎢⎣
∂ x j dt ∂ xi
dt ⎥⎦
( + v )
(3.39)
• 1
ε ij ≈ v i,
j j,
i
(3.40)
2
Ovo je tenzor brzina inifinitezimalnih deformacija.
3.6. Brzina prirasta naprezanja
Na sličan način kao i za brzine deformacija može se pokazati da za tenzor naprezanja
σij postoje i brzine prirasta komponenata tenzora naprezanja σ ij = σ ( , t)
Za male deformacije (kada se koordinate bitno ne mijenjaju) možemo napisati:
•
σ ij =
dσ ij
dt
•
ij
x k
(3.41)