PM pingejaotus 6.pdf - tud.ttu.ee

61
σ
⎪⎧
2
3P y z (1- 2ν)
⎡
⎨ -
5 ⎢
2π
⎪⎩ R 3 ⎣ R(x
2 2
2
y - x
z ⎤⎪⎫
+
x
2
3 2
⎥⎬
+ y )(R + z) R (x + y ) ⎦⎪⎭
y =
2
2
τ
2
3P y z
τ yz = -
5
2π
R
2
3P x z
τ zx = -
5
2π
R
3P ⎡xyz
1- 2ν
xy(2R + z) ⎤
⎢ -
5
⎥
2π
⎣ 3
5
R R (R + z ) ⎦
xy =
2
kus R = (x 2 + y 2 + z 2 ) ½
Jõu mõjumissirgel, kus z = R, on vertikaalne normaalpinge
P
σ z = 0,48
2
(6.8)
z
Valem ei ole kehtiv pingete määramiseks vahetult jõu rakenduspunkti lähedases alas,
kus koondatud koormus annab lõpmatult suure pinge. Koondatud jõud on idealisatsioon ja
tegelik koormus antakse pinnasele ikkagi mingi kindla suurusega pinna kaudu. Sen-Venant'
printsiibi kohaselt võib seda valemit kasutada pinge määramiseks ka pinnale jaotatud jõu
mõjust, juhul kui vaadeldav punkt asub rakenduspunktist küllalt kaugel võrreldes pinna
mõõdetega. Kui koormatud pind on suur ja on vajadus leida pinget väikeses sügavuses sellest,
saab alati jaotada pinna väiksemateks osadeks ning summeerida nende mõjul tekkivad valemiga
6.7 leitud pinged.
Lihtsa kujundi, ristküliku või sõõri, korral on võimalik tuletada valem pinge
määramiseks, asendades summeerimise integreerimisega. Ristküliku nurgapunkti all pingete
leidmiseks tuleb koordinaadistiku algpunkt asetada sellesse punkti ja integreerida üle pinna
(joonis 6.4). Pinna diferentsiaalile dx dy mõjuv jõud on p dx dy. Kui koormatud pinna mõõted
on B ja L, siis
σ
n,z
Integreerides avaldise, saame
B L
3
3p dxdy
=
z
∫ ∫
5
(6.9)
0 0 2π
2 2 2
(x + y + z ) 2
⎡
2 2 2
p BLz(B + L + 2 z )
BL ⎤
σz = ⎢
+ arctan
⎥ (6.10)
2π
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
⎢⎣
(B + z )(L + z ) B + L + z z B + L + z ⎥⎦
Tähistades n = L/B ja m1 = z/B saame valemi, kus muutujad on dimensioonitul kujul
σ = α 1 p
(6.11)
z
kus α1 on rõhujaotustegur, mis on n ja m1 funktsioon
1
α1
=
2π
nm(1+ n
2 2
(1+ m )( n + m
2
2
+ 2 m
)
2
)
1+ n
2
+ m
2
+ arctan
m
n
1+ n
2
+ m
2
(6.12)
α1 suurused on toodud tabelis 6.1