mehanika kontinuuma i reologija - Rudarsko-geološko-naftni fakultet

2.7. Dioba tenzora naprezanja na komponente
Iako to do sada nije bilo naglašeno, jasno je da se tenzori mogu zbrajati i oduzimati, pa
prema tome i dijeliti na komponente. Pri tome komponente obaju tenzora moraju biti izražene
u istim koordinatama:
σ = σ ± σ
(2.63)
ij
'
ij
''
ij
Bilo kakav tenzor naprezanja može se podijeliti na svoju simetričnu i nesimetričnu ili
antimetričnu komponentu, samo su nazivi nešto drugačiji:
devijatorsku
- sferna ili izotropna komponenta tenzora naprezanja predstavlja stanje naprezanja kod
kojeg su glavna naprezanja u sva tri smjera ista (simetrično stanje naprezanja). To je,
naprosto, kvazihidrostatsko ili izotropno stanje, kod kojega nema nikakvih posmičnih
naprezanja ni na kojoj kosoj ravnini,
- devijatorska komponenta sadrži ostatak tenzora (nesimetrično ili antimetrično stanje
naprezanja).
Glavna naprezanja u smjerovima osi g1, g2 i g3 dijele se, dakle, na sfernu
D
σ g komponentu:
20
S
σ gl i
S D
σ = σ + σ g = 1,2,3
(2.64)
g
g
σ
g
g
⎡ σ 1
=
⎢
⎢
0
⎢⎣
0
σ
0
0
2
0 ⎤
0
⎥
⎥
σ ⎥ 3 ⎦
⎡ σ
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
σ
S
g
0
0
σ
0
S
g
0
⎤
0 ⎤ ⎡ σ
⎥ ⎢
0 ⎥ + ⎢
S
σ ⎥ ⎢
g ⎦ ⎣
⎡ σ
1
− σ
0
0
S
g
σ
2
0
− σ
S
D
σ g =
⎢
⎢
⎢
g
0
0
S
σ g
0
⎥
0 ⎥ +
S
σ ⎥
g
⎢
⎢
⎢
1
0
0
D
σ 2
0
⎥
0 ⎥ =
D
σ ⎥
3
S
σ i +
⎣
0
0
⎦
Sferna komponenta predstavlja u stvari prosječno normalno naprezanje i može se
izraziti prvom invarijantom naprezanja:
S
σ g ⋅ Iσ
= 1 2 3 11 22 +
⎣
0
0
⎤
⎦
0
S
g
σ
D
i
σ
3
0
0
− σ
S
g
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.65)
1 1
1
= ( σ + σ + σ ) = ( σ + σ σ 33 )
(2.66)
3 3
3
tj. zbrojem normalnih naprezanja na međusobno okomitim ravninama.