7. Integraalide ligikaudne arvu- tamine

7. Integraalide ligikaudne arvutamine
Vaatleme määratud integraali
∫ b
a
f(x)dx . (7.1)
Kui f(x) ≥ 0, siis võrdub määratud integraal (7.1) lõigu [a, b] kohal asuva
funktsiooni graafiku ja x-telje vahelise nn kõvertrapetsi pindalaga (joonis 7.1).
y
y = f(x)
S = ∫ b
a f(x)dx
a
b
x
Joonis 7.1 : Määratud integraal
Integraali (7.1) ligikaudse arvutamise valemeid nimetatakse kvadratuurvalemiteks.
7.1. Ristkülikvalemid
Teatavasti on määratud integraal integraalsumma piirväärtus, st võrdub ligikaudselt
integraalsummaga. Seega võib integraali (7.1) arvutamise asendada integraalsumma
arvutamisega.
Integraalsumma on defineeritud lõigu [a, b] tükeldusel
järgmiselt:
a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b
S n =
n∑
f(p i )∆x i ,
i=1
kus p i on mingi punkt osalõigul [x i−1 , x i ] ja ∆x i = x i − x i−1 . Kui tükeldus on
ühtlane, st ∆x i = h iga i korral, siis
S n = h
n∑
f(p i ) . (7.2)
i=1
29

Lihtsamaid kvadratuurvalemeid saabki otseselt integraalsummast tuletada.
Näiteks võttes valemis (7.2) p i = x i , saame nn parempoolse ristkülikvalemi
S n = h
n∑
f(x i ) . (7.3)
i=1
Selles valemis kasutatakse funktsiooni väärtusi lõigu sisesõlmedes x 1 , . . . , x n−1
ja lõigu parempoolses otspunktis x n = b. Võttes aga valemis (7.2) p i = x i−1 ,
saame nn vasakpoolse ristkülikvalemi
S n = h
n∑
i=1
n−1
∑
f(x i−1 ) = h f(x i ) . (7.4)
Siin kasutatakse funktsiooni väärtusi sisesõlmedes x 1 , . . . , x n−1 ja lõigu vasakpoolses
otspunktis x 0 = a.
Ristkülikvalemi nimetus tuleneb faktist, et summa S n võrdub alust h ja
kõrgusi f(x i ) omavate ristkülikute ühendi pindalaga (joonistel 7.2 ja 7.3 pideva
joonega piiratud alad).
i=0
y
y
a x 1 x 2 x 3 b x
a x 1 x 2 x 3 b x
Joonis 7.2 : Paremp. ristkülikvalem
Joonis 7.3 : Vasakp. ristkülikvalem
Ristkülikvalemid on esimest järku täpsusega, st
∫ b
∣ S n − f(x)dx
∣ ≤ Ch ,
kus C on konstant.
7.2. Newton-Cotesi kvadratuurvalem
a
Lähendame integreeritavat funktsiooni f(x) tema polünomiaalse interpolandiga
sõlmedes x 0 , x 1 , . . . , x n (vt ptk 4.1), st
f(x) ≈ Φ n (x) .
30

Funktsiooni f(x) integraali asemel arvutame interpolandi integraali, st
S n =
∫ b
a
Φ n (x)dx ≈
∫ b
a
Φ n (x)dx.
On võimalik näidata, et viimane integraal avaldub järgmise summana
S n =
n∑
A i f(x i ) , (7.5)
i=0
kus A i on teatavad reaalarvulised kordajad. Tegemist on Newton-Cotesi kvadratuurvalemiga.
Newton-Cotesi kvadratuurvalemi kordajate A i arvulisi väärtusi võib leida arvutusmeetodite
käsiraamatutest. Ühtlase võrgu korral, st kui x i − x i−1 = h, avaldub A i valemiga
A i = (b − a)B i , (7.6)
kus B i väärtused on n = 1, 2, 3, 4 korral toodud järgmises tabelis:
n B 0 B 1 B 2 B 3 B 4
1
1
2
1
2 - - -
2
1
6
4
6
1
6 - -
3
1
8
3
8
3
8
1
8 -
4
7
90
32
90
12
90
32
90
7
90
Näiteks n = 1 korral
n = 2 korral
ja n = 3 korral
S 1 = b − a [f(a) + f(b)] , (7.7)
2
S 2 = b − a
6 [f(a) + 4f(x 1) + f(b)]
(
x 1 = a + b )
2
(7.8)
S 3 = b − a
8 [f(a) + 3f(x 1) + 3f(x 2 ) + f(b)] (7.9)
(
x 1 = a + b
)
3 , x 2(a + b)
2 = .
3
Newton-Cotesi kvadratuurvalemil on samasugused puudused nagu polünomiaalsel
interpolandil. Kuna suure n korral võib Φ n tugevasti ostsilleerida, ei
anna valem enam soovitud täpsust.
Probleemi üks võimalik lahendus on selline, et kvadratuurvalemis kasutame
polünomiaalse interpolandi asemel tükiti polünomiaalset interpolanti nii, nagu
me tegime ptk 4. Siis on lähend igal osalõigul madala astme polünoom ja
ostsillatsiooni ei teki.
31

7.3. Trapetsvalem
Olgu Φ(x) funktsiooni f(x) tükiti lineaarne interpolant sõlmedes x 0 , x 1 , . . . , x n
(vt ptk 4.2, 1. erijuht). Asendame integreeritava funktsiooni tema interpolandiga
ja integreerime:
S n =
∫ b
a
Φ(x)dx .
Kuna lõik [a, b] on osalõikude [x i−1 , x i ] ühend, siis võib selle integraali avaldada
selliselt, et arvutame ta igal osalõigul eraldi ning summeerime saadud tulemused:
n∑
∫ xi
S n = Φ(x)dx .
x i−1
i=1
Osalõigul [x i−1 , x i ] on Φ(x) esimese astme interpolatsioonipolünoom so lineaarne
funktsioon. Seega on tema integraal antud osalõigul võrdne trapetsiga, mida piiravad
vasakult ja paremalt sirged x = x i−1 , x = x i , alt x-telg ning ülevalt sirge,
mis läbib punkte P (x i−1 , f(x i−1 )) ja P (x i , f(x i )) (joonis 7.4).
y
f(x i)
f(x i−1)
x i−1
h
x i
x
Joonis 7.4 : Osalõigu [x i−1 , x i ] kohal paiknev trapets
Vastavalt trapetsi pindala valemile (aluste poolsumma korrutatud kõrgusega)
saame
∫ xi
Φ(x)dx = f(x i−1) + f(x i )
h.
x i−1
2
Kasutades seda seost, arvutame
n∑
∫ xi
S n = Φ(x)dx = h
x i−1
2 [f(x 0) + f(x 1 )] + h 2 [f(x 1) + f(x 2 )] +
i=1
+ h 2 [f(x 2) + f(x 3 )] + . . . + h 2 [f(x n−2) + f(x n−1 )] + h 2 [f(x n−1) + f(x n )] .
Avades sulud ja koondades liikmed, saame
S n = h 2 [f(x 0) + 2f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + . . . + 2f(x n−1 ) + f(x n )]. (7.10)
32

See on trapetsvalem. Arv S n on võrdne tükiti lineaarse interpolandi graafiku ja
x-telje vahelise trapetsite ühendi pindalaga (joonisel 7.5 pideva joonega piiratud
alad).
y
a x 1 x 2 x 3 b
x
Joonis 7.5 : Trapetsite ühend trapetsvalemis
Trapetsvalem on teist järku täpsusega. Absoluutse vea hinnang on järgmine:
∫ b
∣ S n − f(x)dx
∣ ≤ Ch2 . (7.11)
a
7.4. Simpsoni valem
Olgu n paarisarv ja Φ(x) funktsiooni f(x) ruutinterpolant (vt ptk 4.2, 2.
erijuht). See tähendab, et Φ(x j ) = f(x j ) iga j = 0, 1, . . . , n korral ja Φ(x) on
ruutfunktsioon osalõikudel [x 0 , x 2 ], [x 2 , x 4 ], . . ., [x n−2 , x n ]. Asendame integreeritava
funktsiooni f(x) tema interpolandiga Φ(x) ja integreerime viimast:
S n =
∫ b
a
Φ(x)dx.
On võimalik näidata, et S n avaldub järgmiselt:
S n = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) +
+ . . . + 2f(x n−2 ) + 4f(x n−1 ) + f(x n )]. (7.12)
See on Simpsoni valem.
Simpsoni valem on neljandat järku täpsusega. Absoluutse vea hinnang on
järgmine:
∫ b
∣ S n − f(x)dx
∣ ≤ Ch4 . (7.13)
a
33

Neljandat järku täpsus esineb siiski vaid juhul, kui integreeritav funktsioon f(x)
on piisavalt sile (st piisavalt kõrget järku tuletised on pidevad). Kui funktsioon
ei ole piisavalt sile (nt omab katkevuspunkte), siis ei anna Simpsoni valem head
tulemust. Viimasel juhul võib isegi trapetsvalem täpsem olla.
34