TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Juhuslik ...

1
TÕENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
Juhuslik suurus
Juhuslik suurus on antud, kui on teada selle kõik võimalikud väärtused ja väärtuste ilmumise
tõenäosused.
Olgu X juhuslik suurus. Olgu x mingi reaalarv. Tähistame sündmuse, et juhusliku suuruse X väärtus
on väiksem kui x järgmiselt: X

2
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon: F(x) = P(X

Definitsioon. diskreetse juhusliku suuruse dispersioon:
Dispersiooni omadused
1. D(c) = 0, kus c on konstant;
2. D(cX)=c 2 D(X);
3
DX =E X −EX 2 n
=∑ i =1
x i
−EX 2 f x i
3. Kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, siis D(X+Y) = D(X) + D(Y),
4. Kui X 1
, X 2
,, X n on sõltumatud, siis
D X 1
X 2
X n
=D X 1
D X 2
D X n
5. D(X+c) = D(X)
Tehete hulka vähendav valem dispersiooni arvutamiseks E X −EX 2 =E X 2 −EX 2 .
Definitsioon. Juhusliku suuruse X standardhälve võrdub ruutjuurega dispersioonist σ= DX .
Binoomjaotusega juhuslik suurus X ~ B(n, p)
Binoomjaotusega juhusliku suuruse tekkimine
1. Tehakse n sõltumatut üksikkatset, st. n sõltumatust üksikkatsest koosneva katseseeria,
inglise keeles binomial trial.
2. Igal üksikkatsel võib sündmus toimuda või mitte toimuda. Seega igal üksikkatsel on 2
võimalikku tulemust: sündmus toimub ehk üksikkatse tulemus on "edu (success)",
sündmus ei toimu, üksikkatse tulemus on "ebaedu (failure)"
3. "edu" toimumise tõenäosus igal üksikkatsel katsel on p.
4. Tõenäosus p ei tohi katseseeria käigus muutuda.
Sündmuse "edu" toimumise arv X katseseeria jooksul on juhuslik suurus, millel on n+1 väärtust
0, 1, ..., n .Seda juhuslikku suurust nimetatakse binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks
parameetritega n ja p ning selle jaotustabel on järgmine:
x 0 1 2 … k … n
f(x) (1–p) n np(1–p) n-1 C 2 n
p 2 1− p n−2 … C k n
p k 1− p n−k … p n
Binoomjaotusega juhusliku suuruse X ~ B(n, p) puhul
E X =np ,D X =np1− p
Poissoni jaotusega juhuslik suurus X~P(μ) (Siméon Denis Poisson 1781–1840)
Poissoni jaotusega juhusliku suuruse jaotustabel
X 0 1 2 … k …
− µ
− µ
f(x) e
µ e 2
… k
…
2 e− k! e−
konstant, e = lim n→∞ 1 1 n
n = 2,71828...≈ 2,72 .
Poissoni jaotusega juhusliku suuruse X~P(μ) puhul E X = μ , D X = μ .
E:\TTU_KEVAD_2010\YMR3720\LOENG02_juh_suurus\loeng02_diskr_juhuslik_suurus.odt 1.3.10