Řešení planimetrických konstrukčních úloh. - Wichterlovo ...

Řešení planimetrických konstrukčních úloh strana 50
k2
k1
m1
m2
m21
m11
p
m12
Nyní znám poloměry kružnic. Připojím další podmínku: hledané kružnice se
mají dotýkat dané přímky p. Množinou středů kružnic je ekvidistanta přímky p,
tj. dvojice rovnoběžek s přímkou p vzdálených od ní o velikost poloměru
získaného v první části konstrukce. Ekvidistanty jsou dvojí velikosti – podle
poloměrů příslušejících vnitřnímu (m 21 ∪ m 22 ), resp. vnějšímu dotyku (m 11 ∪ m 12 )
s menší ze zadaných kružnic. Přímka m 22 nedává žádné řešení, v náčrtku není
zakreslena.
Středy hledaných kružnic jsou v průniku uvedených množin bodů. Jsou to:
m1 ∩ ( m11
∩ m12
) pro vnější dotyk – vzniknou středy dvou menších červeně
sestrojených kružnic; dále m2 ∩ ( m21
∩ m22
) pro vnitřní dotyk – vzniknou středy
dvou větších červeně sestrojených kružnic. Úloha má tedy 4 řešení. Konstrukci
nyní jistě snadno provedete sami.
Příklad 18:
Jsou dány soustředné kružnice k 1 (S; 5 cm), k 2 (S; 2 cm) a bod M takový, že
⎪SM⎪ = 4 cm. Sestrojte všechny kružnice, které se současně dotýkají obou
kružnic a procházejí daným bodem.
Rozbor a náčrtek:
Podle příkladu 15 sestrojíme kružnice n 1 , n 2 – množiny středů kružnic
dotýkajících se daných kružnic k 1 , k 2 . Průsečíky osy mezikruží n 2 s kružnicí m 2 ,
která má střed v bodě M a poloměr rovný šířce mezikruží, jsou právě středy
dvou hledaných menších kružnic – jsou sestrojeny červeně. Větší hledané
kružnice mají své středy jednak na kružnici n 1 a jednak na kružnici m 1 , která
má střed v bodě M a poloměr rovný šířce mezikruží vymezeného kružnicemi n 1
a k 2 .