Bộ đề dự đoán kì thi THPT Quốc Gia năm 2019 chuẩn (Kèm lời giải) môn Toán

B Ộ Đ Ề D Ự Đ O Á N K Ì T H I 

T H P T Q U Ố C G I A 

Nguyễn Thanh Tú & Nguyễn Thanh Tuấn 

Admin Diễn Đàn Toán-Lí-Hóa Quy Nhơn 

trân trọng giới thiệu 

Bộ đề dự đoán kì thi THPT Quốc Gia năm 

2019 chuẩn (Kèm lời giải) môn Toán 

Tổng hợp : Ths Nguyễn Thanh Tú 

PDF VERSION | 2019 EDITION 

CHÍNH THỨC PHÁT HÀNH 

vectorstock.com/10992669 

Tài liệu chuẩn tham khảo 

Phát triển kênh bởi 

Ths Nguyễn Thanh Tú 

Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : 

Nguyen Thanh Tu Group 

Hỗ trợ chuyển giao 

Fb www.facebook.com/HoaHocQuyNhon 

Mobi/Zalo 0905779594

ĐỀ DỰ ĐOÁN SỐ 01 

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2019 

Bài kiểm tra môn: TOÁN 

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề 

3 3 

3 

f x g x dx f x g x dx 

Câu 1. Cho ( ) 3 ( ) 10; 2 ( ) ( ) 6. Giá trị của f ( x ) g ( x ) dx bằng 

1 1 

A. 2. B. 8. C. 6. D. -2. 

Câu 2. Tập nghiệm S của bất phương trình 

log (5 x) 1 

là 

A.S = (2;5) B. S = (3;5) C. S = (0;2) D. S = (0;3) 

Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây ? 

3 2 

3 2 

3 2 

A. y x 3x 

B. y x 3x 

1 

C. y x 3x 

1 

D. 

Câu 4. Với a, b là hai số thực dương tùy ý, 

3 

2 

ln a 

 

 

 

b 

bằng 

1 

1 

2ln a 

A. 2log a log b B. 2log a logb 

C. D. 

2 

2 

ln b 

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số 

1 

f ( x) sin x 

x 

là 

1 

3 2 

y x 3x 

1. 

1 

2ln a ln b. 

2 

1 

A. ln x cos x C B. cos x C C. ln x cos x C D. ln x cos x C. 

2 

x 

Câu 6. Tập nghiệm của phương trình 

 

2 

log x 2x 

2 1 

là 

2;4 

 

 

4; 2 

A. B. 2;4 

C. 4;2 

D. 

Câu 7. Cho mặt cầu có diện tích bằng 

NGUYEN THANH TU PRODUCTION 

2 

36 a . 

 

Thể tích khối cầu là 

1

3 

3 

3 

3 

A. 18 a 

B. 12 a 

C. 36 a 

D. 9 a 

 

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1), B và AB (1;3;1). Tọa độ của B là 

A. (2;5;0) B. (0;-1;-2) C. (0;1;2) D. (-2;-5;0) 

Câu 9. Cho tập hợp 

 

 

A 

 

 

1,2,3,....,10 . 

Một chỉnh hợp chấp 2 của A là 

2 

2 

A. 1;2 

B. C. A D. (1;2) 

C 10 

Câu 10. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oyz) là 

A.M(0;2;3) B. N(1;0;3) C. P(1;0;0) D. Q(0;2;0) 

Câu 11. Điểm nào trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z 2 i ? 

A. N B. P C. M D. Q 

Câu 12. Trong không gian Oxyz, véctơ nào dưới đây có giá song song hoặc trùng với đường thẳng 

1 3 7 

d : x 

y 

z ? 

2 4 1 

A. (-2;-4;1). B. (2;4;1) C. (1;-4;2) D. (2;-4;1) 

3 

Câu 13. Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2 3a và thể tích bằng 4a .Tính chiều cao h của 

khối chóp đã cho. 

4 3 

A. h 4 3a 

B. h a 

C. h = 4a D. 

3 

Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 

thuộc (S). 

10 

4 3 

h a . 

9 

2 2 2 

( S) : ( x 1) ( y 1) ( z 2) 9. 

A. M(1;-1;2) B. N(-1;1;-2) C. P(-3;-1;-1) D. Q(3;1;1) 

Câu 15. Cho hàm số 

Điểm nào dưới đây 

1 2 2 10 10 

f ( x) 1 C x C x ... C x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng 

10 10 10 

A. 10 B. 0 C. 9 D. 1 



y f ( x) 

có bảng biến thiên như sau: 

2

x 

-2 0 2 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y + 

1 

 

 

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 

 

-2 -2 

 

A. (-2;2) B. ;0 

C. (0;2) D. (2; ) 

Câu 17. Cho khối hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh bằng 2a, có đáy là hình vuông và cạnh bên tạo 

với mặt phẳng đáy khối hộp một góc bằng 

0 

60 . Thể tích khối hộp bằng 

3 

3 

3 

A. 8a 

B. 2 3a 

C. 8 3a 

D. 4 3a 

Câu 18. Cho số thực x, y thỏa mãn 

bằng 

(2 x y) i y(1 2 i) 3 

7i 

A. 30 B. 40 C. 10 D. 20 

với i là đơn vị ảo. Giá trị của 

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;1;−1) Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa 

trục Ox là 

A. x y 0 B. x z 0 C. y z 0 D. y z 0 

90 

Câu 20. Cho log3 5 a,log 36 b,log3 

22 c. 

Giá trị của log3 

bằng 

11 

A. 2a b c B. a 2b c C. 2a b c D. 2a b c 

Câu 21. Tìm hai số thực b và c biết rằng phương trình 

2 

z bz c 0 có nghiệm phức z 1 i. 

b 

2 

b 

2 

b 

2 

A. B. C. D. 

c 

2 

c 

2 

c 

2 

3 

b 

2 

 

c 

2 

Câu 22. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) song song và cách mặt phẳng 

( Q) : x 2y 2z 

3 0 một khoảng bằng 1; đồng thời (P) không qua O là 

A. x 2y 2z 1 0 

B. x 2y 2z 

0 

C. x 2y 2z 6 0 

D. x 2y 2z 

3 0 

Câu 23. Tính diện tích toàn phần của hình nón có chiều cao h = 8a, chu vi đường tròn đáy là 12πa. 

2 

2 

2 

A. 36 a 

B. 60 a 

C. 96 a 

D. 192 a 

Câu 24. Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại thời điểm t = 0 với những vận tốc khác nhau: viên thứ 

nhất có vận tốc 


2 

v 3 t ( m / s); 

thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ 2 ? 

2 

x 

2 

viên thứ 2 có vận tốc v = 2t + 6(m/s). Hỏi bắt đầu từ giây thứ mấy trở đi 

A. 4 B. 2 C. 3 D. 6 

xy 

3

Câu 25. Sinh nhật lần thứ 18 của An vào ngày 01 tháng 05 năm 2019. Bạn An muốn mua một chiếc 

máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống 

heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2019. Trong các ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống heo nhiều 

hơn ngày ngay trước đó 1000 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến 

ngày 30 tháng 04 năm 2019)? 

A. 4095000 đồng. B. 89000 đồng. 

C. 4005000 đồng. D. 3960000 đồng. 

Câu 26. Cho hàm số y f ( x) 

xác định trên R thỏa mãn lim f ( x) 1; lim f ( x) 1 

và 

x 

f ( x) 1 x 0. Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số 

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 

Câu 27. Tính đạo hàm của hàm số y log 

4 

x . 

5 

ln 5 

A. y ' 

B. 

x ln 4 

ln 5 

C. y ' . 

D. 

ln 4 


y ' 

1 

x (ln 4 ln 5) 

1 

y ' 

. 

x xln 4 ln 5 

x 

1 

y là 

f ( x) 1 

y f ( x) 

xác định và liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần 

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

 

y f sin x 2 . 

 

Giá trị của M – m bằng 

A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 

2x 

m 

Câu 29. Hàm số y đồng biến trên khoảng 0; 

khi và chỉ khi 

2 

x 1 

A. m 0 

B. m < 0 C. m 2 

D. m < 2 


của phương trình 


 

y f ( x) 

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt 

 

f f ( x) f ( x) 

bằng 

4

A. 7 B. 3 C. 6 D. 9 

Câu 31. Một người đang đứng tại gốc O của trục toạ độ Oxy. Do say rượu nên người này bước ngẫu 

nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục toạ độ với độ dài mỗi bước bằng 1 đơn vị. Xác suất để sau đúng 

10 bước người này quay lại đúng gốc toạ độ O bằng 

15 

63 

63 

A. B. C. D. 

128 

100 

256 

Câu 32. Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z 3 4i 2. Đặt w ( z 2)(2 2 i) 1, 

tập hợp tất cả các 

điểm biểu diễn số phức w là một hình tròn có diện tích bằng 

A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 

Câu 33. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x ) liên tục trên R và có đồ thị của hàm số f '( x) 

như hình 

3 

1 3 

3 

vẽ, Biết x 1 f '( x ) dx a và f '( x) dx b, f '( x) dx c, f (1) d. 

Tích phân f ( x ) dx bằng 

0 

0 1 


3 

20 

0 

A. a b 4c 5 d. 

B. a b 3c 2d 

C. a b 4c 3d D. a b 4c 5 d. 

Câu 34. Một nhà máy sản xuất bột trẻ em cần thiết kê bao bì cho một loại sản phẩm mới dạng khối trụ 

3 

có thể tích 1 dm . Hỏi phải thiết kế hộp đựng này với diện tích toàn phần bằng bao nhiêu để tiết kiệm 

nguyên vật liệu nhất. 

5

3 2 

2 

3 2 

A. 3 2 dm . B. 3 2 dm . C. 3 dm . D. 

3 2 

4 dm . 

Câu 35. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tồn tại một điểm M nằm bên 

trong hình chóp và cách đều tất cả các mặt của hình chóp một khoảng bằng h. Tính h. 

 

 

6 2 a 

A. h 

B. 

12 

 

 

6 2 a 

C. h 

D. 

2 

h 

h 

 

 

6 2 

4 

6 2 

Câu 36. Trong y học các khối u ác tính được điều trị bằng xạ trị và hoá trị (sử dụng thuốc hoá học trị 

liệu). Xét một thí nghiệm y tế trong đó những con chuột có khối u ác tính được điều trị bằng một loại 

thuốc hoá học trị liệu. Tại thời điểm bắt đầu sử dụng thuốc khối u có thể tích khoảng 

6 

 

 

a 

a 

3 

0,5cm , thể tích 

khối u sau t (ngày) điều trị xác định bởi công thức: 

0,24 

( ) 0,005 t 0, 495 0,12 t 

V t e e 0 t 18 cm 

3 . Hỏi 

sau khoảng bao nhiêu ngày thì thể tích khối u là nhỏ nhất ? 

A. 10,84 ngày B. 9,87 ngày C. 1,25 ngày D. 8,13 ngày 

Câu 37. Có tất cả bao nhiêu số phức z thả mãn 

z z z z 4 và z 2 2i 

3 2. 

A. 7 B. 3. C. 2. D. 5. 

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(2;3;3), đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B là 

x 3 y 3 z 2 x 

, phương trình đường phân giác trong góc C là 

2 y 4 z 2 

 

. Đường thẳng 

1 2 1 

2 1 1 

AB có một véctơ chỉ phương là 

 

A. (0;1; 

 

1) B. (2;1; 

 

u 1) C. (1;2;1) 

 

3 

D. u (1; 1;0) 

u1 2 

u 

4 

Câu 39. Cho khối chóp tứ giác đều P.ABCD có tất cả các cạnh bằng 2 được đặt nằm bên trên khối lập 

phương ABCD.EFGH (như hình vẽ). Côsin góc giữa hai mặt phẳng (PAB) và (AEFB) bằng 


 

 

6 

3 

2 2 

A. B. C. D. 

3 

3 

3 

1 

3 

6

x xa 

Câu 40. Có bao nhiêu số nguyên ( 200;200) 

để phương trình e e ln(1 x) ln x a 1 

có 

nghiệm thực duy nhất. 

a 

A. 399 B. 199 C. 200 D. 398 

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-14;13;-4), B(-7;-1;1). Xét điểm M di động trên mặt 

cầu 

2 2 2 

( S) : ( x 5) ( y 5) ( z 14) 324. Giá trị lớn nhất của 2MA – 3MB bằng 

A. 9 5 B. 3 309 C. 12 5 D. 9 11 


f ( x) 

liên tục trên đoạn [0;3] và có bảng biến thiên như sau: 

x 0 1 3 

y ' 

+ 0 - 

y 9 

8 5 

4 2 

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f ( x) m x 2x 

2 có nghiệm thuộc đoạn [0;3]. 

A. 9 B. 5. C. 4. D. 7. 

Câu 43. Có bao nhiêu số thực m để tôn tại duy nhất cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời 

log 4 4 2 

5 2 2 

1 2 2 

x y m m và x y 2x 4y 

1 0. 

x y 2 

A. 2. B. 6. C. 4. D. 0. 

3 

2 

Câu 44. Cho hàm số ( ) và g( x) f cx dx với a, b, c, d R có đồ thị như hình vẽ 

f x x ax b 

bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số 

đường cong y f ( x ) và y g( x) 

gần nhất với kết quả nào dưới đây? 

 

 

y f ( x). 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai 


7

A. 7,66 B. 4,24 C. 3,63 D. 5,14 


( P) : x 2y 2z 

11 0. 

2 2 2 

( S) : ( x 1) ( y 1) ( z 1) 12 

và mặt phẳng 

Xét điểm M di động trên (P); các điểm A, B, C phân biệt di động trên (S) sao 

cho AM, BM, CM là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây? 

1 1 1 

3 

A. ; ; B. (0;-1;3) C. ;0;2 D. (0;3;-1) 

4 2 2 

2 

Câu 46. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y f '( x ) như hình vẽ bên. Biết f ( 2) 0. Hàm số 

 

y f 1 

x 

 

2018 

 

đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 

 

2018 2018 

2018 

A. 3; 3 . B. ( 1; ) 

C. ( ; 3). D. 

 

201 8 3;0 

Câu 47. Cho f ( x ) là một hàm đa thức và có đồ thị của hàm số f '( x) 

như hình vẽ bên. Hàm số 

y 2 f ( x) ( x 1) 

2 

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? 


A. 9 B. 7. C. 3. D. 5. 

8

22 

Câu 48. Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm f '( x) 0, x 

[1;2] 

thỏa mãn f (1) 1, f (2) và 

15 

3 

2 

'( ) 7 

f x dx Tích phân 

4 

. 

x 375 

1 

2 

f ( x ) dx 

1 

bằng 

1 

7 

3 

A. B. C. D. 

5 

5 

5 

Câu 49. Có bao nhiêu số thực m để đường thẳng 

1 

3 

phân giác của góc BOC. 

3 2 

y x (2 m) x 3(2m 3) x m 

y x m 

4 

5 

cắt đồ thị hàm số 

tại ba điểm phân biệt A(0;m), B, C sao cho đường thẳng OA là 

A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. 

Câu 50. Cho khối lăng trụ ABC.A′B′C′ có thể tích V, đáy là tam giác cân, AB = AC. Gọi E là trung 

điểm cạnh AB và F là hình chiếu vuông góc của E lên BC. Mặt phẳng (C′EF) chia khối lăng trụ đã cho 

thành hai khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A. 

ĐÁP ÁN 

47 

A. B. C. D. 

72 V 25 

72 V 29 

72 V 43 . 

72 V 

1C 2A 3D 4D 5D 6B 7C 8A 9D 10A 

11C 12D 13B 14C 15D 16C 17D 18B 19D 20B 

21B 22C 23C 24C 25C 26A 27D 28D 29A 30A 

31C 32D 33C 34A 35B 36A 37B 38A 39A 40B 

41A 42A 43A 44D 45D 46D 47D 48B 49C 50B 

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Câu 1: 

3 3 3 

 

 

f ( x) dx 3 g( x) dx 10 f ( x) dx 4 

3 

 

 

 

( ) ( ) 4 2 6. 

3 3 

 

 

3 f x g x dx 

 

1 

2 ( ) ( ) 6 

 

( ) 2 

f x dx g x dx 

 

g x dx 

1 1 1 

1 1 1 

Có 

Chọn đáp án C. 

Câu 2: 

Có log 

3(5 x) 1 0 5 x 3 2 x 5. 

Chọn đáp án A. 

Câu 3: 

Có y(0) = 1, y(2) = −3 nên hàm số có đồ thị như hình vẽ là 

Chọn đáp án D. 


3 2 

y x 3x 

1. 

9

Câu 4: 

2 1 

ln ln a ln b 2ln a ln b. 

b 

2 

2 

a 

Có 


Câu 5: 

Có 

f 1 

( x ) dx 

sin x dx ln x cos x C . 

x 

 


Câu 6: 

2 2 x 

4 

log x 2x 2 1 x 2x 

2 10 . 

x 

2 

Có 

Chọn đáp án B. 

Câu 7: 

Diện tích mặt cầu là 

4 

S R a R a V R a 

3 

2 2 3 3 

4 36 3 36 . 


Câu 8: 

 

AB x x ; y y ; z z B(2;5;0) 

Có 

B A B A B A 


Câu 9: 

Một chỉnh hợp chập 2 của A là một bộ số có thứ tự gồm 2 phần tử của A. Đối chiếu các đáp án chọn D. 


Câu 10: 

Có M (0;2;3) h / c( A,( Oyz)). 



Câu 11: 

Có M(2;-1) biểu diễn số phức z = 2-i. 


Câu 12: 

x 1 y 3 z 7 

Có d : ud 

(2; 4;1). 

2 4 1 


Câu 13: 

10

Ta có 

3 

3V 12a 4 a 

2 . 

h 

S 2 3a 

3 


Câu 14: 


Câu 15: 

 

4 

 

3 

9 

10 

Có f ( x) (1 x) f '( x) 10 1 

x đổi dấu khi qua điểm x = -1. 

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = −1. 


Câu 16: 


Câu 17: 

2 

3 

Có chiều cao khối hộp là h AA'sin 60 2a 3 a. 

Diện tích đáy S 4 a . Do đó V Sh 4 3 a . 

2 


Câu 18: 

y 

3 0 y 

3 

2 

Có (2 x y) i y(1 2 i) 3 7i y 3 (2x 3y 7) i 0 

x xy 40. 

2x 3y 7 0 x 

8 


Câu 19: 

Có 

y 

0 

Ox : Ox ( P) : my nz 0; A( P) m n 0 ( P) : y z 0. 

z 

0 


Câu 20: 

0 3 

2 

90 180 5.6 

Có log3 log3 log3 log3 5 2log3 6 log3 

22 a 2 b c. 

11 22 22 


Câu 21: 

2 b c 0 b 

2 

Có (1 i) b(1 i) c 0 ( b c) ( b 2) i 0 . 

b 

2 0 c 

2 


Câu 22: 

Vì ( P) / /( Q) ( P) : x 2y 2z c 0. 

Có 


11

c 3 c 

0 

I(3;0;0) ( Q) d ( P),( Q) 1 d I,( P) 1 1 . 

3 

c 

6 

Do (P) không đi qua O nên c = -6. 


Câu 23: 

Có 

h 8a h 8a 

 

r 6a 

2 

 

S 6 (6 10 ) 96 . 

2 

12 

6 

2 2 

tp 

r r l a a a a 

r a r a l r h 10a 


Câu 24: 

Cần tìm: 

t t t 

 

S S 0 v ( t) dt v ( t) dt 0 v ( t) v ( t) dt 0 

1 2 1 2 1 2 

0 0 0 

t 

 

0 

 

 

 

2 3 2 

3t 2t 6 dt 0 t t 6t 0 t 3. 

 


Câu 25: 

Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 = 1000 công sai d = 1000 

Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là 

nu1 

un 

n2 u1 

( n 1) 

d 

Sn 

u1 u2 

... 

un 

 

2 2 

Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2019 (tính đến ngày thứ 89 - tháng 2 gồm 28 ngày; tháng 3 gồm 31 ngày 

và tháng 4 gồm 30 ngày) tổng số tiền bỏ heo là: 

89. 2.1000 (89 1).1000 

S89 

45.89.1000 4005000 đồng. 

2 


Câu 26: 

1 1 1 1 

1 1 1 

Có lim và lim . 

Vì vậy 

x 

f ( x ) 1 lim f ( x ) 1 1 1 2 

x 

f ( x) 1 lim f ( x) 1 11 

1 

y 

2 

x 

1 

là tiệm cận ngang duy nhất. Vì lim x 0 

x0 

f ( x) 1 


Câu 27: 

u ' 

Chú ý log 

a 

u ' 

với mọi u 0, áp dụng ta có: 

u ln a 

 


x 

là tiệm đứng duy nhất. 

12

1 1 

log 4 

x ' 

. 

 

4 

5 x ln 

xln 4 ln 5 

5 


Câu 28: 

Đặt t sin x 2 vì 1 sin x 1 t [ 1;3]. 

Do đó 

M max f ( t) f (3) 3;min f ( t) f (2) 2 M m 5. 

[ 1;3] 


Câu 29: 

Có 

[ 1;3] 

2 mx 

2 

ycbt y ' 0, x 0 0, x 0 2 mx 0, x 0 m , x 0 m 0. 

x 


Câu 30: 

2 

x 1 3 

t 

2 

Đặt t f ( x) 

phương trình trở thành: f ( t) t 

 

 

t 0 vì đồ thị f ( t) 

cắt đường thẳng y = t tại ba điểm 

 

t 2 

f ( x) 2 x 1; x 2 

có hoành độ t 2; t 0; t 2. Vậy 

 

( ) 0 

 

 

f x 

 

x 0; x a ( 2; 1); x b(1;2). 

 

f ( x) 2 

x 1; x 2 


Câu 31: 

10 

Mỗi bước người này có 2 lựa chọn sang trái hoặc phải nên số phần tử không gian mẫu là 2 . 

Để sau đúng 10 bước người này quay lại đúng gốc toạ độ OO thì người này phải sang trái 5 lần và sang 

5 

phải 5 lần, do đó số cách bước trong 10 bước này là C . 10 

5 

C10 

63 

Xác suất cần tính bằng 

10 . 

2 256 


Câu 32: 

w 1 

Có w ( z 2)(2 2 i) 1 z 2. Thay vào giả thiết có: 

2 2i 

w 1 

2 3 4i 2 w 11 6i 2 2 2i 

4 2. Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình 

2 2i 

tròn có tâm 


Câu 33: 


I(11;6), R 4 2. 

Diện tích hình tròn này bằng R 

2 

32 . 

13

Tích phân từng phần có 

3 

( x 1) f '( x) dx ( x 1) d f ( x) ( x 1) f ( x) f ( x) dx 4 f (3) f (0) f ( x) dx; 

0 

3 3 3 3 

 

0 0 0 0 

1 1 

 

 

b f '( x ) dx f '( x ) dx f (1) f (0) d f (0) f (0) d b ; 

0 0 

3 3 

 

 

c f '( x ) dx f '( x ) dx f (1) f (3) d f (3) f (3) d c ; 

1 1 

3 

f ( x ) dx 4( d c ) ( d b ) a a b 4 c 3 d . 

1 


Câu 34: 

Giả sử hộp trụ có bán kính đáy r, chiều cao là h. Theo giả thiết có 

2 

1 

V r h 1 h . 

2 

r 

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất: 

2 2 2 2 1 1 3 

Stp Sxq S2day 

2 r 2 rh 2 r 2 r 3 2 . 

r r r 

2 1 1 

Dấu bằng đạt tại 2 

r r 0,54 1,084 . 

3 

2 

dm h dm 

r 

Vậy phải thiết kế một khối trụ có bán kính đáy 0,54dm và chiều cao 1,084dm. Vậy 


Câu 35: 

Thể tích của khối chóp tứ giác đều tất cả các cạnh bằng a là V 

chóp là 

a 3 

Stp 

 

 

4 

a a 

 

2 

2 2 

4 3 1 . 


Câu 36: 

Ta có V '( t) 0,0012e t 0,0584e 

 

Do đó 

0,24 0,12 t 

Suy ra 

V t e 

0,0594 99 1 99 

t t 

0,0012 3 0,36 2 

 

 

2a 

6 

3 

2a 

3V 

6 2 

2 a 

h 

. 

S 

2 

3 1 

a 4 

0,36 

'( ) 0 t 

0 

ln 10,84. 

tp 

3 

S 

tp 

 

dm 

3 3 

3 2 . 

và diện tích toàn phần của hình 


14

Ta có 

3 

min V ( t) V ( t0) 0,253274 cm . 

[0;18] 


Câu 37: 

Với z a bi z z z z 4 2a 2b 4 a b 2. 

Khi đó 

Vậy a có hệ 

z i a b 

2 2 

2 2 3 2 ( 2) ( 2) 18. 

a b 2( a, b 0) 

 

2( 0, 0) 

1 

 

2 

a b a b 

a b 

a b 

2( 0, 0) 1 2 2, 3 2 2 . 

2 2 a b a b a b 

( a 2) ( b 2) 18 

 

a b 2( a 0, b 0) 

 

 

a 3 2 2, b 1 

2 2 

2 2 

 

 

 

( a 2) ( b 2) 18 

Vậy có 3 số phức thỏa mãn. 


Câu 38: 

Gọi M (3 t;3 2 t;2 t ) là trung điểm cạnh AC, khi đó C(4 2 t;3 4 t;1 

2 t). 

Mặt khác C thuộc đường 

phân giác trong góc C nên (4 2 t ) 2 (3 4 t ) 4 (1 2 t ) 

2 t 0 C(4;3;1). 

2 1 1 

Gọi A′ đối xứng với A qua phân giác trong góc C A' CB. 

Tọa độ điểm A’ là nghiệm của hệ 

x 2 y 3 z 3 

2 4 2 

2 2 2 

x 2; y 5; z 1 A'(2;5;1). 

 

2 1 1 

2( x 2) ( y 3) ( z 3) 0 

Phương trình đường thẳng BC qua A’, C là 

x 

4 2t 

 

y 3 2 t B(2;5;1) BC BM AB(0;2; 2). 

 

z 1 


Câu 39: 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, EF ta có 

 

( PMN) AB ( PAB),( AEFB) ( MP, MN). 

2 

2 

2 2 2. 

PO 

2; 3 .2 3; 1 2 2 . 

2 

Ta có Mn MP PN 2 

Do đó 


 

Gọi O là tâm hình vuông ABCD có 

15

2 

2 

2 2 2 2 3 1 2 2 

MN MP PN 

6 

cos PMN . 

2 MN. MP 

4 3 

3 


Câu 40: 

Do 

x xa 

e e 0, x 

do đó trước tiên phải có 

ln(1 x) ln(1 x a) 1 x 1 x a a 0. 

Vậy điều kiện của phương trình là 

Phương trình tương đương với: 

 

 

 

2 

 

1 x 0 

x 1 a, a 

0. 

1 x a 0 

x x1 

e e x x a 

ln( 1) ln( 1) 0. 

Xét hàm số ( ) x xa 

f x e e ln( x 1) ln( x a 1). 

Ta có 

x xa 1 1 

x xa a 

f '( x) 

e e e e 

x 1 x a 1 ( x 1)( x a 1) 

Bảng biến thiên: 

mọi a < 0. 


Câu 41: 

Với 

Khi đó 

lim f ( x) ; lim f ( x) f ( x) 0 

x 

x( a1) 

M x y z S x y z 

2 2 2 

( ; ; ) ( ) ( 5) ( 5) ( 14) 324. 

0, a 0, x a 

1. 

2MA 3MB 2 ( x 14) ( y 13) ( z 4) 3 ( x 7) ( y 1) ( z 1) 

2 2 2 2 2 2 

 

luôn có một nghiệm thực duy nhất với 

4 ( x 14) ( y 13) ( z 4) 5 ( x 5) ( y 5) ( z 14) 324 3 ( x 7) ( y 1) ( z 1) 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

3 ( x 9) ( y 3) ( z 6) ( x 7) ( y 1) ( z 1) 

2 2 2 2 2 2 

 

2 2 2 

3( MC MB) 3BC 3 (2 4 5 ) 9 5, C( 9;3;6). 

Dấu bằng đạt tại 


9 x 2k 

 

x 

5 

 

 

MC k BC 3 y 4k 

y 

5 

k 1 6 z 5k 

 

z 4 

M ( S) k 

1 

 

 

 

 

k 

2 

2 2 2 

( x 5) ( y 5) ( z 14) 324 


Câu 42: 

f ( x) 

Có ycbt m h( x) 

có nghiệm thuộc đoạn [0;3] (*). 

g( x) 

 

16

Trong đó 

g x x x 

4 2 

( ) 2 2. 

Ta có 

max f ( x) f (1) 9;min f ( x) 5;min g( x) g(1) 1; max g( x) g(3) 65. 

[0;3] [0;3] [0;3] 

[0;3] 

Do đó 

f (3) 1 f (1) 

min h( x) ;max h( x) 9. Vậy 

[0;3] g(3) 13 [0;3] g(1) 

1 

(*) 9 1,....,9 . 

13 

m m 

 


Câu 43: 

Có điều kiện giả thiết tương đương với: 

2 2 

 

2 2 2 2 

x y 2x 4y 1 0 x y 2x 4y 1 0 

( x 1) ( y 2) 4(1) 

 

 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 

log 2 2 (4x 4y m m 5) 1 

x y 2 

4x 4y m m 5 x y 2 ( x 2) ( y 2) m m 1(2) 

Ta có (1) là đường tròn (C 1 ) tâm I 1 (-1;2), R 1 = 2; (2) là hình tròn (C 2 ) tâm 

I R m m 

2 

2(2;2), 2 

1. 

Để tồn tại duy nhất cặp số thực (x;y) khi và chỉ khi hệ có nghiệm duy nhất tương đương 

với (C1),(C2) tiếp xúc ngoài 

I I R R m m m m 

2 

1 2 1 2 

3 1 2 0; 1. 


*Chú ý tiếp xúc trong thì đường tròn và hình tròn có vô số điểm chung. Bạn đọc cần cẩn thận cho trường 

hợp này. 


Câu 44: 

Có f (0) 1 

và hàm số đạt cực đại tại điểm x = -1 nên 

f (0) 1 b 1 a 

3 

f x x x 

f '( 1) 0 3 a 0 b 

1 

3 

Kh đó g x cx 2 dx cx 2 dx 

Đồ thị hàm số 

( ) 3 1. 

3 

( ) 3 1. 

g( x) 

qua các điểm (0;1); (-1;3); (2;3) do đó 

c 

1; d 1 

 

g( 1) 3 

 

c 0; d 1 

 

g(0) 1 

 

c , d 

g(2) 3 

 

 

 

1 1 

c , d 

2 2 

3 

( c d) 3( c d) 1 3 1 3 

3 

(4c 2 d) 3(4c 2 d) 1 3 

2 2 

Vì g( x) 

có ba điểm cực trị nên c 0; do lim g( x) c 0. 

x 

Đối chiếu lại điều kiện g(x) có ba điểm cực trị nên 

c d g x x x x x 

Vậy 

2 3 2 

1; 1 ( ) ( ) 3( ) 1. 

2 

 

S x x x x x x dx 

1 


2 3 2 3 

(( ) 3( ) 1) ( 3 1) 5,1384. 

17 

.


Câu 45: 

Mặt càu (S) có tâm I(1;1;1) bán kính R 2 3. 

Xét điểm M(a;b;c) và A(x;y;z) ta có hệ điều kiện: 

A S x y z 

0 

 

2 2 2 

IAM 90 AI AM IM 

M ( P) 

a 2b 2c 

11 0 

 

2 2 2 

( ) ( 1) ( 1) ( 1) 12 

2 2 2 

( x 1) ( y 1) ( z 1) 12(1) 

 

x a y b z c 

a 2b 2c 

11 0(3) 

 

a b c 

Lấy (1) – (2) theo vế có: 

2 2 2 2 2 2 

12 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) (2) 

 

( x 1) ( y 1) ( z 1) 12 ( x a) ( y b) ( z c) 12 ( a 1) ( b 1) ( c 1) 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm là 

( Q) : ( a 1) x ( b 1) y ( c 1) z a b c 9 0. 

( a 1) x ( b 1) y ( c 1) z a b c 9 0 

Kết hợp với (3) suy ra mặt phẳng này luôn đi qua điểm cố định (0;3;−1). 


Câu 46: 

Dựa trên đồ thị hàm số y f '( x) 

và f ( 2) 0. ta có bảng biến thiên của hàm số y f ( x) 

như sau: 

x 

-2 2 + 

y ' 

+ 0 - 0 + 

y f ( 2) 0 

+ 

Vì 

- f (2) 

x 2018 0, x 1 x 2018 1, x f 1 x 2018 

0, x. 

Do đó y f 1 x 2018 f 1 x 

2018 

. 

Và y x 2017 f x 2018 x 2017 f x 

2018 

 

TH1: 

' 2018 ' 1 0 ' 1 0. 

2018 

 

2018 

1 

x 2 

2018 x0 

2018 

x 0 y ' 0 f ' 1 x 0 x 3 x 3. 

2018 

1 x 2 

TH2: 

x0 

 

x y f x x x x 

2018 2018 2018 2018 

0 ' 0 ' 1 0 2 1 2 3 3 0. 


Câu 47: 

Xét 

g x f x x 

2 

( ) 2 ( ) ( 1) . 


18

+) Tìm số điểm cực trị của g( x) : 

x 

0 

 

x 1 

Ta có g '( x) 0 2 f '( x) 2( x 1) 0 f '( x) x 1 . x 2 

 

x 

3 

Kẻ đường thẳng y = x − 1 cắt đồ thị f′(x) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ x = 0 ; x = 1; x = 2; x = 3 

trong đó tại các điểm có hoành độ x = 2; x = 3 là các điểm tiếp xúc, do đó g′(x) chỉ đổi dấu khi qua các 

điểm x = 0; x = 1. Vì vậy hàm số g(x) có hai điểm cực trị x = 0; x = 1. 

+) Ta tìm số nghiệm của phương trình g(x) = 0. 


x 0 1 2 3 

g '( x ) - 0 + 0 - 0 - 0 - 

g( x) 

 

Suy ra phương trình 

g(0) 

g( x) 0 

g(1) 

có tối đa ba nghiệm phân biệt. 

+) Vậy hàm số y g( x) 

có tối đa 2 + 3 = 5 điểm cực trị. 


Câu 48: 

Ta có 

2 

 

1 

22 7 

f '( x) dx f (2) f (1) 1 . 

15 15 

Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 

f '( x) f '( x) 

 

x 

Do đó 

3 3 

1 1 1 1 3 

x x 3 . x . x f '( x). 

125 125 x 125 125 25 

2 2 3 

2 2 

4 4 

f '( x) 

f '( x) 

 

2 3 2 2 3 

2 2 

 

2 2 3 3 2 2 7 

x dx f '( x) dx dx f '( x) dx x dx . 

4 4 

x 125 25 x 25 125 375 

1 

 

1 1 1 1 

Vì vậy dấu bằng xảy ra, tức 

3 2 2 3 

f '( x) 1 

x x x 

Vì 

x 

4 

2 

x f '( x) f ( x) dx C. 

125 5 5 15 

2 

1 14 x 14 

f (1) 1 C 1 C f ( x) . 

15 15 5 15 

2 2 2 

x 14 7 

Vậy f ( x) dx dx . 

5 15 5 

1 1 



 

 

 

y = 0 

19

Câu 49: 

Phương trình hoành độ giao điểm 

1 

x 

0 

 

3 2 

x (2 m) x 3(2m 3) x m x m 1 2 

3 x (2 m) x 6m 

8 0(*) 

3 

Để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, hay 

 

 

 

3 

 

 

4 

6m 

8 0 

m 

 

3 

44 

2 

2 4 m 12m 

0 

(2 m) (6m 

8) 0 3 

 

Tọa độ các điểm B x1, x1 m , C x2, 

x2 

m theo vi-ét có x1 x2 3( m 2); x1x2 

3(6m 

8). 

Để ý 

 

OA Oy có véctơ chỉ phương j(0;1). 

Vậy để đường thẳng OA là phân giác của góc BOC. 

 

cos , cos , 

(1). 

m x1 m x2 

j OB j OC 

x ( m x ) x ( m x ) 

2 2 2 2 

1 1 2 2 

m 0 

2 2 2 2 

mx1 mx2 

m 

0 

 

x2 ( m x1 ) x1 m x2 

 

m 7 33. 

m( x1 x2) 2x1x 

 

2 

3 m( m 2) 6(6m 

8) 

 

 

 

m 

7 33 

Đối chiếu điều kiện (1) và 


Câu 50: 

Gọi M là trung điểm 

A 0 nhận m 7 33. 

BC AM BC EF BC 

thì F là trung điểm MB. 

Kéo dài EF AC I; IC ' AA' N. 

Khi đó C ' EF cắt lăng trj theo thiết diện là tứ giác EFC ' N. 

 


20

Khối đa diện chứa đỉnh A có V V 

'. 

V 

'. 

. 

A C AEFC C ANE 

S 

AEFC 

7 7 1 7 

Ta có VC '. AEFC 

. VC '. ABC 

VC '. ABC 

. V V. 

S 

8 8 3 24 

ABC 

Ta có 

CA 2 1 1 1 1 

CM IA AN IA AN CC ' AA'. 

CI CF 3 IC 3 CC ' IC 3 3 3 

Do đó 

1 

1 1 1 

. 

. AA'. 

AB 

S 

AN AE 

ANE 

2 2 2 3 2 2 1 

VC '. ANE 

. VC ', ABB' A' 

. V . V V. 

S AA'. AB 3 AA'. AB 3 18 

ABB' 

A' 

7 1 25 

Vậy V 

A 

V V . 

24 18 72 



21





 

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A 2; 2;1 , B 1; 1;3 

. Tọa độ vectơ AB là 

 

 

 

 

1; 1; 2 

A. 1;1;2 B. 3;3; 4 

C. 3; 3;4 

D. 

Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc 

2 

3 4 / 

v t t m s 

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng 

giây. Tính quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian từ giây thứ 3 đến giây thứ 10? 

A. 994m B. 945m C. 1001m D. 471m 

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. 

Biết rằng đường thẳng SC hợp với mặt phẳng đáy một góc 

0 

60 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 

3 

3 

3 

a 

a 

a 

3a 

A. B. C. D. 

8 

2 

4 

4 

x 

Câu 4: Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm của hàm số y e ? 

1 

x 

A. y 

B. y e 

C. y e x 

D. 

x 

3 

y ln x 

Câu 5: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, gọi H là trung điểm cạnh BC. Hình nón nhận được khi 

quay tam giác ABC xung quanh trục AH có diện tích đáy bằng: 

2 

2 

2 

a 

a 

A. a 

B. C. D. 2 a 

2 

4 

2 

Câu 6: Với mọi số thực dương a và m, n là hai số thực bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. n 

m 

m m n a 

a a 

n 

mn 

m 

n 

m 

a 

B. a 

C. D. 

n 

a 

a 

a 

a 

 

 

Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên trên 5;7 như sau 

x 

y ' 

y 

5 

1 7 


6 

0 + 

2 

9 

m 

n 

a 

nm 

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. Min f x 6 B. Min f x 2 C. Max f x 9 D. 

 

 

5;7 

 

 

 

5;7 

 

Câu 8: Số cạnh của một hình tứ diện là 

A. 8 B. 6 C. 12 D. 4 

 

 

5;7 

 

Max f 

 

 

5;7 

x 

6 

1

2 

 

 

2 

Câu 9: Cho f x 1 xdx 2 . Khi đó I f x dx bằng 

1 

5 

2 

 

A. 2 B. 1 C. 4 D. 1 

 

 

Câu 10: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a; 

b . Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ 

 

thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng x a và đường thẳng x b là 

b 

 

 

a 

b 

2 

A. S f x dx B. S f x dx C. S f x dx D. S f x dx 

a 

Câu 11: Hỏi nếu tăng chiều cao của một khối lăng trụ lên gấp 2 lần và tăng bán kính đáy của nó lên gấp 3 

lần thì thể tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với thể tích khối trụ ban đầu. 

A. 36 lần B. 6 lần C. 18 lần D. 12 lần 

Câu 12: Tập xác định của hàm số 

 

 

y 2 x 

là: 

A. 0; 

B. \ 0 

C. D. 

Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 

với (S) và song song với mặt phẳng 

b 

a 

 

 

0; 

2 2 2 

 

P : 2x y 2z 

11 0 

b 

 

a 

 

S : x y z 2x 4y 6z 

5 0 . Mặt phẳng tiếp xúc 

có phương trình là: 

A. 2x y 2z 

7 0 B. 2x y 2z 

9 0 C. 2x y 2z 

7 0 D. 2x y 2z 

9 0 

2 

x 

3 81 

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình 

4 256 

 

 

2;2 

A. ; 2 B. ; 2 2; C. R D. 

1 

 

x 

Câu 15: Nếu các số hữu tỉ a, b thỏa mãn ae b dx e 2 thì giá trị của biểu thức a b bằng 

0 

A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 

Câu 16: Nếu log 3 a thì log 108 bằng 

2 

 

72 

2 a 

2 3a 

3 2a 

2 3a 

A. B. C. D. 

3 a 

3 2a 

2 3a 

2 2a 

Câu 17: Đồ thị hàm số 

x 1 

y 

4x 

1 

 

có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây? 

1 

A. y 1 

B. x 1 

C. y 

D. 

4 

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho điểm 

trục Oy là 

 

A 1;2; 1 

 

1 

x 

4 

. Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên 

0;2;0 

1;0;0 

 

1;0; 1 

A. B. C. 0;0; 1 D. 

 

 

Câu 19: Cho cấp số nhân un 

có u1 2 và biểu thức 20u1 10u2 u3 

đạt giá trị nhỏ nhất. Số hạng thứ 

bảy của cấp số nhân 


 

u n 

 

có giá trị bằng 

A. 6250 B. 31250 C. 136250 D. 39062 

2

Câu 20: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

3 2 

A. y x 3x 

1 

B. 

4 2 

C. y x 2x 

1 

D. 

3 

y x x 

3 1 

3 

y x x 

3 1 

2x 

1 

Câu 21: Biết đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ 

x 1 

lần lượt là x , x . Khi đó giá trị của xA xB 

bằng 

A 

B 

A. 5 B. 3 C. 1 D. 2 


y ln x 

đi qua điểm 

A 

 

C e 

D e 

B0;1 

2 

A. 1;0 

B. 2; 

C. 2 ;2 

D. 

x 4 

Câu 23: Số hạng không chứa x trong khai triển 

2 x 

20 

 

x 0 

 

bằng 

9 9 

10 10 

10 11 

A. 2 C 20 

B. 2 C 20 

C. 2 C 20 

D. 

Câu 24: Cho hàm số 

Hàm số 

x 

 

y f x 

có bảng xét dấu như sau: 

8 12 

2 C 20 

2 

0 

y ' 

0 + 0 

y f x 


0; 

 

 

2;0 

A. B. ; 2 

C. 3;1 

D. 


 

y f x 

liên tục trên R và có bảng biến thiên 

x 1 

0 1 

y ' 

0 + 0 0 + 

y 

 


1 

2 

1 

 

Khẳng định nào dưới đây sai? 

M 

 

A. 0;2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số B. f 1 là một giá trị cực tiểu của hàm số 

C. x là điểm cực đại của hàm số D. x0 1 

là điểm cực tiểu của hàm số 

0 

0 

3

Câu 26: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

M 

 

1; 2;0 

 

đến mặt phẳng (P) bằng: 

P : 2x 2y z 1 0 

5 

A. 5 B. 2 C. D. 

3 


y f x 


x 2 

0 

y ' + 

y 

 

1 

1 

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng 

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 

. Khoảng cách từ điểm 

Câu 28: Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h tương ứng được tính bởi công thức 

nào dưới đây? 

1 1 

A. V S. 

h B. V S . h 

C. V 3 S. 

h D. V S . h 

3 

2 


mặt cầu (S) là 

 

2 2 2 

S : x y z 2x 4y 2z 

3 0 . Tọa độ tâm I của 

 

 

 

2;4;2 

A. 1;2;1 B. 2; 4; 2 

C. 1; 2; 1 D. 

Câu 30: Số nghiệm dương của phương trình 

2 

ln x 5 0 

A. 2 B. 4 C. 0 D. 1 

Câu 31: Cường độ của ánh sáng đi qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức 

là 

4 

3 

I 

0 

I e 

, với I 

. x 

 

0 0 

là cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào môi trường nước biển và x là độ dày của môi trường đó 

(x tính theo đơn vị mét). Biết rằng môi trường nước biển có hằng số hấp thu 1,4 . Hỏi ở độ sâu 30 mét 

thì cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu đi vào nước 

biển? 

Câu 32: Cho 

21 

A. e lần B. 42 

21 

e lần C. e lần D. e 42 lần 

này có bao nhiêu chữ số? 

M C C C ... 

C 

0 1 2 2019 

2019 2019 2019 2019 

. Viết M dưới dạng một số trong hệ thập phân thì số 

A. 610 B. 608 C. 609 D. 607 

Câu 33: Cho lăng trụ 

A' 

H 

 

 


ABC. A' B' C ' 

có đáy ABC là tam giác vuông tại B, đường cao BH. Biết 

ABC và AB 1, AC 2, AA' 2 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 

21 

7 

21 

A. B. C. D. 

12 

4 

4 

3 7 

4 

4

Câu 34: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Dựng đoạn thẳng 

SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng 

3 21 

21 

A. 3a B. a 

C. D. 

7 

7 a 3 

7 a 

: 2 2 0 

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng P x y z và Q : 2x y z 1 0 . Số 

mặt cầu đi qua 

 

 

A 1; 2;1 

và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q) là 

A. 0 B. 1 C. Vô số D. 2 

A B 

 

Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 1;2;1 , 2; 1;3 và điểm M a; b;0 

sao cho 

2 2 

MA MB nhỏ nhất. Giá trị của a b bằng 

A. 2 B. 2 

C. 3 D. 1 

Câu 37: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính đáy bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh 

của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2. Diện tích của 

thiết diện bằng 

A. 6 B. 19 C. 2 6 D. 2 3 


x 

 

y f x 

có bảng biến thiên: 

1 3 

y ' 

+ 0 0 + 

y 

5 

Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 

2 

 

4 

f x 1 1 

m 

 

có nghiệm? 

A. m 4 

B. m 1 

C. m 2 

D. m 5 

Câu 39: Cho hình cầu (S) có bán kính R. Một khối trụ có thể tích 

bẳng 

4 

3 

9 

R 

3 

và nội tiếp khối cầu (S). Chiều cao của khối trụ bẳng: 

3 

A. B. 

3 R R 2 

2 

C. D. 

2 R 2 3 

3 R 


 

 

Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

là: 

A. 1;1 

B. ; 1 

C. 1;1 

D. 

 

 

2 

y ln x 1 mx 1 

đồng biến trên 

 

 

 

; 1 

5

1 

Câu 41: Cho hàm số f x 

liên tục trên , f x 0 với mọi x và thỏa mãn f 1 

, 

2 

2 

a 

f ' x 2x 1 f x . Biết f 1 f 2 ... f 2019 

1 

với a , b , a; b 

1. Khẳng định 

b 

nào sau đây là sai? 

A. a b 2019 B. ab 2019 

C. 2a 

b 2022 D. b 2020 

Câu 42: Cho hình nón có chiều cao 2R và bán kính đường tròn đáy R. 

Xét hình trụ nội tiếp hình nón sao cho có thể tích khối trụ lớn nhất, khi 

đó bán kính đáy của khối trụ bằng: 

2R 

A. B. 

3 

3R 

C. D. 

4 

R 

3 

R 

2 

Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có các đỉnh B, C thuộc trục Ox. Gọi 

E 

6;4;0 , F 1;2;0 

 

BC là: 

lần lượt là hình chiếu của B và C trên các cạnh AC, AB. Tọa độ hình chiếu của A trên 

8 

5 

7 

A. ;0;0 B. ;0;0 

C. ;0;0 D. 

3 

3 

2 

 

 

 

2;0;0 

x 

x 

Câu 44: Cho phương trình 2 m.2 .cos x 4 , với m là tham số thực. Gọi m0 

là giá trị của m sao 

cho phương trình trên có đúng một nghiệm thực. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

 

 

A. m0 5; 1 

B. 

0 

5 

C. m0 1;0 

D. m0 0 

m 

Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại C, CH vuông góc với AB tại H, I là trung điểm 

0 

của đoại HC. Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy, ASB 

90 . Gọi O là trung điểm của đoạn AB, O' 

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI. Góc tạo bởi đường thẳng O O' và mặt phẳng (ABC) bằng: 

0 

0 

0 

A. 60 

B. 30 

C. 90 

D. 

 

 

Câu 46: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. 

Hỏi hàm số 

 

 

y f f x 

2 

A. 10 B. 11 

C. 12 D. 9 


có bao nhiêu điểm cực trị? 

 

0 

45 

6

Câu 47: Cho hàm số bậc ba y f x , hàm số y f ' x có đồ thị 

như hình vẽ. Hỏi hàm số 

khoảng nào dưới đây? 

A. 2; 1 B. 

 

 

1;2 

 

2 

 

g x f x x 

1 

C. 1;0 

D. ;0 

2 

 

nghịch biến trên 

Câu 48: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và độ dài đoạn thẳng AB bằng 4. Biết rằng tập hợp 

các điểm M sao cho MA = 3MB là một mặt cầu. Bán kính của mặt cầu bằng: 

9 

A. 3 B. C. 1 D. 

2 

Câu 49: Cho hàm số bậc bốn 

của tham số m để phương trình 

 

y f x 

A.2 B. Vô số 

C. 1 D. 0 

 

 

f x m m 

có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên 

có 4 nghiệm phân biệt là: 

 

 

Câu 50: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f ' x như 

hình vẽ. Đặt 

2 1 2 

g x f x x 

y g x 

trên đoạn 3;3 

bằng: 

 

A. g 0 

B. g 

 

 

C. g 3 

D. g 

1 

3 

. Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số 


3 

2 

7

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 

1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.B 7.B 8.B 9.C 10.B 

11.C 12.C 13.C 14.C 15.A 16.B 17.C 18.A 19.B 20.D 

21.A 22.A 23.B 24.D 25.A 26.C 27.D 28.B 29.A 30.A 

31.B 32.B 33.C 34.B 35.A 36.A 37.C 38.A 39.D 40.D 

41.A 42.A 43.A 44.A 45.B 46.B 47.B 48.D 49.C 50.C 

Câu 1 (NB): 

Phương pháp: 

Cho hai điểm A x ; y ; z , B x ; y ; z AB x x ; y y ; z z 

Cách giải: 

 

Ta có: AB 1;1;2 

 

Chọn: A 

Câu 2 (TH): 


 

1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 

Sử dụng công thức tính quãng đường xe đi được trong khoảng thời gian từ a đến b là: 


Ta có quãng đường vật đó chuyển động được là: 

10 10 

2 3 

 

s 3t 4 dt t 4t 1001 ( m) 

3 

Chọn: C 

Câu 3 (TH): 


3 

1 

Công thức tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh 

3 


Ta có: SA ABC 

0 

SC, ABC SA, SC SCA 60 

 

Xét 

SAC 

ta có: 

SA AC a 

0 

.tan 60 3 

2 3 

1 1 a 3 a 

V SA. S 

ABC 

. a 3. 

3 3 4 4 

Chọn: C 


b 

a 

 

s v t dt 

Câu 4 (NB): 


8

Sử dụng công thức nguyên hàm của hàm cơ bản 


 

x x 

e dx e C 

Ta có: 

 

Chọn: B 

Câu 5 (TH): 

x x 

e dx e C 


Diện tích đường tròn bán kính R là 


Ta có: 

Chọn: B 

Câu 6 (NB): 

S 

R 

BC a a 

R HB S R 

a 

2 2 4 4 


2 2 

2 

 

d 

. 

 

Sử dụng các công thức của lũy thừa và chọn đáp án đúng. 


m 

n 

a 

a a ; a . a a ; a 

n 

a 

Ta có: 

. 

Chọn: B 

Câu 7 (NB): 


m m n m n m n mn 

2 

Dựa vào BBT, nhận xét các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng xác định 

của nó. 


Dựa vào BBT ta thấy: min f x 2 khi 1, hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên 

Chọn: A 

Câu 8 (NB): 


 

 

5;7 

 

Vẽ hình tứ diện và đếm số cạnh của tứ diện. 


Tứ diện gồm 3 cạnh bên và 3 cạnh đáy nên có 6 cạnh. 

Chọn: B 

Câu 9 (TH): 


Sử dụng phương pháp đổi biến và tính chất: 


x 5;7 


b 

 

a 

 

b 

 

a 

 

f x dx f t dt 

để làm bài toán. 

9

Đặt 

x 1 t dt 2xdx xdx dt . Đổi cận: 

2 

2 1 

x 

1 

t 2 

 

x 

2 t 5 

2 5 5 5 

2 1 

I f x 1 xdx f t dt 2 f t dt 4 f xdx 

4 

2 

 

Chọn: D 

Câu 10 (NB): 

1 2 2 2 


Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng 

hàm số 


Ta có: 

Chọn: B 

y f x, 

y g x 

là: S f x g xdx 

b 

a 

 

S f x dx 

Câu 11 (TH): 


b 

 

a 

2 

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ bán kính R và chiều cao h là V R h 


Gọi hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h thì có thể tích là V 

Chiều cao tăng lên hai lần nên chiều cao mới của hình trụ là 2h 

Bán kính tăng lên ba lần nên bán kính mới của hình trụ là 3R 

Thể tích khối trụ lúc này là 2 2 

 

 

Chọn: C 

Câu 12 (NB): 


Hàm số 


Hàm số 

Chọn: C 

 

 

x 

y a a 0 có TXĐ D 

y 

2 x 

Câu 13 (TH): 


có TXĐ 

V1 3 R .2h 18 R h 18V 

D 

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng P : ax by cz d 0 

ax by cz d ' 0 d d ' 

Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R thì ; 

Từ đó tìm được d ' ptmp Q 


2 

R h 

x a, 

x b a b 


thì có phương trình 

d I Q R 

 

 

và các đồ thị 

10

Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm, khi đó Q / / P mặt phẳng (Q) phương trình 

2x y 2z d 0 d 11 

 

I 

Mặt cầu (S) có tâm 2 2 2 

 

1;2;3 ; R 1 2 3 5 3 

Mà mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d I Q 

d 

7 (tm) 

2 d 9 

d 

11 (ktm) 

Vậy phương trình mặt phẳng Q : 2x y 2z 

7 0 

Chọn: C 

Câu 14 (TH): 


Đưa về cùng cơ số 


g x 

 

0 1 

f x 

a a a f x g x 

2 2 

x 

x 

4 

 

2 2 2.3 d 2 d 

; 3 3 3 

2 2 

2 1 2 3 

2 

3 81 3 3 

2 2 

Ta có x 

4 x 4 0 (luôn đúng với mọi x) 

4 256 4 4 

Vậy phương trình có tập nghiệm 

Chọn: C 

Câu 15 (TH): 


Sử dụng các nguyên hàm cơ bản 

Tính tích phân 


1 

 

 

 

x x 

e dx e C 

x 

ae b dx từ đó suy ra a; 

b a b 

0 

1 1 

x 

x 

Ta có 

0 

Từ bài ra ta có 

Chọn: A 

Câu 16 (TH): 


ae b dx ae bx ae b a 

0 

a 

1 

ae b a e 2 a b 4 

b 

3 

m 

Sử dụng các công thức: log b mlog b,log bc log b log c 


Ta có: 

a a a a a 

1 1 

log72 108 log72 36.3 log72 36 log72 

3 

log 72 log 72 

1 

log36 72 log36 36.2 log36 36 log 2 1 

log 

6 

6 

2 

2 

+) 2 


36 3 

11

1 1 1 1 1 1 3 

2a 

1 . 1 . 1 . 

2 log 6 2 log 2 log 3 2 1 a 2 2a 

2 2 2 

3 2 

3 3 2a 

)log3 72 log3 2 .3 3log3 2 2log3 

3 2 

a a 

2 2a a 2 3a 

Suy ra log72 

108 

3 2a 3 2a 3 

2a 

Chọn: B 

Chú ý: 

Các em có thể bấm máy bằng cách thử đáp án 

Kết quả nào nhận được là 0 thì ta chọn 

Câu 17(NB): 


log 108 trừ các biểu thức trong các đáp án. 

ax b 

a 

Đồ thị hàm số y nhận đường thẳng y làm đường tiệm cận ngang. 

cx d 

c 


x 1 

1 

Đồ thị hàm số y nhận đường thẳng y làm đường tiệm cận ngang. 

4x 

1 

4 

Chọn: C 

Câu 18 (NB): 


Hình chiếu của điểm 


Hình chiếu của điểm 

Chọn: A 

Câu 19 (TH): 


 

 

M a; b; 

c 

xuống trục Oy là M 0; b;0 

A1;2; 1 

xuống trục Oy là A0;2;0 

Cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q q 0 có số hạng thứ n là u 


un 

1 

 

 

72 

u 

Gọi cấp số nhân có số hạng đầu và công bội 

un 

1 

u qq 0 

2 

Ta có u u u q q q 

2 

20 10 2 20 40 2 5 10 10 

1 2 3 

Dấu “=” xảy ra khi q 5 0 q 5 

Số hạng thứ 7 của cấp số nhân là 

Chọn: B 

Câu 20 (TH): 


u 

u 6 6 

7 1 

. q 2.5 31250 

n 

u q 

Chọn một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay tọa độ vào các hàm số ở đáp án để loại trừ. 



Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số là đồ thị của hàm đa thức bậc ba có hệ số a 0 nên loại B và C. 

1 . n 

12

Nhận thấy điểm có tọa độ 1;3 

thuộc đồ thị hàm số nên thay x 1; y 3 vào hai hàm số còn lại ta 

3 

thấy chỉ có hàm số y x 3x 

1 

thỏa mãn nên chọn D. 

Chọn: D 

Câu 21(TH): 


Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số, tìm hoành độ giao điểm hoặc áp dụng định 

lý Vi-et để tính giá trị biểu thức đề bài yêu cầu. 


Điều kiện: x 1 

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 

 

2 2 

x 2 x 1 2x 1 x 3x 2 2x 1 0 x 5x 

1 0 

Ta có 

2 

5 4 21 0 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x , x 

Áp dụng định lí Vi-et ta có x x 5 

Chọn: A 

Câu 22 (NB): 


A 

Thay tọa độ các điểm vào công thức hàm số và chọn đáp án đúng. 


A 

 

 

Xét điểm 1;0 ta có: ln1 0 tm A thuộc đồ thị hàm số 

Chọn: A 

Câu 23 (TH): 


 

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: a b 

Cn 

a b 


B 

n 

n k n k k 

20 20 20 

x 4 x 4 

4 4 

Ta có: C20 . C20. x C20. 

x 

k k 3k 

2 x k 0 2 x k 0 4 2 k 0 

2 

k 0 

20 k 20k 

20 20 

k k 2k 20 k 2k 

20 

Để có số hạng không chứa x trong khai triển thì: 2k 

20 0 k 10 

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: C 

Chọn: B 

Câu 24 (NB): 


Dựa vào BBT để nhận xét tính đơn điệu của hàm số. 


Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trên 2;0 

Chọn: D 

Câu 25 (NB): 


4 

2 

20 

10 10 10 

20. 2 . C 

30 

20 

 

A 

B 

13


Dựa vào BBT để nhận xét các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. 


Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại 

Chọn: A 

Câu 26 (TH): 


 

x 0; y 2 M 0;2 

CD 

 

 

là điểm cực đại của hàm số. 

Công thức tính khoảng cách từ điểm M x ; y ; z đến mặt phẳng P : ax by cz d 0 là: 

ax by cz d 

0 0 0 

; P 

d M 


Ta có: d M ; P 

Chọn: C 

 

Câu 27 (TH): 


 

a b c 

2 2 2 

 

2.1 2. 2 0 1 5 

 

 

2 2 2 

2 2 1 

3 

 

0 0 0 

+) Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số 

 

y f x lim f x 

 

+) Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f x f x b 


xa 

lim 

Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng 

làm TCN. 

Như vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. 

Chọn: D 

Câu 28 (NB): 


x 

1 

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh 

3 


1 


3 

Chọn: B 

Câu 29: 


2 2 2 

Mặt cầu x y z 2ax 2by 2cz d 0 có tâm I a; b; 

c và bán kính 


 

Ta có mặt cầu có tâm I 1;2;1 

Chọn: A 

 

x 2, x 0 là các TCĐ và đường thẳng y 0 


2 2 2 

R a b c d 

14

Câu 30: 


Giải phương trình logarit: log 0 1 


Ta có: 

2 2 0 

ln x 5 0 x 5 e 1 

f x b a f x a 

a 

2 2 

x 5 1 x 6 x 

6 

 

2 

 

2 

x 5 1 x 4 

x 4 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt. 

Chọn: A 

Câu 31 (TH): 


Thay x 0; x 30 vào công thức I I0e x 

để tính tỉ số 


Cường độ ánh sáng lúc bắt đầu đi vào nước biển (ứng với x = 0) là 

Cường độ ánh sáng ở độ sâu 30m là 

Nên lúc này cường độ ánh sáng giảm đi 

Chọn: B 

Câu 32 (VD): 


I 

I I e I e 

e 

1,4.30 42 0 

2 0 0 42 

e 

42 

b 

I I e I 

.0 

1 0 0 

lần so với cường độ ánh sáng lúc bắt đầu đi vào nước biển. 

n k nk k 

Sử dụng công thức nhị thức Newton a b C a b n k 0; n, 

k 

n 

 

k 0 

 

n 

M 

Sử dụng số các chữ số M trong hệ thập phân là log 1 với log M là phần nguyên của log M 


2019 


k 

Ta có 1 x 

C2019. 

x 

k 0 


 

k 

Với x = 1 thì ta có 

Viết số 


M 2 

k 0 

k 

2019 0 1 2 2019 2019 2019 


11 


 


 


... 


2 2 

C C C C C M 

dưới dạng số thập phân thì có số các chữ số là: 

 

log M 1 

log 2 2019 

 

1 2019.log 2 1 607 1 608 chữ số. 

Chọn: B 

Câu 33 (VD): 


Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S là V = h.S 

Tính toán các cạnh dựa vào định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông. 


Xét tam giác vuông ABC có: 


15

BC AC AB 

2 2 2 2 

 

2 1 3 

2 

2 AB 1 

AB AH. 

AC AH 

AC 2 

Vì ' 

A H ABC A' 

H AC 

và 

Xét tam giác vuông 

AA' 

H 

có 

2 2 1 7 

A' H AA' AH 2 4 2 

Thể tích khối lăng trụ là V 

. ' ' 

ABC A B C 

Chọn: C 

Câu 34: 


Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách. 


Gọi M là trung điểm của AB ta có CM AB 

Trong (ABC) kẻ / / 

Ta có 

7 AB. BC 7 1. 3 21 

A' H. S 

ABC 

. . 

2 2 2 2 4 

HN CM N AB NH AB 

AB NH 

 

 

AB SH SH ABC 

Trong (SHN) kẻ 

HK SN 

 

 

HK AB 

AB SHN 

Có: 

 

 

HK SN K SN 

 

 

 

AB 

 

 

ta có 

SHN 

; 

HK SAB d H SAB HK 

 

 

 

 

d C; SAB CA 3 

CH SAB A d H; 

SAB 

HA 

2 

d C; SAB 3 d H; 

SAB 

 

3 HK 

2 2 

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: 

HN AH 2 2 2 3a 

3 

HN CM . a 3 

CM AC 3 3 3 2 

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHN ta có; 

2 

SH. HN 2 a. a 3 2a 3 2 21a 

HK 

2 2 2 2 

SH HN 4a 3a 

a 7 

3 3 21a 

d C SAB HK 

2 7 

Vậy ; 

Chọn: B 

Câu 35 (VD): 


 


7 

16

Tính bán kính mặt cầu 

1 1 

R d P; Q d M ; Q 

với M P 

2 2 

Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) rồi lập luận số mặt cầu thỏa mãn. 


2 

Ta có P : 2x y z 2 0; Q 

: 2x y z 1 0 có 1 1 1 

nên 

2 1 1 2 

3 3 

 

6 6 

Lấy M 0;0;2 P d P; Q d M ; Q 

P / / Q 

1 

3 

2 2 6 

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu R d P; 

Q 

 

 

2.1 2 1 2 3 

Nhận thấy d A; P 

 

d P; 

Q 

mà AQ 

nên A nằm khác phía với 

6 6 

mặt phẳng (Q) bờ là mặt phẳng (P). Suy ra A không thuộc mặt cầu cần tìm nên không có mặt cầu 

thỏa mãn đề bài. 

Chọn: A 

Câu 36 (VD): 


2 2 2 

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB x x y y z z 

+) Đưa về dạng hằng đẳng thức và nhận xét. 


Ta có: 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 

MA MB a 1 b 2 1 a 2 b 1 3 

 

2 2 2 2 

2a 2b 6a 2b 10 2 a b 3a b 5 

2 2 

3 1 5 

5 

2 a b 

 

 

2 2 2 

2 

Dấu “=” xảy ra 

Chọn: A 

Câu 37 (VD): 


 

3 1 3 1 

a , b a b 2 

2 2 2 2 

 

B A B A B A 

+) Gọi S là đỉnh hình nón và O là tâm đường tròn đáy của hình nón. Giả sử (P) cắt nón theo thiết diện là 

tam giác SAB. 

+) Gọi M là trung điểm của AB, tính SM, từ đó tính SSAB 


Gọi S là đỉnh hình nón và O là tâm đường tròn đáy của hình nón. 

Giả sử (P) cắt nón theo thiết diện là tam giác SAB. 

Gọi M là trung điểm của AB ta có 


17

AB 

 

OM AB SOM AB SM 

AB 

SO 

Trong tam giác vuông OBM ta có: 

Trong tam giác vuông SOM ta có: 

Vậy 

SSAB 

Chọn: C 

1 1 

SM. AB .2 6.2 2 6 

2 2 

OM OB MB 

2 2 2 2 

 

SM SO OM 

3 1 8 

2 2 2 

 

4 8 2 6 

Câu 38 (VD): 


- Đặt ẩn phụ t x 1 1, tìm điều kiện của t t D 

 

- Xét hàm f t 

và lập bảng biến thiên trên D. 

Bất phương trình 


 

f t 

m 

có nghiệm nếu 

 

min f t m 

D 

Đặt t x 1 1 thì t 1; . Với x 3 thì t 3 . 

 

Bảng biến thiên của f t 

: 

Do đó bất phương trình 

Chọn: A 

Câu 39 (VD): 


 

t 1 3 

' 

f t 

 

f t 2 

 

f t 

 

0 + 

4 

m có nghiệm khi và chỉ khi m 4 

+) Đặt OO' h 0 h 2R 

. Tính bán kính r của trụ theo h. 

+) Tính thể tích khối trụ, sử dụng công thức V r 2 h . 


Đặt ' 0 2 

OO h h R OI 

Gọi r là bán kính đáy hình trụ ta có 

Khi đó thể tích khối trụ là: 


h 

2 

2 2 2 

2 h 4R h 

r R 

4 2 

 

 

18

2 2 

4R 

h 4 

3 

V . h R 94R h h 16 3R 

4 9 

3 2 2 3 

16 3R 

36R 

 

h h 

3 2 

3 2 3 

16 3R 36R h 9h 

0 9 0 

3 2 

R 

Đặt t 

h 

1 

2 

3 2 

, phương trình trở thành 16 3t 

36t 

9 0 

R 3 2R 

2 3 

h R 

h 2 3 3 

Chọn: D 

Câu 40 (VD): 


+) Hàm số đồng biến trên y ' 0 x 

và bằng 0 tại hữu hạn điểm. 

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng m g x x m min g x 

 

+) Lập BBT của hàm số y g x và kết luận. 


TXĐ: 

2x 

D . Ta có y ' m 

2 

x 1 

Để hàm số đồng biến trên 

2x 

g x 

m x m min g x 

2 

x 1 

 

Xét hàm số 

BBT: 

x 

g ' x 

 

2 

g x 

g x 

0 

2x 

x 1 

 

 

2x 

thì y ' 0 x m 0 x 

 

2 

x 1 

ta có 

Từ BBT ta có g x g 

m 1 m ; 1 

Chọn: D 

Câu 41 (VDC): 


 

 

 

2 

 

2 

 

2 2 

x 1 x 

1 

2 x 1 2 x.2x 2x 

2 

g ' x 0 x 1 

2 2 

1 

1 

min 1 1 

 

 

 

0 + 0 


1 

- Lấy nguyên hàm hai vế từ đẳng thức đạo hàm và kết hợp điều kiện tìm f x . 

1 

 

 

0 

19

- Tính các giá trị f 1 , f 2 ,..., f 2019 thay vào tính tổng. 

- Tìm a, b và kết luận. 


2 

Ta có: 

x 

x 

f ' 

f ' x 2x 1 f x 2x 

1 

2 

f 

 

Nguyên hàm hai vế ta được: 

 

 

 

f ' x 1 

dx 2 

 

2 

2 x 1 

dx x x C 

 

 

f x f x 

Do f 

Do đó 

1 

1 

 

2 

 

nên 

1 

C C 

1 

 

2 

2 

1 1 0 

1 1 1 1 

 

f x x x x 1 

x 

2 

x x f x 

2 

1 1 1 1 1 1 1 

f 1 f 2 ... f 2019 ... 1 

2 1 3 2 2020 2019 2010 

Vậy a 1, b 2020 

Đối chiếu các đáp án ta thấy A sai. 

Chọn: A 

Câu 42 (VD): 


- Gọi bán kính đáy khối trụ là r 0 r R . 

- Lập hàm số thể tích khối trụ và tìm GTLN đạt được. 


 

 


Gọi chiều cao khối trụ là h và bán kính đáy khối trụ là r. 

O' A' SO' r 2R h 

Ta có: h 2R 2r 

OA SO R 2R 

Thể tích khối trụ: V r 2 h r 2 . 2R 2r 2 

Rr 2 r 

3 

 

20

2 3 

2 2R 

Xét hàm f r Rr r có f ' r 2rR 3r 0 r (vì 0 r R ) 

3 


r 

0 2R 

3 

f 'r 

+ 0 

 

R 

f r 

f max 

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số 

Vậy 

V max 

đạt được khi 

Chọn: A 



2R 

r 

3 

f r 

đạt GTLN tại 

- Gọi D là hình chiếu của A lên BC. 

1 

- Sử dụng hình học phẳng chứng minh DN DM với M, N là hình chiếu của E, F lên BC. 

2 


Gọi N, D, M lần lượt là hình chiếu của F, A, E lên BC. H là trực 

tâm tam giác. 

Dễ thấy D B (tứ giác FHDB nội tiếp), D C (tứ giác EHDC 

nội tiếp). 

1 

 

1 

2 1 

r 

2R 

3 

Mà B C (cùng phụ góc BAC) nên D D FDN EDC . 

1 

 

1 

1 2 

Xét tam giác FDN đồng dạng tam giác EDM (g-g) 

ND 

 

DM 

FN 

 

EM 

F E 

Mà 1;2;0 , 6;4;0 nên N 1;0;0 , M 6;0;0 và 

Suy ra 

Gọi 

Vậy 

1 

DN DM 

2 

D 

x;0;0 

BC thì 1 x 1 6 

x 

x 

8 

2 3 

Chọn: A 

D 8 

 

;0;0 

3 


DN FN 1 

FN 2, EM 4 DM 

EM 

2 


21


- Biến đổi phương trình và nhận xét tính đối xứng của nghiệm. 

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất suy ra m. 


4 

2 .2 cos 4 2 .2 cos 4 cos 2 cos 2 2 

2 

Ta có: m x m x m x m 

x 

x x 2 x x x x 2 x 

x 

 

2 

x x 

Trong phương trình mcos x 2 2 , nếu ta thay x bởi 2 x thì phương trình trở thành: 

 

 

 

mcos 2 x 2 2 mcos x 2 2 

2 x x x 2x 

Suy ra x và 2 x có vai trò như nhau trong phương trình nên nếu phương trình nhận x làm nghiệm thì 

nó cũng nhận 

 

0 

2 x 0 

làm nghiệm. 

Do đó để phương trình có đúng một nghiệm thực thì x0 2 x0 x0 

1 

Với x 1 thì m 

Thử lại, 

Với 

1 1 

cos 2 2 m 4 

 

m 4 

ta có: 2 x 

x 

4.2 .cos x 4 * 

 

x 

x 

Điều kiện: 

x 

x 

4.2 .cos 4 0 2 cos 1 0 

2x x x 2x x 2x 

Khi đó * 2 4.2 cos x 4 2 4cos x 2 2 2 4cos 

 

x 

Ta thấy: 

x 2 2 

2 2 x x x 

2 2 .2 4 và cos 

x 1 4cos 

x 

4 

x 2x 

Suy ra 

Vậy với 

2 2 4 4cos x x 1 

m 4 

thì phương trình có nghiệm duy nhất. 

Kiểm tra các đáp án ta thấy A thỏa mãn. 

Chọn: A 



- Dựng tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 

- Xác định góc giữa OO ' và mặt phẳng (ABC), chú ý tìm một đường thẳng song song với OO' 

suy ra 

góc. 


Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB. 

Qua J kẻ đường thẳng vuông góc với (IAB), cắt mặt phẳng trung trực 

của SI tại O ' thì O' 

là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SIAB. 

Lại có O' J ABC OO ', ABC OO ', OJ 

Do tam giác SAB vuông nên 

giác SAB hay OO ' SAB 

Kẻ 

Do đó 

OO' 

là trục đường tròn ngoại tiếp tam 

AB 

AH 

IK SH . Ta có AB SIH AB IK 

AB 

SI 

IK 

 

SAB 

 


nên 

IK 

OO 

' 

22

Ngoài ra OJ AB (trung trực của AB) và IH AB nên IH / / OJ 

Từ đó ', , 

OO OJ IK IH KIH 

2 2 

Trong các tam giác vuông CAB, SAB ta có: CH HA. 

HB SH CH SH 

Lại có SI vừa là đường cao vừa là trung tuyến trong tam giác SCH nên tam giác SCH cân tại S 

SC SH CH 

KHI 60 KIH 30 

hay tam giác SCH đều. 

0 0 

Vậy góc giữa OO' và (ABC) bằng 

Chọn: B 


Ta có: 

0 

30 

 

 

y ' 

 

f f x 2 

 

' f ' x . f ' f x 2 

x 

 

 

f ' 0 1 

y ' 0 

 

f ' f x 2 0 2 

 

 

x 

x1 

1;2 

 

Xét (1): f ' x 

0 x 

2 hay phương trình f ' x 

0 có 3 nghiệm phân biệt. 

 

x 

x2 

2;3 

Xét (2): 

Phương trình 



 

 

 

 

 

 

 

f x 2 x1 f x x1 

2 1;0 

 

 

f ' f x 

2 

0 f x 2 2 f x 0 

 

f x 2 x 

 

 

2 f x x2 

2 

0;1 

 

1 

2 

f x x 

f 

x 0 

 

2 

2 

f x x 

có 4 nghiệm phân biệt. 

có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép (bội hai). 


Suy ra phương trình y ' 0 có tất cả 3 4 2 2 11 

nghiệm đơn phân biệt. 

Vậy hàm số đã cho có 11 điểm cực trị. 

Chọn: B 

Chú ý: Một số em có thể sẽ quên mất khi xét số nghiệm của phương trình 

biệt mà không loại nghiệm kép dẫn đến chọn nhầm đáp án C là sai. 



' 

- Tính g x . 

' 

- Xét dấu g x trong từng khoảng đưa ra ở mỗi đáp án và kết luận. 


Ta có: g x f x x 2 g ' x 2x 1 f ' x x 

2 

 

Đáp án A: Trong khoảng 

+) x 

2 1 0 

 

 

2; 1 

ta có: 

f 

x 0 


có 3 nghiệm phân 

23

2 

+) 2 x x 0 nên 

2 

f x x 

' 0 

g x 

 

Do đó ' 0 hay hàm số y g x đồng biến trong khoảng này. Loại A. 

Đáp án B: Trong khoảng 

+) x 

2 1 0 

2 

+) 6 x x 2 nên 

 

1;2 

 

ta có: 

2 

f x x 

' 0 

g x 

 

Do đó ' 0 hay hàm số y g x nghịch biến trong khoảng này 

Chọn: B 



2 2 

- Biến đổi MA 3MB MA 9MB 

0. 

 

- Tìm điểm I thỏa mãn IA 9IB 

. 

2 2 

- Xen điểm I vào đẳng thức MA 9MB 

0 và tính MI. 


 

Ta có: MA MB MA MB MA MB 

 

Ta tìm điểm I thỏa mãn IA 9IB 0 IA 9IB 

Đặt 

2 2 

2 2 

3 9 0 9 0 

1 

IB x IA 9x 4 AB IA IB 9x x 8x x 

2 

9 1 

Do đó IA , IB 

2 2 

2 2 2 2 

Khi đó MA 9MB 0 MI IA 9MI IB 

0 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 

MI 2 MI. IA IA 9 MI 2 MI. IB IB 0 MI IA 9MI 9IB 2MI IA 9IB 

0 

 

2 2 2 

8MI IA 9IB 

0 

 

2 2 

2 

2 2 

9 1 9 3 

8MI 9. 0 8MI 18 

MI MI 

2 2 

4 2 

Vậy M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính 

Chọn: D 




 

f x m 


 

3 

MI 

2 

được tạo thành bằng cách. 

+) Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số 

f x f x 

24

f x 

 

 

+) Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số f x m bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x dọc 

theo trục Ox sang bên trái m đơn vị. 



 

f x m 

 

được tạo thành bằng cách. 

f x 

f x 

 

+) Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số bằng cách giữ đồ thị hàm số f x bên phải trục 

hoành, xóa đi phần đồ thị hàm số bên trái trục hoành và lấy đối xứng đồ thị hàm số f 

hoành qua trục hoành. 

x 

bên phải trục 

f x 

 

 

+) Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số f x m bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số f x dọc 

theo trục Ox sang bên trái m đơn vị. 

Từ đó ta có đồ thị hàm số f 

Quá trình tịnh tiến đồ thị hàm số f 

 

x 

 

như sau: 

 

x 

 

dọc theo trục Ox sang bên trái m 

đơn vị không làm thay đổi số tương giao, do đó phương trình 

 

 

f x m m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 1 

hoặc 

Mà m 

m 1 

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Chọn: C 



- Tính g ' x 

- Vẽ đường thẳng y x 1 trên cùng một mặt phẳng tọa độ với 

4 

m 

3 

f ' x 

 

- Dựa vào mối quan hệ diện tích hình phẳng nhận xét các giá trị g 1 , g 3 , g 3 

và kết luận. 


Ta có: g ' x 2 f ' x 2x 1 2 f ' x x 

1 

Vẽ đường thẳng y x 1 

ta thấy, 

' 

 

 

Đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y x 1 

tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 3;1;3 

nên hàm 

số chỉ có thể đạt GTNN tại một trong ba điểm này. 

Ta có: 

1 1 

 

+) 1 3 ' 2 ' 1 

g g g x dx f x x 

dx 

 

 

3 3 

 

 

Do trong khoảng 3;1 

thì đồ thị y f ' x nằm phía trên đường thẳng y x 1 

nên 

1 

 

 

f ' x x 1 

dx 0 hay g 1 g 3 0 g 3 g 1 

3 


25

3 3 

 

+) 3 1 ' 2 ' 1 

g g g x dx f x x dx 

1 1 

1;3 

 

Do trong khoảng thì đồ thị y f ' x nằm phía dưới đường thẳng y x 1 

nên 

1 

 

 

f ' x x 1 

dx 0 hay g 1 g 3 0 g 1 g 3 

3 

Từ đó suy ra 

Lại có 

Vậy 

Chọn: C 

g 1 

là GTLN của hàm số. 

g 1 g 3 S S g 1 g 3 

nên g 3 g 3 

1 2 

g 3 g 3 g 1 

nên GTNN của hàm số là g 3 


26





Câu 1: Cho khối nón có độ dài đường cao bằng 2a và bán kính đáy bằng a. Thể tích của khối nón đã cho 

bằng: 

3 

3 

3 

2 a 

4 a 

a 

A. B. C. D. 2 

a 

3 

3 

3 

3 

Câu 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a và SA 

khối chóp SABCD bằng: 

3 

3 

a 

2a 3 

A. B. C. a 

D. 

6 

6 

Câu 3: Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường thẳng 

là: 

 

 

3 

a 

3 

(ABCD). Thể tích 

x 1 y 3 z 3 

: 

1 2 5 

 

1;3;3 

 

1; 2; 5 

A. 1;2; 5 B. C. 1;3; 3 D. 

Câu 4: Với a, b là các số thực dương bất kì, 

log 

a b 

2 2 

bằng: 

A. 2log a 1 a 

2 

B. log2 

C. log2 a 2log2 

b D. 

b 

2 b 

A B 

có tọa độ 

log a log 2b 

2 2 

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 2; 1;3 và 0;3;1 . Gọi là mặt phẳng trung trực 

của AB. Một vecto pháp tuyến của 

 

 

 

 

có tọa độ là: 

 

 

 

1;0;1 

 

A. 2;4; 1 B. 1;2; 1 

C. 1;1;2 

D. 

 

 

Câu 6: Cho cấp số nhân có u 1, u 2 

. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

un 

1 2 

2018 



A. u B. u 

C. u D. u 


2 


2 

Câu 7: Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 

A. y = x 2 - 2 B. y = x 4 + x 2 - 2 

C. y = x 4 - x 2 - 2 D. y = x 2 + x – 2 


2 


2018 


2 

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; 2; 5) và mặt phẳng 

mặt cầu tâm I và tiếp xúc với 

 

 

là: 

A. x 1 y 2 z 5 3 

B. 

: x 2y 2z 

2 0 

2 2 

2 

x y z 

 

2 2 2 

1 2 5 3 

. Phương trình 

1

2 2 

2 

x y z 

 

C. x 1 y 2 z 5 9 

D. 


y f x 

có đồ thị như hình vẽ bên. 

Trên đoạn [-3;3], hàm số đã cho có mấy điểm cực trị? 

A. 4 B. 5 

C. 2 D. 3 

2 2 2 

1 2 5 9 

f x 

 

Câu 10: Cho và g x là các hàm số liên tục bất kì trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 

b b b 

 

 

 

 

A. f x g x dx f x dx g x dx B. 

a a a 

b b b 

C. 

f x g x 

dx f x dx g x dx D. 


b b b 

f x g x dx f x dx g x dx 

a a a 

 

 

 

 

a a a 

 

y f x 

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng: 

0;2 

2;0 

A. B. 

 

2;3 

C. 3; 1 D. 

Câu 12: Tất cả các nguyên hàm của hàm 


f 

x 

 

1 

3x 

2 

là: 

b b b 


a a a 

2 2 

A. 2 3x 

2 C B. 3 x 2 C 

C. 3 x 2 C D. 2 3x 

2 C 

3 

3 

Câu 13: Khi đặt 3 x x1 x1 

t thì phương trình 9 3 30 0 trở thành: 

2 

2 

2 

A. 3t 

t 10 0 B. 9t 

3t 

10 0 C. t t 10 0 D. 

Câu 14: Từ các chữ số 1; 2; 3;…; 9 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau. 

A 9 

9 

3 

3 

A. 3 

B. C. 9 

D. 

Câu 15: Cho số phức z 2 

i . Trong hình bên điểm biểu diễn số phức z là: 

A. M B. Q 

C. P D. N 


2 

2t 

t 1 0 

3 

C 9 

2

x 1 y 2 z 3 

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1 

: và 

2 1 2 

x 3 y 1 z 2 

2 

: . Góc giữa hai đường thẳng 1, 

2 

bằng: 

1 1 4 

0 

0 

0 

0 

A. 30 

B. 45 

C. 60 

D. 135 

Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn 

 

z 2z 6 2i 

. Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ là: 

 

 

2;2 

2;2 

A. 2; 2 

B. 2; 2 

C. D. 

Câu 18: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 

P : x 2y z 5 0 . Tọa độ giao điểm của d và (P) là: 

 

x 2 y 1 

z 

d : 

1 2 2 

 

 

 

1;3;2 

 

A. 2;1; 1 B. 3 1; 2 

C. 1;3; 2 

D. 

Câu 19: Bất phương trình 

2 

x x x 

log 3 log 9 

4 2 

có bao nhiêu nghiệm nguyên? 

A. vô số B. 1 C. 4 D. 3 

Câu 20: Hàm số 

 

 

3 

y x 3x 

e 


A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 


Câu 21: Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 x , y 0, x 0 và x 2 . Thể tích V của khối 

tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục Ox được xác định bởi công thức: 

2 

 

1 

A. 2 x 

1 

V dx B. 2 x 

V dx 

C. V 4 x dx D. V 


Hàm số 

0 

 

y 2 

f x 

 

y f x 

A. B. 

2 

0 

có đồ thị như hình bên: 

đồng biến trên khoảng: 

1;2 

2;3 

 

1;1 

 

C. 1;0 

D. 


2 

x x 1 

y 

x 1 

có bao nhiêu đường tiệm cận? 

A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 

Câu 24: Hàm số y log a 

x và y log b 

x có đồ thị như hình vẽ bên: 

Đường thẳng y = 3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ x , x . 

a 

Biết rằng x2 2x1 

, giá trị của bằng: 

b 

1 

A. B. 

2 

C. 2 D. 3 2 

3 

Câu 25: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D ' có AB a, AD 2 a, AC ' 6a 

. Thể tích khối hộp 

chữ nhật 

ABCD. A' B' C ' D' 


bằng: 

1 2 

2 

0 

2 

4 x 

 

0 

dx 

3

3 

3 

3a 

2a 3 

A. B. C. 2a 

D. 

3 

3 

2 

f x 

 

3 

2 3a 

2 

x 

Câu 26: Cho hàm số có đạo hàm f ' x x x x 2 2 4 , x 

. Số điểm cực trị của 

f 

x 

là: 

A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 

Câu 27: Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' 

có cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình trụ có 

đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A' B' C ' D' 

là: 

2 

2 

2 

A. 2 

a B. 2 

a 

C. a 

D. 

2 

2 2 

a 

2 

3 4 

Câu 28: Gọi z , z là các nghiệm của phương trình z 2z 

3 0 . Modul của z . z bằng: 

1 2 

A. 81 B. 16 C. 27 3 D. 8 2 

Câu 29: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 

đoạn [-2;2]. Giá trị của m + M bằng: 

1 2 

x 

2 cos 2 

f x x 

A. 2 B. -2 C. 0 D. -4 

Câu 30: Cho hình chóp đều S.ABCD có 

bằng: 

 

trên 

AB 2 a, SA a 5 . Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) 

0 

0 

0 

A. 30 

B. 45 

C. 60 

D. 75 

Câu 31: Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác 

suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng: 

145 

448 

281 

A. B. C. D. 

729 

729 

729 

x 

Câu 32: Biết rằng là một nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng ; 

. Gọi F x là một 

xe 

 

f ' xe F 

x 

nguyên hàm của thỏa mãn 0 1, giá trị của F 1 bằng: 

7 

5 e 

7 e 

5 

A. B. C. D. 

2 

2 

2 

2 

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết 

0 

154 

729 

AB 2 a, AD a, SA 3a 

 

và SA vuông góc 

với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh CD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM bằng: 

3 3a 2 3a 3a 3a 

A. B. C. D. 

4 

3 

3 

2 


Hàm số 

x 

f 

x 

có bảng xét dấu có đạo hàm như hình bên dưới 

-3 -2 0 1 3 

f ' x 

- 0 + 0 - 0 - 0 + 0 - 

 

y f 1 

2x 


 

đồng biến trên khoảng 

3 

1 

1 

3 

A. 0; B. ;1 

C. 2; 

D. ;3 

2 

2 

2 

2 

Câu 35: Xét các số phức z, w thỏa mãn w i 2, z 2 iw 

. Gọi z1, 

z2 

lần lượt là các số phức mà tại đó 

đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Môđun 

z z1 z2 

bằng: 

4

Câu 36: Cho 

có công thức: 

A. 3 2 B. 3 C. 6 D. 6 2 

3 

f x x 1 3x 

3. Đồ thị hình bên là của hàm số 

y f x 

A. y f x 1 1 B. 

C. y f x 1 1 D. 

1 1 

y f x 

1 1 

Câu 37: Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính r vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều 

tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đều tiếp xúc với đường sinh 

của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là 120 cm 3 , thể tích của mỗi khối cầu bằng 

Câu 38: Biết 

abc bằng: 

A. 10 cm 3 B. 20 cm 3 C. 30 cm 3 D. 40 cm 3 

 

3 2 

cos sin cos 1 

 

 

4 

x x x 

4 3 

cos x sin xcos 

x 

dx a bln 2 cln 1 

3 

 

 

, với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 

A. 0 B. -2 C. -4 D. -6 

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 

x 1 2t x 2 t ' 

 

 

d : y t , d ': y 1 

2 t ' 

z 1 3t 

z 2 t ' 


P : x y z 2 0 . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d, d ' có phương 

trình là: 


A. x 3 y 1 z 2 

 

B. 

1 1 1 

C. x 2 y 1 z 1 

 

D. 

1 1 1 

Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 

x 3 me 

x 1 y 1 z 1 

 

1 1 4 

x 1 y 1 z 4 

 

2 2 2 

x 

có 2 nghiệm phân biệt? 

A. 7 B. 6 C. 5 D. vô số 

f x 

 

Câu 41: Cho mà đồ thị hàm số y f ' x như hình bên. Hàm số 

 

2 

y f x 1 x 2x 

đồng biến trên khoảng? 

5

1;2 

1;0 

 

A. B. 

0;1 

2; 1 

C. D. 

1 1 

Câu 42: Có bao nhiêu số nguyên a 2019;2019 

để phương trình x a có hai 

x 

ln x 5 3 1 

nghiệm phân biệt? 

A. 0 B. 2022 C. 2014 D. 2015 

f x 

 

Câu 43: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f 0 3 và 

2 

f x f 2 x x 2x 2 x 

. Tích phân xf ' x dx bằng: 

 

4 

2 

5 

A. 

B. C. D. 

3 

3 

3 


x 

f x m 

2 

x 1 

2 

 

0 

 

 

10 

 

3 

(với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị? 

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 

Câu 45: Cho hình hộp ABCD. A' B' C ' D' 

có thể tích bằng V.Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là tâm các hình 

bình hành ABCD, A' B' C ' D', ABB ' A', BCC ' B', CDD ' C ', DAA' D' 

. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M, 

P, Q, E, F, N bằng: 

V 

V 

V 

A. B. C. D. 

4 

2 

6 

Câu 46: Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch 

hình vuông cạnh 40 (cm) như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các 

2 2 

đường cong có phương trình 4x y và 3 2 

4 x 1 

y để tạo hoa văn cho 

viên gạch. Diện tích được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây? 

A. 506 (cm 2 ) B. 747(cm 2 ) 

C. 507(cm 2 ) D. 746(cm 2 ) 

2 

Câu 47: Xét các số phức z, w thỏa mãn z 2, iw 2 5i 

1. Giá trị nhỏ nhất của z wz 

4 bằng: 


 

 

29 5 

A. 4 B. 2 29 3 

C. 8 D. 2 

f x 

 

Câu 48: Cho mà đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên 

V 

3 

x 

Bất phương trình f x sin m nghiệm đúng với mọi x 1;3 khi và chỉ khi: 

2 

 

6

m f 2 

A. m f 0 B. m f 1 1 

C. m f 1 1 D. 

x 3 y 4 z 2 

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : và 2 điểm A6;3; 2 

; 

2 1 1 

 

 

B 1;0; 1 

. Gọi là đường thẳng đi qua B, vuông góc với d và thỏa mãn khoảng cách từ A đến là nhỏ 

nhất. Một vectơ chỉ phương của 

 

 

có tọa độ: 

 

 

 

2; 1; 3 

A. 1;1; 3 B. 1; 1; 1 

C. 1;2; 4 

D. 

x 1 y 2 z 

Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho điểm A2; 3;4 

, đường thẳng d : và mặt cầu 

2 1 2 

 

2 2 2 

S : x 3 y 2 z 1 20 . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm 

A đến (P) lớn nhất. Mặt cầu (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng: 

A. 5 

B. 1 C. 4 D. 2 


7


1.D 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.B 

11.D 12.B 13.A 14.B 15.D 16.B 17.A 18.D 19.D 20.D 

21.D 22.A 23.B 24.D 25.C 26.C 27.A 28.C 29.B 30.C 

31.C 32.A 33.C 34.A 35.C 36.B 37.B 38.C 39.A 40.A 

41.A 42.D 43.D 44.D 45.C 46.B 47.C 48.B 49.A 50.D 

Câu 1 (TH): 


1 2 

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h: V R h 

3 


1 2 1 2 2 

a 

Thể tích khối nón đã cho là: V R h .2 a. 

a 

3 3 3 

Chọn A. 

Câu 2 (TH): 


1 


3 


Ta có thể tích của khối chóp đã cho là: 

3 

1 1 2 a 

VS . ABCD 

SA. S 

ABCD 

. a. 

a 

3 3 3 

Chọn D. 

Câu 3 (NB): 


0 0 0 

Đường thẳng d : x x y y z z 

 

nhận vecto u a; b; 

c 

làm 1 VTCP. 

a b c 


x 1 y 3 z 3 

Đường thẳng : nhận vecto 1;2; 5 

làm 1 VTCP. 

1 2 5 

Chọn A. 

Câu 4 (TH): 


Sử dụng các công thức: 



b 

1 

n 

loga loga b log 

a 

c;log m b .log 

a 

b;loga b nlog 

a 

a 

b 

c 

m 

a 

2 

Ta có: log2 log 

2 2 

a log2 b log2 a 2log2 

b 

b 

Chọn C. 

Câu 5 (NB): 

3 

8


 

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nhận AB làm một VTPT. 

 

 


 

Mặt phẳng trung trực 

của đoạn thẳng AB nhận AB làm một VTPT. 

 

AB 2;4; 2 2 1;2; 1 / / 1;2; 1 

Ta có: 

 

nhận vecto 1;2; 1 

làm 1 VTPT. 

Chọn B. 

Câu 6 (TH): 


Công thức tổng quát của CSN có số hạng đầu là 


u 1 

và công bội 

q : u 

n 

u q 

u2 

2 

Gọi q là công bội của CSN đã cho, ta có: u1 1; u2 

2 q 2 

u 1 

2018 

u u . q 1. 2 2 

2019 1 

Chọn D. 

Câu 7 (NB): 


2018 2018 

Dựa vào đồ thị hàm số, nhận biết các điểm thuộc đồ thị hàm số và các điểm cực trị của đồ thị từ đó chọn 

đáp án đúng. 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có dạng 1 parabol có đỉnh là 0; 2 

loại đáp án A, D. 

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (1;0) và (-1;0), thay tọa độ các điểm này vào công thức hàm số ở đáp án B 

và C thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn. 

Có 1 điểm cực trị có tọa độ là 0; 2 

Chọn B. 

Câu 8 (TH): 


Phương trình mặt cầu tâm ; ; và bán kính R: 


Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm R d I 

 

Vậy mặt cầu tâm I và tiếp xúc với 

Chọn C. 

Câu 9 (TH): 


1 

1 

 

n 1 

I a b c 

 

2 2 2 2 

x a y b z c R 

1 2.2 2.5 2 9 

; 3 

1 2 2 3 

 

 

2 2 

 

có phương trình là: x 1 2 y 2 2 z 

5 

2 

9 

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các điểm cực trị của hàm số. 



 

9

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, trên đoạn [-3;3], hàm số 

1;1 ; 1; 3 ; 2;3 

Chọn D. 

Câu 10 (NB): 


y f x 

b b b 

 

có 3 điểm cực trị là 

Sử dụng các tính chất của tích phân: 

 



a a a 

b b b 

 

Sử dụng các tính chất của tích phân: 

 

Chọn B. 

Câu 11 (NB): 



a a a 

Dựa vào đồ thị hàm số để nhận xét các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (1;2) 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1;1) và (2;3) 

Chọn D. 

Câu 12 (TH): 


Ta có: 

 

 

F x f x dx thì F ' x f x 

Đạo hàm của hàm số ở các đáp án rồi chọn đáp án đúng. 


Ta có: 

 

 

2.3 3 1 

+) Đáp án A: 2 3x 

2 C ' đáp án A sai. 

2 3x 2 3x 2 3x 

2 

 

+) Đáp án B: 2 

3x 

2 C ' 

2.3 1 đáp án B đúng. 

3 3.2 3x 

2 3x 

2 

Chọn B. 

Câu 13 (TH): 


Sử dụng công thức 


a 


a . a 

m n m n 

từ đó đặt ẩn phụ và chọn đáp án đúng. 

x 1 1 

2 

Ta có: 9 x 

x x x x 

3 30 0 9.9 3.3 30 0 3. 3 3 10 0 * 

 

Đặt 3 x t ta có phương trình (*) 

Chọn A. 

Câu 14 (TH): 


Chọn 3 số bất kì trong n số ta có: 

 

3 

A n 

2 

3t 

t 10 0 

cách chọn. 

10


Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng 

abc 

là số cần lập. 

3 

Chọn 3 số a, b, 

c bất kì trong 9 số ta có: cách chọn. 

Cách 2: Gọi số cần tìm có dạng 

Khi đó a có 9 cách chọn. 

b a b 

c a, 

c b c 

có 8 cách chọn. 

có 7 cách chọn. 

abc 

3 

có 9.8.7 = A 9 

= 504 cách chọn. 

Chọn B. 

Câu 15 (TH): 


Cho số phức z a bi, a, 

b 

A 9 

là số cần lập. 

z a bi 

 

 


b M a; 

b là điểm biểu diễn số phức z. 


Ta có: 

Chọn D. 

 

z 2 i z 2 i N 2; 1 

là điểm biểu diễn số phức z 

Câu 16 (TH): 

 


 

 

Cho hai đường thẳng 1, 

2 

có các vecto chỉ phương lần lượt là u1 a1; b1 ; c1 

và u2 a2; b2; 

c2 

thì góc 

 

u1. 

u2 a1a 2 

b1b 2 

c1c 

2 

giữa hai đường thẳng 1, 

2 

được tính bằng công thức: cos 

 

2 2 2 2 2 2 

u . u a b c . a b c 


 

 

Ta có: 1 

có VTCP là: u1 2;1;2 

, 

2 

có VTCP là: u2 1;1; 4 

 

Gọi là góc giữa hai đường thẳng 1, 

2 

ta có: 

 

u1. u2 

2.11.1 2. 4 

9 2 

cos 

 

2 2 

2 

u 

3.3 2 2 

1 

. u2 

2 1 2 . 11 4 

0 

45 

Chọn B. 

Câu 17 (TH): 


 

Dựa vào biểu thức của đề bài để tìm số phức z. 

Ta có: 

a1 a2 

z1 a1 b1i ; z2 a2 b2i z1 z2 

 

b1 b2 

 

 


b M a; 

b là điểm biểu diễn số phức z. 


Gọi số phức 

 

 

z a bi, a, 

b z a bi . Khi đó ta có: 

1 2 1 1 1 2 2 2 


11

z 2z 6 2i a bi 2 a bi 6 2i 

3a 

6 a 

2 

3a bi 6 2i z 2 2i 

b 

2 b 

2 

M 

 

2; 2 

 

Chọn A. 

Câu 18 (TH): 


Ta có: 

đường thẳng d. 

 

là điểm biểu diễn số phức z. 

 

x x at 

0 

x x0 y y0 z z0 

 

: : 0 0 

; 

0 

; 

0 

d d y y bt M x at y bt z ct 

a b c 

z z0 

ct 

 

 

 

là một điểm thuộc 

M d P Tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P). Từ đó tìm được t tọa độ điểm 

M. 


x 

2 t 

x 2 y 1 

z 

Ta có: d : d : y 1 2t M 2 t;1 

2 t;2t 

là một điểm thuộc đường thẳng d. 

1 2 2 

z 

2t 

 

M 

M d P 2 t 2 1 2t 2t 

5 0 

t 1 

1;3;2 

Chọn D. 

Câu 19 (TH): 


+) Tìm điều kiện xác định. 

+) Giải bất phương trình logarit: log f x log g x 

a 

 

a 1 

 

 

f x 

g x 

 

a 

 

 

0 a 1 

 

f x 

g x 


x 

 

x 

2 3x 

0 

xx 

3 

0 3 x 0 

Điều kiện: 

 

x 

0 

9 x 0 

x 9 3 x 9 

x 

9 

1 

log4 3 log2 9 log2 3 log2 

9 

2 

2 2 

x x x x x x 

2 2 

x x x x x x 

log 3 2log 9 log 3 log 9 

2 2 2 2 

x 3x 8118x x 

2 2 

81 27 

15x 81 x x 

15 5 


2 

 

 

12

Kết hợp với điều kiện xác định ta có bất phương trình có tập nghiệm là: 27 x 9 

5 

Mà x 

x 6;7;8 

Chọn D. 

Câu 20 (TH): 


Ta có: 


x x 0 

là điểm cực trị của hàm số y f x f ' x0 

0 

3 2 

3 x 0 

3 0 3 0 3 3 0 

x 3 

Điều kiện: x x xx xx x 

 

y ' e 3x 3 x 3x e 

2 3 

Ta có: 1 

2 3 2 x 

1 

e 

1 

y ' 0 3x 3 x 3x 0 3x 

3 0 

x 

1 

Ta có bảng xét dấu: 

x 3 

-1 0 3 

y ' 

+ 0 - + 

Dựa vào bảng xét dấu của hàm số ta thấy đạo hàm của hàm số chỉ đổi dấu qua 1 điểm 

có 1 điểm cực trị. 

Chọn D. 

Câu 21 (TH): 


Công thức tính thể tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng 

hàm số 


/ / / / / 

2 2 

y f x, 

y g x 

khi quay quanh trục Ox là: V f x g x 

dx 

Ta có công thức tính thể tích hình phẳng đã cho là: x 

 

b 

 

a 

2 2 

2 

x 

V 2 dx 4 dx 

 

0 0 

/ / / / / 

x a, 

x b a b 


 

x 1 

 

 

hàm số 


Chọn D. 

Câu 22 (TH): 


Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 

tính đồng biến và nghịch biến của hàm số 

 

y 2 

f x 

y f x 

từ đó suy ra 


 

2; 

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ;0 và 

 

Hàm số y f x nghịch biến trên (0;2) 

13

Xét hàm số: 

 

y 2 

f x 

ta có: 

 

y ' 2 f ' x 

Hàm số đồng biến 

2 f ' x 0 f ' x 0 0 x 2 

Vậy hàm số 

y 2 

f x 

đồng biến x 0;2 

Chọn A. 

Câu 23 (TH): 


+) Đường thẳng x a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số 

y f x lim f x 

 

+) Đường thẳng y b được gọi là TCN của đồ thị hàm số y f x f x b 


Điều kiện: x 1 

x a 

lim 

x 1 

là đường TCĐ của đồ thị hàm số. 

Ta có: 

y 2 

1 

2 1 

1 

x x 1 

2 

lim lim 

x 2 

x 

x 1 

x 

1 

1 

x 

là 1 đường TCN của đồ thị hàm số. 

1 

2 1 

1 

x x 1 

2 

lim lim 

x 0 

x 

x 1 

x 

1 

1 

x 

y 0 

là 1 đường TCN của đồ thị hàm số. 

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 TCN và 1 TCĐ. 

Chọn B. 

Câu 24 (TH): 


Dựa vào đồ thị hàm số, xác định các giá trị của 

x1, 

x2 

x 


theo a và b. Từ đó tính giá trị của 

a 

b 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 

x 1 

là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 

log 3 

x x b 3 

b 1 1 

Và 

x 2 

là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 

log 3 

x x a 3 

a 2 2 

Theo đề bài ta có: 

3 

3 3 a a 3 

x 2 

2x 1 

a 2b 

2 2 

3 

b 

b 

 

Chọn D. 

Câu 25 (TH): 

14


Công thức tính thể tích khối hộp chữ nhật 

ABCD. A' B' C ' D ' là V AA'. AB. 

AD 


Ta có: 

2 2 2 2 

AC AB BC a a a 

4 5 

(định lý Pitago) 

Xét tam giác ACC’ vuông tại C ta có: 

2 2 2 2 

CC ' AC ' AC 6a 5a a 

V CC '. AB. AD a. a.2a 2a 


Chọn C. 

Câu 26: 


Số điểm cực trị của đồ thị hàm số 


Ta có: 

 

f ' x 0 

2 

x x x 

2 

 

x 

 

x x x 

2 

 

x 2 

 

2 2 4 0 

1 2 2 2 0 

 

y f x 

x 

0 x 

0 

 

x 

0 (boi 1) 

x 1 0 

 

x 1 

 

 

x 1 (boi 1) 

x 

2 0 x 

2 

x 2 (boi 3) 

x 2 

2 2 0 x 2 

 

 

Ta thấy phương trình 

số 

y f x 

Chọn C. 

Câu 27(TH): 


 

f ' x 0 


3 

là số nghiệm bội lẻ của phương trình 

. 

 

f ' x 0 

có 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều là nghiệm bội lẻ nên hàm 

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h: S 2 

Rh 


Ta có hình hộp 



có các cạnh bằng a 

xq 

 

A A' 

a 

là đường sinh của hình trụ. 

Bán kính đáy của hình trụ là 

R 

AC a 2 

 

2 2 

Diện tích xung quanh của hình trụ là: 

a 2 

Sxq 

2 Rl 2 . . a 2 

a 

2 

2 

15

Chọn A. 

Câu 28(TH): 


Giải phương trình đã cho tìm hai số phức 

z1, 

z2 

rồi tính modul của số phức đề bài yêu cầu. 


Ta có: 

z 

2 

z1 1 2i z1 

1 2 3 

2z 

3 0 

z2 1 2i z2 

1 2 3 

3 4 3 4 

1 2 1 2 

3 4 7 

 

z . z z . z 3 . 3 3 27 3 

Chọn C. 

Câu 29 (TH): 


Cách 1: 

 

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số y f x trên a; 

b bằng cách: 

+) Giải phương trình y ' 0 tìm các nghiệm 

i 

i 

+) Tính các giá trị f a , f b , f x x a; 

b . Khi đó: 

 

 

i 

i 

min f x min f a ; f b ; f x ,max f x max f a ; f b ; f x 

a; b 

a; 

b 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên a; 

b 


x 

x 

2 cos ' 2 sin 

2 2 2 

Ta có: f x x f x 

x x x 

Vì 1 sin 1 sin 0 2 2 sin 2 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

x 

f ' x 0x 

2;2 

2 cos 2 

2 2 2;2 

max 2 

3 

f f x f x 

 

M f x f 

2;2 

 

m min f x f 2 

5 

2;2 

M m 3 ( 5) 2 

Chọn B. 

Câu 30 (TH): 


x 

i 

 

hàm số f x x là hàm đồng biến trên [-2;2] 


Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến 

của hai mặt phẳng. 

 

16


Gọi O là giao điểm của AC và BD 

SABCD là hình chóp đều SO ABCD 

Ta có: SAB ABCD AB 

Gọi M là trung điểm của AB. 

Ta có: OM ABOM / / AD, 

AD AB 

SM 

AB do SAB 

là tam giác cân tại S. 

, , 

SAB ABCD SM OM SMO 

Ta có: 

2 2 2 2 

SM SA MA 5a a 2a 

1 

OM AD a 

2 

OM a 1 

cos SMO SM 2 a 2 

0 

SMO 

60 

Chọn C. 

Câu 31 (VD): 


(Định lý Pitago) 

2 

Số các số tự nhiên 2 chữ số phân biệt là 9.9 = 81 n 81 

Gọi A là biến cố: “Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung” 

TH1: Hai bạn cùng viết ra số giống nhau Có 81 cách 

TH2: Bạn Công viết số có dạng 

a b 0 

Có 9.8 = 72 cách. 

TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau. 

ab và bạn Thành viết số có dạng ba 

+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng a0 , Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết) 

Có 9.8 = 72 cách. 


+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng a1 a 0, a 1 , hoặc 1b b 1 

 

 

Nếu Công viết số 10, khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng 

 

 

1b b 1 

Có 16 cách. 

 

a1 a 0, a 1 

 

và 8 cách viết số có dạng 

Nếu Công viết số có dạng 1b b 0, b 1 

 

 

Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng 

a1 

a 0, a 1 

và 8 cách viết số có dạng 1b b 1 

Có 8 (7 + 8) = 120 cách. 

17

Nếu Công viết số có dạng 

 

a1 

a 0, a 1 

 

 

 

dạng a1 a 0, a 1 và 8 cách viết số có dạng 1b b 1 . 

Có 8 (7 + 8) = 120 cách. 

Có 256 cách viết trùng số 1. 

Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9 

n A 81 72 72 256.9 2529 

Vậy P A 

2 

Chọn C. 

Câu 32 (VD): 


2529 281 

 

81 729 

x 

+) là một nguyên hàm của hàm số f x nên 

xe 

+) Từ f x f x 

Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có 

x 

xe ' 

f x 

x 

+) F x 

là một nguyên hàm của ' ' 

+) Tính F x 

, từ đó tính F 1 


x 

f x e F x f x e dx 

x 

Vì là một nguyên hàm của hàm số f x nên 

xe 

x 

1 

 

f x e x 

 

f ' x e 1 x e e 2 x x 2 e 

 

 

 

x x x x 

x x x 

f ' x e x 2 e . e x 2 

2 

x 

F x f xdx x 2dx 2x C 

2 

2 

x 

F 0 

1 C 1 F x 

2x 

1 

2 

 

1 7 

F 1 

21 

1 

 

2 2 

Chọn A. 

Câu 33 (VD): 


2 

x 

xe ' 

f x 

x x x 

f x e xe e 1 

x 


Đặt hệ trục tọa độ. Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 

 

SC; BM 

 

. SB 

d SC; 

BM 

SC; 

BM 

 

18


Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, chọn a = 1. Khi đó ta có: 

A0;0;0 , B2;0;0 , C 2;1;0 , D 0;1;0 , S 0;0;3 

M là trung điểm cạnh CD M 1;1;0 

 

 

 

Ta có SC 2; 1;3 ; BM 1;1;0 ; SB 2;0; 3 SC; BM 3; 3; 3 

d SC; 

BM 

Chọn C. 

Câu 34 (VD): 


 

SC; BM 

 

. SB 3.2 3.0 3 . 3 

3 3 

 

2 2 2 

SC; BM 3 3 3 

3 3 3 

 

 

 

Hàm số y f x đồng biến trên a; b f ' x 0 x a; 

b và bằng 0 tại hữu hạn điểm. 


Ta có: y ' 2 f ' 1 

2x 

 

Với x 1 y ' 1 2 f ' 1 0 Loại đáp án B, C, D. 

Chọn A. 

Chú ý: Ngoài phương pháp thử HS có thể lập BXD y’, tuy nhiên trong bài tập này, thử là phương pháp 

tối ưu nhất. 

Câu 35 (VD): 


Sử dụng phương pháp hình học. 


Theo bài ra ta có: 


19

z 2 

z 2 iw w 

i 

z 2 

w i 2 i 2 z 2 1 2 z 3 2 

i 

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn I 3;0 

bán kính R = 2 

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, dựa vào hình vẽ ta có: 

 

 

 

z OM 

min 

min 

M 1;0 z1 

1 

 

z1 z2 

6 

z OM 

max 

max 

M 5;0 z2 

5 

 

 

Chọn C. 

Câu 36 (VD): 


Xác định các hàm số ở các đáp án, thử điểm mà đồ thị hàm số đi qua để loại đáp án. 


Đáp án A: 

Loại. 

0; 1 

3 3 

y f x 1 1 x 3 x 1 3 1 x 3x 

1. Đồ thị hàm số đi qua điểm 

 

3 3 

Đáp án B: y f x 1 1 x 3 x 1 3 1 x 3x 

1. Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;1 Đáp 

án B có thể đúng. 

Đáp án C: 

Loại. 

Đáp án D: 

Loại. 


3 3 2 

 

y x 2 3 x 1 1 x 6x 15x 

10 0 . Đồ thị hàm số đi qua điểm 

y x 2 3 x 1 1 x 6x 15x 

12 0 . Đồ thị hàm số đi qua điểm 

 

0;10 

3 3 2 

 

0;12 

Chọn B. 

Câu 37 (VD): 


Thể tích khối cầu có bán kính R là V 

4 

R 

3 

3 

20

Thể tích khối trụ có bán kính R, chiều cao h là V 

 

2 

R h 


Dựa vào dữ kiện bài toán và hình vẽ Hình trụ có chiều cao h 2r 

và bán kính đáy R 2r 

Thể tích khối trụ là 2 3 3 120 15 

V 2r 2r 8 

r 120 r 

8 

 

4 4 15 

 

3 3 

Vậy thể tích mỗi khối cầu là V 3 . 20 3 

c 

r cm 

Chọn B. 

Câu 38 (VD): 


Chia cả tử và mẫu của phân thức trong dấu tích phân cho 

đặt t tan x 


2 

cos x 

 

3 2 3 2 3 2 

cos x sin xcos x 1 1 tan x 1 tan x tan x tan x 2 

I dx dx dx 

x x x 

 

x x 

 

x x 

Đặt t 

 

4 3 2 2 

cos sin cos cos 1 tan cos 1 

tan 

4 4 4 

1 

tan x dt 

2 

cos 

3 2 

3 

1 1 

dx . Đổi cận 

x 

t t 2 2 

I dt t dt 

t 1 

t 1 

1 

 

x t 1 

4 

 

 

x t 3 

3 

 

2 3 

t 

3 1 

2ln t 1 2ln 3 1 2ln 2 1 2ln 2 2ln 1 

3 

2 2 2 

a 

1 

 

b 

2 abc 1.( 2).2 4 

 

c 

2 

Chọn C. 

Câu 39 (VD): 


+) Gọi là đường thẳng cần tìm 

 

sau đó sử dụng phương pháp đổi biến, 


+) Giả sử A d A 1 2 t; t; 1 3 t ; B d ' B 2 t '; 1 2 t '; 2 t ' AB là 1 VTCP của 

n 

 

+) (P) nhận 1;1;1 là 1VTPT. Do P AB và n 

là 2 vec tơ cùng phương. Tìm t, t’ 

 

0 0 0 

+) Phương trình đường thẳng đi qua M x0; y0; 

z0 

là có 1 VTCP u a; b; c : x x 

y y 

z z . 

a b c 


21

Gọi 

 

là đường thẳng cần tìm 

Giả sử A d A1 2 t; t; 1 

3t 

 

 

B d ' B 2 t '; 1 2 t '; 2 t ' 

 

AB 2 t t ' 3; t 2 t ' 1; 3t 2 t ' 1 

(P) nhận 

 

 

n 

 

 

1;1;1 

 

là 1VTPT. 

Do P AB và n 

là 2 vec tơ cùng phương. 

 

 

là 1 VTCP của 

3 t t ' 4 0 t 

1 

2 t t ' 3 t 2 t ' 1 3t 2 t ' 1 

 

 

2t 4 t ' 2 0 t 

' 1 

 

A B AB 

1; 1; 4 , 3;1; 2 2;2;2 / / 1;1;1 

 

Vậy phương trình đường thẳng 

Chọn A. 

Câu 40 (VD): 


x 3 y 1 z 2 

: 

1 1 1 

+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng m f x 

 

+) Số nghiệm của phương trình m f x là số giao điểm của đồ thị hàm số y m và 

 

+) Lập BBT hàm số y f x và kết luận. 


x x 3 

x 

x 3 me m f x* Do e 0x 

 

x 

e 

Để phương trình 


BBT: 

f 

x 

x 3 me 

x 3 

 

x 

e 

x 

ta có: 

 

y f x 

có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. 

 

 

x 

x 

e x 3 e x 

2 

f ' x 

0 x 2 

2x 

x 

e e 


x 

2 

f ' x 

+ 0 - 

 

f 

x 

 

2 

e 

0 

 

Số nghiệm của phương trình m f x là số giao điểm của đồ thị hàm số y m và 

y f x 

22

Dựa vào BBT ta có phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 

Mà m 

m1;2;3;4;5;6;7 

 

Chọn A. 

Câu 41 (VD): 


 

 

2 

0 m e 

Hàm số y f x đồng biến trên a; b f ' x 0, x a; 



Ta có: y f x x f x x 

Đặt t 

' ' 1 2 2 0 ' 1 2 1 0 

x 1 

ta có y ' f ' t 2t 0 f ' t 2t 

0 

' 

Vẽ đồ thị hàm số y f t và y 2t 

trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có: 

 

Xét y ' 0 f ' t 2t 

Đồ thị hàm số y f ' t nằm trên đường thẳng y 2t 

Xét 

Xét 

Xét 

Xét 

1;2 t 0;1 

x 

1;0 t 2; 1 

x 

 

thỏa mãn. 

không thỏa mãn. 

x 0;1 t 1;0 


 

x 2; 1 t 3; 2 


Chọn A. 

Câu 42 (VD): 


+) Cô lập m, đưa phương trình về dạng a f x 

 

+) Số nghiệm của phương trình a f x là số giao điểm của đồ thị hàm số y a và 

 

+) Lập BBT hàm số y f x và kết luận. 



y f x 

23

1 1 1 1 

x a f x 

x 

x a 

x 

ln x 5 3 1 ln x 5 3 1 

 

 


ĐKXĐ: 

1 1 

f x 

x 

x 

ln x 5 3 1 

 

 

x 5 0 x 5 x 

5 

 

ln x 5 0 x 5 1 x 

4 

x 

x 

3 1 0 3 1 

 

x 

0 

5; 4 4;0 0; 

 

D 

Ta có 

BBT: 

 

x 

1 3 

f ' x 

1 0x D 

ln 2 x 5 x 

3 1 2 

x 

f ' x 

f x 

5 

3,9 

 

 

* 

 

4 

0 

 

 

 

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm a 4 

Kết hợp ĐK a 4;...;2018 

Chọn D. 



 

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần. 


 

 

 

 

. Vậy có 2015 giá trị của a thỏa mãn. 

2 2 2 2 2 

 

 

xf ' x dx xd f x xf x f x dx 2 f 2 f x dx 

0 0 0 0 0 



2 

 

f x f 2 x x 2x 2x f 0 f 2 2 f 2 2 f 0 1 

2 2 2 

 

 

xf ' x dx 2 f x dx 2 

f t dt 

0 0 0 

 

Đặt 

t 2 x dt dx 

. Đổi cận 

x 

0 t 2 

 

x 

2 t 0 

2 0 2 

2 2 

 

 

f t dx f x dx f x dx 

0 2 0 

24

2 2 

2 

 

f x dx f x dx 

0 0 

2 

0 

2 2 2 

 

2 f x dx f x dx f 2 x dx 

0 0 0 

2 2 

 

2 f x dx f x f 2 x 

dx 

0 0 

2 2 

2 

 

2 f x dx x 2x 2 dx 

0 0 

2 3 

2 

x 2 8 

2 

f xdx x 2x 

 

3 

0 

0 

3 

 

 

 

Vậy 

f 

 

x dx 

 

 

 

 

2 

 

0 

Chọn D. 

 

4 

3 

4 10 

xf ' xdx 2 3 3 

Câu 44 (VD): 


 

Số điểm cực trị của hàm số y f x số cực trị của hàm số y f x + số giao điểm của đồ thị hàm 

 

số y f x với trục hoành. (Hàm đa thức hoặc hàm số xác định x 

) 


Hàm số 


 

x 

f x m 

2 

x 1 

 

2 

g x 

x 

m 

x 1 

2 2 

x 1 x 1 

2 2 

có TXĐ 

ta có: 

D 

2 2 

x 1 x.2x x 

1 

g ' x 0 x 1 

 

Hàm số 

 

y g x 



2 

x 

x m x 1 

2 

Xét phương trình hoành độ giao điểm m 0 0 mx x m 0 , phương 

2 2 

x 1 x 1 

2 

trình có 1 

4m chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm. 

 

 


x 

f x m 

2 

x 1 

có tối đa 2 + 2 = 4 cực trị. 

Chọn D. 

Câu 45 (VD): 


25

Đặc biệt hóa, coi 


là khối lập phương cạnh bằng. 

3 

a 2 

Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối bát diện đều cạnh a là V 

3 


Đặc biệt hóa, coi ABCD. A' B' C ' D ' là khối lập phương cạnh bằng 1 V 

. ' ' ' ' 

1 

V 

1 2 

Dễ thấy MNPQEF là khối bát diện đều cạnh QE BD 

2 2 

Vậy V 

Chọn C. 

MNPQEF 

Câu 46 (VD): 


3 

2 

2 

2 1 V 

 

 

 

3 6 6 

ABCD A B C D 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y g x , đường thẳng x a, 

x b a b là 

b 

 

a 

 

 

S f x g x dx 


 

 

 


26

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 

Diện tích phần tô đậm là 

Chọn B. 




3 112 2 2 

 

1 2 

S 4 

 

2x 0 dx 2x 2 x 1 dx dm 747 cm 

 

15 

0 1 

 

+) 2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I 0;0 1 

bán kính R1 2 

z 

2 5i 

i w 1 w 5 2i 

1 

i 

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I2 5; 2 

bán kính R2 1 

2 2 

Đặt T z wz 4 z w z z. z z z w z 2 z w z 

Đặt z a bi, a, 

b 

z a bi z z 2bi 

T 2 2bi w 


 

 

Gọi M 0;2b 

là điểm biểu diễn số phức 2bi, N là điểm biểu diễn số phức w. 

T 2MN MN 

min 

min 

Do 

z a b b b 

2 2 

2 4 2 2 4 2 4 

Tập hợp các điểm M là đoạn AB với A4;0 , B4;0 

Dựa vào hình vẽ ta thấy MN M N 

min 

4 4; 2 , 0; 2 

27

Vậy Tmin 2.4 8 

Chọn C. 



x 

x 

f x m x g x f x m x 

2 2 

m min g x 

sin 1;3 sin 1;3 

 

 

 

1;3 

 

' 

Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra BBT đồ thị hàm số y f x như sau: 

x 

f ' x 

f 

x 

Dựa vào BBT ta thấy f x f 1 x 

1;3 

 

1 

1 3 

0 + 

x 3 x 

x 1;3 ; 1 sin 1 

2 

 

2 2 

 

2 

x 

1 sin 1 

2 

x 

f 1 1 f x sin g x f 1 

1 min g x 

f 1 

1 

2 

1;3 

Vậy m f 

Chọn B. 

 

Câu 49 (VD): 

1 1 


: 2 1 0. 

+) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với d P x y z đi qua B và vuông góc 

với d P 

+) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và ta có AH AK 

+) Do đó để khoảng cách từ A đến là nhỏ nhất H nhận 

BH là 1 VTCP. 



28

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với d P : 2x y z 1 0. 

đi qua B và vuông góc với d P 

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và 

Do đó để khoảng cách từ A đến 

 

Phương trình AH đi qua A và nhận u 

 

 

2;1; 4 

H AH H 6 2 t;3 t; 2 

t 

là nhỏ nhất H 

 

d 

 

2;1;1 

 

ta có AH AK 

là 1 VTCP là 

H P 2 6 2t 3 t 2 t 1 0 6t 12 0 t 2 

H 

 

đi qua B, H nhận BH 1;1; 3 

là 1 VTCP. 

Chọn A. 

Câu 50 (VD): 


x 

6 2t 

 

y 

3 t 

 

z 

2 t 

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và d ta có AH AK , khi đó mặt phẳng (P) chứa đường 

 

thẳng d thỏa mãn khoảng cách từ điểm A đến (P) lớn nhất (P) nhận AK là 1 VTPT. 

 

K 1 2 t; 2 t;2t d AK 2t 1; t 1;2t 

4 

Gọi 

 

 

u d 

2;1;2 là 1 VTCP của d 

 

AK. ud 

0 4t 2 t 1 4t 8 0 9t 9 0 t 1 

 

K 3; 1;2 AK 1;2; 2 

 

P : x 3 2 y 1 2 z 2 0 x 2y 2z 

3 0 

2 2 

2 

 

Mặt cầu S : x 3 y 2 z 1 20 có tâm I 3;2; 1 

, bán kính R 20 2 5 

3 2.2 2 1 3 12 

; 4 

1 

4 4 3 

Ta có: d d I P 

Gọi r là đường kính đường tròn giao tuyến của (P) và (S) ta có: 

2 2 2 2 2 

R d r r R d 20 16 2 

Chọn D. 


 

 

29





Câu 1: Asian cup 2019 đội Việt Nam nằm ở bảng D gồm các đội Iran, Iraq và Yemen thi đấu theo thể thức mỗi 

đội gặp nhau một lần. Hỏi khi kết thức vòng đấu bảng ở bảng D có bao nhiêu trận đấu. 

A. 6. B. 8. C. 7. D. 5. 

Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp ba bạn học sinh nam hai bạn học sinh nữ và một cô giáo vào một hàng gồm sáu ghế 

sao cho cô giáo ngồi giữa hai bạn học sinh nữ (cô giáo và hai bạn học sinh nữ ngồi liền kề). 

A. 48. B. 126 C. 144. D. 84. 

Câu 3: Cho cấp số cộng có số hạng đầu u1 1, 

công sai d 2. Tìm u . 19 

A. u19 37. B. u19 36. 

C. u19 20. 

D. u19 19. 

 

 

Câu 4: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng a; b . Trong các khẳng định sau khẳng 

định nào sai? 

 

a b 

 

A. Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng ; thì f x 0 x a; b . . 

 

 

f x 

a b 

B. Nếu f x không đổi dấu trên khoảng a; 

b thì không có cực trị trên khoảng 

0 

 

C. Nếu hàm số f x với mọi x 

a; 

b thì hàm số y f x đồng biến trên khoảng 

0 

 

; . 

 

a b 

D. Nếu hàm số f x với mọi x 

a; 

b thì hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 

Câu 5: Trong các hàm số sau hàm số nào không có cực trị? 

A. y x 3 3x 2 15x 

1. 

B. 

C. y x 3 3x 2 15x 

1. 

D. 

Câu 6: Đồ tị hàm số 

x 1 

y 

x 1 


; . 

 

a b 

3 2 

y x x x 

3 15 1. 

3 2 

y x 3x 

2019. 

A. 2. B. 1. C. 0. D. 3. 

3 2 

Câu 7: Đường thẳng y 2x 

1 và đồ thị C hàm số y x 6x 11x 

1 có bao nhiêu điểm chung? 

 

A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. 

3 2 

Câu 8: Gọi m và M lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 3x 9x 

5 trên đoạn 

 

 

0;5 . Tính giá trị P M m. 


A. P = -12. B. P = -22. C. P = 15. D. P=10. 

; . 


3 2 

y x x x 

6 9 1. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;3 

. 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;3 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3; .

3 2 

Câu 10: Giá trị cực tiểu của hàm số y x 3x 9x 

2 là 

A. 20 . B. 7 . C. 25 . D. 3. 

Câu 11: Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang ? 

2 

16 x 

4x 

15 

A. y . B. y . C. 

x 

3x 

1 

2 

x 1 

y . D. 

x 

y 

x 

2 

2019. 

Câu 12. Cô An đang ở khách sạn A bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo C . Biết rằng khoảng cách từ đảo 

C đến bờ biển là 10 km , khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 50 km . Từ khách sạn 

A , cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo C (như hình vẽ bên). Biết 

rằng chi phí đi đường thủy là 5 USD/km, chi phí đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một 

khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất. 

15 85 

A. (km) . B. (km) . C. 50(km) . D. 10 26 (km) . 

2 

2 


 

 

y 

D 1; . 

. 

x 1 1 3 

là: 

D D ;1 . 

D 

A. B. C. D. 


 

2 

f x lg x x 2019 . Tính f x. 

1 

A. f x 

. 

B. 

2 

x 2019.ln10 

ln10 

C. f x 

. 

D. 

2 

x 2019 

f 

f 

x 

2 

x 

x 

2 

x 

1 

. 



. 

2019.ln10 

0; . 

Câu 15: Tập tất cả các giá trị của của m để phương trình mx x 3 m 1 có hai nghiệm thực phân biệt là 

Tính giá trị P a b. 

a b 

1 

3 3 1 3 1 3 3 

A. P . . B. P . . C. P . . D. P . 

4 

4 

2 

4 

Câu 16: Hình vẽ bên là của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau: 

y 

 

x 

A. 2 . B. 


 

x 

y y 2 . 

2 

; . 

 

C. y 2 . D. 

 

x 

1 

y 

2 

x 

. 

O 

1 

2 

x 


nguyên? 

2 

 

 

log 4 x 3 

có bao nhiêu nghiệm 

A. 8. B. 7. C. 10. D. 11.

Câu 18: Số 

19 

2 

2 1 

có bao nhiêu chữ số trong hệ đếm thập phân? 

A. 157827. B. 157826. C. 315654. D. 315653. 

Câu 19: Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y ln x 2 2x 

3 trên đoạn 

 

 

M m 

0;2 . Tính giá trị biểu thức 

M m 

A e e . 

A. A=5. B. A=6. C. A=3. D. A=8. 

Câu 20: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo hình thức lãi 

kép ( sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn 

và lãi suất như trước đó. Tính tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm ( Tính từ lần gửi đầu tiên)? 

A. 179,676 triệu đồng. B. 177,676 triệu đồng 

C. 178,676 triệu đồng. D. 176,676 triệu đồng 

Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F x ln 

Câu 22: Cho 

1 f x . 

x 

A. f x x. 

B. 

3 

x 

2 

x ? 

C. f x 

. 

D. f x x . 

f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào 

sai? 

A. f d f d . g d 

. B. 2 d 2 f d 

C. 

 

. 


. D. 

f x g x 

dx f xdx g x 

dx 

 

d 3 ln 3 

Câu 23: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x 3 x . 

. 

A. f xdx 3 x 

x 

C . B. f x x C . 

x 

x1 

3 

3 

C. f xdx C . D. f xdx C . 

ln 3 

 

x 1 

 

2 

Câu 24: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2x 

. 


1 sin 4x 

A. f xd x x C. 

. B.. 

2 8 

 

1 sin 4x 

f xd x x C. 

2 8 

1 sin 4x 

C.. f xd x x C. 

D.. 

2 2 

 

1 sin 4x 

f xd x x C. 

2 2 

Câu 25: Cho 

2 

d 3. Khi đó 

 

I f x x 

0 

2 

J 4 f x 3 

dx 

bằng: 

0 

A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 4 . 


2 10 

 

0 6 

 

. 

P f x dx f x dx 

10 

f x liên tục trên đoạn 0;10 và f xdx 7 và 

0 

6 

2 

f x dx 3. Tính

Câu 27: 

A. P 7 . B. P 4 . C. P 4 . D. P 10. 

e 

1 

I d x ln e a 

2ln 2. Tìm a? 

x 3 

1 

A. a 12. 

B. a 2. 

C. a 7. 

D. a 3. 

Câu 28: Cho hình chóp S. 

ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại 0 

B, AB a, BAC 60 , SA 2 a, 

SA vuông góc 

với đáy. Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng 

 

 

SAC và SBC 

. 

10 

15 

5 

10 

A. . B. . C. . D. . 

5 

5 

5 

10 

Câu 29: Tính thể tích khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 

a, 

cạnh bên bằng a 3. 

3 

3 

3 

3 

a 2 

a 3 

a 6 

a 2 

A. . B. . C. . D. . 

6 

6 

6 

2 


ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại 0 

A, AB a, ABC 60 , SB 2 a, 

SB vuông 

góc với đáy. Tính sin của góc giữa SA và mặt phẳng SBC 

. 

15 

85 

15 

10 

A. . B. . C. . D. . 

10 

10 

5 

10 


ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a 2 và SA vuông góc với 

 

 

đáy. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC chia khối chóp thành hai phần.Tính tỷ số thể tích của hai phần 

đó. 

1 

1 

2 

3 

A. . B. . C. . D. . 

2 

3 

3 

2 

Câu 32: Cho khối bát diện đều SABCDS có cạnh bằng a 2. Tính thể tích khối đa diện có các đỉnh là trung điểm 

của các cạnh SA, SB, SC, SD, SA, SB, SC , SD. 

3 

3 

3 

4a 3 

a 2 

A. a . B. . C. 8a . D. . 

3 

4 

Câu 33: Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5 cm, chiều dài lăn là 

23 cm (hình dưới). Sau khi lăn trọn 15 vòng thì trục lăn tạo nên sân phẳng một diện tích là 


A. 

2 

3450π cm . B. 

2 

1725π cm . C. 

Câu 34: Tính thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện đều có cạnh bằng 2 6. 

2 

1725 cm . D. 

2 

862,5π cm .

4 

A. . 

3 

B. 4 . C. 36 . D. 12 . 

Câu 35: Trong với hệ cho A 1;2;3 , B 

 

3; 2; 1 . Tìm tọa độ véc tơ AB. 

 

Oxyz 

 

 

A. AB 2; 4; 4 . 

B. AB 2;4;4 . 

 

 

C. AB 1; 2; 2 . 

D. 

 

Câu 36: Trong không gian với hệ tọa độ , 

trình mặt cầu tâm C bán kính AB . 

 

 

AB 

 

 

 

4;0;2 . 

Oxyz A 3; 4; 2 

, B 5; 6; 2 

, 10; 17; 7 

 

C . Viết phương 

A. x 10 2 y 17 2 z 7 

2 

8. B. x y z 

2 2 2 

10 17 7 8. 

C. x 10 2 y 17 2 z 7 

2 

8. D. x y z 

 

Câu 37: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. 

A B C D 

2 2 2 

10 17 7 8 . 

có A 0; 0; 0 

, 3; 0; 0 

D 0; 3; 0 

, D0; 3; 3. Toạ độ trọng tâm tam giác AB C là 

A. 1; 1; 2 

. B. 2; 1; 2 

. C. 1; 2; 1 

. D. 2; 1; 1 

. 

B , 

Câu 38: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;0 

; B 2;1;1 

; 0;3; 1 

định sau: 

I. BC 2AB 

. II. Điểm B thuộc đoạn AC . 

III. ABC là một tam giác. 

Trong 4 khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? 

IV. A , B , C thẳng hàng. 

A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . 

C . Xét 4 khẳng 

Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A2;1; 3 

, 0; 2;5 

C 

 

1;1;3 

 

. Diện tích hình bình hành ABCD là 

A. 2 87 . B. 

349 

. C. 349 . D. 87 . 

2 

B và 

Câu 40: Trong không gian với hệ cho bốn điểm A 1;2;3 , B 2;0;4 ,C 3;5; 2 , D 10; 7;3 . Hỏi có bao 

nhiêu mặt phẳng cách đều tất cả các điểm A, B, C, D. 

Oxyz 

A. Vô số. B. 3. C. 4. 

D. 7. 

Câu 41: Tất cả giá trị của thực của m để phương trình mx x 3 m 1 

Tính giá trị P a b. 


có hai nghiệm thực phân biệt là a b 

; . 

1 

3 2 3 1 

3 

A. P . B. P . 

C. P . . D. 

4 

4 

2 

3 3 

P . 

4 

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên có bốn chữ số của m để phương trình 

nghiệm? 

2 2 2 

sin x cos x cos x 

2017 2018 m.2019 

có 

A. 1019. B. 1018. 

C. 2018 . D. 2019 .

Câu 43: Từ các chữ số 4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 12 chữ số sao cho trong mỗi số đó hai chữ 

số bất kỳ đứng cạnh nhau hơn kém nhau đúng một đơn vị. 

A. 128. B. 64. C. 32. D. 256. 


2 1 

2 

f x . Biết hàm số y f x 

có đồ thị như hình bên. Trên đoạn 

4;3 

g x f x x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 

, hàm số 

A. x0 4 . B. x0 1. C. x0 3 . D. x0 3 . 

3 2 

Câu 45: Cho hàm số y f x ax bx cx d 

khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

A. 

có đồ thị như hình bên. Đặt g x f x 

2 x 2 

g x nghịch biến trên khoảng 0;2 . 

g x đồng biến trên khoảng 1;0 . 

B. 

C. g x nghịch biến trên khoảng 

D. 

1 

;0 

2 . 

g x đồng biến trên khoảng ; 1 

. 

 

4 3 2 

Câu 46: Cho hàm số f x ax bx cx dx e, (trong đó a, b, c, d, 

e là 

những số thực) và có đồ thị 

có bao nhiêu nghiệm? 

 

y f x 

A. 4. B. 3. 

C. 2. D. 1. 

như hình vẽ. Hỏi phương trình 

 

f x e 


. Chọn 

y 

O 

4 

-1 

y 

2 

2 

O 1 

x 

2 

3 

x 

Câu 47: Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 

log log 3 1 log m có nghiệm với mọi x ;0 

. 

 

 

x 

0,02 2 0,02 

 

 

-2 

A. m 9. 

B. m 2. 

C. 0 m 1. 

D. m 1. 


ABC có 0 

BSA BSC CSA 60 , SA 3, SB 2, SC 6. Tính sin của góc giữa 

SC và mặt phẳng SAB. 

6 6 3 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

3 

6 

3 

30 . 

6

Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong ABC và 2SH=BC, 

0 

SBC tạo với mặt phẳng ABC một góc 60 . Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho 

 

 

 

d O; AB d O; AC d O; SBC 1. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 

A. 256 125 500 

343 

. B. . C. . D. 

81 

162 

81 

48 

Câu 50: Cho tứ diện đều ABCD có một đường cao AA 

1 

. Gọi I là trung điểm AA 

1 

. Mặt phẳng BCI chia 

tứ diện ABCD thành hai tứ diện. Tính tỉ số thể tích của hai mặt khối cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó. 

43 43 1 

A. . B. . 

C. 

51 51 

8 

43 

51 

D. 

48 

153 . 

NGUYEN THANH TU PRODUCTION

LỜI GIẢI CHI TIẾT MỘT SỐ CÂU VẬN DỤNG 

Câu 12. Chọn B. 

Gọi AD là quãng đường cô An đi đường bộ. 

DB x x 

 

Đặt km 0 50 AD 50 x km . 

Chi phí của cô An: f x 50 x3 x 

2 10 2 .5 USD 

f x 

 

liên tục trên 0;50 . 

 

Ta có f x 3 5. 

2 

x 

x 

100 

 

 

2 

x 100 

2 

3 x 100 5 

x 

f 

x 0 

2 

x 0 

x 

0 x 

0 

 

 

3 x 100 5 x 0 

. 

2 2 2 9.100 15 

 

9 

x 100 

25x x 

 

 

16 

x 

2 

15 

 

Ta có f 0 200; f 50 

50 26; f 190 

2 

15 

Để chi phí ít nhất thì x . 

2 

15 85 

Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng: AD 50 km 

2 2 

Câu 15: Chọn D. 

Ta có phương trình mx x 3 m 1 

 

1 

m x 1 

x 3 1 

với x 3; 

 

 

m 

x 3 1 

x 1 

với 

 

 

x 3; 

x 3 1 

Xét hàm số y f x 

với x 3; 

 

. 

x 1 

f 

x 

5 x 2 x 3 

 

2 x 3 1 

x 2 

với 

 

A 

 

x 3; 

3 x 5 

f x 0 2 x 3 5 x 

2 

4 x 3 5 x 

2 

50 km 

1 xác định với x 3; 

 

 

C 

B 

để chi phí ít nhất. 

10 km 


3 x 5 

3 x 5 

x 7 2 3 7 2 3 

x 

14x 

37 0 

x 

7 2 3 

x 3 

7 2 3 

f’(x) + 0 -

f(x) 

1 

3 

4 

1 

2 

0 

1 1 

3 

x 3 1 

Dựa vào đồ thị ta thấy với m thì đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x 

tại hai 

2 4 

x 1 

điểm phân biệt nên phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt. 

Câu 18: Chọn A. 

 

19 

19 

F 

Ta có 2 2 1 log F log 2 2 1 

. 

19 19 19 19 

2 2 2 2 

Do 

19 

2 

log 2 1 

157826 . 

log 2 log 2 1 log 2 .2 157826.44 log 2 1 157826.72 

 

Vậy số 

97 

2 

 

F 2 1 

có 157827 chữ số. 

Câu 20: Chọn D 

Số tiền 100 triệu đồng lần đầu tiên, kì hạn 3 tháng, 

1 1 

n 

6 

2 

T A . 1 r 100.10 . 1 

5% 

r 5% . Sau 6 tháng, cả vốn lẫn lãi là: 

Sau đó, gửi thêm 50 triệu trong 6 tháng tiếp theo, kì hạn 3 tháng, r 5% . Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 

năm: 

T 

2 1 

6 6 

 

2 2 2 

T . 1 5% (100.10 1 5% 50.10 ). 1 5% 176675625 176676000 

Câu 33: Chọn B. 

5 

Diện tích xung quanh hình trụ Sxq 

2πrl 

2π .23 115π . 

2 

2 

Vậy sân phẳng có diện tích 115π.15 1725π cm . 


 

A 

 

B 

Cách 1 : Ta có AB 3; 0; 0 

. Gọi C x; y; z DC x; y 3; z 

 

ABCD là hình bình hành AB DC x; y; z 3; 3; 0 C 3; 3; 0 

 

 

Ta có AD 0; 3; 0 

. Gọi A x; y; z AD x; 3 y; 3 

z 

 

ADD A là hình bình hành AD AD x; y; z 0; 0; 3 A 

0; 0; 3 

 

Gọi B x0; y0; z0 AB 

x0; y0; z0 

3 

 

ABB A là hình bình hành AB AB 

x ; y ; z 3; 0; 3 B 

3; 0; 3 

 

 

A 

D 

D 


0 0 0 

B 

C 

C

0 3 

3 

 

xG 

2 

3 

0 0 3 

G là trọng tâm tam giác ABC yG 

1 G 2; 1; 2 . 

3 

3 3 0 

zG 

2 

3 

3 3 3 

Cách 2: Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BD .Ta có I 

; ; 

 

.Gọi G a; b; 

c 

là trọng tâm tam giác 

2 2 2 

3 3 

 

3 

a 

3 3 3 

2 2 

DI ; ; 

 

 

 

a 

2 

2 2 2 

3 3 

Ta có : DI 3IG 

với 

. Do đó : . 

 

3b 

b 

1 

3 3 3 

2 2 

IG a ; b ; c 

 

 

c 2 

2 2 2 

3 3 

3c 

 

2 2 

Vậy G 2;1; 2 . 

 

 


 

Ta có: AB 1; 1;1 

; AC 1;1; 1 

. 

 

AB 3 ; AC 3 ; AB AC 

A là trung điểm của BC 

Vậy khẳng định (I); (IV) đúng. Khẳng định (II); (III) sai. 


Ta có phương trình mx x 3 m 1 1 xác định với x 3; 

 

1 

m x 1 

x 3 1 với x 3; 

 

 

m 


f 

x 

x 3 1 

x 1 

 

y f x 

với x 3; 

 

 

5 x 2 x 3 

 

2 x 3 1 

x 2 

x 3 1 

x 1 

với x 3; 

 

với 3; 

 

x . 


3 x 5 

f x 0 2 x 3 5 x 

2 

4 x 3 5 x 

ABC 

3 x 5 

 

x 

14x 

37 0 

2 

3 x 5 

 

x 7 2 3 

 

x 

7 2 3 

7 2 3

x 

3 

7 2 3 

 

f 

x 

 

0 

 

f 

x 

1 

2 

1 

3 

4 

0 

Dựa vào đồ thị ta thấy với 1 1 

m 3 thì đường thẳng y m 

2 4 

1 có hai nghiệm phân biệt. 

điểm phân biệt nên phương trình 

cắt đồ thị hàm số y f x 

 

x 3 1 

x 1 

tại hai 

Câu 42: Chọn C. 

Phương trình tương đương: 

Đặt t 

Xét 

2 

cos x với 0;1 

 

f t 

Hàm số 

t ta được 

1 2018 

2017 

2017.2019 2019 

2 2 

cos x 

cos x 

1 2018 

2017 

2017.2019 2019 

t 

1 2018 

2017 

2017.2019 2019 

với 0;1 

f t nghịch biến trên 0;1 

D . 

f và f t f 

Max f t 0 2018 

D 

Min 1 1. 

D 

t 

t . 

t 

m . 

t 

m . 

Phương trình có nghiệm Min f t m Max f t 

hay 1;2018 

Vậy có 1019 giá trị nguyên m để phương trình có nghiệm. 

[] 

Câu 43: Chọn A 

D 

D 

m . 

Vì số có 12 chữ số và trong số đó hai chữ số bất kỳ đứng cạnh nhau hơn kém nhau một đơn vị nên số lần xuất hiện 

chữ số 5 là 6 lần. 

+ Đánh thứ tự các chữ số trong số có 12 chữ số là: 1,2,3,4,...,12. Ta có 

TH1 chữ số 5 ở vị trí chẵn, 6 vị trí còn lại mỗi vị trí có 2 cách chọn. 

TH2 chữ số 5 ở vị trí lẻ, 6 vị trí còn lại mỗi vị trí có 2 cách chọn. 

Vậy có 

6 

2.2 128. 



Ta có 

2 21 

 

g 

x f x x . 

g 

x 0 2 f x 21 x 

0 1 

Dựa vào hình vẽ ta có: 

Và ta có bảng biến thiên 

f x x . 

x 

4 

g x 

0 

 

 

x 1 

. 

 

x 3 

g x 2 f x 1 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x0 1. 

Suy ra hàm số 2 

Câu 45: Chọn C. 

3 2 

2 

Hàm số y f x ax bx cx d ; 

Do đó x 0 d 4 ; x 2 8a 4b 2c d 0 

a 1; b 3; c 0; d 4 và hàm số 

f x 3ax 2bx c , có đồ thị như hình vẽ. 

; f 2 

0 12a 4b c 0 ; f 

y x x 

3 2 

3 4 . 

Ta có 

2 

3 

g x f x x 2 x 2 x x 2 x 

2 3 2 4 

1 

 

x 

2 

3 2 1 2 

2 1 2 32 1 32 1 

2 1 

2 2 

; g x 

0 x 

1 

g 

x x x x x x x x 

Bàng xét dấu của 

g x : 


x 

y 

y 

 

 

 

2 

4 

1/ 2 

0 0 0 

7 7 10 

8 

1 

4 

 

 

0 0 c 0 . Tìm được 

x 

2

Vậy 

g x nghịch biến trên khoảng 


1 

;0 

2 . 

Từ đồ thị 

1 

y f x f x x 3 3x 2 2 f x x 4 x 3 2x e f x 

e có 4 nghiệm phân biệt. 

4 


 

 

log log 3 1 log 

x 

0,02 2 0,02 

TXĐ: D 

ĐK tham số m : m 0 

x 

Ta có: 

 

 

m 

x 

m 

log log 3 1 log log 3 1 

m 

0,02 2 0,02 2 

Xét hàm số f x log 3 x 1 , x ;0 

Bảng biến thiên 

có 

 

f x : 

Khi đó với yêu cầu bài toán thì m 1. 


Dựng tứ diện đều có cạnh bằng 


2 

x 

3 .ln 3 

f 0, x 

;0 

x 

3 1 ln 2 

 

x 0 

f + 

f 

6. 

0 

Đáp án. 

S 


 

1 

 

A 

F 

K 

C 

E 

H 

D 

B 

O 

Giả sử E, 

F là chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB, 

AC . Khi đó ta có HE AB, 

HF AC . Do

OE OF 1 nên HE HF . Do đó AH là phân giác của góc BAC . 

Khi đó AH BC D là trung điểm của BC . 

Do BC AD BC SAD 

. Kẻ OK SD 

Đặt AB BC CA 2a a 

0 

thì OK SBC 

a 

thì SH a, HD a.cot 60 . 

3 

. Do đó OK 1 và SDA 60 . 

Do đó AD a 3 3HD 

nên H là tâm tam giác đều ABC S. 

ABC là hình chóp tam giác đều và E, 

F là trung 

điểm AB, 

AC . 

OK 

Mặt khác trong tam giác SOK có : SO 2 . Do DEF 

sin 30 

K D . 

Khi đó 

3 

AB 3, SH . 

2 

DSO vuông tại D và có DH SO . Từ đó 

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. 

ABC thì 

4 7 343 

Vm / c 

. 

. 

3 4 48 

Câu 50: Chọn A. 

3 

đều có OH DFE 

DH 

2 

SA 7 

R . 

2SH 

4 

2 

nên OE OF OD 1 

2 

a 

3 

HS. 

HO a2 

a 

a 

3 

2 

Gọi cạnh của tứ diện đều là a . Gọi K là trung điểm của CD và E IK AB . Qua A 

1 

kẻ đường thẳng song song 

với IK cắt AB tại J . 

BJ BA1 2 

Ta có: và 

BE BK 3 


AE AI 

 

EJ IA 

1 

1 nên suy ra 

1 a 

AE AB và 

4 4 

3a 

BE . 

4 

Gọi M là trung điểm của BE , trong mặt phẳng ABK dựng đường trung trực của BE cắt AA 

1 

tại O . Ta dễ 

dàng chứng minh được O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp EBCD . 

a 3 a 6 

Ta có: BA1 

, AA1 

. Đặt BE x . 

3 3 

Tam giác ABA 

1 

đồng dạng với tam giác AOM nên suy ra 

AM OM AM . BH x 1 

OM a . 

AA BH AA 2 2 

1 1

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp EBCD ta suy ra: 

2 

2 2 x 1 x 

R OB OM MB a 

4 2 2 . 

2 

Với 

3a 

x ta có: 

4 

2 

2 

9a 

1 3a 

43 

R 

a a . 

64 2 8 128 

Tương tự với 

a 

x ta có bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp EACD là 

4 

2 

a 1 a 51 

R 

a a . 

64 2 4 128 

2 

Do đó 

R 43 

R ' 51 

. V 

 

V 

3 

R 

R 

3 . 






Câu 1 (TH): Họ các nguyên hàm F (x) của hàm số 

x 

A. F x x x e C 

B. 

2 

f x 

3sin x e 

x 

3cos 2ln . 

F x 3cos x 2ln x e x C. 

3cos 2ln . 

F x 3cos x 2ln x e x C. 

x 

C. F x x x e C 

D. 

Câu 2 (TH): Hàm số 

3 

y x x 

3 2019 


 

 

 

0;2 

A. 2;0 

B. 1;1 

C. 3; 1 

D. 

 

 

Câu 3 (TH): Cho cấp số cộng un 

có số hạng đầu u1 2 và công sai d 5. Giá trị u4 

bằng 

A. 250. B. 17. C. 22. D. 12. 

Câu 4 (TH): Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2 . Mặt phẳng P qua S cắt đường tròn đáy 

x 

là 

a 

4a 

17 

tại A, B sao cho AB 2a 

. Biết rằng khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng P 

là . 

17 

Thể tích khối nón bằng 

8 3 

A. . B. C. D. 

3 a 

3 

10 3 

2 a . 

a . 

3 

Câu 5 (NB): Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn 

 

 

 

3 

4 a . 

k n . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

k n! 

k n! 

k n! A. An 

. B. An 

. C. An 

. 

D. A 

n k ! 

k! n k ! 

k! 

k 

n 

 

 

k! n k ! 

. 

n! 

f x 

 

x 

Câu 6 (VDC): Cho hàm số thỏa mãn f x 2 x f ' x 3 xe , x [0; ) . Giá trị f 1 bằng 

1 

2 1 

A. 1 . 

B. . 

C. . 

D. 

e 

e 

e 

 

Câu 7 (NB): Trong không gian Oxyz, cho u 3i 2 j 2k 

. Tọa độ của u 

là 

 

A. 3;2; 2 B. 3; 2;2 

C. 2;3;2 

D. 

2 

1 . 

e 

 

 

 

2;3; 2 

Câu 8 (NB): Họ nguyên hàm của hàm số 

2 

 

f x x 

3 

x 

A. . 

B. x 2 

x 

3 

C. 

C. C. 

D. 2 x C. 

3 

2 

3 

Câu 9 (TH): Tập nghiệm của bất phương trình 

là 

x 

2 

x 

0,1 0,01 là 

 

 

 

 

A. 2;1 . B. ; 2 . C. 1; . 

D. 

; 2 1; . 

Câu 10 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ABCD và SA a 6 . Giá trị 

 

 

cos SC, 

SAD 

 

 

bằng 


 

 

14 14 6 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

2 

4 

6 

6 . 

3 

1

1 

Câu 11 (TH): Biết f xdx 4x ln 2x 1 

C với x 

; 

. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

2 

4 

A. f 5xdx x ln 10x 1 C. 

B. 

5 

 

C. f 5 x dx 20 x ln 10 x 1 C . 

D. 

f 5x dx 4x ln 10x 5 C. 

 

 

2i 1 

z 4 3i 

z 

f 5x dx 4x ln 10x 1 C. 

Câu 12 (TH): Cho số phức z thỏa mãn . Điểm biểu diễn của số phức là 

M 

M 

M 

M 

 

A. 2;1 . B. 2; 1 . C. 2;1 . 

D. 

Câu 13 (NB): Nghiệm của phương trình 

2 x 16 

là 

2; 1 . 

A. x 5. 

B. x 4. 

C. x 8. 

D. x log16 

2. 

Câu 14 (VD): Giả sử a, b là các số thực sao cho 

 

 

x y a.10 b.10 

3 3 3z 

2z 

2 2 

x, y, z thỏa mãn log x y z và log x y z 1. Giá trị của a b bằng 

29 31 31 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

2 

2 

2 

Câu 15 (NB): Phần thực và phần ảo của số phức 

z 1 

2i 

lần lượt là 

đúng với mọi các số thực dương 

A. 2 và 1. B. 1 và 2. C. 1 và 2i . D. 1 và i. 

 

 

2 3 

Câu 16 (TH): Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 1 x 3 , x 


hàm số là 

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 

Câu 17 (TH): Đạo hàm của hàm số 

log 2 

2 

3 2 

f x x 

1 

A. f ' x 

 

. 

B. 

2 

3x 

2 ln 2 

 

 

6x 

C. f ' x 

 

. 

D. 

2 

3x 

2 ln 2 

Câu 18 (TH): Hàm số 

 

 

4 2 

y x 2x 

5 đồng biến trên khoảng 

là 

6 x.ln 2 

f ' x . 

2 

3x 

2 

ln 2 

f ' x . 

2 

3x 

2 

0;1 

1;0 1; 

1;1 

 

A. ; 1 0;1 B. ; 1 và C. và D. 

Câu 19 (TH): Tập xác định của hàm số 

 

 

y 

3 x 

9 2 

D 

 

A. D ;2 

B. \ 2 C. D 2; D. D 

2 

 

Câu 20 (TH): Cho f x dx 2 và 

2 f x g x 

dx 3; giá trị g x dx bằng 

1 

2 

1 

A. 7 B. 5 C. -1 D. 1 

Câu 21 (VD): Lớp 12A có 35 học sinh, trong đó có 3 học sinh cùng tên là Trang, 2 học sinh cùng tên là 

Huy. Xếp ngẫu nhiên 35 học sinh thành một hàng dọc. Xác suất để 3 học sinh tên Trang đứng cạnh nhau 

và 2 học sinh tên Huy đứng cạnh nhau là 

1 1 

1 

A. . B. . C. . 

D. 

2992 

3246320 

39270 

là 

2 

 

1 

 

29 . 

2 


2 . 

6545 

2

2 

Câu 22 (TH): Gọi và z là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 

10 0 . Giá trị biểu thức 

z 

 

z 

1 2 

bằng 

z1 

2 

A. 3 10. B. 4 10. C. 2 10. D. 10. 

2 2018 

Câu 23 (VD): Kí hiệu z , z là hai nghiệm phức của phương trình z z 2019 0 . Giá trị z1 z2 

bằng 

1 2 

1009 

2010 


A. 2019 . B. 2019 . C. 2019 . 

D. 

3 

Câu 24 (VD): Số giao điểm của đồ thị hàm số y x 3x 

1 

và đường thẳng y 3 là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

1009 

2.2019 . 

Câu 25 (VD): Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2a, O là trọng tâm tam giác 

ABC và 

2a 

6 

A' O . 

3 

Thể tích của khối lăng trụ ABC . A 'B 'C ' bằng 

3 

3 

3 

4a 

2a 

A. 2 a . 

B. 2a 

3. 

C. . 

D. 

3 

3 

Câu 26 (NB): Cho hàm số 

 

 

 

y f x 

H y f x , y 0, x 1, x 2 

2 

 

liên tục trên [1; 2]. Quay hình phẳng 

xung quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích 

 

 

2 

A. V f x dx. 

B. V f x dx. 

2 

1 

 

2 

2 

C. V f x dx. 

D. V 2 f x dx. 

Câu 27 (TH): Cho hàm số 

số 

y f x 

là 

1 

 

y f x 

A.1 B. 4 

C. 3 D. 2 

Câu 28 (NB): Cho hai điểm 

A 

2 

 

1 

2 

 

1 

có bảng biến thiên như hình bên. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm 

1;0;1 , B 2;1;1 

 

 

.Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là 

A. x y 1 0. B. x y 1 0. C. x y 2 0. 

D. x y 2 0. 

x 

1 

2t 

 

Câu 29 (NB): Đường thẳng d y 2 3 t, 

t 

 

có một vectơ chỉ phương là 

z 

3 

 

 

 

A. u 2;3;0 . B. u 2;3;0 . C. u 2;3;3 . 

D. 

 

 

 

 

3 2 

Câu 30 (NB): Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 7x 11x 

2 trên đoạn 0;2 bằng 

 

 

A. 0. B. 3. C.11. D. 2. 

Câu 31 (VD): Tích các nghiệm thực của phương trình 

x 

1 

y ' - - 


y 

1 

log x 3 log x 3 

 

2 

2 2 

 

3 

bằng 

 

u 

3 

. 

 

 

 

1;2;3 . 

0 

3

3 13 

1 13 

3 13 

1 

13 

2 

2 

2 

2 

A. 2 . B. 2 . 

C. 2 . 

D. 5.2 . 


3 f x 

2 0 

là 

y f x 

A. 3 B. 1 

C. 2 D. 4 

4 

có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình 

5 

Câu 33 (VD): Cho x ln x 2 

dx a ln 6 với a, b là các số nguyên dương. Giá trị 2a 

3b 

bằng 

b 

1 

A. 24. B. 26. C. 27. D. 23. 

Câu 34 (TH): Cho ba điểm 

2;0;0 , 0;1;0 , 0;0; 3 

A B C 

giác ABC và vuông góc với mp(ABC) có phương trình là 

. Đường thẳng đi qua trực tâm H của tam 

x 

2 2t 

x 

3 

3t 

x 

3 

3t 

 

 

 

A. y 

1 t B. y 

6 6t 

C. y 

6 6t 

D. 

 

z 

3 3t 

 

z 

2 2t 

z 

2 2t 

Câu 35 (TH): Cho a là số thực dương khác 1. Tính I log a 

a . 

x 

6 6t 

 

y 

3 3t 

z 

2 2t 

1 

A. I 2. 

B. I 0. 

C. I . 

D. I 2. 

2 

Câu 36 (VD): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng với D qua 

trung điểm của S A; M, N lần lượt là trung điểm AE , BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SC 

bằng 

a 2 a 2 a 3 a 3 

A. . 

B. . 

C. . 

D. . 

4 

2 

4 

2 

x y 1 

z 

Câu 37 (VD): Cho đường thẳng d : và ba điểm A2;0;0 , B0;4;0 , C 0;0;6 

. Điểm 

6 3 2 

 

M a; b; 

c 

 

d thỏa mãn MA 2MB 3MC 

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S a b c . 

148 49 50 

A. S . B. S . C. S . 

D. 

49 

148 

49 

Câu 38 (VD): Trong các mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng 

trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là 

A. x 1 y 5 z 3 70. 

B. 

49 

S . 

50 

x t x 8 2t 

 

 

1 : y 2 t , 2 

: y 6 t ; phương 

z 4 2t 

z 10 

t 

2 2 

2 

x y z 

 

C. x 1 y 5 z 3 35. 

D. 

2 2 2 

1 5 3 30. 

2 2 

2 

x y z 

 

x 

1 

y ' - - 


y 

1 

 

2 2 2 

1 5 3 35. 

3 

 

0 

4

Câu 39 (VD): Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , 

hàm số 

 

y f 1 

x 

y f ' x 

 

là 

 

có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số 

A. 3. B. 0. 

C. 1. D. 2. 

Câu 40 (VD): Cho hàm số 

biến trên 

 

2; 

 

3 2 

y x mx 9 . Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng 

. Tổng các phần tử của S là 

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 

Câu 41 (NB): Hình chóp tứ giác có 

A. đáy là một tứ giác. B. 6 cạnh. C. 4 đỉnh D. 4 mặt. 


 

1;5 

 

 

y f x 

có bảng biến thiên trên đoạn 

như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 

 

f 3sin x 2 

m có đúng 3 nghiệm phân biệt trên khoảng ; 

2 

? 

A. 7 B. 4 

C. 6 D. 5 

A 

 

Câu 43 (TH): Cho hai điểm 3; 1;2 và B 5;3; 2 

. Mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có phương 

trình là 

2 

2 2 

A. x 4 y 1 z 9. 

B. 

C. x 4 y 1 z 36. 

D. 

2 2 2 

x 4 y 1 z 36. 

2 

2 2 

2 2 2 

x 4 y 1 z 9. 

x 1 y 1 z 1 

Câu 44 (VD): Cho đường thẳng d : và hai điểm A2;0; 3 , B2; 3;1 

. Đường 

x 2 2 

thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến nhỏ nhất. Phương trình của là 

x y 1 z 1 

x y 1 z 1 

x y 1 z 1 

x y 1 z 1 

A. B. C. D. 

2 1 2 2 1 2 2 1 2 

2 1 2 

Câu 45 (VD): Quay hình phẳng 

xoay có thể tích bằng 

H y x 1, y x 3, y 0 

x -1 2 5 

f ' x 

- 0 + 0 

xung quanh trục Ox được khối tròn 

14 16 17 13 

A. B. C. D. 

3 

3 

3 

3 

Câu 46 (VD): Cho số phức z thỏa mãn z 15 z 15 8 và | z 15 i | | z 15 i | 8 . Tính z . 

x 


f 

4 

-1 

5 

4 34 

2 5 

4 

A. z 

B. z 

C. z 

D. 

17 

5 

5 

5 

z 

4 

5

Câu 47 (VD): Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh A, AB AC a . Hình 

chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc đoạn BC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng 

(BCC'B’) bằng 

a 3 

3 

. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng 

3 

3 

3 

a 

a 

a 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

3 

2 

6 

2 

Câu 48 (TH): Cho log b 4,log c 4; khi đó log b c bằng 

 

2 

2 2 

A. 8 B. 6 C. 7 D. 4 

: 2 3 1 0 

Câu 49 (NB): Mặt phẳng P x y z có một vectơ pháp tuyến là 

 

 

 

A. n 1;3; 1 

B. n 2; 1;3 

C. n 2; 1; 3 

D. 

 

 

 

 

Câu 50 (VD): Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình bên. 

Tổng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

A. 6 B. 8 

C. 4 D. 5 

 

 

x x 

g x f 2sin cos 3 

 

 

2 2 

 

bằng 

3 

a 

. 

4 


 

n 2; 1; 1 

 

 

6


1.C 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B 

11.D 12.A 13.B 14.D 15.B 16.C 17.C 18.B 19.B 20.D 

21.D 22.C 23.D 24.C 25.A 26.B 27.C 28.D 29.A 30.D 

31.A 32.C 33.A 34.B 35.D 36.A 37.A 38.C 39.D 40.A 

41.A 42.D 43.D 44.C 45.B 46.A 47.B 48.D 49.B 50.A 

Câu 1: 

Phương pháp 

Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản 

Và 

 



Ta có 

Chọn C. 

Câu 2: 

1 

x x 

sin xdx cos x C; dx ln x C; 

e dx e C 

x 

 

2 

3sin x 

x 

F x f x dx x e dx 3cos x 2.ln x e C 

x 


 

- Tính y ', tìm nghiệm của y ' 0 . 

- Xét dấu của y ' và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 

+ Các khoảng làm cho y ' 0 thì hàm số đồng biến. 

+ Các khoảng làm cho y ' 0 thì hàm số nghịch biến. 


Ta có: 

2 x 

1 

y ' 3x 

3 0 

x 

1 

x 

1 

y ' 0 hay hàm số đồng biến trên các khoảng 

x 

1 

Dễ thấy trong các đáp án, khoảng 

Chọn C 

Câu 3: 


3; 1 ; 1 

 

; 1 

và 1; 

 

nên hàm số đồng biến trên 3; 1 

Cấp số cộng có số hạng đầu u và công sai d thì có số hạng thứ n là u u n d 


Số hạng thứ tư là u4 u1 3d 

2 3.5 17 

Chọn B. 

Câu 4: 



1 

n 

1 

1 

7

- Gọi M là trung điểm AB, dựng đường cao kẻ từ O đến mặt phẳng P 

1 2 

- Tính thể tích khối nón theo công thức V R h . 

3 


Gọi M là trung điểm của AB, kẻ OH SM . 

Khi đó OM AB, 

SM AB AB SOM AB OH . 

 

 

Lại có OH 

4a 

17 

SM nên OH SAB d O, 

P 

OH 

17 

Xét tam giác OAM vuông tại M có 

2 2 

OA a MA a OM OA AM a 

2, 

AB 

2 

Xét tam giác SOM vuông tại O có 

1 1 1 17 1 1 

SO 4a 

. 

2 2 2 2 2 2 

OH SO OM 16a SO a 

3 

1 2 1 2 8 

a 

Vậy thể tích khối nón V . OA . SO .2 a .4a 

. 

3 3 3 

Chọn A. 

Câu 5: 


Sử dụng công thức chỉnh hợp 


Ta có 

A 

k 

n 

Chọn A. 

Câu 6: 

 

 


n! 

n k 

 

A 

k 

n 

 

 

n! 

n k 

 

. 

! 

với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k n 

! 

x 

- Nhân cả hai vế của đẳng thức với e rồi chia cả hai vế cho 2 x . 

- Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế thu được và suy ra kết luận. 


 

Ta có: f x 2 x f ' x 3 xe x , x 

[0; ) * 

 

 

x 

x x 

e f x 

x 3x 

e f x 

2 xe f ' x 

3 x e f ' x 

 

2 x 

2 x 

1 1 

3 

1 1 

x 

x 3 x 

3 x 

e f x ' e f x 

' dx dx 

2 

 

2 

0 0 

 

 

x 

e f x x e. f 1 f 0 1 

 

Mà từ (*) ta có: 

0 0 


1 

f 0 

0 nên e. f 1 1 

f 1 

 

e 

(với x > 0) 

8

Chọn C. 

Câu 7: 


 

 

Véc tơ u a. i b. j c. 

k thì tọa độ của u 


 

Ta có u 3i 2 j 2k 

nên tọa độ của là 

Chọn B. 

Câu 8: 


 

a; b; 

c 

 

u 3; 2;2 

1 

x 

Sử dụng công thức x dx C 

1 

. 

1 


Ta có: 

 

Chọn C. 

Câu 9: 

3 

2 

f x dx x dx C 

 


 

x 

3 

Biến đổi để đưa về cùng cơ số: 


Ta có 

x 

2 x x 

2 x 

 

g x 

 

0 1 

f x 

a a a f x g x 

2 2 2 

0,1 0,01 0,1 0,1 x x 2 x x 2 0 2 x 1 

Tập nghiệm của bất phương trình là S 2;1 

Chọn A. 

Câu 10: 


Xác định góc, sử dụng lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (nhỏ hơn 90 0 ) bằng góc giữa đường 

thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng. 


Ta có: CD AD, 

CD SA CD SDA . 

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) bằng 

góc giữa đường thẳng CS và đường thẳng DS hay CSD 

Lại có 

2 2 2 2 

SD SA AD a 7, SC SA AC 2a 2, CD a 

nên áp dụng định lý hàm số cô sin cho tam giác SCD ta có: 

2 2 2 2 2 2 

SD SC CD 7a 8a a 14 

cosCSD 

. 

2. SD. SC 2. a 7.2a 

2 4 

Chọn B. 

Câu 11: 



 

 

9

Dùng phương pháp đổi biến số đặt 5x 


Xét 5 

 

I f x dx 

dt 

Đặt 5x t 5dx dt dx 

5 

Khi đó 

1 1 

I f 5 xdx .4 ln 2 1 

5 

f t dt t t C 

5 

1 

.4.5 x ln 2.5 x 1 C 4 x ln 10 x 1 C 

5 

Chọn D. 

Câu 12: 


Tìm số phức z và suy ra z . 

Cách giải 

Ta có: 2i 1 

z 4 3i 

4 3i 

1 

2i 

 

t để biến đổi tìm I f 5xdx 

2 

4 3i 4 3i 8i 6i 10 5i 

2 

2 1 1 2 1 2 1 4 5 

z 2 

i 

i i i i 

Suy ra z 2 i và có điểm biểu diễn là M 2;1 . 

Chọn A. 

Câu 13: 


 

x 

Sử dụng a b x log b0 a 1; b 0 


x 

Ta có 2 16 x log2 

16 x 4 

Chọn B. 

Câu 14: 


a 

2 2 

- Tính xy từ các giả thiết liên quan đến x y, 

x y . 

3 3 

- Biểu diễn x y theo x y, 

xy và thay 10 x 

z 

y vào tính x 


Ta có: log 

x y z x y 10 z 

2 2 2 2 z1 

z 

x y z x y x y 

log 1 10 10 .10 10 

2 

2 10 

x y xy x y xy 


Do đó 

2 

x y 10 x y 

3 3 3 3 

10 

2 

y 

3 3 

x y 2 

x y 

x y x y 3xy x y x y 3. . x y 

2 

10

1 1 

x y 15 x y 

.10 15.10 

2 2 

Suy ra 

Chọn D. 

Câu 15: 

3 2 3 z 

2 z 

1 29 

a , b 15 a b . 

2 2 


 

 

Số phức z a bi a; 

b có phần thực là a và phần ảo là b. 


Số phức z 1 

2i 

có phần thực là 1 và phần ảo là 2. 

Chọn B. 

Câu 16: 


Số điểm cực trị của hàm đa thức là số nghiệm bộ lẻ của phương trình y ' 0 . 


 

Dễ thấy phương trình f ' x 0 có hai nghiệm bội lẻ là x 0 (nghiệm đơn) và x 3(bội ba) nên 

đổi dấu qua từng nghiệm này. 

Vậy hàm số có hai điểm cực trị. 

Chọn C. 

Câu 17: 


Sử dụng công thức đạo hàm log 


2 

Ta có f ' x log 3x 

2 

Chọn C. 

Câu 18: 


 

 

a 

u ' 

u' 

 

u.lna 

2 

3x 

2 ' 6x 

x x 

 

2 

 

2 2 

3 2 ln 2 3 2 ln 2 

- Tính y ' , tìm nghiệm của y ' 0 

- Xét dấu của y ' và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 

+ Các khoảng làm cho y ' 0 thì hàm số đồng biến. 

+ Các khoảng làm cho y ' 0 thì hàm số nghịch biến. 


Ta có: 

3 x 

0 

y ' 4x 4x 

0 

x 

1 

x 

1 

y ' 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng 

0 x 1 

Chọn B. 


 

; 1 

và 0;1 

f 

x 

' 

11

Câu 19: 


 

 

f x 0 

Hàm số y f x 

với là số nguyên âm có điều kiện 


2 

ĐKXĐ: 3 x 9 0 3 x 9 3 x 3 x 2 

Suy ra tập xác định 

Chọn B. 

Câu 20: 


D \ 2 

Sử dụng các công thức tổng, hiệu hai tích phân, tích của một tích phân với một số thực. 


Ta có: 

2 2 2 2 2 

 

 

 

3 

2 f x g x dx 2 f x dx g x dx 2.2 g x dx g x dx 1 

1 1 1 1 1 

Chọn D. 

Câu 21: 


 

 

 

 

n A 

+) Sử dụng công thức xác suất P 

A 

với n 

A 

là số phần tử của biến cố A và n 

là số phần 

n 

tử của không gian mẫu. 

+) Áp dụng phương pháp buộc phần tử. 


Số cách xếp 35 học sinh thành 1 hàng dọc là n 35! 

Coi mỗi học sinh đứng vào 1 chỗ đồng thời coi 3 học sinh tên Trang chỉ đứng vào 1 chỗ và 2 học sinh tên 

Huy chỉ đứng vào 1 chỗ thì còn lại 32 chỗ đứng. 

Số cách sắp xếp 32 chỗ này thành 1 hàng dọc là 32!, đồng thời ta có 3! cách xếp 3 học sinh tên Trang và 

2! cách xếp 2 học sinh tên Huy nên số cách sắp xếp cho 3 học sinh tên Trang đứng cạnh nhau và 2 học 

sinh tên Huy đứng cạnh nhau là n A 32!.3!.2! 

Xác suất cần tìm là P A 

Chọn D. 

Câu 22: 


 

 

 

 

n A 32!.3!.2! 2 

 

n 35! 6545 

Giải phương trình tìm nghiệm và thay vào biểu thức cần tính giá trị. 



z 

2 


2z 

10 0 có hai nghiệm phức z1,2 1 

3i 

Suy ra 

Chọn C. 

Câu 23: 

z z 1 3 10 z z 2 10. 

2 2 

1 2 1 2 

12


Giải phương trình đã cho tìm z1; 

z2 

Sử dụng công thức môđun của số phức 


Ta có 

z a bi 

là 

z a b 

2 2 

2 2 

2 2018 1 1 2018 1 1 

2018 

z z 2019 0 z 2019 0 z 2019 

2 4 2 4 

1 2018 1 

2 

z 

2019 . i 

1 2018 1 2 4 4 

z 2019 . 

i 

2 4 1 2018 1 

z 

2019 . i 

4 4 

Suy ra 

2 

1 2018 1 1 

2018 1 

2018 1009 

1 

2019 . 

1 

2019 2019 2019 

z i z 

2 4 2 

4 

2 

1 2018 1 1 

2018 1 

2018 1009 

2 

2019 . 

2 

2019 2019 2019 

z i z 

2 4 2 

4 

Do đó 

Chọn D. 

Câu 24: 


z1 z2 2019 2019 2.2019 

1009 1009 1009 

Giải phương trình hoành độ giao điểm và kết luận nghiệm 


Phương trình hoành độ giao điểm: 

3 3 x 

2 

2 

x 3x 1 3 x 3x 2 0 x 2 x 1 0 

x 

1 

Vậy phương trình có hai nghiệm số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là 2 

Chọn C. 

Câu 25: 


Tính chiều cao lăng trụ dựa vào định lý Pytago 

Tính thẻ tích lăng trụ V S. 

h với S là diện tích đáy và h là chiều cao lăng trụ 


Gọi E là trung điểm của BC. 

Vì ABC là tam giác đều cạnh 2a nên 

Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên 

Xét tam giác AOA’ vuông tại A nên 


2a 

3 

AE a 

2 

2 2 2a 

3 

AO . AE . a 3 

3 3 3 

3 

2 2 

 

2 2 2a 6 2a 3 2a 

3 

AA' 

A' 

O AO 

3 3 

3 

13

Diện tích đáy 

S 

ABC 

 

2a 2 3 

2 

4 

a 

2a 

3 2 3 

Thể tích lăng trụ VABC. A' B' C ' 

AA'.S ABC 

. a 3 2 a . 

3 

Chọn A 

Câu 26: 


3 

Công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 

y f x, y 0, x a, 

x b 

2 

quay quanh trục Ox là V f xdx. 


2 

Sử dụng công thức tính thể tích trên ta được V f x dx. 

Chọn B. 

Câu 27: 


Sử dụng định nghĩa tiệm cận: 

2 

 

1 

Đường thẳng y y 0 

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x nếu một trong các điều kiện sau được 

thỏa mãn lim ; lim 

x 

f x y f x y 

0 0 

x 

Đường thẳng x x 0 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu một trong các điều kiện sau được 

thỏa mãn lim f x ; lim f x 


 

 

xx0 xx0 

 

 

 

Từ bảng biến thiên ta suy ra lim f x 1; lim f x 0 nên y 0; y 1 

là các đường tiệm cận ngang 

của đồ thị hàm số. 

 

x 

x 

Và lim f x nên đường thẳng x 1 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

 

x1 

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận. 

Chọn C. 

Câu 28: 


Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. 


3 1 

là mặt phẳng trung trực của AB nên P đi qua trung điểm M 

 

; ;1 của AB và nhận 

2 2 

 

AB 1;1;0 làm VTPT. 

P 

 

 

 

Khi đó 

Chọn D. 

b 

 

a 

 


3 1 

P : 1 x 1 y 0 z 1 0 x y 2 0 

2 2 

 

 

14

Câu 29: 


Đường thẳng 



Chọn A. 

x x0 

at 

 

d : y y0 

bt 

 

z z0 

ct 

 

có 1 VTCP là u 

 

a; b; 

c 

x 

1 

2t 

 

d : y 2 3 t, 

t 

 

có một VTCP là u 2;3;0 

 

 

z 

3 

x 

1 

2t 

 

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn đường thẳng d : y 2 3 t, 

t 

 

có một VTCP là u 2;3;3 

hoặc 

 

z 

3 

 

u 1;2;3 . 

 

Câu 30: 

 


- Tính y ' , tìm các nghiệm của ' 0 nằm trong đoạn 0;2 . 

y 

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên (cả hai đầu mút) và so sánh. 


Ta có: 

x 

1 

0;2 

2 

y ' 3x 14x 

11 0 

11 

x 0;2 

3 

 

 

Lại có y 0 2, y 2 0, y 1 3 nên GTNN của hàm số là -2 đạt được tại x 0 . 

Chọn D. 

Câu 31: 


 

 

- Đặt 3 log x t t 0 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại II. 

2 

- Trừ vế với vế các phương trình đưa về dạng tích và giải hệ. 


ĐK: 

x 

0 

0 x 8 

3 log2 

x 0 

Đặt 3 log x t t 0 t 2 3 log x t 2 log x 31 

Thay 

2 2 2 

3 log2 

x t vào phương trình đã cho ta được log 2 

2 

x t 32 

2 2 

Từ (1) và (2) suy ra t x x t t xt x t x 

t xt x 

2 

log2 log2 

1 0 

t 

 

 

2 2 2 2 2 

 


log log 0 log log log 0 

t 

log 

 

x 

1 log 

2 

x 

15

log2 

x 0 

+ Với t log2 x 3 log2 x log2 x 2 

log2 x log2 

x 3 0 

131 

1 

13 

2 

log2 

x x 2 TM 

2 

log2 

x 1 

+ Với t 1 log2 x 3 log2 x 1 log2 x 2 

log2 x log2 

x 2 0 

log2 

x 1 

 

log x 2ktm 

 

log2 

x 1tm 

 

 

2 1 

x 2 

2 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 2 ; x 2 

131 131 133 

1 

2 1 2 2 

2 .2 2 2 

 

tm 

Chọn A. 

Câu 32: 


Biến đổi phương trình đã cho về f 


2 

3 2 0 . 

3 

Ta có: f x f x 

 

 

 

2 

x 

3 

131 

1 

nên tích các nghiệm là 

và sử dụng tương giao đồ thị để nhận xét 

2 2 

2 

Dễ thấy 1 và 3 0 nên đường thẳng y cắt cả hai nhánh của đồ thị hàm số y f x 

. 

3 3 

3 

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. 

Chọn C. 

Câu 33: 


Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tìm 


Đặt 

1 

dx du 

ln x 2 

u x 2 

 

2 

xdx dv x 

v 

2 

4 2 4 4 2 

 

Suy ra 

1 1 

1 

4 

 

1 

x x 1 

x ln x 2 dx ln x 2 . . dx 

2 

 

2 x 2 

 

 

x ln x 2 dx 

từ đó suy ra a; b 


16

4 

1 4 

8ln 6 x 2 dx 

2 

 

x 2 

1 

2 

1 x 

 

8ln 6 2x 

4ln x 2 

2 2 

 

1 5 5 

8ln 6 4ln 6 6ln 6 

2 2 4 

Theo giả thiết 

Chọn A. 

4 

4 

1 

5 

x ln x 2dx a ln 6 nên suy ra a 6; b 4 2a 3b 

2.6 3.4 24 

b 

1 

2 

x 4 

Chú ý: Ở bước xdx dv v , ta có thể được chọn hằng số C 2 

để thuận tiện cho việc tính 

2 

tích phân ở bước sau. 

Câu 34: 


Sử dụng lý thuyết: Tứ diện OABC là tứ diện vuông tại O thì OH (với H là trục tâm tam giác ABC) chính 

là đường cao của tứ diện kẻ từ O. 


Dễ thấy các điểm A, B, C lần lượt thuộc các trục tọa độ nên OABC là tứ diện vuông tại O. 

 

Do đó đường thẳng OH đi qua O và vuông góc mặt phẳng (ABC) hay nhận AB; AC 

3;6; 2 

x 

3t 

 

VTCP. Khi đó OH : y 6t 

 

z 

2t 

Kiểm tra các đáp án ta loại được A, D. 

Đáp án B: Kiểm tra điểm O thuộc đường thẳng (ứng với t 1 ) nên đường thẳng ở đáp án B trung với 

OH. 

Chọn B. 

Câu 35: 


1 

b 

a a 

b 

a 

a a b 

 

Sử dụng công thức log log ;log 10 1; 0 


Ta có I log a log a 2.log a 2.1 2 

1 

Chọn D. 

Câu 36: 

a 

a 2 

a 


 

 

 

- Gắn hệ tọa độ Oxyz với O là tâm hình vuông đáy, OC cùng hướng i, 

OD cùng hướng j và OS cùng 

hướng k 

. 

- Xác định tọa độ các điểm cần thiết và tính khoảng cách. 



 

làm 

17

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử 

SO 

b 

ta có: 

a 2 

OC OD OA OB 

2 

a 2 a 2 a 2 

C 

;0;0 , D 0; ;0 , A ;0;0 , 

2 2 2 

 

a 2 

B 

0; ;0 , S 0;0; b. 

2 

 

Gọi K là trung điểm SA thì 

D qua K nên 

M là trung điểm của AE 

a 2 a 2 

E 

 

; ; b 

2 2 

 

 

a 2 b 

K 

 

 

;0; , 

2 2 

 

2 2 

M a ; a ; 

b 

 

 

2 4 2 

 

 

a 2 a 2 

N là trung điểm của BC N 

; ;0 

 

 

 

4 4 

 

 

Ta có: 

E đối xứng với 

3a 2 b a 2 a 2 a 2 

MN 

;0; , SC ;0; b , SN ; ; b 

4 2 2 4 4 

 

ab 2 

MN; SC 

 

 

0; ;0 

2 

 

Suy ra d MN, 

SC 

Chọn A. 

Câu 37: 


2 

a b 

 

MN, SC. SN 

0 0 

 

4 a 2 

 

2 2 

MN, 

SC 

2a b 4 

0 b 

4 

Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tham số t, biểu diễn tọa độ điểm M theo tham số t. 

Tính 

MA 2MB 3MC 


Ta có: 

x 

6t 

 

d : y 1 3t 

 

z 

2t 

nên 

theo tham số t rồi lập luận để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. 

M d M 6 t;3t 1;2t 

Khi đó 


 

2 2 2 2 9 164 2 41 

MA 2 6t 1 3t 2t 49t 18t 5 

7t 

 

7 49 7 

 

2 

18

2 2 2 2 

9 360 6 10 

MB 6t 3 3t 2t 

49t 18t 9 7t 

 

7 49 7 

2 2 2 2 

9 1732 2 433 

MC 6t 1 3t 6 2t 

49t 18t 37 7t 

 

7 49 7 

2 41 12 10 433 

MA 2MB 3MC 

 

7 

Dấu 

" " 

Chọn A 

Câu 38: 

xảy ra 


9 9 54 76 18 

148 

7t 0 t M ; ; a b c 

7 49 49 49 49 

149 

- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn 

vuông góc chung. 

- Gọi hai điểm M, N lần lượt thuộc hai đường thẳng, sử dụng MN , MN để tìm tọa độ M , N và 

kết luận. 


2 

2 

1 2 

Nhận xét: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của 

đoạn vuông góc chung. Từ đó ta tìm đoạn vuông góc chung và suy ra tâm, bán kính mặt cầu. 

 

 

1 

có VTCP u1 1; 1;2 

và 2 

có VTCP u2 2;1; 1 

 

Gọi M t;2 t; 4 2 t , N 8 2 t ';6 t ';10 t ' lần lượt là hai điểm thuộc 1, 

2 

sao cho MN là đoạn 

vuông góc chung. 

 

MN 8 2 t ' t;4 t ' t;14 t ' 2t 

 

 

 

MN. u1 

0 6 t t ' 16 t 

2 

MN là đoạn vuông góc chung 

MN. u 

6 ' 26 ' 4 

2 

0 t t t 

 

Suy ra 

M 

2;0;0 , N 0;10;6 I 1;5;3 

 

Bán kính mặt cầu R IM 

là trung điểm của MN và cũng là tâm mặt cầu cần tìm. 

2 2 2 

2 1 0 5 0 3 35 

2 2 2 

Vậy phương trình mặt cầu x y z 

 

Chọn C. 

Câu 39: 


Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp 

1 5 3 35. 

f u' u '. f ' u 

Giải phương trình f u' 0 để tìm số cực trị của hàm số f u 

. 

Hoặc lập luận để có số điểm cực trị của hàm số 

y f x 

. 



 

y f 1 

x 

 

bằng với số điểm cực trị của hàm số 

19

x 

2 

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị f ' x 

cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hay f ' x 

0 

 

 

x 0 nhưng chỉ có 

 

x 2 

2 nghiệm x 0, x 2 là ' đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương, như vậy hàm số 

có hai điểm cực trị. 

f x 

f x 

1 x 2 x 

3 

Nhận thấy f 1 x' f ' 1 x 

0 

 

1 x 0 

 

 

 

 

x 1 

nhưng chỉ có hai nghiệm x 1; x 1 

là 

 

1 x 2 

x 1 

f ' x 

đổi dấu, như vậy hàm số f x 

chỉ có hai điểm cực trị. 

Chọn D. 

Câu 40: 


3 2 

- Xét hàm y x mx 9 , lập bảng biến thiên, từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số 

y x mx 

3 2 

 

9 

- Nhận xét điều kiện để hàm số đã cho đồng biến trên [2; ) 



x 

0 

3 2 

2 

y f x x mx 9 có y ' 3x 2mx x3x 2m 

0 

 

2m 

x 

3 

+) Nếu m 0 thì y ' 0, x 

nên hàm số đồng biến trên (thỏa mãn) 

* 2m 

+) Nếu m thì x 0 nên ta có bảng biến thiên của hàm số y f x 

như sau: 

3 

x 0 

' 

2m 

3 

f x + 0 - 0 + 

f 

x 

 

9 

4m 

9 

27 


3 

 

 

3 

4m 

243 

TH1: 9 0 m 3 thì y f x 

có bảng biến thiên: 

27 4 

x 0 

y f x 

 

0 

9 

2m 

3 

4m 

9 

27 

3 

 

 

20

Khi đó hàm số 

y f x 

2m 

đồng biến trên [2; ) 2 m 3 

3 

Kết hợp với m 243 3 và m 0 ta được 0 m 3. 

4 

TH2: 

Khi đó 

3 

4m 

243 

3 

0 9 9 m . 

27 4 

y f x 

có bảng biến thiên 

x 

 

y f x 

 

x1 

0 

0 

9 

x 2 

0 

2m 

3 

4m 

9 

27 

2m Khi đó hàm số y f x 

đồng biến trên [2; ) 

thì x 

3 2 m 3 (mâu thuẫn với 

3 

m 

243 3 3,93 ) nên trường hợp này không có giá trị của m thỏa mãn. 

4 

Vậy 0 m 3 và nên m 0;1;2;3 và tổng các giá trị của m là 0 1 2 3 6 

Chọn A. 

Câu 41: 

m 


Quan sát hình chóp tứ giác và xác định số đỉnh, số mặt và số cạnh 


Hình chóp tứ giác có đáy là một tứ giác và có 8 cạnh, 5 mặt và 5 đỉnh 

Chọn A. 

Câu 42: 


- Đặt sinx t , biến đổi điều kiện bài cho về điều kiện của phương trình ẩn t. 

- Sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện của m. 


Đặt sinx t 1 t 1 1 3t 

2 5 


3 

x3 

0 

 

 

21

Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng 

 

; phương trình 

2 

 

 

f 3t 2 m có đúng hai nghiệm t1, 

t2 

thỏa mãn 1 t1 0 t2 

1 

hoặc 0 t2 1 

t1 

 

 

Đặt u 3t 2 1 u 5 thì bài toán trở thành tìm m để phương trình f u m có đúng hai nghiệm 

thỏa mãn 

1 u1 2 u2 

5 hoặc 2 u2 5 u1 

 

+) TH1: Phương trình f u m có đúng hai nghiệm thỏa mãn 1 u 2 u 5 . 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 1 m 4 

 

 

1 2 

+) TH2: Phương trình f u m có đúng hai nghiệm thỏa mãn 2 u 5 u . 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 4 m 5 . 

 

2 1 

m m 

Do đó 1;4 (4;5] . Mà nên m 0;1;2;3;4;5 và có 5 giá trị của m thỏa mãn. 

Chọn D. 

Câu 43: 


+ Tâm mặt cầu là trung điểm đoạn AB 

+ Bán kính mặt cầu là 

R 

AB 

2 

+ Phương trình mặt cầu có tâm ; ; và bán kính R là 


x -1 2 5 

' 

f x - 0 + 0 

I a b c 

 

+ Tâm mặt cầu là trung điểm I của đoạn AB, suy ra I 4;1;0 

 

f 

x 

4 


-1 

5 

2 2 2 2 . 

x a y b z c R 

22

2 2 2 

AB 

+ Lại có AB 5 3 31 2 2 

36 6 nên bán kính mặt cầu là R 3. 

2 

+ Phương trình mặt cầu có tâm I 4;1;0 và bán kính 3 là 

Chọn D. 

Câu 44: 


- Gọi điểm C là giao điểm của và d 

- Tính khoảng cách từ B đến AC và tìm GTNN 

 

 

2 2 2 

R 

x 4 y 1 z 9. 


 

Gọi C 1 t;1 2 t;1 2t 

là giao điểm của và d. Khi đó AC t 1;2t 1;2t 

4 

 

BA 0;3; 4 , AC t 1;2t 1;2t 4 BA, AC 

 

14t 16; 4t 4; 3t 

3 

 

 

2 2 2 

BA, AC 14t 16 4t 4 3t 

3 

d B, 

 

 

2 2 2 

AC t 1 2t 1 2t 

4 

 

 

Dùng MTCT (chức năng TABLE) nhập hàm 

f 

x 

Bước START nhập 5 , bước END nhập 5 và bước STEP nhập 1 

 

Ta được kết quả f x min tại 1 hay d B, 

min khi t 1 

x 

 

14t 16 4t 4 3t 

3 

2 2 2 

t 1 2t 1 2t 

4 

2 2 2 

Từ đó C 0; 1; 1 

và CA x y 

2;1; 2 

nên AC có phương trình 

1 z 

1 

2 1 2 

Chọn C. 

Câu 45: 


+ Xác định các hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số y x 3; y x 1 

với trục hoành, xác định 

hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x 1; y x 3 

+ Vẽ các đồ thị hàm số y x 1; y x 3 trên cùng hệ tọa độ 

 

2 2 

+ Thể tích hình phẳng giới hạn bới y f x ; y g x ; x a; 

x b là V f x g x dx 



b 

a 

23

+ Xét phương trình giao điểm x 1 0 x 1; x 3 0 x 3 

x 

3 

 

x 3 x 

3 

 

x 1 x 3 x 2 

2 

L 

2 

 

 

 

x 1 x 3 

x 

7x 

10 0 

x 5N 

3 5 

2 2 

 

 

x 5 

+ Thể tích hình phẳng cần tìm là 1 

1 3 

Chọn B. 

Câu 46: 


 

 

V x dx x x dx 

1 3 

3 

 

2 2 3 5 

x 1 x 1 x 3 16 

 

 

2 2 3 

1 

3 

3 

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện thứ nhất. 

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện thứ hai. 

- Tìm giao hai tập hợp đó suy ra z và tính mô đun. 


 

 

Gọi M x; 

y biểu diễn số phức z. 

 

Gọi điểm A 15;0 , B 15;0 thì từ z 15 z 15 8 MA MB 8 hay tập hợp điểm M là 

2 

2 2 

x 2 

elip có c 5,2a 8 a 4 b a c 1 phương trình E1 : y 1. 

16 

 

Gọi điểm C 0; 15 , D 0; 15 thì từ z 15i z 15i 8 MC MD 8 hay tập hợp điểm M là 

2 

'2 '2 

2 y 

elip có c ' 15,2 b' 8 b' 4 a ' b c 1 phương trình E2 : x 1. 

16 

Do 

, 

 

M E M E 

Chọn A. 

Câu 47: 


1 2 

 

nên tọa độ M thỏa mãn 

 

+ Chỉ ra rằng A' 

H ABC với H là trung điểm của BC 

+ Xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCC ' B ' như sau 

 

d A; BCC ' B ' d A'; BCC ' B ' A' 

E sao cho A' E BCC ' B ' 

+ Tính A' 

H dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông 

+ Tính thể tích khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S là V h. 

S 


2 

x 2 2 16 

y 1 

x 

 

16 17 

2 2 4 34 

z x y 

2 

 

2 y 

2 16 17 

x 1 

y 

 

 

16 

17 


 

 

2 

24

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A’ đến BC khi đó 

A' 

H 

 

 

ABC 

 

suy ra 

A' 

H 

nên H là trung điểm của BC. Suy ra AH BC 

Lấy D là trung điểm của 

Kẻ 

A' 

E 

DH 

 

tại E suy ra 

 

BC A' 

E do BC AA'DH 

 

DH A' 

E 

 

 

 

 

 

BC mà ta có AB AC A' B A' 

C 

AH 

BC 

B ' C ' ta có BC AA'DH 

A' 

H BC 

 

A' E BCC ' B ' 

Suy ra d A', BCC ' B ' A' E, 

lại có AA'/ / BCC ' B ' nên 

 

 

d A, BCC ' B ' d A', BCC ' B ' A' 

E 

Ta có 

a 2 

A' 

D AH 

2 

 

1 1 1 3 1 2 

Xét tam giác A’DH vuông tại A’ có A'H 

a 

2 2 2 2 2 2 

A' E A'H A'D a A'H 

a 

a 

3 

3 

1 a 

Thể tích khối lăng trụ là VABC. A' B' C ' 

A' H. S 

ABC 

a. a. 

a 

2 2 

Chọn B. 

Câu 48: 


 

 

3 

n 

Sử dụng các công thức log bc log b log c và log b n log b với điều kiện các logarit đều có 

nghĩa. 


a a a 

2 2 

Ta có: b c b c b c 

Chọn D. 

Câu 49: 

log log log 2log log 2.4 4 4. 

2 2 2 2 2 


 

Mặt phẳng ax+by+cz+d=0 có 1 VTPT là n a; b; 

c 


 

Mặt phẳng P x y z 1 VTPT là n 2; 1;3 

. 

Chọn B. 

Câu 50: 


Đặt 

: 2 3 1 0 

 

x x 

2sin cos 3 , tìm điều kiện của t và dựa vào đồ thị tìm GTLN, GTNN của 

2 2 

t f t 


x x 

Đặt t 2sin cos 3 sinx 3 2 t 4 

2 2 

 


a 

a 

25

Quan sát đồ thị hàm số y f t trên đoạn 2;4 thì max f t 5,min f t 1 nên GTNN của g x là 

 

2;4 

 

 

 

1 đạt được tại t 2 hay sinx 1 x k2 

và GTLN của g x 

đạt được bằng 5 đạt được tại 

2 

 

t 4 hay sinx 1 x k2 

. 

2 

Vậy tổng là 1 

5 6 . 

Chọn A. 

 

2;4 

 


26





 

 

Câu 1 [TH]: Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u1 3 

và u6 27 . Tìm công sai d. 

n 

A. d = 8 B. d = 6 C. d = 5 D. d = 7 

Câu 2 [NB]: Cho hàm số 

hàm số đã cho bằng 

y f x 

A. 2 B. 2 

C. 1 D. 1 

có đồ thị như hình bên. Giá trị cực tiểu của 

Câu 3 [NB]: Cho a là số thực dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

3 

A. log3 3 2log3 

a 

B. 

2 

a 3 

log3 1 2log 

2 

3 

a 

a 

 

3 1 

C. log3 3 log3 

a 

D. 

2 

a 3 

log3 1 2log 

2 

3 

a 

2 

a 

 

Câu 4 [TH]: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

2 

2 

x 2x 3 log x 3 0 bằng 

A. 3 B. 2 C. 9 D. 6 

5 

 

 

Câu 5 [NB]: Nếu f x dx 3 và f x dx 9 thì f x dx bằng bao nhiêu? 

2 

7 

 

5 

 

A. 6 

B. 6 C. 12 D. 3 

f x 

 

Câu 6 [NB]: Cho hàm số liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như 

hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số đã cho 

trên 

 

1;3 

 

. Giá trị của P = m.M bằng? 

A. 3 B. 4 

C. 6 D. 4 

7 

 

2 


 


f 

x 


x 1 

2 

y ' 

+ 0 0 + 

y 

 

19 

6 4 

 

3 

 

1

Hàm số 

y f x 

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? 

4 19 

A. ; 1 

B. ; 

C. 1; 

D. 

3 6 

Câu 8 [NB]: Họ nguyên hàm của hàm số 

 

f x 2 x x 

x 

2 1 2 

A. x C 

B. 

ln 2 2 

là 

1;2 

 

x 1 

2 .ln 2 x 2 

2 

C 

x 1 2 

x 

C. 2 x C 

D. 2 1 C 

2 

Câu 9 [TH]: Điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z. Khi đó 

mệnh đề nào sau đây là đúng? 

A. z 1 

2i 

B. z 2 2i 

C. z 2 i 

D. z 2 i 

Câu 10 [NB]: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng 

 

Oyz 

 


A. x y z 0 B. z 0 

C. y 0 

D. x 0 

Câu 11 [NB]: Đồ thị như hình vẽ là của hàm số 

A. 

B. 

C. 

D. 

3 2 

y x 3x 

1 

y 

x 

3 

3 

2 

x 

1 

4 2 

y x 3x 

1 

y x x 

2 

3 2 1 

Câu 12 [NB]: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

P : 2x y z 1 0 

A. 2; 1;1 B. 1; 2;0 

C. 1; 3; 4 D. 

đi qua điểm nào dưới đây? 

M P 

Q N 0;1; 2 

A 

 

Câu 13 [NB]: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 1; 1;2 và B 2;1;1 . Độ dài đoạn AB bằng 

A. 3 2 B. 18 C. 6 

D. 6 

Câu 14 [NB]: Diện tích của mặt cầu có đường kính 3m là: 

2 

 

 

 

 

A. 2 

2 

2 

9 m 

B. 3 m 

C. 12 m 

D. 36 

m 

xyz 

Câu 15 [TH]: Gọi S là tập hợp những số có dạng với x, y, z 1;2;3;4;5 . Số phần tử của tập hợp S 

là: 


A 5 

3 

3 

A. 5! B. C. D. 

Câu 16 [TH]: Tính thể tích của khối hộp chữ nhật 

C 5 

3 

5 

ABCD. A' B ' C ' D ' có AB 3, AC 5, AA' 5 

A. 40 B. 75 C. 60 D. 70 

2

Câu 17 [TH]: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

 

 

x 

log 3.2 1 2x 

1 

bằng 

1 

3 

A. B. C. 1 

D. 0 

2 

2 

Câu 18 [TH]: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

x 1 y 1 z 3 

: . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

1 1 1 

2 

: x 2y 3z 

6 0 

và đường thẳng 

 

 

 

A. 

B. cắt và không vuông góc với 

 

/ / 

 

C. 

D. 

 

x 

Câu 19 [TH]: Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x xe . Tính F x biết F 

 

A. F x x 1 e x 1 

B. 

C. F x x 1 e x 1 

D. 

 

F x x 1 e x 2 

 

F x x 1 e x 2 

Câu 20 [TH]: Người ta xây một bể nước hình trụ (tham khảo hình vẽ bên) 

có bán kính R 1m 

(tính từ tâm bể đến mép ngoài), chiều dày của thành 

bể là b 0,05m 

, chiều cao của bể là h 1,5m 

. Tính dung tích của bể nước 

(làm tròn đến hai chữ số thập phân). 

m 

3 

m 

 

3 

m 

3 

m 

 

3 

A. 4,26 B. 4,25 

C. 4,27 D. 4,24 

Câu 21 [TH]: Tính diện tích xung quanh của hình nón có chiều cao 

r 6cm 

. 

A. 2 

2 

2 

120 cm B. 180 cm 

C. 360 cm D. 

 

0 1 

h 8cm 

, bán kính đường tròn đáy 

2 

 

 

60 

cm 

 

Câu 22 [VD]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B. Biết 

vuông góc với mặt phẳng 

 

 

SAB 

đều và thuộc mặt phẳng 

ABC . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC biết AB a, AC a 3 

3 

3 

3 

a 2 

a 

a 6 

A. B. C. D. 

6 

4 

12 

2 

Câu 23 [TH]: Tính đạo hàm của hàm số 

y ' 2x 2e 

x 

2 

y ' x 2e 

x 

y x 2x 2 e 

x 

3 

a 6 

4 

2 x 

A. B. C. y ' x e D. y ' 2xe 

f x 

 

2 3 

Câu 24 [TH]: Cho hàm số có đạo hàm f ' x x 1 x 4 x 1 , x 


hàm số đã cho là 

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 

2 

Câu 25 [TH]: Gọi z , z là nghiệm của phương trình z 2z 

4 0 . Tính giá trị của biểu thức 

z z 

P z z 

2 2 

1 2 

2 1 


1 2 

11 

A. B. 4 C. 4 

D. 8 

4 

x 

3

Câu 26 [TH]: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 

giữa mặt bên và mặt đáy. 

0 

0 

0 

A. 60 

B. 30 

C. 75 

D. 

 

Câu 27 [TH]: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình bên. 

Số nghiệm dương phân biệt của phương trình 

A. 1 

B. 4 

C. 2 

D. 3 

2 f x 

7 0 

40 

Câu 28 [TH]: Cho a log2 5, b log2 

9 . Khi đó P log2 

tính theo a và b là 

3 

1 

A. P 3 a 2b 

B. P 3 a b C. P 3 a b D. 

2 

Câu 29 [TH]: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 

đường kính AB là: 

2 2 

A. x y z 1 24 

B. 

A 

là 

2;1;0 , B2; 1;2 

 

2 

x 2 y 2 

z 2 

2 2 

C. x y z 1 24 

D. 

1 6 

2 

x 2 y 2 

z 2 

1 6 

Câu 30 [TH]: Cho Parabol như hình vẽ bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 

Parabol và trục hoành bằng 

A. 16 B. 32 3 

16 

C. D. 

3 

28 

3 

1 

Câu 31 [TH]: Tập nghiệm S của bất phương trình 

2 

2 

x 4x 

8 

A. 1; B. 1;3 

C. ;3 D. 

là 

a 3 

2 

0 

45 

. Tính số đo góc 

3a 

P 

2b 

. Phương trình của mặt cầu có 

S 

S 

S S ;1 3; 

 


x 

 

y f x 


0 2 

f ' x 

0 

f 

x 


3 

2 

 

4 

 

2 

Số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: 

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 33 [TH]: Cho hai số thực a và b thỏa mãn: 

 

1 i z 2 i z 13 2i 

với i là đơn vị ảo 

4

A. a 3, b 2 B. a 3, b 2 

C. a 3, b 2 

D. a 3, b 2 

Câu 34 [VD]: Cho số phức z thỏa mãn 

 

z 2 i z 2 i 25 . Biết tập hợp các điểm M biểu diễn số 

phức w 2z 

2 3i 

là đường tròn tâm I a; 

b và bán kính c. Giá trị của a b c bằng 

 

A. 10 B. 18 C. 17 D. 20 

 

Câu 35 [VD]: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 

3 7 

biệt thuộc đoạn ; ? 

 

2 2 

 

A. 3 B. 1 

C. 4 D. 2 

1 

 

 

2 

f x 2x m 

có đúng 4 nghiệm thực phân 

xdx 

Câu 36 [TH]: Cho a b ln 2 c ln 3 với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng: 

2 

2x 

1 

0 

 

 

5 

1 

1 

1 

A. B. C. 

D. 

12 

12 

3 

4 

Câu 37 [VDC]: Xét các số phức z, w thỏa mãn z 2 2i z 4i 

và w iz 1. Giá trị nhỏ nhất của w 

bằng? 

2 

3 2 

A. 2 B. C. D. 2 2 

2 

2 

 

2 

Câu 38 [TH]: Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x x 4, x . Bất phương tình f x m có 

nghiệm thuộc khoảng 

 

1;1 

 


 

 

 

 

m f 1 

A. m f 1 B. m f 1 

C. m f 1 D. 

 

Câu 39 [TH]: Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f ' x như hình 

bên. Hỏi hàm số 

khoảng sau? 

2 

3 

 

g x f x 

 

0;1 

A. 1;0 B. 

2;3 

2; 1 

C. D. 


 

đồng biến trong khoảng nào trong các 

Câu 40 [VD]: Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m và chiều dài 

50m. Để giảm bớt chi phí cho việc trồng cây nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô đen và 

không tô đen) như hình bên. Phần tô đen gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một 

5

parabol đỉnh I. Phần tô đen được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 000 đồng/m 2 và phần còn lại được trồng 

cỏ nhân tạo với giá 90 000 đồng/m 2 . Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân 

bóng? 

A. 151 triệu đồng B. 165 triệu đồng C. 195 triệu đồng D. 143 triệu đồng 

Câu 41 [VD]: Ngày 01 tháng 01 năm 2019, ông An gửi 800 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 

0;5%/tháng. Từ đó, cứ tròn mỗi tháng ông đến ngân hàng rút 6 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến 

ngày 01 tháng 01 năm 2020, sau khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của ông An còn lại bao nhiêu? Biết rằng lãi 

suất trong suốt thời gian gửi không thay đổi. 

11 

11 

A. 1200 400. 1,005 (triệu đồng) B. 800. 1,005 72 (triệu đồng) 

12 

12 

C. 800. 1,005 72 (triệu đồng) D. 1200 400. 1,005 (triệu đồng) 

Câu 42 [VD]: Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một dàn gồm 

có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm 6 chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh 

ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới. 

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

665280 

462 

924 

3 

99920 

Câu 43 [VD]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm 

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 

 

SCD 

 

được kết quả 

a 15 

a 3 

a 21 

A. 3a 

B. C. D. 

5 

7 

7 

Câu 44 [TH]: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

biến trên khoảng 

 

0; 

 

là: 

1 

1 

3 

3 2 

y x x mx 


A. 1; B. 0; 

C. 0; 

D. 

nghịch 

m 

 

m 

m 

m1; 

 

Câu 45 [VD]: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

P : x 2y 2z 

5 0 


x 1 y 1 

z 

d : . Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng 

2 2 1 

d có phương trình là: 

A. x 1 y 1 z 1 

 

B. 

2 3 2 

C. x 1 y 1 z 1 

 

D. 

2 3 2 

x 1 y 1 z 1 

 

2 3 2 

x 1 y 1 z 1 

 

2 3 2 

6

Câu 46 [VDC]: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 

nhất của biểu thức 

x 2y 

18 

P 

x 

bằng 

 

x 2 2 2 

2 y x 2 y 2 y x 2 

4 9.3 4 9 .7 

3 2 

A. 9 B. C. 1 

9 2 D. 17 

2 

 

 

Câu 47 [VD]: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;3 và có bảng biến thiên như sau: 

x 1 2 3 

y ' 

+ 0 

y 

6 

1 

 

3 

 

. Giá trị nhỏ 

m 

Tổng các giá trị m sao cho phương trình f x 1 

có hai nghiệm phân biệt trên đoạn 

2 

x 6x 

12 

 

2;4 

 

bằng 

A. 75 

B. 72 

C. 294 

D. 297 

Câu 48 [VDC]: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

A2;1;2 , B 3; 2;2 

P : 2x 2y z 4 0 

và các điểm 

. Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MA, MB luôn tạo với mặt 

phẳng (P) một góc bằng nhau. Biết rằng điểm M luôn thuộc đường tròn (C) cố định. Tìm tọa độ tâm của 

đường tròn (C). 

74 97 62 32 49 2 

10 14 17 17 17 

A. ; ; B. ; ; C. ; 3; 

D. ; ; 

27 27 27 9 9 9 

3 3 21 21 21 

 

Câu 49 [VD]: Trong không gian Oxyz, cho A 1;1; 1 , B 1;2;0 , C 3; 1; 2 . Giả sử M a; b; 

c thuộc 

 

2 2 

2 

2 2 2 

mặt cầu S : x 1 y z 1 861 sao cho P 2MA 7MB 4MC 

đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị 

T a b c 

bằng 

A. T = 47 B. T = 55 C. T = 51 D. T = 49 

Câu 50 [VD]: Cho hình hộp ABCD. A' B ' C ' D ' . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A A', BC, 

CD . 

 

 

Mặt phẳng MNP chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V1 , V2 

. Gọi V1 

là thể tích phần chứa điểm 

V1 

C. Tỉ số bằng 

V 

2 


119 

3 

113 

A. B. C. D. 

25 

4 

24 

119 

425 

7


1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.D 7.D 8.A 9.C 10.D 

11.A 12.C 13.C 14.A 15.D 16.C 17.C 18.C 19.D 20.B 

21.D 22.C 23.C 24.C 25.C 26.A 27.B 28.B 29.B 30.B 

31.D 32.D 33.C 34.C 35.B 36.B 37.B 38.A 39.A 40.A 

41.D 42.B 43.D 44.A 45.B 46.A 47.B 48.A 49.C 50.A 

Câu 1: 


 

Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d là: 


Ta có: u6 u1 5d 27 3 5d d 6 

Chọn: B 

Câu 2: 


 

un 

1 

Dựa vào đồ thị hàm số xác định các điểm cực trị của hàm số. 


Hàm số đạt cực tiểu tại 

Chọn: B 

x 1, giá trị cực tiểu là y 2 

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số. 

Câu 3: 




3 

log log 3 2log a 1 2log 

a 

 

log b log c log bc , log b log c log 

3 2 3 3 3 

Chọn: D 

Câu 4: 


f 

 

 

x g x 


ĐKXĐ: x 0 

 

a a a a a a 

x 

 

f 

0 

g x 

0 

0 

a 

CT 

* 

u u u n d n 

b 

c 

n 

1 

1 , 

(giả sử các biểu thức là có nghĩa). 


8

x 

1 

tm 

2 

 

x 2x 3 

0 

x 

1 

x 2x 3 log2 

x 3 0 

x 3 

ktm 

log2 

x 3 

0 

x 8 

 

 

x 

8 tm 

2 

Ta có: 

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: 1 + 8 = 9 

Chọn: C 

Câu 5: 


b c b 

 

Sử dụng tính chất tích phân: 


7 5 7 

 

 

2 2 5 

f x dx f x dx f x dx 

a a c 

f x dx f x dx f x dx 3 9 12 

Chọn: C 

Câu 6: 


Giá trị lớn nhất của hàm số trên 

trên 

 

1;3 

 


 

1;3 

là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số. 

Quan sát đồ thị hàm số trên 1;3 . 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

là điểm cao nhất của đồ thị hàm số và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

Quan sát đồ thị hàm số ta có: m f 2 2, M f 3 3 P m. M 6 

. 

Chọn: D 

Câu 7: 


 

Xác định khoảng mà f ' x 0 . 


 

 

Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1;2 . 

Chọn: D 

4 19 

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn rằng hàm số nghịch biến trên ; . 

3 6 

Câu 8: 


Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản 


Họ nguyên hàm của hàm số 

 

f x 2 x x 

 

là: 

 


x 

x a 

a dx C 

ln a 

x 

2 1 

x 

ln 2 2 

2 

C 

9

Chọn: A 

Câu 9: 


Điểm biểu diễn của số phức 


Số phức z 2 i z 2 i 

Chọn: C 

Câu 10: 


Mặt phẳng 


Mặt phẳng 

Chọn: D 

Câu 11: 

 

 


 

Oyz có phương trình là: x 0 

 

Oyz có phương trình là: x 0 

Nhận biết đồ thị hàm số bậc ba. 


z a bi, a, 

b 

là M a; 

b 

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: đây không phải đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương và hàm số bậc 2. 

Loại phương án C và D. 

Khi x thì y Hệ số a 0 Loại phương án B, chọn phương án A. 

Chọn: A 

Câu 12: 


Thay tọa độ các điểm vào phương trình (P), xác định điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình. 


Ta có: 2.1 3 4 1 0 Q1; 3; 4 P 

Chọn: C 

Câu 13: 


2 2 2 

Độ dài đoạn thẳng AB: AB x x y y z z 


2 2 2 

A1; ;1;2 

và B AB 

Chọn: C 

Câu 14: 


B A B A B A 

2;1;1 1 2 1 6 

Diện tích của mặt cầu có bán kính R là: 



2 

4 

R 

10

3 

 

2 

2 

Diện tích của mặt cầu có đường kính 3m là: 4 

9 

m 

 

Chọn: A 

Câu 15: 


Sử dụng quy tắc nhân. 


Mỗi chữ số x, y, z đều có 5 cách chọn suy ra số phần tử của tập hợp S là: 

Chọn: D 

Câu 16: 


Thể tích của khối hộp chữ nhật có số đo như hình vẽ: V abh 


Độ dài cạnh AD là: 

AD AC AB 

Thể tích của khối hộp chữ nhật 

V AB. AD. AA' 3.4.5 60 

Chọn: C 

Câu 17: 


2 2 2 2 

 

2 

5 3 4 

ABCD. A' B ' C ' D ' 

Giải phương trình logarit cơ bản log b c b a 

a 


Ta có: 

x 

2 1 

x 

0 

 

 

2 x 

1 

2 

2 1 2 

x 

x x x x x 

log2 

3.2 1 2 1 3.2 1 2 2.2 3.2 1 0 

x 1 

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là: 

 

Chọn: C 

Câu 18: 


là: 

0 1 1 

Gọi n và u lần lượt là VTPT và VTCP của 

và 

 

 

 

 

/ / 

+) Nếu n. u 0 

 

 

+) Nếu n. u 0 cắt 

c 


 

 

 

3 

5 

11


: x 2y 3z 

6 0 

có 1 VTPT n 

1;2;3 

 

x 1 y 1 z 3 

 

: có 1 VTCP u 1; 1;1 

1 1 1 

 

Ta có: n. u 1 2 3 0 hoặc / / 

A 

Lấy 1; 1;3 . Ta có: 1 2. 1 3.3 6 0 : đúng 

Chọn: C 

Câu 19: 


Sử dụng công thức từng phần: udv uv vdu 


 

 

x x x x x x 

F x xe dx xd e xe e dx xe e C 

 

Mà 

 

x x x 

F 0 1 1 C 1 C 2 F x xe e 2 x 1 e 2 

Chọn: D 

Câu 20: 


Thể tích khối trụ: V 


2 

r h 

r R b 1 0,05 0,95m 

Dung tích của bể là: V r 2 h .0,95 2 .1,5 4, 25m 

3 

 

Chọn: B 

Câu 21: 


Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq 


 

rl 

Độ dài đường sinh là: l r 2 h 2 6 2 8 2 10cm 

2 

Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq 

rl .6.10 60 

cm 

 

Chọn: D 

Câu 22: 


P Q 

 

a P 

 

 

P Q d 

 

a 

 

 

a 

d 


 

Q 

 

 

 

1; 1;3 

A 


12

Gọi H là trung điểm của AB. Ta có: 

ABC 

vuông tại B 

SAB ABC 

 

SH SAB 

 

 

SAB ABC AB 

 

SH 

 

 

SH 

AB 

 

 

ABC 

 

2 

2 2 2 2 1 1 a 2 

3 2, 

ABC 

. . . 2 

BC AC AB a a a S AB BC a a 

2 2 2 

SAB đều 

AB. 3 a 3 

SH 

2 2 

2 3 

1 1 a 3 a 2 a 6 

Thể tích khối chóp S.ABC là: V . SH. S 

ABC 

. . 

3 3 2 2 12 

Chọn: C 

Câu 23: 


Sử dụng quy tắc tính đạo hàm f . g ' f '. g f . g ' 


2 2 ' 2 2 2 2 

y x x e y x e x x e x e 

2 x x 2 x 2 x 

Chọn: C 

Câu 24: 


' 

Xác định số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của f x . 


 

2 3 

Ta có: f ' x x 1 x 4 x 1 

có nghiệm: x 2 

(nghiệm đơn), x 2 (nghiệm đơn), x 1 

(nghiệm kép) 

Hàm số f 

Chọn: C 

x 


 

Chú ý: x0 

là nghiệm của phương trình f ' x 0 chỉ là điều kiện cần để x x0 

là cực trị của hàm số. 

Câu 25: 


Áp dụng hệ thức Vi – ét. 


z , z 

1 2 

là nghiệm của phương trình 


z 

2 

3 

z z z z z z 

2 1 1 2 1 2 

z1 z2 

2 

2z 

4 0 

z1z2 

4 

2 2 3 3 3 

z1 z2 z1 z2 

1 2 

3 

1 2 1 2 2 3.4.2 

P 4 

z z z z z z 

4 

13

Chọn: C 

Câu 26: 


 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng , : 

 

- Tìm giao tuyến của , . 

 

- Xác định 1 mặt phẳng . 

- Tìm các giao tuyến a , 

b 

 

, 

; a; 

b 

- Góc giữa hai mặt phẳng : . 


Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. I là trung điểm của BC. Ta có: 

BC 

OI 

BC 

BC 

SO 

 

SOI 

BC 

 

SOI 

 

SBC ABCD BC 

 

SBC; ABCD SI; 

OI SIO 

 

SOI 

 

vuông tại O 

0 

SBC; ABCD 60 

Chọn: A 

Câu 27: 


a 3 

SO 

tan SIO 2 

OI 

a 

3 SIO 60 

2 


7 

đồ thị hàm số y f x 

và đường thẳng y . 

2 



điểm có hoành độ dương của đồ thị hàm số 

7 

y 

2 

Chọn: B 

Câu 28: 

và bằng 4. 


Sử dụng các công thức 


 

2 f x 7 0 

 

2 f x 7 0 

 

y f x 

0 

bằng số giao điểm có hoành độ dương của 

bằng số giao 



m m 

loga x loga y log 

a xy,log n b log 

a 

a 

b 

n 

(giả sử các biểu thức có nghĩa) 

14

1 

Ta có: b log2 9 2log2 3 log2 

3 b 

2 

40 1 

P log2 log2 40 log2 3 log2 8 log2 5 log2 

3 3 a b 

3 2 

Chọn: B 

Câu 29: 


Phương trình của mặt cầu tâm 


Mặt cầu có đường kính AB có tâm 

 

 

2 2 2 2 

I a; b; 

c bán kính R là: x a y b z c 

R 

I 

 

0;0;1 

 

là trung điểm của AB và bán kính 

2 2 2 

R IA 2 1 1 6 , có phương trình là: x 2 y 2 z 1 2 

6 

Chọn: B 

Câu 30: 


Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 

x a; 

x b được tính theo công thức: S f x g x 

dx 


Giả sử phương trình đường Parabol đó là: 

0;4 , 2;0 , 2;0 

4 0 0 c a 

1 

 

 

0 4a 2b c b 0 P : y x 

4 

0 4a 2b c 

c 

4 

Ta có: 

2 

Diện tích cần tìm là: 

Chọn: B 

Câu 31: 


Giải bất phương trình mũ cơ bản 


2 2 

b 

 

a 

 

 

y f x , y g x 

2 

y ax bx c a 

, 0 

2 2 2 

2 2 3 

1 32 

S x 4 dx x 4 dx x 4x 

 

3 3 

2 2 

x 

a b x log b 

x 4x x 4x 

3 

1 1 1 2 2 x 

3 

Ta có: 8 x 4x 3 x 4x 

3 0 

2 2 2 

 

x 

1 

a 

 

2 

, trục hoành và hai đường thẳng 


 

. Parabol đi qua các điểm 

Tập nghiệm S của bất phương trình 

Chọn: D 

Câu 32: 

1 

 

2 

2 

x 4x 

8 

là: 

S ;1 3; 

 

15


 

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x . 

 

Nếu lim f x a hoặc lim f x a y a là TCN của đồ thị hàm số. 

x 

x 

 

 

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x . 

 

Nếu lim f x hoặc lim f x hoặc lim f x hoặc lim f x thì x a là TCĐ 

 

xa 



 

xa 

 

 

xa 

 

 

xa 

Đồ thị hàm số có 1 TCĐ là x 0 (do lim f x ) và 2 TCN là y 2, y 3 

 

 

(do lim f x 3, lim f x 2 ) 

x 

Chọn: D 

Câu 33: 


x 

 

 

x0 

 

Giả sử z a bi, a, 

b , biến đổi tìm a, b. 



b 

Ta có: 

 

 

1 i z 2 i z 13 2i 1 i a bi 2 i a bi 13 

2i 

a bi ai b 2a 2bi ai b 13 

2i 

3a 2b 13 a 

3 

3a 2b bi 13 2i 

 

b 

2 b 

2 

Chọn: C 

Câu 34: 



b 

Ta có: 

z i z i a bi ia bi i 

2 2 25 2 2 25 

a b ia b i 

2 1 2 1 25 

 

2 2 

a 2 b 1 25 Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức z là đường tròn tâm A2; 1 

, bán 

kính 5 

Ta có: w 2z 2 3i 

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là ảnh của đường tròn A2; 1 ;5 

lần lượt qua các phép biến hình sau: 

+) Phép đối xứng qua Ox 

+) Phép vị tự tâm O tỉ số 2 

+) Phép tịnh tiến theo vectơ u 2;3 


 

 

 

 

16

Ta có A 2; 1 Đ B 2;1 V 0;0 ; 2 C 4;2 T D 2; 

5 

Ox O k 

u 

 

2;3 

 

 

 

Do đó: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức w là đường tròn tâm 

a 2, b 5, c 10 a b c 17 

Chọn: C 

Câu 35: 


2 3 7 

+) Lập bảng biến thiên của hàm số y x 2x 

trên 

 

; . 

2 2 

 

 

 

D 2;5 , bán kính R 2.5 10 

2 

+) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x 2x 

và y m . 


2 3 7 

Xét hàm số y x 2x 

trên 

 

; , ta có: 

2 2 

 


x 

3 

 

2 

y ' 2x 2 0 x 1 

 

1 7 

2 

y ' 

0 + 

y 

21 

4 

1 

2 

3 7 

Phương trình f x 2x 

m có đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 

 

; khi và chỉ khi 

2 2 

 

21 

đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x 

tại 2 điểm phân biệt thuộc 1; 4 

 

m 

5 

 

m 

f 

Chọn: B 

Câu 36: 


44;5 

Đưa tích phân về các dạng: 


Ta có: 

. Mà m 

m 5 : có 1 giá trị của m thỏa mãn. 


b 

 

a 

dx 

n 

x 

 

21 

4 

17

1 1 1 1 

 

xdx 

 

1 1 

2x 

1 

 

2 2 1 1 1 1 

dx dx 

dx 

 

2 2x 

1 2 

2 2 2 

0 2x 1 0 2x 1 0 0 2x 

1 

1 1 1 1 1 

. .ln 2x 

1 . . 1 . 

 

2 2 2 2 2x 

1 

1 

1 1 1 1 1 

 

 

.ln 2x 

1 . ln 3 

4 4 2x 

1 

4 6 

1 1 1 

a ; b 0; c a b c 

6 4 12 

Chọn: B 

Chú ý: Chú ý khi sử dụng các nguyên hàm mở rộng. 

Câu 37: 

Hướng dẫn giải 

0 

Đặt , và M x; 

y là điểm biểu diễn số phức z. 

z x yi x y 

1 

0 

 

2 2 2 

2 

Từ z 2 2i z 4i x 2 y 2 x y 4 x y 2 tập hợp điểm M là 

đường thẳng : x y 2. 

Ta có 

 

 

P w iz 1 i z i z i MN với N 0;1 . 

0 1 

2 2 

Dựa vào hình vẽ ta thấy Pmin 

MNmin 

d N, 

. Chọn B. 

2 2 

Cách 2. Đặt 

 

 

z x yi x; y . Từ z 2 2i z 4i y 2 x. 


Khi đó 

w iz 1 i x yi 1 ix y 1 ix 2 x 1 x 1 xi. 

2 2 1 1 2 

w x 1 x 2 x . 

2 2 2 

Suy ra 

Chọn: B 

Câu 38: 


Bất phương trình f x m có nghiệm thuộc khoảng 1;1 khi và chỉ khi 


2 

 

 

 

1;1 

 

m min f x 

18

2 

f ' x 

x 4, x f ' x 

0, x 

Hàm số y f x 

nghịch biến trên 

 

 

1;1 

 

 

min f x f 1 

 

Bất phương trình f x m có nghiệm thuộc khoảng 1;1 khi và chỉ khi 

Chọn: A 

Câu 39: 


Xác định khoảng mà 


 

g ' x 0 

Ta có: g x f 3 x 2 g ' x 2 x. f ' 3 

x 

2 

 

2 2 

3 x 6 x 9 x 

3 

2 

 

2 

 

2 

f ' 3 x 0 3 x 1 x 4 

 

 

 

x 2 

2 2 

3 x 2 

 

x 1 

 

x 1 

 

 

' 

Bảng xét dấu g x : 

x 

và bằng 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng đó. 

 

 

1;1 

 

 

m min f x m f 1 

-3 -2 -1 0 1 2 3 

2x + + + + 0 - - - - 

 

f ' 3 

 

2 

x - 0 + 0 - 0 + + 0 - 0 + 0 - 

g ' x 

- 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 

2 

Hàm số g x f 3 

x đồng biến trên các khoảng 

Chọn: A 

Câu 40: 


Diện tích hình chữ nhật: 

Diện tích hai phần tô đen: 

3; 2 , 1;0 , 1;2 , 3; 

 

Suy ra diện tích phần không tô đen: 

S 

2 

0 

3050 1500 m . 

S 

1 

2 2 

 

3 3 

2 

2 Bh 2 .30.10 400 m . 


S S S 

2 

2 

 

0 

 

1 

1100 m . 

 

Vậy tổng chi phí: T 130000. S 90000. S 151000000 

1 2 

Câu 41: 


Gọi M 800 triệu đồng, r 0,5%, m 6 triệu đồng. 

• Số tiền cuối tháng 1 (sau khi đã rút): M 1 r 

m. 

đồng. 

• Số tiền cuối tháng 

2 (sau khi đã rút): 

M 1 r m 

1 r m 

19

2 

 

M 1 r m 1 r 1 

. 

n n1 n2 

• Số tiền cuối tháng n (sau khi đã rút): M 1 r m 1 r 1 r 

1 

 

 

Câu 42: 


n m 

n 12 

1 1 1 

n 

M r r Chọn D. 

r 

Chia 12 học sinh nam và nữ làm 2 nhóm, mỗi nhóm đều có 3 nam 3 nữ: có 

Hoán vị nam và nữ vào đúng vị trí, có: 

3! 4 

.2 2592 

(cách) 

3 

C 

2 

6 

400 

Nam Nữ Nam Nữ Nam Nữ 

Nữ Nam Nữ Nam Nữ nam 

(cách) 

Số cách để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới là: 400.2592 = 1036800 (cách) 

Số phần tử của không gian mẫu là: 12! = 479001600 

1036800 1 

Xác suất cần tìm là: 

 

479001600 462 

Chọn: B 

Câu 43: 


 

a / / P 

 

A a 

 


; ; 

d a P d A P 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ HM vuông góc với SN tại H. 

Ta có: AM / / SCD d A; SCD d M ; SCD 

SAB 

Mà 

đều 

a 3 

SM AB, 

SM 

2 

 

SAB ABCD 

SAB ABCD AB 

 

SM 

 

Ta có: 

 

ABCD 

CD 

MN 

CD SMN CD HM 

CD 

SM 

Mà ; ; 

HM SN HM SCD d M SCD HM d A SCD HM 

1 1 1 1 1 7 3 

SMN 

vuông tại M HM a 

2 2 2 2 2 

HM SM MN 3 2 

a 

a 3a 

7 

4 

3 21 

d A; 

SCD 

a a 

7 7 

 


20

Chọn: D 

Câu 44: 


1 3 2 

Để hàm số y x x mx 1 

nghịch biến trên khoảng thì 

3 


1 

3 

3 2 2 

y x x mx 1 y ' x 2x m 

1 3 2 

Để hàm số y x x mx 1 

nghịch biến trên khoảng thì 

3 

' 0 1 m 0 

' 0 

' 0 1 m 0 

' 0 

m1; 

 

S 

0 2 0 

 

x1 x2 

0 

P 0 

 

 

m 

0 

Chọn: A 

Câu 45: 


Gọi A d P 

A 

Giả sử A1 

2 t;1 

2 t; 

t 

 

0; y ' 0, x 

0; 

 

0; x 2 2x m 0, x 

0; 

 

Do AP 1 2t 2. 1 2t 2. t 5 0 8t 8 0 t 1 A1; 1; 1 

 

Lấy u a; b; c , u 0 là 1 VTCP của . 

Do 

 

 

nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d nên: 

a 2b 4 a 

2 

 

 

2a 2b 2 b 

3 

Cho c 2 u 2;3; 2 

Phương trình đường thẳng 

Chọn: B 

Câu 46: 


 

là: 

 

x 1 y 1 z 1 

 

2 3 2 

2 

Đặt t x 2y 

. Phương trình đã cho trở thành: 

 

 

t t t t 

 

4 9.3 t 4 9 t .49.7 t 4.7 t 9.3 t .7 t 49.4 49.9 t 0 

4. 7 49 3 9.7 49.3 0 1 

Nhận xét: 

+) t 2 là nghiệm của (1) 

. 

 

u n 

 

0 2 2 0 

P a b c 

 

u. u 0 2a 2b c 0 

d 

 


21

t 

t2 

 

+) 2 7 t 

t t 9.7 7 

t 49 0 và 9.7 49.3 0 do 1 VT 0 : Phương trình vô nghiệm 

 

t 

49.3 3 

 

 

t 

t2 

 

+) 2 7 t 

t t 9.7 7 

t 49 0 và 9.7 49.3 0 do 1 VT 0 : Phương trình vô nghiệm 

 

t 

49.3 3 

 

 

Vậy, (1) có nghiệm duy nhất là 

t x y y x 

2 2 

2 2 2 2 2 

x y x x 

x x x x 

2 

2 18 2 18 16 16 

Khi đó, P x 1 2 x. 1 9, x 0 

MinP 9 khi và chỉ khi x 4, y 7 . 

Chọn: A 

Câu 47: 


Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. 



 

f 


x 1 

2 

f 

x 

 

x 

m 

6x 

12 

m 

x 2 

2 3 

 

2 

. 2 3 

2 

 



2 

Phương trình f x. x 2 

3 m có hai nghiệm phân biệt trên đoạn 

Xét hàm số g x f x x trên 1;3 có: 

 

 

2;4 

 

1;3 

1;3 

 

 

g ' x f ' x . x 2 3 2 x 2 . f x có nghiệm x 2 

Với 1 x 2 thì 

Với 

2 x 3 

thì 

x 

f ' 0 

 

2 

 

x 2 

3 0 

g ' x 

0 

x 

2 0 

 

f x 

0 

x 

Ta có bảng biến thiên của 

f ' 0 

 

2 

 

x 2 

3 0 

g ' x 

0 

x 

2 0 

 

f x 

0 

g x 

như sau: 

x 1 2 3 

g ' x 

+ 0 - 

g x 

-24 


-3 

 

 

-12 

22

2 

1;3 m12; 3 

Vậy để phương trình f x . x 2 3 m có hai nghiệm phân biệt trên đoạn thì 

 

m 12; 11;...; 4 

 

Tổng các giá trị của m thỏa mãn là: 12 11 ... 4 9.16 : 2 72 

Chọn: B 

Câu 48: 


Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên (P) AMH BMK 

4 2 2 4 8 6 4 2 4 4 

AH d A; P ; BK d B; P AH 2. BK 

3 3 3 3 

Ta có: 

HM 2. MK (do AHM 

đồng dạng với BKM 

(g.g)) 

Lấy I đối xứng H qua K; E thuộc đoạn HK sao cho HE = 2KE; F thuộc đoạn KI sao cho FI = 2KF. 

Khi đó: A, B, I, H, E, K, F đều là các điểm cố định. 

* Ta chứng minh: M di chuyển trên đường tròn tâm F, đường kính IE: 

Gọi N là điểm đối xứng của M qua K HMN cân tại M 

E nằm trên trung tuyến HK và 

ME HN 

Mà HN / / MI ME MI 

Dễ dàng chứng minh F là trung điểm của EI 

2 

HE HK E là trọng tâm HMN 

3 

M di chuyển trên đường tròn tâm F đường kính EI (thuộc mặt phẳng (P)) 

* Tìm tọa độ điểm F: 

Phương trình đường cao AH là: 

x 

2 2t 

 

y 

1 2t 

 

z 

2 t 

8 

H 2 2 t1;1 2 t1;2 t1 . H P 2 2 2t1 2 1 2t1 2 t1 4 0 t1 

 

9 

Giar sử 

2 7 26 

H 

; ; 

 

 

9 9 9 


23

Phương trình đường cao BK là: 

Giả sử K 3 2 t ; 2 2 t ;2 t 

2 2 2 

x 

3 

2t 

 

y 

2 2t 

 

z 

2 t 

4 19 26 22 

K P 23 2t2 22 2t2 2 t2 4 0 t2 

K ; ; 

9 9 9 9 

Ta có: 

Chọn: A 

Câu 49: 


Giả sử 

2 4 17 

 

xF 

. 

9 3 9 

4 

7 4 19 74 97 62 

HF HK yF 

. F ; ; 

3 9 3 9 27 27 27 

26 4 4 

zF 

. 

9 3 9 

 

I x0; y0; 

z0 

 

là điểm thỏa mãn: 

 

 

z z z 

2 1 x0 7 1 x0 4 3 x0 0 x0 

21 

 

 

2IA 7IB 4IC 0 2 1 y0 7 2 y0 4 1 y0 0 y0 

16 

 

 

2 1 0 

7 

0 

4 2 

0 

0 z0 

10 

 

2 

S 

 

2 2 

I 21;16;10 , do 211 16 10 1 861 

Khi đó, 

 

P MA MB MC MA MB MC 

2 2 2 

2 7 4 

2 2 2 

2 2 2 

2 7 4 2 7 4 

MI IA MI IB MI IC 

 

 

 

MI 2. MI. 2IA 7IB 4IC 2IA 7IB 4IC 

2 2 2 2 

MI 2IA 7IB 4IC 

2 2 2 2 

2 2 2 

Để P 2MA 7MB 4MC 

đạt GTNN thì MI có độ dài lớn nhất 

MI là đường kính M là ddierm đối xứng của I 21;16;10 

qua tâm T 1;0; 1 

của (S) 

xM 

21 2 

 

yM 

16 0 M 23; 16; 12 

T a b c 2316 12 51 

 

zM 

10 2 

Chọn: C 

Câu 50: 


1 

Thể tích khối chóp: V Sh 

3 

Thể tích khối lăng trụ: V Sh 


 

24


Trong (ABCD), gọi I NP AB, 

K NP AD 

Trong (ABB’A), gọi 

Trong (ADD’A’), gọi 

E IM BB 

F KM DD 

Thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNP) là ngũ giác MENPF. 

Ta có: INB PNC IN NP , tương trự: 

KP NP IN KP NP 

IN 1 IN BE IB 1 

 

IK 3 IK AM IA 3 

VE. 

IBN 

1 

 

V 27 

M . IAK 

VF . DPK 

1 V2 

1 1 25 25 

Tương tự: 1 V V 

V 27 V 27 27 27 27 

M . IAK 

M . IAK 

' 

' 

2 M . IAK 

Ta có: IAK 

đồng dạng NCP 

với tỉ số đồng dạng là 3 S 9. S 

Mà 

S 

1 1 1 

S . . S S 

4 2 8 

AIK 

Khi đó: 

NCP ABCD ABCD 

 

9 

8 

S 

ABCD 

V 

V 

1 9 1 9 1 3 

. . V . . . V V 

2 8 2 8 3 16 

25 25 3 25 

V . V V 

27 27 16 144 

119 V 119 

144 25 

M . IAK A'. ABCD ABCD. A' B' C ' D' ABCD. A' B' C ' D' 

2 M . IAK ABCD. A' B' C ' D' ABCD. A' B' C ' D' 

1 

V1 VABCD. A' B' C ' D' 

 

V2 

Chọn: A 

AIK 

NCP 


25





Câu 1: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a. Hình chiếu 

0 

của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45 . 

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD. 

125 

A. 2 

B. C. D. 

2 a 

25 4 

a 

2 

2 

2 a 

125 

2 

4 a 

Câu 2: Cho y = F (x) và y = G (x) là những hàm số có đồ thị cho trong hình bên dưới, đặt 

P (x) = F ( x) G (x). Tính P ' (2). 

5 

3 

A. B. 4 C. D. 6 

2 

2 

Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi N là điểm thuộc cạnh AD sao cho 

AN = 2DN. Đường thẳng qua N vuông góc với BN cắt BC tại K. Thể tích V của 

khối tròn xoay tạo thành khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK là 

7 3 

14 

A. V a B. V a 

6 

9 

6 3 

9 

C. V a D. V a 

7 

14 

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 

3 

3 


P x y z 3 0 

x y 1 z 2 

d : . Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng (P) có phương trình là 

1 2 1 


A. x 1 y 1 z 1 

 

B. 

1 2 7 

C. x 1 y 1 z 1 

 

D. 

1 2 7 

x 1 y 1 z 1 

 

1 2 7 

x 1 y 1 z 1 

 

1 2 7 

1

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B ' C '. 

Gọi là góc hợp giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A' B ' C ' D ' . Tính giá trị của sin 

 

1 

2 

5 

A. sin B. sin 

C. sin 

D. sin 

2 

2 

5 


18 

Câu 6: Trong khai triển Newton của biểu thức 2x 1 

số hạng chứa x là 

18 18 

18 18 18 

18 18 18 

A. 2 .C 2019 

B. 2 .C2019x 

C. 2 .C2019x 

D. 

Câu 7: Hàm số nào sau đây là hàm số mũ? 

3 

3 

3 

A. y sin x B. y x 

C. y x 

D. 

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn 

2 

f x x 1 ln x 2 

m 

x đồng biến trên khoảng 0;e 

 

 

2018;2018 

 

18 18 

2 .C 2019 

y 3 x 

để hàm số 

A. 2014 B. 2023 C. 2016 D. 2022 

1 

Câu 9: Tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 1 

và công bội q . 

2 

A. 3 

2 

S B. S 1 

C. S 2 

D. S 

2 

3 

4 2 

Câu 10: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y x 2x 

tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 0, 1, m và n. 

2 2 

Tính S m n . 

A. S = 1 B. S = 2 C. S = 0 D. S = 3 

Câu 11: Trong hình dưới đây, điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC. Khẳng định nào sau đây là đúng? 


2 

2 

A. ac b 

B. ac 2b 

C. a c 2b 

D. ac b 

 

Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA 3i j 2k 

và B m; m 1; 4 

. Tìm tất cả các 

giá trị của tham số m để độ dài đoạn AB = 3. 

A. m = 3 hoặc m = 4 B. m = 2 hoặc m = 3 

C. m = 1 hoặc m = 2 D. m = 1 hoặc m = 4 

Câu 13: Cho mặt cầu (S) có đường kính 10cm và mặt phẳng (P) cách tâm mặt cầu một khoảng 4cm. 

Khẳng định nào sau đây là sai? 

A. (P) cắt (S) B. (P) tiếp xúc với (S) 

C. (P) và (S) có vô số điểm chung D. (P) cắt (S) theo một đường tròn bán kính 3cm 

 

 

2 

5 

2

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng 

Ozx? 

A. y 1 0 B. z = 0 C. x = 0 D. y = 0 

 

 

Câu 15: Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn 1;4 như hình 

vẽ dưới đây. Tính tích phân 

4 

1 

 

I f x dx 

A. I 3 

B. I 5 

5 

C. I 

D. 

2 

11 

I 

2 

Câu 16: Biết rằng 

a 

 

1 

ln xdx 1 

2 a, a 1 

 

 

. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 

a 

a 

a 

a 6;9 

A. 11;14 B. 18;21 

C. 1;4 

D. 

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng 

đây? 

x 

2 t 

 

: y 

1 

 

z 

2 3t 

A. 4;1; 4 B. 0;1;4 

C. 3;1; 5 D. 

không đi qua điểm nào sau 

P 

N 

Q 

M 2;1; 2 

Câu 18: Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi I là trung điểm của CD. Trên tia AI lấy S 

 

sao cho AI 2IS 

. Thể tích của khối đa diện ABCDS bằng 

3 

3 2 

2 

A. B. C. D. 

12 

24 

24 

Câu 19: Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 

5 

đoạn 2;3 

bằng . Tính tổng của các phần tử trong T. 

6 

mx 1 

y 

2 

x m 

17 

A. B. 2 C. 6 D. 

5 

Câu 20: Biết rằng thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều có diện tích bằng 

tích V của khối nón đã cho. 


2 

8 

có giá trị lớn nhất trên 

3 

3 

A. V a 

3 

6 

 

B. V a 

3 

3 

 

C. V a 

3 

 

D. V 

a 

2 

6 

3 

6 

Câu 21: Tìm số nghiệm của phương trình sin cos 2 0 trên 0;2 . 

 

x 

 

A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 

16 

5 

a 

2 

3 . Tính thể 

3 

3

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 

nghiệm với mọi m;0 

 

 


x 

0,02 2 0,02 

A. m 2 

B. m 1 

C. m 1 

D. 0 m 1 

Câu 23: Nguyên hàm của hàm số 

 

f x 2 x x 

x 

2 

2 

2 

A. 2 x 2 

x x 

x C B. x C 

C. 2 C D. 

ln 2 

2 

là 

 

 

x 2 

2 x 

C 

ln 2 2 

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp . ' ' ' ' có A 0;0;0 , B a;0;0 

, 

0;2 ;0 , ' 0;0;2 

 

D a A a với a 0 . Độ dài đoạn thẳng AC ' là 

ABCD A B C D 

3 a 

A. B. a C. 3 a D. 2 a 

2 

Câu 25: Cho khối tứ diện ABCD có 

0 

BC 3, CD 4, ABC BCD ADC 

90 . Góc giữa hai đường 

0 

thẳng AD và BC bằng . Côsin góc giữa hai mặt phẳng và ACD bằng 

60 ABC 

 

43 

43 

2 43 

A. B. C. D. 

86 

43 

43 

2 2 

4 43 

43 

Câu 26: Cho các số thực , , , thay đổi luôn thỏa mãn a 3 b 6 1 

và 4c 

3d 

5 0 . Tính 

giá trị nhỏ nhất của T c a d b 

a b c d 

2 2 

A. 16 B. 18 C. 9 D. 15 

Câu 27: Đạo hàm của hàm số 

 

y log 1 

x 

 

bằng 

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

1 x ln10 x 1 

1 x 

 

Câu 28: Biết phương trình 

3 2 

y ax bx cx d 

 

3 2 

ax bx cx d a 

0 0 


 

 

1 

x 1 ln10 

 

. Có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số 

A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 

Câu 29: Một tay đua đang điều khiển chiếc xe đua của mình với vận tốc 180km/ h. Tay đua nhấn ga để về 

đích kể từ đó xe chạy với gia tốc 

chạy với vận tốc bao nhiêu km / h. 

2 

2 1 / 

a t t m s 

. Hỏi rằng 4s sau khi tay đua nhấn ga thì xe đua 

A. 200km/ h B. 252km/ h C. 288km/ h D. 243km/ h 

 

 

Câu 30: Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng 

x 0, x 2 

(phần tô đen) là: 


m 

có 

4

1 2 

 

 

A. S f x dx f x dx 

B. S f x dx 

2 

0 1 

 

 

0 

2 

0 

1 2 

C. S f x dx 

D. S f x dx f x dx 


 

y f x 

cận đứng của đồ thị hàm số 

x 

y ' 

y 

 

 

0 1 

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm 

1 

y 

2 f 1 

x 

là: 

1 

 

2 

1 

0 + 

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 

Câu 32: Đồ thị của hàm số nào sau đây cắt trục tung tại điểm có tung độ âm? 

2x 

3 

4x 

1 

2x 

3 

A. y 

B. y 

C. y 

D. 

x 1 

x 2 

3x 

1 

Câu 33: Cho tập 

A 

 

0;1;2;3;4;5;6 

 

3 

 

1 

3x 

4 

y 

x 1 

. Xác suất để lập được số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 

các phần tử của tập A sao cho số đó chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2, 3 luôn có mặt cạnh bằng nhau là 

1 

11 

11 

A. B. C. D. 

40 

360 

420 


2 1 1 

x 

1 x 1 

Câu 34: Cho bất phương trình 3 

3 3 

12 

có tập nghiệm S a; 

b 

. Giá trị của biểu thức 

P 3a 10b 

là 

A. 2 B. 4 

C. 5 D. 3 

Câu 35: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 25 và M 4;6;3 . Qua M 

1 

45 

2 2 2 

 

kẻ các tia Mx, My, Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A, B, 

C. Biết mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định H a; b; 

c . Tính a 3b c 

A. 9 B. 20 C. 14 D. 11 

 

 

5

Câu 36: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự 

định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều 

trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, 

đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại. 

A. 72 B. 72 

C. 36 D. 36 

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

 

P : x z 6 0 

và hai mặt cầu 

2 2 2 2 2 2 

S : x y z 25; S : x y z 4x 4z 

7 0. Biết rằng tập hợp tâm I các mặt cầu tiếp xúc 

1 2 

với cả hai mặt cầu 

hạn bởi đường cong đó. 

S 

, 

S 

 

1 2 

và tâm I nằm trên (P) là một đường cong. Tính diện tích hình phẳng giới 

9 

A. B. C. D. 

7 7 

9 7 

6 7 

3 

Câu 38: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy 2 điểm A, 

B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng R 

bằng 

2 

2 , thể tích V của khối nón đã cho 

3 

14 

A. V R 

3 

14 

 

B. V R 

3 

14 

 

C. V R 

3 

14 

 

D. V 

R 

2 

6 

3 

12 

2 

Câu 39: Phương trình log x 2log x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, 

x2 

. Tính giá trị của biểu thức 

3 1 

3 

P log3 x1 log27 x2 

biết x1 x2 

A. P 1 B. P 0 

C. P 1 

D. 

3 


vuông góc với đường thẳng d. 

A. Q x y z 

B. 

8 

P 

3 

x 1 y 2 z 2 

d : . Mặt phẳng nào sau đây 

1 2 1 

: 2 1 0 

T : x y 2z 

1 0 

: 1 0 

P : x 2y z 1 0 

C. R x y z 

D. 

Câu 41: Tập hợp các số thực m để phương trình 

log x m 

2 

có nghiệm thực là 

0; 

0; 

;0 

A. B. C. D. 

Câu 42: Trong không gian Oxyz, cho điểm 

1;0;0 , 0; 1;0 , 0;0;1 , 1; 1;1 

A B C D 

6 cạnh của tứ diện ABCD cắt (ACD) theo thiết diện có diện tích S. Chọn mệnh đề đúng? 

 

 

 

A. S 

B. S 

C. S 

D. 

3 

6 

4 

. Mặt cầu tiếp xúc 

 

S 

5 

 

1;3 

 

Câu 43: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn , thỏa mãn f 4 x f x , x 

1;3 và 

3 

 

1 

 


 

xf x dx 2 . Giá trị 2 f x dx bằng: 

3 

 

1 

A. 2 B. 1 C. 2 

D. 1 

6

Câu 44: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích V 

của khối chóp đã cho. 

3 

3 

3 

a 2 

a 2 

a 14 

A. V 

B. V 

C. V 

D. 

2 

6 

2 

Câu 45: Cho tập 

M? 

M 

 

1;2;3;4;5;6;7;8;9 

C 9 

 

a 

V 

3 

14 

6 

. Có bao nhiêu tập con có 4 phần tử lấy từ các phần tử của tập 

4 

4 

A. 4! B. C. D. 

Câu 46: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P). Chọn khẳng định đúng? 

 

 

A. Nếu a / / P và b a thì b P 

B. Nếu / / và b / / P thì b / / a 

a P 

 

 

a P 

 

C. Nếu / / và b P thì b a 

D. Nếu a P và b a thì b / / 

A 9 

 

 

 

9 

4 

P 

Câu 47: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên , thỏa mãn f 1 f 3 0 và đồ thị của hàm số 

y f ' x 

Hàm số 

có dạng như hình dưới đây. 

2 

y f x 

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 

1;2 

 

0;4 

2;2 

A. B. 2;1 

C. D. 

x4 7x 

a 

Câu 48: Cho hàm số f x 3 x 1 .2 6x 

3 . Giả sử m 0 

( a , b , a là phân số tối giản) là 

b b 

giá trị nhỏ nhất của tham số thực m sao cho phương trình 

nhiều nhất. Tính giá trị của biểu thức 

P a b 

2 

 

f x x m 

2 

7 4 6 9 2 1 0 

A. P 1 

B. P 7 

C. P 11 

D. P 9 

 

Câu 49: Trong không gian tọa độ Oxyz, góc giữa hai vectơ i và u 3;0;1 là 


0 

0 

0 

0 

A. 30 

B. 60 

C. 150 

D. 120 

Câu 50: Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 

1 

2 3 5 

3 

3 2 

y x x x 

A. Có hệ số góc dương B. Song song với trục hoành 

C. Có hệ số góc bằng 1 

D. Song song với đường thẳng x 1 

 

 

 

có số nghiệm 

7


1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.B 7.D 8.D 9.D 10.D 

11.A 12.D 13.D 14.D 15.C 16.B 17.A 18.D 19.A 20.C 

21.A 22.B 23.D 24.C 25.C 26.A 27.D 28.B 29.A 30.D 

31.C 32.D 33.B 34.D 35.A 36.C 37.A 38.B 39.B 40.D 

41.A 42.B 43.D 44.D 45.B 46.C 47.A 48.A 49.C 50.C 

Câu 1 (VD): 


+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp là giao điểm của trục của mặt đáy và mặt phẳng trung trực của 1 

cạnh bên. 

+) Áp dụng các kiến thức đã học tính bán kính mặt cầu. Từ đó áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu 

bán kính R: 


S 4 

R 

2 

Gọi H là trung điểm của ID SH ABCD 

Qua I dựng đường thẳng d song song với SH, đường thẳng này chính là 

trục của hình chóp SABCD. 

Dựng đường thẳng trung trực của cạnh SB, cắt đường thẳng d tại K. 

Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 

0 

Ta có: SB, ABCD SB, BH SBH 

45 

3 15a 

15a 

2 

BD 5a BH BD SH SB BH 2 

4 4 4 

Gọi 

E d SB 

. Áp dụng định lí Ta-lét ta có: 

IE 2 2 5 

IB IE SH 

a 

AH BH 3 3 2 

EB IB 2 2 5a 2 1 15a 

2 

EB SB ; AM MB SB 

SB HB 3 3 2 2 8 

5a 

2 

EM EB MB 

8 

 

0 0 

SBH 45 MEK 45 EMK 

vuông cân tại 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông MBK ta có: 

2 2 

2 2 25a 225a 5 5a 

KB KM MB R 

32 32 4 

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD là 

Chọn: D 

Câu 2 (VD): 



M MK ME 

125 

S 4 

R a 

4 

2 2 

5a 

2 

8 

8

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số: 

f x g x 

' f ' x g x f x g ' x 


Xét khoảng (0;3) ta có: 

Ta có: P x F x. 

G x 

 

 

 

P ' x F ' x . G x F x . G ' x 

P ' 2 F ' 2 . G 2 F 2 . G ' 2 

1 3 

2.2 4 .2 3. 2 2 

Chọn: C 

 

2 

F x x 4x 

7 F ' x 2x 

4 

 

 

1 1 

G x 

x 1 

G 

' x 

 

2 

2 

Chú ý khi giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy x = 2 là điểm cực trị của hàm số 

2 2 

NB a a 

2 2 

. . . . 3 3 

3 3 3 

3 

F x F ' 2 0 

Câu 3 (VD): 


2 

Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao h: V R h 

1 2 

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h: V R h 

3 


Khi quay tứ giác ANKB quanh trục BK ta được hình trụ có bán kính đáy AB, chiều cao AN và hình nón 

có bán kính đáy AB, chiều cao KO BK AN 

2 2a 

Ta có: AN AD 

3 3 

Áp dụng định lý Pitago ta có: 

2 2 2 4 2 a 13 

BN AB AN a a 

9 3 

13 13 

BK 

BO 2 

9. a 

6 

3 

13a 2a 3a 

KO BK BO 

6 3 2 

1 2 1 2 3a 

a 

Vnon 

. AB . KO . a . 

3 3 2 2 

3 

2 2 

a 

V AB AN a a 

tru 

a 2 a 7 

a 

V Vnon 

Vtru 

 

2 3 6 


Chọn: A 

Câu 4 (VD): 


9

Phương trình đường thẳng d đi qua ; ; và có VTCP u a; b; 

c là: 


M x y z 

 

0 0 0 

x x y y z z 

 

 

 

a b c 

0 0 0 

Giả sử M là giao điểm của d và (P) 

x 

t 

x y 1 z 2 

 

1 2 1 

 

z 

2 t 

Ta có: d : y 1 2 t M t; 1 2 t;2 

t 

1 2 2 3 0 1 1;1;1 

 

M P t t t t M 

Lấy điểm 

 

 

A 0; 1;2 

d 

và không thuộc (P) 

x 

t 

 

Phương trình đường thẳng đi qua A0; 1;2 

và vuông góc với (P): y 

1 t 

 

z 

2 t 

 

 

Gọi H t; 1 t;2 

t là giao điểm của và (P) 

Gọi 

4 1 10 

A' là điểm đối xứng của A qua H A' ; ; 

 

 

3 3 3 

Khi đó đường thẳng d ' đối xứng với d qua (P) là đường thẳng đi qua M, 

1 2 7 1 x 1 y 1 z 1 

Ta có: MA' ; ; 1; 2;7 d ': 

3 3 3 3 1 2 7 

Chọn: B 

Câu 5 (TH): 


2 2 1 8 

t 1 t 2 t 3 0 t ; ; 

3 H 

 

 

3 3 3 

 

A' B ' C ' D ' 

+) Gọi O A' C ' B ' D ' MO A' B ' C ' D ' . Xác định góc giữa MN và 

+) Tính các cạnh của tam giác vuông OMN, từ đó tính sin MN; A' B ' C ' D ' 


Gọi O A' C ' B ' D ' MO A' B ' C ' D ' 

MO ON OMN 

vuông tại N. 

' ' ' ' ; ' ' ' ' ; 

MO A B C D MN A B C D MN MO MNO 

Giả sử hình lập phương có cạnh bằng 1 OM 

Trong tam giác vuông OMN ta có 

OM 1 2 5 

sin MNO 

 

MN 5 5 

2 


1 

1, 

ON 

2 

MN OM ON 

2 2 5 

2 

A' 

10

2 5 

Vậy sin 

5 

Chọn: D 

Câu 6 (TH): 


n 

n k n k k 

 

Sử dụng công thức khai triển nhị thức: a b 

Cn 

a b 


k 0 

2019 2019k 


2019k 

k k k k 

2019 2019 

k 0 k 0 


k 

Ta có: 2 1 2 1 2 1 

Để có hệ số của 

x C x C x 

x 

18 

k 18 


Số hạng chứa x : C 2 . 1 

x 2 . C x 

Chọn: B 

18 18 18 18 18 18 18 


Chú ý khi giải: Phân biệt số hạng chứa 

Câu 7 (NB): 


x 

n 

và hệ số của số hạng chứa 

Dựa vào lý thuyết hàm số mũ để chọn đáp án đúng: Hàm số mũ là hàm số có dạng 

x 

y a 0 a 1, a 

 


 

x 

Hàm số mũ là hàm số có dạng y a 0 a 1 

Trong 4 đáp án, chỉ có đáp án D đúng. 

Chọn: D 

Câu 8 (VD): 


Hàm số 


TXĐ: 

y f x 

đồng biến trên a; b f ' x 0 x a; 

b 

x 1 

D 0; 

 

. Ta có: f ' x 

ln x 2 m 

x 

Hàm số đồng biến trên 

0; e 2 f ' x 0 x 0; 

e 

2 

 

x 1 

2 

ln x 2 m 0 x 0; 

e 

x 

x 1 

g x x m x e 

x 

m min g x 

2 

ln 2 0; 

 

2 

0; e 

 

Xét hàm số: 

 


x 1 

g x x x 

x 

ln 2 0 

ta có: 

và bằng 0 tại hữu hạn điểm. 

x 

n 

11

1 1 

2 

g ' x 0 x x 0 

x x 

Ta có BBT: 

 

2 

 

x 

 

Từ BBT min g x 4 m 4 

Lại có: 

2 

0; e 

 

 

m 

 

 

m 

m 

 

m 

 

2018;2018 

m2018;4 

2018; 2017;...;2;3 

Vậy có 2022 giá trị của m thỏa mãn. 

x 

0 (ktm) 

1 

x 0 1 

g ' x 

0 + 

g x 

4 

2 

e 

2 

5e 

1 

e 

2 

Chọn: D 

Câu 9 (TH): 


1 

u Sn 

Tổng của CSN lùi vô hạn có số hạng đầu là và công bội q: 

1 


Ta có 

Chọn: D 

u 

 

1 q 

u1 1 2 

q 1 Cấp số nhân trên là cấp số nhân lùi vô hạn S 

1 

q 1 

1 

3 

2 

Câu 10 (TH): 


Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) là nghiệm của phương trình hoành độ giao 

điểm của hai đồ thị hàm số. 

Dựa vào các hoành độ đã biết, tìm được phương trình đường thẳng d từ đó ta xác định được m, n và tính 

giá trị của biểu thức. 


Gọi phương trình đường thẳng bài cho là: d: y = ax +b 

4 2 

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C): y x 2x 

tại hai điểm có hoành độ là 0; 1 tọa độ hai điểm đó 

là: A0;0 , B 1; 1 

a.0 b 0 b 

0 

d : y x 

a b 1 a 

1 

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: 

4 2 4 2 2 

x x x x x x x x x 

2 2 0 2 1 0 

x 

0 

2 

 

x x 1 x x 1 

0 x 

1 


 

2 

x x 

 

 

1 0 * 

 

12

Khi đó m, n là hai nghiệm của phương trình (*) 

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 

2 

m 

n 1 

 

mn 

1 

2 2 

S m n m n mn 

Chọn: D 

Câu 11 (TH): 


2 1 2 3 

+) Xác định tọa độ các điểm A, B, C. 

+) Sử dụng công thức trung điểm: 

x x 2x 

 

y y 2y 

A C B 

A C B 

+) Sử dụng công thức log x log y log xy (giả sử các biểu thức là có nghĩa). 


Dựa vào đồ thị hàm số ta có: 

a a a 

y 

 

y 

 

y 

A 

B 

C 

ln a 

ln b 

ln c 

 

 

2 2 

Ta có B là trung điểm của AC nên: 2y y y 2ln b ln a ln c ln b ln ac b ac 

Chọn: A 

Câu 12 (TH): 


 

B A C 

+) Sử dụng công thức: u ai b j ck u a; b; 

c 

2 2 2 

+) Cho hai điểm: Ax ; y ; z , B x ; y ; z AB x x y y z z 


1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 

 

Theo đề bài ta có: OA 3i j 2k OA 3;1; 2 A3;1; 2 

2 

2m 

10m 

8 0 

 

2 2 

AB 3 m 3 m 2 4 9 

m 

1 

 

m 

4 

Chọn: D 

Câu 13 (TH): 


Xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S ) có tâm I và bán kính R : 

2 2 

+) Nếu d (I ;(P)) < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r R d I; 

P 

+) Nếu d (I ;(P)) = R thì (P) tiếp xúc với (S) 

+) Nếu d (I ;(P)) > R thì (P) và (S) không có điểm chung với nhau. 


Bán kính mặt cầu : 10 : 2 5 


S R cm 

 

 

13

Gọi I là tâm của mặt cầu 

kính r R d I P 

Chọn: D 

 

2 2 2 2 

Câu 14 (NB): 


 

S d I; P 4 R P 

; 5 4 3 

Phương trình mặt phẳng (Ozx) có phương trình y = 0. 


Phương trình mặt phẳng (Ozx) có phương trình y = 0. 

Chọn: D 

Câu 15 (TH): 


+) Xác định hàm số trên từng đoạn. 

cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán 

b c b 

 

+) Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân để tính tích phân: 


Ta có: 

2x 2 khi 1 x 0 

 

2 khi 0 x 1 

 

f x 

2x 4 khi 1 x 2 

x 2 khi 2 x 3 

 

1 khi 3 x 4 

4 0 1 2 3 4 


a a c 

2 2 2 2 4 2 1 

 

I f x dx x dx dx x dx x dx dx 

1 1 0 1 2 3 

x 

 

2 

1 5 

1 2 1 1 

 

2 2 

Chọn: C 

0 1 2 2 

3 

4 

2 2 

x 2x 2x x 4x 2x 

x 

Câu 16 (TH): 


1 0 1 2 

3 

Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần sau đó chọn đáp án đúng. 


a 

 

Ta có: ln xdx 1 

2aa 

1 

Đặt: 

1 

1 

u ln x du dx 

x 

dv 

dx 

v 

x 


14

a 

a 

 

I x ln x dx a ln a x a ln a a 1 

1 1 

1 

a 

 

3 

1 2a a ln a a 1 3a a ln a ln a 3 a e 20,08 18;21 

Chọn: B 

Câu 17 (NB): 


Thay tọa độ các điểm của đề bài vào công thức đường thẳng để chọn đáp án đúng. 


2 t 4 t 

2 

 

 

Thử tọa độ điểm P4;1; 4 

ta có: 1 t 2 P chọn A. 

 

t 

2 3t 

4 

3 

Chọn: A 

Câu 18 (VD): 


d S BCD 

 

+) So sánh ; và d A; 

BCD từ đó tính VS . BCD 

theo V 

 

ABCD 

3 

a 2 

+) Sử dụng công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều cạnh a là V 

12 


Ta có 

 

 

 

 

 

 

d S; BCD SI 1 

AS BCD I d A; 

BCD 

AI 

2 

V 1 1 V 

V 

V 

S. BCD 

S. 

BCD 

S. 

BCD 

ABCD 

2 2 VABCD 

3 3 2 2 

VABCDS VABCD VS . BCD 

VABCD 

 

2 2 12 8 

Chọn: D 

Câu 19 (VD): 


 


b bằn cách: 


i i 

i 

i 


b . Khi đó: 

min f x min f a ; f b ; f x , max f x max f a ; f b ; f x 

 

 

a; b 

a; 

b 



x m 

2 


xi 

 

15

Ta có: y ' 

 

m 

3 

1 

x m 

2 

 

2 

Hàm số bậc nhất trên bậc nhất luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 

 

 

2 

Ta có x m 0 x 2;3 hàm số luôn xác định với mọi m. 

2m 

1 3m 

1 

 

2 2 

m 2 m 3 

Có: y 2 ; y 3 

y 

' 0 

 

TH1: Hàm số đạt GTLN tại x 2 5 

y 

2 

 

6 

m 

1 

3 

m 

1 0 

m 1 

 

 

m 

2 2 

2m 

1 5 m 

2 

 

5m 

12m 

4 0 

 

 

5 

2 2 

m 

2 6 

m 

 

5 

y 

' 0 

 

TH2: Hàm số đạt GTLN tại x 3 5 

y 

3 

 

6 

m 

1 

3 

m 

1 0 

m 1 

 

 

m 

3 

3m 

1 5 m 3 

2 

 

5m 

18m 

9 0 

 

 

2 3 

m 

3 6 

m 

 

5 

2 17 

T 3 5 5 

Chọn: A 

Câu 20 (VD): 


1 2 

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đá R và chiều cao h: V R h 

3 


Gọi cạnh của tam giác đều qua trục là x 

x 3 

 

4 

2 

2 2 2 

S a 3 x 4a x 2a 

x 

Bán kính đáy của hình nón là: R a , chiều cao của hình nón là: 

2 

x 3 2a 

3 

h a 3 

2 2 

3 

1 2 1 2 a 3 

Vnon 

R h . a . a 3 

3 3 3 

Chọn: C 


16

Câu 21: 


Giải phương trình lượng giác sau đó tìm số giá trị k 

đáp án đúng. 


x x k 

k 

 

sin cos 2 0 * cos 2 1 

1 1 

1 cos 2x 1 1 k 1 k k k 0 

 

 

 

Do 

 

m 

1 cos 2x 0 2x m 

x m 

2 4 2 

m 

1 7 

Do x 0;2 0 2 0;1;2;3 

4 2 2 2 

m m 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. 

Chọn: A 

Câu 22 (VD): 


Giải bất phương trình logarit cơ bản: 


Điều kiện xác định: m 0 

 

 

log 

x 

m 

m g x 


0,02 2 0,02 

2 

a 

a 

1 

 

0 

x a 

x b 

0 a 1 

 

 

b 

x a 

log 3 1 Do 0,02

Chọn: D 

Câu 24 (TH): 


2 2 2 

Cho hai điểm: Ax ; y ; z , B x ; y ; z AB x x y y z z 


1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 

Dựa vào đề bài, ta có AB a ; AD 2 a ; AA' 2 a 

2 2 2 2 2 2 

AC ' AB AD AA' a 4a 4a 3 a 

Chọn: C 

Câu 25 (VD): 


 

 

+) Dựng AE BCD , chứng minh BCDE là hình vuông. 

+) Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng công thức 


Dựng 

 

cos ; cos ; 

P Q nP 

nQ 

 

BC 

AE 

AE BCD 

ta có BC ABE 

BC BE 

BC 

AB 

CMTT ta có CD DE 

BCDE 

Ta có 

là hình chữ nhật. 

 

0 0 

BC; AD ED; AD ADE 60 AE ED.tan 60 3 3 

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: 

E 0;0;0 , B 4;0;0 , D 0;3;0 , A0;0;3 3 , C 4;3;0 

 

Ta có 

 

 

AB 

4;0; 3 3 

 

 

AB; BC 

9 3;0;12 / / 3 3;0;4 ABC 

 

n n1 

 

BC 0;3;0 

 

 

AC 

4;3; 3 3 

 

 

AC; CD 

0;12 3;12 / / 0; 3;1 n ACD 

 

n2 

 

CD 4;0;0 

 

n1. 

n2 

4 2 43 

cos ABC; ACD cos n1; 

n2 

 

 

n . n 43.2 43 

Chọn: C 

Câu 26 (VD): 


Dựng AE BCD 

1 2 

 

nP. 

nQ 

 

n . n 


P 

Q 

18

2 2 2 

Gọi ; , ; 

M a b N c d T c a d b MN 


2 2 2 

Gọi ; , ; 

M a b N c d T c a d b MN 

Theo đề ra ta có tập hợp các điểm M là đường tròn 

x 3 2 y 6 2 

1 

C 

có tâm I 3;6 

, bán kính R = 1 và tập hợp 

các điểm N là đường thẳng 4x 3y 5 0 d 

 

Ta có 

4.3 3.6 5 

d I d 

R d 

2 2 

4 3 

; 5 

 

2 2 

Tmin d I; d R 5 1 16 

Chọn: A 

Câu 27 (TH): 


Số thực a, b, c, d đồng thời thỏa mãn 

không cắt (C). 

 

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp: log 


Ta có: y x 

Chọn: D 

 

Câu 28 (VD): 


 

1 x' 1 

x x 

2 2 

' log 1 ' 

1 ln10 1 ln10 

Xác định dạng của đồ thị hàm số 

3 2 

y ax bx cx d 


và suy ra số cực trị của nó. 

a 3 b 6 và 4x 

3d 

5 0 

 

a 

u ' 

u' 

 

u ln a 

3 2 

y ax bx cx d a 

0 

 

 

 

từ đó suy ra đồ thị hàm số 

3 2 

Phương trình ax bx cx d 0 a 0 có 2 nghiệm thực nên đồ thị hàm số 

3 2 

y ax bx cx d a 

0 

 

 

dạng: 


hoặc 

19

Vậy số cực trị của hàm số y ax 3 bx 2 cx d là 3. 

Chọn: B 

Câu 29 (VD): 


 

v t 

 

a t dt 


 

2 

Ta có 2 1 

v t a t dt t dt t t C 

Do 

2 

v 0 180 C 180 v t t t 180 

2 

4 4 4 180 200 m / s 

v 

Chọn: A 

Câu 30 (TH): 


Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

 

b 

a b 

là S f x g x 

dx 


 

a 

Ta có 

 

2 1 2 1 2 

 

S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 

0 0 1 0 1 

Chọn: D 

Câu 31 (VD): 


Cho đồ thị hàm số y f x 

 

+) Nếu lim y a hoặc lim y a thì y a là TCN của đồ thị hàm số. 

x 

x 

+) Nếu lim hoặc lim thì x b là TCĐ của đồ thị hàm số. 

y 

xb Cách giải: 

y 

xb Dựa vào BBT ta thấy f x f x 

lim lim 1 

x 

x 

1 1 

lim lim 1 y 1 

là TCN của đồ thị hàm số 

x 

2 f x 1 x 

2 f x 1 

 

y f x , y g x và hai đường thẳng x a; 

x b 

1 

y 

2 1 

f x 

1 

 

2 

Xét phương trình 2 f x 1 0 f x 

1 

Dựa vào BBT ta thấy phương trình f x 

có 2 nghiệm phân biệt x x1, 

x x2 

do đó đồ thị hàm số 

2 

1 

y có 2 TCĐ. 

2 f x 1 

 


20

1 

Vậy tổng số TCN và TCĐ của đồ thị hàm số y là 3. 

2 f x 1 

Chọn: C 

Câu 32 (TH): 


Thay 



x 0 vào tìm hàm số, tìm y 0 

3x 

4 

y 

x 1 

 

 

x 1 

. Thay 

 

x 0 y 4 0 

3x 

4 

Khi đó đồ thị hàm số y cắt trục tung tại điểm 0; 4 

thỏa mãn. 

x 1 

Chọn: D 

Câu 33 (VD): 


+) Chia 2 trường hợp tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5. 

+) Sử dụng phương pháp buộc (buộc những phần tử đứng cạnh nhau). 

+) Áp dụng quy tắc nhân và cộng hợp lí. 


5 4 

Lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ tập A n A A 

0;1;2;3;4;5;6 2160 

7 6 

Gọi A là biến cố: “Số lập được chia hết cho 5 và các chữ số 1, 2, 3 luôn có mặt cạnh nhau” 

Giả sử số có 5 chữ số cần tìm là abcde a 0 

Dó số cần tìm chia hết cho 5 nên e0;5 

TH1: e = 0 

+) Buộc 3 số 1, 2, 3, coi là 1 phần tử. Sắp xếp 3 số này trong buộc có 3! = 6 cách. 

+) Chọn vị trí cho buộc (123) có 2 cách chọn. 

+) Số cách chọn 1 số còn lại (khác 0, 1, 2, 3) là 3 cách. 

Có 1.6.2.3 = 36 số. 

TH2: e = 5 

+) Buộc 3 số 1, 2, 3, coi là 1 phần tử. Sắp xếp 3 số này trong buộc có 3! = 6 cách. 

-) Nếu buộc (123) đứng ở vị trí (abc), khi đó có 3 cách chọn d d 0;4;6 

 

-) Nếu buộc (123) đứng ở vị trí (bcd), khi đó có 2 cách chọn aa 4;6 

Có 1.6.(3+2) = 30 số. 

n A 36 30 66 

Vậy P A 

Chọn: B 

 

 

Chú ý: Điều kiện 

Câu 34: 

 

 


n A 66 11 

 

n 2160 360 

a 0 

là điều kiện vô cùng quan trọng trong bài toán này. 

21


1 

1 x 

+) Đặt t 0 , đưa bất phương trình về dạng bất phương trình bậc hai ẩn t. 

3 

+) Giải bất phương trình bậc hai ẩn t, từ đó suy ra x và suy ra tập nghiệm của bất phương trình. 


2 1 1 

2 

1 

1 

 

x x x x 

1 1 1 1 

3 12 

 

12 x 0 

3 3 3 3 

 

1 

Đặt t 

3 

1 

x 

2 2 t 

3 

0 , bất phương trình trở thành t t 12 t t 12 0 

t 

4 (loai) 

1 

1 

1 x 1 1 1 

x 

Với t 3 3 1 0 1 x 0 

3 3 x x 

a 

1 

Tập nghiệm của bất phương trình S 1;0 P 3a 10b 

3 

b 

0 

Chọn: D 

Chú ý: 

1) 

 

 

0 1 

f x g x 

a a a f x g x 

1 

2) Khi giải bất phương trình không được nhân chéo và kết luận x < -1 

x 1 

Câu 35: 

Chọn: A 

Câu 36 (VD): 


Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ V S . h 


Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 

Gọi phương trình parabol là: 

3;0 ; 3;0 ; 0;3 

day 

2 

y ax bx c , parabol đi qua các điểm 

nên ta có hệ phương trình: 

1 

a 

c 

3 3 

 

 

1 

 

 

3 

9a 3b c 0 

c 3 

 

 

2 

9a 3b c 0 b 0 y x 3 

 


1 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x 

3 

2 

3 và trục Ox là: 

Vậy thể tích phần không gian bên trong lều trại là V = 12.3 = 36 (m 3 ) 

3 

1 2 

S x dx 

3 

12 

3 

3 

22

Chọn: C 

Câu 37: 

Chọn: A 

Câu 38 (VD): 


+) Gọi M là trung điểm của AB, chứng minh 

+) Tính SM, từ đó tính SO 

1 

SM AB S 

ABC 

SM. 

AB 

2 

1 2 

+) Sử dụng công thức tính thể tích nón có chiều cao h, bán kính đáy R là V R h 

3 


Gọi M là trung điểm của AB 

Do tam giác OAB cân tại O OM AB 

AB OM 

AB SOM AB SM 

AB 

SO 

2 

1 2S 

ABC 

2. R 2 

S 

ABC 

SM. AB SM 2R 

2 AB R 2 

Ta có 

Vậy V 

1 R 2 2 2 R 14 

OM AB SO SM OM 

2 2 2 

N 

Chọn: B 

Câu 39 (VD): 


3 

1 2 R 14 R 14 

R . 

3 2 6 

1 

log f x log f x 0 a 1, f x 0 

a 

m 

+) Sử dụng công thức m a 

+) Giải phương trình bậc hai đối với hàm logarit, tìm x và tính P. 


log x 2log x 2log x 3 0 x 0 

2 

3 3 

1 

3 

log x 2.2.log x 2. 1 log x 3 0 

2 

3 3 3 

log x 2log x 3 0 

2 

3 3 

 

x 27 x2 

log3 

x 3 

 

 

 

 

1 tm 

log3 x 1 

x x1 

3 

1 

P log3 x1 log27 x2 log3 log27 

27 11 0 

3 

Chọn: B 

Câu 40 (TH): 

 

 

 


 

23


P d n u 

 

là 2 vectơ cùng phương với n , u lần lượt là 1 VTPT và VTCP của (P) và (d) 

, 


 

Ta có u 1; 2;1 

d 

Xét đáp án D ta có 

 

P 

d 

 

là 1 VTCP của đường thẳng (d) 

 

 

có 1 VTPT là n 1; 2;1 

u 

P : x 2y z 1 0 

Vậy (P) ở đáp án D vuông góc với (d). 

Chọn: D 

Câu 41 (NB): 


Hàm số 


 

y log x 0 a 1, x 0 có tập giá trị là 

a 

 

 

 

Do hàm số y log2 

x x 0 có tập giá trị là nên phương trình log2 

x m có nghiệm 

Chọn: A 

Chú ý: Phân biệt tập giá trị và tập xác định của hàm số logarit. 



P 

d 

P 

d 

m 

 

+) Chứng minh Tứ diện ABCD là tứ diện đều Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là 

tâm của tứ diện đều. 

+) Xác định tọa độ tâm I của tứ diện đều và bán kính mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện. 

+) Lập phương tình mặt phẳng (ACD). 

+) Đưa về bài toán tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng. 


Dễ dàng tính được AB BC CD DA 2 Tứ diện ABCD là tứ diện đều. 

Tâm mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện chính là tâm của tứ diện đều. 

1 1 1 1 

 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD M ; ;0 , N ; ;1 

2 2 2 2 

1 1 1 

Gọi I là trung điểm của MN I 

; ; 

 

là tâm của tứ diện ABCD. 

2 2 2 

 

IA; AB 

6 

Bán kính mặt cầu cần tìm là R d I; 

AB 

 

AB 6 

 

 

AC 1;0;1 

 

Ta có 

n AC; AD 

1;1;1 

là 1 VTPT của (ACD). 

AD 0; 1;1 

 

 

 


1 1 1 

1 

Phương trình (ACD) là: x y z 0 x y z 0 

2 2 2 

2 

24

1 1 1 1 

 

2 2 2 2 

d I ACD I ACD 

3 

; 0 

(ACD) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính 

Chọn: B 

Câu 43 (VD): 


3 3 

+) Sử dụng tính chất 

 

I xf x dx tf t dt 2 

 

1 1 

+) Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt t 4 x 

b b b 

 

+) Sử dụng công thức 


3 3 

Ta có: 

Đặt 

 

1 1 

a a a 

I xf x dx tf t dt 2 

t 4 x dt dx 

. Do đó mặt cầu tiếp xúc 6 cạnh của tứ diện ABCD cắt 

6 

2 

R S R 

6 6 

f x dx g x dx f x g x dx 

 


1 3 

 

x 

1 

t 3 

 

x 

3 t 1 

 

I 4 x f 4 x dx 4 x f x dx 2 

3 1 

3 3 

 

 

 

2I xf x dx 4 x f x dx 4 

1 1 

3 3 3 

 

 

4 x x f x dx 4 4 f x dx 4 f x dx 1 

1 1 1 

Chọn: D 

Câu 44 (TH): 


 

 

+) Gọi O AC BD SO ABCD . Sử dụng định lí Pytago tính SO. 

+) Sử dụng công thức tính thể tích V 

. 


Gọi O AC BD SO ABCD 

ABCD là hình vuông cạnh a 

 

S ABCD 

1 

SO. 

S 

3 

ABCD 

a 

AC BD a 2 AO 

2 

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAO: 

2 

2 2 2 a a 14 

SO SA AO 4a 

 

2 2 


2 

25

3 

1 1 a 14 2 a 14 

Vậy VS . ABCD 

SO. S 

ABCD 

. . a 

3 3 2 6 

Chọn: D 

Câu 45 (NB): 


Tổ hợp chập k của n là số cách chọn k phần tử từ một tập n phần tử mà không phân biệt thứ tự. 


Số tập con có 4 phần tử lấy từ các phần tử của tập M là 

Chọn: B 

Câu 46 (TH): 


Sử dụng mối quan hệ song song, vuông góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. 


a P 

 

Khẳng định đúng là: Nếu / / và b P thì b a 

Chọn: C 

Câu 47 (VD): 


+) Lập BBT của đồ thị hàm số y f x 

2 

+) Xét dấu đạo hàm của hàm số y f x và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số trên các khoảng 

đáp án cho. 


' 

Từ đồ thị hàm số y f x ta suy ra BBT của đồ thị hàm số y f x như sau: 

Đặt 

x 

1 

1 3 

f ' x + 0 0 + 0 

f 

x 

 

2 

y g x f x 

ta có 

4 

C 9 

 

0 0 

x 

1 (boi 2) 

f x 

0 

y ' g ' x 2 f x f ' x 

0 

 

x 3 (boi 2) 

f ' x 

0 

 

 

x 1 (boi 1) 

Do đó x 1 là 1 cực trị của hàm số, do đó loại các đáp án C và D. 

 

f x 0 

Xét đáp án A ta có x 1;2 g ' x 

0 Hàm số y g x 

nghịch biến trên (1;2). 

f ' x 

0 

Chọn: A 



26

Chọn: A 

Câu 49 (TH): 


Cosin góc giữa hai vectơ 

 

u, 

v 

được tính theo công thức 

 

cos u; 

v 

 

 

 

 

u. 

v 

 

u . v 


 

 

3 0 0 3 

 

2 2 2 2 2 2 

1 0 0 3 0 1 

Ta có i 1;0;0 cos i; 

u 

 

 

i 0 

; u 150 

2 

Chọn: C 

Chú ý: Góc giữa 2 vectơ có thể là góc tù. 

Câu 50 (TH): 


+) Xác định điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực tiểu vừa tìm được và kết luận 


TXĐ: D R . Ta có 

 

 

2 x 

1 

y ' x 4x 

3 0 

x 

3 

y '' 1 2 0 

y '' 2x 4 

x 3 

y '' 3 2 0 

là điểm cực tiểu của hàm số. 

y 

Do ' 3 0 nên tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y 0 x 3 5 5 

là đường thẳng 

song song với trục hoành. 

Chọn: C 


27





Câu 1 (NB): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 

và có một véc tơ chỉ 

 

phương a 4; 6;2 

. Phương trình tham số của là 

 

 

 

x 

2 4t 

x 

2 2t 

x 

4 2t 

 

 

 

A. y 

6t 

B. y 

3t 

C. y 

6 

D. 

 

z 

1 2t 

 

z 

1 t 

 

z 

2 t 

Câu 2 (TH): Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

4 2 

A. y x 2x 

1 

B. y x x 

4 2 

C. y x 2x 

1 

D. 

Câu 3 (NB): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

 

 

 

 

 

4 2 

2 4 1 

4 2 

y x 2x 

1 

 

P : 3x z 2 0 

 

 

x 

2 2t 

 

y 

3t 

 

z 

1 t 

. Véc tơ nào dưới đây là một véc 

tơ pháp tuyến của P ? 

 

 

 

 

A. n 3; 1;2 

B. n 1;0; 1 

C. n 3;0; 1 

D. n 

 

3; 1;0 

Câu 4 (NB): Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường 

thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được 

A. Hình nón B. Khối trụ C. Khối nón D. Hình trụ 

 

 

Câu 5 (TH): Cho cấp số cộng u , biết u1 5, d 2 . Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu? 

n 

A. 44 B. 100 C. 75 D. 50 

Câu 6 (NB): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, 

SA a 

3 . Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 

3 

a 

A. B. a 3 

3 

C. a 

3 3 

D. 

3 

3 

Câu 7 (NB): Cho số phức z 10 2i 

. Phần thực và phần ảo của số phức z là 

A. Phần thực bằng 10 

và phần ảo của số phức bằng 2i 

. 

B. Phần thực bằng 10 

và phần ảo bằng 2 

. 

C. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2. 

D. Phần thực bằng 10 và phần ảo bằng 2i. 


Mệnh đề nào sau đây đúng? 


y f x 

có bảng biến thiên sau đây. 

3 

3a 

3 

 

1

x -2 1 

y’ - 0 - 0 + 

y 

 

 

20 

A. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 2 

 

B. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 1 

 

C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 7 

 

D. Hàm số y f x không có cực trị 

Câu 9 (NB): Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó? 

x 

 

 

2 

A. y B. 2 x 

1 

y 

C. y 

D. 

3 

2 

-7 

x 

 

e 

y 

 

Câu 10 (TH): Cho trước 5 chiếc ghế xếp thành một hàng ngang. Số cách xếp 3 bạn A, B, C vào 5 chiếc 

ghế đó sao cho mỗi bạn 1 ghế là 

3 

3 

A. B. 6 C. D. 15 

C 5 

Câu 11 (TH): Họ nguyên hàm của hàm số 

 

2 

f x 2 x 

x 

4 

1 

A. C B. C C. 4 x x 

C 

D. 4 .ln 4 C 

x 

ln 4 

4 .ln 4 

Câu 12 (NB): Trong không gian Oxyz cho điểm 

tọa độ là 

 

là 

A 5 

A 2;1;3 

 

. Hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox có 

0;1;0 

 

0;0;3 

0;1;3 

 

A. B. 2;0;0 

C. D. 

f x 

2 

Câu 13 (NB): Cho hàm số có đạo hàm f ' x x x 1 

. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới 

đây? 

 

 

 

0; 

A. 1; 

B. 1;0 

C. ; 1 

D. 

1 

 

 

Câu 14 (NB): Cho f x dx 3 và f x dx 2 . Khi đó 

0 

2 

 

1 

 

2 

 

0 

f 

 

x dx 

A. 1 B. 1 

C. 5 D. 6 

Câu 15 (NB): Với a và b là hai số thực dương tùy ý, 

 

2 3 

 

log a b 

bằng 

1 1 

A. log a logb 

B. 2log a logb 

C. 2log a 3logb 

D. 

2 3 

Câu 16 (TH): Phương trình 


 

log 54 x 

3 

 

3log x 

có nghiệm là 

A. x 4 

B. x 3 

C. x 1 

D. x 2 

Câu 17 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 

 

 

phẳng nào sau đây cắt S theo một đường tròn có bán kính r 3? 

 

2 2 2 

2log a.3log 

b 

S : x y z 6x 4y 

12 0 

x 

. Mặt 

2

A. 4x 3y z 4 26 0 

B. 2x 2y z 12 0 

C. 3x 4y 5z 

17 20 2 0 

D. x y z 3 0 

3 

Câu 18 (TH): Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10cm. Biết thể tích khối trụ bằng 90 

cm . 

Diện tích xung quanh của khối trụ bằng 

2 

2 

2 

A. 36 

cm B. 78 

cm 

C. 81 

cm 

D. 

Câu 19 (TH): Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn 

số phức 

w 1 

z z 

2 

bằng 

2 

60 

cm 

z 2z 7 3i z 

A. w 445 B. w 425 C. w 37 

D. w 457 

Câu 20 (TH): Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

 

 

đoạn 0;1 . Giá trị của M 2m 

bằng 

x 

y 

A. 11 

B. 10 

C. 11 D. 10 


 

y f x 

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 

năm nghiệm phân biệt thuộc đoạn 0;5 ? 

A. 0;1 

B. 

 

có đồ thị như hình vẽ. 

 

 

f x m 

m 

 

m1; 

 

 

 

C. m 0;1 

D. m(0;1] 

Câu 22 [TH]: Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu 

 

S 

 

có 

có phương trình dạng 

2 

 

 

. Mô đun của 

3x 

6 

x 2 

2 2 2 

x y z 4x 2y 2az 10a 

0 . Tập hợp các giá trị thực của a để S có chu vi đường tròn lớn 

 

bằng 8 là 

1;10 

 

 

1; 11 

A. B. 10;2 

C. 1;11 

D. 

Câu 23 (TH): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 

đại tại điểm x 1? 

A. m 2 hoặc m 1 

B. m 2 hoặc m 1 

C. m 1 

D. m 2 

Câu 24 (TH): Tập nghiệm của bất phương trình 

2 

log x 5log x 6 0 là 

2 2 

trên 

1 3 2 2 

y x mx m m 1 

x 1 

đạt cực 

3 

1 

1 

A. S 0; B. C. D. 

2 

S 64; 

 

S 0; 64; 

 

 

2 

 

1 

S ;64 

2 

 

 

x x 2 

Câu 25 (TH): Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 2 .5 x 

1. Khi đó tổng x x bằng 

1 2 

2 

 

1 2 

A. 2 log5 

2 B. 2 log5 

2 C. 2 log5 

2 

D. 2 log2 

5 

Câu 26 (TH): Trong mặt phẳng Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 

z 3 i; z 2 2 i;z 5 

i . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó điểm G biểu diễn số phức là 

1 2 3 


3

A. z 1 i B. z 1 2i 

C. z 1 2i 

D. z 2 i 

Câu 27 (TH): Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với 

0 

BAC 120 , AA' 2a 5 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 

AB a, AC 2a 

3 

3 

3 

4a 

5 

a 15 

A. V a 15 B. V 

C. V 

D. V 

3 

3 

Câu 28 (TH): Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 

trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra. 

và 

3 

4a 

5 

 

y tan x; y 0; x 0; x quay xung quanh 

4 

ln 2 

ln 3 

 

A. B. C. D. ln 2 

2 

4 

4 


thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số 

đường tiệm cận đứng? 

3 2 

, , , 

f x ax bx cx d a b c d 

 

g x 

A. 3 B. 2 

C. 6 D. 4 

 

2 2 

4 3 

 

2 

2 

x x x x 

 

x f x f x 

 

 

có đồ 

có bao nhiêu 

0 

Câu 30 (VD): Cho tứ diện ABCD có AB AC AD và BAC BAD 60 . Xác định góc giữa hai 

đường thẳng AB và CD 

0 

0 

0 

A. 90 

B. 45 

C. 60 

D. 30 

Câu 31 (VD): Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình 

quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' 

S ' 

lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số để 

S 

thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất. 

2 

1 

1 

A. B. C. D. 

3 

4 

3 

Câu 32 (VD): Số các giá trị nguyên của tham 

đồng biến trên khoảng 4; ? 

 

 

 

M 2019;2019 

 


y 

0 

6 

3 

 

2 

A. 2034 B. 2018 C. 2025 D. 2021 

Câu 33 (VD): Cho các số phức z thỏa mãn 

 

w 1 i 8 z i 

 


z 1 2 

là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là 

m 1 x 2mx 6m 

x 1 

. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức 

A. 9 B. 36 C. 6 D. 3 

Câu 34 (VD): Tính tổng các giá trị nguyên của tham số 

4 

mx 4x m 0 nghiệm đúng với mọi x . 

 

m 50;50 

 

sao cho bất phương trình 

A. 1272 B. 1275 C. 1 D. 0 

4

Câu 35 (VD): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 

2 2 2 

log cosx mlog cos x m 4 0 

vô nghiệm. 

m m m 

m2; 2 

A. 2;2 B. 2; 2 C. 2;2 

D. 

 

 

Câu 36 (VD): Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 2;1 

thỏa mãn f 0 1 

và 

2 2 

 

f x . f ' x 3x 4x 

2. Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 2;1 là: 

3 

A. 2 16 

B. 3 

18 

C. 3 

16 

D. 

 

3 

2 18 

Câu 37 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông 

góc với đáy và 

0 

SBD 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO. 

a 5 

a 2 

a 2 

a 5 

A. B. C. D. 

2 

2 

5 

5 

1;0;2 , 3;1; 1 

Câu 38 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A B 

 

P x y z 

M a; b; 

c P 3MA 

2MB 

: 1 0 . Gọi sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 

S 9a 3b 6c 

. 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 


Câu 39 (VD): Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao 

cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy? 

A. 108864 B. 80640 C. 145152 D. 217728 

f x 

 

2 4 

Câu 40 (VD): Cho hàm số thỏa mãn f ' x f x . f '' x 15x 12 x, 

x 

và 

f 

2 

0 f ' 0 1. Giá trị của f 1 là 

5 

A. 10 B. 8 C. D. 

2 

2 

x 

xy 3 0 

Câu 41 (VDC): Cho x, y 0 và thỏa mãn 

. Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 

2x 

3y 

14 0 

2 2 3 

biểu thức P 3x y xy 2x 2x 

? 

A. 8 B. 0 C. 4 D. 12 

Câu 42 (VDC): Xét các số thực dương x;y thỏa mãn 

P của biểu thức P x y . 

min 


1 

y 

log3 

3xy x 3y 

4 . Tìm giá trị nhỏ nhất 

x 3xy 

4 3 4 

4 3 4 

4 3 4 

A. Pmin 

 

B. Pmin 

 

C. Pmin 

 

D. P 

3 

3 

9 

9 

2 

min 

 

4 3 4 

9 

Câu 43 (VD): Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó 

một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là 

3 

18 

dm . Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm 

trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình. 

3 

3 

3 

A. 27 

dm B. 6 

dm 

C. 9 

dm 

D. 

3 

24 

dm 

5

Câu 44 (VD): Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song 

song với đường sinh của hình nón ta thu được thiết diện có diện tích lớn nhất gần với giá trị nào sau đây? 

A. 170 B. 260 C. 294 D. 208 

2a 

5 

Câu 45 (VDC): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khoảng cách giữa AB và B’C là , 

5 

2a 5 

a 3 

khoảng cách giữa BC và AB’ là , khoảng cách giữa AC và BD’ là . Tính thể tích khối hộp 

5 

3 

ABCD.A’B’C’D’. 

3 

3 

3 

A. 4a 

B. 3a 

C. 5a 

D. 

Câu 46 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 

ba điểm cực trị? 

 

3 

2a 

 

3 2 

y x 2m 1 x 3m x 5 

A. Vô số B. 3 C. 2 D. 1 

Câu 47 (VD): Cho hai hàm số 

3 2 

y x ax bx c a, b, 

c 

 

C 

 

 

 

 

có đồ 

thị và y mx 2 nx p m, n, 

p có đồ thị P như hình vẽ. 

C 

 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và P có giá trị nằm trong 

khoảng nào sau đây? 

0;1 

1;2 

 

A. B. 

2;3 

3;4 

C. D. 

S 

 

Câu 48 (VD): Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua điểm A 2; 2;5 

và tiếp xúc với ba mặt 

 

phẳng P : x 1, Q : y 1 

và R : z 1 

có bán kính bằng 

A. 3 B. 1 C. 2 3 D. 3 3 

Câu 49 (VD): Cho z , z là hai số phức thỏa mãn điều kiện z 5 3i 

5 đồng thời z1 z2 8 . Tập hợp 

1 2 

các điểm biểu diễn số phức 

w=z 

z 

1 2 

A. x 10 y 6 36 

B. 

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình 

2 2 

x y 

2 2 

2 2 

10 6 16 

2 2 

C. 5 3 

x y 

9 

D. 

5 3 9 

x y 

 

2 2 

2 2 4 

 

Câu 50 (VD): Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x trên tập số 

thực và đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ. Khi đó, đồ thị 

của hàm số 

2 

y f x 


có 

 

 

có 

A. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu 

B. 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại 

C. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu 

D. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu 

6


1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.B 10.C 

11.A 12.B 13.D 14.C 15.C 16.B 17.C 18.D 19.D 20.A 

21.A 22.C 23.D 24.D 25.A 26.B 27.A 28.A 29.D 30.A 

31.D 32.D 33.C 34.A 35.C 36.C 37.D 38.B 39.C 40.B 

41.B 42.A 43.B 44.D 45.D 46.A 47.B 48.A 49.A 50.D 

Câu 1: 


M x y z 

 

Đường thẳng đi qua điểm ; ; và VTCP u a; b; 

c có phương trình là 

0 0 0 

x x at 

 

y y0 

bt 

 

z z0 

ct 

 

0 


 

1 

Đường thẳng đi qua điểm M 2;0; 1 

và có một véc tơ chỉ phương a 4; 6;2 

hay 2; 3;1 

2 a 

 

nên 

Chọn B 

Câu 2: 

x 

2 2t 

 

: y 

3t 

 

z 

1 t 


+ Xác định rằng đây là đồ thị hàm số 

4 2 

y ax bx c 

+ Dựa vào đồ thị hàm số xác định dấu của hệ số a 

+ Hàm số có ba cực trị thì ab 0 

+ Xác định một số điểm thuộc đồ thị, thay tọa độ các điểm đó vào các hàm số để loại trừ đáp án. 


Từ đồ thị ta thấy lim y nên hệ số a 0 , loại C 

x 

Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên ab 0 suy ra b 0 , loại A. 

 

 

Điểm 1;1 thuộc đồ thị hàm số nên ta thay x 1; y 1 

vào các hàm số ở B và D, thấy chỉ có hàm số 

4 2 

y 2x 4x 

1 

thỏa mãn. 

Chọn B. 

Câu 3: 


 

Mặt phẳng Ax By Cz D 0 có một véc tơ pháp tuyến n A; B; 

C 


Mặt phẳng 

 

có một véc tơ pháp tuyến n 3;0; 1 

P : 3x z 2 0 


 

7

Chọn C. 

Câu 4: 


Sử dụng kiến thức lý thuyết về khối nón. 


Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một 

cạnh góc vuông ta được một khối nón. 

Chọn C. 

Chú ý: Một số em nhầm sang đáp án A là hình nón. Ở đây chúng ta lưu ý rằng khi quay tất cả các điểm 

bên trong tam giác quanh cạnh góc vuông thì ta sẽ được một khối đặc nên ta dược một khối nón chứ 

không phải hình nón. 

Câu 5: 


Sử dụng công thức tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng 


 

 

Ta có: u u n d hay 81 5 n 1 .2 n 44 

n 

1 

1 

Vậy 81 là số hạng thứ 44 của dãy. 

Chọn A. 

Câu 6: 


1 

Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V h . S 

3 



S 

ABCD 

a 

2 

3 

1 1 2 a 3 

Thể tích khối chóp là VABCD 

SA. S 

ABCD 

. a 3. a 

3 3 3 

Chọn B. 

Câu 7: 


Số phức liên hợp của 


Số phức của 

z a bi là z a bi 

z 10 2i 

là z 10 2i 

Vậy phần thực của z là 10 và phần ảo 2. 

Chọn C. 

Câu 8: 


u u n d 

n 

1 

1 


Sử dụng cách đọc bảng biến thiên. 

Nếu y’ đổi dấu từ âm sang dương tại x a thì x a là điểm cực tiểu của hàm số 

Nếu y’ đổi dấu từ dương sang âm tại x b thì x b là điểm cực đại của hàm số 

8


Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại 

Chọn B. 

Câu 9: 


Hàm số 


 

 

x 

y a 0 a 1 đồng biến nếu a 1 

x 1 

và đạt cực đại tại x 2 

Trong các đáp án đã cho chỉ có đáp án B có hàm số y có 2 1 

nên hàm số đồng biến trên . 

Chọn B. 

Câu 10: 


Sử dụng kiến thức về chỉnh hợp. 

Lưu ý rằng nếu chọn các phần tử rồi mang ra sắp xếp thì ta sẽ sử dụng chỉnh hợp. 


Mỗi cách xếp 3 bạn vào 5 chiếc ghế là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nên số cách xếp có được là 

(cách). 

Chọn C. 

Câu 11: 


x 

x 

a 

Nguyên hàm của hàm số y a 0 a 1 

là . 

ln a C 


2 

f x 

Ta có: 2 x x 

4 nên nguyên hàm của f x là 

Chọn A. 

Câu 12: 


Hình chiếu vuông góc của điểm 


Hình chiếu vuông góc của điểm 

Chọn B. 

Câu 13: 


Các khoảng làm cho 


y ' 0 

Ta có: 2 

f ' x x x 1 0 x 0 

 

 

2 x 

x 

4 

C 

ln 4 

M a; b; 

c 

lên trục Ox là M a;0;0 

A2;1;3 

lên trục Ox là A2;0;0 

thì hàm số đồng biến. 

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên 0; 

Chọn D. 

Câu 14: 


 

3 

A 5 

9


b c c 

 

Sử dụng tính chất tích phân: 



a b a 

1 2 2 2 

Ta có: 

Chọn C. 

Câu 15: 


 

f x dx f x dx f x dx f x dx 2 3 5 

0 1 0 0 

Sử dụng các công thức biến đổi 

nghĩa. 


n 

log x nlog x,log xy log x log y 

 

Ta có: log a 2 b 3 loga 2 logb 3 2log a 3log b a, b 0 . 

Chọn C. 

Câu 16: 


Đưa phương trình về dạng 


Ta có 

 

log 54 x 3log x log 54 x log x 

 

 

x 

 

 

f 0 

 

loga 

f x loga 

g x g x 0 

 

f x g x 

3 3 3 

3 

54 x 0 

3 3 

 

0 x 3 2 

0 x 3 2 

x 

0 x 3 

3 

 

3 

3 3 2x 

54 x 

 

54 x x 

 

 

Chọn B. 

Câu 17: 


- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến P , sử dụng công thức d R r 

 

 

 

 

 

 

 

với điều kiện các logarit đều có 

2 2 

- Đối chiếu với các đáp án: Kiểm tra d I, 

P bằng kết quả vừa tìm được ở trên và kết luận. 


S 

Mặt cầu có tâm I 3; 2;0 

và bán kính 

Khoảng cách từ I đến 

Đối chiếu các đáp án ta thấy: 


 

 

2 2 

R 3 0 2 12 5 

 

2 2 2 2 

P là d I, P 

R r 5 3 4 

 

4.3 3. 2 0 4 6 

Đáp án A: d I, P 

 

4 nên loại A. 

2 2 2 

4 3 1 

 

 

10

2.3 2. 2 0 12 14 

Đáp án B: d I, P 

4 nên loại B. 

2 2 

2 2 1 

3 

 

 

 

2 

3.3 4. 2 5.0 17 20 2 

Đáp án C: d I, P 

 

4 nên chọn C. 

2 2 

3 4 5 

Chọn C. 

Câu 18: 


2 

Hình trụ có bán kính đáy r và có chiều cao h thì có diện tích xung quanh 

2 

V r h . (Với khối trụ thì đường sinh và chiều cao bằng nhau) 


Gọi r là bán kính đáy, theo đề bài ta có 

 

2 2 

V r h 90 r .10 r 3cm 

Diện tích xung quanh hình trụ là 

Chọn D. 

Câu 19: 


- Gọi z a bi a , 

b 

h 10 cm; V 90 

cm 

S 2 rh 2 .3.10 60 

cm 

- Thay vào điều kiện bài cho tìm z , từ đó tính w và kết luận. 


Gọi 

 

z a bi a , 

b 

 

 

 

, ta có: 

z z i z a b a bi i a bi 

2 2 

2 7 3 2 7 3 

2 2 

a b 2a 2bi 7 3i a bi 0 

2 2 

a b 3a 7 b 3 i 0 

2 2 a b 3a 

7 0 

b 3 

 

 

2 

 

b 3 0 

 

a 9 3a 

7 0 1 

Giải 

1 

ta có: 

 

2 2 

3a 

7 0 

a 9 3a 7 0 a 9 3a 

7 2 2 

a 9 9a 42a 

49 

7 

a 

7 3 

a 

 

3 a 

4 

2 

8a 

42a 

40 0 

5 a 4( tm) 

a 

 

4 

Do đó a 4, b 3 z 4 3i 

2 

Khi đó 2 

xq 

 

w 1 z z 1 4 3i 4 3i 1 4 3i 16 24i 9 4 21i 

 

 

3 

2 

Sxq 

2 

rh 


và có thể tích 

11

2 

2 

Vậy w 4 21 457 . 

Chọn D. 

Câu 20: 


+ Tìm điều kiện xác định 

 

 

+ Xét trên đoạn a; 

b . Tính y ' ; giải phương trình ' 0 tìm các nghiệm 

+ Tính y a; y xi 

; 

y b 

max y max y a; y xi 

; 

y b 

+ và 

a; b a; 

b 

Từ đó xác định M ; m M 2m 


ĐKXĐ: x 2 

Xét trên đoạn 

Ta có 

 

0;1 

 

ta có 

 

a; b a; 

b 

x 2 x 2 

y x a; 

b 

 

i 

min y min y a ; y x ; y b 

2 

2x 3 x 2 x 3x 6 

2 

x 4x 

x 0( tm) 

 

2 2 

x ktm 

y ' 0 

 

y 0 

3 M 

max y 3 

0;1 

M 2m 

3 2. 4 

11 

 

y 1 

4 m 

min y 4 

0;1 

Chọn A. 

Câu 21: 


 

4( ) 

- Vẽ phác đồ thị hàm số y f x từ đồ thị hàm số y f x đã cho (lấy đối xứng phần dưới trục hoành 

qua trục hoành và giữ nguyên phần phía trên trục hoành). 

- Sử dụng tương giao đồ thị suy ra tập giá trị của m. 


Từ đồ thị hàm số đã cho ta dựng được đồ thị hàm số 

y f x 

như sau: 

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy, trên đoạn 

 

0;5 

 

 

thì 

đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y f x tại 

đúng 5 điểm phân biệt nếu và chỉ nếu 0 m 1 

Chọn A. 

Câu 22: 


2 2 2 

2 2 2 

Xác định tâm và bán kính mặt cầu x y z 2ax 2by 2cz d 0 với a b c d 0 có tâm 

 

I a; b; 

c 

 

và bán kính 

2 2 2 

R a b c d 

Chu vi đường tròn bán kính R là C 2 

R 


 

i 

12


Mặt cầu 

2 2 2 

x y z 4x 2y 2az 10a 

0 

+) Tâm I 2; 1; 

a 

có: 

2 

2 2 2 

+) Bán kính R 2 1 a 10a a 10a 

5 với điều kiện 

 

2 

a 5 2 5 

a 10a 

5 0 

a 5 2 5 

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính 


2 

10 5 nên chu vi C 2 

a 10a 

5 

2 

R a a 

2 2 

8 2 10 5 8 10 5 4 

C a a a a 

2 2 

a 

1 

a 10a 5 16 a 10a 11 0 ( tm) 

a 

11 

Vậy a 1;11 

Chọn C. 

Câu 23: 


 

Hàm số bậc ba y f x đạt cực đại tại điểm x x nếu 


 

0 

1 

y f x x mx m m 1 x 1 

3 

3 2 2 

Đặt 

f ' x x 2mx m m 1; f '' x 2x 2m 

2 2 

Ta có: 

Hàm số đạt cực đại tại 

m 1 

2 

 

 

 

m 

3m 

2 0 

 

 

 

m 

2 m 2 

2 2m 

0 

m 

1 

Chọn D. 

Câu 24: 


+) Tìm điều kiện xác định. 

 

 

 

 

f ' x0 

0 

 

f '' x0 

0 

 

f m m m 

x 1 

 

 

f '' 1 0 2.1 

2m 

0 

' 1 0 

2 2 

1 2 .1 1 0 

+) Phân tích vế trái thành nhân tử rồi giải bất phương trìn (hoặc đặt ẩn phụ log x t ) 


ĐK: x 0 . 

Ta có 

 

log x 5log x 6 0 log x 1 log x 6 0 

2 

2 2 2 2 

1 

1 log2 

x 6 x 64 

2 


2 

13

1 

Kết hợp điều kiện ta có S ;64 

2 

 

 

Chọn D. 

Câu 25: 


- Logarit hai vế theo cơ số 5 đưa về phương trình tích. 

- Giải phương trình tìm nghiệm và kết luận. 


Ta có: 

 

 

 

 

2 2 2 

x x 2x x x 2x x x 2x 

5 5 5 5 

2 .5 1 log 2 .5 log 1 log 2 log 5 0 

x log 2 x 2x log 5 0 x log 2 x 2x 

0 

2 2 

5 5 5 

x 

0 x 

0 

xlog5 

2 x 2 

0 

 

x 2 log5 2 0 

 

x 

2 log5 

2 

0 2 log 2 2 log 2 

Vậy tổng hai nghiệm 

Chọn A. 

Câu 26: 


5 5 

 

M a; 

b 

+) Điểm z a bi a; 

b có điểm biểu diễn hình học là 

+) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ 


Từ bài ra ta có A0; 3 , B 2; 2 , C 5; 1 

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ 

 

 

 

x 

 

 

y 

 

Điểm G 1; 2 

biểu diễn số phức z 1 

2i 

. 

G 

G 

xA xB xC 

 

3 

y y y 

 

3 

A B C 

Chọn B. 

Câu 27: 


Thể tích lăng trụ V Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao. 

x 0 2 5 

A 

xB x 

C 

xG 

1 

3 3 

 

G 1; 2 

y 3 2 1 

A 

yB y 

C 

 

yG 

2 

3 3 


 

 

 


Diện tích tam giác ABC là: 

2 

1 1 3 a 3 

S 

ABC 

AB. AC.sin A a.2 a. 

 

2 2 2 2 

14

2 

a 3 

3 

Thể tích lăng trụ V S 

ABC. AA' .2a 5 a 15 

2 

Chọn A. 

Câu 28: 


Thể tích vật thể được sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x; y 0; x a; 

x b 

 

2 

quanh trục Ox là V f x dx 


Thể tích cần tìm là tan 

 

4 

 

0 

 

b 

 

a 

 

4 

2 

4 4 

sin x 

V x dx tan xdx dx 

cos x 

 

0 0 0 

 

1 4 1 ln 2 

d cos x ln cos x ln ln 2 

cos x 

2 

2 

Chọn A. 

Câu 29: 


f x 

g x 

- Viết lại dưới dạng tích, thay vào 

 

0 

- Tìm các điểm làm cho g x không xác định và tính giới hạn của hàm số y g x khi x dần tới các 

điểm đó. 

- Sử dụng định nghĩa tiệm cận đứng và kết luận. 



x 0 

 

 

x 0 

 

2 

x 

1 

x 

x 0 

 

f x 

0 

2 

 

 

f x 2 f x 

0 

 

 

f x 

2 

 

Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy phương trình f x 0 có nghiệm x 3 

(bội 2) và nghiệm đơn 

 

 

2 

x x 0 

1;0 

nên ta viết lại f x a x 3 x x 

Khi đó 

 

g x 

 

 

2 

2 

2 2 2 2 

x 4x 3 x x x 4x 3 x x 

 

 

x f x f x x. f x 

f x 

2 

 

 

 

Dựa vào đồ thị ta cũng thấy, đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm phân biệt 

x 1, x x 3; 1 , x x 3 

nên ta viết lại f x 2 a x 1 x x x x 

Khi đó 

 

g x 


1 2 

2 

x 1 x 3 

x x 

2 

 

 

x. a x 3 . x x . a x 1 x x x x 

0 1 2 

 

0 

 

 

1 2 

15

2 

3 2 

2 

a x x x x0 x x1 

x 

Dễ thấy 

Ta có: 

+) lim g x 

x 

 

x 

 

x x 0 

1;0 

nên ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0 

 

 

x0 x0 

x 1 

lim 

3 2 

2 

a x x x x0 x x1 

x 

x 0 là đường TCĐ của đồ thị hàm số y g x 

+) lim g x lim g x lim g x 

 

x3 

xx1 xx2 

y g x 

Các đường thẳng x 3, x x1, 

x x2 

đều là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

Vậy đồ thị hàm số 

Chọn D. 

Câu 30: 


 

y g x 

Lấy N là trung điểm AB. Chứng minh 


có tất cả 4 đường tiệm cận đứng. 

AB 

 

NCD 

 

từ đó suy ra góc giữa AB và CD. 

Các tam giác ABC và ABD đều là tam giác cân có 1 góc bằng 60 0 (gt) nên 

ABC; 

ABD 

là các tam giác đều. 

Lấy N là trung điểm AB. Khi đó CN AB; 

DN AB (tính chất tam giác 

đều) 

 

AB DCN AB DC 

0 

Nên góc giữa AB và CD là 90 . 

Chọn A. 

Câu 31: 


 

- Lập hàm tinh thể tích khối nón, xét hàm suy ra GTLN. 

- Tính diện tích S , S ' với chú ý S là diện tích hình tròn và S ' là diện tích xung quanh của hình nón. 


Diện tích hình tròn 

S 

R 

Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là 

1 1 

V r h r R r 

3 3 

Xét hàm 

2 2 2 2 

2 2 2 

 

f r r R r 


2 

có 

 

 

r 0 r R 

 

 

 

 

ta có 

2 2 3 2 2 

2 2 2 r 

2r R r r r 2R 3r 

f ' r 2 r R r r . 

R r R r R r R r R r 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 

 

 

 

 

16

R 2 

f ' r 0 r do 0 r R 

3 

: 


r 0 

f 'r 

+ 0 - 

R 

3 

2 

R 

f r 

f max 

Do đó thể tích V đạt GTLN tại 

Vậy 

S 

S 

Chọn D. 

Câu 32: 

 

: R 

3 3 3 

2 

' R 2 2 2 6 


+) Tính đạo hàm y ' 

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng K thì y ' 0; x K 

2 

R 2 

R 2 R 2 

r . Khi đó S ' Sxq 

rl . . R 

 

3 

3 3 

; 

+) Cô lập m đưa về dạng g x m x K từ đó suy ra m. 


ĐK: x 1 

Ta có 

 

 

 

y ' 

 

 

 

2 

x 1 

2 

2 1 2 . 1 1 2 6 

m x m x m x mx m 

 

2 

x 

1 

2 

m 1 x 2m 1 

x 4m 

2 

x 1 

2 2 

2 1 2 1 2 2 1 2 6 

m x m x mx m m x mx m 


2 

 

 

 

4; thì y ' 0; x 

4 

m 1 x 2 m 1 x 4m 0; x 

4 

2 

 

m 1 x 2x 4 m; x 

4 

m 1. 1 

+ Với m 1 0 m 1 0 4 (luôn đúng) nên nhận 

+ Với 


2 4m 

4m 

2 

m 1 0 m 1 x 2 x ; x 4 min x 2x 

m 1 m 1 

 

 

 

4; 

 

2 

 

 

Xét hàm số g x x 2x 

có g ' x 2x 2 0 x 1 4; , ta có BBT trên 4; là 

17

x 4 

g ' x 

+ 

g x 

8 

 

Từ BBT suy ra 

+ Với 

Từ BBT của 

4m 

8 4m 8m 8 m 

2 

m 

1 

m 1 2 

 

m 1 m 1 

m 1 

 

 

 

2 4m 

4m 

m 1 0 m 1 x 2 x ; x 4 max g x 

m 1 m 1 

 

4; 

 

g x 

suy ra không có m thỏa mãn. 

Từ (1) và (2) suy ra 1 mà 2019;2019 và m nguyên nên m 1;0;...;2019 

có 2021 số 

thỏa mãn. 

Chọn D. 

Câu 33: 


m m 

 

+) Rút z theo w, thay vào giả thiết z 1 2 

+) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn w a bi r là đường tròn tâm I a; 

b bán 

kính r 


w i 

i z i z 

1 i 8 

Ta có w 1 8 


w i 

z 1 2 1 2 

1 

i 8 

w i 1 

i 8 

2 w 1 1 i 8 i 

2 1 

i 8 

1 

i 8 

 

 

2 

i i 

2 

w 1 1 8 2 1 8 6 

 

 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 

Chọn C. 

Câu 34: 


Cô lập m đưa bất phương trình về dạng 

 

 

m f x; 

x 

Ta tính rồi lập BBT của f x và kết luận. 


f ' x 

 

 

 

 


I 1;1 8 , bán kính r 6 

suy ra m max f x 

 

18

Ta có 

4 4 4x 

4 

mx 4x m 0 m x 1 4x m f x Do x 1 0x 

4 

x 1 

 

m max f x 

Xét hàm 

Ta có 

Từ đó 

 

f 

Ta có BBT: 

x 

4 

4x 

x 1 

trên 

 

 

 

2 2 

1 

3x 

1 

3x 

 

4 3 4 

x 1 x.4x 3x 

1 

f ' x 

4 4. 4. 

x 1 x 1 x 1 

1 

 

x 

4 

3 

f ' x 

0 

1 

 

x 

4 

3 

Từ BBT suy ra 

Tổng 

Chọn A. 

Câu 35: 

4 

2 

4 

2 

4 

2 

1 

x 

4 

3 

f ' x 

- + - 

f 

x 

0 

 

4 

3 

3 

3 

m 2, 27 mà m nguyên và m50;50 m3;4;...;50 

4 

3 

3 50 .48 

S 3 4 ... 50 1272 

2 


- Đặt t log cos x và tìm điều kiện của t . 

 

- Thay vào phương trình đã cho đưa về phương trình ẩn t . 

 

- Biến đổi điều kiện bài toán về điều kiện của phương trình vừa có được và tìm m . 


 

Điều kiện: cos x 0 x k 

,k 

2 

Ta có: 

2 2 2 

log cos x mlog cos x m 4 0 

 

2 2 

log cos x 2mlog cos x m 4 0 

Đặt t log cos x . Do 0 cos x 1 

nên log cos 0 hay t ;0 

 

 

4 

4 

1 

3 

3 

3 

x 

với 

 

0 

x 

 


19

2 2 

Phương trình trở thành t 2mt m 4 0 * 

có 

 

2 2 2 

' m m 4 2m 

4 

Phương trình đã cho vô nghiệm nếu và chỉ nếu phương trình (*) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm (không nhất 

thiết phân biệt) t1, 

t2 

thỏa mãn 0 t1 t2 

TH1: (*) vô nghiệm 

 

2 

' 2m 

4 0 2 m 2 

TH2: (*) có hai nghiệm thỏa mãn 0 t1 t2 

m 

2 

 

2 

' 0 2m 

4 0 

m 2 

 

 

 

t1 t2 

0 2m 0 m 0 2 m 2 

2 

t1t 

2 

0 

m 4 0 

 

2 m 2 

 

 

Kết hợp hai trường hợp ta được m 

2;2 

Chọn C. 

Câu 36: 


+) Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức ở đề bài, từ đó ta tìm được f x . (sử dụng phương pháp đưa 

vào trong vi phân f ' x dx d f x 

 

xi 

a; 

b 

+) Khi đó max f 

 

x max f a; f xi 

; 

f b 

 

 

+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên a; 

b . Ta giải phương trình f ' x 0 tìm các nghiệm 


Ta có 

 

 

a; b 

 

 

 

3 

f x 

2 2 2 

2 

f x . f ' x 3x 4x 2 f x . f ' x dx 3x 4x 2 dx 

 

 

 

 

2 3 2 3 2 

f x d f x x 2x 2x C x 2x 2x C 

3 

3 3 2 

f x 3x 6x 6x 3C 

Ta có: 

3 3 2 

f 0 11 3C f x 3x 6x 6x 

1 

 

3 3 2 

f x 3x 6x 6x 

1 

Xét hàm 

Ta có 


3 3 2 

f x 3x 6x 6x 

1 

trên 2;1 

1 

f ' x 9x 12x 6 3x 6x 6x 

1 

3 

2 3 2 

3 

2 

 

20

2 3 2 

3x 4x 2 

3 3x 6x 6x 

1 

 

4 4 2 

 

3 9 9 

2 3 2 

2 

3 x x 

3 

3x 6x 6x 

1 

2 

 

2 2 

3 2 

2 

3 

3 

 

x 3x 6x 6x 

1 

 

3 9 

Nhận thấy f ' x 

0x 

Hàm số đồng biến trên 2;1 

max f x f 1 16 

Suy ra 

 

 

3 

Chọn C. 

Câu 37: 

2;1 


- Dựng mặt phẳng chứa SO và song song với AB . 

2 

 

- Sử dụng lý thuyết: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này 

đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng kia. 

- Đưa bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và kết luận. 


Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC thì AB / / EF AB / / SEF 

 

Mà 

 

SO SEF d AB,S O d AB, SEF d A, 

SEF 

Dựng AH SE 

Ta thấy: FE / / AB, AB SAD FE SAD 

FE AH 

Mà 

AH SE nên AH SEF d A, 

SEF AH 

ABCD là hình vuông cạnh a nên BD a 2 

Dễ dàng chứng minh được SAB SAD ( c. g. c) 

SB SD 

Tam giác SBD cân có 

Tam giác SAD vuông tại A có 

Tam giác SAE vuông tại A có 

a 

a. 

SA. AE 5 

Do đó 

2 a a 

AH SE 

a 5 5 

5 

2 

Chọn D. 

Câu 38: 


 

+ Tìm điểm I thỏa mãn 3IA 

2IB 

0 

 

SBD 60 

0 nên đều SD BD a 2 

2 2 2 2 

SA SD AD 2a a a 

 

a a a 

SA a, 

AE AD SE SA AE a 

2 2 4 2 

2 

1 2 2 2 5 


+ Đưa biểu thức cần tìm về MI từ đó lập luận để có M là hình chiếu của I trên mặt phẳng P 

+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và nhận n 

P 

làm VTCP. 

21

+ Điểm M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng P 


 

Gọi I x; y; 

z 

là điểm thỏa mãn 3IA 2IB 0 3IA 2IB 

 

 

IA 1 x; y;2 z ; IB 3 x;1 y; 1 

z 

Ta có 

 

 

3 3x 6 2x x 

3 

 

 

 

 

6 3z 2 2z 

z 

8 

Khi đó 3IA 2IB 3y 2 2y y 2 I 3; 2;8 

Ta có: 

 

3MA 2MB 3MI IA 2MI IB MI 3IA 2IB 

MI (vì 3IA 

2IB 

0 ) 

 

Khi đó 3MA 2MB MI MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng 

I 

 

Phương trình đường thẳng d qua 3; 2;8 và vuông góc với P là 

Suy ra 

 

M d P 

 

nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 

 

x 

3 

t 

 

d : y 2 t 

 

z 

8 t 

2 

 

t 

3 

x 3 t x 3 t 

 

11 

x 

y 2 t 

y 2 t 

3 11 8 22 

M ; ; 

z 8 t z 8 t 

8 

 

3 3 3 

y 

 

 

x y z 1 0 

3 t 2 t 8 t 0 3 

 

22 

z 

 

3 

Từ đó 

Chọn B. 

Câu 39: 

11 8 22 

a ; b ; c S 9a 3b 6c 

338 44 3 

3 3 3 


Sử dụng quy tắc vách ngăn. 



Xếp 2 học sinh lớp A có 2! cách xếp, khi đó tạo ra 3 khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn 

lớp A. 

Xếp bạn lớp B thứ nhất vào 1 trong 2 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 2 cách, khi đó tạo ra 4 

khoảng trống trong đó có 1 khoảng trống giữa 2 bạn lớp A. 

Xếp bạn lớp B thứ 2 vào 1 trong 3 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 3 cách, khi đó tạo ra 5 


Xếp bạn lớp B thứ 3 vào 1 trong 4 khoảng trống không ở giữa 2 bạn lớp A có 4 cách, khi đó tạo ra 6 


Xếp bạn lớp C thứ nhất vào 1 trong 6 khoảng trống (kể cả khoảng trống giữa 2 bạn lớp A) có 6 cách, khi 

đó tạo ra 7 khoảng trống. 

P 

 

22

Cứ như vậy ta có : 

Xếp bạn lớp C thứ hai có 7 cách. 

Xếp bạn lớp C thứ ba có 8 cách. 

Xếp bạn lớp C thứ tư có 9 cách. 

Vậy số cách xếp 9 học sinh trên thỏa mãn yêu cầu là 

Chọn C. 

Câu 40: 


Sử dụng đạo hàm 

2 

f x . f ' x ' f ' x f x. f '' x 

 

- Lấy nguyên hàm hai vế liên tiếp 2 lần tìm f x và kết luận. 


Ta có 

Nên 

2!.2.3.4.6.7.8.9 145152 

2 

f x . f ' x ' f ' x. f ' x f x. f ' x' f ' x f x. f '' x 

 

2 4 4 

f ' x f x . f '' x 15x 12 x f x . f ' x ' 15x 12x 

Lấy nguyên hàm hai vế ta có: 

 

 

Thay 

 

4 5 2 

f x . f ' x 'dx 15x 12 x dx f ' x . f x 3x 6x C 

5 2 

x 0 vào ta được f ' 0 . f 0 C C 1 f x. f ' x 3x 6x 

1 

5 2 

Lấy nguyên hàm hai vế ta được . ' dx 3 6 1 

2 

6 6 

x 

f x 

3 

 

x 3 

 

2 2 

 

 

 

2 6 3 

1 

f x f x x x dx 

f x d f x x x C x x C 

2 2 2 

f x x 4x 2x 2C 

Lại có 

Suy ra 

Chọn B. 

Câu 41: 

1 

1 1 

2 6 3 

f 0 1 2C 1 f x x 4x 2x 

1 

f 2 

1 8 


- Rút y từ phương trình đầu, thay vào bất phương trình sau tìm điều kiện của x . 

- Thay y ở trên vào biểu thức P đưa về biến x . 

- Sử dụng phương pháp hàm số đánh giá P tìm GTLN, GTNN. 


Ta có: 

2 

x 

xy 

 

 

3 0 1 

 

2x 

3y 

14 0 2 

2 

x 3 

Do x, y 0 nên 1 

y thay vào (2) ta được: 

x 

2 2 2 

x x x x 

2 

2 3. 14 0 0 5 14 9 0 1 

3 2 3 9 14 9 

x x x x 

x 

x 

5 

 

cách. 


23

Thay 

2 

x 3 

y vào P ta được: 

x 

2 2 

2 

2 2 3 2 x 3 x 3 3 

P 3x y xy 2x 2x 3 x . x. 2x 2x 

x x 

 

 

 

2 

2 

x 3 

2 3 

3x x 3 2x 2x 

x 

 

 

2 2 4 2 4 2 

3x x 3 x 6x 9 2x 2x 2 

5x 

9 9 

5x 

 

x x x 

9 

P ' 5 0 với mọi x nên hàm số P P đồng biến trên 

2 

x 

x 

Vậy 

9 

Pmax 

P 

4, Pmin 

P1 

4 

5 

Tổng Pmax Pmin 4 4 0 . 

Chọn B 

Câu 42: 


 

 

+ Biến đổi giả thiết để sử dụng nếu hàm đồng biến thì 

9 

 

1; 

5 

 

f t 

 

f x f y x y 

+ Biến đổi đưa P về hàm số chứa 1 biến x hoặc y rồi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thu được. 


1 

y 

x 3xy 

ĐK: 0 y 1 x; y 0 

Ta có 

1 

y 

log3 

3xy x 3y 

4 

x 3xy 

y x xy x xy y 

x 

3xy 

 

 

log 1 log 3 3 3 1 1 

3 3 

 

log3 1 y 3 1 y log3 

x 3 xy * 

3 

1 

Xét hàm số f t log3 

t 3t t 

0 

có f ' t 

3 0; t 0 nên hàm số đồng biến trên 

t ln 3 

Kết hợp (*) suy ra 

x 3xy x 3xy 

f 1 y f 1 

y 

3 3 

x 3xy 3 3y x 3xy 3y 

3 0(**) 

Xét 

P x y x P y 

thay vào (**) ta được 

 

2 

P y 3 P y y 3y 3 0 P(3y 1) 3y 2y 

3 

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của 

Ta có 

g ' 

y 

 

 

g y 

 

2 

3y 

2y 

3 

3y 

1 

 

0; 


trên 

 

0;1 

2 

6y 2 3y 1 3 3y 2y 3 

2 

9y 6y 

11 

3y 

1 3y 

1 

 

2 2 

 

24

1 

2 3 

y 0;1 

3 

Giải phương trình g ' y 

0 

1 

2 3 

y 0;1 

3 

Lại có 

1 

2 3 

g ' y 

0y 

 

0; 

3 

 

và 

 

 

1 

2 3 

g ' y 

0 y 

 

;1 

3 

 

1 

2 3 

Hay g ' y 

đổi dấu từ âm sang dương tại y nên 

3 

1 2 3 4 3 4 4 3 4 

min g y 

g Pmin 

0;1 

 

 

3 

3 3 

Chọn A. 

Câu 43: 


- Tính bán kính khối cầu. 

- Tính bán kính đáy hình nón và suy ra thể tích. 

- Tính thể tích phần nước còn lại. 


1 1 4 3 

Gọi bán kính khối cầu là R ta có: 18 Vc 

. R R 3dm 

2 2 3 

Khi đó chiều cao hình nón h OS 2R 6dm 

Xét tam giác OES vuông tại O, đường cao OA nên 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 

2 

OE 12 OE 2 3dm 

2 2 2 2 2 2 2 2 

OA SO OE OE OA SO 3 6 12 

1 1 

Vn 

OE . OS 2 3 .6 24 

dm 

3 3 

Thể tích khối nón: 2 

Thể tích nước còn lại là: V 

Chọn B. 

Câu 44: 


2 3 

24 18 6 

dm 

+) Xác định thiết diện thu được là Parabol 

+) Tính diện tích parabol có chiều cao h và bán kính R là 

+) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của S. 

3 


S 

a b c d 

4 

+) Cho 4 số a; b; c; 

d không âm thì abcd . Dấu = xảy 

4 

ra khi a b c d . 

4 

3 

Rh 


Khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một 

parabol. 

25

Giả sử thiết diện như hình vẽ. 

Khi đó ta luôn có AB MH 

Kẻ HE / /SA trong mặt phẳng SAB 

Khi đó SA / / HME 

 

Đặt 

 

BH x 0 x 24 

 

, ta có 

Xét tam giác AMB vuông tại M có 

tam giác vuông). 

Xét tam giác SAB có 

Thiết diện parabol có chiều cao HE 

 

2 2 2 2 

SA SO OA 16 12 20cm 

 

2 

MH AH. BH x 24 x MH x 24 x 

BH HE x.20 5 

HE / / SA HE x 

AB SA 24 6 

5 

x và bán kính r MH x24 

x 

6 

4 4 5 10 

3 3 6 9 

Diện tích thiết diện là S HE. MH . x x 24 x x. x. x 24 

x 

72 3 

4 2 

10 

Cosi 10 x x x x 

x. x. x 72 3 x 

. 

207,8cm 

9 3 9 3 4 

Dấu = xảy ra khi x 72 3x x 18tm 

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là S 207,8cm 

Chọn D. 

Câu 45: 


- Xác định các đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng AB và B 'C, BC và AB '. 

- Dựa vào giải thiết khoảng cách nhận xét tính chất của hai đáy ABCD và A 'B 'C 'D '. 

- Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của AC và BD '. 

- Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật và suy ra thể tích. 


Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A 

 

Dễ thấy AB BCC ' B ' nên AB BE 

Lại có BE 

 

2a 

5 

B ' C NÊN d AB, B ' C 

BE 

5 

Tương tự có d BC, AB ' 

2a 

5 

BF 

5 

Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: 1 

1 

2 2 

BE BF 

1 1 1 1 

BC BA hay ABCD là hình vuông 

2 2 2 2 

B ' B BC B ' B BA 

Suy ra BD AC . Lại có AC DD ' nên 

AC BDD ' 

Gọi M AC BD, 

O là tâm hình hộp và H là hình chiếu của M lên BD ' 

2 


(hệ thức lượng trong 

26

Khi đó AC MH và MH BD ' nên 

Đặt 

BA BC x, BB ' y 

d AC, BD ' 

ta có: 

MH 

 

a 

3 

3 

Tam giác BB 'C vuông nên 

1 1 1 

5 1 

2 2 2 2 

x y 2a 

5 4a 

 

5 

 

Tam giác BMO vuông nên 1 1 1 1 

3 . 

2 2 2 2 2 

MB MO MH a 3 a 

 

3 

Mà 

1 x 2 1 y 

MB BD , MO DD ' nên 

1 1 3 2 4 

3 2 2 2 2 2 2 

2 

2 2 2 2 x 2 y a x y a 

 

2 2 

 

 

1 1 5 1 1 

 

2 2 2 

 

2 2 

x y 4a x a x 

a 

Từ (1) và (2) ta có: 

2 4 3 1 1 

 

y 2a 

 

2 2 2 

2 2 

 

x y a y 4a 

Vậy thể tích khối hộp V BA. BC. BB ' a.a.2a 2a 

Chọn D. 

Câu 46: 


Nhận xét rằng: Hàm số 

 

3 2 

y f x x m x mx 

2 1 3 5 

 

 

3 2 

y x 2m 1 x 3m x 5 

3 

có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số 

có hai điểm cực trị trong đó chỉ có duy nhất một cực trị dương. 

Từ đó xét trường hợp có hai cực trị trong đó có 1 cực trị bằng 0,1 cực trị dương và trường hợp có hai cực 

trị trái dấu. 



 

 

3 2 

cực trị khi và chỉ khi hàm số 

duy nhất một cực trị dương. 

y x 2m 1 x 3m x 5 

2 

Ta có 

f ' x 3x 2 2m 1 x 3m 

 

 

3 2 

y f x x m x mx 

nhận trục tung làm trục đối xứng nên hàm số có ba điểm 

2 1 3 5 

TH1: Hàm số y f x có 1 cực trị x 0 và 1 cực trị x 0 . Khi đó: 

x 

0 

2 

f ' 0 

0 3m 0 m 0 f ' x 

3x 2x 

0 

 

2 

x TM 

3 

 

có hai điểm cực trị trong đó chỉ có 

 

. Vậy nhận giá trị 

m 0 

TH2: Hàm số y f x có hai cực trị trái dấu f ' x 0 có hai nghiệm trái dấu 3 m.3 0 m 0 

Vậy với 

Chọn A. 

Câu 47: 

m 0 


thì thỏa mãn yêu cầu nên có vô số giá trị nguyên thỏa mãn đề bài. 

 

27


- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm nghiệm. 

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm y f x , y g x và các đường thẳng x a, 

x b 

b 

 

là 

S f x g x dx 

a 


C 

 

Phương trình hoành độ giao điểm của và P là 

 

3 2 

x a m x b n x c p 

0(*) 

 

 

3 2 2 

x ax bx c mx nx p 

Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 1 và cắt nhau tại điểm 

có hoành độ x 1 

nên phương trình (*) có nghiệm x 1 

(bội 2) và x 1 

(nghiệm đơn). 

2 

Viết lại (*) ta được x x 

1 1 0 

1 1 

 

2 2 

Vậy S x 1 x 1 dx x 1 x 1dx 

1;2 

 

Chọn B. 

Câu 48: 


1 1 

 

S 

P 

, 

Sử dụng mặt cầu có tâm I bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng thì 

Từ đó sử dụng thêm dữ kiện 


IA R 

4 

3 

để tìm được bán kính của mặt cầu 

d I P R 

I a b c 

 

, , , 

 

Gọi tâm mặt cầu là ; ; . Vì mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng P ; Q ; R nên ta có 

d I P d I Q d I R R 

Hay a 1 b 1 c 1 

R 

Vì mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt phẳng nên ta có điều kiện 

Suy ra a 1 1 b c 1 a b c I a; a; 

a 

Mà 

 

 

A S nên IA R a 1 

a 

1 

 

b 

1 

c 

1 

2 2 2 2 2 2 2 

Ta có 2 a 2 a 5 a a 1 2 a 2 a 5 a a 

1 

 

2 

2a 16a 32 0 a 4 R 3 

Chọn A. 

Câu 49: 



- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn z 5 3i 

5 

- Gọi M 1 , M 2 là các điểm biểu diễn số phức z , z suy ra điều 

1 2 

kiện của M 1 M 2 và tập hợp điểm biểu diễn số phức w. 

28


Tập hợp điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn z 5 3i 

5 là đường tròn tâm I 5;3 bán kính 

R 5 

 

 

Gọi M1 x1; y1 , M 

2 

x2; 

y2 

là hai điểm biểu diễn các số phức z1, 

z2 

thì từ z1 z2 8 ta suy ra M1M 2 

8 

 

 

Gọi N x; 

y là điểm biểu diễn số phức w z1 z2 

thì 

Gọi M là trung điểm 

Ta có: 

1 2 1 2 

M1M 2 

thì 

x x ; 

y 

M 

y 

 

 

2 2 

2 2 2 2 

IM IM1 M1M 

5 4 3 hay 

x x1 x2 

 

y y y 

1 2 

2 2 

x1 x2 y1 y2 

 

5 3 

3 

2 2 

2 2 

2 

x1 x2 y1 y2 

2 2 2 2 

x1 x2 y1 y2 

x y 

5 3 9 10 6 36 10 6 36 

2 2 

 

2 2 

Vậy tập hợp các điểm N thỏa mãn bài toán là đường tròn x 10 y 6 36. . 

Chọn A. 

Câu 50: 


 

+ Từ đồ thị của hàm y f x ta suy ra các điểm mà tại đó f x 0 (các giao điểm với trục hoành) và 

f x 

 

các điểm là cho ' 0 (chính là các điểm cực trị của hàm số y f x ) 

+ Sử dụng đạo hàm hàm hợp u x 2 

2 u x. u ' x 

+ Lập bảng xét dấu của hàm y f x 2 

+ Từ đó xác định các điểm cực đại và điểm cực tiểu 

- Nếu ' đổi dấu từ âm sang dương tại thì x là điểm cực tiểu của hàm số 

y x0 

0 

- Nếu ' đổi dấu từ dương sang âm tại thì x là điểm cực đại của hàm số 


y x0 

0 

Từ đồ thị hàm số 

x 

0 

f x 

0 

 

 

x 1 

 

x 3 

 

Lại thấy đồ thị hàm số 

Hàm số 

2 

f x ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x 0; x 1; x 3 


x 

1 

 

có ba điểm cực trị nên f ' x 0 x x1 

0;1 

 

x 

x2 

1;3 

 

y f x 

y f x có đạo hàm y ' 2 f x. f ' x 

29

Xét phương trình 

Ta có BXD của y ' như sau 

x 

0 

 

x 1 

f x 

0 

y ' 0 x 

3 

f ' x 

0 

x 

x 

 

x 

x 

1 

2 

x 0 x1 

1 x2 

3 

f x 

+ 0 - - 0 - - 0 + 

f ' x 

- - 0 + 0 - 0 + + 

 

 

y ' 2 f x . f ' x - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 

2 

Nhận thấy hàm số y f x có y ' đổi dấu từ âm sang dương tại ba điểm x 0; x 1; x 3 nên hàm số 

có ba điểm cực tiểu. Và ' đổi dấu từ dương sang âm tại hai điểm x x ; x x nên hàm số có hai điểm 

cực đại. 

Chọn D. 

y 

1 2 


30





MA TRẬN ĐỀ 

CHỦ ĐỀ 

Nhận Biết 

CẤP ĐỘ NHẬN THỨC 

Thông Hiểu 

1. Hàm số và các bài toán liên quan 1, 8, 13 16, 22 

Vận 

Dụng 

31, 35, 

40 

Vận Dụng 

Cao 

Tổng 

45 9 

2. Lũy Thừa – Mũ - Logarit 3, 9, 12 21, 27 30, 36 44 8 

3. Nguyên Hàm – Tích phân 4, 10 15, 23 37 49 6 

4. Số Phức 6 26 35, 41 46 5 

5. Hình – Khối Đa Diện 5 28 43(1/2) 2,5 

6. Hình – Khối Tròn Xoay 2 25 29 43(1/2) 3,5 

7. Hình Học Không Gian Oxyz 7, 11 17, 24 34, 42 50 7 

8. Lượng Giác 20 1 

9. Tổ Hợp – Xác Suất – Nhị Thức Newton 18, 39 47 48 4 

10. Giới Hạn – Tính Liên Tục Của HSố 32 1 

11. Quan Hệ Vuông Góc – Song Song 19 38 2 

12. Cấp Số Cộng – Cấp Số Nhân 14 1 


Tổng 

y f x 


13 15 14 8 50 

26% 30% 28% 16% 100% 

ĐỀ SỐ 6 

như hình bên. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị 

hàm số 

y f x 

là 

A. 0. B. 1. 

C. 2. D. 3. 

Câu 2. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh bằng 4 cm. Diện tích toàn phần 

là 

2 

2 

2 

A. S 12 cm . B. S 24 cm . C. S 16 cm . D. 

tp 


tp 

x 

tp 

 

f ' x 

+ 

f 

x 

3 

Stp 

 

S tp 

2 

32 cm . 

 

 

3 

của trụ 

1

Câu 3. Biết một trong bốn hàm số được kể ra ở các phương án 

A, B, C, D có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đó là hàm số nào? 

Câu 4. Biết 

x 

A. y e . B. y e x . 

C. y log x. 

D. 

 

 

2 

 

y log x. 

 

4 

f x dx F x C . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng? 

F x f x 

A. f ' x F x . B. f ' x F x C. 

C. F ' x f x C. 

D. 

' . 

Câu 5. Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên bằng b . Khi đó thể tích V của khối 

lăng trụ đó là 

2 

2 

2 

2 

a b 3 a b 3 a b 

ab 3 

A. V . B. V . 

C. V . D. V . 

4 

12 

2 

4 

Câu 6. Cho số phức z a bi với a, 

b . Nếu z là số thuần ảo thì đâu là khẳng định đúng? 

A. a 0. 

B. a 0 và b 0. C. b 0. 

D. b 0 và a 0. 

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm 

điểm M ' . Khi đó tọa độ điểm M ' là 

 

M 1;3; 4 

 

. Hình chiếu vuông góc của M trên trục Oz là 

M M 

M M 

 

A. ' 1;0;0 . B. ' 0;3;0 . 

C. ' 0;0; 4 . D. 

Câu 8. Đường cong trong hình bên là đồ thị 

của một hàm số được liệt kê ở bốn phương 

án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là 

hàm số nào? 

A. y x 3 . B. 

C. y x. D. 

Câu 9. Đạo hàm của hàm số 

y x 4 . 

2 

y x 3 . 

cos 

y 2 x 

cos x 

A. y ' cos x.2 . 

B. y 

cos x 

C. y ' sin x.2 .ln 2. 

D. y 

là 

cos x 

' sin x.2 . 

cos x 

' sin x.2 .ln 2. 

f x 

 

' 1;3;0 . 

Câu 10. Cho xác định và liên tục trên , biết f 1 2; f 3 4. Tính tích phân 

 

1 

2 

 

 

I 2 f ' x x dx. 

 

A. I = 0. B. I = 1. C. I = -2. D I = 2. 

: 2 2 11 0 

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x y z và điểm M 0;0;1 . Tính 

khoảng cách h từ điểm M đến mặt phẳng . 

 

 

 

A. h = 1. B. h = 2. C. h = 3. D. h = 4. 

Câu 12. Cho a, 

b là các số thực dương thỏa mãn log2 a log2 

b 0. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. a b 2. B. a b 1. 

C. ab 1. 

D. ab 2. 

Câu 13. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m nhỏ hơn 100 để đồ thị hàm số 

đứng nằm bên phải trục tung Oy? 


2x 

4 

y 

x m 

có đường tiệm cận 

2

A. 99. B. 100. C. 98. D. 97. 

 

 

Câu 14. Cho dãy số thỏa mãn u 3 với n 

2 và u2 6. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của 

dãy số 

 

u n 

 

bằng bao nhiêu? 

un 

n 

un 

1 

A. 177146. B. 19682. C. 59048. D. 155. 

1 dx 

Câu 15. Cho tích phân I . Biết kết quả I a b với . Khi đó 

0 

1 

3x 

1 

ln 2 c ln 3 a, b, 

c 

a b c 

bằng bao nhiêu 

2 2 

A. . 

B. . 

C. 2. D. 2. 

3 

3 

Câu 16. Hàm số 

2 

1 

f x x x 

 

 

có tập giá trị là 

A. 1;1 . B. 0;1 . C. 1; 2 

 

. D. 

Câu 17. Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 

tam giác ABC bằng bao nhiêu? 

0;1; 1 , 1;2;1 , 2;0;3 

A B C 

101 

A. 101. B. 61. 

C. . 

D. 

2 

1; 2 

 

 

 

. 

. Khi đó diện tích 

Câu 18. Trong các số từ 100 đến 999 có bao nhiêu số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần? 

A. 1224. B. 204. C. 240. D. 168. 

Câu 19. Cho lăng trụ đều ABC. A' B ' C ' có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2 a . Tính cosin của góc tạo 

bởi hai đường thẳng AC và BC '. 

5 3 5 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

10 

5 

5 

Câu 20. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

61 . 

2 

3 . 

10 

4 3 

tan x cot x trên đoạn 0; . 

3 

A. . 

B. 3 

C. . 

. 

D. 

2 . 

2 

2 

3 

3 

Câu 21. Gọi D là tập xác định của hàm số 

 

y x x 

2 

log 

x 

2 8 

D 

D 

A. 0;2 . 

B. 

C. 4;2 \ 1 . 

D. 

 

. Khi đó tập D là 

1;2 . 

D 

D 

Câu 22. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 

một điểm cực trị? 

0;2 \ 1 . 

 

 

y m 2 x 4 m m 5 x 2 m 1 

chỉ có đúng 

A. 4. B. 5. C. 6. D. vô số. 

1 

Câu 23. Nếu F x 

là một nguyên hàm của hàm số y và đồ thị y F đi qua điểm 

2 

x 

sin x 

M 

 

 

;0 

 

 

6 

thì 

F x 


là 

3 

A. F x 

cot x . 

B. 

3 

F x 

 

3 

cot x . 

3 

3

3 cot . 

F x 3 cot x. 

C. F x 

x 

D. 

Câu 24. Trong không gian với trục tạo độ Oxyz, cho 

2 2 2 

x y z x y z 

2 4 6 2 0 

S S 

S 

 

là phương trình 

mặt cầu . Mặt cầu ' đồng tâm với mặt cầu (có tâm trùng với tâm mặt cầu S ) và đi qua 

M 

 

điểm 1;3; 1 . Khi đó, bán kính R của mặt cầu S ' bằng bao nhiêu? 

A. R 3. B. R 41. 

C. R 4. 

D. R 3. 

Câu 25. Cho hình nón có chiều cao bằng 6 cm, góc giữa trục và đường sinh bằng 30 0 . Thể tích của khối 

nón là 

3 

3 

3 

A. 12 cm . B. 24 cm . 

C. 72 cm . D. 

Câu 26. Số phức z thỏa mãn 

mặt phẳng phức Oxy? 

 

3 

216 cm . 

iz 3z 3 7i 

. Khi đó điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức z trong 

M 

N 

P 

 

A. 2; 3 . B. 2;3 . 

C. 2; 3 . D. Q 2;3 . 

Câu 27. Cho là số thực dương khác 1. Xét hai số thực x , x . Phát biểu nào sau đây đúng? 

a 

1 2 

A. Nếu x 1 x2 

a a thì x x . 

x1 x2 

1 2 

B. Nếu a a thì x x . 1 2 

C. Nếu x 1 x2 

x1 x2 

a a thì a 1 x x 0. D. Nếu a a thì 

 

1 2 

Câu 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 

a x x 

1 0. 

1 2 

a . Tam giác SAB cân tại S và nằm 

3 

a 3 

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD 

. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng . 

6 

Độ dài cạnh bên SA bằng bao nhiêu? 

a 

a 3 

A. SA a. B. SA . 

C. SA . 

D. SA a 3. 

2 

2 

Câu 29. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 1, thiết diện qua trục là hình vuông. Thể tích của khối cầu 

ngoại tiếp hình trụ là 

4 2 8 

2 

A. 6 3. B. 3 

3. 

C. . 

D. . 

3 

3 

Câu 30. Cho x, 

y là các số thực thỏa mãn x y 0 và 2log x y log x log y 2. Khi đó tỉ số 


 

2 2 2 

A. 2. B. 3 2 2. 

C. 3 2 2. D. 2. 

 

Câu 31. Cho hàm số y x 4 2 m 1 x 2 m 2 m 2 có đồ thị C . Gọi A, B, 

C là ba điểm cực trị của 

 

 

và m m là giá trị thỏa mãn A, B, 

C đều thuộc các trục tọa độ, khi đó m0 

gần giá trị nào nhất trong 

C 

0 

các giá trị sau? 

A. -1. B. -3. C. 4. D. 5. 

x a 1 

khi x 2 

Câu 32. Cho a, 

b là các số thực và hàm số f 

2 

x x 4 

liên tục tại x 2 . Tính giá trị 

 

2x b khi x 2 

của biểu thức T a b . 


x 

y 

4

A. T 31 . B. T 5. 

C. T 3. 

D. 

8 

Câu 33. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z. z z 2 và z 2 ? 

T 

39 . 

8 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 

P : 2x 2y z n 0 


x 1 y 1 z 3 

: . Biết đường thẳng nằm trong mặt phẳng P 

. Tổng m n gần giá trị nào sau 

2 1 2m 

1 

đây nhất? 

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 

Câu 35. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 10 để đồ thị hàm số 

y 

4x 

1 

mx 2 4x 1 x 2 2m 

1 

có đúng một đường tiệm cận? 

A. 5. B. 6. C. 7. D. vô số. 

a b c 

Câu 36. Cho a, b, 

c là các số thực thoaar mãn 2 3 6 . Giá trị của biểu thức T ab bc ca bằng 

bao nhiêu 

A. T = 3. B. T = 2. C. T = 1. D. T = 0. 

Câu 37. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi 

đường cong 

2 2 

y x 2mx m 1, trục hoành, trục tung 

và đường thẳng x = 2. Biết 

m m 0 

phẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị 

nhất trong các giá trị sau? 

A. 0. B. 1. 

C. 4. D. -3. 

thì diện tích hình 

m 0 

gần giá trị nào 

Câu 38. Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' cạnh a . Xét tứ diện AB ' CD '. Cắt tứ diện đó bằng mặt 

phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng 

thu được 

 

ABC 

2 

2 

2 

a 

2a 

a 

3a 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

3 

3 

2 

4 

 

. Tính diện tích của thiết diện 

Câu 39. Từ 4 bạn Tùng, Tuấn, Tiến, Tú cần chọn ra 3 bạn vào các chức vụ lớp trưởng, lớp phó học tập và 

bí thư lớp. Tính xác suất để sau khi chọn thì bạn Tùng không được phép làm lớp trưởng, chức lớp phó 

học tập phải là bạn Tiến hoặc bạn Tú. 

1 1 1 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

2 

3 

6 

a b c 1 

Câu 40. Cho các số thực a, b,c thỏa mãn . Số giao điểm của đồ thị hàm số 

a b c 1 

3 2 

y x ax bx c 


và trục hoành là 

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

1 . 

4 

2 

. 

5

Câu 41. Biết số phức z thỏa mãn 

đề đúng? 

 

2z 2 1 i z 2 z 2 i . Hỏi trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh 

A. 0 z 1. 

B. 1 z 2. 

C. 2 z 3. D. 3 z 4. 

 

Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 4;1;5 ,B 3;0;1 , C 1;2;0 

. Biết điểm M 

 

thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tổng S MA. MB MB. MC MC. 

MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó hoành độ 

của điểm M là 

A. 2. B. 1. C. -2. D. 1. 

Câu 43. Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều dài 

40cm và chiều rộng 10cm được cắt thành hai 

phần. Một phần được uốn thành hình hộp chữ 

nhật có hai đáy là hình vuông cạnh a , phần còn 

lại được uốn thành hình trụ có hai đáy là hình 

tròn bán kính r (không tính hai đáy của hình hộp 

chữ nhật và hình trụ) như hình vẽ sao cho tổng 

thể tích của khối hộp chữ nhật và khối trụ là nhỏ 

nhất. Khi đó tổng 

trong các giá trị sau? 

 

a r 

 

gần giá trị nào nhất 

A. 8,3cm. B. 8,4cm. C. 8,5cm. D. 8,6cm. 

Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình 

nghiệm đúng với mọi x 1;3 ? 

 

 

 

 

m x x 

2 

2x 

m x1 15 2 

2 2 8 3 2 

A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. 

 

 

Câu 45. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;3 và có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi có tất cả 

bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 

2;4 ? 

f 

x 1 

2 

x 

m 

6x 

12 



A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. 

Câu 46. Có bao nhiêu số nguyên dương m không vượt quá 2018 thỏa mãn 

7 i 

 

4 3i 

 

m 

là số thuần ảo? 

A. 504. B. 505. C. 2017. D. 2018. 

6

Câu 47. Cho số nguyên 3 . Khai triển x 1 x x 1 a a x a x ... 

a x . Biết rằng 

n 

2 n 2 n 

1 2 2 n 

0 1 2 2n 

tổng a0 a2 ... a2n2 a2n 

768 . Tính a5 

. 

A. a5 294. B. a5 126. 

C. a5 378. D. a5 84. 

Câu 48. Có một bình chứa 100 tấm thể đánh số từ 1 đến 100. Chọn ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi 

ghi trên tấm thẻ và x là chữ số tận cùng của số 2018 a . Tính xác suất để x là số chia hết cho 4. 

1 1 3 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

4 

8 

4 

1 . 

2 

a 

là số 

f x 

 

y f x 

1;3 

 

Câu 49. Cho không âm thỏa mãn điều kiện f x . f ' x 2x f 2 x 1 và f 0 0. Tổng giá trị 

lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là 

A. 22. B. 4 11 3. 

C. 20 2. D. 3 11 3. 

Câu 50. Cho hình lập phương . ' ' ' ' có 0;0;0 , 1;0;0 ,D 0;1;0 và A' 0;0;1 . Gọi 

P : ax by cz d 0 

ABCD A B C D A B 

CD BB ' D ' D 

là mặt phẳng chứa đường thẳng ' và tạo với mặt phẳng góc nhỏ 

nhất. Cho T a 2b 3c 4d 

. Tìm giá trị nguyên âm lớn nhất của T biết a là số nguyên. 

A. 1. 

B. 2. 

C. 6. 

D. 4. 

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 6 

1.C 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.A 9.D 10.A 

11.C 12.C 13.C 14.C 15.B 16.D 17.C 18.B 19.A 20.A 

21.D 22.B 23.D 24.D 25.B 26.D 27.C 28.A 29.D 30.C 

31.A 32.D 33.A 34.D 35.B 36.D 37.A 38.C 39.B 40.D 

41.B 42.A 43.B 44.B 45.B 46.B 47.B 48.D 49.D 50.D 

Câu 25. Chọn đáp án B 



6 2 

1 

r h.tan 30 Sday 

r 12 V Sday. h 24 

3 

3 

Câu 26. Chọn đáp án D 

z a bi i( a bi) 3(a bi) 3 7i a 2, b 3 

Câu 27. Chọn đáp án C 

a 

a 

x1 x2 

7

a 1 

x x 

1 2 

a 1 

x x 

1 2 

( a 1)( x x ) 0 

1 2 

Câu 28. Chọn đáp án A 

Gọi H là trung điểm AB 

SH AB SH (ABCD) 

3 

1 1 2 a 3 a 3 

ABCD. . 

V S SH a SH SH SA a 

3 3 6 2 


 

htru 2rtru 2 Rcau 

r 2 V 

4 3 


2 

2 h 

8 2 

2 

2log2 x y log2 x log2 

y 2 4 xy ( x y) x 3 

2 2 

y 


' 3 

y x m m 

4 4( 1) x 0 x 0, 1 

x m 1 y 1 m 0 m 1 


x a 1 x a 1 x a 1 1 

lim lim a 1 lim 4 b 

x2 2 

2 2 

2 

2 

x 4 x ( x 4)( x a 1) 

x 

x 4 8 

31 39 

b a b 

8 8 


z. z z 2 z 1 1 

z 2 z 2 



 

1 

u 

nP 

4 2 2m 1 0 m 

2 

A(1; 1;3) ( P) 7 n 0 n 7 

m n 

13 

2 


lim y 0 

x 

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=0 

8

Để đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận thì phương trình mẫu = 0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm duy nhất 

1 

x 

4 

4 m 10 

m 4,5,6,7,8,9 

m 

4 


Chọn a=1 b, c ab bc ca 0 


2 

2 2 2 14 

( 2 1) 2 4 1 

 

S x mx m dx m m m 

3 

0 


Thiết diện là hình thoi với đỉnh là các tâm của mặt bên 

2 

a 

S 

2 


Số cách chọn 3 bạn làm cán bộ : 

3 

A 

4 

24 

Có 2 cách chọn chức vụ lớp phó học tập : Tiến hoặc Tú 

Có 2 cách chọn chúc vụ lớp trưởng : trừ Tùng và 1 bạn lớp phó học tập 

Có 2 cách chọn chúc vụ bí thư lớp cho 2 bạn còn lại 

1 

n( A) 8 p 

3 


f ( 1) 0, f (1) 0 hàm số không đồng biến trên R đồ thị dạng chữ N đi lên ở cuối đồ thị 

3 giao điểm 



 

2a 2 z b 2 4 b( 2 2) 

 

a(2 2) b( 2 2) 4 a 

2b 2 a 2 z 

2 2 

2 4 b( 2 2) 2 4 b( 2 2) 

z b ( ) 2. 2 b 2 b a z 2 

2 2 2 2 


 

Gọi O là điểm thoải mãn OAOB . OB. OC OC. OA 0 O 

 

S MA. MB MB. MC MC. 

MA min OM min M là hình chiếu của O xuống (Oxy) 

 

x M 

2 

9


40 2 

r 

4a 2 

r 40 a 

4 

40 2 

r 

V a r r V r a a r 

4 

2 2 2 2 

10 10 10.( ) 10 min 2,75 5,68 8,4 


x 1 9 m 8 m 8, 9 

m 8 

thỏa mãn mọi x 1;3 

 

m 9 

không thỏa mãn mọi x 1;3 

 

m 8 



m 

7 i 

m 1 1 

m 

m m m 

(1 i) 2 ( i ) 2 .(cos i sin ) 

4 3i 

 

2 2 

4 4 

m m m m 

2 (cos i sin ) k 

m 2 4k m 0 504 

4 4 4 2 


 

2n 2n1 2 2n 

0 1 2 2n 

f ( x) x 1 x x 1 a a x a x ... 

a x 

3 

f f a a a a n 

2 

2n 

(1) ( 1) 2( 

0 2 

... 

2n2 2n) 2.768 .2 5 

10 9 

k k 10k k k 

10 9 5 

k 0 k 0 

f ( x) C . x .( 1) x C . x a 126 


x chia hết cho 4 a chia 4 dư 1 hoặc 2 (*) 

 


50 1 

1 100 có 50 số thỏa mãn (*) p 

100 2 


 

 

2 2 

f x 1 x c 

 

2 

f x 

 

' 

2 

2 f x . f ' x 

2 

f x. f ' x 2x f x 

1 2x f x 

1 2x 

2 1 

 

f c f x x f x f x 

2 2 

0 0 1 ( ) ( 1) 1 ( ) min 3, ( ) max 3 11 

10


 

BB ' D ' D : x y1 0 n (1;1;0) 

 

 

( P) : ax by cz d 0 

 

' 

( P) 

chứa CD a c n( P) ( a; b; a) 

a b 

cos 

 

2 2 

2. 2a 

b 

min cos 

max a 0,5b a c 0,5b d 3a a 2b 3c 4d 4a 

4 


11





MA TRẬN ĐỀ 

CHỦ ĐỀ 

Nhận Biết 

CẤP ĐỘ NHẬN THỨC 

Thông Hiểu 

Vận 

Dụng 

Vận 

Dụng 

Cao 

1. Hàm số và các bài toán liên quan 2, 5, 12 18, 22, 26 33,36 43, 48 10 

2. Lũy Thừa – Mũ - Logarit 4, 8, 15 17, 25, 27 31 41 8 

3. Nguyên Hàm – Tích phân 6, 13 20 37 44 5 

4. Số Phức 1 19 30, 34 46 5 

5. Hình – Khối Đa Diện 11 16 47 3 

6. Hình – Khối Tròn Xoay 9 24 39 3 

7. Hình Học Không Gian Oxyz 3, 10 23, 28 35, 40 42, 49 8 

8. Lượng Giác 21 1 

9. Tổ Hợp – Xác Suất – Nhị Thức Newton 14 38 45 3 

10. Cấp Số Cộng – Cấp Số Nhân 32 1 

11. Quan Hệ Vuông Góc – Song Song 7 29 2 

12. Phương Trình – Hệ Phương Trình 50 1 

Tổng 

Tổng 

15 13 12 10 50 

30% 26% 24% 20% 100% 

ĐỀ SỐ 3 

Câu 1. Cho số phức z a bi với a, 

b . Môđun của z tính bằng công thức nào sau đây? 

2 

A. z a b. B. z a b . 

C. z a b 

2 . D. 

Câu 2. Hàm số nào sau đây có bảng biến 

thiên như hình bên? 

3 2 

A. y x 3x 

2. 

B. 

C. 

D. 

3 2 

y x 3x 

2. 

3 2 

y x 3x 

2. 

3 2 

y x 3x 

2. 


Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu 

x 

 

0 2 

y ' + 0 

y 

 

S 

 

2 

z a b 

2 

 

2 . 

0 + 

2 

có bán kính R = 2 và tâm O có phương trình 

 

 

1

2 2 2 

2 2 2 

2 2 2 

A. x y z 2. B. x y z 2. C. x y z 4. D. 

Câu 4. Tập xác định D của hàm số y log 4 x 

x 

 

2 

 

là 

2 2 2 

x y z 8 

D D 

D 

 

A. 0;2 \ 1 . B. 0;2 . 

C. 0; . D. D 2;2 . 

x 1 

Câu 5. Hàm số y có đồ thị T 

là một trong bốn hình dưới đây 

2x 

Hỏi đồ thị 

 

T 

 

là hình nào 

A. Hình 1. B. Hình 2. C. Hình 3. D. Hình 4. 

Câu 6. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 

a b 

 

 

1 2 

 

y f x ; y f x 

trên ; ) và hai đường thẳng x a, 

x b a b . Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây? 

b 

b 

 

 

2 

 

 

A. S 

f1 x f2 x 

dx. 

B. S f x f x dx 

a 

 

a 

1 2 

. 

b 

b 

1 2 . 

 

a 

C. S f x f x dx 

D. S f x f x dx 

a 

1 2 

. 

(liên tục 

Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC. Mệnh 

đề nào dưới đây đúng? 

A. GE cắt CD. B. GE cắt AD. C. GE, CD chéo nhau. D. GE // CD. 

x 

Câu 8. Cho hai hàm số y a và y log a 

x với 0 a 1. Khẳng định nào sau đây sai? 

A. Hàm số y log a 

x có tập xác định 

D 

0; . 

x 

B. Hàm số y a và y log a 

x đồng biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi a>1. 

x 

C. Đồ thị hàm số y a nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang. 

D. Đồ thị hàm số y log a 

x nằm phía trên trục hoành. 

Câu 9. Một hình nón có bán kính đáy bằng 5a , độ dài đường sinh bằng 13a . Tính độ dài đường cao h 

của hình nón. 

A. h 12 a. 

B. h 8 a. 

C. h 194 a. 

D. h 7a 

6. 

 

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM 3i 2k 

với i, 

k lần lượt là vectơ đơn vị trên 

trục Ox, Oz. Tọa độ điểm M là 

M M 

M 

 

A. 3; 2;0 . B. 3;0; 2 . 

C. 0;3; 2 . D. M 3;0;2 . 

Câu 11. Một khối tứ diện đều cạnh 


a 

có thể tích bằng 

.3 

.3 

.3 

a 2 a 3 a 2 

A. . B. . 

C. . 

D. 

6 

12 

12 

.3 

a 3 . 

6 

2

Câu 12. Trong các phát biểu sau khi nói về hàm số 

A. Hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. 

B. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. 

C. Hàm số có một điểm cực trị. 

D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. 

1 4 2 

y x 2x 

1, phát biểu nào đúng? 

4 

 

 

Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên , có f 8 20; f 4 12. 


8 

4 

 

I f ' x dx. 

A. I = 4. B. I = 32. C. I = 8. D. I = 16. 

Câu 14. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Hỏi có thể tạo ra được bao nhiêu tam 

giác có ba đỉnh là 3 trong 6 điểm trên? 

A. 20. B. 120. C. 18. D. 9. 

Câu 15. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 

x 

2 9 m 

2 

có nghiệm? 

A. Vô số. B. 3. C. 7. D. 5. 

Câu 16. Cho hình chóp S.ABC, trên cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm 

A', B ', C ' 

sao cho 

SA 2 SA'; SB 3 SB ' và SC 4 SC '. Gọi V ' và V lần lượt là thể tích của khối chóp S. A' B ' C ' và S.ABC. 

Khi đó tỉ số 

V ' 

V 


1 1 1 1 

A. . 

B. . 

C. . 

D. . 

6 

12 

24 

9 

Câu 17. Nghiệm của phương trình 

 

1,5 

 

x 

2 

 

3 

x2 

là 

A. x = 0. B. x = 1. C. x = 2. D. x log2 

3. 

4 2 

Câu 18. Cho hàm số y x x 3 có đồ thị . Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị C tại 

điểm có hoành độ x = 1 là 

C 

 

A. -1. B. 2. C. -4. D. 6. 

Câu 19. Biết T 

 

4; 3 

đây biểu diễn số phức w z z 

 

là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ phức Oxy. Khi đó điểm nào sau 

M 

N 

P 

 

A. 1;3 . B. 1; 3 . 

C. 1;3 . D. Q 1; 3 . 

 

 

 

x 

Câu 20. Biết rằng 2x 1 e dx 4m 

3. Khi đó giá trị nào sau đây gần m nhất? (Biết m < 1) 

0 

m 


A. 0,5. B. 0,69. C. 0,73. D. 0,87. 

Câu 21. Phương trình 3sin 1 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng từ 0;3 ? 

x 

A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. 

7x 

6 

Câu 22. Gọi M, N là giao điểm của đồ thị y và đường thẳng y x 2 . Khi đó hoành độ trung 

x 2 

điểm của đoạn MN bằng 

7 11 11 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

2 

2 

2 

7 

. 

2 

3

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết M a; b;c 

(với a 0 ) là điểm thuộc đường thẳng 

x y 2 z 1 

: 1 1 2 

T a b c. 

và cách mặt phẳng 

P : 2x y 2z 

5 0 

 

 

một khoảng bằng 2. Tính giá trị của 

A. T = -1 B. T = -3 C. T = 3. D. T = 1. 

Câu 24. Hình chữ nhật ABCD có 

AB 4, AD 2. 

hình chữ nhật quay quanh MN ta được một khối tròn xoay có thể tích V bằng 

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho 

4 

8 

A. V . B. V 8 . 

C. V . D. V 32 . 

3 

3 

Câu 25. Đạo hàm của hàm số 

x 

x 

3 1 

y 

x 

5 

x 

3 3 1 

A. y ' ln ln 5. 

B. 

5 5 5 

x 

x 

3 3 1 

C. y ' ln ln 5. 

D. 

5 5 5 

là 

x1 x1 

3 1 

y ' x x . 

5 5 

x1 x1 

3 1 

y ' x x . 

5 5 

3 2 

Câu 26. Biết giá trị lớn nhất của hàm số y x 3x m 2 trên đoạn 1;1 bằng 0 khi m m . Hỏi 

trong các giá trị sau, đâu là giá trị gần 

m 0 

 

nhất? 

A. -4. B. 3. C. -1. D. 5. 


y x e 

2 x 

nghịch biến trên khoảng nào? 

 

0 

 

 

 

 

A. ; 2 . B. 2;0 . 

C. 1; . D. ; 1 , . 

x 1 y 2 z 1 

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 

: ; 

3 1 2 

x 

3t 

 

d2 

: y 4 t 

 

z 2 2t 


và mặt phẳng Oxz cắt 

d , d 

1 2 

lần lượt tại các điểm A, B. Diện tích S của tam giác OAB 

A. S = 5. B. S = 3. C. S = 6. D. S = 10. 

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 

 

 

ABCD và SA 2 a. 

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AC và SB. 

a , biết SA vuông góc với đáy 

3 a 

2 a 

a 

a 

A. h . B. h . 

C. h . 

D. h . 

2 

3 

3 

2 

Câu 30. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 

tổng phần thực và phần ảo là 

z 2 4i z 2 i . 

A. 0. B. 4. C. 3. D. 2. 

Câu 31. Tập nghiệm S của bất phương trình 

nguyên? 


1 1 

 

log 10 1 log 1 

x 

2 x 

2 2 

A. 4. B. 5. C. 6. D. 7. 

Số phức z có môđun nhỏ nhất có 

1 

có bao nhiêu nghiệm 

4

2 2 

Câu 32. Cho cấp số cộng có công sai d = -4 và u u đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm u là số hạng thứ 

2019 của cấp số cộng đó. 

u n 

3 

 

4 


A. u2019 8062. 

B. u2019 8060. 

C. u2019 8058. 

D. u2019 8054. 

Câu 33. Trong tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 

bao nhiêu giá trị m nguyên? 

y 

mx 

x 4 

m 

2 2 

17 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 

có bốn đường tiệm cận, có 

Câu 34. Cho số phức z có môđun bằng 8. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số 

phức w 2z 

4 3i 

là đường tròn tâm I a; 

b , bán kính R. Tổng a b R bằng 

 

A. 6. B. 9. C. 15. D. 17. 

S 

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có tâm I 3;1; 3 

và cắt trục tung Oy tại 

hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Phương trình mặt cầu 

2 2 

2 

x y z 

A. x 3 y 1 z 3 6. 

B. 

 

S 

 

là 

2 2 2 

3 1 3 3. 

2 2 

2 

 

2 2 2 

C. x 3 y 1 z 3 36. 

D. 2 x 3 y 1 z 3 9. 017. 

 

 

Câu 36. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 3;10 , biết f 3 f 3 f 8 và có bảng biến 

thiên như hình sau 

x -3 1 6 10 

' 

f x + 0 

f 

x 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 

 

 

đoạn 3;10 ? 

3 

5 

0 + 

2 

 

f x f m 

A. 1. B. 2. C. 8. D. 9. 

 

Câu 37. Cho hàm số y f x liên tục trên và hàm số 

 

2 3 

y g x x f x có đồ thị trên đoạn 1;3 

như hình vẽ. 

Biết miền hình phẳng được tô sọc kẻ có diện tích S = 6. Tính 

tích phân 

1 

27 

 

I f x dx. 

A. I = 2. B. I = 12. 

C. I = 24. D. I = 18. 

5 

có ba nghiệm thực phân biệt thuộc 


Câu 38. Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Biết tổng số chấm sau hai lần gieo là 

2 

m. Tính xác suất để sau hai lần gieo phương trình x mx 21 0 có nghiệm. 

1 1 1 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

6 

4 

3 

3 . 

13 

5

Câu 39. Từ miếng tôn hình vuông ABCD cạnh bằng 8 dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính AB = 

8 dm (như hình vẽ) để cuộn thành chiếc phễu hình nón (khi đó AB trùng AD). Tính thể tích V của khối 

nón tạo thành. 

8 

15 3 8 

15 3 

3 

A. V dm . B. V dm . C. V 8 

15 dm . D. V 

3 

5 

4 

15 

 

3 

3 

dm . 

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết 

A1;0;0 , B 5;0;0 , C 5;4;0 

và chiều cao hình chóp bằng 6. Gọi I a; b; 

c 

là điểm cách đều 5 đỉnh của 

hình chóp (với c > 0). Tính giá trị của T a 2b 3 c. 

A. T 41. B. T 14. 

C. T 23. 

D. T 32. 

2 

x 2xm 5x3ln x 2 

Câu 41. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 4 x 8x m 6ln x 0 

nghiệm thực phân biệt? 

A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số. 

Câu 42. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 

 

P 

 

là mặt phẳng chứa đường thẳng 

x y z 2 

2 2 2 

: và tiếp xúc với mặt cầu S : x y z 2x 

3 0. Khi đó mặt phẳng P 

đi qua 

1 2 2 

điểm nào trong các điểm sau? 

M N 

P 

 

A. 2;0;0 . B. 2;1;0 . 

C. 1;1; 1 . D. Q 1;2;0 . 

 

y f ' x 

Câu 43. Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị 

như hình vẽ bên. Hàm số 

nhiêu điểm cực tiểu? 

A. 0. B. 1. 

C. 2. D. 3. 

 

2 2 

y f x x x x 

2 9 2 4 

 

có bao 


có ba 

Câu 44. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 

x 1, x 2, y 0 

và parabol 

2 

P : y ax bx c 

P 

 

bằng 15. Biết có đỉnh I 1;2 là điểm cực tiểu. Tính T a b c. 

A. T = -8. B. T = -2. C. T = 14. D. T = 3. 

Câu 45. Cho hai đường thẳng song song và . Nếu trên hai đường thẳng và có tất cả 2018 

điểm thì số tam giác lớn nhất có thể tạo ra từ 2018 điểm này là 

1 

2 

1 

2 

6

A. 1020133294. B. 1026225648. C. 1023176448. D. 1029280900. 

2 2 

Câu 46. Cho a là số thực và z là nghiệm của phương trình z 2z a 2a 

5 0. Biết a a0 

là giá 

trị để số phức z có môđun nhỏ nhất. Khi đó 

a 0 

gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau? 

A. -3. B. -1. C. 4. D. 2. 

Câu 47. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a , trên đường thẳng đi qua A vuông góc với mặt phẳng 

ABC lấy điểm M bất kì. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên MC, AC và đường thẳng 

 

 

 

cắt EF tại N (như hình bên). Khi đó thể tích của tứ diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? 

3 

3 

3 

a 6 a 3 a 3 

A. . B. . 

C. . 

D. 

4 

4 

6 

3 

a 6 . 

12 

2 2 

4 

Câu 48. Cho hàm số f x x 1 ax 4ax a b 2 , 

với a, b. 

Biết trên khoảng ;0 hàm 

3 

5 

số đạt giá trị lớn nhất tại x = -1. Hỏi trên đoạn 

 

2; 

hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 

4 

 

3 4 

A. x 2. B. x . 

C. x . D. 

2 

3 

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình của mặt cầu 

 

5 

x . 

4 

2 2 2 

S : x y z m 2 x 2my 2mz m 3 0. Biết với mọi số thực m thì luôn chứa một 

m 

đường tòn cố định. Tìm bán kính r của đường tròn đó. 

1 4 2 2 

A. r . 

B. r . 

C. r . D. r 3. 

3 

3 

3 

Câu 50. Cho phương trình 

 

m 100;100 

 


 

mx 2018 x 2019 1 x 

2 1 0. 

để phương trình trên có nghiệm. 

 

S m 

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của 

A. 200. B. 201. C. 100. D. 99. 

7

ĐÁP ÁN 

1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B 

11.C 12.B 13.C 14.A 15.C 16.C 17.B 18.D 19.D 20.B 

21.C 22.A 23.D 24.B 25.A 26.C 27.B 28.A 29.B 30.B 

31.C 32.A 33.C 34.D 35.C 36.C 37.D 38.A 39.B 40.B 

41.B 42.D 43.C 44.A 45.B 46.D 47.D 48.B 49.B 50.A 

Câu 1: Chọn C 




LỜI GIẢI CHI TIẾT 

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đi qua điểm (0; 2) và ( 2; -2) 

Do đó chỉ có hàm số ở đáp án D thỏa mãn 



2 2 2 2 

Phương trình mặt cầu (S) có tâm O ( a, b, c) bán kính R là: 


(S) có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 2 nên phương trình mặt cầu (S) là 



Hàm số 


Hàm số 

Câu 5: Chọn B 



lim 

 

x0 

2 x 

x 1 

lim 

 

x0 

2 x 

y log a 

b xác định khi 

 

y log 4 x 

1 

1 

x 1 1 

lim lim x 

x 

2x 

x 

2 2 

x 1 

 

 

x 

2 

 

a, b 0 

 

a 

1 

xác định khi 

2 

4 x 0 

0 x 2 

x 

0 

 

x 

1 

x 

1 

x a y b z c R 

2 2 2 

x y z 2. 


Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận x = 0 và 

1 

y 

2 

8

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm (-1; 0) 

Nên đáp án B đúng 





Gọi I là trung điểm AB 

Do G là trọng tâm tam giác ABD nên 

Do E là trọng tâm tam giác ABC nên 

Tam giác CDI có 



x 

Hàm số y a : 

 

GD 2 

DI 3 

CE 2 

CI 3 

CE DG 2 

GE / / CD 

CI DI 3 

Có tập xác định D = R 

Hàm số đồng biến trên D khi a >0 và nghịch biến trên D khi 0 < a < 1 

 

Hàm số 

Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 

y log a 

x với 0 a 1. 

Xác định khi x >0 

Hàm số đồng biến trên R khi a > 1 và nghịch biến trên R khi 0 < a ≠ 1. 

 


Đồ thị qua điểm (1 ; 0), nằm bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 

Dựa trên các kiến thức trên, đáp án D sai 



Hình nón có bán kính r, đường cao h và đường sinh l 

r h l 

2 2 2 


2 2 

2 2 2 2 

Ta có: 

h r l h 5a 13a h 12a 



 

u 

x1, y1, 

z1 

 

 

v 

x2, y2, 

z2 

 

 

w u v w x x , y y , z z 


 


1 2 1 2 1 2 

 

9

i 

 

k 

 

OM i k OM M 

1,0,0 3i 

3,0,0 

 

0,0,1 2k 

0,0,2 

3 2 3,0, 2 3,0, 2 

Câu 11 Chọn C 



Giả sử tứ diện đều ABCD cạnh a có trọng tâm tam giác BCD là H. 

Do BCD đều nên H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam 

giác BCD. 

AH 

 

BCD 

 

Do H là trọng tâm tam giác BCD nên 

Tam giác ADH vuông tại H nên 

Diện tích tam giác BCD 

Thể tích tứ diện là V 




1 

y x x 

4 

ABCD 

4 2 

2 1 

D 

3 

y ' x 4x 

x 

0 

y ' 0 

x 

2 

S 

BCD 

2 a 3 a 3 

HD . 

3 2 3 

2 2 a 6 

Ah AD HD 

2 

a 3 

 

4 

2 3 

1 1 a 6 a 3 a 2 

AH.S BCD 

. . 

 

3 3 3 4 12 

x -2 0 2 

y - 0 + 0 - 0 + 

y' 

 

Từ bảng biến thiên, hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu 




 

-3 

8 8 

 

I f ' x dx f x f 8 f 4 8 

4 





4 

1 

3 

-3 

 

10

Chọn 3 điểm trong số 6 điểm trên có C 



3 

20 

20 

Lập bảng biến thiên, đánh giá hai về để tìm giá trị của m 


Xét hàm số f x 2 x 

 

x 

f ' x 2 ln 2 0 

x 

lim f 1 

x 

lim 

x 

f 

x 

 

x 

F(x) 

Do đó để phương trình có nghiệm 

2 

9 m 1 

2 

m m 





8 2 2 2 2 

 

VSA' B ' C ' 

SA' SB' SC ' 1 1 1 1 

Có . . . . 

V SA SB SC 2 3 4 24 

SABC 




 

x2 x x 2 

x 

x 2 3 1 3 3 

1,5 x 2 x x 1 

x2 

 

3 2 2 2 2 

 

3 



Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thi hàm số y f x tại điểm có hoành độ là 


y x x 

4 2 

 

3 

y ' 4x 2x 

 

y ' 1 6 

3 




 

 

0 

1 

x f ' x 

Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm có tọa độ a, 

b trên mặt phẳng tọa độ Oxy 

 

0 

11

z a b 

2 2 

z a bi 


 

 

T 4; 3 

là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ phức Oxy nên z 4 3i 

2 2 

Do đó 

w z z 4 3 4 3i 1 

3i 



 

 

P x Q x dx 

Đặt 

 

 

 

 

u Q x 

du Q' 

x dx 

 

 

P xQ xdx uv vdu 

 

dv P x dx 

v 

 

 


 

0 

m 

 

 

2x 

1 

x 

e dx 

Đặt 

u 2x 1 du 2dx 

 

x x 

dv e dx v e 

m 

 

m m m 

 

x x x x x m 

2x 1 e dx 2x 1 e 2e dx 2x 1 e 2e 2m 3 e 3 

0 0 0 

0 0 

Thử lần lượt giá trị của m vào xem đáp án nào gần giống nhất 




1 

arcsin 2 

1 x 

k 

3 

3sin x 1 0 sin x 

3 1 

x arcsin k2 

 

3 

Do nghiệm x thuộc khoảng 

 

m 

 

 

0;3 nên ta có 


1 

0 arcsin k2 

3 

3 

0.1 k 2.8 

k 0,1,2 

1 

 

0.89 x 2.1 

0 arcsin k2 3 

 

 

3 



Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 

 

y f x, 

y g x 

là f x g x 

1 2 1 2 

A x1, y1 , B x2, 

y2 

M là trung điểm AB 

x x , 

y 

M 

y 

 

2 2 


Phương trình hoành độ giao điểm là: 

12

7x 

6 x 2 

x 2 

7x 6 x 2 x 2 

 

7 89 

x 

 

2 

1 

2 

x 7x 

10 0 

 

x 

 

2 

 

7 89 

2 

Khi đó hoành độ trung điểm của MN là 7 2 



 

 

 

M a, b, 

c 

 

P : Ax By Cz D 0 

Aa Bb Cc D 

, 

2 2 2 

d A P 


Do M thuộc 

A B C 

x y 2 z 1 

: nên 

1 1 2 

Khoảng cách từ M đến P là 

d 

 

 

 

2t t 2) 2. 2t 1 5 7t 

1 

 

2 2 

2 1 

2 

3 

t 1 M 1, 3,3 ( t / m) 

7t 

1 

 

2 5 5 9 3 

3 

t M ; ; ( l) 

 

7 7 7 7 

 

 

 

M t; t 2;2t 

1 

Câu 24: CHọn B 



Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh MN ta được hình trụ có bán kính đáy 2 và chiều cao 2 

Khi đó thể tích khối trụ là V 



x x 

a ' a .ln a 


x 

3 1 3 1 

y 

x 

5 5 5 

x 

x 

 

2 

R h 

8 

x x x x 

3 3 1 1 3 3 1 

y ' ln ln ln ln5 

5 5 5 5 5 5 5 




 

13


3 2 

y x x m 

3 2 

2 

y ' 3x 6x 

x 

0 

y ' 0 

x 

2 

X -2 -1 0 1 

y’ - 0 + 0 - 

Y 

m 2 

m 2 

Từ bảng biến thiên, giá trị lớn nhất hàm số trên đoạn 1;1 là m +2. 

Để GTLN là 0 thì m = -2 




y 

2 x 

x e 

x 2 x 

y ' 2xe x e 

x 

0 

y ' 0 

x 

2 

x -2 0 

y’ + 0 - 0 + 

y 




 

A d1 A 3t 1; t 2;2t 

1 

t 2 0 t 2 A 5;0; 5 

 

 

 

 

B d2 B 3 t;4 t;2 2t 

4 t 0 t 4 B 12;0;10 

OA 5 2 

OB 2 61 

AB 514 




 

 

 

AB OA OB AB OB OAOA OB AB 

S 5 

8 

 


 

14

Kẻ BE song song với AC 

, , A, 

 

d AC SB d AC SBE d SBE 

Kẻ AH vuông góc BE tại H. 

 

 

 

SA ABCD SA EB 

Do 

EB SAH 

 

Kẻ AI vuông góc với SH tại I AI EB 

, 

AI SBE d AC SB AI 

BD a 2 

AH 

2 2 

SA 2a 

3a 

2 

SH 

2 

SA. AH 2a 

AI 

SH 3 




Đặt z a bi ( a, b ) 

z 2 4i z 2i 

 

a 2 b 4 i a b 2 i 

2 

a 2 b 4 a b 

2 

2 2 2 

 

4a 

4 4b 

16 4 

a b 4 




1 1 

 

log 10 1 log 1 

2 2 

x 

x 

2 2 

x 

x 

2 2 

x 

x 

2 

1 

1 1 

1 

log10 log 1 2log 1 

1 1 

1 

1 log 1 2log 1 

2 

Đặt log x 1 t t 

0 

Do x 2 x x 2 t x 

2 

 

0 1 1 log 1 0 

Bất phương trình trở thành 


15

1 1 2t t 1 

2t t 1 

1 0 

t 1 2t 2t t 1 

2t t 1 2t t 1 0 

1 

 

2 

Mà 

 

 

 

 

 

2 

2t t 1 0 t 1 

t t x 

2 

0 0 1 0 log 1 1 

x x 

2 2 

1 1 10 0 9 

3 x 3 

 

x 

0 



Cấp số cộng 

1 

 

1 

u n 

u u n 1 

d 

n 

un 

u 

d 

n 1 


 

 

có công sai d 

2 3 

2 2 

2 2 

3 

 

4 

 

1 

 

1 

 

u u u d u d 

u 

8 u 

12 

 

2 2 

 

1 1 

2u 

40u 

208 

2 

1 1 

2 u 10 8 8 

1 

Vậy u 

 

2 

u đạt giá trị nhỏ nhất khi u1 10 u2019 

8062 

2 2 

3 4 



Để ĐTHS có 2 tiệm cận ngang thì 

 

2 

m m 

 

17 0 

 

 

mx 

m 17 0 

2 2 

0 m 17 

 

m 17 

Để ĐTHS có 2 đường tiệm cận đứng thì m >0 

Do đó với 0 m 17 thì hàm số có 4 đường tiệm cận 



Giả sử M(x, y) là một điểm biểu diễn số phức w 

có hai nghiệm phân biệt 


16

x yi 2z 4 3i 

x 4 y 3 

z i 

2 2 

2 2 

x 4 y 3 

64 

2 2 

x 4 y 3 16 

2 2 2 

 

Do đó điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tậm I (4; -3) bán kính 16 



Do mặt cầu (S) cắt trục tung Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông nên ; 

x 

0 

 

Phương trình đường thẳng Oy y 

t 

 

z 

0 

Gọi H là hình chiếu của I lên Oy H 0, y,0 IH 3; t 1;3 

 

IH u t 1 0 t 1 

H 0,1,0 

Oy 

IH 3 2 R 6 

x y z 

 

2 2 2 

(S) : 3 1 3 36 



 

 

 

 

 

d I Oy 

Từ bảng biến thiên, để f x f m có ba nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3;10 

thì 3 m 5 



3 3 

2 3 1 2 3 

S 6 x f x dx 3x f x dx 

6 

3 

 

1 1 

3 2 

t x dt x dx 

3 27 

2 3 

 

1 1 

27 

1 

3 

3x f x dx f t dt 18 

 

 

 

f 

x dx 18 



x 

 

2 

mx 21 0 

2 

m 

84 0 

m 

84 

 

m 84 

Do đó, tổng hai lần gieo là 10, 11, 12. 


R 

2 

17

Xắc xuất để hai lần gieo được tổng số chấm là 10 là: 1 . 1 1 . 1 1 . 

1 

1 

6 6 6 6 6 6 12 

Xắc suất để hai lần gieo tổng số chấm là 11 là 1 . 1 

1 . 

1 

1 

6 6 6 6 18 

Xắc suất để hai lần gieo tổng số chấm là 12 là: 1 . 

1 

1 

6 6 36 

Vậy sắc xuất là: 1 1 1 

1 

12 18 36 6 



Độ dài cung BD là 2.8. 

4 

4 

Khi gấp chiếc quạt thành khối nón thì độ dài cung BD là chu vi đáy. AB là đường sinh l 

2 

R 4 

R 2 h 

2 2 

l R 2 15 

Khi đó 

1 8 

15 

V hV . 

day 

 

3 3 



Gọi H là tâm của đáy (ABCD). Do S.ABCD là chóp tứ giác đều, nên ABCD là hình vuông và H là trung 

điểm AC H 3,2,0 

 

AB4,0,0 

 

AC 4,4,0 

Có 

AB, AC 

 

0,0,1 

 

u 0,0,1 

SH 

 

Do đó phương trình SH là 

AB 4 

 

 

x 

3 

 

y 

2 

 

z 

t 

2 

AC 4 2 

SA 

AI SI 

SH 6 

SH 

SA 2 11 

Do I thuộc SH nên 

2 

2 

t 

11 

3 

I 3,2, t ( t 0) AI 3 1 2 t 

121 

8 

9 

7 7 

t H 3,2, 

3 3 




2 2 2 

18

ĐK: x>0 

2 

x 2xm 2 10x6ln 

x 

PT 2 x 2x m 2 10x 6ln x 

u 

v 

2 u 2 v 

f (u) f(v)(D B) 

u v 

2 10 6ln 

2 

x x m x x 

2 

m x 8x 6ln x g( x), x 0 

2 

6 2( 4 3) 

x x 

g '(x) 2 x 8 

x x 

x 

1 

g '( x) 0 

x 

3 

x 0 1 3 

g’(x) - 0 + 0 - 

g(x) 

 

Vậy để phương trình có 3 giao điểm thì 7 m 15 6ln 3 

Mà m nguyên => có 1 giá trị của m 



 

n a, b,1 

Gọi 

 

P 

Do (P) chứa 

 

 

n 

 

u 

P d 

a 2b 

2 0 

 

 

P : ax by z 2 0 

A0,0, 2 P 

 

Do (S) tiếp xúc (P) nên d I, 

P 

R 

 

a 2 

1 

a 

b 

2 2 

2 

2 2 2 

a 2 41 

a b 

 

Mà 

a 2b 2 0 2b a 2 

2 

a 2 4 4a a 

2 

2 2 

 

2 

4 8 4 0 

a a 

1 

a 1 b 

2 

1 

P 

: x y z 2 0 

2 

7 

15 6ln 3 


 

 

19



1 1 

y x f x x x x 

x 2x 9 x 2x 

4 

2 2 

' ( 1)( ). '( 2 9 2 4) 

2 2 

 

 

 

 

 

 

x 1 

2 2 

x 2x 9 x 2x 

4 

y' 0 

0( VN) 

2 2 

x 2x 9. x 2x 

4 

 

2 2 

 

x 2x 9 x 2x 

4 1 

 

 

2 2 2 2 

f '( x 2x 9 x 2x 4) 0 x 2x 9 x 2x 

4 1 

 

 

2 2 

 

x 2x 9 x 2x 

4 3 

 

 

Xét u 

5 

2 2 

x x x x 

2 9 2 4 

5 

 

2 2 3 

u 1 

2 2 

0 u ( x 2x 9 2 2; x 2x 

4 3) 

2 2 

x x x x 

2 9 2 4 1 

2 2 2 

x x x x x x 

2 9 2 5 2 2 4 

2 

x x 

x 

0 

 

x 

2 

Dấu của y’ 

2 4 2 

=> Hàm số có 2 cực tiểu 



 

2 

P : y ax bx c 

Có đỉnh I 1;2 

 

2 

P : y ax 2ax a 2 

 


a b c 2 

 

b 

c a 2 

1 

2a 

20

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1, x 2, y 0 và parabol P là: 

2 3 

2 2 

 

1 1 

 

 

2 

: 3 6 5 0 

2 

 

ax 

2 7 

ax 2ax a 2dx ax ax 2x a 4 a 2 

3a 

6 

3 3 3 

3a 

6 15 

a 3 

b 

6 

 

c 

5 

P x x 



Tam giác có thể tạo ra sẽ có 2 trường hợp 

TH1: 1 điểm thuộc 

TH2: 1 điểm thuộc 

1 

và 2 điểm thuộc 2 

2 

và 2 điểm thuộc 1 

Gọi số điểm trên 1 

là n => số điểm trên 

2 

là 2018-n 

Xét n=1 => số tam giác tạo ra là 2033136 =>Loại 

Xét n>1 => số tam giác tạo thành là: 

n. C (2018 n). 

C 

2 2 

2018n 

n 

(2018 n)(2017 n) n( n 1) 

n. (2018 n) 

2 2 

2016. n.(2018 n) n 2018 n 

n n 

2 2 

 



Giả sử z x yi 

Pttt 

 

 

2 2 

2 2 

1008. (2018 ) 1008.( ) 1008.1009 1026225648 

x yi 2 x yi a 2a 

5 0 

2 2 2 

x y y x i a a 

2 1 2 5 0 

2 2 2 

x y a a 

 

 

2y 

x 1 

0 


2 5 0 

Nếu 

 

2 2 

2 2 

0 2 2 5 0 1 3 1 

y x x a a x a 

(vô lý) 

Nếu x 1 

21

2 2 

y a a 

 

2 

2 

y a 

2 2 

z x y 

 

2 4 0 

1 3 3 

2 

Vậy mô đun z nhỏ nhất khi a =1 



Ta có 

MA AC 

BF AC 

 

 

 

BF AMC BF MC 

BEF MC FE MC 

 

Có FE MC và MA AC AECN là tứ giác nội tiếp 

ACE 

ANE 

ACM 

ANF 

2 

AC AM a 

AN 

AN AF 2x 

 

V V V S MA AN x a 

3 12 2x 

12 12 

2 2 2 2 

1 a 3 a a 3 a 6 

MNBC 

 

MCAB 

 

NCAB 

 

ABC . 2 



2 2 

1 4 2 

f x x ax ax a b 

' 2 1 2 

4 2 

2 

1 2 4 

x 2 

12ax 8ax 2a 2b 4 

2 

2ax 2ax 4a 

x 

2 

14ax 10ax 6a 2b 

4 

f x x ax ax a b x ax a 

 

 


Nếu 

f ' x 

0 có nghiệm duy nhất x = -1, hàm số không đổi dấu trong khoảng từ ;1 

4 

hàm số không thể đạt giá trị lớn nhất trong khoảng ;0 x = -1. 

3 

Do đó 

f ' x 

0 có ba nghiệm phân biệt và x = -1 là một nghiệm của f ' x 

0 

2 

4ax 10ax 6a 2b 

4 0 có nghiệm x1 1 

22

10a 

5 3 

 

4a 

2 2 

Mà x1 x2 x2 

Do đó ta có bảng biến thiên: 

x 3 

 

2 

-1 1 

f ' x 

- 0 + 0 - 0 + 

f 

x 

Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 



3 

x 

2 

Gọi M(x,y,z) thuộc (Sm) và là điểm cố định 

2 2 2 

x y z m x my mz m 

( 2) 2 2 3 0 

( 2) 2 2 3 0 

2 2 2 

x y z m x my mz m 

2 2 2 

( 2 2 1) (x 2 3), 

x 2y 2z 

1 0(1)(P) 

 

y z x 

2 2 2 

x 2 3 0(2) 

trong khoảng 

m x y z y z x m R 

5 

 

2; 

 

4 

 

luôn đúng với mọi m 

Ta thấy (1) là 1 mặt phẳng, (2) là 1 mặt cầu, giao tuyến sẽ là 1 đường tròn 

Mặt cầu có tâm I(-1,0,0), R=2 

2 

h d( I,( P)) 

 

3 

2 2 4 2 

=> r R h 

3 




Ta thấy x=0 và x=1 không thỏa mãn phương trình 

Ta có: 

m 

x 

2 

x 1 

.( x 1) 


Xét m=0 => x 

2 

1 0( VN) 

Xét 

m 0 

=> Ta thấy phương trình đã cho là phương trình bậc lẻ =>luôn có nghiệm 

Mà 

m[-100,100] 

=> có 200 giá trị nguyên m thỏa mãn 

23


24






4 y x . 

x 

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 

Câu 2. 

A. x 4 

B. x 4 

C. x 2 

D. x 2 

 

3 2 

lim x 3x 2x 

2018 

x 

 

bằng 

A. 2018 B. 

C. 1 D. 

 

Câu 3. Cho ba điểm A 1;1 , B 3;2 , C m 4;2m 

1 . Tìm m để A, B, 

C thẳng hàng 

3 

A. m 3 

B. m C. m 1 

D. m 2 

2 

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 

đây? 

 

x 

2 t 

 

: y 

1 

 

z 

2 3t 

P 

Q M N 0;1;4 

 

A. 4;1; 4 B. 3;1; 5 C. 2;1; 2 D. 

không đi qua điểm nào sau 

Câu 5. Cho phương trình z 2 2bz c 0 có nghiệm phức z1 2 3 i. 

Tìm biểu thức liên hệ giữa b và c. 

A. b c 17 

B. b c 9 C. b c 15 

D. 2b 

c 9 

Câu 6. Cho dãy số liệu thống kê: 48,36,33,38,32,48,42,33,39. Khi đó số trung vị là 

A. 32 B. 36 C. 38 D. 40 

Câu 7. Hàm số nào sau đây không có cực trị? 

3 2 

3 2 

3 2 

A. y x x x B. y x x C. y x x 3 D. 

3 2 

y x x x 

1 3 

Câu 8. Cho khối chóp có thể tích bằng và diện tích đáy bằng . Khi đó chiều cao của khối chóp 

3 m 1 2 

2 m 

bằng 

2 

A. 1m B. 2m C.3m D. m. 

3 


4 

y 2x 

3 đồng biến trên khoảng 

1 1 

A. ; 

B. ; 

C. D. 

2 2 

0; ;0 

Câu 10. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

thẳng 

x a, 

y b 


như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

y f x 

, trục hoành và hai đường 

1

 

A. S f x dx 

B. S f x dx 

a 

c 

b 

b 

a 

 

 

 

C. S f x dx f x dx 

D. S f x dx f x dx 

a 

Câu 11. Miền nghiệm của bất phương trình 

sau? 

c 

c 

a 

b 

c 

x 3y 

2 0 là nửa mặt phẳng chứa điểm nào trong các điểm 

A 

 

B 

C 

D2;1 

A. 1;1 

B. 1;0 C. 0;1 

D. 

Câu 12. Cho tam giác ABC . M, I lần lượt là trung điểm của BC và AM. Đẳng thức nào sau đây là đúng? 

 

 

A. IA IB IC 0 

B. IA IB IC 0 

 

 

C. IA IB IC 0 

D. 2IA IB IC 0 

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng 

x 4 y 5 z 7 

d : 

7 4 5 

 

 

 

 

A. u 7;4; 5 

B. u 5; 4; 7 

C. u 4;5; 7 

D. u 7; 4; 5 

 

 

5 

Câu 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số tan 

 

 

f x x 

1 4 1 2 

A. f x dx tan x tan x ln cos x C 

4 2 

1 4 1 2 

B. f x dx tan x tan x ln cos x C 

4 2 

1 4 1 2 

C. f x dx tan x tan x ln cos x C 

4 2 

1 4 1 2 

D. f x dx tan x tan x ln cos x C 

4 2 

Câu 15. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây 

A. Nếu hai mặt phẳng song song cùng cắt mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến tạo thành song song 

với nhau. 

B. Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai đường thẳng chéo nhau những đoạn thẳng tương 

ứng tỉ lệ. 

C. Nếu mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) thì mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P) đều 

song song với mặt phẳng (Q). 

D. Nếu mặt phẳng (P) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song với 

mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q). 

Câu 16. Cho tập hợp 

hai tập hợp M,N là 


3 | ; 3 3 ; 2 | ; 5 5 

M x k k Z k N y t t Z t 

 

 

 

 

. Số các tập con của cả 

2

A. 8 B. 7 C. 6 D. 9 

Câu 17. Cho hình thoi ABCD tâm O (như hình vẽ). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 

 

A. Phép tịnh tiến theo vecto DA biến tam giác DCB thành tam giác ABD. 

B. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 1 biến tam giác CDB thành tam giác ABD 

 

C. Phép quay tâm O, góc biến tam giác OCD thành tam giác OBC 

2 

D. Phép vị tự tâm O, tỉ số k 1 biến tam giác ODA thành tam giác OBC. 

: 2 0 

Câu 18. Cho đường thẳng d x y và : 2mx m 1 y 3 0. Giá trị của m để hai đường 

 

thẳng vuông góc là 

1 

1 

A. 

B. – 1 C. D. 1 

3 

3 

2x 

1 

Câu 19. Cho hàm số y có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song 

x 2 

với đường thẳng : 3x 

y 2 0 là 

A. y 3x 

14 

B. y 3x 14, y 3x 

2 

C. y 3x 5, y 3x 

8 

D. y 3x 

8 

f x 

 

Câu 20. Cho hàm số liên tục trên đoạn [0;10] thỏa mãn f x dx 7 và f x dx 3. Tính 

2 10 

 

 

0 6 

 

P f x dx f x dx 

 

A. 10 B. 4 C. 7 D. – 4 

Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giao tuyến của (SBA) và (SCD) là 

A. Đường thẳng qua S và song song với AD. 

B. Đường thẳng qua S và song song với CD. 

C. Đường SO với O là tâm hình bình hành. 

D. Đường thẳng qua S và cắt AB. 


Câu 22. Tập tất cả các giá trị thức của tham số m để 

2 

x mx m 

10 

 

2 3 2 0 

A. B. C. ;1 2; D. 

0 

vô nghiệm là 

1;2 

1;2 

 

;1 2; 

 

x y 1 z 1 

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và điểm A5;4; 2 

. 

1 2 1 

Phương trình mặt cầu đi qua điểm A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) là 

2 2 

2 

 

A. S : x 1 y 1 z 2 65 B. 

C. S : x 1 y 2 z 64 D. 

2 2 2 

S : x 1 y 1 z 9 

2 

2 2 

2 2 2 

S : x 1 y 2 z 65 

6 

 

2 

 

3

Câu 24. Có hai chiếc hộp chứa viên bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng. Hộp thứ hai chứa 2 

viên bi đỏ, 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có 

cùng màu. 

10 

10 

11 

11 

A. B. C. D. 

21 

39 

21 

39 

Câu 25. Cho hình chóp S.ABC có SA a, SB 2 a, SC 3 a. 

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp 

S.ABC 

3 

3 

3 

4 3 

A. 3 2a 

B. 2a 

C. a 

D. 

3 a 

Câu 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, 

C’D’. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng MN và CP. 

3 

1 

10 

A. B. C. D. 

10 

10 

5 

Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 3x m sin x cos x m đồng biến trên R? 

A. 5 B. 4 C. 3 D. Vô số 

2 2 

 

Câu 28. Một vật di chuyển với gia tốc a t 20 1 2 t m / s . Khi t 0 thì vận tốc của vật bằng 

30m/s. Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2s (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) 

A. 48m B. 68m C.108m D. 8m 

Câu 29. Cho khối tâm cầu O bán kính bằng 6cm. Mặt phẳng (P) cách O một khoảng là x, cắt khối cầu theo 

một hình tròn (C). Một khội nón có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn (C). Biết khối nón có thể tích lớn 

nhất, giá trị của x bằng 

A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 0cm 

Câu 30. Có bao nhiêu hình chữ nhật trong bàn cờ vua? 


 

15 

5 

 

A. 784 B. 1296 C. 2592 D. 5184 

4

3 3 

Câu 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình m 3 m 3sin x sin x có nghiệm 

thực 

A.2 B. 5 C.4 D. 3 

 

Câu 32. Cho hàm số y f x liên tục trên R. Hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số 

 

y f x 

2017 2019x 

 

có bao nhiêu điểm cực trị 

2018 

 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 

Câu 33. Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt phẳng của hình lập phương cạnh a có thể tích là 

3 

3 

3 

3 

a 

a 3 

a 

a 3 

A. B. C. D. 

12 

4 

6 

2 

3 

Câu 34. Cho hàm số f x 

. Giá trị của đạo hàm cấp 6 của hàm số tại x0 3 là 

2x 

4 

A. – 720 B. 1080 C.1440 D. 384 

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình 

 

 

 

2 

x y xy 

2 

x m y x my 

A. 4 1 

4 1 

1 

m B. m C. m 

D. 

17 2 

17 2 

2 

 

 

 

4 

m 

17 

có nghiệm 

3 

Câu 36. Cho hàm số y x 3mx 

1 1 . Cho A 2;3 tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C 

sao cho tam giác ABC cân tại A. 

1 

3 

1 

3 

A. m 

B. m 

C. m 

D. m 

2 

2 

2 

2 

Câu 37. Cho tam giác ABC có các cạnh BC a, AC b, 

AB c và diện tích S 1 a b ca c b. 

4 

Tam giác ABC có dạng đặc biệt nào 

A. Tam giác vuông tại B. B. Tam giác đều 

C. Tam giác vuông tại C. D. Tam giác vuông tại A. 

Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 3 a, SA SD 3 a, SB SC 3a 

3. Gọi M , N lần 

lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD, P là điểm thuộc cạnh AB sao cho AP 2 a. 

Tính diện tích thiết 

diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) 

2 

2 

2 

9a 

139 

9a 

139 

9a 

7 

A. B. C. D. 

4 

8 

8 


tiếp xúc với trục hoành 


 

y x 4 m x 2 m 

2 3 5 

 

2 

9a 

139 

có đồ thị (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để (C) 

16 

5

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 40. Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp 

(nắp trên), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết 

lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích của hộp là 4dm 3 

A. 1dm B. 1,5dm C. 2dm D. 0,5dm 

Câu 41. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính đáy r 5. Một thiết diện qua 

đỉnh là tam giác SAB đều có cạnh bằng 8. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 

4 13 

3 13 

A. B. C. 3 D. 

3 

4 

Câu 42. Cho , là các số thực dương thỏa mãn ln x ln y ln x 2 y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y 

x y 

A. P 6 

B. P 2 3 2 C. P 3 2 2 D. P 17 3 

 

Câu 43. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình bên dưới. 

Hàm số 

1 

4 

g x f x 

 

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? 

1 

1 

A. 1;0 

 

B. ;0 

C. ;1 

D. ; 

2 

4 

Câu 44. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt 

phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V 1 lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. 

Tính số đo góc tạo bởi mặt phẳng bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5V 1 

A. 90 0 B. 120 0 C. 45 0 D. 60 0 

Câu 45. Bên trong một khối cầu có bán kính 1m, người ta đặt 1 khối cầu A có tâm trùng với tâm của khối 

cầu ban đầu, khối cầu A có bán kính thay đổi. Tiếp đó người ta đặt 4 khối cầu B, C, D và E giống nhau và 

nằm ở các vị trí đối xứng nhau, tiếp xúc với khối cầu A và tiếp xúc với khối cầu ban đầu. Hỏi tổng thể tích 

của 5 khối cầu A, B, C, D, E nhỏ nhất là bao nhiêu? 


13 

3 

A. 0,72m 3 B. 0,70m 3 C. 0,68m 3 D. 0,66m 3 

 

Câu 46. Cho hàm số f x 0 thỏa mãn f x f 

3 

x 2018x 

1 

và f 0 

1. 

Giá trị ln f là 

2018 

 

 

6

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

1009 

1010 

2018 

1 


Câu 47. Cho đa giác lồi A A ... A . Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là các đỉnh của đa giác đã 

1 2 10 

cho. Cho ngẫu nhiên trong X một tam giác. Tính xác suất để tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh 

của đa giác đã cho 

7 

5 

1 

1 

A. B. C. D. 

12 

12 

2 

3 

Câu 48. Cho hai số thực a và b thỏa mãn 

biểu thức 

P 6a b 

là 

 

2 2 

log a 4b 1 log a 3b 

1 2 . Khi đó giá trị của 

a3b1 4ab1 

15 

25 

15 

A. B. C. D. 

8 

8 

4 

2 

2 2 

Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 25. và một điểm A a, b, 

c nằm 

trên mặt cầu (S). Từ A vẽ ba tia đôi một vuông góc với nhau cắt mặt cầu (S) tại điểm thứ hai là M, N, P. Biết 

rằng mặt phẳng (MNP) luôn đi qua một điểm cố định K 1;1;3 . Giá trị của biểu thức a + 7b + c bằng 

A.3 B. 4 C. 6 D. 9 

225 

Câu 50. Cho hình tứ diện ABCD có AC , AD 4. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB sao cho 

16 

MA 2 MB. 

Một mặt phẳng thay đổi đi qua M cắt các cạnh AC và AD lần lượt tại N và P sao cho luôn 

 

thỏa mãn 

V 

V 

AMNP 

ABCD 

NC 

. Giá trị nhỏ nhất tổng hai đoạn thẳng AN + NP tương ứng là 

AN 

65 

105 

261 

A. 12 B. C. D. 

4 

8 

20 


1 – C 2 – D 3 – C 4 – A 5 – C 6 – C 7 – D 8 – B 9 – C 10 – C 

11 – B 12 – D 13 – A 14 – C 15 – D 16 – A 17 – B 18 – D 19 – A 20 – B 

21 – B 22 – B 23 – D 24 – A 25 – C 26 – B 27 – A 28 – A 29 – A 30 – B 

31 – B 32 – A 33 – C 34 – B 35 – A 36 – C 37 – D 38 – D 39 – C 40 – A 

41 – B 42 – C 43 – C 44 – D 45 – A 46 – A 47 – B 48 – A 49 – A 50 – C 

Câu 1. Chọn C. 

4 x 

2 

Ta có: y 

1 , y 

0 

2 

x 

x 

2 

 


 

25 

4 

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 

Câu 2. Chọn D. 

7

3 2 2018 

 

2 3 

x x x 

Ta có: 

3 2 3 

lim x 3x 2x 2018 lim x 1 

x 

x 


 

AB 2;1 , AC m 3;2m 

Ta có: 

Ba điểm A, B, C thẳng hàng 

Câu 4. Chọn A. 

m 3 2m 

m 1 

2 1 

4 2 t t 

2 

 

 

Thay tọa độ điểm P4;1; 4 

vào phương trình của ta có: 1 1 2 

 

t 

4 2 3t 

 

3 

Hệ vô nghiệm vậy đường thẳng không đi qua điểm P4;1; 4 


Do 2 nghiệm của phương trình bậc hai là liên hợp của nhau z1 2 3 i; z2 

2 3i 

S z1 z2 

4 

 

P 

z1z2 

13 

nên phương trình có dạng 

2 

z z b c 

4 13 0 2; 13 


Sắp xếp các số liệu 32,33,33,36,38,39,42,48,48. Có 9 số, số trung vị là số đứng giữa dãy, là số 38. 


Với hàm số 

3 2 

y x x x 

có 

 

2 

y 3x 2x 1 0, x 

Hàm số đã cho luôn nghịch biến nên không có cực trị 


1 3V 

V Bh h 2m 

3 B 


Ta có: 

y x y x y 

x 

3 

8 0 0 0 0 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0; 


 

a b 

 

Dựa vào định nghĩa tích phân và chia đoạn ; thành hai đoạn thành phần a; c , c; 

b và f x 0 trên 

a c f x 

c b 

 

đoạn ; ; 0 trên đoạn ; nên ta có: S f x dx f x dx 


Ta có: 1 3.1 2 2 0 Loại A0; 1 

1 3.0 2 3 0 Chọn B1;0 

 

0 3.1 2 1 0 Loại C 1; 2 

2 3.1 2 3 0 Loại D2;1 

c 



Ta có: M,I lần lượt là trung điểm của BC, AM. 

 

a 

b 

 

c 

8

1 1 

IA IM 0 IA IB IC 0 2IA IB IC 0 

2 2 


x 4 y 5 z 7 

 

Ta có: d : 

có 1 VTCP là u 7;4; 5 

7 4 5 

 

 

a 

2 

2 2 2 2 

2x 3x 5 

 

ax bx c 2x 12x 4 ax bx c 

Mà 

b 12 

2 2 2 

x 3 x 3 x 3 x 

3 

 

c 

4 

Vậy S a 2b 3x 

2 2.12 3.4 38 


5 3 1 3 1 

3 

tan xdx tan x 

1 tan tan 

2 2 

cos 

dx x 

 

x 

cos x 

dx 

 

xdx 

 

3 1 3 

1 

tan xd tan x tan x 

1 tan 

2 

tan tan tan 

2 

cos 

dx xd x x 

 

x 

 

cos x 

dx 

 

xdx 

3 sin x 

3 

d cos x 

tan xd tan x tan xd tan x dx tan xd tan x tan xd tan x 

dx 

cos x 

 

cos x 

1 4 1 2 

tan x tan x ln cos x C 

4 2 


Nếu mặt phẳng (P) có chứa hai đường thẳng phân biệt và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng 

(Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) là mệnh đề sai khi hai đường thẳng đó song song với 

nhau. 


Có M 9; 6; 3;0 , N 10; 8; 6; 4; 2;0 

Vậy các tập con của cả M,N là ; 0 ; 6 ; 6 ; 0;6 ; 0; 6 ; 6; 6 ; 0; 6 


 

Ta có: O là trung điểm của AC và BD nên ta có OA OC; OB OD; 

OD OB 

V C A V D B V B D 

; ; 

0; 1 0; 1 0; 1 

0; 1 

V CBD ABD 


Để đường thẳng 

m 

1 0 m 1 


d : x 2y 2 0, : 2mx m 1 

y 3 0 vuông góc thì 1.2m 

1. m 

1 

0 

Vì tiếp tuyến song song với : 3x 

y 2 0 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k 3. Gọi x0 

là hoành độ tiếp 

điểm khi đó 

 

0 

y 

x k 

hay 

 

0 

3 

 

x 2 

x 

2 0 

x 

1 

3 

2 

0 

2 1 

 

x0 

 

+Với x 1 y 1 

khi đó tiếp tuyến là y 3x 

2 (loại vì trùng với ) 

+Với 

x 

0 0 

3 y 5 khi đó tiếp tuyến là y 3x 

14 

0 0 


 

3 

 

 

9


2 6 10 6 

 

Ta có: 

P f x dx f x dx f x dx f x dx 


0 2 6 2 

10 6 

f x dx f x dx 7 3 4 

6 2 

S là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) 

Mặt khác: 

 

 

 

 

AB 

SAB 

 

CD 

SCD 

 

 

AB / / CD 

Nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng St đi qua điểm S và song song với CD. 


2 

x mx m 

2 3 2 0 

vô nghiệm 

a 

0 

2 

m 3m 2 0 1 m 2 

 

0 


Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z 0 

 

2 

x 2mx 3m 2 0, x R 

Tâm I là giao điểm của d với mặt phẳng (Oxy) I d I t;1 2 t; 1 

t 

 

I Oxy t t I IA 

1 0 1 1; 1;0 6;5; 2 

R IA 6 5 2 65 

2 2 

Bán kính mặt cầu là 2 

2 2 2 

Vậy phương trình của mặt cầu là 


n 

1 1 

C C 

. 42 

7 6 

S : x 1 y 1 z 65 

Gọi A là biến cố “Lấy được hai viên bi cùng màu” 

1 1 

+TH1: 2 viên bi lấy ra có cùng màu đỏ C . C 8 cách 

4 2 

1 1 

+TH2: 2 viên bi lấy ra có cùng màu trắng C . C 12 

cách 

20 10 

Vậy P A 

 

42 21 



3 4 

10

1 

Ta có: 

1 

SSAB 

SA. SB.sin ASB SA. 

SB và d C; 

SAB 

CH SC 

2 2 

1 1 1 

3 

Vì VS . ABC 

VC . SAB 

SSABd C; SAB SA. SB. SC a.2 a.3a a 

3 6 6 

Dấu “=” xáy ra khi sin 1 và SC SAB hay SA, SB, SC đôi một vuông góc tại S. 

ASB 

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích của khối chóp S.ABC là a 


Gọi Q là trung điểm của B’C’. Khi đó PQ//MN 

Ta có: 

 

a 5 

MN, CP PQ, 

CP CPQ vì tam giác CPQ cân tại C nên CP CQ 

2 

a 2 a 2 

Gọi H là trung điểm của PQ nên CH PQ, 

PQ PH 

2 4 

Vậy PH a 2 2 1 

cos CPH . 

CP 4 a 5 10 


 

Ta có: y 

3 m 2 cos 

x 

4 

 

Để hàm số đồng biến trên R thì y 

3 m 2 cos 

x 0, x R 

4 

+TH1: m 0 thỏa mãn 

+TH2: m 0 thì để 

Vì m Z m 1;2 

 

+TH3: m 0 thì để 

Vì m Z m 1; 2 


3 

y 

3 m 2 cos x 

0, x R 3 m 2 0 m 

4 

2 

3 

y 

3 m 2 cos x 

0, x R 3 m 2 0 m 

4 

2 

3 

11

Vậy m 2; 1;0;1;2 

 


vtm / s, 

stm 

, 

hay , 

Gọi 

a t v t v t s t 

 

 

lần lượt là vận tốc và quãng đường của chuyển động. Khi đó ta có 

 

v t a t dt s t v t dt 

 

t 1 

2 20 1 2 10 

vt 201 2t 

dt C C 

2 1 1 

2t 

Vì khi t 0 thì vận tốc của vật bằng 30m/s nên v 10 

0 

30 20 

1 2.0 

C C 

 

10 

Do đó vt 

20 

1 

2t 

Quãng đường vật đó di chuyển sau 2s là: 

2 

10 

2 

s 20 

dt 5ln 1 2t 20t 

5ln 5 40 48,0471896 

1 

2t 

 

0 

0 


Điều kiện 0 x 6 

+ Bán kính của hình nón là 

Chiều cao của khối nón là h 6 x 

r 6 x 36 x 

2 2 2 

1 

 

3 3 3 

+ Khi đó thể tích khối nón là V r 2 h 36 x 2 

x 6 f x 

Ta có: 

 

 

 

x 

6 

L 

2 

f x 3x 12x 36, f x 0 x 2 

x 2 N 

 

 

Vậy x 2cm 

thì khối nón có thể tích lớn nhất 


Mỗi hình chữ nhật được tạo thành khi ta chọn ra 2 đường thẳng song song và chọn ra 2 đường thẳng vuông 

góc với 2 đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng đó. 

2 2 

Do đó số các hình chữ nhật là C . C 1296 

9 9 




Ta có: y 

f x 

. Khi đó y 

0 f x * 

 

2018 

2018 

Số nghiệm (*) là số giao điểm của đồ thị 


 

y f x 



y 

2018 

12

Suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt nên hàm số có 4 cực trị. 


2 

BD a 2 

2 a 

2 3 

 

O1O 2O3O 

 

4 2 3 

 

Ta có: O O S O O 

2 2 2 

OO 

a 

Chiều cao khối chóp O 1 O 2 O 3 O 4 là h 

2 2 

2 3 

1 a a a 

VOO 1O 2 2. . . 

2O3O4O 

VOO 1O2O3 O 

 

4 

3 2 2 6 


n 

n 

1 1 n! 

Tính đạo hàm 6 lần hoặc áp dụng công thức đạo hàm cấp cao hàm phân thức chuẩn 

n 

x x x x 

Suy ra 

 

 

 

1 .6! 

 

6 6 

6 3 1 3 1080 6 

1080 

7 7 

 

7 

f x . f 3 1080 

2 x 2 2 x 2 x 2 3 2 


Hệ đã cho tương ứng với 

2 

my y m 

 

 

 

2 

x yx y 

01 

 

0 2 

2 y 0 

Phương trình (2) (ẩn x) có nghiệm là 

x 

y 4y 

0 

y 4 

+TH1: m 0, ta có y 0, x 0 m 0 thỏa mãn 

 

 

1 

0 0 

+TH2: 0. Phương trình (1) (ẩn y) không có nghiệm thuộc khoảng ; 4 0; (*) là (1) vô 

m 

4;0 

điều kiện là 

nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc 


13

2 

1 

4m 

0 1 1 

 

m ; ; 

2 

2 2 

1 

4m 

0 

2 

1 4m 

0 1 

2 

1 4m 

0 

m 0 

2 

 

1 1 4m 

2 

 

 

4 y1 

0 4 0 

 

2 

 

2m 

1 4m 

1 

8m A 

 

4 y2 0 

 

2 

1 1 4m 2 

 

 

4 0 1 4m 1 

8m 

 

 

2m 

 

 

 

(với y 1 , y 2 là 2 nghiệm của phương trình (1)) 

1 1 

m 

1 4 4 1 

2 8 

 

A m B m ; ; 

 

2 17 17 2 

2 

 

1 

4m 

1 

8m 

 

Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn y) có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

4 1 

; 40; 

 

hay (*) không xảy ra, điều kiện là m , m 0. 

17 2 

4 1 

Vậy tất cả các giá trị m cần tìm là m 

17 2 


2 

Ta xét: y 3x 3 m. 

Hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi m > 0 

x 

m 

y 0 

x m 

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị B m; 2m m 1 , C m;2m m 1 

 

BC 2 m;4m m 

 

Gọi M là trung điểm của BC thì M 0;1 

nên AM 2;2 

1 

Vậy tam giác ABC là tam giác cân khi và chỉ khi AM BC AM. BC 0 m 

2 


S p p a p b p c 1 a b c a b c a c b b c a 

4 

Theo bài ra ta có: S 1 a b ca c b 

4 

1 a b ca c b 1 a b ca b ca c bb c a 

4 4 

Tích tam giác Hê-rông ta có: 

a b ca c b a b cb c a 

 

2 2 2 2 2 2 2 

a b c b c a a b c 

Do đó tam giác ABC vuông tại A. 



 

B 

 

14

Do MN//AD MN / / BC. Vậy MNP cắt mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến đi qua P, song song BC và 

 

cắt DC tại điểm I. Thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng 

 

MNP 

 

chính là hình thang MNIP. 

Do NDI MAP MP NI MNIP là hình thang cân. 

Trong tam giác SAB, ta có: 

SA 2 AB 2 SB 2 9a 2 9a 2 27a 2 9a 

2 1 

cos SAB 

2 

2 SA. AB 2.3 a.3a 18a 

2 

Trong tam giác MAP ta có: 

2 2 

2 2 2 9a 2 3a 37a a 37 

MP MA AP 2 MA. AP.cos MAP 4 a .2a MP 

4 2 4 2 

Từ M kẻ MF PI, từ N kẻ NE PI. 

Dễ thấy tứ giác MNEF là hình chữ nhật và từ đó suy ra 

3a 

3a 

MN FE PF EI 

2 4 

Xét tam giác vuông MFP, ta có 

2 2 

2 2 37a 9a a 139 

MF MP FP 

4 16 4 

3a 

a 139 

3a 

2 

MN IP MF 

2 4 9a 

139 

Ta có: SMNP 

 

 

 

2 2 16 


Để (C) tiếp xúc với trục hoành có các trường hợp sau: 

ab 

0 

 

2m 

3 

0 

c 0 m 

3 

 

 

 

 

m 

5 0 m 5 

 

 

 

ab 

0 

 

2m 

3 

0 m 3 

m 1, m 5 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 

0 

m 

5 0 

m 

5 

 

 

2 

 

5 4 0 m 1, m 4 

0 

m m 

 

 

 

 

 

4a 


Gọi 

 

x, y x, y 0 

 


lần lượt là độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình hộp. 

2 2 4 

Thể tích khối hộp là V x y 4 x y y 

2 

x 

15

Diện tích cần mạ vàng 


2 2 16 2 8 8 3 

S x 4xy x x 3 64 

x x x 

đạt GTNN 

8 

x x 2 y 1 

x 

Ta có: 

OM 3 

 

SO SB OB 

2 2 

 

. 

39 

AB OM 

 

AB SOM 

AB 

SO 

Ta có: 

Dựng OH SM OH SAB 

Gọi M là trung điểm của AB. 

Tam giác SOM vuông tại O có 1 1 1 16 OH 

3 13 

2 2 2 

OH OM SO 117 4 


Ta có: ln x ln y ln x 2 y ln xy ln x 2 y xy x 2 y1 

 

2 

Từ 1 x 1 y x x 1 

(do y 0). 

Mặt khác: 

P x y y P x 

thế vào (1) ta được: 

2 

x x 

x P x x P x P f x 

x 1 

2 

2 2 

Để bất phương trình (2) có nghiệm 

Ta có: 

 

 

 

x 1 

thì 

x x 

f x x 

Lập bảng biến thiên suy ra 

2 

2 4 1 2 2 

0 

2 

x 1 2 

x1 

 

x1 

 

P min f x 

min f x 3 2 2 P 3 

2 2 

2 2 4 3 2 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x; y 

 

; 

2 2 

 

 

Vậy min P 3 2 2 


x 

1 

2 2 2 

Cách 2: Từ giả thiết ta có: ln x ln y ln x y xy x y y x 1 

x 2 

x (do y 0). 

y 

 

x 1 

2 

x 

1 1 

2 1 2 1 3 3 2 2 

x 1 x 1 x 1 

Do đó P x y x x x 

 

16

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

Vậy min P 3 2 2 


Ta có: g x 4 f 1 

4x 

Hàm số 

1 1 

2 

x 1 

x 1 

x 1 

2 

2 

x 

4 3 2 

y 

 

y 

 

x 1 

2 

g x f 1 4x 

đồng biến g x 0 f 1 4x 

0 

Dựa vào đồ thị suy ra 

x 

1 

f x 

0 

1 x 2 

1 

x 

1 4x 

1 2 

f 1 4x 

0 

1 1 4x 

2 1 x 0 

4 

1 1 

Vậy g x 

đồng biến trên các khoảng ;0 và ; 

4 2 

Cách 2: Dựa vào đồ thị ta thấy 

f 

x 

có dạng 2 

4 1 4 4 4 24 4 14 3 2 

g 

x f x k x x x x 

Ta có bảng xét dấu 

g 

x 

1 1 

Vậy g x 

đồng biến trên các khoảng ;0 và ; 

4 2 


f x k x 1 x 1 x 2 x 4 , k 0 


Gọi M là trung điểm của CD. Góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là SMO 

Dựng OK SM dễ thấy OK SCD 

Vậy OK P 

17

Kéo dài 

Ta có: 

CK SD E. 

Đây là giao điểm cần tìm. 

E. 

ACD 

 

 

 

 

 

 

V 

d S, ABCD . S 

S. 

ABCD 

ABCD 

5 5 

V d E, ABCD . S 

Dựng FE / / SO F OD 

Giả sử 

ACD 

DE DF EF 2 

 

DS DO SO 5 

a 2 

AB a, OD , SD b 

2 

Xét tam giác vuông SOD : dễ thấy OE SD ta có OD 

OD 5 a 5 

. 

2 

2 

2 2 

DS DS SM SD MD a 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d S, ABCD .2 S 

ACD 

d S, ABCD 5 

5 

d E, ABCD . S d E, 

ABCD 2 

2 

ACD 

2 

OD DE 2 

DE. 

DS 2 

DS 

DS 

5 

Xét tam giác vuông SOM vuông tại O có OM 1 0 

cos SMO SMO 60 

SM 2 


Gọi bán kính của quả cầu A là R 1 của 4 quả cầu B, C, D và E là R 2 

2 4R2 

Khi đó ta có: R1 1 2R2 0 R1 

1 

2 

1 

Từ đó ta có: 0 1 2R2 

1 

0 R 

2 

4 4 4 

3 

Tổng thể tích của 5 khối cầu là S S 

A 

4SBCDE 

R 4. R 1 2R 4R 

3 3 3 

3 2 

4 4R2 12R2 6R2 1 

0 

R 

1 

2 

 

3 2 

Khảo sát hàm số 

2 2 

t 

 

f 

2 

t 

0 

2 2 

t 

 

2 

Lập BBT và từ BBT ta thấy 

Từ đó ta có 


3 3 3 

1 2 2 2 

1 

f t t t t t f t t t 

2 

3 2 2 

4 12 6 1 0 12 24 6 

 

f t 

4 2 2 

Smin 

f 0,72m 

3 

2 

 

Ta có: f x f x 2018x 

1 

 

 

 

 

 

2 2 

đạt nhỏ nhất tại t 

2 

3 

f x 1 f x 1 1 

dx dx ln f x 2018 x 1 

C 

f x 2018x 

1 

f x 

 

2018x 

1 

1009 

 

f x e 

1 

2018x1C 

1009 


 

18

Do 

 

1 

C 

1 1 

1009 

f 0 1 e 1 C 0 C 

1009 1009 

1 1 1 3 1 1 

2018x 

1 

2018 1 

1009 1009 1009 2018 1009 1009 

3 3 

1 

f x 

e f e e ln f 

2018 

 

2018 

 

 

1009 


Gọi 

3 

không là không gian mẫu n C 10 

120 

Gọi A là biến cố “ tam giác được chọn không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho” 

Các tam giác ở tập X có ba loại: tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác, tam giác có một cạnh là 

cạnh của đa giác, tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác. 

Ứng với một cạnh của đa giác thì có đúng 10 – 4 đỉnh của đa giác tạo thành tam giác có một cạnh là cạnh 

của đa giác nên số tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác là 10(10 – 4) = 60 

Có 10 tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác là A 1 A 2 A 3 , A 2 A 3 A 4 ,…A 10 A 1 A 2 

n A 120 60 10 50 

50 5 

Vậy P A 

 

120 12 


Ta có: 

2 2 

a 4b 1 4ab 

1. Dấu “=” xảy ra khi a 2b 

Suy ra: VT ab a b ab a b 

log 4 1 log 3 1 2 log 4 1 log 3 1 2 

a3b1 4ab1 a3b1 4ab1 

Bài toán cho dấu “=” xảy ra nên ta có 

a 2b 

 

loga3b 1 4ab 1 log4ab 

1 a 3b 

1 

1 

b 

0 loai 

a 

2b 

2 

5b 

1 8b 

1 

 

5 5 

a 3b 1 4ab 1 

b a 

8 4 


Dựng một hình hộp chữ nhật có chứa 4 đỉnh A,M,N,P nột tiếp mặt cầu (S) 

Khi đó tâm 

I 

 

1;2;0 

 

 

 

của mặt cầu là trung điểm của 4 đường chéo hình hộp chữ nhật và mặt phẳng (MNP) đi 

qua điểm K. 

Do K cố định nên K là giao điểm của IA và mặt phẳng (MNK) K là trọng tâm tam giác MNP 

Gọi ANBP là đáy của hình hộp chữ nhật. Khi đó P là trọng tâm tam giác AMB với I là trung điểm của MB 

 

IA 3IK A 1; 1;9 a 7b c 3 


 


 

19

Gọi 

AN 

225 AP 

x AN x , y AP 4 y 

AC 

16 AD 

Sửa ta có: 

Tổng độ dài 

VAMNP 

AM AN AP 2 NC 1 

x 

. . xy 

V AB AC AD 3 AN x 

ABCD 

Khảo sát hàm số 

225x 

225x 

6 1 

x 

AN AP 4y 

 

2 

16 16 x 

f 

x 

225x 

6 1 

x 

 

2 

16 x 

Ta được GTNN của biểu thức bằng 105 

8 

 

 

 

 

 

3 1 

x 

y 

2 

2x 

ta được hàm đạt GTNN khi 

 

4 

x 

5 


20





 

 

Câu 1. Cho hàm số y f x có tập xác định là ;4 và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. 

Số điểm cực trị của hàm số 

x 

1 2 3 4 

y' + 0 || + 0 

y 2 

1 

0 

1 

 

y f x 

là 

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 

Câu 2. Hình vẽ bên là một phần của đồ thị hàm số nào? 

x 1 

x 1 

x 

A. y 

B. y 

C. y 

D. 

x 1 

x 1 

x 1 


 

y f x 


0 f x 

 

A. f x , x a; 

b đồng biến trên a; 

b . 

0 f x 

 

B. f x , x a; 

b đồng biến trên đoạn a; 

b . 

f x 

 

 

C. đồng biến trên khoảng a; 

b f x 0 , x 

a; 

b . 

f x 

 

 

D. nghịch biến trên a; 

b f x 0 , x 

a; 

b . 

 

x 

1 

y 

x 1 

Câu 4. Hàm số nào sau đây có tính đơn điệu khác với tính đơn điệu của các hàm số còn lại? 

3 

k x 2x 

1 

A. h x x x sin x 

B. 

3 2 

f x 

C. g x x 6x 15x 

3 

D. 

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình 


log2 

x 0 

là 

 

2 

x 

x 

2 5 

x 1 

Trang 1

0;1 

 

1; 

0; 

A. B. ;1 

C. D. 

2 

2 

Câu 6. Tìm tập xác định D của hàm số y 2x 

8 

5 

. 

D D ; 2 2; 

 

A. B. 

 

C. ;2 2 2 2; 

D. 

D D 0; 

 


sin 5 2 

f x x 

1 1 

A. 5cos5x C B. cos5 x 2 x C C. cos5 x 2 x C D. cos5x 2x C 

5 

5 

2 

Câu 8. Gọi z1, 

z2 

là hai nghiệm phức của phương trình z 6z 

13 0 trong đó z1 

là số phức có phần ảo 

âm. Tìm số phức z 2z 

. 

1 2 

A. 9 2i 

B. 9 2i C. 9 2i D. 9 2i 

Câu 9. Cho hình vuông 

A B C D 

1 1 1 1 

là 

có cạnh bằng 1 như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được 

gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy 

trình sau: 

Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông A1 B1C 1D1 

. 

Bước 2: Chia hình vuông 

hình vuông 

A2 B2C2D2 

Bước 3: Chia hình vuông 

A B C D 

1 1 1 1 

thành 9 hình vuông bằng nhau (hình vẽ). Sau đó tô màu “đẹp” cho 

nằm ở chính giữa sau khi chia. 

A B C D 

2 2 2 2 

A3 B3C3D3 

nằm ở chính giữa sau khi chia. 


thành 9 hình vuông bằng nhau. Sau đó tô màu đẹp cho hình vuông 

Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99%? 

A. 9 bước B. 4 bước C. 8 bước D. 7 bước 

Câu 10. Cho hình lăng trụ ABC. 

ABC 

có AA a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tam giác 

ABC vuông tại C và góc 60 . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ABC trùng với 

BAC B 

trọng tâm của ABC 

. Tính thể tích khối tứ diện AABC 

theo a 

3 

3 

3 

3a 

27a 

81a 

A. VA ABC 

 

B. VA ABC 

 

C. VA ABC 

 

D. 

208 

208 

208 

VA ABC 

3 

9a 

 

208 

Trang 2

Câu 11. Trong không gian cho hình chữ nhật ABCD có AB a , AC a 5 . Tính diện tích xung quanh 

S xq 

của hình trụ khi quay đường gấp khúc BCDA quanh trục AB 

2 

2 

2 

A. S 2πa 

B. S 4πa 

C. S 2a 

D. 

xq 

xq 

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi a,b,c lần lượt là khoảng cách từ điểm 

ba mặt phẳng tọa độ 

Oxy, Oyz, 

Oxz 

. Tính 

xq 

2 3 

P a b c 

A. P 12 

B. P 32 

C. P 30 

D. P 18 

x 

1 

2t 

x 

3 4t 

 

Câu 13. Cho hai đường thẳng d1 

: y 2 3t 

và d . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào 

2 

: y 5 6t 

z 

3 4t 

z 

7 8t 

đúng? 

Sxq 

4a 

2 

M 

 

1;3;2 

A. d d 

B. // C. d d 

D. và d chéo nhau 

1 

 

2 

d1 

d2 

1 

 

2 

d1 

2 

Câu 14. Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,4,…,9. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ và nhân hai số 

ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn. 

1 

5 

8 

13 

A. B. C. D. 

6 

18 

9 

18 

Câu 15. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận ngang? 

2 

x x 1 

2 

2 

A. y 

B. y x 1 

x C. y x x 1 

D. y x x 

x 

3 2 

Câu 16. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 2x 7x 

1 trên đoạn 2;1 . 

 

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 

2 

 

 

 

Câu 17. Số giá trị nguyên của tham số m trên đoạn 2018;2018 đề hàm số y ln x 2 2x m 1 

có 

tập xác định là . 

A. 2019 B. 2017 C. 2018 D. 1009 

Câu 18. Biết log 2 m . Khi đó giá trị của log 28 được tính theo m là 

7 

 

49 

1 2m 

m 2 

1 m 

1 

4m 

A. B. C. D. 

2 

4 

2 

2 

Câu 19. Tổng các nghiệm của phương trình 

2x3 x2 

2 3.2 1 0 

A. 6 B. 3 C. 5 D. 4 

2 

7 

Câu 20. Biết rằng hàm số y f x ax bx c thỏa mãn f xdx , f x 

dx 2 và 

2 

 

3 

13 

f x 

dx với a, b, 

c . Tính giá trị của biểu thức P a b c . 

2 

0 


3 

4 

4 

A. P 

B. P 

C. P 

D. 

4 

3 

3 

là 

1 

0 

2 

0 

3 

P 

4 

1 

 

đến 

Trang 3

a 

1 

ln x 

Câu 21. Cho F x ln 

x b 

là một nguyên hàm của hàm số f x , trong đó a, 

b . 

2 

x 

x 

Tính giá trị của S a b . 

A. S 2 

B. S 1 

C. S 2 

D. S 0 

3 2 

Câu 22. Gọi 

1, 2, 

3 

là các nghiệm của phương trình iz 2z 1 i z i 0 . Biết z1 

là số thuần ảo. 

Đặt 

P z z 

2 3 

z z z 

, hãy chọn khẳng định đúng? 

A. 4 P 5 

B. 2 P 3 

C. 3 P 4 

D. 1 P 2 

Câu 23. Phần ảo của số phức 

z 5 2i 

bằng 

A. 5 B. 2i 

C. 2 D. 

Câu 24. Cắt hình trụ 

tích bằng 

hình trụ 

 

2 

20cm 

T 

 

 

T 

 

bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được thiết diện là một hình chữ nhật có diện 

và chu vi bằng 18cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của 

. Diện tích toàn phần của hình trụ là: 

2 

2 

2 

A. 30πcm 

B. 28πcm 

C. 24πcm 

D. 

5i 

2 

26πcm 

A 

B C 

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm 2;1;0 ; 1; 1;3 ; 3; 2;2 ; D 1;2;2 . Hỏi có 

ABC 

BCD 

CDA 

 

bao nhiêu mặt cầu tiếp xúc với tất cả bốn mặt phẳng , , , DAB ? 

A. 6 B. 7 C. 8 D. Vô số 

A 

B 

Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 1;2;3 , 4;2;3 , C 4;5;3 . Diện tích mặt cầu 

nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC làm đường tròn lớn là: 

A. 9π B. 36π C. 18π D. 72π 

M 

 

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 3; 1; 2 và mặt phẳng P : 

3x y 2z 

4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song (P)? 

: 3 2 6 0 

Q : 3x y 2z 

6 0 

A. Q x y z 

B. 

: 3 2 6 0 

Q : 3x y 2z 

14 0 

C. Q x y z 

D. 

 

2 

Câu 28. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn 2 f 2x f 1 2x 12x 

. 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

 

y f x 

tại điểm có hoành độ bằng 1 là: 

A. y 2x 

2 

B. y 4x 

6 

C. y 2x 

6 

D. y 4x 

2 

Câu 29. Tìm m để đồ thị hàm số 


 

 

y x 4 2 m 1 

x 2 m có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, 

trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực đại, B và C là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 

A. m 2 2 2 B. m 2 2 C. m 2 2 3 D. m 2 2 2 

 

5 x 

x 

e m3 . e 2 

 

2018 

Câu 30. Cho hàm số y . Biết rằng với mọi m a. e b c ( a, b, 

c ) thì hàm số đã 

2019 

 

cho đồng biến trên khoảng 2;5 . Giá trị của S a b c là 

 

A. S = 7 B. S = 9 C. S = 8 D. S = 10 

Trang 4

1 1 

Câu 31. Cho các số p,q thỏa mãn các điều kiện: p > 1, q > 1, 1 và các số dương a,b. Xét hàm 

p q 

p 1 

số y x (x > 0) có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và đường 

 

1 

thẳng x a ; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và đường thẳng y b ; S là diện tích 

 

2 

hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng x a , y b (xem hình vẽ bên). 

Khi so sánh 

S 

S 

1 2 

và S ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây? 

p q 

p1 q1 

p1 q1 

p q 

a b 

a b 

a b 

a b 

A. ab B. ab C. ab D. ab 

p q 

p 1 q 1 

p 1 q 1 

p q 

f x 

 

 

Câu 32. Cho hàm số có đạo hàm f x liên tục trên và thỏa mãn f x 1;1 

với 

x 

0;2 . Biết f 0 f 2 

1 

. Đặt I f xdx 

, phát biểu nào dưới đây đúng? 

2 

 

A. ;0 

B. 0;1 

C. 1; 

D. 

0 

I 

I 

I 

I 0;1 

Câu 33. Cho z , z là hai số phức thỏa mãn 2z i 2 iz , biết z1 z2 1. Tính giá trị của biểu thức 

P z z 

1 2 

1 2 

A. 3 

2 

P B. P 2 

C. P D. P 3 

2 

2 


 

 

Câu 34. Cho hàm số y f x xác định trên và có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên. Số tiếp 

 

tuyến của đồ thị hàm số y f x vuông góc với đường thẳng d : x 4y 

2018 0 là 

Trang 5

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 

ACD 

 

Câu 35. Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a và hai mặt phẳng , BCD vuông góc 

ABC 

 

với nhau. Tính độ dài cạnh CD sao cho hai mặt phẳng , ABD vuông góc. 

2a 

a 

a 

A. B. C. D. a 

3 

3 

2 

 

 

f x 5 

Câu 36. Biết các hàm số y f x 

và y đồng biến trên . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

2 

f x 1 

 

f x 1 

3 2 

A. 

B. 

 

f x 

1 

3 2 

C. 5 26 f x 5 26 

D. 

f 

 

 

f 

x 

x 

5 26 

5 26 

f x 

1 3 2 1 

3 2 

Câu 37. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. 

ABC 

cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua 

B và vuông góc với A C chia lăng trụ thành hai khối. Biết thể tích của hai khối là và với V V . 

Tỉ số 

V 

V 

1 

2 

bằng 

V1 

V2 

1 2 

1 

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

47 

23 

11 

7 

Câu 38. Cho tam giác SOA vuông tại O có MN // SO với M, N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA như hình 

vẽ bên dưới. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình 

nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R = OA. Tìm độ dài của MN theo h để thể tích khối trụ là 

lớn nhất. 


3 

h 

h 

h 

A. MN 

B. MN 

C. MN 

D. 

2 

3 

4 

h 

MN 

6 

A B 

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm 2;0;0 , 0;4;2 , C 2;2; 2 

. Gọi d là 

đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), S là điểm di động trên đường thẳng d, G và H 

lần lượt là trọng tâm của ABC 

, trực tâm của SBC 

. Đường thẳng GH cắt đường thẳng d tại S . Tính 

tích SA. 

SA 

3 

9 

A. SA. 

SA 

 

B. SA. 

SA 

C. SA. SA 

12 D. SA. SA 

6 

2 

2 

Trang 6

Câu 40. Lớp 12B có 25 học sinh được chia thành hai nhóm I và II sao cho mỗi nhóm đều có học sinh 

nam và nữ, nhóm I gồm 9 học sinh nam. Chọn ra ngẫu nhiên mỗi nhóm 1 học sinh, xác suất để chọn ra 

được 2 học sinh nam bằng 0,54. Xác suất để chọn ra được hai học sinh nữ bằng 

A. 0,42 B. 0,04 C. 0,23 D. 0,46 

Câu 41. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số 

phương trình 

3x 

2 

x 1 

m 

có hai nghiệm thực dương? 

3x 

2 

y . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để 

x 1 

A. 2 m 0 B. m 3 

C. 0 m 3 

D. m 3 

A 

 

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 6; 3;4 , B a; b; 

c . Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm 

của đường thẳng AB với các mặt phẳng tọa độ 

Oxy, Oxz, 

Oyz 

. Biết rằng M,N,P nằm trên đoạn AB 

sao cho AM = MN = NP = PB. Tính giá trị của tổng a b c . 

A. a b c 11 

B. a b c 11 

C. a b c 17 

D. a b c 17 

 

x 

 

Câu 43. Xét hàm số F x f t dt trong đó hàm số y f t có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị nào 

dưới đây là lớn nhất? 

2 


 

 

 

A. F 0 

B. F 1 

C. F 2 

D. 

Câu 44. Cho tứ diện ABCD có BC = CD = BD = 2a, AC = AD = a 

(ACD) và (BCD) có số đo là 

A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 


bằng 

 

F 3 

2 , AB = a. Góc giữa hai mặt phẳng 

1 

y x 3 , gọi S là tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số. Giá trị của S 

x 1 

Trang 7

9 

1 

7 

A. S 

B. S 

C. S D. S 4 

2 

2 

2 

Câu 46. Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình 

lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương 

nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ? 

A. 8 B. 16 C. 24 D. 48 

sin x 

2 

Câu 47. Phương trình 2017 sin x 2 cos x có bao nhiêu nghiệm thực trên 5π;2017π ? 

 

A. Vô nghiệm B. 2017 C. 2022 D. 2023 

Câu 48. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và 

E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong 

đó khối chứa điểm A có thể tích V. Tính V. 

3 

3 

3 

11 2a 

7 2a 

2a 

A. B. C. D. 

216 

216 

18 

 

2 2 

13 2a 

216 

2 

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 1 y z 2 9 ngoại tiếp khối 

bát hiện (H) được ghép từ hai khối chóp tứ giác đều S.ABCD và S. 

ABCD (đều có đáy là tứ giác ABCD). 

Biết rằng đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P): 

2x 2y z 8 0 . Tính thể tích khối bát diện (H) 

34 

665 

68 

A. V 

 

B. V C. D. 

H 

H 

 

V 

V 

H 

 

 

H 

9 

81 

9 


 

3 

1330 

81 

3 3 3 

sin x 2 cos 2x 2 2cos x m 1 2cos x m 2 3 cos x m 2 . Có 

2π 

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x 

 

0; ? 

3 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


Trang 8

ĐÁP ÁN 

1. A 2. A 3. A 4. D 5. A 6. B 7. B 8. B 9. B 10. D 

11. B 12. C 13. C 14. D 15. D 16. C 17. C 18. A 19. B 20. B 

21. B 22. B 23. C 24. B 25. D 26. C 27. C 28. D 29. A 30. D 

31. D 32. C 33. D 34. D 35. A 36. C 37. A 38. B 39. C 40. B 

41. A 42. B 43. C 44. D 45. C 46. C 47. D 48. A 49. C 50. C 

Câu 1. Chọn đáp án A. 


Quan sát bảng biến thiên, ta thấy ngay hàm số y f x có ba điểm cực trị là x 1, x 2 và x 3. 

 

 

Ghi nhớ: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên D. Nếu đạo hàm f x đối đầu bao 

nhiêu lần thì hàm số có bấy nhiêu điểm cực trị trên D. 


x 1 

Từ đồ thị, ta có tập xác định hàm số là D nên loại phương án B vì hàm số y có tập xác định 

x 1 

 

 

là \ 1 

. 

0;1 

 

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm và 0; 1 

nên loại hai phương án C, D. 


Phương án A: Đúng vì theo định lý trong SGK cơ bản 12 trang 6, ta có “Nếu 

K thì hàm số 

f 

x 

đồng biến trên K”. 

Phương án B: Sai vì trong một số trường hợp, 

 

 

f 

x 

f 

x 0 

 

với mọi x thuộc 

có thể không xác định tại a,b nhưng hàm số vẫn 

0;1 

f x 

đồng biến trên đoạn a; 

b . Ví dụ, xét hàm số f x x trên đoạn , có đạo hàm 

không xác định tại điểm 0 , tuy nhiên hàm số này vẫn đồng biến trên đoạn 0;1 . 

x 

0 

1 

 

2 2 

Phương án C: Sai vì thiếu điều kiện “ f x tồn tại tại hữu hạn điểm”. Mặt khác, khi xét hàm phân 

ax b 

ad bc 

thức y , nếu đạo hàm y 0 ad bc 0 thì khi đó hàm số là hàm hằng, không 

cx d 

cx 

d 2 

thỏa mãn với yêu cầu. 

f x 

 

Phương án D: Sai vì nghịch biến trên a; 

b f x 0 , x 

a; 

b và f x 0 chỉ tại hữu 

hạn điểm”. 

Câu 4. Chọn đáp án D. 

 

2 2 2 x 

Phương án A: h x 3x 1 cos x 3x 

2sin 0 , x 

Hàm số h x 

đồng biến trên . 

2 

2 0 

Phương án B: k x , x 

nên hàm số k x luôn đồng biến trên . 

 

2 

2 2 

Phương án C: g x 3x 12x 15 3 x 4x 5 3 x 2 3 0 , x 

nên hàm số g x luôn 



 

Trang 9

6 

6 

Phương án D: f x 

x 

1 f x 

1 0 , x 

1 

nên hàm số f x 

luôn nghịch 

x 1 

x 1 

biến trên từng khoảng xác định. 

 

 

2 

k x 

 

Như vậy các hàm số h x , g x , đồng biến trên , còn hàm số f x thì nghịch biến trên từng 

khoảng xác định. 


x 

0 

Ta có log2 

x 0 x 0;1 

. 

0 

x 

2 

Câu 6. Chọn đáp án B. 

Do 

2 

nên hàm số xác định khi 

5 2 

2x 8 0 x 2 4 

 

Vậy tập xác định của hàm số là D ; 2 2; . 

Chú ý: Tập xác định của hàm số 

y x 

+ Với α nguyên dương thì tập xác định là . 

α 

x 

2 

 

x 

2 

tùy thuộc vào giá trị của α. Cụ thể: 

+ Với α nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định là \ 0 

. 

+ Với α không nguyên thì tập xác định là 0; . 

Từ đó, ta có thể tìm được tập xác định của hàm số tổng quát y 

u x 

. 


1 

Ta có f x dx sin 5x 2 

dx cos5x 2x C . 

5 


Ta có 

z 

2 

6z 

13 0 z 

2 6z 

9 4 

z 3 2i 

 

Vậy z 2z 3 2i 2 3 2i 9 2i 

. 

1 2 


 

 

2 2 z 

3 2i 

 

1 z2 

3 2i 

* 

Gọi diện tích được tô màu ở mỗi bước là , n . Dễ thấy dãy các giá trị u là một cấp số nhân với số 

4 

1 

hạng đầu u1 

và công bội q . 

9 

9 

Gọi 

S k 

là tổng của k số hạng đầu trong cấp số nhân đang xét thì 

Để tổng diện tích phần được tô màu chiếm 49,99% thì 

u n 

u 

 

 

k 

1 

q 1 

q 1 

S 

k 

 

u 1 1 

q 

 

1 

q 

0, 4999 

α 


k 

n 

 

Trang 10

4 1 

1 

k 

9 9 

1 

1 

9 

 

 

0,4999 

1 

1 1 

0,4999 

2 9 k 

 

1 1 

. 

9 k 

5000 

9 k 5000 k 3,9 

Vậy cần ít nhất 4 bước. 

FOR REVIEW 

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu u 1 

và công bội q được tính theo công thức : 


S 

n 

 

u 1 1 

q 

 

1 

q 

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, từ giả thiết suy ra BH 

ABCD . 

 

 

Khi đó BB,( ABCD ) BB, BH BBH 

60. 

Ta có BB a 

a 

.cos .cos 60 

2 2 a 3 

BH BB 

BBH a , BH BB BH . 

2 

2 

2 

3 3 a 3a 

Gọi M là trung điểm BC, suy ra BH BM BM BH . . 

3 

2 2 2 4 

Đặt AC x 0 BC AC.tan BAC x.tan 60 x 3 

2 2 

AB AB AC 2x 

. 


Lại có AC 2 2 

2 2 2 2 13 3 

3 

x x a 3a 

BM BC CM BC x x . 

4 4 2 4 2 13 

k 

 

 

 

 

2 

3a 

3 3a 

6a 

1 9 3a 

AC , BC , AB S ABC 

. AC. 

BC (đvdt). 

2 13 2 13 2 13 2 104 

Vậy V 

AABC 

2 3 

1 1 a 3 9 3a 9a 

BH . S 

ABC 

. . (đvdt). 

3 3 2 104 208 


Khi quay đường gấp khúc BCDA quanh trục AB, ta được một hình trụ có bán kính đáy 

2 

2 2 2 

R BC AC AB a 5 a 2a 

, chiều cao h AB a . 

Trang 11

Diện tích xung quanh của hình trụ là 

Câu 12. Chọn đáp án C. 

S 2 Rh 2 .2 a. a 4 

a 

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy là a 2 . 

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oyz là b 1. 

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxz là c 3. 

xq 

 

 

 

 

 

 

2 

(đvdt). 

Vậy 

P a b c 

2 3 2 3 

 

2 1 3 30. 

Trong không gian Oxyz, cho điểm M x ; y ; z 

0 0 0 

MEMORIZE 

Oxy 

0 

Oyz 

0 

Oxz 

0 

1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là d M ; Oxy z . 

2. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là d M ; Oyz x . 

3. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là d M ; Oxz y . 


 

Đường thẳng d1 

đi qua điểm M 1;2;3 

và nhận vectơ chỉ phương u1 2;3;4 

. 

 


nhận vectơ chỉ phương u2 4;6;8 

. 

 

Nhận thấy u2 2. u1 

nên u 1 

và u 

2 

cùng phương. 

1 3 4t 

1 

Mặt khác, giả sử M d 2 

thì 2 5 6t 

t . Do vậy điều giả sử này là đúng. 

2 

3 7 8t 

Vậy d d . 

1 2 

0 0 0 

Bài toán: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x x y y z z 

1 

 

 

có 

a b c 

 

0 0 0 

vectơ chỉ phương u1 a; b; 

c 

và đường thẳng d : x x y y z z 

2 

có vectơ chỉ phương 

a b c 

 

u2 a; b; 

c 

. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1 

và d2 

. 

Phương pháp giải: Đường thẳng 

1 

đi qua điểm M x0; y0; 

z0 

và đường thẳng d2 


 


 

d 

M x 0; y 0; 

z 

0 

. 

 

Trường hợp 1: Nếu u , u cùng phương. Lấy điểm M x ; y ; z d và kiểm tra: 

1 2 

+ Nếu M d 2 

thì hai đường thẳng d1, 

d2 

trùng nhau. 

 

 

0 0 0 1 

+ Nếu M d 2 

thì hai đường thẳng d1, 

d2 

song song. 

 

Trường hợp 2: Nếu u , u không cùng phương. Xét hệ phương trình: 

1 2 

Trang 12

x0 at x 

0 

at 

 

y0 bt y 

0 

bt 

(I) 

 

z0 ct z 0 

ct 

+ Nếu hệ (I) vô nghiệm thì hai đường thẳng và d chéo nhau. 

d1 

2 

+ Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng và d cắt nhau. 

d1 

2 

DISCOVERY 

Ta áp dụng phần lý thuyết ở trên để giải các bài toán bên đây. Ngoài ra, để xét vị trí tương đối giữa hai 

đường thẳng d1 

và d2 

ta sử dụng công thức dưới đây: 

 

+ d1 d2 

u 1 

, u 2 

u 1 

, MM 

 

0 

 

u , u 

 

0 

+ d1 

// d2 

1 2 

 

 

u1, MM 

0 

 

 

u1, u 

2 

0 

+ d1 

cắt d2 

 

 

 

u1, u2 

. MM 0 

 

 

+ d1 

chéo d2 

u 1 

, u 2 

. MM 

 

0 

Bài tập tương tự: 

x 

1 

3t 

 

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 

: y t và 

 

z 

1 2t 

d 

2 

x 1 y 2 z 3 

: . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 

và d2 

là 

3 1 2 

A. Song song B. Trùng nhau C. Cắt nhau D. Chéo nhau 

x 3 y 2 z 1 

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 

: và 

1 2 1 

x 

t 

: 

d 2 2 y 

 

 

z 

2 t 


. Vị trí tương đối của và d là 

d1 

2 

A. Song song B. Trùng nhau C. Cắt nhau D. Chéo nhau 

x 

1 

at 

 

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : y 2 t và 

 

z 

2t 

Trang 13

x y 3 z 2 

d : . Với giá trị nào sau đây của a thì d và d song song với nhau? 

2 1 2 

A. a 0 

B. a 1 

C. a 2 

D. Không tồn tại 


Đáp án: 1A; 2D; 3C. 

 

2 

Rút ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ trong số 9 thẻ. Số phần tử của không gian mẫu là n C 9 

36 . 

Gọi A là biến cố “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn”. 

Trong số 9 thẻ đã cho có 4 thẻ mang số chẵn được đánh số 

1;3;5;7;9 

. Ta xét hai trường hợp sau: 

 

2;4;6;8 

+ Hai thẻ rút ra có 1 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn. Có 5.4 20 cách rút. 

2 

+ Hai thẻ rút ra đều mang số chẵn. Có C cách rút. 

4 

6 

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A 20 6 26 . 

n A 26 13 

Vậy xác suất cần tính là P 

A 

. 

n 36 18 



x 

2 2 

2 

1 

 

2 2 

y x x 

 

 

 

 

x 

 

 

 

1 1 

x x 1 x x 1 

có: 

 

và 5 thẻ mang số lẻ được đánh số 

1 

lim y lim 0 Đồ thị hàm số này nhận đường thẳng y 0 làm tiệm cận ngang. 

x 

x 

2 

x x 1 

 

 

Ghi nhớ: Cho hàm số y f x xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; 

, 

;b 

 

y f x 


hoặc ; 

. Đường thẳng y y0 

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 

lim 

x 

 

0 0 

f x y ; lim f x y . 

x 

x 

1 

2 

Ta có y 3x 4x 

7 ; y 0 

7 . Do x 2;1 

nên chọn x 1. 

x 

 

3 

y y 

Lại có 2 1; 1 7 ; y 1 5 nên max y y 1 5 . 

 

 

2;1 

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên đoạn a; 

b . 

Phương pháp giải: 

 

- Bước 1: Tính đạo hàm f x . 

 

 

 

 

 

- Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm x a b của phương trình f x 0 và tất cả các điểm 

αi 

 

 

a; 

b 


làm cho 

f 

x 

1 

; 

không xác định. 

Trang 14

f b 

f x 

- Bước 3: Tính các giá trị f a , , 

i 

, f i 

. 

- Bước 4: So sánh các giá trị tính được ở bước 3 và kết luận giá trị lớn nhất M max f x , giá 

trị nhỏ nhất m min f x . 

 

 

a; 

b 

 

 

 

a; 

b 

 

DISCOVERY 

Trên đây là phương pháp giải chung cho bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn. 

Áp dụng phương pháp này, ta giải các bài tập tương tự ở bên. 


2 

x 2x 

3 

1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y 

trên đoạn 

x 1 

11 

A. min f x 

2 ; max f x 

. B. min f x 

2 2 ; max f x 

3 . 

2;4 

2;4 

3 

2;4 

2;4 

11 

C. min f x 

2 2 ; max f x 

. D. min f x 

2 ; max f x 

3 . 

2;4 

2;4 

3 

2;4 

2;4 

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 2 x 1 6 x . 

A. 2 B. 3 C. 5 D. 4 

4 2 

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4x 

1 

trên đoạn 1; 5 

 

 

 


A. 4 và 4 

B. 5 và 1 C. 5 và 4 

D. 4 và 1 


 

 

2 

Hàm số y ln x 2x m 1 

có tập xác định là x 2 2x m 1 0, 

x 

 

2 

 

 

1 m 1 m 0 . 

Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 

 

2018;2018 

 

2 

 

là 2018 số. 


Ghi nhớ: Xét tam thức bậc hai f x ax bx c với a 0 . 

a 0 a 0 

+ f x 0 , x 

ax 2 bx c 0 , x 

hoặc . 

0 

0 

a 0 a 0 

+ f x 0 , x 

ax 2 bx c 0 , x 

hoặc . 

0 

0 


2 

1 1 1 

2m 

Ta có log 28 log 2 .7 log 2 m . 

2 2 2 

 

49 2 

7 

7 

 

DISCOVERY 

Sử dụng các công thức biến đổi logarit, ta giải các bài toán tương tự ở bên. 

 

2;4 

 

Đáp án: 1C; 2C; 3C. 

Trang 15


1 

1. Nếu log 3 a thì bằng 

log 100 

81 

4 

a 

A. a 

B. 16a 

C. D. 2a 

8 

2. Nếu a log2 

3 và b log2 

5 thì 

6 1 1 1 

A. log2 

360 a b 

B. 

3 4 6 

6 1 1 1 

C. log2 

360 a b 

D. 

6 2 3 

3. Tính log30 

1350 theo a, 

b với log30 

3 a và log30 

5 b . 

6 1 1 1 

log2 

360 a b 

2 6 3 

6 1 1 1 

log2 

360 a b 

2 3 6 

A. 2a 

b 1 

B. 2a 

b 1 

C. 2a 

b 1 

D. a 2b 

1 


2x3 x2 

2 3.2 1 0 

x 

2 

1 3 x 

. 2 .2 1 0 2 x 

 

 

4 

x 

8 4 

2 2 

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 2 1 3. 


Với mọi số thức k ta có 

k 

 

x 

2 

 

x 

1 

k 

3 2 3 2 

2 

ax bx a. k b. 

k 

f xdx ax bx cdx 

 

cx c. 

k . 

3 2 3 2 

0 0 0 

Từ giả thiết 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

0 

2 

 

0 

3 

 

0 

f 

f 

f 

7 

x dx 

2 

 

 

x dx 2 

13 

x dx 

2 

 

 

16 4 

Vậy P a b c 1 3 . 

3 3 


k 

1 1 7 

 

a b c 

3 2 2 

a 

1 

8 

 

a 2b 2c 

2 

b 

3 

3 

16 

9 13 c 

 

9a b 3c 

3 

2 2 

1 

u 

1 

ln x du dx 

1 

ln x 

x 

Ta có I f x dx dx . Đặt . 

2 1 

x dv 

dx 1 

2 

x 

v x 

1 1 1 1 1 

Khi đó I 1 ln x dx 1 ln x C ln x 2 

C . 

2 

x 

 

x x x x 

Suy ra a 1; b 2 . Vậy S a b 1. 


Đáp án: 1D; 2D; 3C. 

Trang 16


z 

3 2 

Ta có iz 2z 1 i 

z i 0 2 

1 

i 

z i iz z 1 

0 

. 

2 

iz 

z 1 0 * 

 

Vì z1 

i 

là số thuần ảo nên 

2, 

3 

là nghiệm của phương trình * . Theo định lý Vi-ét ta có 

1 i 

z2 z3 z2z3 i 

. 

2 

i i 

2 2 2 

 

z z 

Khi đó z z z z 4. z z i 4 i 1 

4i 

. 

2 3 2 3 2 3 

z z 2 

i 2 4 

P z z z z 

2 3 

1 4 17 

2 

2 

Với mọi số phức z ta luôn có z z z z . 

2 

2 3 2 3 

17 

DISCOVERY 


Số phức z 5 2i 

có phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 2. 


Gọi h và r lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình trụ (T). 

Từ giả thiết suy ra thiết diện hình chữ nhật có chiều dài là h và chiều rộng bằng 2r ( h 2r 

). 

h.2r 

20 .2 20 

Ta có 

 

2h 

2r 

18 

h r 

h 

2r 

9 

2 

X 

4 

h và 2r là nghiệm của phương trình X 9X 

20 0 . 

X 

5 

Mà h 2r nên 

h 

5 

 

2r 

4 

 

 

h 5 cm 

 

r 2 cm 

 

 

2 2 

Diện tích toàn phần của hình trụ là S 2πr 2πrh 2πr r h 2π.2. 2 5 28π cm . 

tp 

. 

 


FOR REVIEW 

Hình trụ có bán kính đường tròn đáy r, chiều cao h thì diện tích toàn phần được tính theo công thức: 

2 

Stp 

2πr 2πrh 

Trang 17


Ta có: 

 

AB 

1; 2;3 

 

AC 

1; 3;2 

 

 

AD 3;1;2 

 

 

 

 

AB. AC 5;5;5 

 

và AB, AC 

. AD 5. 3 

5.1 5.2 0 . 

Suy ra bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Vậy có vô số mặt cầu tiếp xúc với tất cả bốn mặt phẳng (ABC), 

(BCD), (CDA), (DAB). 

MEMORIZE 

 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điều kiện để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là AB, AC 

. AD 0 

. 


Ta thấy 

 

ABC 

 

2 2 2 

AB 4 1 2 2 3 3 

3 

 

 

2 2 2 

BC 

4 4 5 2 3 3 

3 

 

2 2 2 

AC 

4 1 5 2 3 3 

3 2 

 

AB 2 BC 2 18 

AC 

2 

AC 3 2 

vuông cân tại B và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC 

là R . 

2 2 

2 

Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là S 4 

r 18 

. 

MEMORIZE 

Đường tròn lớn hay vòng tròn lớn của một mặt cầu là giao điểm của mặt cầu và một mặt phẳng mà đi qua 

tâm của mặt cầu đó. Như vậy một đường tròn lớn sẽ có tâm là tâm của mặt cầu và bán kính bằng bán kính 

mặt cầu. 


Q 

P 

 

Do // nên mặt phẳng Q có PT dạng 3x y 2z m 0 ( m 4 ) 

Mà 

M 

3; 1; 2Q 

 

: 3 2 6 0 

Vậy Q x y z . 


3.3 1 2. 2 m 0 m 6 

(thỏa mãn). 

2 

1 

Từ 2 f 2x f 1 2x 12 x * 

, cho x 0 và x ta được hệ phương trình sau: 

2 

f 

 

 

 

2 0 f 1 0 

 

 

f 0 2 f 1 3 


f 

 

f 

 

 

0 1 

1 2 

* 

 

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức ta được 4 f 2x 2 f 1 2x 24x 

. 

Trang 18

1 

Cho x 0 và x ta được 

2 

 

 

 

 

 

 

4 f 0 2 f 1 0 f 0 2 

 

 

4 f 1 2 f 0 12 

f 1 4 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm x 1 

là 

 

1 1 1 

 

y f x f 

y 4 x 1 2 y 4x 

2 . 

MEMORIZE 

 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ x x được lập qua công thức 

. 

y f x x x f x 

0 0 0 


3 

Ta có y 4x 4 m 1 

x ; 0 

 

 

2 

y x x 

m 

 

 

0 

x 

0 

4 1 

0 

x 2 

m 1 

Để hàm số có ba cực trị thì phương trình y 0 có 3 nghiệm phân biệt 

m 1 0 m 1. 

A 

m 

 

Theo đề bài ta có A là điểm cực đại, B và C là hai điểm cực tiểu nên 0; , B m 1; m 2 m 1 

, 

 

C m m m 

2 

1; 1 

 

. 

Để OA BC m 2 m 1 

m 

2 4m 

4 0 m 2 2 2 (thỏa mãn). 


x 

Ta có 

 

5 x 

x 

e m3 . e 2 

5 x 2018 2018 

y 

e m 3 . e 2 

 

 

. .ln 

2019 2019 

5x 

x 2018 2018 

y 

 

5e m 3 . e 

. .ln . 

2019 2019 

 

 

5 x 

x 

e m3 . e 2 

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2;5 thì 0 , x 

 

 

 

 

 

 

y 2;5 

5 

5 x 

x 

4x 

e m 3 . e 0 , x 

2;5 m 5e 

3, x 

2;5 (1) 

4 

 

 

 

Xét hàm số 5 x 

4 

f x e 3 trên khoảng 2;5 . Ta có f x 20e 

x 0 , x 

2;5 nên hàm số 


2;5 

 

đồng biến trên và f 2 f x f 5 . 

a 

5 

8 

Suy ra (1) m f 2 5e 

3 . Vậy b 

8 S a b c 10 

. 

c 

3 

f 

x 

m f x 

, x D m max f x . 

m f x 

 

, x D m min f x . 

 

D 

D 

MEMORIZE 

Trang 19


a p 

a 

p 

p1 

x a 

Ta có S1 

x dx và S ab . 

p p 

0 0 

b 

1 

p 

1 

1 

1 

1 

 

b 

p1 p1 

1 q 

p 1 y p 1 b 1 

 

 

p b 1 1 

Lại có S2 

y dy 1 . b do . 

1 

1 

0 

1 

p p q p q 

p 1 

0 

p q 

a b 

Quan sát hình vẽ ta thấy ngay S1 S2 

S . Suy ra ab . 

p q 


2 1 2 

u f x du f x dx 

Ta có I f xdx f xdx f xdx 

. Đặt . 

0 0 1 

dv dx v x 1 

Khi đó: 

1 

1 1 1 1 

0 0 0 0 0 

 

1 

f xdx x 1 f x x 1 f x dx 1 1 x f x dx 1 1 x 

dx 

2 

 

2 

2 2 2 2 

1 

f xdx x 1 f x x 1 f x dx 1 1 x f x dx 1 1 x 

dx 

2 

 

1 1 1 1 1 

1 2 

1 1 

Từ (1) và (2) suy ra I f xdx f xdx 

1 . 

2 2 


0 1 

Giả sử z x yi ,( , ). Từ giả thiết ta có 

 

 

x y 2 x yi i 2 i x yi 

2 2 

2x 2y 1i 2 y xi 

2 2 

4x 2y 1 y 2 x x 

2 y 

2 1. 

Suy ra tập hợp các điểm A,B biểu diễn hai số phức , là đường tròn tâm O 0;0 , bán kính 

R 1 

OA OB 

1 2 

(1) 

(2) 

z z 

Giả sử z1 a1 b1i 

, z2 a2 b2i 

, ( 

1, 2, 1, 

2 

). Khi đó 

1; 

1 

, B a2; 

b2 

. 

Từ giả thiết 

z 

1 

z2 1 

ta được: 

a a b b i 

 

1 2 1 2 

1 

a a b b Aa b 

2 2 

1 2 1 2 

1 

a a b b AB 1. 

Từ đó OA OB AB OAB 

đều cạnh bằng 1. 

 

Gọi M là trung điểm AB thì a 1 

b 1 2 2 

; 

a b AB 3 3 

M 

và OM . 

2 2 

2 2 

2 2 

Khi đó P z z a a b b i a a b b 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 

2 2 


a1 a2 b1 b2 

3 

2 2OM 

2. 3 . 

2 2 

2 

Trang 20


Gọi là tiếp tuyến cần tìm. 

Do d : y 1 x 1009 nên hệ số góc của đường thẳng là k 4 . 

4 2 

4 

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình f x (*) 

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y 4 cắt đồ thị hàm số y f x tại 1 điểm nên phương trình (*) 

có một nghiệm duy nhất. 

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài. 


 

Gọi N là trung điểm của CD thì 

AN 

BN ANB 

vuông tại N. 

Gọi M là trung điểm của AB thì CM AB . 

 

AN CD . Do ACD BCD 

Do ABC ABD CM ABD CM DM . 

Ta có ABC 

ABD 

MC MD MCD 

vuông cân tại M. 

AN BCD 

2 

2 

2 2 2 x 

2 2 2 2 x 

Đặt CD x AN BN a AB AN BN 2a 

. 

4 

2 

2 

1 1 2 x 

1 

Ta có MN AB 2 a , mà MN CD nên 

2 2 2 

2 

 

2a 

2 

x 

x 4a 

2 3x 

2 2 a 

x . 

2 

3 

2 2 


Ta có 

 

y 

x 

2a 

x 

2 2 2 

2 

1 2 1 

f x 

5 

f x f x f x f x f x 

y 

 

 

2 

2 

f x 

1 

 

2 

 

f x 

1 

 

2 

 

f x . 

f x 10 f x 1 

 

 

f 

2 


x 

1 

 

2 

2 

. 1 

5 .2 . 

 

Trang 21

Do hai hàm số cùng đồng biến trên nên 

2 

 

f x . 

f x 10 f x 1 

 

 

2 

2 

 

f x 

1 

 

 

f x 

0 

5 26 f x 5 26 . 

f 2 

x 10 f x 

1 0 


Gọi H là trung điểm của AC 

, do ABC 

đều nên BH AC 

. 

 

Mà ABC 

ACCA 

BH 

ACCA 

BH AC 

. 

 

 

Trong mặt phẳng ACCA 

, kẻ HE AC 

và HE AA I . 

BH 

AC 

Ta có AC 

BHI 

P BHI 

và mặt phẳng P 

chia khối lăng trụ thành hai 

HI 

AC 

khối: Khối tứ diện BHAI 

và khối đa diện BBIHCCA 

. 

a 

Từ AEH 

∾ ACC 

A E A C 

a. 

AC. AH 

5 

 

2 a 

AE 

. 

AH 

AC 

AC 2 

a 2a 

10 

2 

Từ AIH 

∾ CAC 

IH A C 

2 

 

2 a 

a 2 a . 

AC. A 

 

H 

5 

 

2 a 

IH . 

AH 

CC 

CC 

2a 

4 

2 

1 1 a 3 a 5 a 15 

Có S 

BHI 

BH . HI . . . 

2 2 2 10 16 

V 

2 3 

1 1 a 5 a 15 a 3 

. AE. S 

B HI 

. . . 

3 3 10 16 96 

BHAI 

 

3 3 

a 3 a 3 

Lại có VABC. 

ABC 

S 

ABC. AA .2a= 

V V 

. 

V 

4 2 

3 3 3 

a 3 a 3 47a 

3 

VBB IHC CA 

. 

2 96 96 


3 

3 

a 3 47a 

3 V1 

1 

Vậy V1 

V2 

và . 

96 96 V 47 

2 

BBIHC CA ABC ABC BHAI 

Trang 22


Đặt MN x ,( 0 x h ). 

MN NA MN. OA x. 

R 

Ta có MN // SO nên NA 

. 

SO OA 

SO 

h 

xR 

ON R 

h 

x 

Khối trụ thu được có bán kính đáy ON 1 . 

R và chiều cao MN x . 

h 

2 2 

x R 

V . ON . MN . 

1 

R . x h x h x .2x 

2 

h 2h 

2 2 

Thể tích khối trụ là 

 

2 2 3 2 

R h x h x 2x 

R 8h 4R h 

V . . 

2 

 

2 

2h 

3 2h 

27 27 

h 

h 

Dấu bằng xảy ra khi 2x h x x . Khi đó MN . 

3 3 

Với ba số dương a, b, c thì 

a b c . 


3 

a b c 

abc 

3 

MEMORIZE 

3 

(bất đẳng thức Cauchy). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 

Nhận thấy AB BC CA 2 6 nên ABC 

đều. Do G là trọng tâm của ABC 

nên CG AB , mà 

CG SA CG SAB 

CG SB . Lại có CH SB (H là trực tâm của SBC 

) nên SB CHG 

. 

Suy ra SB GH . 

Gọi M là trung điểm của BC. 

Ta có BC SA , BC AM BC SAM BC GH . 

 


 

 

Như vậy GH SBC GH SM hay SH SM SS H 

SMA . 

AS AG 

Suy ra ASG 

∾ AMS 

 

AM AS 

2 2 

2 2 AB 3 2 2 6. 3 

AS. AS AM. AG AM. AM . . 12. 

3 3 

2 3 2 

 

Trang 23


Gọi x, y lần lượt là số học sinh nữ ở nhóm I và nhóm II. Khi đó số học sinh nam ở nhóm II là 

 

 

25 9 x y 16 

x y . Điều kiện để mỗi nhóm đều có học sinh nam và nữ là x 1, y 1, 

16 x y 1; x, 

y . 

C C 

Xác suất để chọn ra được hai học sinh nam bằng 

C 

9 

16 x y 

9 x16 

x 

0,54 

144 9x 

9y 

0,54 

144 7x 

x 

 

2 

1 1 

9 16x 

y 

1 1 

9xC16x 

x 

1 

 

2 

 

184 71 3 

x x 1 

25 50 50 

Ta có hệ điều kiện sau 

184 71 3 

 

 

 

 

25 50 50 

x 

 

x 

1 

 

3 2 

 

71 159 

x x 0 

50 50 25 

 

 

50 50 25 

 

x 

2 21 191 2 

x x 0 

2 

16 x x x 1 

0,54 

184 71 3 

y x x 

25 50 50 

x 

1 

 

53 

x 

 

3 

 

 

x 

6 

1 x 

6 

 

x 

 

21 

5 201 21 

5 201 

x 

 

6 6 

x 

 

Ta có bảng các giá trị của x, y: 

x 1 2 3 4 5 6 

y 

6 

(thỏa) 

119 

25 

(loại) 

91 

25 

(loại) 

66 

25 

(loại) 

Vậy ta tìm được hai cặp nghiệm nguyên ; thỏa mãn điều kiện là và 6;1 . 

2 

44 

25 

(loại) 

x y 

1;6 


1 1 

CxCy 

xy 

Xác suất để chọn ra hai học sinh nữ là 

. 

1 1 

C9 

xC16x 

9 x16 

x 

1 

(loại) 

1 

Nếu x; y1;6 , 6;1 

thì xác suất này bằng . 

25 0,04 


3x 

2 

3x 

2 

Số nghiệm của phương trình m chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y và đường 

x 1 

x 1 

thẳng y m . 

Trang 24

3x 

2 2 

khi x 

3x 

2 x 1 3 

Ta có y 

nên đồ thị C 

có được bằng cách: 

x 1 

3x 

2 2 

khi x 

 

x 1 3 

3x 

2 

2 

+ Giữ nguyên phần đồ thị y ứng với phần x . 

x 1 

3 

3x 

2 

2 

+ Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị y ứng với phần x . 

x 1 

3 

Hợp của hai đồ thị là 

 

C 

 

(quan sát hình vẽ bên). 

3x 

2 

Từ đồ thị, để phương trình m có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số 

x 1 

3x 

2 

y 

x 1 

cắt đường thẳng y m tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương 2 m 0 . 

ax b 

ax b 

Bài toán: Phép biến đổi đồ thị C : y thành đồ thị C : y . 

cx d 

cx d 


ax b b 

khi x 

ax b cx d a 

- Bước 1: Ta có y 

. 

cx d ax b b 

khi x 

 

cx d a 

ax b 

ax b 

- Bước 2: Từ đồ thị C : y , để biến đổi thành đồ thị C : y ta thực hiện liên 

cx d 

cx d 

tiếp các bước sau đây: 

b 

+ Trên miền 

; giữ nguyên phần đồ thị (C). Bỏ phần đồ thị (C) nằm trên miền . 

a 

b 

 

; 

 

 

a 

 

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa bị bỏ qua trục hoành Ox. 


Áp dụng bài toán tổng quát, ta giải bài toán sau đây. 

DISCOVERY 

Trang 25

Bài toán tổng quát: Biến đổi đồ thị (C) của hàm số 

y u( x) . v( x) 

y u( x). v( x) 

thành đồ thị (C’): 


Bước 1: Ta có 

Bước 2: Cách vẽ (C’) từ (C) 

u( x). v( x) khi u( x) 0 

y u( x) . v( x) 

 

u( x). v( x) khi u( x) 0 

+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) trên miền u( x) 0 của đồ thị (C).Bỏ phần đồ thị (C) trên miền 

u( x) 0 

+ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa bị bỏ qua trục Ox 

Bài tập tương tự: Hàm số 

2 

thị hàm số y x 2 . x 1 

? 

 

2 

2 1 

y x x 

 

A. B. 

có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ 


C. D. 

Đáp án: A. 


: 0 

Các phương trình Oxy z ; Oyz : x 0 ; : 0 . Giả sử ; ;0 , N x ;0; z , 

 

P 0; y ; z 

P 

P 

 

Oxz y M x y 

6 xN 

3 4 zN 

. Theo giả thiết ta có M là trung điểm của AN nên ta có M 

 

; ; 

 

. 

2 2 2 

M 

M 

N 

N 

Trang 26

4 z 

Do zM 

0 nên N 

3 

0 zN 

4 

M x M 

; ;0 

và N xN . 

2 

2 

;0; 4 

xM 2yP 3 zP 

 

Lại có N là trung điểm của MP nên N ; ; . 

2 4 2 

2yP 

3 

0 

yN 

0 

3 

4 yP 

 

3 

Mà nên 2 Khi đó P . 

zN 

4 

z 

0; ; 8 

 

 

P 

4 

 

2 

zP 

8 

 

2 

6 xN 

xM 

 

 

Từ 

2 

 

2 x 6 

M 

xN 

xM 

4 

3 

 

. Vậy M 4; ;0 , . 

xM 

xM 

2xN 

0 

xN 

 

xN 

2 

 

 

N 2;0; 4 

2 

2 

xB 

6 2 2 6 

a 

2 

 

 

Mặt khác AB 2AN 

yB 

3 20 3 

B2;3 12 

b 

3 . 

 

zB 

4 24 4 

c 

12 

 

 

 

Vậy a b c 2 3 12 11. 


Bảng xét dấu: 

0 2 

 

 

 

Suy ra F 0 f t dt f t dt 0 ; F 1 f t dt f t dt 0 ; F 2 f t dt 0 ; 

F 

 

3 

 

 

3 f t dt 0 . 

2 

 

2 0 

1 2 

2 1 

Vậy F 2 là giá trị lớn nhất trong các giá trị F 0 , F 1 , F 2 , F 3 . 

 

 

 

 

MEMORIZE 

Cho hàm số y f x liên trục trên đoạn a; 

b . Khi đó: 

a 

 

0 

+ f x dx . 

a 

f x 0 

+ Nếu , x 

a; 

b thì f x dx 0 . 

f x 0 0 

+ Nếu , x a; 

b thì f x dx . 



b 

 

a 

b 

 

a 

 

 

2 

2 

Trang 27

Gọi M là trung điểm của CD. Do BC CD BD BCD 

đều BM CD . 

Lại có AC AD ACD 

cân tại A AM CD . 

 

Khi đó ( ACD 

),( BCD) AM , BM . 

 

2 2 2 

AC AD CD 

AM là đường trung tuyến của ACD 

AM a . 

2 4 

CD. 3 2a 

3 

AM là đường trung tuyến của BCD 

BM a 3 . 

2 2 

2 

Trong ABM 

ta có 

2 2 

2 2 2 

MA MB AB a a 3 a 3 

cos ABM 

2 MA. MB 2. a. a 3 2 

AMB 30 hoặc AMB 150 

 

 

 

Do 0 ( ACD 

),( BCD ) 90 nên ( ACD ),( BCD ) AM , BM 30 . 

MEMORIZE 

2 2 2 

2 b c a 

1. Cho ABC 

có các cạnh AB c , AC b , BC a và M là trung điểm BC. Ta có MA . 

2 4 

a 3 

2. Nếu ABC đều cạnh a thì MA . 

2 

3. Góc giữa hai mặt phẳng luôn có số đo thỏa mãn 0 ( P 

),( Q ) 90 . 


Tập xác định D \ 1 

. 


 

 

1 

x 3 khi 3 x 1 

1 x 1 

Ta có y x 3 

. 

x 1 

1 x 3 khi x 3 

 

x 1 

 

 

 

Trang 28

1 

1 khi 

2 3 x 1 

x 1 

x 

2 

Đạo hàm y ; y 0 . 

1 

 

1 khi x 3 

2 

x 

0 

 

x 1 


x 3 

2 

1 

0 

y' | + 0 || 0 + 

y 0 

 

1 

 

2 

 

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị và tổng tất cả các giá trị cực trị của hàm số là 

1 7 

S 0 4 . 

2 2 


Mỗi mặt sẽ có 4 phần thuộc hình chỉ được tô một lần tức là mỗi mặt sẽ sinh ra 4 hình lập phương thỏa 

mãn yêu cầu bài toán, ta có 6 mặt, từ đó ta có 24 hình thỏa mãn yêu cầu. 


sin x 

2 

Phương trình tương đương với 2017 sin x 1 

sin x . 

2 

Đặt t sin x , t 1;1 thì phương trình trở thành 2017 t t 1 

t . 

 

 


2 

2 2 

t.ln 2017 ln t 1 t 0 , do t 1 t t t t t 0 , t 

. 

 

2 

Xét hàm số f t t.ln 2017 ln t 1 t trên 1;1 . 

 

2 

t 1.ln 2017 1 ln 2017 1 Đạo hàm f t 

0 , t 

1;1 

. 

2 2 

1 

t 

1 

t 

4 

Trang 29

f t 

 

 

Suy ra hàm số đồng biến trên 1;1 

. Mà f 0 0 nên phương trình f t 0 có duy nhất một 

nghiệm t 0 

Như vậy sin x 0 x k , ( ). Vì x 5 ;2017 

nên 5 k 2017 . 

k 

 

Vậy có 2017 5 1 2023 giá trị k nên phương trình đã cho có 2023 nghiệm thực trên 5 ;2017 

. 

 

MEMORIZE 

Nếu hàm số y f x liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình f x 0 có nhiều nhất một nghiệm 

trên D. 


Gọi Q, P lần lượt là giao điểm của EM, EN với AD và CD. Khi đó thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi 

mặt phẳng (MNE) là tứ giác MNPQ. Tức là mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa 

diện: Khối đa diện ACMNPQ có thể tích V và khối đa diện BDMNPQ có thể tích V . 

Đặt V 

V . Ta có V V 

. 

V 

. 

1 ABCD 

ACMNPQ E AMNC E ACPQ 

1 

S . MB . BN .sin MBN 

MBN 

1 1 1 

Lại có 2 MB BN 

1 

. . S 

MBN 

S 

ABC 

. 

S 1 

ABC 

. AB. BC.sin 

ABC 

AB BC 2 2 4 

4 

2 

1 3 

S S S S S S 

4 4 

AMNC ABC MBN ABC ABC ABC 

1 1 3 3 3 

VE. AMNC 

d E; ABC . S 

AMNC 

.2 d D; ABC. 

S 

ABC 

VABCD 

V1 

. 

3 3 4 2 2 

 

Trong tam giác EBC có D, N lần lượt là trung điểm của EB, BC và CD EN P 

DP 1 

EBC 

. 

DC 3 

DQ 1 

Tương tự, Q là trọng tâm của EAB 

. 

DA 3 

Khi đó 

S 

S 

DQP 

DAC 

1 . DQ . DP .sin QDP 

2 DQ DP 1 1 1 

. . S 

1 

. DA. DC.sin 

ADC 

DA DC 3 3 9 

2 

1 8 

S S S S S S 

9 9 

ACPQ DAC DQP DAC DAC DAC 

. 

. 

DQP 

1 

S 

9 

DAC 

1 1 8 8 8 

VE. ACPQ 

. d E; ACD . S 

ACPQ 

. d B; ACD. 

S 

ADC 

VABCD 

V1 

. 

3 3 0 9 9 

 

3 8 11 

Suy ra V VACMNPQ VE. AMNC 

VE. ACPQ 

V1 V1 V1 

. 

2 9 18 

3 

a 2 

Do ABCD là tứ diện đầu có cạnh bằng a nên VABCD 

V1 

. 

12 

11 11 a 2 11 2a 

Vậy V V1 

. 

18 18 12 216 


3 3 

(đvdt). 

nên P là trọng tâm của 

Trang 30


 

 

Mặt cầu (S) có tâm I 1;0;2 , bán kính 3 . Nhận xét thấy S, I, thẳng hàng và SS ABCD . Khi 

đó 

SS 2R 

6 . Ta có: 

1 1 

V 

V 

. 

V . 

d S; ABCD. S d S ; ABCD. 

S 

H 

 

3 3 

R S 

S ABCD S ABCD ABCD ABCD 

1 d S; ABCD d S; ABCD. S 1 . SS. S 2S 

3 

 

 

 

3 

ABCD ABCD ABCD 

Từ giả thiết suy ra ABCD là hình vuông, gọi a là cạnh của hình vuông đó. 

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r và ngoại tiếp hình 

vuông ABCD. 


. 

Suy ra 

2r AC a 2 

a 2 

. Từ 

2 

r 2 2 2 

d I; 

P r R 

 

 

2 

2 

2 2 8 17 a 2 

r R d I P 

 

 

; 

 

3 

3 3 2 

a 

2 17 

3 2 

. 

 

2 2 17 68 

Vậy V 

 

2S ABCD 

2a 

2. 

. 

H 

 

 

3 2 

9 

2 

Trang 31


3 3 3 

sin x 2 cos 2x 2 2cos x m 1 2cos x m 2 3 2cos x m 2 

Ta có 

 

2 3 3 3 

sin x 1 2sin x 2 2cos x m 2 2cos x m 2 2cos x m 2 

3 

3 3 3 

2sin x sin x 2 2cos x m 2 2cos x m 2 

(*) 

 

3 

2 

Xét hàm số f t 2t t trên . Có f t 6t 

1 0 , t 

nên hàm số f t đồng biến trên . 

 

Suy ra (*) 3 

3 

f sin x f 2cos x m 2 sin x 2cos x m 2 (1) 

2 

 

Với x 

 

0; thì 0 sin x 1 

và (1) sin 2 x 2cos 2 x m 2 

3 

 

3 2 

2cos cos 1 

 

x x m 

(2) 

2 

 

Đặt t cos x . Xét hàm số t x cos x trên 

 

0; . 

3 

Ta có t 2 

 

2 

 

x sin x 0 , x 

 

 

0; nên hàm số t x 

nghịch biến trên 0; . 

3 

 

3 

2 

Lập bảng biến thiên của hàm số t x 

ta thấy t 

1 

t x 

0 hay t ;1 . 

3 

2 

 

1 

2 

 

Và với mỗi t ;1 thì phương trình cho ta một nghiệm . 

2 

cos x t 

x 0; 

 

 

3 

Phương trình (2) trở thành 2t 3 t 2 1 

m (3) 

Để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm 

1 

t ;1 . 

2 

 

3 2 1 

Xét hàm số g t 2t t 1 

với t ;1 . 

2 

 

t 

0 

2 

Ta có gt 6t 2t 

, gt 0 

1 . 

t 

 

3 

Ta có bảng biến thiên: 

t 

1 

 

2 

2 

 

x 

 

0; 

3 

 

thì phương trình (3) phải có đúng một nghiệm 


1 

 

3 

gt 

0 + 0 

g t 

1 

1 

0 1 

 

28 

4 

27 

Trang 32

Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình (4) có đúng một nghiệm 

28 

4 

m . 

27 

1 

t ;1 

2 

 


2 

 

Vậy các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm x 

 

0; là m4; 3; 2 

. 

3 

STUDY TIP 

Trong quá trình giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình. Lý thuyết về 

phương pháp này đã được tác giả nêu ra tại phần lưu ý. 

Lưu ý: Một số lý thuyết về “Phương pháp hàm số để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương 

trình”. 

 

Định lý 1: Nếu hàm số f x liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình f x 0 có nhiều nhất 

một nghiệm trên D. 

f x 

 

Định lý 2: Nếu liên tục, đồng biến trên D; g x liên tục, nghịch biến (hoặc là hàm hằng) 

 

trên D và ngược lại thì phương trình f x g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc D. 

 

0 

 

Định lý 3: Nếu f x có một nghiệm trên a; 

b thì phương trình f x 0 có nhiều nhất hai 

 

 

 

f 

x 0 

 

n 

n1 

nghiệm trên a; 

b . Tổng quát nếu có n nghiệm phân biệt trên a; 

b , thì f x có 

nhiều nhất 1 nghiệm trên a; 

b . 

n 

f x 

a b 

 

Định lý 4: Nếu đồng biến trên ; thì f u f v u v . Ngược lại, nếu 

a b 

 

nghịch biến trên ; thì f u f v u v với mọi u, v a; 

b . 

Định lý 5: Nếu 

u v với mọi u, 

v D . 

 

 

 

 

f x 

liên tục và đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên D thì f u f v 


f 

x 

Trang 33





Câu 1. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác có chiều cao bằng 5 và diện tích đáy bằng 6. 

A. V 30. 

B. V 10. 

C. V 15. 

D. V 5. 

x 1 Câu 2. Cho hàm số y . Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình: 

x 2 

A. x 1. 

B. x 2. 

C. y 1. 

D. y 2. 

A 

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 2;3;1 và B 2;1;3 . Điểm nào dưới đây là trung điểm 

của đoạn thẳng AB? 

M 

N 

P 

 

A. 2; 1; 1 . B. 2;1; 1 . C. 0;2;2 . 

D. Q 0; 2; 2 . 

Câu 4. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó? 

x 1 2x 

1 x 2 x 3 

A. y . 

B. y . C. y . D. y . 

x 1 

x 3 

2x 

1 

x 2 

Câu 5. Hàm số y log 3x 

1 

5 

 

 

có tập xác định là: 

A. D 1 

1 

; 

. B. D 

1 

; . 

C. D. 

3 

 

D 

; 

 

. 

D 

3 

3 


 

f x x cos x 

là 

 

 

0; . 

2 

1 2 

A. 1 

sin x C. 

B. x sin x C. 

C. sin . D. 

2 x x C 1 2 

sin . 

2 x x C 

Câu 7. Tính diện tích xung quanh S của hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4. 

A. S 12 . 

B. S 48 . 

C. S 36 . 

D. S 24 . 


log x log 5 

0,2 0,2 

S 

S 

S 

S 

A. 5; . B. ;5 . C. 0;5 . 

D. 

Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm 

phẳng tọa độ (Oyz). 

 

 

là 

1;5 . 

M 1;2;5 . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt 

A 

B 

C 

 

A. 1;0;0 . B. 0;2;5 . 

C. 1;0;5 . D. D 1;2;0 . 

 


F F 

x 

Câu 10. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x e . Biết 0 2, tính 

A. 2. B. e 2. 

C. e 1. 

D. e. 

Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm M 3;2;1 . 

trục Oy. 

 

 

1 . 

Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua 

N 

N 

N 

N 

A. 3;0;1 . B. 3;2;1 . 

C. 3;2; 1 . D. 

0;2;0 . 

Câu 12. Cho các số nguyên dương n và k 

n 

k . 


Trang 1

k k 

k n! 

k n k 

A. An 

n! Cn 

. B. Cn 

. C. Cn 

C 

k k 

 

n 

. D. An 

k! Cn 

. 

k! n k ! 


z 3 

2i 

 

bằng 

A. 3. B. 2 i. 

C. 2 

D. 2. 

Câu 14. 

lim n 1 

2 n 3 

bằng: 

1 

A. . 

B. 0. C. . 

D. 

2 


Hàm số 

y f x 

y f x 

x 

 


 

y’ + 0 

y 

 


2 

0 

0 

0 + 

 

1; 

 

 

A. 1;0 . 

B. C. ; 2 . 

D. 

Câu 16. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 

A. Có hệ số góc dương. B. Có hệ số góc âm. 

4 

 

1 . 

3 

2;1 . 

1 3 2 

y x 2x 3x 

5 là đường thẳng: 

3 

C. Song song với trục hoành. D. Song song với đường thẳng y 5. 

Câu 17. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

 

4; 1 . 

Tính T M m. 

2 16 

 

f x x 

A. T 32. 

B. T 16. 

C. T 37. 

D. T 25. 

2 

Câu 18. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình 5z 

8z 

5 0. Tính S z1 z2 z1z2 

. 

1 2 

13 18 

A. S 3. 

B. S . 

C. S . 

D. 

5 

5 

3 

S . 

5 

Câu 19. Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình mặt cầu? 

2 2 2 

A. x y z 2x 4y 4z 

21 0. 

B. 

2 2 2 

C. x y z 1. 

D. 

Câu 20. Cho các số thực a, b. Giá trị của biểu thức 

trong các biểu thức sau? 


2 2 2 

2x 2y 2z 4x 4y 8z 

9 0. 

2 2 2 

x y z x y z 

A log 

2 2 4 11 0. 

1 log 

1 

b 

3 3 

3 a 3 

A. a b. 

B. ab. 

C. a b. 

D. ab. 

 

x 

trên đoạn 

bằng giá trị của biểu thức nào 

Câu 21. Cho hai số phức z a 2b a b i và w 1 2 i. 

Biết z wi. 

Tính S a b. 

A. S 3. 

B. S 4. 

C. S 7. 

D. S 7. 

Trang 2

Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 

sau đây? 

x 

t 

 

d : y 1 t t 

. 

z 

2 t 

Đường thẳng d đi qua điểm nào 

M 

N 

P 

 

A. 1; 1;1 . B. 1;2;0 . 

C. 1;1;2 . 

D. Q 0;1;2 . 

Câu 23. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x x 

log 1 log 3 . 

2 2 

S 

S 

S 

 

A. ;1 . B. 1; . C. 1;3 . 

D. S 1;1 . 


 

2 

f x dx x 2 x C . Tính f x dx. 

2 

2 

2 

A. x 2 x C. 

B. x 2 x C. 

C. x 2 x C. 

D. 

 

2 

x x C 

Câu 25. Mặt cầu bán kính r có diện tích bằng 36 . 

Tìm thể tích V của khối cầu bán kính r. 

A. V 72 2 . 

B. V 288 . 

C. V 36 . 

D. V 18 . 

Câu 26. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

A. 

B. 

C. 

D. 

3 2 

y x 3x 

4. 

3 

y x x 

3 4. 

3 2 

y x 3x 

4. 

3 2 

y x 3x 

4. 

2 . 

Câu 27. Cho log b 2 với a, b là các số thực dương và a 1. 

a 

Tính giá trị biểu thức: 

P b b 

6 

log 2 log 

a 

. 

a 

A. P 5. 

B. P 25. 

C. P 7. 

D. P 5. 

Câu 28. Thể tích V của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC), 

tam giác đều cạnh bằng 6 là: 

A. V 90 3. 

B. V 30 3. 

C. V 45 3. 

D. V 15 3. 

SA 5, ABC là 

Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong 

mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, diện tích tam giác SAB bằng a 

2 . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng 

(SCD) và 

( ABCD) 

. Tính tan ? 


A. tan 3 . B. tan 1. 

C. tan 2. 

D. tan 3. 

2 

Câu 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi 

M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BD. 

A. 30 . 

B. 45 . 

C. 60 . 

D. 90 . 

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy 

và SA a 2. Tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD là: 

 

1 1 

A. 1. 

B. . 

C. . 

D. 

5 

2 

2. 

Trang 3

Câu 32. Cho a và b lần lượt là số hạng thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai 

b a 

giá trị của biểu thức log 

2 . 

d 

A. 8. B. 3. C. log2 

10. D. log2 

7. 

d 0. 

Tìm 

Câu 33. Cho 

e 

 

1 

3 

ln x a b 3 

dx 

x 

3 

với a, b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

A. a 2b 

12. 

B. ab 24. 

C. a b 10. 

D. a b 10. 

Câu 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, SA tạo với đáy một góc 

a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và CD. 

3 14 a 

2 10 a 

2 15 a 

A. d . B. d . C. d . D. d 

5 

5 

5 

30 . 

4 5 a . 

5 

Tính theo 

Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm A 1;1; 3 

và có vectơ chỉ phương 

 

u 1;2;1 . Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải phương trình của d? 

 

 

x 

1 

t 

x 

t 

x 

2 t 

 

 

A. y 

1 2 t . B. y 

3 2 t . C. y 

1 2 t . D. 

 

z 

3 t 

 

z 

2 t 

 

z 

4 t 


 

y x x 

 

2 

2 1 


A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

Câu 37. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 z i z z 2i 

là 

 

 

x 

3 

t 

 

y 

3 2 t . 

 

z 

3 t 

A. Một đường thẳng B. Một đường tròn C. Một parabol D. Một điểm 

11 

 

 

2 

Câu 38. Biết f x dx 18 

và liên tục trên .Tính I x 2 f 3x 1 

dx . 

1 

f x 

 

A. I 5. 

B. I 7. 

C. I 8. 

D. I 10. 

Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 

2 

 

0 

 

2 x 1 

m 

x 2 

A. m 1; 5 

1 

. B. 2; . C. D. 

2 

m 

 

m0;3 . 

2 

 


m 1 

 

;2 . 

2 

Câu 40. Cho tứ giác ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, AD lần lượt lấy 3, 4, 5, 6 điểm phân biệt khác 

các điểm A, B, C, D. Hỏi có thể tạo thành bao nhiêu tam giác phân biệt từ các điểm vừa lấy? 

A. 342. B. 781. C. 624. D. 816. 

A 

 

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 3; 3;1 và B 4;4;1 . Xét điểm M thay đổi thuộc 

: 2. 


2 2 

mặt phẳng P z Giá trị nhỏ nhất của 3MA 

4MB 

bằng 

A. 245. B. 189. C. 231. D. 267. 

Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 3i 

3 2 và z 2i 

là số thuần ảo? 

2 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 

Trang 4

Câu 43. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên , f 1 2 ; 

2 

f 1 . Đặt g x f 2 

x 6 f x. 

Biết đồ thị của hàm số y f x 

3 

được cho như trong hình bên đây. Khẳng định nào dưới đây đúng? 

 

 

 

 

A. min g x 8. 

B. max g x 8. 

32 

C. min g x 

. D. 

9 

 

32 

max g x 

. 

9 

 

x 

x 

Câu 44. Biết phương trình x+1=2log2 2 3 log2 

1980 2 có 2 nghiệm x1, x2. 

Tính x x . 1 2 

A. log2 

10. B. log2 

11. C. log2 

12. D. log2 

13. 

Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 

P : x 2y 2z 

5 0. 

A 

3;0;1 , B 1; 1;3 

 


Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt 

phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất. 

x 3 y z 1 

x 3 y z 1 

x 3 y z 1 

A. d : . B. d : . C. d : . D. 

26 11 2 16 5 3 20 6 4 

x 3 y z 1 

d : . 

10 3 2 

Câu 46. Mặt phẳng chứa trục của một hình trụ cắt hình trụ theo một thiết diện có chu vi bằng 12 cm. Tìm 

giá trị lớn nhất của thể tích khối trụ tương ứng. 

2 

 

 

 

 

cm 

 

2 

2 

2 

A. 8 cm . 

B. 32 cm . C. 16 cm . D. 64 . 

Câu 47. Cho bất phương trình 

m để bất phương trình có nghiệm thực. 

2 

3 x 1 x m 1 x 2 x. 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số 

A. m 25 . 

B. m 4. 

C. m 6. 

D. m 7. 

4 

Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 

BAD 60 

và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai 

mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45. Gọi M là điểm đối xứng 

của C qua B và N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (MND) chia 

khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện 

chứa đỉnh S có thể tích khối đa diện còn lại có thể tích V (tham 

V1 

khảo hình vẽ bên đây). Tính tỉ số . 

V 

2 

V , 1 2 

2 

2 

V1 

12 

A. . 

B. C. D. 

V V1 

5 . 

7 

V V1 

1 . 

3 

V V1 

7 . 

5 

V 5 

 

Câu 49. Cho hàm số y f x liên tục trên , 

thỏa mãn 

f 

 

2 f 2 0. Biết đồ thị hàm số y f x 

đây. Hàm số 

2 

y f x 



2 

được cho như hình bên 

3 

A. 1; . 

B. 2; 1 . 

C. 1;1 . 

D. 

2 

 

2 

1;2 . 

Trang 5

3 2 

Câu 50. Cho hàm số f x x 12x ax b đồng biến trên , 

thỏa mãn f f f 3 3 và 

 

 

 

 

 

 

 

f f f f 4 4. Tìm f 7 . 

A. 31. B. 32. C. 33. D. 34. 

 

 

 

 

 


Trang 6

ĐÁP ÁN 

1. A 2. B 3. C 4. B 5. A 6. D 7. D 8. C 9. B 10. C 

11. C 12. A 13. C 14. A 15. A 16. C 17. A 18. A 19. D 20. A 

21. C 22. D 23. D 24. A 25. C 26. D 27. C 28. D 29. C 30. D 

31. C 32. B 33. C 34. B 35. D 36. D 37. C 38. B 39. D 40. B 

41. C 42. C 43. A 44. B 45. A 46. A 47. C 48. D 49. D 50. A 


V B. h 6.5 30. 


CHÚ Ý 

Thể tích V của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là V B. 

h . 


Ta có 

Do đó 

x 1 

lim y lim . 

x 2 

 

 

x2 x2 

x 2 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

 

FOR REVIEW 

+ Nếu lim f x (hoặc lim f x ; 

lim f x ; 

lim f x ) thì đường thẳng x a là 

 

xa 

 

xa 

 

một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x. 

 

 

xa 

+ Nếu lim f x b (hoặc lim f x b ) thì đường thẳng y b là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm 

x 

số y f x. 

Hàm số 

x 

 

ax b 

y ac 0, ad bc 0 

cx d 

d 

+ Tiệm cận đứng x . 

c 

a 

+ Tiệm cận ngang y . 

c 

 

có: 

 

MEMORIZE 

 

xa 


 

Bài tập tương tự 

2018x 

2017 

Câu 1. Đồ thị hàm số y 

có đường tiệm cận đứng là: 

x 3 

A. x 2017. 

B. x 3. 

C. x 3. 

D. x 2018. 

1 

x 

Câu 2. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y là: 

1 x 

Trang 7

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

Câu 3. Đồ thị hàm số 

3x 

2 

y 

x 4 

có đường tiệm cận ngang là: 

2 

A. x 4. 

B. x . 

C. y 3. 

D. y 

3 

Câu 4. Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

3 

y 2 1 

x 

A. y 1. 

B. y 2. 

C. y 3. 

D. y 2. 


Trung điểm của đoạn thẳng AB là P0;2;2 . 

Cho hai điểm phân biệt 

CHÚ Ý 

A 

x ; y ; z và B x ; y ; z . 

1 1 1 

2 2 2 

1 2 1 2 1 2 

Trung điểm của AB là điểm x x ; y y ; 

z 

I 

z 

 

. 

2 2 2 

(Tọa độ của I là trung bình cộng tọa độ của A và B) 


x 1 

+ Xét hàm số y có 

x 1 

Do đó hàm số 

2 

y 0 x 

1. 

x 1 

2 

x 1 

y 

x 1 

2x 

1 

+ Xét hàm số y có 

x 3 


2x 

1 

y 

x 3 

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 

7 

y 0 x 

3. 

x 3 

2 

nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 

Ta chọn đáp án B. (Độc giả tự kiểm tra hai hàm số còn lại). 


Câu 1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? 

là: 

1 . 

2 

Đáp án: 1B; 2C; 3C; 4B. 

2x 

3 3x 

2 x 3 2x 

1 A. y . B. y . C. y . 

D. y . 

x 1 

3x 

1 

x 1 

3x 

1 


Hàm số 

5 

 

y log 3x 

1 

Vậy D 

1 ; 

. 

3 


 

1 

xác định khi 3x 

1 0 x . 

3 

Đáp án A. 

Trang 8

FOR REVIEW 

Hàm số y log a 

u x xác định khi và chỉ khi u x 0. Tập xác định của hàm số chính là tập nghiệm 

của bất phương trình u x 0. 


Câu 1. Hàm số y log 2 5x 

3 

 

 

có tập xác định là: 

A. D 5 

5 

; 

. B. D 

2 

; . 

C. D. 

2 

 

; . 

2 

 

D 

 

 

5 


1 

x cos x dx xdx cos xdx x sin x C. 

2 

 

Ta có: 

2 

 

* 

 

* 


1 

1 

 

1 

x dx x C. 

 

 

* sin xdx cos x C. 

 

* cos xdx sin x C. 

1 . 

FOR REVIEW 


S 2rh 

2 .3.4 24 . 

CHÚ Ý 

Cho hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h: 

+ Diện tích xung quanh: S 2 rh; 

+ Diện tích toàn phần: S S S r r h 

xq 

2 2 ; 

tp day xq 

+ Thể tích khối trụ tương ứng: V r h 


2 . 

log x log 5 0 x 5 (do 0 a 0,2 1). 

0,2 0,2 

D 2 

; . 

5 

 

Đáp án C. 

FOR REVIEW 

Nếu 0 a 1 

thì hàm số y log a 

x là hàm số nghịch biến. Do đó ta có loga 

x loga 

b 0 x b (với 

b 0 ). 


M 

 

Hình chiếu vuông góc của 1;2;5 trên mặt phẳng tọa độ Oyz có tọa độ là 

 

 

0;2;5 . 


Trang 9


0 0 0 

CHÚ Ý 

+ Hình chiếu vuông góc của M trên (Oxy) là M x ; y ;0 

1 0 0 

+ Hình chiếu vuông góc của M trên (Oyz) là M 0; y ; z 

2 0 0 

+ Hình chiếu vuông góc của M trên (Ozx) là M x ;0; z 

3 0 0 

(Chiếu trên mặt phẳng tọa độ nào thì giữ nguyên hai thành phần tương ứng, thành phần còn lại bằng 0) 


, 0 

x 

 

0 

 

0 

F x. e 1. Do đó F 

x x 

Cách 1: Ta có e dx 

x 

e C. 

Do đó F x e C với C 0 là hằng số nào đó. 

F 0 2 1 C 2 C 1. Vậy 

Cách 2: Ta có 

1 1 

e x 

dx e x 

e 

x 

1. 

Mà e dx F 1 F 0 . 

0 

Do đó 

0 

F 1 F 0 e 1 F 1 e 1 F 0 e 1. 

1 

 

0 

STUDY TIP 

1 e 1. 

f x 

a b 

 

Cho hàm số liên tục trên đoạn ; . Ta có: F b F a f x dx , với F x là 1 nguyên hàm 

của 

f x 

trên đoạn a; b. 


Gọi I là hình chiếu của M trên Oy I 0;2;0 . 

N đối xứng với M qua Oy 


MN nhận I làm trung điểm N 3;2; 1 . 

0 0 0 

CHÚ Ý 

+ Điểm đối xứng với M qua trục Ox là M x ; y ; z ; 

 

1 0 0 0 

+ Điểm đối xứng với M qua trục Oy là M x ; y ; z ; 

 

2 0 0 0 

+ Điểm đối xứng với M qua trục Oz là M x ; y ; z ; 

 

3 0 0 0 

(lấy đối xứng qua trục nào thì giữ nguyên thành phần tương ứng và đổi dấu hai thành phần còn lại). 


Quan sát đề bài ta thấy A hoặc D là khẳng định sai. Từ đó ta có định hướng tiến đổi 

Ta có: 

k n! n! 

A n 

!. ! 

! k k C 

! ! 

 

n k k n k 

Vậy A là khẳng định sai. 


k 

n 

 

 

 

MEMORIZE 

b 

a 

k 

A theo . 

k 

n 

C n 

Trang 10

A 

k 

n 

k! 

C 

k 

n 



Cách 1: 

1 

1 

n 1 1 

lim lim n . 

2n 

3 3 

2 

2 

n 

Cách 2: Sử dụng MTCT 

+ Nhập vào màn hình biểu thức 

X 1 . 

2X 

3 

+ Nhấn phím CACL. Máy hỏi X? Nhập 

Nhấn phím =. Máy hiển thị kết quả 1 . 

2 

+ Vậy 

n 1 1 

lim . 

2n 

3 2 

10 

10 . 

FOR REVIEW 

Đọc lại chủ đề Giới hạn dãy số, sách Công phá Toán 2. 

STUDY TIP 

i i1 

ain ai 

1n ... 

a1n a0 

Xét giới hạn L lim 

(tử và mẫu là các đa thức của n, a ). 

j 

j1 

i, bj 

0 

b n b n ... 

b n b 

+ Nếu i j : L 0; 

+ Nếu i j : 

j 

j1 1 0 

L nếu a b 0 ( a , b cùng dấu); 

i 

j 

L nếu a b 0 ( a , b trái dấu); 

ai 

+ Nếu i j : L b 

i 

j 

j 

i 

i 

j 

j 



n 

Câu 1. lim 

2 

n 1 

n 1 

bằng: 

A. 0. B. 

C. 1. D. 

Câu 2. 

2n 

5 

lim 

n 

2 

3n 

1 

bằng: 

A. . 

B. . 

C. 0. D. 2. 

1 . 

4 

Đáp án: 1B; 2C. 

Trang 11


Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số 

y f x 

 

 

nghịch biến trên khoảng 2;0 . 

Suy ra hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 1;0 . Chọn đáp án A. 


Tập xác định: D 

2 x 

1 

y x 4x 

3 0 . 

x 

3 

Xét dấu y’: 

x 

1 3 

y’ + 0 

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 3 y CT 

5 

0 + 

Phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là y 5. 

Vậy tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số song song với trục hoành. 

MEMORIZE 

Tiếp tuyến (nếu có) tại các điểm cực trị của đồ thị hàm số bất kì là các đường thẳng song song hoặc trùng 

với trục hoành. 


Câu 1. Tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số 

3 2 

y x 3x 

4 

A. Có hệ số góc dương. B. Có hệ số góc âm. 

 

là đường thẳng: 

C. Song song với trục hoành. D. Song song với đường thẳng y 4. 


16 

f x 2x 0 x 2 2 

4; 1 . 

x 

 

f 4 20; f 2 12; f 1 17. 

Vậy 

M 20; m 12. 

Do đó T 32. 


2 

4 3 i 

Cách 1: Phương trình 5z 

8z 

5 0 có hai nghiệm z1,2 

. 

5 

Do đó z1 z2 1. 


Đáp án D 

Mặt khác theo định lí Vi-ét thì 

Cách 2: Sử dụng MTCT 

z z Vậy S z1 z2 z1z2 3. 

1 2 

1. 

Trang 12

2 

+ Sử dụng chức năng giải phương trình bậc hai, tìm được hai nghiệm của phương trình 5z 

8z 

5 0 , 

lưu lần lượt vào hai biến A, B. 

+ Chọn chế độ “số phức” (Menu 2). 

+ Tính giá trị của biểu thức A B A. 

B được kết quả bằng 3. 

(Đọc thêm trong cuốn “Công phá kĩ thuật Casio” của Lovebook) 

 

 

FOR REVIEW 

+ Cho số phức z a bi a, 

b . Khi đó mô-đun của z, kí hiệu bởi z , được tính như sau: 

z a b 

2 

 

2 . 

+ Hai số phức liên hợp thì có cùng mô-đun. 


Xét phương trình trong đáp án D có: A 2 B 2 C 2 D 

2 2 

2 

1 1 2 11 5 0 

Phương trình trong đáp án D không phải là phương trình mặt cầu. 


2 2 2 

x y z Ax By Cz D 

2 2 2 0 

 

 

FOR REVIEW 

là phương trình mặt cầu 

2 2 2 

Khi đó mặt cầu có tâm I A; B; 

C 

và bán kính R A B C D . 


Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? 

2 2 2 

A. x y z 4x 2y 6z 

5 0. 

B. 

2 2 2 

C. x y z 4x 2y z 1 0. 

D. 

STUDY TIP 

2 2 2 

x y z x y z 

2 2 2 

A B C D 

4 2 6 15 0. 

2 2 2 

x y z x xy z 

2 2 6 5 0. 

2 2 2 

Nếu D 0 thì phương trình x y z 2Ax 2By 2Cz D 0 là phương trình mặt cầu. 


a 

b 

Ta có: A log3 3 

 

log3 

3 a b. 


Ta có 

wi 1 2i i 2 i. 

 

a 2b 2 a 

4 

z wi a 2b a bi 2 i . 

 

a b 

1 b 

3 

Vậy S a b 7. 



0. 

Đáp án C 

Trang 13

Câu 1. Tìm các số thực a và b thỏa mãn 

 

2a b i i 1 

2i 

 

với i là đơn vị ảo. 

1 

A. a 0, b 2. B. a , b 1. C. a 0, b 1. 

D. a 1, b 2. 

2 

Câu 2. Tìm các số thực x và y thỏa mãn 

x 1 yi y 2x 5 i 

 

 

với i là đơn vị ảo. 

A. x 3, y 2. B. x 2, y 1. 

C. x 2, y 1. 

D. x 2, y 9. 


Cách 1: Thay tọa độ điểm M vào phương trình của d 

Thay tọa độ điểm N vào phương trình của d. 

Thay tọa độ điểm P vào phương trình của d. 

Vậy 

Q d. 

1 t t 

1 

 

 

1 1 t t 2 M d. 

1 2 t 

t 

1 

1 t t 

1 

 

2 1 t t 1 N d. 

0 2 t 

t 

2 

1 t t 

1 

 

1 1 t t 0 P d. 

2 2 t 

t 

0 

Thật vậy, thay tọa độ điểm Q vào phương trình d 

0 t t 

0 

 

1 1 t t 0 t 0 Q d. 

2 2 t 

t 

0 

Cách 2: Quan sát thấy ba điểm M, N, P đều có hoành độ bằng 1. 

Với 

y 

0 

x 1 

t 1 . 

z 

3 

Suy ra M, N, P đều không thuộc d. Do đó đáp án đúng là D. 


 

log x 1 log 3 x 0 x 1 3 x 1 x 1. 

2 2 

Vậy S 1;1 . 


Đáp án: 1D, 2B. 

log 

a 

log 

f x g x 

a 

MEMORIZE 

0 f x g x (với a 1). 


Trang 14

Câu 1. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 

log 12 3 log x. 

5 5 

S 

S 

S 

S 

A. 0;6 . B. 3; . C. ;3 . D. 

Câu 2. Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình 

phần tử là số nguyên dương bé hơn 10? 

 

0;3 . 

log 2x 

5 log x 1 . Hỏi trong tập S có bao nhiêu 

3 3 

A. 8. B. 9. C. 10. D. 15. 


f x x 2x C 

 

2x 

2. 

2 

Cách 1: Ta có 

 

2 

 

f x 2x 2 f x dx 2x 2 dx x 2 x C. 

 

 

Cách 2: f x dx x d x f t dt t x 

 

Biết f x dx F x C. 

 

Khi đó: 

 

2 2 . 

f x dx F x C 


Ta có 

S r r 

2 

4 36 3. 

3 3 

Do đó V 4 r 

4 .3 36 . 

3 3 

+ Mặt cầu bán kính r có diện tích 

2 2 

t t C x x C 

S 

2 

4 r . 

4 3 

+ Khối cầu bán kính r có thể tích V r 

. 

3 


DISCOVERY 

CHÚ Ý 

Đồ thị hàm số có dạng “dấu đồng dạng” ∽ . Do đó loại đáp án B, C. 

Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2 

) Loại đáp án A. 

Vậy đáp án đúng là D. 

Cho hàm số 


3 2 

y ax bx cx d 

 

 

CHÚ Ý 

có hai điểm cực trị. 

+ Nếu a 0 : Đồ thị hàm số có dạng “dấu ngã” (∾) 

+ Nếu a 0 : Đồ thị hàm số có dạng “ dấu đồng dạng” ∽ 

 

Đáp án: 1D; 2A. 

Trang 15

STUDY TIP 

Khi muốn kiểm tra các điểm có thuộc đồ thị một hàm số hay không, ta nên thử trước với các điểm có 

“hoành độ đẹp”. Chẳng hạn trong câu này, ta chọn điểm ( 1; 2 

) để kiểm tra trước vì việc thay x 1 

vào 

hàm số là việc dễ nhất. 


6 1 1 7 7 

Ta có: log b 2 log b a 

.6.loga loga log 

a 

.2 7 

a 

2 b 2 b 2 b 2 

 

FOR REVIEW 

+ 

x 

m 

n 

n m 

x x 0; m, n *, n 2 

 

+ log x log a 

x x 0, 0,0 a 1 

. 

a 

 


Câu 1. Cho log b 3,log c 2 

với a, b ,c là các số dương và a 1. 

Tính giá trị biểu thức 

P a b c 

 

 

3 2 

log 

a 

. 

a 

a 

A. 8. 

B. 5. C. 4. D. 8. 


Diện tích đáy: 

B 

2 

6 3 

4 

9 3. 

1 

Thể tích của khối chóp: V .5.9 3 15 3. 

3 

Diện tích tam giác đều cạnh a: 


2 

a 3 

B . 

4 

STUDY TIP 

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB cân tại S nên SH AB. 

 

Mà SAB ABCD nên SH ABCD. 

Do đó SH CD (1). 

Gọi K là trung điểm của CD. Suy ra HK CD (2). 

Từ (1) và (2) ta có: 

 

SHK 

CD. 

SCD 

và ABCD 

là SKH . 

SH 

Ta có tan tan SKH . HK 


Do đó góc giữa hai mặt phẳng 

Đáp án D 

Trang 16

Theo bài ra: 

Vậy 

2a 

tan 2. 

a 

 

 

1 2a 

2a 

. . 2 . 

2 

AB a 

2 2 

2 2 

S 

SAB 

a SH AB a SH a 

 

CHÚ Ý 

+ Cho và là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến . Nếu đường thẳng 

 

 

d nằm trong và vuông góc với thì d vuông góc với . 

+ Nếu đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì vuông góc 

 

 

với . 

 

STUDY TIP 

 

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau và ta thường làm như sau: 

+ Xác định giao tuyến của và 

. 

+ Xác định mặt phẳng vuông góc với . 

+ Xác định giao tuyến d , d của lần lượt với và . 

 

1 2 

+ Góc giữa và là góc giữa và d . 


d1 

2 

 

 

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng 

vuông góc với mặt đáy, diện tích tam giác SAB bằng 

và (ABCD)? 

3a 

2 

2 

. 

Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) 

3 

A. . 

B. 3 

C. 1. D. 2. 

2 


Đáp án A 

DISCOVERY 

Trong bài tập tương tự, nếu giữ nguyên các giả thiết và chỉ thay đổi diện tích tam giác SAB thì tan của góc 

3 

giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) luôn bằng . 

2 

LƯU Ý 

Trong bài tập trên, ta thấy có ba đại lượng: chiều dài cạnh a của hình vuông ABCD¸chiều cao h hạ từ S 

của tam giác cân SAB và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Giữa ba đại lượng này có quan hệ 

Trang 17

h 

với nhau: tan . Do đó cho biết trước hai trong ba đại lượng ta có thể tìm được đại lượng còn lại. Từ 

a 

đó ta có thể tạo ra được các bài tập tương tự như bài tập đã cho. 


Gọi I là trung điểm của SA. Khi đó I cũng là trung điểm của ED. Do đó MI 

1 

là đường trung bình của EAD 

MI // AD và MI AD 1 . 

2 

1 

Mặt khác ta có NC //AD và NC AD 2 

(do N là trung điểm của BC). 

2 

Từ (1) và (2) suy ra MI // NC và MI NC . 

Suy ra MNCI là hình bình hành MN // IC. 

Mặt khác, gọi O là giao điểm của AC và BD thì 

SO BD. 

Lại có 

BD AC 

(do ABCD là hình vuông). 

Do đó BD SAC BD IC BD MN. 

Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90 . 


Vì 

 

 

SO 

 

ABCD 

SA ABCD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA . 

SA 

Ta có: tan SCA mà AC 2a 

2 nên 

AC 

a 2 1 

tan SCA . 

2a 

2 2 

FOR REVIEW 

 

(do S.ABCD là hình chóp đều) 

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( ) là góc giữa và hình chiếu của nó trên ( ). 


b a b a 

Theo bài ra: b a 8d b a 8d 

8 log2 

3. 

d 

d 

Cho cấp số cộng có công sai 

 

 

d 0. Khi đó: 

CHÚ Ý 

un 

u1 n 1 d; 

+ u 

1 

u 

1 

2 u ; 

n n 

Sn 

u1 un 

2u1 

n 1 

d 

2 2 

 

 


n 

n 

n 

STUDY TIP 

Cho a và b lần lượt là số hạng thứ m và thứ n của một cấp số cộng có công sai d 0 . 

Khi đó b a n m d . 

 

 

Trang 18


Câu 1. Cho a và b lần lượt là số hạng thứ tư và thứ mười của một cấp số cộng có công sai d 0. Khi 

b a 

đó giá trị của biểu thức log 2 thuộc khoảng nào trong các khoảng sau: 

d 

2; 2, 2 . 2, 2; 2,5 . 2,5; 2,9 . 

A. B. C. D. 

2,9; 3,4 . 

Đáp án C 


e 

 

e 1 3 e 

2 2 

 

3 ln x 2 16 6 3 

dx 3 ln x d 3 ln x 3 ln x 

. 

x 

 

3 3 

1 1 

Vậy a 16, b 6 a b 10. 

1 

+ ln x 1 

3 ln 

x 

d x dx 

x 

1 

+ x dx x 1 C với 1. 

1 


Gọi O là trung điểm của AC và BD. Ta có 

FOR REVIEW 

SO 

 

1 

ABCD 

 

(do S.ABCD là hình 

chóp tứ giác đều). Suy ra góc giữa SA và ABCD là góc SAO SAO 30 

. 

Vì 

CD // AB nên CD // SAB. 

Do đó d d CD AB d CD SAB d C SAB d O SAB 

 

, , , 2 , . 

AB 

OI 

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có AB SOI 

. 

AB 

SO 

Dựng OH vuông góc với SI tại H thì AB OH. 

OH 

SI 

OH SAB d O, SAB OH. 

OH 

AB 

Ta có 

Ta có 

2a 

2 1 a 2 

SO OA.tan 30 . . 

2 3 3 

1 1 1 3 1 5 a 10 2a 

10 

Ta có OH d 

2 2 2 2 2 2 

. 

OH SO OI 2a a 2a 

5 5 

 


CHÚ Ý 

Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 

Bài toán: Tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB). 

- Tìm điểm nào đó mà dễ tính khoảng cách đến (SAB) nhất. Điểm này 

thường là chân đường cao của hình chóp, hình lăng trụ Điểm O. 

Trang 19

- Đường thẳng đi qua C và O cắt (SAB) tại A. 

 

 

 

 

 

 

d C, 

SAB CA 

Ta có: 2. (do O là trung điểm của AC) . 

d O, 

SAB OA 

d C, SAB 

2 d O, 

SAB 

- Tìm một mặt phẳng chứa O và cắt (SAB) theo một giao tuyến Mặt phẳng (ABCD) cắt (SAB) theo 

giao tuyến AB. 

- Tìm một đường thẳng đi qua O và vuông góc với (ABCD), cắt (SAB) tại một điểm Đường thẳng SO 

vuông góc với (ABCD), cắt (SAB) tại S. 

- Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với giao tuyến AB của (SAB) và (ABCD) Đường thẳng OI với I là 

trung điểm của AB. 

- Nối I với S. Ta có AB SIO. 

OH 

SI 

- Kẻ OH SI tại H OH 

OH 

AB 

SAB 

 

OH d O, SAB d C, SAB 2 OH. 

- Sử dụng các kiến thức của hình học phẳng (định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông…) để 

tìm OH. 

d d 

 

 

// 

d , 

d M 

, 

 

- Nếu // và thì 

, , . 

FOR REVIEW 

- Nếu thì với M là điểm bất kì thuộc . 

- Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) cắt nhau tại I, A và B là hai điểm bất kì 

thuộc d. Khi đó tỉ số khoảng cách từ A và B đến (P) bằng tỉ số độ dài hai đoạn 

thẳng IA và IB. 

- Bằng các kết quả trên ta có thể chuyển bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài 

toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng một cách thuận lợi nhất. 


Ta thấy điểm M(3;-3;-6) không thuộc d. 

Thật vậy, với giả thiết đề bài cho thì đường thẳng d có phương trình tham số là 

trong đáp án A). 

Với x 3 thì 1 t 3 t 2. 

Khi đó y 3; z 5. 

Vậy điểm M 

3; 3; 6 d. 

Do đó phương trình ở đáp án D không phải là phương trình của d. 


Ta có: 

2 

 

2 

 


 

 

x 2 x 1 nª u x 2 

y 

. 

 

x 2 x 1 nª u x 2 

x 

1 

t 

 

y 

1 2t 

 

z 

3 t 

(phương trình 

Trang 20

Suy ra 

2 

 

3x 4x 1 nª u x 2 

y 2 

3x 4x 1 

nª 

 

u x 2 

Ta có bảng xét dấu của y’: 

x 

 

và y’ không xác định tại 

x 2. 

1 

1 2 

3 

y’ ‒ 0 + 0 ‒ + 

Ta thấy y’ đổi dấu 3 lần Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị. 

Lưu ý: Có thể giải thích đạo hàm của hàm số đã cho không xác định tại 

Cách 1: Ta có y x 2 2 x 

2 1 

 

 

x 2 

x 2 2 

2 

Do đó y' x 1 x 2 .2 x. 

Vậy y’ không xác định tại x 2. 

2 

x 2 

Cách 2: Ta có 

 

 

y' 2 5; y' 2 5 y' 2 y' 2 y' 2 

không xác định. 

(Đọc bài đọc thêm “Đạo hàm một bên”, SGK Đại số và Giải tích 11, NXB GDVN). 

 

theo 2 cách như sau: 

Lưu ý: Ta có thể giải nhanh bài toán trên dựa vào nhận xét sau: “Số điểm cực trị của hàm số 

bằng tổng số điểm cực trị của hàm số 

 

phương trình f x 0 . 

 

y f x 

 

2 2 

2 

Ta có: y x 2 x 1 y x 2 x 1 

(do x 1 0 x 

). 

 

Xét hàm số f x x x 2 

2 

2 1 có f x 3x 4x 

1. 

 

1 

Vậy f x 

có 2 điểm cực trị x và x 1. 

3 

 

y 

 

f x 

và số nghiệm (không trùng với các điểm cực trị) của 

Mặt khác phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x 2 (không trùng với các điểm cực trị nêu trên). 


2 1 

y x x 2 


 

STUDY TIP 

Số điểm cực trị của hàm số y f x bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y f x và số nghiệm 

0 

(không trùng với các điểm cực trị) của phương trình f x . 


Đặt z a bi a, 

b 


2 

 

2 2 

z i a b 1 i z i a b 1 . 

 

2 2 

z z 2i a bi a bi 2i 2 b 1 i z z 2i 4 b 1 . 

2 2 2 1 2 

2 z 1 z z 2i 4 a b 1 4 b 1 b a . 

 

4 

Vậy 

 

Trang 21

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1 parabol. 


Đặt t 3x 2 1 dt 6 xdx. 

11 11 

11 

1 1 1 1 

I 2 f t 

dt 2t f t dt 

4 .18 7. 

6 

 

 

 

6 6 

 

6 

1 1 

1 


3 

 

 

Câu 1. Biết f x dx 8 và f x liên tục trên . Tính 

1 

 

12 

x 

I f dx. 

4 

 

 

A. I 2. 

B. I 3. 

C. I 12. 

D. I 32. 

f x 

 

 

Câu 2. Cho là hàm liên tục trên và f x dx 7. Tính I cos x. f sin x dx. 

. 

1 

0 

A. I 2. 

B. I 3. 

C. I 7. 

D. I 7. 

f x 

 

1 

0 

4 

 

2 

2 

 

Câu 3. Cho là hàm liên tục trên và f 2x dx 8. Tính I xf x dx. 

A. I 4. 

B. I 8. 

C. I 16. 

D. I 32. 

4 

e 

4 

f ln x 

Câu 4. Cho f x 

là hàm liên tục trên và dx 4. Tính I f xdx. 

x 

 

e 

A. I 2. 

B. I 4. 

C. I 8. 

D. I 16. 


Cách 1: Tập xác định: D . 

2 x 1 

 

x 2 

Ta có m 2 x 1 m x 2m 2 m x 2m 

1 * 

 

+ Nếu 2 m 0 m 2 : (*) vô nghiệm. 

+ Nếu 2 m 0 m 2 : (8) 

2m 

1 x . 

2 m 

2m 

1 1 

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 0 m 2. 

2 m 2 

Cách 2: Ta có: 

+ Với x 0 thì 

2x 

1 y ; 

x 2 

 

 


0 

0 

2 

1 

Đáp án: 1D, 2C, 3B, 4B. 

2 x 1 

+ Hàm số y là một hàm số chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy (đường thẳng x 0 ) 

x 2 

2x 

1 

5 

+ Xét hàm số y có y' 0 x 

2 

nên là hàm đồng biến trên từng khoảng xác định. 

2 

x 2 x 2 

 

Trang 22

Bảng biến thiên của hàm số 

x 

2x 

1 y : 

x 2 

 

2 

0 

y’ + + 

 

2 

y 

2 

1 

 

2 

Suy ra bảng biến thiên của hàm số 

Vậy phương trình 

 

x 

y 

2 x 1 

m 

x 2 

 

2 x 1 y : 

x 2 

0 

2 

có 2 nghiệm phân biệt 

1 

 

2 

MEMORIZE 

1 

m 2. 

2 

- Hàm số y f x là một hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng qua Oy. 

- Các bước vẽ đồ thị hàm số y f x : 

Bước 1: Vẽ đồ thị (C) của hàm số y f x . 

 

 

 

Bước 2: Giữ nguyên phần nằm bên phải Oy của (C), xóa phần nằm bên trái Oy của (C). 

Bước 3: Lấy đối xứng phần đồ thị có được ở bước 2 qua Oy, ta được đồ thị hàm số y f x . 


Có 

3 

C 18 

cách lấy ra 3 điểm từ 18 điểm. 


Để tạo thành tam giác thì 3 điểm lấy ra phải là 3 điểm không thẳng hàng. 

Do đó ta trừ đi số các bộ 3 điểm thẳng hàng (lấy trên các cạnh AB, BC, 

CD, DA). 

3 3 3 3 3 

Vậy số tam giác được tạo thành là C C C C C 

18 

 

3 

 

4 

 

5 

 

6 

781. 

 

2 


Câu 1. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt khác các điểm 

A, B, C. Hỏi có thể tạo thành bao nhiêu tam giác phân biệt từ 15 điểm có trên hình? 

A. 455. B. 390. C. 495. D. 435. 


Đáp án B 

Trang 23

Ta tìm điểm I thỏa mãn 3IA 

4IB 

0. 

Cách 1: 

 

 

z z 

3 x1 3 4 x1 4 0 7x1 7 x1 

1 

 

3IA 4IB 0 3 y1 3 4 y1 4 0 7y1 7 y1 

1 I 1;1;1 . 

 

3 7 

1 

1 4 

1 

1 0 z1 7 

z1 

1 

Cách 2: 

1 

3IA 4IB 0 3OA OI 4OB OI 0 OI 3OA 4OB I 1;1;1 . 

7 

2 2 

3MA 4MB 3 MI IA 4 MI IB 7MI 2 3IA 4IB 3IA 4IB 

Ta có 

2 2 2 2 2 

7MI 3IA 4IB 

2 2 2 

2 2 

2 

Vậy 3MA 

4MB 

nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) 

 

M 1;1; 2 . 

 

2 2 2 2 

Khi đó MA 41, MB 27 3MA 4MB 

231. 

 

Chú ý: Nếu I là điểm thỏa mãn aIA bIB 0 a b 0 

 

 

thì: 

1 

 

x1 

axA 

bx 

a b 

1 

1 

OI aOA bOB 

y1 

ayA 

by 

a b a b 

1 

z1 

azA 

bz 

a b 

STUDY TIP 

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Các bước tìm điểm M trên (P) sao cho 

2 2 

aMA bMB nhỏ nhất (với a b 0 ): 

 

+ Tìm điểm I thỏa mãn aIA bIB 0 ; 

+ Tìm M là hình chiếu của I trên (P). 

DISCOVERY 

Bài toán trên có thể mở rộng với hệ gồm 3,4,... điểm. Các bước thực hiện hoàn toàn tương tự. Chẳng hạn 

A B 

xét bài toán sau: “Trong không gian Oxyz, cho ba điểm 1;1;1 , 1;2;1 và C 3;6; 5 

. Tìm điểm M 

thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho 


MA MB MC 

2 2 2 

nhỏ nhất” 

M 

M 

M 

M 

A. 1;2;0 . B. 0;0; 1 . C. 1;3; 1 . D. 

B 

B 

B 

 

 

 

1;3;0 . 

Nếu thay giả thiết với a b 0 thì ta có bài toán: “Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A, B và mặt 

phẳng (P). Tìm điểm M trên (P) sao cho aMA 

2 bMB 

2 lớn nhất (với a b 0 ).” 


Trang 24

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4) và B(-3;3;-l) và mặt phẳng 

2 2 

P : 2x y 2z 

8 0 . Xét M là điểm thay đổi thuộc (P), giá trị nhỏ nhất của 2MA 

3MB 

bằng 

A. 135. B. 105. C. 108. D. 145. 

Đáp án A 

Trong không gian Oxyz cho điểm M a; b; 

c . 

 

 

CHÚ Ý 

+ Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng x x là M x ; b; 

c 

0 1 0 

; 

 

+ Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng y y 0 

là M 

2 

a; y0 

; c ; 

 

+ Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng z z 0 

là M 

3 

a; b; 

z0 

; 


Đặt z a bi a, 

b 

+ z 1 3i 3 2 a 1 2 b 

3 2 

18 1 

2 2 2 

2 

+ 

z 2i a b 2 i a b 2 2a b 2 i. 

2 

2 

z 2i 

là số thuần ảo a b 

2 2 

0 2 

Kết hợp (1) và (2) ta có 

a b 

 

2 2 . 

Với a 

Với a 

2 2 

a 

1 b 

3 18 1 

 

 

 

2 

a 

2 

b 

2 0 2 

 

2 2 2 

b 2 thay vào (1) ta được b 3 b 3 

18 b 0 b 0. 

2 2 2 

b 

2 , thay vào (1) ta được b 1 b 3 

18 b 2b 4 0 b 1 

5. 

Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. 



Câu 1. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 z z 4 và z 1 i z 3 

3i 

? 

2 

A. 4. B. 3. C. 1. D. 2. 


 

Từ đồ thị của hàm số y f x ta có bảng biến thiên của hàm số y f x : 

 

Đáp án B 

x 

 

1 

1 

f’(x) + 0 + 0 ‒ 

f(x) 

2 

 

Trang 25

Suy ra 2, 

f x x 

 

Ta có g x f x f x f x f x 

f x 

Vì 

2 . 6 2 3 

. 

f x 2, x 

nên f x 3 0 x 

. 

Từ đó ta có bảng biến thiên của y g x : 

x 

 

1 

1 

g’(x) + 0 + 0 ‒ 

 

Vậy 

g(x) 

 

min g x 8. 

 


8 

1 

Câu 1. Cho hàm số y f x 

có đạo hàm liên tục trên , f 1 

1; f 1 . Đặt 

3 

2 

g x f x 4 f x. 

Biết đồ thị của hàm số y f x 

được cho như trong hình bên? Khẳng định 

nào dưới đây đúng? 

13 

A. min g x 

3. 

B. max g x 

3. 

C. min g x 

. D. 

 

 

9 


Đặt 

Ta có: 

x 

2 t, t 0 . Suy ra x log 

2 

t. 

x 

2 

2 3 t 

2 

2 

1 

2 

log2 

2 

x 

3954 11 0 * 

x t t t 

1980 2 

1 

1980 

t 

 

13 

max g x 

. 

9 

Đáp án A 

Vì phương trình đã cho có hai nghiệm x1, 

x2 

nên phương trình (*) có hai nghiệm t1, t2. 

Theo Vi-ét: 

t t 11 x x log t log t log t t log 11. 

1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 


Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng (P). Khi đó 

phương trình của mặt phẳng (Q) là 

 

1 x 3 2 y 0 2 z 1 0 x 2y 2z 

1 0 . 

 

Gọi H là hình chiếu của điểm B lên mặt phẳng (Q), khi đó đường thẳng BH đi qua 

 

n 

Q 1; 2;2 

 


x 

1 

t 

 

làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: y 

1 2t 

. 

 

z 

3 2t 

 

Vì H BH Q H BH H 1 t; 1 2 t;3 2t 

và H Q nên ta có 

 

 

B 1; 1;3 

và nhận 

Trang 26

10 1 11 7 

1 t 2 1 2 t 2 3 2 t 1 0 t ; ; . 

9 H 

 

9 9 9 

 

26 11 2 1 

AH ; ; 26;11; 2 . 

9 9 9 9 

Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d, khi đó ta có d B; 

d BK BH nên khoảng cách từ B đến 

 

d nhỏ nhất khi BK BH , do đó đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u 26;11; 2 

có 

phương trình chính tắc: 


 

 

x 3 y z 1 

d : 

26 11 2 

Gọi r (cm) là bán kính đáy, h (cm) là đường cao của hình trụ. 

Thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là 2r và h. 

Ta có: 4r 12h 12 2r h 6 h 6 2r 

. 

Thể tích của khối trụ: V r h r r 

Dấu bằng xảy ra khi r 6 2r r 2. 

2 2 r r 6 2r 

 

6 2 

8 . 

3 

Vậy giá trị lớn nhất của của thể tích khối trụ là 8 . 

STUDY TIP 

 

2 

Có thể khảo sát hàm số f r r 6 2r 

với r 0;3 để tìm giá trị lớn nhất của f r. 


giá trị lớn nhất của V. 


Điều kiện: 3 x 1. 

Bình phương cả 2 vế bất phương trình ta được: 

2 

Đặt t x 2x 3,0 t 2, ta được bất phương trình: 

3 

 

2 2 

4 2 x 2x 3 x 2x 3 m 2. 

m t 2 2t 

6 * 

 

2 

Đặt f t t 2t 

6 có f t 2t 

2 

Bảng biến thiên của f t 

: 

x 

0 1 2 

f’(t) + 0 ‒ 

f(t) 

 

7 

6 6 

Bất phương trình đã cho có nghiệm thực tương đương (*) có nghiệm t 0;2 

 

 

 

m min f t m 6 

0;2 


FOR REVIEW 

+ Có thể dùng MTCT (chức năng giải phương trình bậc hai) để tìm cực trị của hàm số bậc hai. 

 

 

Trang 27

f x 

 

+ Bất phương trình có nghiệm thuộc tập D ( liên tục trên D) khi và chỉ khi m min f x . 

D 


Câu 1. Cho bất phương trình 3 sin x 1 sin x 

2 

cos x 2sin x m . Tìm tất cả các giá trị của 

tham số m để bất phương trình có nghiệm thực. 

A. m 25 . 

B. m 4. 

C. m 6. 

D. m 7. 

4 

Đáp án C 

DISCOVERY 

Thay x bởi một hàm số của x, ta được một bài tập mới. 


Gọi O AC BD. 

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng 45 

SOA 45 . 

BAD 

cân tại A có BAD 60 

nên là tam giác đều 

a 3 a 3 a 3 

AO SA AO.tan 45 .1 . 

2 2 2 

2 3 

1 2 a 3 a 3 a 

Thể tích khối chóp S.ABCD : V SA.2 S ABD 

. . . 

3 3 2 4 4 

3 

1 a 

Thể tích khối chóp N.MCD bằng thể tích khối chóp N.ABCD: V V . 

2 8 

1 

Dễ thấy K là trọng tâm tam giác SMC. Suy ra KB SB. 

3 

2 3 

1 1 1 a 3 a 3 a 

Thể tích khối chóp K.MIB: V . SA. S MBI 

. . . 

3 3 9 2 8 48 

3 3 3 

a a 5a 

Khi đó : V2 

V V 

; 

8 48 48 

V1 

7 

Vậy . 

V 5 

2 

3 3 3 

a 5a 7a 

V1 V V2 

. 

4 48 48 

Tam giác cân có một góc bằng 



60 

 

FOR REVIEW 

thì là tam giác đều. 

Dựa vào đồ thị hàm số y f x suy ra bảng biến thiên của hàm số y f x : 

 

Trang 28

x 

 

2 

1 2 

f’(x) + 0 ‒ 0 + 0 ‒ 

f(x) 

0 0 

f 

1 

 

Suy ra 0 


f x x 

 

y f 2 

x 

có y 

2 f x. 

f x 

 

2 

Ta có bảng biến thiên của hàm số y f x : 

x 

 

2 

1 2 

y’ ‒ 0 + 0 ‒ 0 + 

y 

 

 

Vậy hàm số y f 2 x nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 1;2 . 


* Giả sử 3 3. Vì là hàm bậc ba đồng biến trên nên 

Suy ra 

f f x 

f f 3 f 3 . 

 

f f f 3 f f 3 f 3 3. Mâu thuẫn với giả thiết. 

 

* Tương tự ta thấy f 3 3 cũng không thể xảy ra. 

* Vậy f 

3 3 1 . 

* Tương tự ta có f 

* Từ (1) và (2) ta có 

3 2 

 

7 

31. 

4 4 2 . 

3a b 84 a 

48 

 

. 

4a b 132 b 

60 

2 

Khi đó f x x 12x 48x 

60 có f x 3x 24x 48 0 x 

. 

Do đó 

f 

 


STUDY TIP 

Cho f x là hàm số đồng biến (chặn) trên . 

Nếu f f ... f a ... a thì suy ra 

 

 

 

f a a. 

Trang 29





Câu 1. Cho số phức thỏa mãn z 2 i 12i 

1. Tính mô đun của số phức z . 

z 

5 29 

A. z 29. B. z 29 . C. z 29. D. z . 

9 

Câu 2. Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây? 

4 2 

A. x x 1. 

4 2 

B. x 4x 

1. 

4 2 

C. x 

4x 

1 

. 

4 2 

D. x 4x 

1. 

 

 

Câu 3. Cho cấp số nhân un 

có số hạng đầu u1 1, công bội q 2 . Giá trị của u20 

bằng 

20 

19 

19 

20 

A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . 

3 

Câu 4. Đặt log3 

5 a , khi đó log3 

bằng 25 

1 

a 

a 

A. . B. 1 2a . C. 1 . D. 1 

. 

2a 

2 2 

1 

 

 

Câu 5. Cho f x dx 2 và f x dx 5 , khi đó f x dx bằng 

0 

4 

 

1 

 

A. 6. B. 10. C. 7. D. 3 . 

Câu 6. Trong không gian , cho điểm A 2;1;3 , B 0;3;1 . Trung điểm của AB có tọa độ là 

4 

 

0 

 

Oxyz 

3 1 

A. 1;2;2 . B. 2;4;4 

. C. 1; ; . D. 2;1;2 

. 

2 2 


2 2 x 

f x x 

x 

x 

2 2 

2 

A. x C . B. 2 x 

x 

2 

x .ln 2 C . C. 2 2 .ln 2 C . D. 2 C . 

ln 2 

ln 2 


2x 

3 

y . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

x 1 

A. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. 

B. Hàm số nghịch biến trên tập . 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và 1; 

. 

D. Hàm số nghịch biến trên \ 1 

. 


là 


y f x 

 

có bảng biến thiên như sau 

Trang 1

x 1 

2 

y 0 0 

y 

2 

5 

6 

2 


A. Hàm số đạt cực đại tại x 5. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1. 

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x 6. 

 

 

Câu 10. Cho hàm số y f x xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến 

thiên như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? 

x 1 2 

y 0 

y 

3 

 

 

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 

2 

Câu 11. Cho hình nón có đường cao và đường kính đáy cùng bằng 2a. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua 

trục, diện tích thiết diện bằng 

2 

2 

2 

2 

A. 8a . B. a . C. 2a . D. 4a . 

Câu 12. Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao h là 

1 

1 

A. V Sh . B. V 3Sh 

. C. V Sh . D. V Sh . 

3 

2 

 

Câu 13. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Đồ thị 

 

của hàm số y f x cắt đường thẳng y 2019 

tại bao nhiêu điểm? 

x 1 

0 1 

y 0 0 0 

3 

3 

y 

 

1 

A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. 

Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy , điểm biểu diễn của số phức z 4 5i 

có tọa độ là 

 

 

 

 

A. 4;5 . B. 4; 5 . C. 4; 5 . D. 5; 4 

. 

Câu 15. Cho đường thẳng d cố định và một số thực dương a không đổi. Tập hợp các điểm M trong 

không gian sao cho khoảng cách từ điểm M đến d bằng a là 

A. mặt cầu. B. mặt trụ. C. mặt nón. D. đường tròn. 

2 

Câu 16. Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 

5 0 . Giá trị của biểu thức 

bằng 

1 2 


5 

 

z 

z 

2 2 

1 2 

Trang 2

A. 14. B. 9 

. C. 6 

. D. 7. 

x 2 

Câu 17. Biết đồ thị hàm số y các trục Ox, 

Oy lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B. Tính diện tích 

x 1 

S của tam giác OAB. 

1 

A. S 1. B. S . C. S 2 . D. S 4 . 

2 

2 2 2 

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z 2x 2y 6z 

11 0 . Tọa độ tâm của 

S 

mặt cầu là I a; b; 

c . Tính a b c . 

A. 1. B. 1. C. 0. D. 3. 

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : 2x 3z 

1 0 . Tìm một vec tơ pháp tuyến của mặt 

phẳng P 

A. n 2;3;1 

 

 

 

1 . B. n2 2; 3;1 

. C. n3 2;0; 3 

. D. n4 2; 3;0 

. 

Câu 20. Trong khai triển 

8 

x 

2 

x 

9 

, số hạng không chứa x là 

A. 84. B. 43008. C. 4308. D. 86016. 

Câu 21. Tập xác định D của hàm số 

2 

 

y log x 1 

D 

D 

D 

 

A. 0; . B. 1; . C. 1; . D. D 0; . 


 

là 

2 3 

log x 10log x 1 0 . Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm thực? 

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

4 

Câu 23. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 x trên đoạn 3; 1 

bằng 

x 

A. 3 

B. 4 

C. 5 D. 5 

 

Câu 24. Trong không gian . Đường thẳng đi qua 1;2; 3 nhận vec tơ u 1;2;1 làm vec tơ 

chỉ phương có phương trình là 

Oxyz M 

 

A. x 1 y 2 z 3 

. B. x 1 y 2 z 3 

. 

1 2 1 

1 2 1 


x 1 y 2 z 3 

C. . D. x 1 y 2 z 3 

. 

1 2 1 

1 2 1 

Câu 25. Cho hình chóp S. 

ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, đường 

thẳng SB tạo với đáy một góc 60 . Thể tích của khối chóp S. 

ABC bằng 

3 

3 

3 

3 

a 

a 

a 

3a 

A. . B. . C. . D. . 

8 

4 

2 

4 

2 2 

2 

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu S : x 1 y z 2 9 . Mặt phẳng 

S 

tiếp xúc với mặt cầu tại điểm A 1;3;2 có phương trình là 

Oxyz 

A. x y 4 0 B. y 3 0 

C. 3y 1 0 

D. x 1 0 

Câu 27. Tính tích các nghiệm thực của phương trình 

x 

2 1 2x3 

2 3 

bằng 

Trang 3

A. 3log 2 . B. log 54 . C. 1. D. 1 

log 3. 

 

2 

2 

Câu 28. Khối trụ 

ABC. 

ABC 

 

 

2 

có thể tích bằng V. Tính thể tích của khối đa diện 

BAACC 

3V 2V 

V 

V 

A. . B. . C. . D. . 

4 

3 

2 

4 

Câu 29. Cho hình chóp . có đáy là hình vuông tại A và D, SA ABCD . Góc giữa SB và mặt 

S ABCD 

phẳng đáy bằng 45. E là trung điểm của SD, AB 2 a, 

AD DC a . Tính khoảng cách từ điểm B đến 

mặt phẳng ACE 

2a 4a 

3a 

A. . B. . C. a . D. . 

3 

3 

4 

 

Câu 30. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như 

hình vẽ. Giá trị của 

4 

 

4 

f 

 

x dx 

A. 4. B. 8. 

bằng 

C. 12. D. 10. 

3 

Câu 31. Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x 1 

x và y x x có diện tích bằng 

37 

5 

8 

9 

A. B. C. D. 

12 

12 

3 

4 

Câu 32. Trong không gian , cho mặt cầu S : x 2 y 2 z 1 4 và điểm A 2;2;1 . Từ điểm A 

 

Oxyz 2 

 

kẻ ba tiếp tuyến AB, AC, AD với B, C, D là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng BCD . 

A. 2x 2y z 1 0 . B. 2x 2y z 1 0 . 

C. 2x 2y z 3 0 . D. 2x 2y z 5 0 . 

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V, hai điểm M và P lần lượt là trung điểm của AB, CD; điểm N 

thuộc AD sao cho AD 3AN 

. Tính thể tích của tứ diện BMNP. 

V 

V 

V 

V 

A. . B. . C. . D. . 

4 

12 

8 

64 


f 

x 2019 2019 

 

x 

x 

.Tìm số nguyên m lớn nhất để f m f 2m 


0 

A. 673 

. B. 674 

. C. 673. D. 674. 

 

12 5i z 17 7i 

Câu 35. Trong các số phức z thỏa mãn 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

z 2 i 

3 13 

5 

1 

A. . B. . C. . D. 2 . 

26 

5 

2 

 

Câu 36. Trong không gian , cho các điểm M 0;0;0 , N 0; n;0 , P 0;0; p không trùng với gốc tọa 

độ và thỏa mãn 


Oxyz 

2 2 2 

m n p 3 . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (MNP) 

1 

1 

1 

A. . B. 3 . C. . D. . 

3 

3 

27 

 

z 

 

Trang 4

Câu 37. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 

 

2 3 

x m 2 x 4 m 1 x 4x 


 

2019;2019 

A. 2011. B. 2012. C. 2013. D. 2014. 

 

để phương trình 

2 2 

1 2 

x y 

Câu 38. Biết rằng parabol y x chia hình phẳng giới hạn bởi elip có phương trình 1 

thành 

24 

16 1 

S1 

hai phần có diện tích lần lượt là S1, 

S2 

với S1 S2 

. Tỉ số của bằng 

S 

4 

3 

4 

2 

4 

3 

8 

3 

A. . B. . C. . D. . 

8 

3 

8 

2 

12 

12 

Câu 39. Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Xếp ngẫu nhiên các học sinh trên để chụp ảnh. Tính 

xác suất không có hai bạn nữ nào đứng kề nhau. 

65 

1 

7 

1 

A. . B. . C. . D. . 

66 

66 

99 

22 


thị của hàm số 

 

y f x 

 

y f x 

vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

 

A. f x f x f x . 

C A B 

 

B. f x f x f x . 

A B C 

 

C. f x f x f x . 

A C B 

 

D. f x f x f x . 

B A C 


hàm số 

 

g x f x m 

, biết tại các điểm A, B, C đồ 

có tiếp tuyến được thể hiện như hình 

3 2 

3 

f x x x 

2 

. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị của 

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 

A. 3. B. 10. C. 4. D. 6. 

Câu 42. Cho tứ diện ABCD có CD a 2, ABC 

là tam giác đều cạnh a, ACD 

vuông tại A. Mặt phẳng 

(BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABD). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 

3 

3 

3 

4 a 

a 

3 

a 3 

A. . B. . C. 4 

a . D. . 

3 

6 

2 

3 2 m 

Câu 43. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 3x 9x 

5 có 5 

2 

điểm cực trị 

A. 62. B. 63. C. 64. D. 65. 

f x 

 

Câu 44. Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đạo hàm f x thỏa mãn 

1 2 2018 0, 

f x x x g x 

biến trên khoảng nào dưới đây? 


với g x x . Hàm số y f 1 x 2018x 

2019 nghịch 

1; 

0;3 

 

 

A. . B. . C. ;3 . D. 4; . 

Trang 5

2 2 2 

Câu 45. Trong không gian , cho mặt cầu S1 : x 1 y 1 z 2 16 

và mặt cầu 

 

Oxyz 

S 2 2 2 

2 

: x 1 y 2 z 1 9 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có tâm I a; b; 

c. Tính 

a b c 

7 

1 

10 

A. B. C. D. 1 

4 

4 

3 

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình 

x 2 

x 

m 

3 3 3 2 0 

chứa không quá 9 số nguyên? 

A. 3281. B. 3283. C. 3280. D. 3279. 

2 2 

Câu 47. Cho x; 

y thỏa mãn x y 1 

và x y xy x y 1. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn 

xy 

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . Tính 

x y 1 

M m 

1 

2 

1 

A. B. C. D. 

3 

3 

2 

Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 

ngiệm thực phân biệt. 

1 

 

3 

2 

x log3 x 1 log9 

9 x 1 m 

 

m 

m 

m 

 

A. 1;0 . B. 2;0 . C. 1; . D. m 1;0 . 

có hai 

3 5 

Câu 49. Xét các số phức w, 

z thỏa mãn w i và 5w 2 iz 

4 

. Tìm giá trị lớn nhất của 

5 

biểu thức P z 2i z 6 2i 

A. 7. B. 2 53 . C. 2 58 . D. 4 13 . 

 

 

Câu 50. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 , thỏa mãn 

 

f x 2 4 f x 8x 2 4, x 

0;1 và 1 

2 . Tính 

f f 

1 

 

0 

x dx 

1 

4 

21 

A. . B. 2. C. . D. . 

3 

3 

4 


Trang 6

ĐÁP ÁN 

1. A 2. B 3. B 4. B 5. C 6. C 7. A 8. A 9. C 10. C 

11. C 12. A 13. B 14. A 15. B 16. C 17. C 18. A 19. C 20. B 

21. B 22. C 23. B 24. D 25. B 26. B 27. A 28. B 29. B 30. B 

31. A 32. D 33. B 34. B 35. A 36. C 37. C 38. A 39. C 40. D 

41. A 42. A 43. B 44. D 45. D 46. A 47. B 48. B 49. D 50. C 

Câu 1. 

Chọn A 

HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI 

112i 

112i 

Từ z 2 i 

12i 1 z z 29 

2 i 2 i 

Câu 2. 

Chọn B 

 

Bên phải ngoài cùng của đồ thị đi lên nên hệ số a phải dương suy ra loại C. Ta thấy 

loại D. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm nên loại A (phương trình 

Câu 3. 

Chọn B 

Cấp số nhân có công thức có số hạng tổng quát là 

Câu 4. 

Chọn B 

3 

2 

Ta có log3 log3 3 log3 25 1 log3 5 1 2log3 

5 1 

2a 

25 

Câu 5. 

Chọn C 

4 1 4 

Ta có 

Câu 6. 

Chọn A 

 

f x dx f x dx f x dx 2 5 7 

0 0 1 

4 2 

x x 1 0 VN 

 

x 0 y 1 

u u q , n 2 u u . q 1.2 2 

n 

n1 19 19 19 

1 20 1 

 

). Chọn B 

Nhớ tọa độ trung điểm tương ứng cộng lại chia 2. Còn nếu trọng tâm tam giác tương ứng cộng lại chia 3. 

Câu 7. 

Chọn A 

Nhớ 

 

Câu 8. 

Chọn A 

x 

x 

x a 

x 2 

a dx 2 dx 

ln a 

 

ln 2 


và 

 

n1 

n x 

x dx 2xdx x 

n 1 

 

2 

nên 

Trang 7

5 

Ta có y ' , x 

1 

Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 

và 

x 1 

2 

1; 

 

Lời nhắn. 

Từ 2007 khi dự định thi hình thức trắc nghiệm đối với môn toán đã xuất hiện những câu hỏi kiểu này rồi. 

2x 

3 

Hàm số y không đồng biến trên tập xác định của nó được vì bị vi phạm định nghĩa đồng biến 

x 1 

của hàm số. Chẳng hạn, x1 2, x2 

0 đều thuộc tập xác định của hàm số đang xét và x1 x2 

. Nhưng 

y 

 

2 7 y 0 3 

. Do đó ta chỉ có thể nói hàm số này đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 

mà thôi. Phương án A sai. 

Câu 9. 

Chọn C 

Câu hỏi này chỉ muốn kiểm tra khái niệm về điểm cực trị của hàm số đối với các em thôi. Các em cần 

nhớ. Điểm cực tiểu (cực đại) của hàm số là x0 

giá trị cực tiểu (cực đại) của hàm số là y0 y x0 

 

Câu 10. 

Chọn C 

Từ bảng biến thiên ta thấy lim y 5; lim y 3 đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là y 5 và 

x 

x 

y 3 . Và lim y x 1 

là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

 

x1 

Vậy đồ thị hàm số có tất cả là ba đường tiệm cận. 

Câu 11. 

Chọn C 

Xem thiết diện là tam giác ABC (như hình vẽ). Ta có 

Trong đó d là đường kính của đường tròn đáy. 

1 1 

S ABC 

h. d .2 a.2a 2a 

2 2 


2 

Câu 12. 

Chọn A 

Câu này chắc khỏi phải nói gì ngoài dòng chữ này phải không các em! 

Câu 13. 

Chọn B 

Từ bảng biến thiên ta thấy ngay đường thẳng y 2019 

cắt đồ thị của hàm số y f x tại 2 điểm 

Câu 14. 

Trang 8

Chọn A 

Câu 15. 

Chọn B 

Các em xem đoạn trích sau: 

Trích trong quyển sách TƯ DUY GIẢI NHANH HÌNH KHÔNG GIAN của tác giả Trần Duy Thúc. 

"II. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ. 

1. Khái niệm về mặt trụ 

Cho hai đường thẳng và song song với nhau và cách khoảng bằng R. 

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng khi đó quay quanh được gọi là mặt 

trụ tròn xoay (hoặc đơn giản là mặt trụ). 

gọi là trục của mặt trụ, 

kính của mặt trụ. 

Nhận xét. 

gọi là đường sinh của mặt trụ, và R gọi là bán 

a) Mặt trụ nói trên là tập hợp tất cả các điểm M cách đường thẳng cố định 

một khoảng R không đổi. 

b) Với mỗi điểm thuộc mặt trụ thì đường thẳng đi qua M và song 

M1 

1 

1 

song với cũng nằm trên mặt trụ đó (vì mọi điểm thuộc luôn cách một khoảng R). Do đó, có thể 

 

1 

xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng , hay nói cách khác, đường thẳng cũng là một đường sinh của mặt 

trụ. 

1 

1 

P 

 

c) Xét mặt phẳng vuông góc với đường thẳng . Dễ thấy giao giữa mặt phẳng P và mặt trụ là một 

đường tròn bán kính R." 

Câu 16. 

Chọn C 

Chắc các em sẽ bấm máy nhỉ? 

Thầy thì không thích giải thế. Ta có 2 

Câu 17. 

Chọn C 

z z z z 2 z . z 2 2.5 6 

2 2 2 

1 2 1 2 1 2 

Các em có nhớ phương trình của trục Ox, 

Oy ? Đây Ox : y 0 và : 0 . Đặt C là đồ thị của hàm 

x 2 

số y . Khi đó, A C Ox A2;0 

và 

x 1 

Tam giác OAB vuông tại O nhé các em. Do đó 

Câu 18. 

Chọn A 

B C Oy B0; 2 

1 1 

S OAB 

OAOB . .2.2 2 

2 2 

Từ phương trình mặt cầu ta xác định được a 1; b 1; c 3 a b c 1 

Câu 19. 

Chọn C 

Câu 20. 


Oy x 

Trang 9

Chọn B 

Ta có số hạng tổng quát của khai triển 

8 

x 

2 

x 

9 

k 

k k k k k 

9 

8 

93 

là T C9 x . C 

2 

9 

x .8 

x 

Số hạng không chứa x khi 9 3k 

0 k 3. Vậy số hạng không chứa x là C .8 43008 

Câu 21. 

Chọn B 

Hàm số y log x 1 

xác định khi x 1 0 x 1 D 1; 

 

Câu 22. 

Chọn C 

Điều kiện 

2 

x 0 . Khi đó phương trình đã cho tương đương 

2 

9log x 10log x 1 0 1 

 

log x 1 x 10 

n 

 

1 

log 

x 9 

9 x 

10 

Vậy phương trình đang xét có 2 nghiệm thực. 

Câu 23. 

Chọn B 

n 

3 3 

9 

Cách 1: Bấm máy tính đến giờ này chắc em học lớp nào cũng biết rồi phải không! 

Cách 2: Giải tay 

Ta có 

 

 

 

 

4 x 

2 3; 1 

y 

1 ; y 

0 

2 

x x 2 3; 1 

10 

4 

Tính y 3 ; y 2 3; y1 

4 

giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 

x trên đoạn 

3 

x 

3; 1 

bằng 4 

Câu 24. 

Chọn D 

Nhắc lại 

Đường thẳng đi qua ; ; 

 

nhận vec tơ u a ; a ; a làm vec tơ chỉ phương có phương trình là 

M x y z 

 

0 0 0 

x x0 y y0 z z0 

chính tắc có dạng 

 

 

a a a 

Câu 25. 

Chọn B 

Ta có 

 

1 2 3 

1 2 3 

SB, ABC SBA 60 

. Tam giác SAB vuông tại A, ta có 

tan 60 SA SA AB tan 60 a 3 

AB 

Tam giác ABC đều cạnh a nên 


S ABC 

2 

a 3 

 

4 

Trang 10

2 3 

1 1 a 3 a 

Ta có VS . ABC 

SA. S 

ABC 

a 3. 

3 3 4 4 

Câu 26. 

Chọn B 

Mặ cầu có tâm 1;0;2 , mặt 

 

tiếp xúc với mặt cầu tại A nên có vtpt là IA 0;3;0 có phương 

S I P 

 

trình 

Câu 27. 

Chọn A 

P : 0 x 1 3 y 3 0 z 2 0 P : y 3 0 

Bài này không thể nào đưa được về cùng cơ số rồi các em. Bài này rơi vào dạng logarit hóa. Có thể lấy 

logarit theo cơ số 2 hoặc 3. Tuy nhiên qua sát đáp án là logarit cơ số 2. Do đó ta nghĩ đến việc lấy logarit 

hai vế của phương trình theo cơ số 2. 

x 

Phương trình 2 1 2 x 3 x 2 1 2 x 

3 x 

2 x 

 

2 3 log 2 log 3 1 2 3 log 3 

 

2 2 2 

2 

x 2log2 3 x 3log2 

3 0 (*). Gọi x1, 

x2 

là các nghiệm của phương trình (*) 

c 

Khi đó x1. x2 3log2 

3 

a 

Câu 28. 

Chọn B 

1 2 

Ta có VBACC A 

V VB. 

ABC 

V V V 

3 3 

Câu 29. 

Chọn B 


a 

Coi như 1. Ta có SB, ABCD SBA 45 SA AB 2 . Gọi F là trung điểm của AD, ta có ngay 

SA 

FE ABCD, FE 1. Rõ ràng rằng các em muốn giải được câu khoảng cách thì các em phải vững 

2 

về hình học không gian và phải biết cách chuyển khoảng cách về chân đường cao. 

Các em hãy kiểm tra: 

d B, EAC 

2 d D, 

EAC và d D, EAC 

2 d F, EAC d F, EAC 4 d F, 

EAC 

 

 

Trang 11

Kẻ 

FH AC, FM EH FM d F, 

EAC 

 

và 

1 1 1 1 

1 

2 2 2 2 

FM FE FH FH 

Kẻ DK AC DF 2FH 

mà 

1 1 1 2 DK 2 FH 

2 

2 2 2 

DK DA DC 

2 4 

1 1 4 

3 3 

Vậy 1 8 FM d B, 

AEC 

2 

FM 

Cách 2. Tọa độ hóa 

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Dễ dàng các em sẽ tính được tọa độ các điểm 

A 1 

0;0;0 , S 0;0;2 , B 0;2;0 , C 1;1;0 , E ;0;1 

 

 

2 

Viết phương trình mặt phẳng (ACE) và tính khoảng cách từ điểm B đến đây là xong nhé các em. 

Câu 30. 

Chọn B 


4 2 4 

1 1 

 

ABC 

 

CDEF 

.2.2 .2. 6 4 8 

2 2 

 

Ta có f xdx f xdx f xdx S S 

 

4 4 2 

Câu 31. 

Chọn A 


 

 

x 3 x x 1 x x 3 x 2 2x 0 x 0 x 1 x 2 

. Do đó 

Trang 12

0 1 

3 2 3 2 

37 

S x x 2xdx x x 2xdx 

 

2 

2 0 

Câu 32. 

Chọn D 

 

 

R 

Mặt cầu có tâm I 0;0;1 và bán kính 2 . Mặt phẳng BCD có 

 

IA 2;2;1 IA 3 

vtpt là vec tơ 

Gọi H là giao điểm và (BCD). 

2 2 

2 IB R 4 

Khi đó IH. 

IA IB IH IA 

IA 

3 

IH 4 8 8 13 

Ta có IH IA IA H ; ; 

IA 9 9 9 9 

8 8 13 

Khi đó BCD 

: 2 x 2 y 1. z 0 

9 9 9 

BCD : 2x 2y z 5 0 

Câu 33. 

Chọn B 

1 

V V d C, ABD . S 

3 

Ta có 

ABCD 

 

1 

V d P, ABD . S 

3 

và 

PMNB 

 

MNB 

ABD 

1 

Các em sẽ thấy d P, ABD d C, 

ABD 

(1) 

2 

1 

S 

ABD 

d D, AB . AB 

2 

Mặt khác 

1 

và S 

MNB 

d N, AB. 

MB . 

2 

1 

1 

1 

Mà d N, AB d D, 

AB 

và MB AB . Do đó S 

MNB 

S 

ABD 

(2). Từ (1), (2) các em sẽ thấy được 

3 

2 

6 

1 1 V 

rằng VPMNBV 

. V 

2 6 12 

Câu 34. 

Chọn B 

Hàm số 

Ta thấy 

Hơn nửa, 

f 

x 2019 2019 

x 

x 

xác định x 

 

2019 x 2019 x 2019 x 


x 

 

f x f x f 

x 

x 

2019 .ln 2019 2019 .ln 2019 0, 

f x x f 

là hàm số lẻ 

đồng biến trên 

Do đó, bpt f m f 2m 2019 0 f 2m 2019 f m f 2m 2019 f m 

2m 2019 m m 673 


 

Trang 13

Vậy giá trị lớn nhất của m thỏa mãn bất phương trình là 674 

Câu 35. 

Chọn A 

Đặt z x yi và M x; 

y là điểm biểu diễn số phức z 

 

Điều kiện của phương trình là 

 

z 2 i M 2;1 

 

 

. Phương trình đã cho tương đương 

17 7i 

2 2 

12 5i 

z z 13 z 2 i z 1 i z 2 i 6x 4y 

3 0 

12 5i 

Do đường thẳng d : 6x 4y 

3 0 không đi qua điểm 2;1 . Nên tập hợp điểm M là đường thẳng d. Khi 

đó z OM d O, 

d 

min 

Câu 36. 

Chọn C 

Ta có 

3 13 

 

min 

 

26 

 

x y z 

MNP và d 

m n p 

O, 

MNP 

: 1 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copski ta có: 

 

 

 

1 

1 1 1 

 

m n p 

2 2 2 

2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 

m n p 9 3 9 3 

2 2 2 

2 2 2 

2 2 2 

m n p m n p m n p 

1 1 1 1 

 

1 1 1 

 

3 1 1 1 3 

2 2 2 

m n p 2 2 2 

m n p 

Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (MNP) lớn nhất bằng 

Câu 37. 

Chọn C 

Điều kiện: x 3 4x 0 x 0 . Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình đã cho. Nên ta xét 

phương trình trên miền x 0 . Chia hai vế của phương trình cho x ta được: 

x m 2 4 m 1 

x 

4 

x 

x 

Đặt 

(*) 

4 

t x 2 , khi đó phương trình (*) trở thành 

x 

2 

2 t t 2 

 

t m 2 m 1 t m f t , t 2 

t 1 

Ta có 

f 

t 

2 

t 

0 

2 

t 

 

2t 

3 

 

t 1 


t 

 

 

3 

1l 

n 

. Bảng biến thiên 

1 

3 

Trang 14

x 

2 

3 

 

y 

 

0 

 

y 

8 

7 

 

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 

số nguyên thuộc đoạn 2019;2019 

Do đó các số nguyên m thỏa mãn đề bài từ 7 đến 2019 có 2013 giá trị 

Câu 38. 

Chọn A 

Ta có 

x 2 2 2 

y 1 y 1 

x . Phương trình hoành độ giao điểm của elip và parabol là 

16 1 16 

x 

12 

x 1 x 36x 576 0 x 2 3 

x 

 

2 

2 

1 2 x 4 2 

 

2 

24 16 48 

Do đó 

2 3 

2 

x 1 

2 

S1 

 

1 x dx 4,7661 (bấm máy tính) 

16 24 

2 3 

 

S1 

Diện tích S2 

bằng diện tích elip trừ đi S1 S2 ab S1 7,8002 . Khi đó 0,661 

S 

Lời bình 

m 7 . Mà ta đang xét m là 

Bài này các em nên tận dụng bấm máy tính cho nhanh. Cứ giải tích phân đó khá tốn thời gian. 

Câu 39. 

Chọn D 

Xếp ngẫu nhiên các em học sinh trên thành một hàng ngang có 11! cách. Suy ra n 11! 

Gọi A là thỏa mãn đề bài. Xếp 6 bạn nam có 6! cách 

Giữa 6 bạn nam có 5 khoảng trống và thêm hai vị trí ở đầu hàng là 7. Để xếp 5 bạn nữ mà không có hai 

bạn nữ kề nhau ta chọn 5 trong 7 vị trí này và xếp 5 bạn nữ vào có 

5 

5 6!. A7 

1 

 

7 

 

11! 22 

Suy ra n A 6!. A P A 


5 

A 7 

2 

Trang 15

0 Nam 0 Nam 0 Nam 0 Nam 0 Nam 0 Nam 0 

Câu 40. 

Chọn D 

Từ đồ thị ta nhận xét rằng: 

f x B 

Tiếp tuyến tại B có hệ số góc âm suy ra 0 

f x A 

Tiếp tuyến tại A có hệ số góc bằng 0 suy ra 0 

Tiếp tuyến tại C có hệ số góc dương suy ra 

Câu 41. 

Chọn A 



có 

2 

0 

f x m f x m 

f x 

m 

f x 3x 6x 0 x 0 x 2 


f x C 0 

. Vậy f x f x f x 

B A C 

(*). Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 

(**) có hai nghiệm dương phân biệt. 

x 0 2 

y 0 0 

y 

 

0 

4 

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng phương trình (**) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi 

4 m 0 0 m 4 m 

1;2;3 

Câu 42. 

Chọn A 

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

 

 

(do m nguyên) 

 

Coi như a 1. Tam giác ACD vuông tại A nên 


2 2 

AD CD AC 1 

AB ABD 

cân tại A và tam giác 

ACD vuông cân tại A. Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BD 

 

và DC. Ta có AH BCD và CD AE . Hơn nửa 

 

CD AH CD AHE CD HE 

 

 

mà HE song song với 

BC suy ra BC vuông góc với CD. H là tâm của đường tròn 

ngoại tiếp tam giác BCD, do đó AH là trục đường tròn này. 

Trong tam giác AHE dựng đường thẳng qua E vuông góc AE 

và cắt AH tại điểm I. Do mặt phẳng (AHE) vuông góc với mặt 

phẳng (ACD) nên d cũng vuông góc với (ACD). Hơn nửa E là 

tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD suy ra I là tâm của 

Trang 16

Ta có 

Vậy 

Câu 43. 

Chọn B 

2 

AE 

1 2 1 1 1 

. Ta có AE CD , HK BC AH 

AH 

2 2 2 2 2 

2 

AI. 

AH AE AI 

2 

AE 

4 

AI 1 R 1 Vmc 

 

AH 

3 

3 2 m 

2 

Đặt f x 

x 3x 9x 5 f x 

3x 6x 9 0 x 1, x 3 . Suy ra hàm số f x 

có hai 

2 

điểm cực trị. Hàm số 

 

f x 

x x x 

3 2 

0 3 9 5 

 

h x 

3 2 

y x x x 

3 9 5 

m 

2 

m 

2 

(*) có ba nghiệm phân biệt. 

 

3 2 

Chúng ta lập được bảng biến thiên của h x x 3x 9x 

5 như sau 

x 1 

3 

x 

h 0 0 

h x 

 

Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt 

trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Câu 44. 

Chọn D 

 

0 

32 

có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình 

 

m 

32 0 0 m 64 m1;2;3;...;63 

2 

 

. Vậy có 63 giá 

Chả hiểu cho cái g x xong cho thêm g x 0, x 

có ý nghĩa gì? ta đang thi trắc nghiệm mà! 

Cho đại g x f x x x 

1 1 2 2018 

Đặt h x f x x h x f x 

1 2018 2019 1 2018 

1 11 2 2018 

2018 3 

 

h 

x x x x x 

Hàm số 

Câu 45. 

Chọn D 

x 

0 

h x 

nghịch biến x 3 x 

0 

x 

3 

M x y z 

C 

S 

Gọi ; thuộc đường tròn là giao tuyến của và . Khi đó 

0 0 0 

2 2 2 

x 1 y 1 z 

2 161 

 

 

0 

 

0 

 

0 

 

 

0 0 0 

2 2 2 

x 1 y 2 z 

1 92 

1 

S 2 

. Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được 

thuộc mặt phẳng P : 4x 2y 6z 

7 0 

4x 2y 6z 7 0 C 

0 0 0 


Trang 17

S I 

C 

P 

 

Mặt cầu có tâm 1;1;2 . Do đường tròn thuộc mặt phẳng nên I a; b; 

c 

1 

1 

là hình chiếu 

I P 

 

vuông góc của 1;1;2 trên . Công việc tiếp theo là tìm hình chiếu của I 1;1;2 

1 1 

trên mặt phẳng 

 

P 

 

Câu 46. 

Chọn A 

Do 

. Chắc được chứ, khi đó sẽ tìm được 

1 7 1 I ; ; a b c 1 

2 4 4 

x2 

3 

 

 

2 

x 

3 3 0 x 

m* 

nên phương trình 3 33 2m 

0 

2 

x 

3 2m 

0 

 

x 

log3 

2m 

0 

x 

VT 

3 

log3 

2m 

 

2 

 

0 

 

3 

3 

Vậy x ;log 

3 2 m . Do khoảng ;log 

3 2 m 

chứa không quá 9 số nguyên suy ra 

2 

2 

8 

8 3 

log3 

2m 8 2m 3 m 

2 

mặt phẳng P 

0 

 

nghiệm của bất phương trình) là mặt phẳng đi qua M và song song với 

: 2 0 M 

P 

Ta có Q x y z . Do là đường thẳng đi qua 0;0;2 và song song với mặt phẳng 

nên thuộc Q 

. 

Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A trên 

 

 

 

Q 

 


Suy ra AH AK d A, 

AH suy ra khoảng cách từ điểm A đến nhỏ nhất khi H trùng K hay 

đi qua H. Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc 

4; 1; 2 . Một vtcp của là MH 4; 1; 3 

H d Q H 

Câu 47. 

Chọn B 

Khi y 0 P 0 . Xét y 0 , ta có 

 

 

 

x 

5 t 

 

Q 

d : y t . Khi đó 

 

z 

t 

x 

2 

xy xy y t x t 

1 

P , t P 0 t 1 

2 2 2 2 

2 

2 

x y 1 x y xy x x t t 1 y t t 1 

1 

 

 

y 

 

y 



Trang 18

x 1 

1 

x 

h 0 0 

h x 

0 

1 

1 

3 0 

Vậy 

Câu 48. 

Chọn B 

1 2 

M , m 1 M m 

 

3 3 

Điều kiện x 1. Dễ thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Do đó phương trình tương đương 

1 

x log3 x 1 1 mlog3 

x 1 m x f x, x 1 x 0 

log x 

Ta có 

1 

f x 1 0 f x 

 


 

x 

1ln 3. log x 1 

3 

 

2 

3 

 

luôn đồng biến 

x 1 

0 

f x 

+ + 

f 

x 

1 

 

 

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m1; 

 

Câu 49. 

Chọn D 

Ta có 


 

Trang 19

5 w i i 5 w i 5i 

5w 2 i z 4 

z 4 z 4 

2 i 2 i 2 i 

i i 

5 w 5 w 

z 3 2i z 3 2i z 3 2i 

3 

2 i 

2 i 

(*). Từ phương trình (*) suy ra tập hợp 

các điểm biểu diễn của số phức z là điểm M thuộc đường tròn có tâm I 3; 2 

và bán kính R 3 . 

 

Đặt A 0;2 , B 6;2 P MA MB . Đặt H 3;2 , dễ thấy IA IB IH AB . Đặt 

(như hình vẽ). 

P MA MB 2 MA MB 4MH AB 

Ta có 

2 2 2 2 

Từ đây ta thấy rằng P MH M M MH IH R 7 

Khi đó 

Câu 50. 

Chọn C 

Ta có 

max 

max max max 

P M A M H HA 

2 2 

2 2 58 

1 1 

2 2 2 

2 

 

 

 

 

f x 4 f x 8x 4 f x 4 f x dx 8x 4 dx 

 

 

1 1 

2 

20 

f x dx 4 f x 

 

3 

Xét 

0 0 

1 

0 

 

I 4 f x 

 

 

(*) 

0 0 

1 1 

 

u f x 

du f x dx 

1 

Đặt 

I 4xf x 4xf x dx 8 4xf x 

dx 

0 

dv 4dx v 4x 

 

 

 

0 0 

Do đó 

1 1 1 1 1 

2 2 2 

(*) 

0 0 0 0 0 

 

 

M IH C 

20 4 20 

f x dx 8 4xf xdx f x dx 4xf xdx 4x dx 8 

3 

 

3 3 

1 

 

2 2 

 

(*) f x 2x dx 0 f x 2 x f x x C; f 1 2 C 1 

0 

1 1 

4 

f x dx x dx 

3 

2 

Vậy 1 

Lời bình 

0 0 

Bài toán này rơi vào dạng đưa về hằng đẳng thức. Quen tay các em sẽ làm rất nhanh chứ không phải ngồi 

nhẩm để thêm bớt gì đâu. Cứ thêm cho đủ và bớt ra là được. Ở trên thầy thêm vào 

4 

3 


. Chứ có vấn đề gì đâu? Thêm vậy cho vế trái nó ra hằng đẳng thức ấy mà. 

1 

 

0 

4 

2 

x dx 

4 

3 

thì trừ đi 

Lời tâm sự. Thời gian đến kì thi THPT QG 2019 không còn xa. Để có thể hỗ trợ cho học sinh tài liệu tự 

học Thầy biên soạn lời giải chi tiết đề thi thử giúp các em có thể tìm thấy hướng giải quyết với câu mà 

Trang 20

mình thắc mắc. Thời gian biên soạn không nhiều do đó rất khó tránh khỏi sai sót trong lời giải hoặc chưa 

phải là hay nhất. Rất mong các Bạn đọc thông cảm và góp ý. 

Chúc các em 12 nhiều sức khỏe và sẽ thi tốt trong kỳ thi sắp tới! 

Thầy Trần Duy Thức. 


Trang 21





Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng 

A(0; 1;0), B(2;0;0); C(0;0;3) 

là 

A. x y z 

x y z 

x y z 

x y z 

1. 

B. 0. C. 1. 

D. 1. 

2 1 3 

2 1 3 

1 2 3 

2 1 3 

2 

Câu 2. Gọi z ;z là hai nghiệm phức của phương trình 2z 3z 3 0 . Giá trị của biểu thức 

z 

z 

2 2 

1 2 

bằng 

1 2 

3 9 

A. . 

B. . 

C. 3. 

D. 

18 

8 

Câu 3. Tập xác định của hàm số 

 

3 

2 5 

2 

y (x 3x 2) (x 3) 

A. D ( ; ) \ 3 . 

B. D ( ;1) (2; ) \ 3 . 

C. D ( ; ) \ (1;2). 

D. D ( ;1) \ (2; ). 

là: 

 

( ) 

9 

. 

4 


Câu 4. Cho hàm số y f ( x ) có f (2) 2, f (3) 5; hàm số y f '( x) 

liên tục trên [2;3]. Khi đó 

3 

 

2 

f '( x) 

dx 

bằng: 

A. 3. B. – 3. C. 10. D. 7. 

Câu 5. Bất phương trình 

log (3x 

2) log (6 5 x) 

2 2 

có tập nghiệm là (a;b). Tổng a + b bằng 

8 28 26 11 

A. . 

B. . 

C. . 

D. . 

3 

15 

5 

5 


y 

f ( x) 


x 

- 1 3 


y ' 

+ 0 _ 0 + 

y 

 

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 

4 

f ( x) 

m 

-2 

 

có ba nghiệm phân biệt là 

A. (4; ). 

B. ( ; 2). 

C. [ 2;4]. 

D. ( 2;4). 

Câu 7. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 

y 

x 

2 

x 

9 

A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. 

là 

Trang 1


3 2 

y x 3x 

4 

nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 

A. . 

B. ( ; 2). 

C. (0; ). 

D. ( 2;0). 

 

 

Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a ( 4;5; 3), b (2; 2;1). 

Tìm tọa độ 

 

của vectơ x a 2b 

 

 

 

 

A. x (2;3; 2). 

B. x (0;1; 1). 

C. x (0; 1;1). 

D. x ( 8;9;1). 


f ( x) cos 2x 

sin 2x 

A. cos 2 xdx C. 

B. cos 2xdx sin 2 x C. 

2 

 

sin 2x 

C. cos 2 xdx C. 

D. cos 2xdx 2sin 2 x C. 

2 

 

x 

Câu 11. Cho hàm số y a với 0 a 1. Mệnh đề nào sau đây sai? 

x 

A. Đồ thị hàm số y a và đồ thị hàm số y log a 

x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 

x 

B. Hàm số y a có tập xác định là và tập giá trị là (0; ) 

. 

x 

C. Hàm số y a đồng biến trên tập xác định của nó khi a > 1. 

x 

D. Đồ thị hàm số y a có tiệm cận đứng là trục tung. 

là: 

Câu 12. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án 

dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào? 

4 2 

4 2 

4 2 

A. y x 2 x . B. y x 3x 

3. C. y x x 3. D. 

4 2 

y x 2x 

3. 

3a 

Câu 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA' . Biết rằng hình 

2 

chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm BC. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là 

3 

3 

3 

a 2 3a 

2 a 6 2a 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

8 

8 

2 

3 

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm 

vuông góc với mặt phẳng 


( P) : x 2y z 1 0 

có dạng 

x 1 y 2 z 1 

A. d : . 

B. 

1 2 1 

x 1 y 2 z 1 

C. d : . 

D. 

1 2 1 

x 2 y z 2 

d : . 

1 2 1 

x 2 y z 2 

d : . 

2 4 2 

3 

. 

A(1;2;1) 

và 

Trang 2

Câu 15. Trong các hàm số 

đồng biến trên ? 

3 

x 1 1 

3 

1 

f ( x) log 

2 

x; g( x) 

; h x 

x ; k( x) 3 

2 

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. 

Câu 16. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 

2 

x 

sin x ( m 1)cos x 2m 

1 

A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. 

có bao nhiêu hàm số 


Câu 17. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích hình tròn đáy của hình nón 

bằng 9 . Tính đường cao h của hình nón. 

3 3 

A. h . 

B. h 3 3. 

C. h . 

D. h 3. 

2 

3 

Câu 18. Trong không gian, cho các mệnh đề sau: 

I. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau. 

II. Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song cắt nhau theo giao tuyến song song với hai 

đường thẳng đó. 

III. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b, đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) thì a song 

song với (P). 

IV. Qua điểm A không thuộc mặt phẳng ( ) , kẻ được đúng một đường thẳng song song với ( ) 

. 

Số mệnh đề đúng là 

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. 

Câu 19. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 

z 1 

2i 

1 

là 

A. Đường tròn I(1;2), bán kính R = 1. B. Đường tròn I(-1;-2), bán kính R = 1. 

C. Đường tròn I(-1;2), bán kính R = 1. D. Đường tròn I(1;-2), bán kính R = 1. 

k 

Câu 20. Ký hiệu C là số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 k n) 


n 

k n! 

k k! 

k k! 

A. Cn 

. B. C n 

. C. C n 

. D. C 

k!( n k)! 

k!( n k)! 

k!( n k)! 


y 

A. Hàm số đã cho có cực trị trên đoạn [a;b]. 

k 

n 

n! 

. 

( n k)! 

f ( x) 

liên tục, đồng biến trên đoạn [a;b]. Khẳng định nào sau đây đúng? 


B. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a;b). 

C. Phương trình f ( x) 0 có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [a;b]. 

D. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a;b]. 

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N là trung điểm của SA, SB. Mặt phẳng 

(MNCD) chia hình chóp đã cho thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn) 

3 3 1 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

5 

4 

3 

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(3;-3;1) và đi qua điểm 

phương trình là 

2 2 

2 

x y z 

 

A. x 5 y 2 z 1 5. 

B. 

2 2 2 

4 . 

5 

3 3 1 25. 

A(5; 2;1) 

có 

Trang 3

2 2 

2 

x y z 

C. x 3 y 3 z 1 5. 

D. 

2 2 2 

3 3 1 5. 

Câu 24. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AB’ và 

mặt phẳng (ABC) bằng 

60 o . Tính thể tích V của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho. 

3 

3 

3 

3 

4a 

3 a 3 a 3 

A. V a 3. B. V . C. V . D. V . 

3 

9 

3 

3 2 


liên tục trên , có đạo hàm f '( x) x ( x 1) ( x 2). Hỏi hàm số 

y 

f ( x) 


A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. 

2 2 1 

Câu 26. Tích các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x trên đoạn ;2 bằng 

x 

2 

 

 

51 

A. 15. B. 8. C. . 

D. 

4 

Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, biết 

AB 2 a, AC 3 a, SA 4 a. 

Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) 

2 a 

6a 

29 12a 

61 

A. d . 

B. d . C. d . D. 

11 

29 

61 

85 . 

4 

SA ( ABC) 

a 43 

d . 

12 

Câu 28. Cho hàm số y f ( x), y g( x) 

liên tục trên đoạn [ a; b]( a b) 

. Hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị 

hai hàm số 

b 

y f ( x), y g( x) 

và hai đường thẳng x = a, x= b có diện tích là 

A. S f ( x) g( x) dx. 

B. 

D 

D 

 

a 

b 

b 

S f ( x) g( x) dx. 

C. SD 

f ( x) g( x) dx. 

D. SD 

f ( x) g( x) dx. 

Câu 29. Số phức 

a 

z 5 8i 

có phần ảo là 

A. 5. B. – 8. C. 8. D. – 8i. 

Câu 30. Biểu thức 

1 

3 4 

x x ( x 0) 

1 

viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là: 

A. x 1 2 . 

B. x 7 . 

C. x 4 . 

D. x 1 2 . 


là hàm đa thức bậc 4, có đồ thị hàm số y f '( x) 

như hình vẽ. Hàm số 

2 

y f (5 2x) 4x 10x 


đồng biến trong các khoảng nào sau đây? 

5 

a 

a 

 

b 

5 

và 

Trang 4

5 

3 

3 

A. (3;4). 

B. 2; . 

C. ;2 . 

D. 0; . 

2 

2 

2 


liên tục trên \ 1;0 

thỏa mãn 

 

f (1) 2ln 2 1, x( x 1) f '( x) ( x 2) f ( x) x( x 1), x 

\ 1;0 . Biết f (2) a bln 3, 

2 

hai số hữu tỉ. Tính T a b 

3 21 3 

A. T . 

B. T . 

C. T . 

D. T 0 . 

16 

16 

2 

Câu 33. Cho hàm số bậc ba 

y 

f ( x) 

thuộc đoạn [0;9] sao cho bất phương trình 

x ( 1;1) ? 

 

 

với a, b là 

có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 

f 2 2 

( x ) f ( x ) m f ( x ) f ( x ) m 

f ( x ) 

2 16.2 4 16 0 

A. 6. B. 8. C. 5. D. 7. 


có nghiệm 

3 5 

Câu 34. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương, a 1; c 1 thỏa mãn log 

a 

b ;logc 

d và a c 9 . 

2 4 

Khi đó b – d bằng 

A. 93. B. 9. C. 13. D. 21. 

3 2 

2 

Câu 35. Cho hàm số y x 8x 8x 

có đồ thị (C) và hàm số y x (8 a) 

x b (với a, b) 

có đồ 

thị (P). Biết đồ thị hàm số (C) cắt (P) tại các điểm có hoành độ nằm trong đoạn [-1;5]. Khi a đạt giá trị 

nhỏ nhất thì tích ab bằng 

A. – 729. B. 375. C. 225. D. – 384. 

Câu 36. Gọi A là tập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Lấy ngẫu nhiên từ A ra hai số. Tính 

xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau. 

Trang 5

41 35 41 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

5823 

5823 

7190 


liên tục trên và f (2) 16, f ( x) dx 4. Tính 

2 

 

0 

14 . 

1941 

4 

x 

I xf ' dx. 

2 

A. I = 144. B. I = 12. C. I = 112. D. I = 28. 

Câu 38. Cho tứ diện ABCD có 

o 

90 ; ; 5; o 

DAB CBD AB a AC a ABC 135 . 

phẳng (ABD), (BCD) bằng 30 o . Thể tích của tứ diện ABCD là 

3 

3 

3 

a 

a 

a 

A. . 

B. . 

C. . 

D. 

2 3 

2 

3 2 

Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình 

( H1) 

0 

Biết góc giữa hai mặt 

3 

a 

. 

6 

giới hạn bởi các đường 

y 2 x, y 2 x, x 4; hình ( H 

2) 

là tập hợp tất cả các điểm M ( x; y) 

thỏa mãn các điều kiện: 

2 2 2 2 2 2 

x y 16;(x 2) y 4;( x 2) y 4. Khi quay ( H1) 

, ( H 

2) 

quanh Ox ta được các khối tròn 

xoay có thể tích lần lượt là V , V . Khi đó, mệnh đề nào sau đây là đúng? 

1 2 

A. V2 2 V1. 

B. V V . 2 1 

C. V1 V2 48 . 

D. V2 4 V1. 

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 

( P) : ax by cz 46 0. 

của biểu thức 

T a b c 

A(1;2;1), B(3;4;0), 

mặt phẳng 

Biết rằng khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (P) lần lượt bằng 6 và 3. Giá trị 

bằng 

A. – 3. B. – 6. C. 3. D. 6. 

Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC), 

AB a; AC a 2, BAC 45 o . Gọi B1 , C1 

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A. 

BCC1B1 

bằng 

3 

3 

a 

3 

4 3 

A. . 

B. a 2. 

C. . 

D. 

2 

3 a 

a 

3 

1 3 6 

Câu 42. Cho các số phức z, w khác 0 thỏa mãn z w 0 và . Khi đó bằng 

z 

w 

z 

z w w 

1 

A. 3. B. . 

C. 3. 

D. 

3 

Câu 43. Ông Nam dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,6%/năm. Biết rằng nếu không rút 

tiền khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm tiếp 

theo. Tính số tiền tối thiểu x triệu đồng ( x ) ông Nam gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ 

mua một chiếc xe gắn máy trị giá 26 triệu đồng 

A. 191 triệu đồng. B. 123 triệu đồng. C. 124 triệu đồng. D. 145 triệu đồng. 

x 1 y 1 z 2 

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt phẳng 

1 2 1 

( P) : 2x y 2z 

1 0. Gọi d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P), vectơ chỉ phương của 

đường thẳng d’ là 

A. u 

3 

(5; 16; 13). B. u 

2 

(5; 4; 3). C. u (5;16;13). 

4 

D. u 

 

1 

(5;16; 13). 

1 . 

3 


2 . 

Trang 6

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 

A(4;0;0), B(0;4;0), S(0;0;c) 


x 1 y 1 z 1 

d : . Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên SA, SB. Khi góc giữa đường 

1 1 2 

thẳng d và mặt phẳng (OA’B’) lớn nhất, mệnh đề nào sau đây đúng? 

A. c ( 8; 6). B. c ( 9; 8). C. c (0;3). 

D. 

17 15 

c 

; . 

2 2 


có đồ thị như hình vẽ. Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số y f ( x) 

là 

6 2 

– 2, 0, 2, a , 6 với 4 < a < 6. Số điểm cực trị của hàm số y f ( x 3 x ) là 

A. 8. B. 11. C. 9. D. 7. 

Câu 47. Cho hai số thực x, y thỏa mãn: 

2 

2 5 4x 

x 

2 

log ( y 8y 16) log 

3 

2 

[(5 x)(1 x)]=2log3 log 

2(2y 

8) . 

3 

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức 

vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng? 

A. 2047. B. 16383. C. 16384. D. 32. 

Câu 48. Cho tích phân 

a b 

2 

bằng 

1 

7 

I ( x 2)ln( x 1)dx a ln 2 

b 

0 

2 2 

P x y m 

không 

trong đó a, b là các số nguyên dương. Tổng 

A. 8. B. 16. C. 12. D. 20. 

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 

( P) : mx ( m 1) y z 2m 

1 0 


, với m 

là tham số. Gọi (T) là tập hợp các điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm H (3;3;0) trên (P). Gọi a, 

m 

b lần lượt là khoảng cách lớn nhất, khoảng cách nhỏ nhất từ O đến một điểm thuộc (T). Khi đó, a + b 

bằng 

A. 5 2. B. 3 3. C. 8 2. D. 4 2. 

Câu 50. Cho số phức z thỏa mãn 

(1 i) z 1 3i 

3 2. 

Giá trị lớn nhất của biểu thức 

P z 2 i 6 z 2 3i 

bằng 

A. 5 6. B. 15(1 6). C. 6 5. D. 10 3 15. 

Trang 7

ĐÁP ÁN 

1. D 2. D 3. B 4. A 5. D 6. D 7. D 8. D 9. B 10. A 

11. D 12. D 13. B 14. D 15. D 16. C 17. B 18. B 19. C 20. A 

21. D 22. A 23. D 24. D 25. A 26. A 27. C 28. A 29. B 30. D 

31. B 32. A 33. A 34. A 35. B 36. A 37. C 38. D 39. D 40. B 

41. D 42. D 43.C 44. D 45. D 46. B 47. B 48. D 49. D 50. C 




2 

Vì z , z là hai nghiệm của phương trình 2z 

3z 

3 0 nên theo viet ta có 

1 2 

2 3 3 9 

z1 z2 z1 z2 2z1z2 

 

2. . 

2 

2 4 

2 2 

Mà 


Ta có hàm số xác định khi 

Suy ra tập xác định 


Ta có 

3 

 

2 

2 

x 1 

2 

 

x 

3x 

2 0 

 

x 

2 

x 

3 0 

x 

3 

 

D ( ;1) (2; ) \ 3 

3 

f '( x) dx f ( x) f (3) f (2) 5 2 3 


Bất phương trình đã cho tương đương với: 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm 


2 

6 

S 1; , 

5 

6 

6 5x 

0 x 

 

6 

 

5 1 x . 

3x 

2 6 5x 

5 

x 

1 

suy ra: 

a 

1 

 

11 

6 a b . 

b 

 

5 

5 

z1 z2 

 

 

 

3 

z1z2 

 

2 


Số nghiệm của phương trình f ( x) m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y f ( x) 

với đường thẳng 

y m 

3 

2 

x 

- 1 3 

y ' 

+ 0 _ 0 + 

 

Trang 8

y 

 

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 2 m 4. 


Tập xác định của hàm số D 

1 

x 

x 

Có: lim lim x 0 lim 

x 2 2 

x 9 x 9 

x 

1 

x 9 

2 

x 

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 0. 


Tập xác định của hàm số D 

Có: 

2 x 

0 

y ' 3x 6 x; y ' 0 

x 

2 

Dấu của y ' :y' 0 x ( ; 2) (0; );y' 0 x ( 2;0) 


 

 

a ( 4;5; 3) 

 

x a 2. b (0;1; 1). 

2. b (4; 4;2) 

 

Vậy x (0;1; 1). 


Cách 1: 

Vì 

Vì 

Vì 

Vì 

(sin 2 x C)' 2.cos 2 x f ( x) 

' 

4 

nên B sai. 

sin 2x 

1 

C .2.cos 2 x cos 2 x f ( x ) 

2 2 

(2.sin 2 x C)' 2.2.cos 2x 4.cos 2 x f ( x) 

' 

sin 2x 

1 

C .2.cos 2 x cos 2 x f ( x ). 

2 2 

Nên họ nguyên hàm của hàm số 

Cách 2: 

 

 

f ( x) cos 2x 

1 1 

cos 2 xdx . cos 2 xd(2 x) sin 2x C 

2 

 

 

2 

Vậy họ nguyên hàm của hàm số 


là 

f ( x) cos 2x 

 

nên C sai. 

nên D sai. 


-2 

sin 2x 

cos 2xdx 

C 

2 

là 

 

sin 2x 

cos 2xdx 

C 

2 

Trang 9

x 

+ Hàm số y a có tập xác định là và tập giá trị là (0; ) 

x 

+ Hàm số y a đồng biến trên tập xác định của nó khi a > 1 và nghịch biến trên tập xác định của nó khi 

0 < a < 1. 

x 

+ Đồ thị hàm số y a có tiệm cận ngang là trục hoành và không có tiệm cận đứng. 

x 

+ Đồ thị hàm số y a và đồ thị hàm số y log a 

x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 


+ Ta có: lim y , suy ra loại B. 

x 

+ Từ hình vẽ bên ta thấy đồ thị hàm số đạt cực đại tại (0;-3) suy ra loại A. 

+ Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại ( 1; 4) 

suy ra loại C. 


Gọi M là trung điểm của BC, khi đó 

Trong tam giác vuông 

A' 

AM 

Vậy, thể tích khối lăng trụ là: V 

có: 

a 3 

AM BC, 

AM và A' M ( ABC) 

2 

2 2 a 6 

A' 

M AA' 

AM 

a a a 

A' M. S ABC 

. 

2 4 8 

2 

2 3 

6 3 3 2 


 

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận của vectơ pháp tuyến của (P) là n (1; 2;1) 

làm vectơ chỉ phương. Vì thế loại đáp án C. 

Trong các đáp án A, B, D chỉ có đáp án D là đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;1). 


Ta có: 

1 

f ( x) log x f '( x) 0, x 

0. 

x ln 2 

+ 

2 


+ 

+ 

3 3 

x 1 x 1 

2 

1 1 1 

g( x) g '( x) 3x ln 0, x 

 

2 2 2 

1 2 

1 

3 3 

h( x) x h'( x) x 0, x 

0 

3 

Trang 10

+ 

2 2 

x 

x 

k( x) 3 k '( x) 2x3 ln 3 0, x 

0 

x 

3 1 

1 

Vậy có một hàm số g( x) 


2 



sinx ( m 1)cosx 2m1 

có nghiệm khi và chỉ khi 

2 2 2 1 

1 ( m 1) (2m 1) 3m 2m 1 0 m 1. Vậy 

3 

m0;1 


Ta có diện tích đáy 

2 

S r 9 

r 3. Do đó l 2r 

6. 

Mặt khác ta có l 2 h 2 r 2 h 2 l 2 r 2 6 2 3 2 27 h 3 3. 


I. Sai vì hai đường thẳng có thể chéo nhau. 

II. Sai vì hai giao tuyến có thể trùng nhau. 

III. Sai vì hai đường thẳng đó có thể cùng nằm trên mp (P). 

IV. Sai vì có thể kẻ được vô số đường thẳng song song mp (P) 


Giả sử 

z x yi,( x, y ). 

Ta có: 

z i x y i x y 

2 2 

1 2 1 ( 1) (2 ) 1 ( 1) ( 2) 1 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-1;2), bán kính R = 1 


Công thức: 

C 

k 

n 

n! 

. 

k!( n k)! 


Hàm số 

y 

f ( x) 

Dựa vào bảng biến thiên ta có: 

liên tục, đồng biến trên đoạn [a;b] ta có bảng biến thiên trên đoạn [a;b] như sau: 

x a b 

f(x) f(b) 

f(a) 

Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a;b] là: 

max f ( x) f ( b);min f ( x) f ( a) 

[a;b] 

[a;b] 

Trên [a;b] hàm số không có cực trị. 

Trên khoảng (a;b) không thể kết luận được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 

Trên [a;b] chưa thể kết luận được phương trình 

xác định được dấu của f ( a ) và f ( b) 

. 



f ( x) 0 

có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [a;b] vì không 

Trang 11

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD 

Ta có: V 2V 2V V 

S. ABCD S. ABC S. 

ACD 

(ABCD) và S 2. S 2. S ) 

ABCD ABC ACD 

M, N là trung điểm của SA, SB suy ra 

Ta lại có: 

(do các hình chóp này có cùng đường cao là khoảng cách từ S đến 

SM 1 SN 1 

; . 

SA 2 SB 2 

V V V V V V V 

 

V V V V 2V 2V 

S. MNCD S. MNC S. MCD S. MNC S. MCD S. MNC S. 

MCD 

S. ABCD S. ABCD S. ABDC S. ABCD S. ABC S. 

ACD 

SM. SN. SC SM. SC. SD 1 1 1 1 1 3 

. . . . 

2 SA. SB. SC 

2 SA. SC. SD 

2 2 2 2 2 8 

3 3 3 5 

VS . MNCD 

VS . ABCD 

. V VABCDMN V VS 

.MNCD 

V V V. 

8 8 8 8 

V 

V 

3 

V 

8 3 

. 

5 

V 

5 

8 

S. 

MNCD 

 

ABCDMN 


Gọi R là bán kính của mặt cầu (S). Do mặt cầu (S) có tâm là I(3;-3;1) và đi qua điểm A nên 

2 2 2 

R (5 3) ( 2 3) (1 1) 5. 

Do đó phương trình mặt cầu (S) là 


2 2 2 

(x 3) ( y 3) (z1) 5 


R IA 

hay 

Ta có 

BB ' ( ABC) 

nên AB là hình chiếu vuông góc của AB’. 

Trang 12

Do đó 

( AB ',(ABC)) ( AB ', AB) B 

' AB 60 o 

o 

Xét tam giác vuông B’AB có BB ' a tan 60 a 3. 

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A’B’C’ nên OO ' ( ABC) 

OO ' BB ' a 3 là đường cao của khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ. 

Do tam giác ABC và A’B’C’ đều nên O, O’ là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. 

Do đáy là tam giác đều cạnh a nên bán kính đường tròn đáy là 

2 2 a 3 a 3 

R . AM . . 

3 3 2 3 

3 

2 a 3 a 3 

Khi đó thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là V R h . 

 

.a 3 . 

3 

3 


x 

0 

3 2 

Ta có: f '( x) 0 x ( x 1) ( x 2) 0 

 

 

x 1 

 

x 2 

Qua nghiệm x 1 (nghiệm bội chẵn) f '( x) 

không đổi dấu hàm số có 2 cực trị. 


Ta có: 

2 2 

1 

+ y x xác định x 

;2 

x 

 

2 

 

 

+ 

+ 

3 

2 2x 

2 1 

 

 

2 2 

 

y ' 2 x ; y ' 0 x 1 ;2 

x x 

2 

 

1 17 

f (1) 3 f f (2) 5 

2 4 

Suy ra M Max y 5; m Min y 3. Vậy M.m = 15. 

1 1 

 

;2 ;2 

2 2 

 

 



2 

và 

Vẽ AH BC. Ta có: SA BC( SA ( ABC)),AH BC. 

Nên BC ( SAH ), mà BC ( SBC), 

do đó ( SBC) ( SAH ) 

Lại có ( SBC) ( SAH ) SH 

Trang 13

Vẽ AK SH AK ( SBC) 

Như vậy d[ A,( SBC)] 

AK 

1 1 1 1 1 1 

 

AK SA AH SA AB AC 

2 2 2 2 2 2 

1 1 1 61 12a 

61 

AK 

a a a a 

2 2 2 2 

(4 ) (2 ) (3 ) 144 61 



Ta có: z 5 8i 

nên phần ảo của số phức là – 8. 


Ta có 

5 5 

3 4 3 

x x x 4 x 

12 . 


Ta có y ' 2 f '(5 2 x) 8x 10 2( f '(5 2 x) 2(5 2 x) 5) 

Ta có y ' 0 f '(5 2 x) 2(5 2 x) 5 0 (*). Đặt t 5 2x 

khi đó 

(*) f '( t) 2t 5 0 f '( t) 2t 

5. 

5 

0 t 1 0 5 2x 1 2 x 

2 


Ta có: x( x 1) f '( x) ( x 2) f ( x) x( x 1) 

Từ đồ thị trên ta có: 

x 2 x x 2x x 

f '( x) . f ( x) 1 . f '( x) . f ( x) 

 

x x x x x 

2 2 2 

2 

( 1) 1 ( 1) 1 

2 

' 

2 2 

' 

2 

x 1 

. ( ) x x 

. ( ) x 

f x f x dx dx x 1 

dx 

x 1 

x 1 

x 1 

x 1 

x 1 

 

 

2 2 

x x 

. f ( x) x ln x 1 

C 

x 1 2 


Trang 14

Thay x = 1 vào 2 vế ta được: 1 . f (1) 1 ln 2 C f (1) 2ln 2 1 2C C 1. 

2 2 

Thay x = 2 vào 2 vế ta được: 

2 3 Vậy T a b . 

16 


4 3 3 

. f (2) 1 ln3 f (2) ln3. 

3 4 4 

Từ đó 

3 3 

a ; b 

4 4 

2 2 2 2 

f ( x) f ( x) m f ( x) f ( x) m f ( x) f ( x) f ( x) m 2 f ( x) f ( x) f ( x) m 

2 16.2 4 16 0 2 2 16.2 16 0 

2 2 2 

2 f ( x) f ( x) f ( x) m f ( x) f ( x) m f ( x) f ( x) f ( x) m 

2 .(2 1) 16.(2 1) 0 (4 16).(2 1) 0 

Vì 

x 

f ( x) 

( 1;1) f ( x) ( 2;2) 4 16 0 

2 2 

f ( x) ( ) m ( ) ( ) m ( ) 

Để bất phương trình 2 f x f x f x f x 

16.2 4 16 0 có nghiệm x ( 1;1) 

thì 

f 2 ( x) f ( x) m 

2 1 0 

có nghiệm 

f 2 ( x) f ( x) 

m có nghiệm x ( 1;1) 

Đặt f ( x) t; x ( 1;1) t ( 2;2) 

2 

x ( 1;1) f ( x) f ( x) m 0 có nghiệm x ( 1;1) 

Phương trình 2 ( ) ( ) 

2 

f x f x m có nghiệm x ( 1;1) 

khi và chỉ khi phương trình t t m có nghiệm 

t ( 2;2) 

. 

2 

Xét g( t) 

t t với t ( 2;2) 

. Có 

Ta có bảng biến thiên của g(t) trên khoảng (-2; 2) 

t 

1 

g '( t) 2t 1; g '( t) 0 t 

2 

1 

-2 2 

2 

g’(t) - 0 + 

g(t) 6 

1 

 

4 

2 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy t t m có nghiệm t ( 2;2) m 6. 

Vì m[0;9] m [0;5]. 

Vậy có 6 giá trị của m để bất phương trình có nghiệm thuộc (-1;1). 


Ta có: 

log 

Vì: 

3 2 

2 3 

2 

2 

3 

3 

a 

b logb 

a a b a b 

5 4 

4 5 


4 

4 

5 

5 

logcd logd 

c c d c d 

2 4 2 2 

Lại có: a c 

3 b 5 d 3 b 5 d 3 b 5 d 

9 ( ) 9 . 9 

2 

Trang 15

2 4 

3 5 

3 5 

Vì a, b, c, d nguyên dương nên b ; d nguyên dương b; 

d nguyên dương 

2 

3 5 

3 

 

b d b 5 b 

 

 

2 

2 

3 5 

5 d 

1 125 

. 

b d 9 d 4 32 

 

 

Vậy b – d = 93. 


Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C) và (P) 

3 2 2 

x 8x 8 x x (8 a) 

x b 

3 2 

Khi đó ta có phương trình x 9x ax b 0 (*) có 3 nghiệm thuộc [-1;5]. 

Đặt 

3 2 

f ( x) x 9x ax b 

2 

Ta có f '( x) 3x 18 x a, 

khi đó để (*) có các nghiệm thuộc [-1;5] thì f '( x) 0 có nghiệm thuộc 

[-1;5] 


Khi đó 15 a 27. 

g x x x x 

2 

( ) 3 18 , 1 5 


x -1 3 5 

g '( x ) 

- 0 + 

g( x) 

21 -15 

Xét a = 15 thì (*) có nghiệm x = 5 nên b = 25 

3 2 2 

Thử lại phương trình x 9x 15x 25 ( x 1)( x 5) 0 thỏa mãn. Vậy ab = 375. 


Ta có số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là 9.9.8 = 648, trong đó có 9.8.7=504 số không 

chứa chữ số 0. 

Khi đó 

2 

C 648 

Trường hợp 1: Xét các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và không chứa chữ số 0. 

Khi đó số cách chọn ra được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau là 

được kể 2 lần). 

-27 

C . C 

2 

1 1 

504 5 

(vì mỗi số 

Trường hợp 2: Xét có số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau và chứa chữ số 0. Khi đó số cách chọn 

ra được hai số mà các chữ số có mặt ở hai số đó giống nhau là 

C . C 

2 

1 1 

144 3 

Vậy xác suất để lấy được hai số mà các chữ số có mặt giống nhau là 

1 1 1 1 

C504. C5 C144. 

C3 

 

2 2 41 

P 

. 

C 5823 

2 

648 



Trang 16

Đặt 

Khi đó 

Đặt 

u x du dx 

 

 

x x 

dv f ' dx v 2 f 

2 

 

2 

x 

t 

2 

4 4 4 4 

x x x x 

I xf ' dx 2x f 2 f dx 128 2 f dx 

2 2 

 

2 

 

2 

0 0 0 0 

, khi đó 

Vậy I 128 2.8 112. 


Dựng DH ( ABC) 

Ta có 

x 

f dx 2 f tdt 2 f ( x) dx 8. 

2 

4 2 2 

 

0 0 0 

BA 

DA 

BA AH. 

Tương tự 

BA 

DH 

Tam giác AHB có 

BC 

DB 

BC BH 

BC 

DH 

AB a, ABH 45 o HAB vuông cân tại A AH AB a. 

Áp dụng định lý cosin, ta có BC a 2 

Vậy 

Dựng 

2 

1 1 2 a 

S ABC 

. BA. BC.sin CBA . a. a 2. . 

2 2 2 2 

HE 

DA 

HE ( DAB) 

HF 

DB 

và 

 

 

HF ( DBC) 


Suy ra ( DBA ),( DBC) HE, 

HF EHF và tam giác HEF vuông tại E. 

Đặt 

DH 

x , khi đó 

HE 

ax 

xa 2 

, HF 

a x 2a x 

2 2 2 2 

Suy ra 

Vậy V 

2 2 

HE 3 x 2a 

cos EHF x a 

HF 4 

2 2 

2x 2a 

ABCD 

3 

1 a 

. DH . S ABC 

. 

 

3 6 


Hình phẳng ( H1) 

Trang 17

4 

2 

Khi cho ( H1) 

quay quanh trục Ox, ta có V1 

2x dx 16 

Hình phẳng ( H 

2) 

4 3 4 3 

Khi cho ( H 

2) 

quay quanh trục Ox, ta có V2 

. 4 2. . 2 64 . 

Vậy V2 4V 

1 

3 3 


Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên mặt phẳng (P). 

Ta có AB 3, AH 6, BH 3. 

Suy ra A, B nằm cùng một phía của mặt phẳng (P) 

Lại có 6 AB BK AK AH 6 

Suy ra A, B, H thẳng hàng và B là trung điểm AH 

H (5;6; 1) 

 

Vậy mặt phẳng (P) đi qua H (5;6; 1) và có vtpt AB (2;2; 1) 

có phương trình 

2( x 5) 2( y 6) 1( z 1) 0 2x 2y z 23 0 4x 4y 2z 

46 0 

Vậy a 4, b 4, c 2 nên T a b c 6. 


 

0 


Trang 18

Tam giác ABC có AB a, AC a 2, BAC 45 o BC a ABC 

vuông cân ở B. 

BC AB Ta có: BC ( SAB) 

BC AB1 

BC SA 

Ta có: 

AB1 

BC AB1 ( SBC) 

AB1 B1C 

AB1 

SB 

Vì các tam giác 

A, B1 , B,C 

1, 

C 

AB C, ABC, 

AC C 

1 1 

cùng thuộc mặt cầu đường kính AC. 

là các tam giác vuông chung cạnh huyền AC 

Do đó khối cầu ngoại tiếp chóp A. 

BCC B có tâm H là trung điểm AC và R 

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V 


Ta có: 

1 1 

3 

4 3 a 2 

R 

3 3 

1 3 6 

w z w z z w zw w zw z 

z w z w 

z w 2 2z 2 

2 z w 2 i. 

z 

2 

 

2 2 

( ) 3 ( ) 6 2 3 0 

 

z z 1 1 

 

1 2 . 

1 2 . 

1 2 3 

2 . w i z 

 

 

w i z i 

z w i z 

 

 

 

 

 

 

 

z w 2 i. z 

w 1 2 i. z 

 

z z 1 1 

 

w 1 

2 i. 

z 1 

2i 

3 

 


AC a 2 

 

2 2 


Với lãi suất 

6,6 

r . 

100 

Theo giả thiết ta có: 


x r x x 

3 6 

(1 ) 26.10 124 

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P) 

triệu đồng. 

Trang 19

vectơ pháp tuyến nQ ud ; n 

P 

(5; 4; 3) 

Do d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) nên d ' ( P) 

 

Do đó d ' ( P) ( Q) 

hay ud ' 

nP; n 

Q 

(5;16; 13) 


 

 

Ta có: ud 

(1;1;2) và AB ( 4;4;0) 

Do 

Xét 

SA' 

SB ' 

SOA SOB A' B '/ / AB 

SA 

SB 

2 2 

2 

AA' OA 4 16 

SOA : OA AA'. SA AA' 

AS 

2 2 2 2 

SA SA 4 c c 16 

16 

 

x ' 4 (0 4) 

2 

c 16 

2 

16 4c 

16c 

 

y 

' 0 (0 0) A' ;0; 

2 2 2 

c 16 c 16 c 16 

 

16 

z 

' 0 ( c 0) 

2 

c 16 

 

2 

4c 

16c 

 

OA' ;0; u 

2 2 OA' 

( c;0;4) 

c 16 c 16 

 

 

 

AB; uOA' 

(16;16; 4 c) n(OA'B') 

 

(4;4; c) 

 

Gọi d;( OA' B') cos 

cos( ud 

; n( OA ' B ') ) 

2 

4.1 4.1 c.2 2 ( c 4) 

cos 

 

2 2 2 2 2 2 

2 

1 1 2 . 4 4 ( c) 

6 c 32 



2 2 

( c 4) 8( c 4c 

32) 

c 

4 

f ( c) f '( c) ; f '( c) 0 

2 2 2 

c 32 ( c 32) 

 

c 

8 

c - 8 4 


f '(c) + 0 - 0 + 

 

f (c) 

3 

2 

1 0 

1 

3 2 3 

max f ( c) f ( 8) max(cos ) 1 khi c 8 

2 6 2 


Ta có y ' 6x 5 6 x f ' x 6 3x 

2 

 

Trang 20

x 

0 x 

0 

4 2 

x 

1 x 

1 

x 3x 2 x 3x 

2 0 

6 2 6 2 

5 

6x 

6x 

0 

 

6 2 6 2 

' 0 

3 0 3 0 

6 2 

f '( x 3 x ) 0 6 2 6 2 

y x x x x 

 

x 3x 2 x 3x 

2 

6 2 6 2 

x 3x a x 3x a 0 

 

 

6 2 6 2 

 

x 3x 6 

x 3x 

6 0 

Xét 

Xét 

2 

 

6 2 2 2 2 

x 3x 2 0 x 1 x 2 0 x 1 

là nghiệm kép. 

2 

 

6 2 2 4 

x 0 x 

0 

x 3x 0 x x 3 

0 

x 

3 x 

 

2 

Xét 

Xét 

4 4 

6 2 2 2 2 

x x x x x x 

3 2 0 1 2 0 2 2 

6 2 

x 3x a 

2 3 2 

Đặt t x 0, PT t 3t a 

Ta có đồ thị hàm số 

3 

f ( t) t 3t 

3 

với x= 0 là nghiệm kép. 

3 2 

Số nghiệm của phương trình t 3t a số giao điểm của đường thẳng y = a và đồ thị 

Do 

Xét 

3 2 

a (4;6) t 3t a 

Ta thấy: 

6 2 2 

x x x x 

có 1 nghiệm duy nhất 

3 6 0 2 ( ) 

+ x 0 là nghiệm bội 3 nên là cực trị. 

+ x 1 là nghiệm bội 3 nên là cực trị. 


 

2 

t 2 x x 

+ x 2, x 4 3, x , x là nghiệm đơn nên là cực trị. 


y f x x 

6 2 

( 3 ) 


Trang 21


Điều kiện: y 4; x ( 1;5) 

5 4x 

x 

log ( y 8y 16) log (5 x)(1 x) 2log log (2y 

8) 

3 

3 

2 

2 2 

 

2 

3 

 

2 

 

(5 x)(1 x) 

log ( y 4) log (5 x)(1 x) 2log log 4.( y 4) 

3 

3 

2log ( y 4) log ( y 4) 2log (5 x)(1 x) log (5 x)(1 x) 

2 2 

2 3 2 

 

2 2 

3 2 3 2 

Xét hàm số f (t) 2log3 t log 

2 

t, t 

(0; ) 

2 1 1 

2 1 

f '( t) 0, t 

(0; ) 

t ln 3 t ln 2 t ln 3 ln 2 

2 2 

 

2 2 2 

f ( y 4) f (5 x)(1 x) y 4 5 4x x y 4 x 2 9 (1) 

M ( x; y) (C) tâm I( 4;2), R 3 và OM x y 

Ta có OM 

min 

OI R, 

OM 

max 

OI R 

2 2 

2 5 3 m x y m 2 5 3 m (2) 

2 2 

2 5 3 m 10 

P 10 

2 5 7 m 2 5 7 

2 5 3 m 10 

Vậy 

 

S 2; 1;0...;10;11 


1 

 

I ( x 2)ln( x 1)dx 

. Đặt 

0 

Chọn 

3 1 3 

 

2 2 2 

 

2 

C v x 2x 


có 14 số nguyên. Số tập con khác rỗng của S là 

1 

dv dx 

u ln( x 1) x 1 

 

 

dv ( x 2) dx 1 

v x 2x C 

2 

14 

2 1 16383 

Trang 22

1 1 1 

2 

1 3 ( x 1)(x 3) 

I ( x 2)ln( x 1)dx x 2x ln(x1) 

 

dx 

2 2 

 

 

 

2( x 1) 

0 0 0 

1 

2 

1 7 7 

x 

4ln 2 3x 

4ln 2 a ln 2 

2 2 4 b 

2 

4; 4 20. 

a b a b 


0 

Ta có: ( P) : mx ( m 1) y z 2m 1 0 m( x y 2) ( y z 1) 0 

Suy ra (P) luôn chứa đường thẳng 

x 

2 t 

x 

y 2 0 

d : 

y t 

y 

z 1 0 

z 

1 t 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H(3;3;0) lên đường thẳng d, ta tìm được K(1;1;0). 

Tam giác HH K là tam giác vuông tại H và HH d nên (T) là đường tròn có tâm I(2;2;0) là trung 

m 

m 

HK 

điểm của HK, bán kính R 2 và nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua H, vuông góc với d. 

2 

Phương trình mặt phẳng (Q): x y z 0 và OI 2 2 , suy ra O ( Q) 

và O ở ngoài ( T ) 

Gọi A, B là giao điểm của OI và (T) (với A là điểm nằm giữa O và I ). 

Ta có 

OA OH OB, 

suy ra a OA OI R 2, b OB OI R 3 2. 


m 

m 

Ta có (1 i) z 1 3i 3 2 z 1 2i 

3 nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 

I(1;2), bán kính R 3 

 

Cách 1: Gọi A( 2; 1), B(2;3), 

suy ra AI 3 2, BI 2 và IA 3IB 

2 2 

2 2 

Khi đó: 

P MA 6 MB ( MI IA) 6 ( MI IB) 

 

 

27 6 MI. IB 6 11 

2 MI. 

IB 

 

 

Hướng 1: P 27 6 MI. IB 2 33 6 MI. IB (1 2)(27 33) 6 5. 

 

Hướng 2: Đặt t 2 MI. IB 6 2 cos( MI. IB), t 6 2;6 2 

 

P 27 3t 6(11 t) f ( t). 

Ta có 

 

Và 

6 2;6 2 

 

7 

f '( t) 0 t . 

3 

7 

7 

max f ( t) max f 6 2 ; f 6 2 ; f 

f 6 5 

 

3 

3 

Cách 2: Đặt a z 1 2 i, b 1 

i 

Ta có 

2 2 2 2 

 

 

 

 

2 2 2 2 

z 2 3 i a b a b a. b a. 

b 

 

 


z 2 i a 3b a 9 b 3 a. b a. 

b 

2 2 2 2 2 2 

z 2 i 3 z 2 3i a 3b 3 a b 4 a 12 b 60. 

 

 

 

 

Trang 23

Khi đó 

2 2 

P a 3b 2. 3 a b (1 2)( a 3b 3 a b ) 6 5. 


Trang 24





Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng 

vuông góc với đáy và SB = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 

3 

3 

3 

a 6 

a 6 

a 6 

A. B. C. D. 

3 

12 

3 

Câu 2. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f(0) = 1, f'(x) liên tục trên R và 

3 

 

0 

f '( x) dx 9 

A. 6 B. 3 C. 10 D. 9 

3 

2a 

6 

9 

. Giá trị của f(3) là 

Câu 3. Cho a, b là các số dương tùy ý, khi đó ln (a + ab) bằng 

ln a 

A. ln a.ln(ab) 

B. ln a ln(1 b) 

C. D. ln a ln ab 

ln(1 b) 

1 

Câu 4.Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 

là 

2x 

3 

1 

3 

1 1 

A. C B. C C. D. 

2 

2 

ln 2 x 3 C ln 2 x 3 C 

(2x 

3) 

(2x 

3) 

2 

2 

Câu 5. Bất phương trình 

2 

x 2x 

1 1 

 

2 8 

có tập nghiệm là (a; b). Khi đó giá trị của b - a là 

A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 

x 1 y 2 z 2 

Câu 6. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : . Phương trình nào sau đây là 

1 2 3 

phương trình tham số của d? 

x 

1 

x 

1 

x 

1 

t 

 

A. y 

2 t 

B. y 

2 2t 

C. y 

2 2t 

D. 

 

z 2 3t 

 

z 1 

3t 

 

z 2 3t 

Câu 7. Tìm số phức liên hợp của số phức z i(3i 

1) 

x 

1 

 

y 

2 t 

 

z 1 

3t 


A. z 3 i 

B. z 3 

i 

C. z 3 i 

D. z 3 

i 

Câu 8. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0; -1; 2), song song với trục Ox và vuông góc 

với mặt phẳng (Q) : x + 2y - 2z +1 = 0. 

A. (P) : 2y + 2z - 1 = 0 B. (P) : y + z - 1 = 0 C. (P) : y - z + 3 = 0 D. (P) : 2x + z - 2 = 0 

Câu 9. Số phức z thỏa mãn z = 5 - 8i có phần ảo là 

A. -8 B. 8 C. 5 D. -8i 

Câu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 

A. (2; -2) B. (0; -2) C. (0; 2) D. (2; 2) 

Trang 1

Câu 11. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn 

hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số 

đó là hàm số nào? 

A. y = x 4 – x 2 + 1 B. y = – x 2 + x - 1 

C. y = -x 3 + 3x + 1 D. y = x 3 - 3x + 1 

Câu 12. Cho điểm A (1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P) :2x + 2y + z +1 = 0, (Q) : 2x - y + 2z - 1 = 0. Phương 

trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là 

x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 

A. B. C. x 1 y 2 z 3 

D. 

1 1 4 1 2 6 1 6 2 

Câu 13. Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = -5 và d = 3. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

x 1 y 2 z 3 

 

5 2 6 

A. u 15 = 45 B. u 13 = 31 C. u 10 = 35 D. u 15 = 34 

Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 3), B(-1; 4; 1). Phương trình mặt cầu đường kính AB 

là 

A. ( x+1) 2 + (y - 4) 2 + (z - 1) 2 = 12 B. (x - 1) 2 + (y - 2) 2 + (z - 3) 2 = 12 

C. x 2 + (y - 3) 2 + (z - 2) 2 = 3 D. x 2 + (y - 3) 2 + (z - 2) 2 = 12 

Câu 15. Số giao điểm của đường thẳng y = x + 2 và đường cong y = x 3 + 2 là 

A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 

Câu 16. Tính chiều cao h của hình trụ biết chiều cao h bằng bán kính đáy và thể tích của khối trụ đó là 8 

A. h 2 

B. h 2 2 

C. h 3 

32 

D. h 

Câu 17. Phương trình z 2 + 2z + 10 = 0 có hai nghiệm là z 1 , z 2 . Giá trị của 

z 

z 

1 2 

A. 4 B. 3 C. 6 D. 2 

Câu 18. Hàm số y = f (x) có đạo hàm f '(x) = (x - 1) 2 (x -3) với mọi x . Phát biểu nào sau đây đúng? 

A. Hàm số có 1 điểm cực đại. B. Hàm số không có điểm cực trị. 

C. Hàm số có hai điểm cực trị. D. Hàm số có đúng một điểm cực trị. 

Câu 19. Giá trị của biểu thức 

1 log 3 4 

9 2 

bằng 

A. 2 B. 4 C. 3 D. 16 


y x x 

 

2 

log2 

2 

 

0;2 

 

0;2 

A. ;0 2; B. C. ;0 2; D. 

Câu 21.Cho hàm số 

2;3 x 2;3 

y 

max f ( x) min f ( x) 2 

x 

2x 

m 

f ( x) 

 

x 1 

 


là 

. Tính tổng các giá trị của tham số m để 

A. -4 B. -2 C. -1 D. -3 

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, AD = 

a 

là 

3 

4 

3 , cạnh bên SA vuông góc 

với mặt phẳng đáy, góc giữa SD và mặt phẳng đáy là 30 o . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là 

2 

2 

8 a 

2 

4 a 

A. 8 

a 

B. C. 4 

a 

D. 

3 

3 

2 

Trang 2

x 1 y 1 

z x 2 y z 3 

Câu 23. Cho các đường thẳng d1 

: và d2 

: . Viết phương trình đường 

1 2 1 1 2 2 

thẳng đi qua A (1; 0; 2), cắt d 1 và vuông góc với d 2 . 

x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 

A. B. C. D. 

2 2 1 4 1 1 

2 3 4 

2 2 1 

Câu 24. Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn (O) lấy hai 

điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng R 

cho bằng 

2 

2 , thể tích hình nón đã 

3 

14 

A. V R 

3 

14 

 

B. V R 

3 

14 

 

C. V R 

3 

14 

 

D. V 

R 

2 

6 

12 

3 

Câu 25. Cho mặt phẳng (Q): x - y + 2z - 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt 

phẳng (Q), đồng thời cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N sao cho MN 2 2 . 

A. (P): x - y + 2z + 2 = 0 B. (P): x - y + 2z = 0 

C. (P): x - y + 2z ± 2 = 0 D. (P): x - y + 2z - 2 = 0 

Câu 26. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A'BC ) và 

mặt phẳng ( ABC ) bằng 45 o . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng 

3 

3 

3 

3a 

a 3 

a 3 

A. B. C. D. 

8 

2 

4 

x 

Câu 27. Tích tất cả các nghiệm của phương trình 3 5 

2 

2 x1 

là 

3 

a 3 

8 

A. 1 B. 2 log 5 

C. log 45 

D. log 5 

Câu 28. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và 

 

3 

 

3 

3 

8 

 

2 

f ( x) dx 10 

. Tính 

3 

3 

I f (3x 1) 

dx 

2 

 

A. 30 B. 10 C. 20 D. 5 

2x m 

Câu 29. Cho hàm số y . Với giá trị nào của m thì hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng 

x m 

với hai trục tọa độ tạo thành hình vuông. 

A. m = -2 B. m 2 C. m = 2 D. 

1 

m 

2 

 

m 2 

Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng 

x 1 y 3 z 2 

d1 

: và 

1 1 2 

x 

3t 

 

d2 

: y t 

 

z 1 

3t 

A. x 2 y 2 z 4 

B. x 3 y 1 z 2 x 1 y 3 z 2 

C. D. 

x 1 

 

y 

z 

1 3 2 

1 1 1 3 1 1 1 6 1 

Câu 31. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z 2 - 2018z = 2019 |z| 2 ? 

A. Vô số B. 2 C. 1 D. 0 


e 

2 3 

I x ln xdx ae b 

 

1 


với a,b là các số hữu tỉ. Giá trị của 9(a + b) bằng 

A. 3 B. 10 C. 9 D. 6 

Trang 3

Câu 33. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật (không phải là hình vuông), có các đỉnh 

là đỉnh của đa giác đều đã cho? 

A. 45 B. 35 C. 40 D. 50 

Câu 34.Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 3m - 2 (với m là tham số). Có bao nhiêu giá trị của tham số m để các 

điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm trên các trục tọa độ? 

A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 

x 1 y 2 z 2 

Câu 35. Cho đường thẳng d : và điểm A (1; 2; 1). Tìm bán kính của mặt cầu có 

1 2 1 

tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 

A. R = 2 B. R = 4 C. R = 1 D. R = 3 

Câu 36. Cho hình trụ có trục OO' và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục OO' và 

cách OO' một khoảng bằng 2 cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vuông. Diện tích xung quanh của 

hình trụ đã cho bằng 

A. 26 3 B. 8 3 C. 16 3 D. 32 3 

Câu 37. Cho đường thẳng 

điểm A, B sao cho AB 2 3 

x 1 y 2 z 2 

d : . Viết phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) cắt d tại các 

3 2 2 

A. (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 25 B. (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 4 

C. (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 9 D. (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z + 1) 2 = 16 

Câu 38. Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần 

bởi đường parabol (P) có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch 

(như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay 

quanh trục Ox 

128 

128 

A. V 

B. V 

5 

3 

64 

C. V 

D. V 

5 

256 

 

5 

Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân có AB = BC = a. Cạnh bên SA 

 

vuông góc với đáy, SBA = 60°. Gọi M là điểm nằm trên AC sao cho AC 2CM 

. Tính khoảng cách giữa 

SM và AB. 

6a 7 

a 7 

a 7 

3a 

7 

A. B. C. D. 

7 

7 

21 

7 

2x 

1 

2 

a 

a 

Câu 40. Phương trình log3 3x 

8x 

5 có hai nghiệm là a và (với a,b N* và là phân số 

2 

x 1 

b 

b 

tối giản). Giá trị của b là 


 

 

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 

Câu 41. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: 

x - -1 1 3 + 

f'(x) - 0 + + 0 - 

Trang 4

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g (x) = f (x + m) đồng biến trên khoảng (0; 2). 

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 

Câu 42. Cho A (1; 4; 2), B (-1; 2; 4), đường thẳng 

nhất của diện tích tam giác AMB 

x 

5 4t 

 

d : y 2 2t 

 

z 4 t 

và điểm M thuộc d. Tìm giá trị nhỏ 

A. 2 3 B. 2 2 C. 3 2 D. 6 2 


2 

log x log x m 3 0 . Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m 

3 3 

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 thỏa mãn x 2 – 81x 1 < 0 

A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 

z1 

Câu 44. Cho hai số phức z 1 , z 2 khác 0 thỏa mãn là số thuần ảo và z1 z2 10 

. Giá trị lớn của 

z 

z 

 

z 

1 2 

bằng 

A. 10 B. 10 2 C. 10 3 

D. 20 

Câu 45. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đồ thị như hình 

vẽ. Biết trên (-; -3)(2; +) thì f'(x) > 0. Số nghiệm nguyên 

thuộc (-10; 10) của bất phương trình [f (x) + x - 1](x 2 - x - 6) > 0 

là 

A. 9 B. 10 

C. 8 D. 7 

Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của đỉnh 

S trên mặt phẳng (ABC) là một điểm nằm trên đoạn thẳng BC. Mặt phẳng (SAB) tạo với (SBC) một góc 

60 0 2 

và mặt phẳng (SAC) tạo với (SBC) một góc thỏa mãn cos . Gọi là góc tạo bởi SA và mặt 

4 

phẳng (ABC). Tính tan 

3 

2 

1 

A. B. C. D. 

3 

2 

2 

Câu 47. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), biết tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 

x = 0 là đường thẳng y = 3x - 3. Giá trị của 

2 


3x 

lim 

x0 

f (3 x ) 5 f (4 x ) 4 f (7 x ) 

1 

3 

3 

A. B. C. D. 

10 

31 

25 

Câu 48. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R sao cho 

3 

1 

11 

max f ( x) f (2) 4 . Xét hàm số 

 

 

x 

0;10 

3 2 

g( x) f ( x x) x 2x m . Giá trị của tham số m để maxg( x) 8 là 

 

 

x 

0;2 

A. 5 B. 4 C. -1 D. 3 

Trang 5

2 x f '( x) 

Câu 49. Cho đa thức bậc bốn y = f (x) đạt cực trị tại x = 1 và x = 2. Biết lim 2 . Tích phân 

x0 

2x 

1 

 

0 

f '( x) 

dx 

3 

1 

3 

A. B. C. D. 1 

2 

4 

4 

Câu 50. Cho hàm số f(x) = x 5 + 3x 3 - 4m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 

3 3 

( ) 

f f x m x m 

có nghiệm thuộc [1; 2]? 

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 


Trang 6

ĐÁP ÁN 

1. B 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B 9. A 10.C 

11. D 12. D 13. B 14. C 15. C 16. A 17. C 18. D 19. B 20. A 

21. A 22. A 23. C 24. B 25. A 26. A 27. C 28. D 29. D 30. A 

31. B 32. A 33. C 34. A 35. D 36. D 37. D 38. D 39. D 40. D 

41. A 42. C 43.C 44. B 45. C 46. C 47. D 48. D 49. B 50. B 

Câu 1. 


Sử dụng định lý Pytago để tính chiều cao hình chóp 


Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V = 


Vì 

( SAB) ( ABC) 

 

( SAC) ( ABC) SA ( ABC) 

( SAB) ( SAC) 

SA 

Xét tam giác vuông SAB có 

Diện tích tam giác ABC là 

S 

2 2 2 2 

SA SB AB a a a 

ABC 

2 

a 3 

 

4 

3 2 

2 3 

1 1 a 3 a 6 

Thể tích khối chóp là VS . ABC 

SA. S 

ABC 

. a 2. 

3 3 4 12 

Chọn B. 

Câu 2. 


Sử dụng công thức tích phân f '( x) dx f ( b) f (a) 


Ta có: 

3 

 

0 

Chọn C 

Câu 3. 


b 

 

a 

f '( x) dx 9 f (3) f (0) f(3) 9 f(0) 9 1 10 

Sử dụng công thức log a (bc) = log a b + log a c (0 < a 1; b, c > 0 ) 


Ta có ln( a + ab ) = ln( a (1 + b )) = lna + ln(1 + b ) 

Chọn B. 

Câu 4. 

1 

h.S 

3 


Trang 7


Sử dụng công thức nguyên hàm 


Ta có: 

 

Chọn D. 

Câu 5. 


1 1 

f ( x) dx 

dx ln 2x 3 C 

2x 

3 2 

 

1 1 dx ln ax b C 

ax b a 

Đưa về giải bất phương trình có cơ số 0 < a < 1 : 


2 

x 2x 

1 1 2 1 

Ta có x 2x 

log 

1 

2 8 

2 

8 

2 2 

x 2x 3 x 2x 3 0 1 x 3 

f ( x) 

a b f ( x) loga 

b 

Tập nghiệm của bất phương trình S = (-1; 3) a = -1; b = 3 nên b - a = 4. 

Chọn A. 

Chú ý : 

Một số em không đổi dấu bất phương trình dẫn đến không ra đáp án. 

Câu 6. 


Tìm VTCP của d và điểm đi qua, từ đó suy ra phương trình tham số. 


x 1 y 2 z 2 

 

Đường thẳng d : đi qua A(1; 2; -2) và nhận u (1; 2;3) 

làm VTCP 

1 2 3 

d: 

Chọn C. 

Câu 7. 

x 

1 

t 

 

y 

2 2t 

 

z 2 3t 


Số phức liên hợp của số phức z = a + bi (a, b R) là z a bi 


Ta có 

2 

z i(3i 1) 3i i 3 

i 

Số phức liên hợp của z là z 3 

i 

Chọn D. 

Câu 8. 



Trang 8

(P) // Ox và (P) (Q) thì 

 

 

n( P) 

i 

 

 

n( P) n( Q) 


Gọi n 

 

n( P) 

i 

( P) 

là VTPT của (P). Do (P) // Ox và (P) (Q) nên 

. 

n( P) n( Q) 

 

 

Ox có VTPT i 1;0;0 

và (Q) : x + 2y - 2z + l = 0 có VTPT n( Q) 1;2; 2 

 

 

Có i, n( Q 

 

) 

0;2;2 

nên chọn n(P) 0;1;1 

. 

 

(P) đi qua A(0; -1; 2) và nhận n(P) 0;1;1 

làm VTPT nên 

(P) : 0(x - 0) +1(y +1) +1(z - 2) = 0 y + z - 1 = 0. 

Chọn B. 

Câu 9. 


Số phức z = a + bi (a, b R) có phần thực là a và phần ảo là b. 


Phần ảo của số phức z = 5 – 8i là -8. 

Chọn A. 

Câu 10. 


- Tính y' và tìm nghiệm của y' = 0 . 

- Lập bảng biến thiên của hàm số suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số. 


Ta có : 

2 x 0 

 

y ' 3x 6x 

0 x 

2 

Bảng biến thiên : 

x - 0 2 + 

y' 0 0 

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0; 2) . 

Chọn C. 

Câu 11. 


y 

2 + 

- -2 

Sử dụng cách đọc đồ thị hàm đa thức bậc ba và trùng phương bậc bốn. 



Từ hình dáng đồ thị ta thấy hình vẽ là đồ thị của hàm đa thức bậc ba nên loại đáp án A, B. 

 

Trang 9

Lại từ hình vẽ ta thấy 

Chọn D. 

Câu 12. 


lim ; lim 

x 

x 

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) thì 

nên chỉ có đáp án D thỏa mãn. 

 

 

ud 

n( P) 

 

 

ud 

n(Q) 


 

(P): 2x + 2y + z + 1 = 0 n( P) (2;2;1) là VTPT của (P). 

 

(Q): 2x - y + 2z - 1 = 0 n(Q) (2; 1;2) 

là VTPTcủa (Q). 

Gọi u 

d 

là VTCP của đường thẳng d. 

 

 

ud 

n( P) 

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) thì 

 

ud 

n(Q) 

 

 

Có n( P) , n 

( Q) 

 

5; 2; 6 

nên chọn ud 

(5; 2; 6) 

d đi qua A (1; 2; 3) và nhận u d 

(5; 2; 6) 

làm VTCP nên 

x 1 y 2 z 

 

3 

5 2 6 

Chọn D. 

Câu 13. 


Cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d thì có số hạng thứ n là u n = u 1 + (n - 1)d 


Ta có u 1 = -5; d = 3 nên u 15 = u 1 + 14d = 37 ; u 13 = u 1 + 12d = 31; u 10 = u 1 + 9d = 22 nên A, C, D sai, B 

đúng. 

Chọn B. 

Câu 14. 


AB 

Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm AB và bán kính R . 

2 


Ta có: A(1; 2; 3), B(-1; 4; 1) I(0; 3; 2) là trung điểm AB và AB 12 2 3 

AB 

Mặt cầu (S) đường kính AB có tâm I(0; 3; 2) và bán kính R 3 

2 

(S) :(x - 0) 2 + (y - 3) 2 + (z - 2) 2 = 3 hay (S): x 2 + (y - 3) 2 + (z - 2) 2 = 3 . 

Chọn C. 

Câu 15. 



Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f (x) và g (x) là số nghiệm của phương trình f (x) = g(x). 

Trang 10


Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

x 

0 

2 2 0 ( 1) 0 1 

 

x 

1 

3 3 2 

x x x x x x x 

Suy ra số giao điểm của hai đồ thị y = x + 2; y = x 3 + 2 là 3 giao điểm. 

Chọn C. 

Câu 16. 


Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ V = R 2 h . 


Ta có: V = R 2 h 8 = .h 2 .h h = 2. 

Chọn A. 

Câu 17. 


Giải phương trình tìm z 1 , z 2 z1 z2 

Số phức 


z x yi 

(x; y R) có mô đun 

Ta có 

z x y 

2 2 

z i z i 

z 2z 10 0 z 1 9 z 1 9i 

 

 

z 1 3i 

z 1 

3i 

2 2 2 2 1 3 1 

3 

Suy ra 

Chọn C. 

Câu 18. 

z1 z2 1 3i 1 3i 6i 

36 6 


Tìm nghiệm của đạo hàm và suy ra các điểm cực trị: 

+) Các điểm làm cho đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương là điểm cực tiểu. 

+) Các điểm làm cho đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm là điểm cực đại. 


Ta có: 

x 

1 

f '( x) 0 x 

3 

f '( x) 0 x 3 và f '( x) 0 x 3 nên đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = 3. 

Vậy hàm số chỉ có duy nhất một điểm cực trị, chính là điểm cực tiểu x = 3 . 

Chọn D. 

Câu 19. 



m. 

n m 

n 

Sử dụng công thức ; log a b 

a a a b0 a 1; b 0 


Trang 11

Ta có 

Chọn B. 

Câu 20. 

1 1 

log3 

4 

log3 

4 

2 2 

log3 

4 

9 

9 3 4. 


 

 

 

 

Hàm số y log f ( x) 

xác định nếu f (x) xác định và f (x) > 0 . 


Hàm số 

a 

y x x 

 

2 

log2 

2 

 

xác định nếu 

Vậy TXĐ : D = (-; 0) (2; +). 

Chọn A. 

Câu 21. 


+) Tính y'. 

x 

2 x 2 

 

2x 

0 

. 

x 

0 

+) Xác định các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (2; 3). 


ĐK : x 1. Ta có 

TH1: 

y ' 

2 

m 

x 1 2 

y ' 0 2 m 0 m 2 

nên hàm số đông biến trên (2; 3) 

m 

Suy ra max y y(3) ;min y y(2) 4 m 

2 2;3 

2;3 

6 

Từ ycbt ta có m 

TH1 : 

suy ra hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng (-; 1) (1; +) 

6 m 2 4 2 ( ) 

4 2 2 m 4 

m 

m ktm 

2 

 

 

m 2 4 

m 6 ( tm) 

y ' 0 2 m 0 m 2 

(-; 1) (1; +) nên hàm số nghịch biến trên (2; 3). 

6 m 

Suy ra min y y(3) ;max y y(2) 4 m 

2;3 2 2;3 

Từ ycbt ta có 

suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định 

6 2 4 2 ( ) 

4 m 

m 

2 2 m 4 

m 

m tm 

2 

 

 

m 2 4 

m 6 ( ktm) 

Vậy m = 2; m = -6 nên tổng các giá trị của m là 2 + (-6) = -4. 

Chọn A. 

Câu 22. 


- Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 

- Tính diện tích theo công thức S = 4R 2 . 



Trang 12

Gọi O = AC BD. 

Qua O dựng đường thẳng d vuông góc với đáy. Mặt phẳng trung trục của 

SA cắt d tại I. 

Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 

Do SA (ABCD) nên góc giữa SD và đáy bằng SDA = 30°. 

Tam giác SAD vuông tại A có 

AD a 3, SDA 30 

0 3 

SA AD tan 30 a 3. a 

3 

1 a 1 1 2 2 1 2 2 a 7 

AH AS ; AO AC AD DC 3a 4a 

 

2 2 2 2 2 7 

7a 

a 

AI AO OI a 2 S 4 AI 4 a 2 

8 

a 

4 4 

Chọn A. 

2 2 

2 

2 2 2 2 

0 

Chú ý khi giải: Các em cũng có thể sử dụng ngay công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 

có cạnh bên vuông góc đáy, đó là 

R 

r 

2 

2 

h 

 

4 

kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là độ dài cạnh bên vuông góc đáy. 

Câu 23. 


, với R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, r là bán 

+) Gọi M là giao điểm của và d 1 , biểu diễn tọa độ M theo tham số t. 

 

 

+) Từ đề bài suy ra AM. ud 

0 từ đó tìm được t, suy ra AM . 

 

+) Viết phương trình đường thẳng đi qua A (1; 0; 2) và nhận AM làm VTCP. 


x 1 

t 

x 1 y 1 

z 

 

 

Đường thẳng d1 : d1 

: y 1 

2t 

1 2 1 

 

z t 

x 2 y z 3 

 


: 

có 1 VTCP là ud 

 

2 

1 2 2 

1;2;2 

 

Gọi giao điểm của với đường thẳng d 1 là M (1+t; -1 + 2t; -t) 

 

Vì đi qua A(1; 0; 2) nên AM t; 1 2 t; t 

2 

là 1 VTCP của 

 

Vì d2 AM ud 

AM. ud 

0 

2 2 

 

1. t 2. 1 2t 2. t 2 0 3t 6 0 t 2 

 

AM 2;3; 4 

Suy ra 


Phương trình đường thẳng đi qua A(1; 0; 2) và nhận 

Chọn C. 

Câu 24. 

x 

AM 2;3; 4 

làm VTCP là 

1 y z 

2 

2 3 4 

Trang 13


- Gọi H là trung điểm AB. 

1 2 

- Tính SO suy ra thể tích V r h. 

3 


Gọi H là trung điểm của AB ta có OH AB, SH AB . 

1 R 2 

Tam giác OAB vuông tại O AB R 2, OH AB . 

2 2 

Tam giác SAB có 

2 

2 2SSAB 

2R 

2 

SSAB 

R 2 SH 2 R. 

AB R 2 

2 

2 2 2 2R 

R 14 

SO SH OH 4 R . 

4 2 

3 

1 2 1 2 R 14 R 14 

Thể tích khối nón V OA . SO R . . 

3 3 2 6 

Chọn B. 

Câu 25. 


Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): ax + by + cz + d = 0 có phương trình ax + by + cz + d' = 0 

(d d') 

Từ đề bài suy ra tọa độ điểm M, N từ đó thay tọa độ M, N vào phương trình mặt phẳng (P) và sử dụng 

định lý Pytago để tìm được d' 


Vì (P) / / (Q) nên phương trình mặt phẳng (P): x - y + 2z + d = 0 (d -2) có VTPT n 1; 1;2 

 

Vì M Ox; N Oy nên 

;0;0 , N 0; y ;0 

M x 

x d 0 x d 

và y d 0 d y 

M 

Hay 

M 

M d;0;0 , N 0; d;0 OM d ; ON d 

Lại có tam giác OMN vuông tại O nên 

2 2 2 2 2 d 

2 ( tm) 

MN OM ON 2d 8 d 4 

d 2 ( ktm) 

Suy ra phương trình mặt phẳng (P): x - y + 2z + 2 = 0. 

Chọn A. 

Câu 26. 


N 

M 

N 

N 

mà M,N (P) nên ta có 


- Xác định góc 45 0 (góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà cùng vuông góc với giao 

tuyến). 

- Tính chiều cao, diện tích đáy và suy ra thể tích theo công thức V = Bh với B là diện tích đáy, h là chiều 

cao. 

 

Trang 14


Gọi M là trung điểm của BC AM BC và A'M BC (tam giác A'BC cân). 

Mà ( A'BC) (ABC) = BC nên góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 

góc giữa AM và A'M hay A'MA = 45 0 


a 3 

AM . 

2 

Tam giác AMA' có A = 90 0 , 

0 a 3 

AA ' AM tan 45 AM . 

2 

a 3 

AM 

2 

2 2 

a 3 a 3 3a 

Thể tích khối lăng trụ: V S 

ABCAA ' . . 

4 2 8 

Chọn A. 

Câu 27. 


f (x) g ( x) 

Sử dụng a b f ( x) g( x).log 

b với 0 < a 1; b > 0. 

Sử dụng hệ thức Vi-ét để tính tích các nghiệm. 


x 

Ta có 2 2 x 1 x 2 2 x 

1 x 

2 x 

 

3 5 log 3 log 5 2 1 log 5 

 

2 

x x.log3 5 2 log3 

5 0 

 

a 

3 3 3 

 

và A'MA = 45 0 nên 

Nhận thấy ac 1. 2 log 5 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu x 1 ; x 2 . 

3 

Theo hệ thức Vi-et ta có 

Chọn C. 

Câu 28. 


Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân. 


dt 

Đặt t 3x 1 dt 3dx dx 

3 

Đổi cận x 1 t 2, x 3 t 8. 

Khi đó 

Chọn D. 

Câu 29. 

x . x 2 log 5 log 9 log 5 log 9.5 log 45 

1 2 3 3 3 3 3 

3 8 8 

3 3 f ( t) 1 1 

I (3 1) ( ) .10 5. 

2 

f x dx dt f t dt 

2 

 

3 2 

2 



1 2 2 

Trang 15

Đồ thị hàm số y 

ax b x 

d 

a 

d 

nhận đường thẳng y làm TCĐ và nhận đường thẳng x 

cx d c 

c 

c 

làm TCN. 

a c 

Từ YCBT suy ra từ đó ta tìm được m. 

c d 


2x m 

Xét hàm số y với x m 

x m 

Điều kiện để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận là m 0 

Đồ thị hàm số nhận y = 2 làm TCĐ và x = m làm TCN 

Từ ycbt suy ra m 

Chọn D. 

Câu 30. 


m 

2 

2 m 

2 

- Gọi tọa độ hai điểm M, N theo tham số của hai đường thẳng, với MN là đường vuông góc chung. 

 

- MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d 1 , d 2 thì MN. u1 MN. u2 

0 


Ta có M 1 t;3 t;2 2 t d , N 3 t '; t '; 1 3 t ' d MN 3 t ' 1 t; t ' 3 t; 3 3 t ' 2t 

1 2 

 

 

 

d 1 có VTCP u1 1; 1;2 

, d 2 có VTCP u2 3;1; 3 

 

MN là đoạn vuông góc chung của d 1 và d 2 MN. u1 MN. u2 

0 

t t t t t t t t t 

t t t t t t t t t 

1( 3 ' 1 ) 1( ' 3 ) 2( 3 3 ' 2 ) 0 10 ' 6 4 0 ' 1 

 

3( 3 ' 1 ) 1( ' 3 ) 3( 3 3 ' 2 ) 0 19 ' 10 9 0 1 

 

MN 1; 3; 2 

và M(2; 2; 4) 

 

x 2 y 2 z 4 

Vậy MN : 

1 3 2 

Chọn A. 

Câu 31. 


 


Gọi số phức z = x + yi (x; y R) thì mô đun 

z x y 

2 2 

Từ đó biến đổi đưa về hai số phức bằng nhau thì phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau. 


Gọi số phức z = x + yi (x; y R) thì mô đun 

z x y 

2 2 

Ta có z 2 2018z 2019 z 2 x yi 2 

2018 x yi 2019 x 2 y 

2 

2 

Trang 16

x 2xyi y 2018x 2018yi 2019x 2019y 

2 2 

2018x 2020y 2018x 2xy 2018y i 0 

2 2 2 2 

 

 

y 0 

2xy 

2018y 

0 

 

2 2 

x 

1009 

2018x 2018y 2018x 

0 

 

 

 

Với y x x x x 

 

 

2 2 

2018x 2018y 2018x 

0 

2 x 0 

 

0 2018 2018 0 2018 1 0 x 

1 

Suy ra z = 0; z = -1 

Với 

x 1009 2018.1009 2020y 2018.1009 0 2020y 

2018.1009 2018.1009 

vì VT không âm và VP âm) 

Vậy có 2 số phức thỏa mãn đề bài. 

Chọn B. 

Câu 32. 


u 

ln x 

- Sử dụng tích phân từng phần, đặt 2 . 

dx 

x dx 

- Tính tích phân đã cho tìm a, b và kết luận. 


1 

du dx 

u ln x 

Đặt 

x 

2 3 

dx x dx 

 

x 

v 

3 

2 2 2 2 

3 e 3 3 e 

3 3 3 3 3 

x e x 1 e 1 2 e 1 x e e e 1 2e 

1 

I ln x . . 

3 1 dx x dx 

3 x 3 3 

 

3 3 3 1 3 9 9 3 9 

1 

1 

2 1 

a , b 9a b 

3. 

9 9 

Chọn A. 

Câu 33. 


(vô nghiệm 

Đa giác đều có n cạnh (với n chẵn) thì luôn tồn tại đường chéo là đường kính của đường tròn ngoại tiếp. 

Từ đó sử dụng kiến thức về tổ hợp để tính toán. 


Số hình vuông tạo thành từ các đỉnh của đa giác đều 20 cạnh là 20: 4 = 5 hình 

vuông (do hình vuông có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau) 

Vì đa giác đều có 20 đỉnh nên có 10 cặp đỉnh đối diện hay có 10 đường chéo 

đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp. 

Cứ mỗi 2 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tạo thành một hình 

chữ nhật nên số hình chữ nhật tạo thành là 

hình chữ nhật là hình vuông. 


2 

C 10 

hình trong đó có cả những 

Trang 17

Số hình chữ nhật không phải hình vuông tạo thành là 

Chọn C. 

Câu 34. 


- Tính y', tìm điều kiện để y' = 0 có ba nghiệm phân biệt. 

2 

C10 5 40 

hình. 

- Tìm điều kiện để các điểm cực trị nằm trên các trục tọa độ và kết luận. 


Ta có : 

y x mx x x m 

x 

0 

m 

3 2 

' 4 4 0 4 ( ) 0 2 

x 

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì y' = 0 có ba nghiệm phân biệt m > 0. 

Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A m B m m 

2 m C m m 2 m 

0;3 2 , ; 3 2 , ; 3 2 . 

2 m 

2 

Dễ thấy A Oy nên bài toán thỏa khi B, C Ox m 

3m 

2 0 

(thỏa mãn) 

m 

1 

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán. 

Chọn A. 

Câu 35. 


+ Từ đề bài suy ra IA = d (I; (P)) 

+ Sử dụng công thức khoảng cách từ I (x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mặt phẳng (P) : ax + by + cz + d = 0 là 

 

d I;( P) 

 



ax0 by0 cz0 

d 

 

2 2 2 

a b c 

x 1 

t 

x 1 y 2 z 2 

 

 

d : d : y 2 2t 

1 2 1 

z 2 t 

Vì I d I 1 t;2 2 t;2 

t 

Lại có mặt cầu đi qua A (1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x - 2y + 2z +1 = 0 nên bán kính mặt cầu 

R = IA = d (I; (P )) 


1 t 2(2 2 t) 2(2 t) 1 7t 

2 

 

2 2 2 

1 ( 2) 2 

3 

Lại có IA t 2 4t 2 t 1 2 

16t 2 2t 1; d I;( P) 

 

2 

7t 

2 

Từ đó ta có IA d I;( P) 6t 2t 

1 

2 2 

 

2 2 

9 6t 2t 1 7t 2 5t 10t 5 0 5 t 1 0 t 1 

7.1 

2 

;( ) 3 

3 

Suy ra R d I P 

Chọn D. 

Câu 36. 

3 

Trang 18


Tính chiều cao hình trụ và tính diện tích xung quanh theo công thức S xq = 2Rh. 


Ta có : OHA vuông tại H có 

OH OA AH OA OH 

2 2 

2, 4 2 3. 

Thiết diện là hình vuông có cạnh 2AH 2.2 3 4 3 h OO ' 4 3. 

Diện tích xung quanh S 2 Rh 2 .4.4 3 32 

3. 

Chọn D. 

Câu 37. 


 

+ Sử dụng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d đi qua M và có VTCP u IM ; u 

 

là d 

u 

+ Sử dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu 

+ Mặt cầu tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 


x 1 y 2 z 2 

 

Đường thẳng d : đi qua M (-1; 2; 2) có VTCP u 3; 2;2 

3 2 2 

 

 

Suy ra IM 2;0;3 ; IM ; u 

 

6;13;4 

 

Khoảng cách h từ tâm I đến đường thẳng d là 

 

IM ; u 

2 2 2 

6 13 4 

h d I;( d) 13 

2 2 

u 

2 

3 2 2 

 

AB 

Gọi K là trung điểm dây AB IK AB; KB 3; IK h 13 

2 

Xét tam giác IKB vuông tại K 

 

IB KB IK 

2 2 

 

13 3 4 

Phương trình mặt cầu tâm I (1; 2; -1) và bán kính R = IB = 4 là (x - 1) 2 + (y - 2) 2 + (z + 1) 2 = 16 

Chọn D. 

Câu 38. 


- Viết phương trình parabol. 

- Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị 

2 2 

y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b là 


Phương trình parabol (P) có dạng y = ax 2 đi qua điểm B(4; 4) 

1 2 

4 a.4 

a nên P : y x . 

4 

4 

2 1 


b 

 

V f x g x dx. 

a 

 

Trang 19

Gọi (H) là phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 4, đồ thị hàm số 

thẳng x = 0. 

Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox là: 

4 2 

4 

 

5 5 

2 1 2 1 4 x 4 4 256 

V 

4 x dx 16 x dx 16x 

16.4 

4 

 

16 16.5 0 

16.5 5 

0 

 

0 

Chọn D. 

Câu 39. 


y 

1 

4 

x 

2 

, đường 

+ Sử dụng d (a; b ) = d (a; (P)) = d (A; (P)) với b (P), a // (P), A a để đưa về tìm khoảng cách giữa 

điểm A và mặt phẳng (P) sao cho AB // ( P ). 

+ Sử dụng định lý Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán. 


Trong (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua B kẻ đường thẳng song song với AM . Hai 

đường thẳng này cắt nhau tại E ta được tứ giác ABEM là hình bình hành. 

Vì ME / / AB AB / / ( SME) 

d (AB; SM ) = d ( AB; (SME)) = d (A; (SME)) 

Từ A trong mặt phẳng (ABEM) kẻ AK ME , lại có 

ME SA (do SA (ABEM )) EK (SAK) 

Trong (SAK) kẻ AH SK tại H 

Ta có AH SK; EK AH (do EK (SAK)) AH (SKE) 

tại H. 

Từ đó d(AB; SM ) = d(A; (SME )) = AH 

+ Xét tam giác SBA vuông tại A có 

+ Lại có ABC vuông cân tại B nên 

Do đó 

3a 

2 

AM AC CM 

2 

SA AB SBA a a 

0 

.tan .tan 60 3. 

AC a 2 

AC AB 2 a 2 CM 

2 2 

+ ABC vuông cân tại B nên ACB = 45° CBE = ACB = 45° (hai góc so le trong) 

Từ đó ABE = ABC + CBE = 90° + 45° = 135° , suy ra AME = 135° (hai góc đối hình bình hành) 

Nên tam giác AME là tam giác tù nên K năm ngoài đoạn ME. 

Ta có KMA = 180° - AME = 45° mà tam giác AMK vuông tại K nên tam giác AMK vuông cân tại K 

AM 

AK 

2 

3a 

2 


+ Xét tam giác SAK vuông tại A có đường cao AH, ta có 

1 1 1 1 1 3a 

7 

AH 

2 2 2 2 2 

AH SA AK 3a 

9a 

7 

4 

Trang 20

Vậy d AB SM 

Chọn D. 

Câu 40. 


3a 

7 

; . 

7 

- Biến đổi phương trình về dạng f (u) = f (v) với u, v là các biểu thức ẩn x . 

- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm y = f (t) suy ra mối quan hệ u, v. 


Điều kiện: 1 x 1. 

2 

2x 

1 

2 2 2 

Khi đó log3 3x 8x 5 log 

2 

3(2x 1) log 

3( x 1) 3( x 1) (2x 

1) 1 

x 1 

 

 

 

 

 

 

log 2x 1 (2x 1) 3( x 1) log ( x 1) log 3 

2 2 

3 3 3 

2 2 

3 

x x x 

3 

x 

log 2 1 (2 1) 3( 1) log 3( 1) (*) 

Xét hàm 

y f ( t) log 3 

t t 

với t > 0 có 

Do đó hàm số y = f(t) đồng biến trên (0; +). 

1 

f '( t) 1 0, t 

0 

t ln 3 

Phương trình (*) là f (2x 1) f 3( x 1) 2 

2x 1 3 x 1 2 

x 

2 

x x x x x 2 tm 

x 

 

3 

2 2 

2 1 3 2 1 3 8 4 0 ( ). 

2 

Vậy phương trình có nghiệm 2 và nên a = 2, b = 3. 

3 

Chọn D. 

Câu 41. 


Đặt t = x + m từ đó lập luận để f (t) đồng biến trên (m; 2 + m) . 

Lưu ý: Nếu f'(x) > 0 trên (a; b) thì hàm số f (x) đồng biến trên (a; b) 


Đặt t = x + m. Để g(x) đồng biến trên (0; 2) thì hàm số f (x + m) hay f (t) đồng biến trên (m; 2 + m) 

Từ BBT và theo đề bài f(x) liên tục trên R thì ta có f(x) đồng biến trên (-1; 3) 

Nên để f (t) đồng biến trên (m; 2 + m) thì 

(m; 2+m) [-1; 3] 1 m < m + 2 3 -1 m 1 mà m Z m {-1; 0; 1} 

Chọn A. 

Câu 42. 



- Gọi tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d . 

- Tính diện tích tam giác MAB và đánh giá GTNN của của diện tích. 

Trang 21

Công thức tính diện tích: 


SMAB 

1 

 

2 

 

MA, 

MB 

 

Gọi M(5 - 4t; 2 + 2t; 4 + t) d 

 

 

MA 4 4 t;2 2 t; 2 t, MB 6 4 t; 2 t; 

t 

 

MA, MB 

 

6 t; 6t 12; 12t 

12 

 

2 2 2 2 

2 

MA, MB 

 

36t 36t 2 144t 1 6 8t 16t 10 6 8t 

1 

2 

1 

2 

SMAB 

MA, MB 

3 8t 

1 

2 3 2. 

2 

Dấu “=” xảy ra khi t = 1 M (1; 4; 5). 

Vậy diện tích tam giác MAB nhỏ nhất bằng 3 2 khi M (1; 4; 5). 

Chọn C. 

Câu 43. 


+ Tìm ĐK. 

+ Đặt log x t từ đó đưa về phương trình bậc hai ẩn t. 

3 

+ Biến đổi yêu cầu bài toán để sử dụng được hệ thức Vi-ét. 


Đk: x > 0 

Đặt log x t ta có phương trình t 2 - 4t + m - 3 = 0 (*) 

3 

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 

t 1 < t 2 

Hay ' = 2 2 - (m - 3) = 7 - m > 0 m < 7 

t1 t2 

4 

Theo hệ thức Vi-et ta có 

t1. t2 

m 3 

t1 t2 

Ta có t log x x 3 ; t log x x 3 

Khi đó 

1 3 1 1 2 3 2 2 

2 1 

t 

t t 2 t 1 4 

2 1 2 1 2 1 

x 81x 0 3 81.3 0 3 3 t t 4 t t 4 

Suy ra 2 

( t t ) 16 t t 4t t 16 ( 4) 4( m 3) 16 m 3 0 m 3 

2 2 

2 1 2 1 1 2 

Từ đó 3 < m < 7 mà m Z nên m {4; 5; 6}. 

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn đề bài. 

Chọn C. 

Câu 44. 


- Viết z 1 = kiz 2 (k R), thay vào đẳng thức bài cho tìm z , z theo k . 

- Tìm GTLN của z z và kết luận. 



1 2 

2 1 

Trang 22

Ta có : 

z 

z 

1 

2 

là số thuần ảo nên ta viết lại 

z 

1 

ki z1 kiz2 

z 

2 

10 10 

z1 z2 10 kiz2 z2 10 z2 1 ki 10 

z2 

 

 

Khi đó 

10 

10 k 10 k 1 

z1 ki . z2 k . z 

2 1 

z2 

 

k 1 2 2 

k 1 k 1 

10( t 1) 

2 2 2 2 

Xét y f ( t) 10( t 1) y t 1 100( t 1) y t 

1 

t 

2 

1 

 

 

100 t 2 2t 1 y 2 t 2 y 2 y 2 100 t 2 y 

2 100 0 

2 2 

2 

2 2 

Phương trình có nghiệm 

Vậy max y 10 2 khi t = 1 hay k = ±1. 

Chọn B. 

Câu 45. 


Chia hai trường hợp để giải bất phương trình 

 

 

1 ki 

2 

k 1 

' 100 y 100 y 200 y 0 10 2 y 10 2 

Sử dụng hình vẽ và sự tương giao của hai đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) để xét dấu biểu thức 

f (x) – g (x). 

Trên (a; b) mà đồ thị hàm số y = f (x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g (x) thì f (x) - g (x) > 0 . 


Ta có f x x x 2 x 

TH1: 

( ) 1 6 0(*) 

2 x 

2 

x 

x 6 0 

 

x 3 

f ( x) x 1 0 

 

 

 

 

f ( x) 1 

x 

Đường thẳng y = 1 – x đi qua các điểm (-3; 4); (-1; 2); (0; 1); (2; -l) như hình vẽ và giao với đồ thị hàm số 

y = f (x) tại 4 điểm như trên. 

Từ đồ thị hàm số thì ta thấy 

Kết hợp điều kiện 

TH2: 

x 

2 

 

x 3 

 

3 x 1 

f ( x) 1 

x x 

2 

thì ta có 

2 

x 

x 6 0 2 x 3 

 

 

f ( x) x 1 0 f ( x) 1 

x 

Từ đồ thị hàm số thì ta thấy 

-2 < x < 3 ta được -1 < x < 2. (2) 


3 x 2 (1) 

x 

3 

x 

3 

f ( x) 1 x 1 x 2 

kết hợp với 

Trang 23

3 x 2 

Từ (1) và (2) ta có 1 x 2 mà x (-10;10) và x Z nên x {0;1;4;5;6;7;8;9} 

 

x 

3 

Nhận thấy tại x = 0 thì f (0) = 1 f (x) + x - 1 = f (1) - 1 = 0 VT của (*) bằng 0 nên x = 0 không thỏa 

mãn BPT. 

Có 7 giá trị x thỏa mãn đề bài. 

Chọn D. 

Câu 46. 


Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng các công thức góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 

rồi tính toán. 


Gọi O là trung điểm của BC, qua O kẻ tia Oz cắt SC tại M . 

Gắn hệ trục tạo độ như hình vẽ, ở đó O(0; 0; 0 ), A(1; 0; 0), C(0; 1; 0 ), 

B(0; -1; 0 ), S(0; m; n ) 

 

AB 1; 1;0 , AC 1;1;0 , AS 1; m;n 

 

 

Mặt phẳng (SBC) : x = 0 có VTPT i 1;0;0 

 

 

Mặt phẳng (SAC) có VTPT n1 AC, AS 

 

n; n; m 

1 

 

Mặt phẳng (SAB) có VTPT n2 AB, AS 

 

n; n; m 

1 

 

n 

0 

2. i n 1 n 

cos60 

 

2 2 

2 2 

2 

n2 

. i 2n m 1 2n m 

1 

 

2 2 

 

2 2 2 

4n 2n m 1 2n m 1 (1) 

 

 

n1. i n 2 

2 2 2 

2 

cos 

4 n 4n 21 m 6n 1 m 

(2) 

2 

2 

n 4 

1 

. i 2n m 

1 

Từ (1) và (2) suy ra 3m 

1 1 

m 

 

 

 

 

2 2 m 

2 3 n 

2 3 

 

 

m 

2 3 

n 2 3 

 

 

 

S 0; 2 3; 2 3 

 

 

S 

0; 2 3; 2 3 

 

2 

 

 

H 0; 2 3;0 

SH 

2 3, AH 1 2 3 

2 2 3 

 

 

 

2 

H 0; 2 3;0 

 

 

 

SH 

2 3, AH 1 2 3 

2 2 3 

 

SH 1 

tan . 

AH 2 

Chọn C. 

Câu 47. 


Trang 24


Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x 0 ; y 0 ) là y f '( x0 )( x x0 ) y0 

f ( x) f ( x0 

) 

Sử dụng định nghĩa đạo hàm của f(x) tại x 0 là f '( x0 

) lim 

từ đó biến đổi để tính giới hạn. 

x x 0 x x 


Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 là đường thẳng y = 3x – 3. 

f 

Nên '(0) 3 

f (0) 3 

f ( x) f (0) f ( x) 3 

Suy ra lim 3 lim 3 

x0 x 0 

x0 

x 


Ta có: 

f (3 x) 3 f (4 x) 3 f (7 x) 3 

lim 3;lim 3;lim 3 

x0 3x x0 4x x0 

7x 

3x 

lim 

x0 

f (3 x ) 5 f (4 x ) 4 f (7 x ) 

 

3x 

lim 

x0 

f (3 x ) 3 5 f (4 x ) 3 4 f (7 x ) 3 

 

3 

lim 

x0 

f (3 x) 3 f (4 x) 3 f (7 x) 3 

5 4 

 

x x x 

3 

lim 

x0 

f (3 x) 3 

3. 5.4 4.7 

x x x 

3 1 

 

. 

3.3 5.4.3 4.7.3 11 

f (4 x) 3 f (7 x) 3 

Chọn D. 

Câu 48. 


Tìm GTLN của hàm số y = f (x 3 + x) và y = -x 2 + 2x + m trên đoạn [0; 2] và suy ra đáp số. 


Xét g (x) = f (x 3 + x) - x 2 + 2x + m trên [0; 2] ta có: 

Với mọi x [0;2] thì x 3 + x [0;10] nên 


3 

max f ( x x) 4 xảy ra khi 

2 

 

 

0;2 

 

0 

3 

x x x 

2 1. 

2 

2 

Lại có x 2x m m 1 x 1 m 1 nên max x 2x m m 1 

xảy ra khi x = 1. 

Do đó max g( x) g(1) 4 m 1 5 m 

0;2 

Bài toán thỏa khi 5 + m = 8 m = 3. 

Chọn D. 

Câu 49. 


Từ giả thiết biến đổi để có f'(0 ) = 0 

Trang 25

Từ đó tìm được hàm f'(x) và tính tích phân. 


2 x f '( x) 

Ta có lim 2 mà lim 2x 

0 nên lim 2 x f '( x) 0 lim f '( x) 0 f '(0) 0 (vì nếu 

x0 

2x 

x0 

x0 x0 

2 x f '( x) 

lim 2 x f '( x) 0 thì lim 2 ) 

x0 

x0 

2x 

Từ đó x = 0; x = 1; x = 2 là ba cực trị của hàm số đã cho. Hay phương trình f'(x) = 0 có ba nghiệm x = 0; 

x = 1; x = 2 

Vì f(x) là hàm đa thức bậc 4 nên ta giả sử hàm f '( x) m. x x 1 x 2 

 

2x mx x 1 x 2 2 m x 1 x 2 2 2m 

Từ đề bài ta có lim 2 lim 2 2 m 1 

x0 2x 

x0 

2 2 

Nên 

3 2 

f '( x) x x 1 x 2 x 3x 2x 

1 1 

3 2 

Từ đó 

Chọn B. 

Câu 50. 

1 

f '( x) dx x 3x 2 x dx . 

4 

0 0 


- Đặt 

3 

f ( x) m u đưa về phương trình g (w) = g (v) với w, v là các biểu thức ẩn x, u . 

- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm y = g (x) suy ra mối quan hệ x, t. 


Đặt 

3 

f ( x) m u f ( x) 

m u 

3 

f ( u) 

x m 

 

3 

f ( u) f ( x) x u f ( u) u f ( x) 

x 

f ( x) 

u m 

Xét hàm 

3 

3 3 3 3 

3 5 3 3 5 3 

g( x) f ( x) x x 3x 4m x x 4x 4m 

có g '( x) 5x 4 12x 2 0, x 

1;2 

 

Do đó y = g (x) đồng biến trên [1; 2]. 

3 3 

f ( u) u f ( x) x u x 

3 

f ( x) 

m x 

3 5 3 3 5 3 

f ( x) m x x 3x 4m m x x 2x 3m 

Xét hàm 

5 3 

h( x) x 2x 

trên [1; 2] có h'( x) 5x 4 6x 2 0, x 

1;2 

 

h(x) đồng biến trên [1;2] h(1) h(x) h(2) 3 h (x) 48 . 

Phương trình h(x) = 3m có nghiệm thuộc [1; 2] 3 3m 48 1 m 16 

Vậy có 16 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. 

Chọn B. 


Trang 26





2 

Câu 1. Kí hiệu z , z là nghiệm của phương trình z 4z 

5 0 . Giá trị của 

1 2 

z 

2 2 

 

z 

1 2 

A. 10. B. 6. C. 2 5 . D. 4. 

Câu 2. Trong không gian , cho điểm I 5;2; 3 

và mặt phẳng P : 2x 2y z 1 0 . Mặt cầu tâm 

Oxyz 

I và tiếp xúc với P 

có phương trình là 

2 2 

2 

 

2 2 2 

A. x 5 y 2 z 3 16 . B. x 5 y 2 z 3 4. 

2 2 

2 

 

2 2 2 

C. x 5 y 2 z 3 16 . D. x 5 y 2 z 3 4. 

x 1 y 5 z 2 

Câu 3. Trong không gian Oxyz , đường thẳng d : có một vectơ chỉ phương là 

3 2 5 

 

 

 

 

A. u 2;3; 5 

. B. u 1;5; 2 

. C. u 3;2; 5 

. D. u 3;2; 5 

. 

 

 

5 

Câu 4. Với , là số thực dương tùy ý, log ab bằng 

a b 

5 

 

 

1 

A. 5log5 a log5 

b . B. log5 a log5 

b . C. log5 a 5log5 

b . D. 5log5 a log5 

b 

. 

5 

x 

1 

2t 

 

Câu 5. Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d : y 3 t 

 

z 

4 5t 

Q 

 

N 

P 

 

A. 4;1;3 . B. 2;1;5 . C. 3; 2; 1 . D. M 1; 3;4 

. 

 

 

Câu 6. Cho hàm số y f x xác định trên R \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến 

thiên như sau 

x 

y 

y 

 

0 

 

1 

0 

3 

 


 

 

1 

 

 

 

 

 

1 

 

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 

f x 

m 

có 3 nghiệm thực phân biệt là 

A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. 

3 

Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số f x sinx 4x 

2 

2 

sin x 

cos x 

4 

4 

A. 8x 

C . B. 8x 

C C. cos x x C . D. cos x x C . 

2 

2 

Trang 1

2 

Câu 8. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x x 1 

và trục hoành. Thể tích vật thể 

tròn xoay khi quay 

 

H 

 

quanh trục hoành bằng 

9 

9 81 

81 

A. . B. . C. . D. . 

8 

8 

80 

80 

Câu 9. Đặt a log3 

4 , khi đó log16 

81 bằng 

a 2 

2a 3 

A. . B. . C. . D. . 

2 

a 

3 

2a 

2 

 

 

Câu 10. Cho f x dx 5 và f x dx 3, khi đó f x dx bằng 

0 

5 

 

0 

 

A. 8. B. 15. C. 8 

. D. 15 

. 

Câu 11. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào 4 chiếc ghế kê thành một hàng ngang? 

A. 24. B. 8. C. 4. D. 12. 

5 

 

2 

 

Câu 12. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ? 

x 1 

y + + 

y 

2 

 

 

3 2 

x 3 

4 2 

2x 

1 

A. y x 3x 

4 . B. y C. y x 3x 

1. D. y . 

x 1 

x 1 

 

 

Câu 13. Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ a 3;2;1 và b 5;2; 4 

bằng 

 

Oxyz 

A. 10 

. B. 15 

. C. 15. D. -7. 

2 

f x 

 

bằng 

Câu 14. Cho hàm số có đạo hàm f x x x 2 x 3 , x 

. Giá trị lớn nhất của hàm số 

đã cho trên đoạn 

 

 

0;4 

 

A. f 2 . B. f 3 . C. f 4 . D. f 0 . 

Câu 15. Tập nghiệm của phương trình 

2 

x 4 3 

3 x 1 là 

1 

3 

 

 

A. . B. C. 1; 3 . D. 1;3 . 

Câu 16. Cho khối chóp S. 

ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3, SA a 6 và SA vuông góc 

với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp đã cho bằng 

3 

3 

2 

2 

A. 3a 

6 . B. a 6 . C. 3a 

6 . D. a 6 . 



 

2 

 

2 

log x 4x 

5 1 

là 

5; 

 

 

 

A. . B. ; 1 5; . C. ; 1 . D. 1;5 . 

 

 

 

 

Trang 2

1 

Câu 18. Cho cấp số nhân un 

có u1 3 và công bội q . Giá trị của u3 

bằng 

4 

3 

3 

16 

3 

A. . B. . C. . D. . 

8 

16 

3 

4 

Câu 19. Giả sử , là hai số thực thỏa mãn 2a b 3 i 4 5i 

, với i là đơn vị ảo. Giá trị của a, 

b 

bằng 

a b 

A. a 2; b 2 . B. a 8, b 8 . C. a 1, b 8 . D. a 2, b 2 

. 


y f x 

có đồ thị như hình vẽ 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 

 

 

0; 

 

A. 1;1 . B. 1;0 . C. . D. ; 1 

. 

Câu 21. Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2a. 

Thể tích khối nón đã cho bằng 

3 

3 

2 

2 2 a 

3 

8 2 a 

2 2 a 

A. . B. 2 2 

a . C. . D. . 

3 

3 

3 


 

y f x 

đồ thị như hình vẽ 


Trang 3

Số nghiệm thực của phương trình 

f 

x 3 

A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. 

là 

Câu 23. Trong không gian , cho điểm A 1;2;3 và mặt phẳng P : 3x 4y 7z 

2 0 . Đường 

Oxyz 

thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng P 


x 

3 

t 

x 

1 

3t 

x 

1 

3t 

x 

1 

4t 

 

A. y 

4 2t t 

 

. B. y 2 4t t 

. C. . D. . 

 

y 2 4t t 

 

z 

7 3t 

2 3 

z 

3 7t 

 

y 

t t 

z 3 7t 

 

z 3 7t 

Câu 24. Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 4. Diện tích xung quanh của hình trụ đã 

cho bằng 

A. 12 . B. 36 . C. 24 . D. 8 . 

Câu 25. Tọa độ điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức 

z 2 5i 

 

2;5 

 

 

A. 2;5 . B. . C. 2; 5 . D. 2; 5 

. 

2 2 2 

Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z 9 và mặt phẳng 

P : 4x 2y 4z 

7 0 . Hai mặt cầu có bán kính là và R chứa đường tròn giao tuyến của S 

và 

 

1 

R 

2 

P 

: 3 4 20 0 

đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng Q y z . Tổng R1 R2 

bằng 

65 

63 

35 

A. . B. 5. C. . D. . 

8 

8 

8 


ABC có SA a, AB a 3, BAC 150 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. 

Gọi 

M , N 

A. 

BCMN 

lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 

bằng. 

3 

3 

3 

3 

4 7 a 

44 11 a 

28 7 a 

20 5 a 

A. . B. . C. . D. . 

3 

3 

3 

3 

Câu 28. Cho hình lập phương 

ABCD. 

ABC D 

là 

có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt nằm trên các cạnh 

AB và BC sao cho MA 

MB 

và NB 2NC 

. Mặt phẳng DMN chia khối lập phương đã cho thành 

 

hai khối đa diện. Gọi là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A V 

là thể tích khối đa diện còn lại. Tỉ số 

V 

 

 

H 

 

V 

H 

 

bằng 

, 

H 

V H 

 

 

151 

209 

2348 

151 

A. . B. . C. . D. . 

209 

360 

3277 

360 



y f x 


x 

 

1 

0 

1 

 

y 

 

 

 

0 

 

y 

 

2 

1 

1 

 

 

1 

Trang 4

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

2 

y 

3 f 2 

A. 6. B. 5. C. 4. D. 3. 

Câu 30. Trong không gian , cho hai mặt phẳng P : x 3z 2 0, Q : x 3z 

4 0 . Mặt phẳng 

song song và cách đều 

P, 

Q 

x 

Oxyz 


A. x 3z 

2 0 . B. x 3z 

1 0 . C. x 3z 

6 0 . D. x 3z 

6 0 . 

Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng : 2x 3y 2z 

12 0 . Gọi A, B, C lần lượt là giao 

điểm của 

góc với 

 

 

 

 

 

 

với 3 trục tọa độ, đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông 


x 3 y 2 z 3 

A. . B. x 3 y 2 z 3 

. 

2 3 2 

2 3 2 

x 3 y 2 z 3 

C. . D. x 3 y 2 z 3 

. 

2 3 2 

2 3 2 

Câu 32. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một 

hình parabol có đỉnh trùng với tâm hình tròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa 

đường tròn, hai đầu mút của parabol nằm trên nửa đường tròn cách nhau một khoảng 4 mét (phần tô 

đậm). Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dùng để trồng hoa cúc. Biết các kích thước cho 

2 

2 

như hình vẽ. Chi phí trồng hoa hồng và hoa cúc lần lượt là 120.000 đồng /m và 80.000 đồng /m . 

Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào dưới đây (làm tròn đến nghìn đồng)? 

A. 6.847.000 đồng. B. 6.865.000 đồng. C. 5.710.000 đồng. D. 5.701.000 đồng. 

Câu 33. Đầu mỗi tháng, chị B gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% 

một tháng và lãi suất không thay đổi suốt quá trình gửi tiền. Hỏi sau bao nhiêu tháng chị B có một số tiền 

cả gốc và lãi nhiều hơn 150 triệu đồng? 

A. 44 tháng. B. 43 tháng. C. 46 tháng. D. 47 tháng. 



3 2 

y x bx cx d, b, c, 

d 

 

 

 

có đồ thị như hình vẽ 

Trang 5

Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. b 0, c 0, d 0 . B. b 0, c 0, d 0 . C. b 0, c 0, d 0 . D. b 0, c 0, d 0. 


ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh bằng a 3, BAD 60 , 

SA vuông góc 

với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và ABCD bằng 45. Gọi G là trọng tâm tam giác 

SCD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OG và AD bằng 

17a 5a 3 5a 3 17a 

A. . B. . C. . D. . 

17 

5 

5 

17 

3 

3 ln x 

Câu 36. Cho ln 3 ln 2 với là các số hữu tỉ. Giá trị của bằng 

2 dx a b c 

2 2 2 

a, b, 

c 

a b c 

x 1 

1 

 

 

17 

1 

A. . B. . C. 1. D. 0. 

18 

8 


 

y f x 

có bảng biến thiên như hình vẽ 

x 2 

1 

3 5 

x 

f 0 0 0 0 

f x 

2 

 


1 

Xét hàm số g x f x 4 2018 . Số điểm cực trị của hàm số y g x bằng 

0 

 

3 

 

 

 

A. 9. B. 1. C. 5. D. 2. 

2 1 

9 

Câu 38. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C C 44 . Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 

 

biểu thức x 

 

4 

 

x 

2 n 

3 

 

 

 


bằng: 

A. 29568. B. 1774080 

. C. 14784 

. D. 14784. 

7 

Câu 39. Cho hàm số y f x 

thỏa mãn f 0 

và có bảng biến thiên như sau 

6 

n 

n 

Trang 6

x 1 3 

x 

f 0 0 

f 

x 

 

1 

15 

13 

 

3 13 2 

1 

2 f x f x 7 

f x 

 

2 2 

Giá trị lớn nhất của m để phương trình e 

m có nghiệm trên đoạn 0;2 là 

15 

e 13 

 

2 

4 

3 

A. e . B. . C. e . D. e . 


z 3 i z 1 

3i 

 

là một số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm 

biểu diễn của z là một đường thẳng. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó bằng: 

A. 4 2 . B. 0. C. 2 2 . D. 3 2 . 


3x 

2 

 

f x x e 

2 1 3x 

2 1 3x 

A. x e 3x 1 

C . B. x e 3x 1 

C . 

9 

9 

2 1 2x 

1 

C. x e x 1 

C . D. 2 3 x 

2x e x 1 

C . 

3 

3 

Câu 42. Giả sử z là các số phức z thỏa mãn 

2 z 4 i z 5 8i 

bằng 

là: 

iz 2 i 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức 

A. 3 15 . B. 15 3 . C. 9 5 . D. 18 5 . 

Câu 43. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khoảng a; 

b . Giá trị của a 2b 

bằng 

 

 

y x 3mx 3 m 1 

x m 

 

3 2 2 3 

4 

3 

2 

A. . B. . C. 1. D. . 

3 

2 

3 

Câu 44. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

2 2 

 

log x.log 32x 4 0 

 

bằng: 

1 

1 

7 

9 

A. . B. . C. . D. . 

2 

32 

16 

16 

 

có hai 

Câu 45. Cho khối lăng trụ đều ABC. 

ABC 

có AB a 3 , góc giữa đường thẳng AB 


 

ABC 

 

bằng 

45 


. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng 

3 

3 

3 

3 

3 2a 

3a 

9 2a 

9a 

A. . B. . C. . D. . 

8 

4 

8 

4 

Câu 46. Cho khối lăng trụ đứng ABC. 

ABC 

có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , 

AB a, BB 

a 3 . Góc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng BCCB 

bằng 

 

A. 30 . B. 90 . C. 45. D. 60 . 

Trang 7


x 

x 

y f x 


2 

0 1 

f 0 0 0 

f 

x 

 

4 

2 

3 

 

Số giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 

trên khoảng 

 

2;1 

 

là 

 

log f x 

2 1 

f x e f x m 

A. 68. B. 18. C. 229. D. 230. 

Câu 48. Hàm số f 

3 4 

x 2 x 

 

có đạo hàm là 

3x4 

3.2 

3 4 

A. f x 

. B. 3ln 2.2 x 

f x . 

ln 2 

3x4 

2 

3 4 

C. f x 

. D. ln 2.2 x 

f x . 

ln 2 

 

 

Câu 49. Cho hàm số y f x , hàm số f x x 3 ax 2 bx c a, b, 

c có đồ thị như hình vẽ 

Hàm số 

 

 

 

g x f f x 


3 3 

A. 1; . B. ; 2 

. C. 1;0 

. D. 

; 

. 

3 3 

 

Câu 50. Đồ thị hàm số y 


1 

x 

x 2 

2 

có số đường tiệm cận đứng là 

A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. 

có nghiệm 

Trang 8

ĐÁP ÁN 

1. A 2. A 3. C 4. C 5. D 6. C 7. C 8. D 9. B 10. C 

11. A 12.D 13. B 14. B 15. D 16. B 17. B 18. B 19. D 20. B 

21. A 22. D 23. B 24. C 25. C 26. A 27. C 28. A 29. A 30. B 

31. C 32. D 33. B 34. A 35. D 36. C 37. C 38. C 39. A 40. C 

41. B 42. C 43. D 44. D 45. D 46. D 47. D 48. B 49. B 50. B 


Câu 1. 

Chọn A 

2 

z 

2 i 2 2 2 2 

Ta có: z 4z 5 0 z1 z2 

2 i 2 i 10 

z 

2 i 

Câu 2. 

Chọn A 

2.5 2.2 3 1 

d I; P 4 R 

2 2 2 

2 2 1 

Ta có: 

 

2 2 2 

Vậy phương trình mặt cầu là: x 5 y 2 z 3 16 

. 

Câu 3. 

Chọn C 

 

Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta có: 1 vectơ chỉ phương là u 3;2; 5 

. 

Câu 4. 

Chọn C 

Ta có: 

Câu 5. 

Chọn D 

log ab log a log b log a 5log b 

5 5 

5 5 5 5 5 

Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d ta có: Điểm M 1; 3;4 

Câu 6. 

Chọn C 

Dựa vào BBT Để có 3 nghiệm thực phân biệt thì 0 m 3 vậy có 2 giá trị m nguyên. 

Câu 7. 

Chọn C 

 

4 

3 4x 

4 

sinx 4x dx cos x C cos 

x x C 

4 

Câu 8. 

Chọn A 

d 


 

 

Trang 9

Xét phương trình hoành độ giao điểm 

1 

2 

2 81 

V 2x x 1 

dx 

80 

Câu 9. 

Chọn B 

1 

 

2 

4 1 2 

log16 81 log 2 3 .4log 

4 

4 

3 2log4 

3 

2 a 

Câu 10. 

Chọn C 

2 5 5 5 

 

 

0 2 0 2 

x 

x 

1 

x 

x 

2 

2 

2 1 0 1 

f x dx f x dx f x dx f x dx 3 5 8 

Câu 11. 

Chọn A 

Ta có tổng số cách xếp chỗ ngồi cho bốn bạn học sinh vào bốn chiếc ghế kê thành một hàng ngang là tổng 

số hoán vị của bốn phần tử nên có: 4! 24 

Câu 12. 

Chọn D 

Từ bảng biến thiên rút ra nhận xét hàm số gián đoạn tại 

Nhận xét 

Câu 13. 

Chọn B 

x 

lim f 2 

x 

do đó chọn đáp án D 

Ta có: 

 

ab 

3 5 2 2 1 4 15 

Câu 14. 

Chọn B 

 

x 

0 

f x x x 2 x 3 0 

 

 

x 2 

 

x 3 

2 

Ta có 

Từ đó ta có bảng biến thiên như sau: 

x 

f 

f 

x 

x 

 

0 

0 

 

2 

0 

 

x 1 nên loại đáp án A, C 


f 

0 

f 

2 

3 

0 

f (3 

 

4 

f 

4 

Trang 10

0;4 

 

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là f 3 . 

Câu 15. 

Chọn D 

2 2 

 

Ta có 3 1 3 3 

x 

1 

x 4x3 x 4x3 0 

x 3 

Do đó chọn ý C 

Câu 16. 

Chọn B 

1 1 1 

V 2 

SABCD 

d S ABCD S 

ABCD 

SA AB a a a 

3 3 3 

Ta có 

Câu 17. 

Chọn B 

 

2 

log x 4x 

5 1 

 

2 

x 4x 5 0 x 

5 

 

2 

 

x 

2 3 

; 6 3 6 

; 1 5; 

 

x 

 

x 4x 

5 10 1 

Câu 18. 

Chọn B 

Ta có: 

Câu 19. 

Chọn D 

 

2 

2 

3 

 

1 

3 

u u q 

2a b 3 i 4 5i 

 

2a 

4 a 

2 

 

b 

3 5 b 

2 

Câu 20. 

Chọn B 

1 3 

 

4 16 


Hàm số đồng biến trên 1 khoảng thì đồ thị có chiều đi lên trong khoảng đó. 

Từ hình vẽ, suy ra hàm số đồng biến trên 1;0 . 

Câu 21. 

Chọn A 

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH 

 

 

Trang 11

BC 2 2a 

AB AC 2a BC 2 2a AH a 2 BH CH 

2 2 

Vậy thể tích khối nón là: 

2 

 

1 1 1 2 2 

a 

. . . 2 . 2 

3 3 3 3 

2 2 

V R h BH AH a a 

Câu 22. 

Chọn D 

3 

3 

Số nghiệm thực của phương trình f x là số giao điểm của đường thẳng y 3 và đồ thị hàm số 

y f x 

Vậy số giao điểm là 2. 

Câu 23. 

Chọn B 

Ta có: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng 

 

n 3; 4;7 

của P làm vectơ chỉ phương. 

 

 

 

 

x 

1 

3t 

 

 

z 

3 7t 

Vậy phương trình đường thẳng d là: y 2 4t t 

 

Câu 24. 

Chọn C 

Diện tích xung quanh hình trụ là: S 2 rh 2 .3.4 24 

Câu 25. 

Chọn C 

Ta có: 

z 5 2i z 2 5i 

. Vậy tọa độ điểm biểu diễn là 

xq 

2; 5 

 

P 

 

nên đường thẳng d nhận vectơ pháp tuyến 


Trang 12

Câu 26. 

Chọn A 

2 2 2 

Phương trình mặt cầu 

 

S : x y z 9 m 4x 2y 4z 7m 

0 

2 2 2 2 

x 2m y m z 2m 9 9m 7m 

S 

Suy ra, có tâm I 2 m; m; 2m 

và bán kính R m m 

3m 

8m 

20 

2 

d I; Q 9m 7m 

9 

5 

m m m 

2 

4 9 7 9 

 

2 

8m 

m 7 0 

m 

1 

R1 

5 

65 

 

7 25 R1 R2 

 

m 

R 

8 

2 

 

8 8 

Câu 27. 

Chọn C 

2 

9 7 9 

Dựng đường tròn tâm O là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Kẻ đường kính AQ 

Xét tam giác ACB: 

2 2 2 2 2 2 2 

BC AB AC 2. AB. AC. cosBAC 3a a 2. a . 3. cos150 7a BC a 7 

BC a 7 

R ABC 

a 7 AO a 7 

2sin A 2.sin150 

Vì AQ là đường kính đường tròn tâm O, điểm B thuộc đường tròn này nên QB AB 

QB AB QB SAB QB AM 

QB SA 

Ta có: 


AM QB Ta có: AM SQB 

AM QM AMQ vuông tại M. 

AM SB 

Chứng minh tương tự ta được: ANQ vuông tại N. 

Trang 13

Ta có các tam giác: 

Do đó các điểm 

ABQ, AMQ, ANQ, 

ACQ là các tam giác vuông lần lượt ở B, M , N, 

C 

A, B, C, N, 

M 

thuộc mặt cầu đường kính AQ 

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A. 

BCMN bằng AO a 7 

4 3 

3 4 28 7 

a 

V R a 7 

3 3 3 

Câu 28. 

Chọn A 

Ta có: 

NB 2 

BR 2 BR 2 a, 

BN 

a 

NC CD 

3 

BT BR 4 

4 BT 

a 

TB 

BM 

5 

 

a 1 

; 

QA HA 

QA BT HA 

 

a 

5 DD 

HD 

5 6 

1 6a 

3a 

VQADR 

3a a 

6 5 5 

V 

RBTN 

3 

1 4a 2a 8a 

2a 

 

6 5 3 45 

3 

1 a a a a 

VQADR 

 

6 6 2 5 360 

151a 

209a 

VH A 

 

360 360 

V 

 

H 

VH 

 

 

Câu 29. 

Chọn A 

151 

209 

 

3 3 

; VH 

 

3 

2 

lim f x 

1; lim f x 

lim y 2; lim y 0 

x x x 3.1 

2 x 

3 

có 2 đường TCN là 

y 2; y 0 

2 

2 

Xét 3 f x 

2 0 f x 

. Dựa vào BBT phương trình f x 


3 

3 

có 4 đường TCĐ 

Câu 30. 

Chọn B 

Gọi mặt phẳng cần tìm là 

Vì cách đều và 


 

 

N có dạng x 3z m 0 

N P 

Q d P; N d Q; N d A; P d B; 

Q 

2 m 4 m 

A 2;0;0 P; B 4;0;0 Q m 1 

1 3 1 3 

Với 

2 2 2 2 

Trang 14

N : x 3z 

1 0 

Câu 31. 

Chọn C 

Do A, B, C lần lượt là giao điểm của 

 

 

 

với 3 trục tọa độ nên tọa độ 

 

 

 

 

 

 

A 

6;0;0 

 

B 

0; 4;0 

 

C 

0;0;6 

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó tọa độ điểm I thỏa mãn hệ 

39 

x 

 

 

IA IB 12x 8y 

20 

17 

 

 

16 

IB IC 8y 12z 20 y 

 

17 

BI BA; BC 0 2x 3 

y 4 

2z 

0 

 

 

 

 

39 

z 

 

17 

Khi đó phương trình đường thẳng d sẽ là 

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Câu 32. 

Chọn D 

39 

x 2 t 

17 

16 y 

3 t 

17 

39 

z 

2 t 

17 

x 3 y 2 z 3 

 

2 3 2 

x 

3 

6 

với t y 

2 

17 

z 

3 


Giả sử một đầu mút là điểm A. Khi đó gọi tâm của nửa đường tròn đó là O 

Thì bán kính đường tròn 

2 2 

R 2 6 2 10 

2 2 

đường tròn thì được phương trình của đường tròn là x y 40 . 

khi đó nếu ta gắn hệ trục tọa độ Oxy tại tâm của nửa 

Trang 15

R 

Khi đó diện tích của nửa đường tròn sẽ là 

2 

2 

20 

O 

 

Phương trình parabol đi qua điểm 0;0 và điểm A 2;6 là y 

Khi diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi một phần đường tròn và parabol tính theo công thức 

2 

2 3 2 

S 40 x x dx 

 

2 

2 

Do đó chi phí cần dùng để trồng hoa trong khuôn viên là 

2 2 

 

2 3 

2 2 3 2 

20 

40 x x dx80.000 40 x x dx.120000 5701349 

2 

 

 

2 

2 

2 

Câu 33. 

Chọn B 

Gọi số tiền người đó gửi hàng tháng là 

+ Đầu tháng 1: người đó có a. 

Cuối tháng 1: người đó có: a 

a 3 triệu 

. 1 0,06 a.1,06 

+ Đầu tháng 2: người đó có: a a.1,06 

2 

Cuối tháng 2 người đó có: 1,06 a a.1,06 a. 1,06 1,06 

 

2 

+ Đầu tháng 3: người đó có: a. 11,06 1,06 

 

2 2 3 

Cuối tháng 3: người đó có a. 11,06 1,06 .1,06 a. 11,06 1,06 

 

… 

+ Đến cuối tháng thứ n người đó có: a. 11,06 1,06 2 ... 1,06 n 

 

Ta cần tính tổng: a. 11,06 1,06 2 ... 1,06 n 

 

n1 

11,06 

Áp dụng công thức cấp số nhân với công bội là 1,06 ta được 3 150 n 43 

0,06 

Vậy sau 43 tháng người đó thu được số tiền thỏa mãn yêu cầu của bài toán 

Câu 34. 

Chọn A 

Nhận xét với x 0 d 0 

Từ đồ thị ta thấy nếu gọi 

Câu 35. 

Chọn D 


x1; 

x2 

3 

2 

là hai điểm cực trị của hàm số thì khi đó 

Do tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A SA AC 3a 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD 

x 

2 

2b 

x1 x2 

0 

3a 

b 

0 

 

 

c 

c 0 

x1x2 

0 

3a 

Trang 16

Ta có: AD / / MN d AD; OG d AD; SMN d A; 

SMN 

 

Kẻ AE BC I, 

AE MO E 

Khi đó ta có: 

MN 

AE 

MN 

MN 

SA 

SAE SAE SMN 

giao tuyến SE. 

 

Trong tam giác SEA vuông tại A, kẻ AH SE H 

Khi đó d A; 

SMN 

 

AH 

Xét tam giác SAE có AH là đường cao, nên ta có 

1 1 1 1 1 17 

 

AH SA AE 3a 2 3a 

 

2 

9a 

 

4 

2 2 2 2 

3 17a 

3 17a 

 

17 17 

Suy ra AH 

d OG; 

AD 

Câu 36. 

Chọn C 

Đặt 

Đặt 

I 

3 

 

1 

theo 

3 ln x 

dx , sử dụng phương pháp tích phân từng phần 

2 

x 1 

 

 

u 3 

ln x dx 

du 

 

 

dx 

x 

 

 

dv 

 

2 1 

x 1 

v 

 

x 1 

3 3 

3 

 

 

1 1 

1 

. Khi đó ta có: 

3 ln x dx 3 ln x 

3 

I ln x ln x 1 

x 1 

x x 1 x 1 

3 3 

ln 3 ln 2 

4 4 

Suy ra 

Câu 37. 

Chọn C 

3 

 

a 

4 

 

b a b c 

3 

c 

 

4 

2 2 2 

1 1 

 

1 1 


 


x 

4 2018 4 . 4 4 4 4 

4 

g x f x g x x f x f x x f x 

3 

x 4 

Trang 17

x 4 2 L x 

7 

 

x 4 1 L 

x 1 

0 4 0 

 

x 4 3 x 

9 

 

 

 

x 4 5 x 

1 

 

Xét gx f x 

Ta có bảng xét dấu của 

g x 

như sau 

 

 

 

 

x 

 

1 

1 

4 

7 

9 

g 

x 

 

0 

 

0 

 

0 

0 

 

Vậy có 5 điểm cực trị. 

Câu 38. 

Chọn C 

 

 

2 1 

n n 1 

Cn 

Cn 

44 n 44 n 11. Khi đó, ta có: 

2 

11 11 k 

11 

4 2 

k 4 3 11k 

k 11k 

7k 

33 

 

3 11 2 11 2 

x k 0 k 0 

 

x C x x C x 

 

Số hạng chứa 

9 

x ứng với 7k 

33 9 k 6 

Suy ra, hệ số cần tìm là C 6 

5 

Câu 39. 

Chọn A 

Đặt f x t x t f x 

11 

2 14784 

7 

, 0;2 

 

1; 

6 

3 13 2 1 7 

Xét hàm số g t 2t t 7t 

trên 1; , ta có: 

2 2 

6 

t 

1 

2 

gt 6t 13t 

7 0 

 

7 

t 

6 

7 

Suy ra, g t 


 

1; hay g t 

6 

Suy ra, 

3 13 2 

1 

2 f x f x7 

f x 

2 2 

e m e 

Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của m là 

Câu 40. 

Chọn C 

Đặt: 

z x yi x, 

y 

 


 

2 

2 

e 

. Khi đó ta có: 

 

 

g 1 2 

3 1 3 3 1 1 3 

z i z i x y i x y i 

Trang 18

1 3 1 3 3 3 1 1 

x x y y x y x y 

i 

Là số thực hay phần ảo bằng 0, tức là: 

x y x y 

3 3 1 1 0 

2x 

2y 

8 0 

x y 4 0 

Suy ra, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường thẳng: : x y 4 0 

4 

d O; 

2 2 

Suy ra, 

Câu 41. 

Chọn B 

2 

2 

1 1 

2 x 

2 

3 3x 

f x dx x e dx xdx xe dx 

3x 3x 3x 

2 xe 1 3x 

2 xe e 

x e dx x C 

3 3 

 

3 9 

1 

 

9 

2 3x 

x e 3x 1 C 

Câu 42. 

Chọn C 


2 2 

Gọi z a bi a b iz i a b 

 

, 2 3 1 2 9 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 

 

 

 

I 1; 2 

, bán kính R 3 

Gọi A 5; 8 , B 4;1 . Đặt P 2 z 4 i z 5 8i P 2MB MA MA 2MB 

 

Nhận xét: IA 6 2, IB 3 2, AB 9 2 I, A, 

B thẳng hàng. Ta có: IA 2IB IA 2IB 

 

 

2 2 2 2 2 

MA IM IA 2 IM . IA IM IA 4 IM. 

IB 

Ta có: 

 

 

2 2 2 2 2 2 

MB IM IB 2 IM. IB 2MB 2IM 2IB 4 IM. 

IB 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 

MA MB MI IA IB R IA IB 

2 3 2 3 2 3.3 72 2.18 135 

Trang 19

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 

2 

 

 

2 2 

2 2 2 2 

P MA 2MB MA 2. 2MB 1 2 MA 2MB 

3.135 

2 

P P 

Câu 43. 

Chọn D 

405 9 5 

 

 

y x mx m x mx m 

3 2 6 3 2 1 0 2 2 2 1 0 

có ' 1 

y 0 

có 2 nghiệm 

 

3 2 2 3 

x1 

m 

1 

y1 

m 1 3m m 1 3 m 1 m 1 m 3m 

2 

 

3 2 

x 2 3 

2 

m 1 y2 

m 1 3m m 1 3m 1 m 1 

m 3m 

2 

 

 

 

 

 

2 2 

để 2 cực trị nằm về hai phía trục hoành y1. y2 

0 m 

3 3 

2 2 2 

a ; b a 2b 

 

3 3 3 

Câu 44. 

Chọn D 

1 

x 

2 

log2 

x 1 2 

log2 x5 log2 x 

4 log 

2 

x 5log2 

x 4 0 

log2 

x 4 

1 

x 

16 

Tổng các nghiệm bằng 

Câu 45. 

Chọn D 

1 1 9 

 

2 16 16 


Trang 20

AB là hình chiếu của A B lên ABC . Nên góc giữa A B và mặt phẳng ABC là góc giữa AB 

và mặt 

 

phẳng AB bằng góc ABA (vì ABA 

vuông tại A nên ABA 90 

) 

Suy ra, ABA 45 

Xét 

Xét 

ABA 

ABC 

có: 

AA 

AB tan ABA 

a 3 tan 45 a 3 

đều cạnh, suy ra 

AB 3 3 3a 

S ABC 

 

4 4 

2 2 

3 3a 

9a 

Vậy VABC. 

ABC 

AA S 

ABC 

a 3 

4 4 

Câu 46. 

Chọn A 

2 3 

 


Trang 21

AB 

BC 

Ta có AB 

BCCB 

hay là hình chiếu của lên 

A B B B 

B A BCCB 

Suy ra, BB là hình chiếu của A B lên BCCB 

. Nên góc giữa đường thẳng AB 


 

BCCB 

 

ABB 

90 

Xét tam giác 

 

là góc giữa đường thẳng AB 

và BB bằng góc ABB 

(vì ABB 

vuông tại B nên 

) 

ABB có AB 

a 1 

tan ABB A BB 

30 

BB 

a 3 3 

 

Vậy góc giữa đường thẳng A B và mặt phẳng BCCB 

bằng 30 

Câu 47. 

Chọn D 

Ta có: 

2 

log 

f x 

f x e 1 f x m có nghiệm trên khoảng 2;1 

2 

 

 

 

Đặt g x log f x e f x 

1 f x khi đó bài toán tương đương với g x m có nghiệm trên 

khoảng 2;1 

 

1 

f x 

f x 

 

g x f x 

 

f x e log2 

f x 

e 1 

ln 2 

 

 

Ta có: 

Xét 

x2;4 

f x 

 

 

f 

x 

2;4 : 

 

f x e log2 

f x 

0 

 

 

g ' x 0 f x 0 x 0 


Trang 22

Ta có bảng biến thiên của 

g x 

x 

2 

0 

1 

g x 

 

g 2 

 

g 1 

g 0 

4 

Từ đó ta có để phương trình có nghiệm thì: m g e 

Vậy 

m 

Câu 48. 

Chọn B 

 

1;2;...;230 

 

 

do đó sẽ có 230 giá trị 

f x 2 

 

3x 

4 ln 2.2 3ln 2.2 

Câu 49. 

Chọn B 

3x4 3x4 3x4 

 

2 4 3 230,4 

Vì các điểm 1;0 , 0;0 , 1;0 thuộc đồ thị hàm số y f x nên ta có hệ: 

 

1 a b c 0 a 

0 

 

 

c b f x 

x x f x 

x 

1 a b c 0 

c 

0 

3 2 

0 1 '' 3 1 

Ta có: g x f f x gx f f x. f '' x 

Xét 

3 

x 

x 

3 

3 2 

0 ' . 0 3 1 

0 

 

3 

x x 

g x g x f f x f x f x x x 

 

x 

1 

 

x 

0 

 

 

 

x 1,325 

x 

1,325 

 

3 

x 

3 


x 

g 

x 

 

1,325 

0 

1 

3 

 

3 

0 3 

3 

 

x 

 

 

0 

x 1 

1 

2 

3x 

1 0 

1 

 


0 

0 

0 

0 

0 

1,325 

0 

 

 

Trang 23

Dựa vào bảng biến thiên g x 

nghịch biến trên ; 2 

Câu 50. 

Chọn B 

Tập xác định của hàm số: 

Nhận thấy 

 

x 2 1;1 

 

2 

1 x 0 

 

x 

2 0 

1 x 1 

. Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 


Trang 24






y log 2 

x 

A. R B. C. 0; 

D. 

Câu 2. Môđun của số phức 

là 

0; 

 

z 4 3i 

bằng 

A. 1 B. 7 C. 25 D. 5 

Câu 3. Mặt cầu bán kính R có diện tích là 

\ 0 

2 

4 2 

A. R 

B. C. D. 

3 R 2 

2R 

4R 

Câu 4. Ba số nào sau đây tạo thành một cấp số nhân? 

A. 1; 2 

; 4 

B. 1; 2; 4 

C. 1; 2; 4 

D. 1; 2; 4 


kính R của (S) lần lượt là 

 

2 2 2 

S : x 1 y 1 z 2 9 . Tọa độ tâm I và bán 

I R I R I R I 

A. 1;1; 2 , 9 B. 1; 1;2 , 3 C. 1;1; 2 , 3 D. 

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 

A 

1;2;3 , B3;2; 1 

A. 2;2;1 

B. 1;0; 2 

C. 4;4;2 

D. 

2 

1; 1;2 , R 9 

. Tọa độ trung điểm của AB là 

 

 

 

2;2;2 

Câu 7. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số y sin x ? 

A. y cos x B. y cos x C. y x cos x D. y x cos x 


z 1 

i 

là 

A. i B. 1 C. 1 

D. i 

Câu 9. Cho tập hợp X có n phần tử 

 

n 

* 

 

, số hoán vị n phần tử của tập hợp X là 

2 

A. n! B. n C. n 

D. 


x 

y 

y 

 

y f x 

 

 

có bảng biến thiên được cho ở hình dưới. 

2 

0 2 

0 + 0 

Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 

1 

2 

0 + 

 

 

0; 

0;2 

A. 2;0 

B. ; 2 

C. D. 



 

y f x 

có bảng xét dấu đạo hàm được cho ở hình dưới. 

0 

n 

3 

 

 

Trang 1

x 

1 3 

y + 0 

Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? 

0 + 

A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 

Câu 12. Hình chóp tam giác có số cạnh là 

A. 5 B. 3 C. 6 D. 4 

Câu 13. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ; 

? 

x 

x 

 

3 

2 

A. y 

B. y 

C. y 

D. 

4 

4 

3 

 

 

x 

 

 

y 

3 

x 1 

Câu 14. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y có phương trình là 

x 2 

A. x 2 

B. y 2 

C. y 1 

D. x 2 

3 

Câu 15. Đồ thị hàm số y x 3x 

2 cắt trục tung tại điểm có tọa độ là 

A. 2;0 

B. 1;0 

 

C. 0; 2 

D. 0;2 

Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có SA ABC , tam giác ABC vuông cân tại B, SA AB 6 . Thể tích 

khối chóp S.ABC bằng 

A. 72 B. 108 C. PRODUCTION 

36 D. 216 

Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng : 2x 3y z 5 0 . Phương trình nào sau đây là 

TU 

phương trình đường thẳng song song với 

? 

A. x 1 1 

 

y 

z x 

B. 1 y 1 z x 1 y 1 

z 

C. D. 

x 1 1 

 

y 

z 

2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 

2 

2x 

Câu 18. Tích phân e dx bằng 

THANH 

1 

2 

4 2 

e 4 2 

4 2 

e e 

A. B. e e C. 2e 

e 

D. 

2 

2 

Câu 19. Cho hình (H) trong hình vẽ bên dưới quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể 

tích bằng bao nhiêu?NGUYEN 

x 

Trang 2

2 

A. B. 2 

C. 2 

D. 

2 

Câu 20. Phương trình 

log x log x 2 

2 

2 

 

 

có bao nhiêu nghiệm? 

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 


2020 

y 

2020 

2x 


2x 

1 

2x 

1 

2x 

1 

A. C B. C C. C D. 

4040 

2020 

4036 

Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 

phương trình của đường thẳng vuông góc với d? 

là 

2018 

2 

 

2 

2x 

1 2020 

2018 

C 

x 1 y z 1 

d : . Phương trình nào dưới đây là 

2 3 1 

A. x 

y 

z x y z 

B. 2 

x 1 

y z 

C. D. 

x 2 

 

 

y 

z 

2 3 1 

2 1 1 

2 3 1 2 1 1 

Câu 23. Cho m, n, p là các số thực thỏa mãn 

p log 2 mlog 4 n log8 , mệnh đề nào dưới đây đúng? 

m n 

A. 3 2 B. p log 4 8 C. 2 3 D. 

p m n 

2 

Câu 24. Đường cong ở hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

m n 

p m n p log2 

2 3 

2 

y x x y x x 2 

y x 2 

x 

y x 1 2 

x 2 

A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 

y f x 

f x x 

Câu 25. Hàm số có đạo hàm thỏa mãn 0 1;4 ; f x 0 x 2;3 . Mệnh đề 

nào dưới đây sai? 

f x 

1;2 

f x 

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 3;4 . 

 

C. 5 7 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;4 . 

f f f x 

 

Câu 26. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 3, thiết diện qua trục có chu vi bằng 20. Thể tích của khối trụ 

đã cho bằng 

A. 24 B. 72 C. 12 D. 36 

y f x 

 

Câu 27. Cho hàm số liên tục trên đoạn a; 

b , có đồ thị tạo với trục hoành một hình phẳng gồm 

ba phần có diện tích 


S , S , S 

1 2 3 


Trang 3

Tích phân 

b 

 

a 

f 

 

x dx 

bằng 

A. S1 S2 S3 

B. S1 S2 S3 

C. S1 S2 S3 

D. S2 S3 S1 

Câu 28. Đường cong ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

1 

A. 2 x 

2 

B. y log x 1 

C. y x 

D. 

y 

Câu 29. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

M 

 

1; 1; 3 

 

đến (P) bằng 

2 

1 

 

P : 2x 2y z 2 0 

5 

A. 3 B. 1 C. D. 

3 

z 1 

y x 

1 

. Khoảng cách từ điểm 

2 

Câu 30. Gọi là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z 2z 

5 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, 

điểm biểu diễn 

 

z 1 

có tọa độ là 

 

 

 

2; 1 

A. 2; 1 

B. 1; 2 

C. 1; 2 

D. 

Câu 31. Gọi z là số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn 

của số phức z bằng: 

z 1 i z i 

3 

1 

3 

A. B. 

C. 

D. 

10 

5 

10 

Câu 32. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 

2 2 

x 2x1 x 2x 

2 .3 18 

bằng 

A. 2 B. 2 

C. 1 D. 1 

Câu 33. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số 

 

2; 

 

? 


y x mx 

5 

9 

. Tổng phần thực và phần ảo 

4 2 

A. 4 B. 8 C. 9 D. 7 

1 

5 


Trang 4

Câu 34. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có diện tích bằng 

toàn phần của hình nón bằng 

A. B. C. 2 2 4 

D. 

4 8 2 2 8 

2 

y x x m 

Câu 35. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 

với mọi x ? 

2 2 . Diện tích 

 

log 2 3 2019 

A. Vô số B. 2019 C. 2020 D. 2018 

 

xác định 

Câu 36. Một người thả một lượng bèo chiếm 2% diện tích mặt hồ. Giả sử tỉ lệ tăng trưởng của bèo hàng 

ngày là 20%. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì bèo phủ kín mặt hồ? 

A. 22 B. 21 C. 20 D. 23 

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân, SA ABCD , AD 2BC 2AB 

. Trong tất 

 

cả các tam giác mà 3 đỉnh lấy từ 5 điểm S, A, B, C, D có bao nhiêu tam giác vuông? 

A. 3 B. 6 C. 5 D. 7 

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có điểm 

C 

 

3;2;3 

2 3 3 

: 

x 

 

y z 

1 4 3 

, d : 

x 

y 

z . Hoành độ điểm A bằng 

1 1 2 1 2 1 

d1 

2 

A. 3 B. 2 C. 5 D. 1 

 

, đường cao qua A, B lần lượt là 

Câu 39. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 1 

z 2 là một 

hình phẳng tích bằng 

A. 4 B. 3 C. D. 2 


 

y f x 

liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. 


Tập hợp nghiệm của phương trình 

1 0 

f f x 

có bao nhiêu phần tử? 

A. 7 B. 6 C. 9 D. 4 

Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ABCD , SA 3AB 

. Gọi α là góc giữa 

hai mặt phẳng (SBC) và (SCD), giá trị cosα bằng 

 

1 

1 

A. 0 B. C. D. 

2 

3 

1 

4 

Trang 5

3 2 

f x ax bx cx d 

Câu 42. Cho hàm số có đồ thị (C). Đồ thị hàm số y f x được cho như 

hình vẽ bên. Biết rằng đường thẳng 

nhau. Tổng 

a b c d 

bằng 

d : y x 

cắt (C) tạo thành hai phần hình phẳng có diện tích bằng 

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 

Câu 43. Lớp 12A trường THPT X có 35 học sinh đều sinh năm 2001 là năm có 365 ngày. Xác suất để có 

ít nhất 2 bạn trong lớp có cùng ngày sinh nhật (cùng ngày, cùng tháng) gần nhất số nào sau đây? 

A. 10% B. 60% C. 40% D. 80% 

 

2 2 2 

Câu 44. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu : 2 8 9 0 và hai điểm A 5;10;0 , 

B 4;2;1 

 

S x y z x y 

. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu S . Giá trị nhỏ nhất của MA 3MB 

bằng 

22 2 

11 2 

A. B. 22 2 C. 11 2 

D. 

3 

3 

Câu 45. Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh S như hình vẽ. Biết 

OS AB 4m 

, O là trung điểm AB. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với 

mức chi phí: Phần kẻ sọc 140000 đồng / 

m 

2 

, phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2m được tô đậm 

2 

2 

150000 đồng / m , phần còn lại 160000 đồng / m . Tổng chi phí để sơn ba phần gần nhất với số nào 

sau đây? 


Trang 6

A. 1 575 000 đồng B. 1 600 000 đồng C. 1 579 000 đồng D. 1 625 000 đồng 

Câu 46. Cho khối lăng trụ ABC. ABC có thể tích V, trên các cạnh AA, BB, 

CC 

lần lượt lấy các điểm 

1 

2 1 

M, N, P sao cho AM AA 

, BN BB 

, CP CC. Tính thể tích khối đa diện ABCMNP 

? 

2 3 6 

4V 

V 5V 2V 

A. B. C. D. 

9 

2 

9 

5 

f x 

 

Câu 47. Cho hàm số có đạo hàm trên R, biết rằng hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. 

Số điểm cực đại của hàm số 

 

y f 6 x 

2 

 

A. 3 B. 4 C. 1 D. 7 

là? 

A 

B 

Câu 48. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm 1;0;0 , 0; 1;0 

, C 0;0;1 và mặt phẳng 

P : 2x 2y z 7 0 . Xét M P 

, giá trị nhỏ nhất của MA MB MC MB bằng? 

A. 19 B. 22 C. 2 D. 6 

2 2 2 

Câu 49. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 6 12 và a 1 b 1 c 1 2. Tổng 

a b c 

bằng? 

a b c 

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 

Câu 50. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 

x y z 

log16 

2 2 2 

2 2 2 x x y y z z 

2x 2y 2z 

1 

x y z 

thức F bằng? 

x y z 

. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 


1 

2 

2 

A. 

B. C. 

D. 

3 

3 

3 

1 

3 

Trang 7

ĐÁP ÁN 

1. C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8. B 9. A 10. A 

11. B 12. C 13. D 14. D 15. C 16. C 17. B 18. D 19. D 20. C 

21. A 22. B 23. C 24. A 25. D 26. D 27. A 28. C 29. A 30. B 

31. C 32. A 33. B 34. C 35. C 36. A 37. D 38. D 39. B 40. C 

41. D 42. C 43. D 44. D 45. B 46. A 47. B 48. B 49. C 50. B 


Câu 1. Chọn C 

Hàm số y log 2 

x xác định khi x 0 Tập xác định của hàm số log2 

là 0; . 

Câu 2. Chọn D 

2 

2 

Ta có z 4 3 5 . 


2 

Mặt cầu bán kính R thì có diện tích S 4R 

. 

Câu 4. Chọn B 

Xét thương số lần lượt từng đáp án: 

Đáp án A: 

Đáp án B: 

Đáp án C: 

Đáp án D: 


2 4 

. Suy ra dãy số này không phải là cấp số nhân. 

1 2 

2 4 

2 

q . Suy ra dãy số này là cấp số nhân. 

1 2 

2 4 


1 2 

2 4 


1 2 

Ta có tâm và bán kính mặt cầu là I 1; 1;2 

, R 9 3 . 

 

 

y x 

Câu 6. Chọn A 

1 3 2 2 3 1 Tọa độ trung điểm của AB là I ; ; 2;2;1 

. 

2 2 2 


Ta có sin xdx cos x C . Do đó một nguyên hàm của hàm số y sin x là y cos 

x . 


Ta có: z 1 i Phần thực của z là 1. 


Số hoán vị n phần tử của tập hợp X là: n!. 



Trang 8

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; . Chỉ có đáp án A thỏa 

mãn. 


Từ bảng xét dấu ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu hai lần khi đi qua x 1 và x 3 do đó hàm số có 

hai điểm cực trị. 


Số cạnh của một hình chóp bằng hai lần số cạnh đáy của hình chóp đó. 


Hàm số mũ 

x , 0 a 1 đồng biến khi và chỉ khi a 1 

. 


y a 

x 1 

x 1 

Ta có lim , . Vậy là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. 

 

lim 

x 2 

x2 

x 2 

x2 

x 2 


y 

 

Ta có 0 2 

nên tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung là 0; 2 

. 


1 1 1 1 

Theo bài ra thì AB BC 6 . Ta có: VS . ABC 

S 

ABC. SA . AB. BC. SA .6.6.6 36 . 

2 3 2 6 


Ta thấy: 

2. 1 3. 1 

1.1 0 

 

hoặc C. Ta có điểm M 1; 1;0 

. Suy ra đáp án B. 


 

2 

2 2 

2x 1 2x 1 2x 

1 4 2 

 

1 1 

2 

 

e dx e d x e e e 

2 2 2 


1 

(hai phương án A, D không thỏa mãn điều này) suy ra chỉ có thể là B 

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình (H) quanh trục Ox là 

 

2 

2 

1 cos 2x 

1 cos 2x 

1 

V sin x 

dx dx sin 2 . 

2 

dx x x 

2 2 2 2 

0 0 0 0 


x 

0 x 

0 

Điều kiện: x 0 . 

x 

2 0 x 

2 

2 2 2 

x 

1 

log x log2 x 2 log2 x log2 

x 2 

x x 2 x x 2 0 . 

2 

 

x 

2 

Đối chiếu điều kiện ta thấy x 2 thỏa mãn. Vậy phương trình có một nghiệm x 2 . 


2019 1 2019 1 2x 

1 2x 

1 

Ta có: I 2x 1 dx 2 1 2 1 . . 

2 

x d x C C 

2 2020 4040 

. 


 

 

2020 2020 

Trang 9


Ta thấy VTCP của đường thẳng d là 2;3; 1 

. 

u d 

 

x y z 2 

VTCP của đường thẳng : là u 2;1; 

 

1 

. Do u . 0 

d 

u nên d . 

2 1 1 


p log 2 mlog 4 nlog8 log 2 log 4 log8 

p m n 

p m n p 2m 3n 

2 4 .8 2 2 .2 p 2m 3n 

. 


3 2 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đây là đồ thị hàm số bậc 3 dạng y ax bx cx d . 

Đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm có tọa độ 1;0 và 2;0 nên loại đáp án D. 

 

 

 

 

Trên khoảng ; 1 

hàm số đồng biến tức a 0 nên loại đáp án C. 

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tọa độ 0;2 nên loại đáp án B. 



Gọi h là chiều cao của khối trụ đã cho. 

Vì thiết diện qua trục là hình chữ nhật nên h 3.2 .2 20 h 6 10 h 4 . 

Vậy thể tích của khối trụ đã cho là V S.h R 2 h .9.4 36 

. 


 

Gọi c Ox C , 0 c b . 

b 0 

c b 

 

 

Ta có: f x dx f x dx f x dx f x dx S S S . 

a a 0 

c 


Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm cố định 

đáp án A, B. 

 

 

 


Trang 10 

 

1 2 3 

Mặt khác, hàm số có tập xác định là 0; nên ta chọn đáp án C. 



2.1 2. 1 3 2 

Ta có d M 

; P 

 

3. 

2 2 2 

2 2 1 

 

 

 

 

 

1;1 

 

và là hàm số nghịch biến. Do đó ta loại

2 

Ta có 2 2 z 

1 

2i 

z 2z 5 0 z 1 4i 

. 

z 

1 2i 

Theo đề bài, ta có z1 1 

2i . Vậy điểm biểu diễn 

1 

có tọa độ là 1; 2 

. 


Giả sử z a bi với a, b . 

z 

Từ 

2 2 2 

2 

z 1 i z i ta được a 1 b 1 a 1 

b 

2 2 2 2 1 

4b 

a 2a b 2b 2 a b 2b 1 

a 

2 

2 2 

2 2 

1 4b 2 20b 8b 

1 

z a b b 

. 

4 2 

2 

8 1 1 

Hàm số y 20b 8b 

1 

đạt giá trị nhỏ nhất tại b a . 

40 5 10 

3 

Vậy a b . 

10 


2 2 2 2 2 

x 2x1 x 2x x 2x 1 x 2x x 2x 

2 2 

2 .3 18 2 .2 .3 18 6 36 x 2x 2 x 2x 

2 0 . 

b 

Phương trình này có a. c 2 0 nên luôn có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng 2 . 

a 


TXĐ: D . 

3 

y 4x 2mx 

. 

Hàm số đồng biến trên 2; y 

0, x 

2; 

 

 

3 2 

4x 2mx 0, x 2; m 2 x , x 

2; 

2 

g x x 

Xét 2 trên 2; . Ta có 

. (*) 

g x 4x 0, x 2; 

g x 

 

(*) m min g x g 2 m 8 . 

 

 

x 

2; 

 

 

Do m là số nguyên dương nên m 1;2;3;4;5;6;7;8 . 


 

đồng biến trên 2; g x g 2 , x 

2; . 


 

Trang 11

1 2 

Theo đề bài ta có SAB vuông cân tại S nên S SAB 

SA 2 2 SA 4 2 l . 

2 

AB 

AB SA 2 8 2 r OA 2 2 . 

2 

2 

Diện tích toàn phần của hình nón: S rl r 

4 2 2 . 


Điều kiện: m 3 . 

2 

Hàm số xác định trên x 2x m 3 2019 0, x 

. 

tp 

a 

0 1 0 

 

m 2016 . Kết hợp m nên suy ra m3; 2;...;2016. 

 

0 m 

3 2019 0 

Vậy có 2020 số nguyên m thỏa yêu cầu bài toán. 


Gọi S là diện tích mặt hồ Lượng bèo ban đầu trên mặt hồ sẽ là A 0,02. S . 

Sau n ngày thì lượng bèo tăng trưởng phủ kín mặt hồ nên 

n 

1 

0,02 S. 1 0, 2 S n log1,2 

21,4567 . Vậy ít nhất 22 ngày thì bèo phủ kín mặt hồ. 

0,02 


 


 

Dễ thấy hình thang ABCD có AC DC ; AB BD . 

 

 

DB SAB 

 

DC SAC 

 

 

 

 

SCD 

vuông tại C và SBD vuông tại B. 

SA ABCD SAD ; ASAB ; SAC vuông tại A. 

Trang 12

Mặt khác ADC vuông tại C; ABD vuông tại B Có 7 tam giác vuông. 


Ta có A d A t t t CA t t t 

 

1 

2 ;3 ;3 2 1; 1; 2 

 

là một VTCP của d . 

ud 

1; 2;1 

2 

2 

Vì AC d2 CAu . 

d 

0 t 1 A 1;2;5 xA 

1. 

2 

 

 


Dễ thấy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thuộc hình vành khăn giữa hai đường tròn tâm O bán kính 

2 2 

R1 2 ; R2 1 

Diện tích: S . R . R 3 

. 


1 2 

Đặt t f x f f x f t f t 

 

1 0 1 0 1 

2 1 

 

 

 

 

t 

a 2 

f x a 

 

 

t b 2; 1 

f x b 2; 1 2 

 

 

t 0 

 

f x 0 3 

 

t c 2;3 

 

f x c 2;3 4 

Dựa vào đồ thị PT (1) có 2 nghiệm phân biệt. 

PT (2) có 4 nghiệm phân biệt. 

PT (3) có 3 nghiệm phân biệt. 

PT (4) vô nghiệm. 

Tổng số phần tử trong tập nghiệm của phương trình là 9. 



Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ . Ta có DB SAC BD SC . 

OM SC 

Trang 13

SC BDM 

 

SBC 

Góc giữa hai mặt phẳng và SCD là 180 BMD 

2 

Có MBD cân 180 2OMD cos cos 2OMD 2cos OMD 1. 

OD OC SC 5 3 1 

Có tan OMD cosOMD 

cos . 

OM OM SA 3 8 4 


2 3 2 

3 6 3 

Cách 1: Từ đồ thị hàm số suy ra 

Vì đường thẳng 

d : y x 

d đi qua điểm uốn của (C). 

1 d 2 d 3 a b c d 1 3 3 1. 

Cách 2: Vì đường thẳng 

f x x x f x x x d 

cắt (C) tạo thành hai phần hình phẳng có diện tích bằng nhau 

d : y x 

d đi qua điểm uốn của (C) hay f 1 1 a b c d 1. 


Có 

35 

365 

cắt (C) tạo thành hai phần hình phẳng có diện tích bằng nhau 

Gọi A là biến cố: “ít nhất 2 bạn trong lớp có cùng ngày sinh nhật”. 

A 

là biến cố: “không có bạn trong lớp có cùng ngày sinh nhật”. 

 

35 

35 A365 

A365 P 1 0,814 . 

35 

365 

P 

A A A 

PA 


Gọi 

; ; S 

 

M x y z 

. Ta có 

2 

 

2 2 2 2 2 

MA 3MB x 5 y 10 z 3 x 4 y 2 z 1 

2 2 

1 14 2 8 2 2 2 

2 2 2 

3 x y z x y z 2x 8y 9 3 x 4 y 2 z 1 

 

 

3 3 9 

 

 

 

 

3 3 

 

 

2 2 

1 14 2 

2 2 2 

3 

 

x y z x 4 y z z 1 


 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O O . Tia Ox OB; 

Oy OS . 

 

2 2 

 

1 14 2 11 2 

4 2 1 . 

 

 

 

3 3 3 

 

 


Trang 14

2 

2 

Parabol có phương trình: y 4 x và đường tròn có phương trình y 4 x . 

Xét phương trình 4 x 2 4 x 2 x 3 . 

3 

 

1 

2 2 

Số tiền phần kẻ sọc là: T 140000. x 4 4 x dx . 

2 

Phần tô đậm là hình quạt có góc ở tâm là: . 

3 

2 

R 

Số tiền phần tô đậm là: T2 150000. 

. 

3 

Phần còn lại là phần bù của quạt trong tròn. 

2 2 

1 2 R 

R 

Số tiền phần còn lại là T3 

160000. R 

160000. 

. 

2 3 6 

Vậy tổng số tiền là T 1 589 427. 


Ta có: 

V V V 

ABCMNP N . ACB N . ACPM 

BN BN 1 

V . V . V 

BB 

BB 

3 

N . ACB B ACB ABCA B C 

. 

1 

V 

 

NACPM 

S 

CP AM 

ACPM 2 

1 CP AM 

. 

V S AA 2 CC AA 

 

BACCA ACCA 

1 CP AM 2 

VNACPM 

. V 

2 CC 

AA 

3 

. 

ABCABC 

 

1 AM CP BN 

Suy ra: VABCMNP 

. 

VABCAB C. 

3 AA CC BB 

 

1 2 1 

 

4 

Vậy 2 3 6 V 

VABCMNP 

. V . 

3 9 


 

Ta có y 6 2 2 . 

 

f x 

x f 6 x 2 . 

 

. 

3 


Trang 15

Dựa vào đồ thị ta có 

x 

0 x 

0 

2 

0 

 

x 

 

6 0 6 

0 

x 

x 

 

y 

. 

2 2 

6 0 6 3 

 

f x x x 3 

 

2 

 

6 x 2 

x 2 


x 

 

3 

 

6 

2 

0 2 

6 3 

 

y + 0 

0 + 0 

0 + 0 

0 + 0 

 

y 

Vậy hàm số có 4 điểm cực đại. 


Gọi I là điểm thỏa 

IA IB IC 0 I 1;1;1 

 

 

. Ta có: 

MA MB MC MB MI IA MI IB MI IC MB MI MB MI MB 

: 2 2 7 0 

Xét thấy B và I nằm cùng phía so với mặt phẳng P x y z . 

Gọi B 

là điểm đối xứng của B 

qua mặt phẳng. 

x 

2t 

 

Phương trình đường thẳng d qua B0; 1;0 

và có VTCP ud 

2; 2;1 

là d : y 1 2t 

. 

 

z 

t 

d P 

 

Gọi H là giao điểm của và H 2;1; 1 

. 

Ta có H là trung điểm của , B 

4;3; 2 

. 

Ta có MI MB MI MB 

IB 

. 

BB 

min 

22 

Vậy MA MB MC MB IB 

. 


 

 

a b c 

Đặt 2 6 12 t t 0 . Ta có a log2 

t , b log6 

t , c 

log12 

t . 

2 2 2 

TH1: Nếu 1 0 , không thỏa mãn a 1 b 1 c 1 2. 

TH2: Nếu 

t a b c 

t 1. Khi đó: 

1 1 1 

logt 

2 , logt 

6 , logt 

12 . 

a b c 

Suy ra: 1 1 1 0 ab bc ca 0 

a b c 


 

2 2 2 

Mặt khác ta có a 1 b 1 c 1 2. 

. 

Trang 16

a b c 2 

a b c ab bc ca 

a b c 

2 

2 1 2 0 1 

0 

 

 

a b c 1. 


x y z 

log16 

2 2 2 

2 2 2 x x y y z z 

2x 2y 2z 

1 

 

2 2 2 2 2 2 

x y z x y z x y z x y z 

log 2 log 2 2 2 1 

 

16 16 

2 2 2 2 2 2 

x y z x y z x y z x y z 

log 4 4 log 2 2 2 1 2 2 2 1 

4 4 

 

Xét hàm số: f t log t t t 0 . 

Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. 

Suy ra: 

4 

4 2 2 2 2 2 2 1 

f x y z f x y z 

2 2 2 2 2 2 1 

x y z x y z x y z x y z 

4 2 2 2 1 2 2 2 0 

2 

10 

Ta có mặt cầu (S) có tọa độ tâm và bán kính là I 1;1;1 

, R . 

2 

Ta có: 

x y z 

F F 1 x F 1 y F 1 

z 0 

x y z 

Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung điều kiện cần và đủ là 

F 1 F 1 F 1 10 

d 

I; 

P 

R . 

2 

2 F 1 F 1 

2 

 

2 1 

2 10 1 

2 10 

3F 2F 13 0 F . 

3 3 

x y z 2 

Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F bằng . 

x y z 3 

(S). 

(P). 


Trang 17






Hàm số 

y 

f ( x) 

xác định trên R, có bảng biến thiên sau 

x 

-2 0 2 + 

f '( x ) 

+ 0 - 0 + 0 - 

f ( x ) 

3 3 

y 

f ( x) 

- 

-1 - 


A. (0;2) B. (-1;3) C. (- ;3) D. (- ;0) 

Câu 2: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

4 2 

4 2 

3 2 

A. y x 3x 

1 

B. y x 3x 

1 

C. y x 3x 

1 

D. 


Hàm số 

y 

f ( x) 

y 

f ( x) 

xác định trên R, có bảng biến thiên sau 

x 

-1 3 + 

f '( x ) 

+ 0 - 0 + 0 

f ( x ) 

4 

- 

-2 

đạt cực đại tại điểm 

A. x 4 

B. x -2 C. x -1 D. x 3 

3 2 

Câu 4: Cho hàm số f ( x) ax bx cx d( a, b, c, d R) 

phương trình 4 f ( x) 3 0 là 

3 2 

y x 3x 

1 


có đồ thị như hình vẽ sau. Số nghiệm của 

1

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 

Câu 5: Cho a số thực dương khác 1. Tính log a 2 . 

a 

1 

A. log a 1 

2 

B. log 2 

C. D. -2 

a 

2 

a 

log 2 2 

a a 

2 

a log a 

2 a 


2 

2 3 

y (2 x x ) 

là 

A. R\{0;2} B. (0;2) C. R D. ;0 (2; ) 


y 3 x 

là: 

x 

1 

A. y ' x ln 2 B. ' .3 x 

3 

x 

y x 

C. y ' D. y ' 3 ln 3 

ln 3 

1 

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 

là 

2x 

1 

1 1 

A. ln 2x 

1 

C B. 2 ln 2x 1 

+ C C. ln 2 x 1 C D. ln(2 x 1) C 

2 

2 

2 3 

Câu 9: Cho hàm số f ( x) 

liên tục trên [0;3] và f ( x) dx 1, f ( x) dx 4. Tính 

 

 

0 2 

A. 5 B. -3 C. 3 D. 4 

Câu 10: Số phức liên hợp của số phức z = 2-3i là 

2 

 

0 

f ( x) dx. 

A. z 3 2i 

B. z 3 2i 

C. z 2 3i 

D. z 2 3i 

Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, điểm nào sau đây biểu diễn số phức z 2 i ? 

A. M(2;0) B. N(2;1) C. P(2;-1) D. A(1;2) 

Câu 12: Tính thể tích V của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 3 và chiều cao bằng 4. 

A. V = 16 B. V = 48 C. V = 12 D. V = 36 

Câu 13: Tính diện tích S của mặt cầu có đường kính bằng 6. 

A. S = 12 B. S = 36 C. S = 48 D. S = 144 

 

 

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai véc tơ a (1; 1;2) 

và b (2;1; 1). 

Tính 

 

 

 

 

A. a. b (2; 1; 2) 

B. a. 

b (1;5;3) C. a. 

b 1 D. a. 

b -1 


Câu 15: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x – 3z + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là 

 

a. 

b 

2

A. n 

 

(2; 3;5) B. n 

 

(2; 3;0) C. n 

 

(2;0; 3) D. 

1 

2 

3 

n 

 

(0;2; 3) 

Câu 16: Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M(2;-1;3) và có véc tơ 

 

chỉ phương u (1;2 4) là 

A. x 1 y 2 z 4 

 

B. 

x 1 y 2 z 4 

 

2 1 3 

2 1 3 

x 2 y 1 z 3 

C. D. 

x 2 y 1 z 3 

 

1 2 4 

1 2 4 

2x 

1 

Câu 17: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y 

là đường thẳng 

x 3 

A. y = 2 B. x = 3 C. x = -3 D. y = -2 

Câu 18: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

3 

y x 3x 

1 

tại điểm có hoành độ x = 1 là 

A. y = 6x – 3 B. y = 6x – 3 C. y = 6x – 1 D. y = 6x + 1 

Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số 

4 2 

y x x 2 trên đoạn [-1;2] bằng 

A. 18 B. 0 C. -2 D. 20 

2 

Câu 20: Biết rằng phương trình log x log (2018 x) 2019 0 có hai nghiệm thực x1, x2. 

Tích x1x2 

bằng 

2 2 

A. log2 

2018 B. 0,5 C. 1 D. 2 

2 

x x x1 

2 9 

Câu 21: Biết bất phương trình có tập nghiệm là đoạn [a;b]. Tính b – a. 

3 4 

A. b a 2 5 B. b a 3 C. b a 5 D. b – a = 2 

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn 3 z (1 i) z 1 

5 i. 

Tính mô đun của z. 

A. z 5 

B. z 5 C. z 13 D. z 10 

f x 

Câu 23: Cho hàm số y f ( x) 

có đạo hàm liên tục trên khoảng 0; . 

Khi đó dx bằng 

x 

4 

' 

1 

A. ( ) B. + C C. -2 + C D. 2 + C 

2 f x C f ( x ) 

f ( x ) 

f ( x) 

2 

 

 

 

2 

Câu 24: Biết x ln x 1 dx a ln 5 b ln 2 c với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P = a + b + c. 

1 


A. P = 3 B. P = 0 C. P = 5 D. P = 2 

Câu 25: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = a và mặt 

bên AA’B’B là hình vuông. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng 

2 3 

A. B. C. D. 

8 a 2 3 

4 a 1 3 

4 a 1 3 

12 a 

3

Câu 26: Cho khối nón có bán kính đáy bằng a, góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng 

nón đã cho bằng 

3 

3 

4 3 3 

3 

A. a B. C. D. 

3 

3 a 

3 

a 

3 

9 a 

3 

0 

30 . Thể tích khối 

2 2 2 

Câu 27: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x 2) ( y 1) ( z 1) 12. 

Mặt phẳng nào sau 

đây cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn? 

A. ( P1 

) : x y z 2 0 

B. ( P2 

) : x y z 2 0 

C. ( P3 

) : x y z 10 0 

D. ( P4 

) : x y z 10 0 

4 

Câu 28: Hệ số của trong khai triển biểu thức x 3 là 

x 6 

A. 1215 B. 54 C. 135 D. 15 

n 

Câu 29: Cho cấp số cộng (u n ) có số hạng đầu u 1 = 2 và d = 3. Tìm lim . 

u 

1 

1 

A. L 

B. L 

C. L = 3 D. L = 2 

3 

2 

Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, gọi là góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABC). 

Tính tan . 

1 

2 

A. tan B. tan 2 C. tan D. tan 

2 

3 

3 3 2 1 3 

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y x mx m có hai điểm 

2 2 

cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x? 

A. 1 B. 3 C. 2 D. 0 

Câu 32: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 và hai điểm C, D thay đổi trên nửa đường tròn đó sao 

cho ABCD là hình thang. Diện tích lớn nhất của hình thang ABCD bằng 

1 

3 3 

3 3 

A. B. C. 1 D. 

2 

4 

2 

Câu 33: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng y x m 


x 2 

y 

tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA + OB = 4 (O là gốc tọa độ)? 

x 1 

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 

n 

3 

2 


2 

Câu 34: Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P) : y x , tiếp tuyến với (P) tại M(2;4) và trục 

hoành. Tính diện tích của hình phẳng (H)? 

2 

8 

1 

4 

A. B. C. D. 

3 

3 

3 

3 

Câu 35: Anh A vào làm ở công ty X với mức lương ban đầu là 10 triệu đồng / tháng. Nếu hoàn thành tốt 

nhiệm vụ thì cứ sau 6 tháng làm việc, mức lương của anh lại được tăng thêm 20%. Hỏi bắt đầu từ tháng 

4

thứ mấy kể từ khi vào làm ở công ty X, tiền lương mỗi tháng của anh A nhiều hơn 20 triệu đồng ( biết 

rằng trong suốt thời gain làm ở công ty X anh A luôn hoàn thành nhiệm vụ)? 

A. Tháng thứ 31. B. Tháng thứ 25. C. Tháng thứ 19. D. Tháng thứ 37. 

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình 

 

 

2 

ln x 2x m 2ln(2x 

1) 0 

chứa đúng hai số nguyên? 

A. 10 B. 3 C. 4 D. 9 

Câu 37: Cho số phức z có môđun bằng 2 2. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn 

các số phức w (1 i)( z 1) 

i là đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R. Tổng a + b + R bằng 

A. 5 B. 7 C. 1 D. 3 

0 

Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có BC = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Gọi H là 

hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC). Biết rằng tam giác HBC vuông cân tại H và 

thể tích khối chóp S.ABC bằng a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 

A. 2 3a B. 6 3 a. 

C. 2a D. 6a 

3 r 

Câu 39: Cho hình trụ có trục OO', bán kính đáy r và chiều cao h . Hai điểm M, N di động trên 

2 

đường tròn đáy (O) sao cho OMN là tam giác đều. Gọi H là hìn chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng 

(O’MN). Khi M, N di động trên đường tròn (O) thì đoạn thẳng OH tạo thành mặt xung quanh của một 

hình nón, tính diện tích S của mặt này. 

2 

2 

2 

9 3 

r 

9 3 

r 

9 

r 

A. S 

B. S 

C. S 

D. 

32 

16 

32 

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;-1;0), B(0;1;1). Gọi 

 

 

 

9 

r 

S 

16 

2 

là mặt phẳng chứa đường 

x y 1 z 2 

thẳng d : và song son với đường thẳng AB. Điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng 

? 

2 1 1 

A. M(6;-4;-1) B. N(6;-4;2) C. P(6;-4;3) D. Q(-6;-4;1) 

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC với A(6;3;5) và đường thẳng BC có phương 

x 

1 

t 

 

trình tham số y 

2 t . Gọi là đường thẳng qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với 

 

z 2t 

mặt phẳng (ABC). Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng ? 

A. M(-1;-12;3) B. N(3;-2;1) C. P(0;-7;3) D. Q(1;-2;5) 

Câu 42: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 

3a 

AB 2 3, BC a,AA'= . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’C bằng 

2 


3 7a 3 10a 3a 3 13a 

A. B. C. D. 

7 

20 

4 

13 

5

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-1;7) để phương trình 

2 2 

( m 1) x ( m 2) x( x 1) x 1 

có nghiệm? 

A. 6 B. 7 C. 1 D. 5 

Câu 44: Cho hai hàm đa thức y f ( x), y g( x) 

có đồ thị là hai đường cong ở hình vẽ. Biết rằng đồ thị 

hàm số y f ( x) 

có đúng một điểm cực trị là A, đồ thị hàm số y g( x) 

có đúng một điểm cực trị là B 

và 

7 

AB . 

4 

y f ( x) g( x) 

m 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng (-5;5) để hàm số 

có đúng 5 điểm cực trị? 

A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 

Câu 45: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 

thức 

P 

x 

y 

bằng 

y 

y1 

2 y 2x log 

2( x 2 ). 

Giá trị nhỏ nhất của biểu 

e ln 2 

e ln 2 

eln 2 

e 

A. B. C. D. 

2 

2 

2 

2ln 2 

Câu 46: Cho hàm số f ( x ) không âm, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f (1) 1, 

 

2 

 

2 f ( x) 1 x 

f '( x) 2x 1 2 f ( x) , x 

[0;1]. 

Tích phân 

 

1 

 

0 

f ( x) 

dx 

bằng 

1 

A. 1 B. 2 C. D. 

3 

Câu 47: Cho số phức z x yi( x, y R) 

thỏa mãn z 2 i z 2 5i 

và biểu thức 

H 


2 2 

x y y 

3 1 

2 2 2 2 

x y 2x 2y 2 x y 2x 4y 

5 

đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2x + y bằng 

A. -6 B. 6 5 C. 3 5 D. 6 5 

Câu 48: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 1, đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AD và 

AD = 3BC. Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh CD sao cho ND = 3NC. Mặt phẳng 

(BMN) cắt cạnh SD tại P. Tính thể tích khối chóp A.MBNP bằng 

3 

2 

6

3 

5 

5 

A. B. C. D. 

8 

12 

16 

x 

4 3t 

 

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : y 3 4 t . Gọi A là hình chiếu vuông góc của 

z 

0 

O trên d. Điểm M di động trên tia Oz, điểm N di động trên đường thẳng d sao cho MN = OM + AN. Gọi 

I là trung điểm của đoạn thẳng OA. Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, một 

vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (M, d) có tọa độ là 

4;3;5 2 

4;3;10 2 4;3;5 10 4;3;10 10 

A. B. C. D. 

Câu 50: Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 

9. Lấy ngẫu nhiên một số trong tập tập hợp X. Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số 1, có 

đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng 

liền kề nhau. Xác suất của biến cố A bằng 

176400 

151200 

5 

201600 

A. B. C. D. 

8 

8 

8 . 

9 

9 

9 

9 


1.A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.C 

11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.D 18.A 19.A 20.D 

21.B 22.D 23.D 24.B 25.A 26.D 27.A 28.C 29.A 30.B 

31.C 32.B 33.A 34.A 35.B 36.D 37.D 38.D 39.A 40.C 

41.D 42.C 43.A 44.B 45.C 46.C 47.B 48.A 49.A 50.D 

Câu 1: 


Các khoảng làm cho y' = 0 thì hàm số đồng biến. 


Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 

và (0;2). 

 

Chọn A. 

Câu 2: 


+) Dựa vào cách đọc đồ thị hàm đa thức bậc ba và hàm trùng phương bậc bốn. 

4 2 

+) Xác định dấu của hệ số a của hàm số y ax bx c dựa vào giới hạn. 

4 2 

+) Hàm số y ax bx c có ba điểm cực trị khi ab < 0. 


 

4 2 

Từ hình vẽ ta thấy đây là đồ thị của hàm trùng phương y ax bx c nên loại C, D. 

Lại có lim y nên a < 0 nên loại A, chọn B. 

x 


9 

32 

7

Chọn B. 

Câu 3: 


Quan sát bảng biên và nhận xét: Điểm thuộc tập xác định của hàm số mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang 

âm là điểm cực đại. 


Quan sát bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt cực đại tại điểm x 1. 

Chọn C. 

Chú ý: Nhiều HS kết luận hàm số đạt cực đại tại điểm x = 4 là sai. 

Câu 4: 


Sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số. Số nghiệm của phương trình f ( x) g( x) 

là số giao điểm 

của hai đồ thị hàm số y f ( x) 

và y g( x). 


3 

Ta có 4 f ( x) 3 0 f ( x) . 

4 

Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng 

4 f ( x) 3 0 


3 

y 

4 

Chọn A. 

Câu 5: 


1 

Sử dụng công thức log b n log b a 

với 0 a 1, b 0. 

a 

n 


1 1 

Ta có: log a 3 log 

a 

. 

a 

2 a 2 

Chọn A. 

Câu 6: 


 

 

Hàm số f ( x) 

với không là số nguyên có điều kiện xác định f ( x) 0. 


2 

Do Z Hàm số xác định 

3 

 

Suy ra TXĐ: D = (0;2). 

Chọn B. 

Câu 7: 

2 

2x x 0 0 x 2. 

cắt đồ thị đã cho tại ba điểm phân biệt nên phương trình 


8


Đạo hàm của hàm số 


Đạo hàm của hàm số 

x 

x 

y a là y ' a ln a. 

3 x 

x 

y là y ' 3 ln 3. 

Chọn D. 

Câu 8: 


1 1 

Sử dụng công thức nguyên hàm dx ln ax b C 

ax b a 


1 1 

Ta có 

f ( x) dx 

dx ln 2x 1 C. 

2x 

1 2 

Chọn C. 

Câu 9: 


b c b 

 

Sử dụng công thức f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx. 


Ta có: 

Chọn A. 

Câu 10: 


3 2 3 

 

0 0 2 

a a c 

f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx 1 4 5. 

Số phức z a bi( a; b R) 

có số phức liên hợp là z a bi. 


Số phức z = 2-3i có số phức liên hợp là z 2 3 i. 

Chọn C. 

Câu 11: 


Điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi. 


Điểm biểu diễn số phức z = 2 + I là N(2;1). 

Chọn B. 

Câu 12: 



9

1 

Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V h . S . 

3 


Diện tích đáy là 

S 

2 

3 9 

1 1 

Thể tích khối chóp là V h. S .4.9 12. 

3 3 

Chọn C. 

Câu 13: 


Công thức diện tích mặt cầu bán kính R là S 


Diện tích mặt cầu là 

6 

S 4 . 36 . 

2 

Chọn B. 

Câu 14: 


 

 

Cho a x ; y ; z ; b x ; y ; z 

 

1 1 1 2 2 2 

2 

thì 


 

Ta có a. b 1.2 ( 1).1 2.( 1) 1. 

2 

4 R . 

 

 

a. 

b x x y y z z 

1 2 1 2 1 2 

Chọn D. 

Câu 15: 


 

Mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 có VTPT n ( a; b; c). 


 

Mặt phẳng (P): 2x – 3z + 5 = 0 có một VTPT n (2;0; 3). 

Chọn C. 

Câu 16: 


 

Đường thẳng d đi qua M x ; y ; z va có 1 VTCP u ( a; b; c)( a; b; c 0) thì có phương trình chính tắc 

x 

0 0 

là x y y z z 

 

 

0 

. 

a b c 


 

0 0 0 

Phương trình chính tắc cần tìm là 

Chọn D. 

Câu 17: 


 

x 2 y 1 z 3 

. 

1 2 4 

10


ax b 

d 

a 

Đồ thị hàm số y có đường TCĐ x và TCN y . 

cx d 

c 

c 


2x 

1 

Đồ thị hàm số y 

có đường tiệm cận ngang là y = -2. 

x 3 

Chọn D. 

Câu 18: 


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f ( x) 

tại điểm M x0; 

y0 

có dạng y f '( x 

0)( x x0 ) y0 


Ta có 

Và 

f x x f 

2 

'( ) 3 3 '(1) 6 

3 

f (1) 1 3.11 3 

 

Phương trình tiếp tuyến là y f '(1)( x 1) f (1) y 6( x 1) 3 y 6x 

3. 

Chọn A. 

Câu 19: 


- Tính y', tìm nghiệm trong đoạn [a;b] của y’ = 0. 

- Tính giá trị của hàm số tại hai điểm đầu mút và tại các điểm vừa tìm được ở trên. 


Ta có: 

y x x x x x 

3 2 

' 4 2 0 2 (2 1) 0 0 [ 1;2]. 

Có y(0) = -2, y(-1) = 0, y(2) = 18 nên GTLN của hàm số trên đoạn [-1;2] là 18. 

Chọn A. 

Câu 20: 


Sử dụng công thức log ( bc) log b log c(0 a 1; b, c 0) 

Đặt ẩn phụ 


Ta có 

log2 

x 

2 

2 2 

t 

a a a 

rồi biến đổi để dử dụng hệ thức Vi-et. 

log x log (2018 x) 2019 0 

log x log 2018 log x 2019 0 

2 

2 2 2 

log x log x 2019 log 2018 0 

Đặt 

2 

2 2 2 

log2 

x t 

Nhận thấy 


ta có phương trình t 

? 

t 2019 log 2018 0 

 

2 

1 4.1( 2019 log2 2018) 8077 4log2 

2018 0. 

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt t 1 ; t 2 . Theo hệ thức Vi-ét ta có t 1 + t 2 = 1 

2 

11

Suy ra log2 x1 log2 x2 1 log 

2( x1x2 ) 1 x1x2 

2. 

Chọn D. 

Chú ý: Phân biệt tích các nghiệm x, nhiều học sinh kết luận nhầm tích các nghiệm t. 

Câu 21: 


Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số và phương pháp giải bất phương trình 

f ( x) g ( x) 

a a f ( x) g( x) 

khi 0 < a < 1. 


Ta có: 

2 2 

x x x1 x x 2( x1) 

2 9 2 2 

 

3 4 3 3 

2 2 

x x x x x x 

2( 1) 2 2 

2 

x x x 

2 0 2 1. 

a 

2 

Vậy tập nghiệm là đoạn 2;1 

b a 3. 

b 

1 

Chọn B. 

Câu 22: 


 

 

+) Đặt z x yi x; 

y R thì số phức liên hợp z x yi 

Ta có phương trình 3 z (1 i) z 1 

5i 

3( x yi) (1 i)( x yi) 1 

5i 

3x 3yi x y yi xi 1 

5i 

(4 x y) ( x 2 y) i 1 

5i 

4x y 1 x 

1 

z 1 

3 i. 

x 2y 5 y 

3 

Suy ra mô đun 

Chọn D. 

Câu 23: 


z 

2 2 

1 3 10. 

Sử dụng phương pháp đổi biến đặt t 


1 dx 

Đặt t x dt dx 2 dt. 

2 x x 


x và tìm nguyên hàm. 

12

Khi đó 

' 

f x 

dx f '( t )2 dt 2 f '( t ) dt 2 f ( t ) C 2 f ( x ) C . 

x 

 

Chọn D. 

Câu 24: 


Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần. 


2x 2 

ln 1 

2 dx du 

x u x 1 

 

2 

 

xdx dv x 1 

v 

2 

Đặt 

 

2 2 2 

2 

2 x 1 2 2 2x x 1 

I x ln x 1 dx .ln( x 1) . dx 

2 

2 0 

 

x 1 2 

1 

1 

Ta có 

x 2 

 

2 

5 2 5 5 3 

ln 5 ln 2 ln 5 ln 5 ln 2 

2 

xdx 

1 

2 2 0 2 2 

5 3 

a ; b 1; 

c 

2 2 

5 3 

Suy ra P a b c ( 1) 0. 

2 2 

Chọn B. 

Câu 25: 


Thể tích khối lăng trụ V = Bh với B là diện tích đáy, h là chiều cao. 



Tam giác ABC vuông cân đỉnh A và BC = a nên 

AB AC 

a 2 

2 

13

2 

1 1 a 2 a 2 a 

S 

ABC 

. AB. AC . . . 

2 2 2 2 4 

ABB’A’ là hình vuông nên 

a 

AA ' AB 

2 

2 3 

a a 2 a 2 

Thể tích lăng trụ là V S 

ABCAA ' . . 

4 2 8 

Chọn A. 

Câu 26: 


Thể tích khối nón có bán kính đáy r và đường cao h là V 


2 

1 

 

3 

2 

r h 

Hình nón đỉnh S có bán kính đáy OA = a; góc giữa đường sinh và đáy là 

Xét tam giác SAO vuông tại O có 

SAO 30 

a 3 

SO OAt . anSAO=OA.tanSAO=a.tan30= 3 

3 

1 2 1 2 a 3 a 3 

Thể tích khối nón V AO . SO a . . 

3 3 3 9 

Chọn D. 

Câu 27: 


Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn nếu 

bán kính. 



Mặt cầu (S) có tâm I(-2;-1;1) và bán kính R 12 2 3 

d( I,( P)) 

R 

0 

với I là tâm mặt cầu, R là 

( 2) ( 1) 1 

2 2 3 

Đáp án A: d I,( P1 

) 2 3 nên mặt phẳng ( P cắt mặt cầu (S) theo giao 

2 2 2 

1) 

1 1 1 

3 

tuyến là một đường tròn. 

Chọn A. 

14

Câu 28: 


Sử dụng khai triển nhị thức Niu tơn ( a b 


Ta có 

6 

6 k 6 k k 

C6 

x 

k 0 

( x 3) 3 . 

) n 

 

n 

 

k 0 

C a 

b 

k nk k 

n 

4 

4 

2 2 

Số hạng chứa x ứng với 6 k 4 k 2. Vậy hệ số của x trong khai triển là C 3 135. 

6 

Chọn C. 

Câu 29: 


- Tìm số hạng tổng quát u n của cấp số cộng. 

n 

- Thay vào tính lim 

u 


n 

CSC có u 1 = 2, d = 3 nên u 2 ( n 1).3 3n 

1. 

n 

n n 1 1 

lim lim lim . 

u 3 1 1 

n 

n 

3 

3 

n 

Chọn A. 

Câu 30: 


Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta làm như sau 

+) Xác định giao tuyến d của (P) và (Q). 

+) Trong (P) xác định đường thẳng a d, trong đó (Q) xác định b d. 

+) Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b. 



. 

Gọi a là cạnh hình lập phương và O là giao điểm của AC và BD. 

15

Ta có ( A' BD) ( ABC) 

BD 

Trong (ABCD) có AC BD (do ABCD là hình vuông) 

Trong (A’BD) có A' 

O BD (do tam giác A’BD cân tại A’) 

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABC) là goc giữa A’O và AC hay A' OA. 

2 2 

AC AD AB 2a 

Ta có AO 

2 2 2 

AA' 

a 

Xét tam giác AA’O vuông tại A có A' OA 2 

AO a 2 

2 

Vậy tan 2. 

Chọn B. 

Câu 31: 


+) Tính y’ và giải phương trình y’ = 0. 

+) Tìm tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số và sử dụng điều kiện đối xứng qua đường thẳng yx 

tìm m. 


 

1 

2 

x 0 y m 

Ta có: y ' 3x 3mx 3 x( x m) 0 

2 

 

x m y 0 

Hàm số có hai điểm cực trị m 0. 

1 3 

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A0; m 

2 

Hai điểm này đối xứng với nhau qua 

Ta có: 

+) 

+) 

3 

1 3 

I m ; m 

, AB 

m; 

m 

 

 

2 4 2 

3 

và B(m;0). 

d : y x trung điểm I của AB thuộc d và AB d. 

3 

m m 

m 

0( L) 

3 2 

I d 2m 4m 2 m( m 2) 0 

4 2 m 

2( TM ) 


1 

m 

0( L) 

3 3 

AB d AB. ud 

0 m m 0 2m m 0 

2 m 

2( TM ). 

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn bài toán là m1,2 2. 

Chọn C. 

Chú ý: Một số em có thể sẽ quên mất không kiểm tra 

Câu 32: 


m 0 

và chọn nhầm B là sai. 

16

( a b) 

h 

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang S với a, b là độ dài 2 đáy và h là chiều cao. 

2 

Sử dụng hàm số để tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình thang 


Gọi O là tâm nửa đường tròn đường kính AB và I là trung điểm CD OI CD 

Đặt CD 2 x(0 x 1) DI x. 

Xét tam giác vuông DOI có OI DO DI 1 

x 

Diện tích hình thang 

2 

AB CDOI (2 2 x) 1 

x 

2 2 2 

S (1 x) 1 

x 

2 2 


Ta có 

f x x x x 

2 

( ) (1 ) 1 (0 1) 

x x x 

f x x x 

1 

x 

1 

x 

2 

2 

2 1 

'( ) 1 (1 ) 

2 2 

x 

1( ktm) 

f '( x) 0 

 

1 

x ( tm ) 

2 

BBT của f ( x) 

trên (0;1). 

x 

2 

1 

0 1 

2 

f '( x ) 

+ 0 - 

f ( x) 

3 3 

4 


3 3 1 

Từ BBT ta thấy giá trị lớn nhất của diện tích hình thang là S x hay CD = 1. 

4 2 

Chọn B. 

Câu 33: 


17

- Xét phương trình htoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . 

-viết biểu thức tính OA + OB và sử dụng Vi-ét. 


x 2 

Xét phương trình hoành độ giao điểm x m ( x m)( x 1) x 2 

x 1 

2 2 

x mx x m x x mx m 

2 2 0(*) 

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x 1 , 

x 2 khác 1 

 

 

 

2 2 

m m m m 

4( 2) 0 4 8 0 

1 0 

2 

1 m.1 m 2 0 

(luôn đúng). 

Do đó đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt 

Theo Vi-ét có: 

x x m 

 

x x 

1 2 

1 2 

m 2 

suy ra 

2 

x x 2 x x 4 x x 2x x 4 

2 2 2 2 

1 2 1 2 1 2 1 2 

2 2 m 

0 

m 2( m 2) 4 0 m 2m 

0 . 

m 

2 

Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. 

Chọn A. 

Câu 34: 


Viết phương trình tiếp tuyến d của P) tại M. 

Diện tích hình phảng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 

b 

 

là f ( x) g( x) dx. 

a 


y f ( x); y g( x) 

A x ; m x , B( x ; m x ) 

1 1 2 2 

và hai đường thẳng x = a; x = b 


Ta có y ' 2 x y '(2) 4 

Phương trình tiếp tuyến d của (P) tại M(2;4) là 

y y '(2)( x 2) 4 y 4( x 2) 4 y 4x 

4 

18

Giao điểm của d với trục hoành 4x 

4 0 x 1. 

2 

Giao điểm của đồ thị (P) với trục hoành là x 0 x 0. 

Tiếp điểm của d với đồ thị P) có hoành độ là x = 2. 

Diện tích hình phẳng cần tìm là: 

1 2 1 2 

2 2 2 2 

2 

S x dx x (4x 4) dx x dx 

x 4x 4 dx . 

3 

0 1 0 1 

Chọn A. 

Chú ý: Đến bước tính tích phân ta sử dụng bấm máy để tiết kiệm thời gian. 

Câu 35: 


Sử dụng công thức lãi kép T A(1 r) N với A là số tiền ban đầu, N là số kì hạn, r là lãi suất và T là số 

tiền có được sau N kì hạn. 


Gọi N là số lần tăng lương của anh A đến khi lương nhiều hơn 20 triệu. khi đó : 

N 

N 

T 10(1 20%) 20 1, 2 2 N 3,8 N 4. 

Vậy sau 4 lần tăng lương hay sau 4.6 = 24 tháng thì đến tháng thứ 25 anh A sẽ có mức lương trên 20 

triệu. 

Chọn B. 

Câu 36: 


n 

Sử dụng công thức log b log b với 0 a 1; b 0 và log f ( x) log g( x) f ( x) g( x) 0 

a 

a 

với a > 1. 

Đưa về dạng f ( x) 

m từ đó lập BBT và vẽ đồ thị của hàm số f ( x) 

để tìm m. 


1 

ĐK: x . 

2 

Ta có ln x 2 2x m 2ln 2x 

1 

0 

 


ln x 2x m ln(2x 1) 0 ln x 2x m ln(2x 

1) 

2 2 2 2 

1 

2 4 4 1 3 6 1 voi x> 2 

2 3 2 

x x m x x m x x 

2 

1 

Xét hàm số f ( x) 3x 6x 

1 

với x . Ta có f '( x) 6x 6 0 x 1( tm). 

2 

Đồ thị: 

a 

a 

19

Quan sát đồ thị ta thấy, để bất phương trình có tập nghiệm chỉ chứa hai giá trị nguyên thì tập nghiệm của 

1 

bất phương trình phải là ; với 

2 b 

2 b 3 

 

Đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số y f ( x) 

2 b 3. 

f (2) m f (3) 1 m 10. 

Vậy 

m 

 

2;3;...;10 

Chọn D. 

Câu 37: 


 

hay có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. 

tại duy nhất 1 điểm có hoành độ thỏa mãn 

Rút z theo w và thay vào điều kiện mô đun bằng 2 2 để tìm tập hợp điểm biểu diễn w. 


Ta có: w (1 i)( z 1) i w (1 i) z 1 

2 i. 

 

 

1 i z w 2i 1 1 i z w 2i 

1 

w 1 2i 2.2 2 w 1 2i 

4. 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn w là đường tròn tâm I(1;-2), bán kính R = 4 hay a + b + R = 3. 

Chọn D. 

Câu 38: 


( P) ( Q) 

d 

 

( P) a d ( P);( Q) ( a; b). 

 

( Q) 

b d 

Sử dụng công thức khoảng cách 



h 

3 V . 

S 

20

BC a 

Gọi D là trung điểm BC HD BD; HD . 

2 2 

BC 

HD 

Lại có BC ( SHD) 

BC SD 

BC 

SH 

Ta có 

( SBC) ( ABC) 

BC 

 

HD BC, 

SD BC 

 

0 

( SBC);( ABC) ( HD; SD) SDH 

60 . 

Xét tam giác SHD vuông tại H có 

Suy ra 

S 

SBC 

2 

1 a 

. SD . BC 

2 2 

Ta có 

HD a 1 

SD : a 

cos SDH 2 2 

1 3V 

3a 

V d A,( SBC) . S d( A,( SBC)) 6 a. 

3 

S. 

ABC 

S. ABC 

ABC 

3 

3 

SSBC 

a 

Chọn D. 

Câu 39: 


- Dựng hình chiếu của O lên O’MN và tâm đáy hình nón. 

- Diện tích xung quanh hình nón S Ri với R là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh. 



2 

Gọi K là trung điểm của MN, H là hình chiếu của O lên 'OK, I là hình chiếu của H lên O’O. 

21

Dễ thấy MN ( OKO ') MN OH. 

Do đó OH ( O ' MN). 

r 3 3r 

Ta có: OMN đều cạnh r nên OK , mà OO ' 

2 

2 

r 3 3r 

. 

OK. OO ' 2 2 3r 

OH . 

2 2 2 2 

OK O ' O 3r 9r 

4 

 

4 4 

Lại có 

2 

2 2 O ' O 3r 

3 

O ' K O ' O OK r 3, O ' H . 

O ' K 4 

3r 

3 

HI O ' H 4 3 3 3 r 3 3r 

3 

HI OK . . 

OK O ' K r 3 4 4 4 2 8 

Diện tích xung quanh 

Chọn A. 

Câu 40: 


S 

xq 

2 

3r 3 3r 9 3 

r 

. HI. OH . . . 

8 4 32 

Mặt phẳng (P) chứa d 1 và song song với d 2 thì đi qua 

M d 1 

và có 1 VTPT là 

 

n u ; u 

 

d1 d 2 

Thay tọa độ các điểm ở mỗi đáp án vào phương trình mặt phẳng (P) để chọn đáp án. 


x y 1 z 2 

 

Đường thẳng d : đi qua M(0;1;2) và nhận u (2; 1;1) 

làm 1 VTCP. 

2 1 1 

 

 

Có AB ( 1;2;1), 

suy ra u, AB 

(3;3; 3) / /(1;1; 1) 

Vì mặt phẳng (P) chứa d và song song với AB nên (P) đi qua M(0;1;2) và nhận (1;1;-1) là 1 VTPT. 

Suy ra phương trình mặt phẳng ( P) : x y 1 ( z 2) 0 x y z 1 0. 

Lần lượt thay tọa độ các điểm M; N; P; Q ở mỗi đáp án vào phương trình ( P) : x y z 1 0. 

Ta thấy điểm P(6;-4;3) có tọa độ thỏa mãn phương trình x + y – z + 1 = 0 do 6-4-3+1 = 0 nên P ( P). 

Chọn C. 

Câu 41: 


- Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên BC. 

 

u 

u BC 

- Tìm tọa độ điểm G và viết phương trình , chú ý ( ABC) 

. 

u 

AH 



 

22

x 

1 

t 

 

BC: y 2 t uBC 

( 1;1;2) là 2VTCP của BC. 

z 

2t 

 

Xét (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc BC nên (P) qua A(6;3;5) và nhận u ( 1;1;2) 

làm 1 

VTPT ( P) : 1( x 6) 1( y 3) 2( z 5) 0 x y 2z 

7 0 

H là hình chiếu của A lên BC thì 

H BC ( P) 

hay tọa độ của H thỏa mãn hệ phương trình: 

x 

1 

t 

y 

2 t 

(1 t) 2 t 2.2t 7 0 6t 6 0 t 1 H (0;3;2) 

z 

2t 

x y 2z 

7 0 

2 

 

xG 

6 (0 6) 

3 

xG 

2 

2 

2 

Lại có AG AH yG 

3 (3 3) yG 

3 G(2;3;3). 

3 3 

z 3 

2 

G 

 

 

 

zG 

5 (2 5) 

3 

 

Điểm AH ( 6;0; 3), uBC 

( 1;1;2) AH, u 

BC 

(3;15; 6). 

1 

Đường thẳng đi qua G(2;3;3) và nhận AH, u BC 

 

x 

(1;5; 2) 

làm VTCP 

2 y 3 z 3 

3 

: . 

1 5 2 

1 2 2 3 5 3 

Kiểm tra mỗi đáp án ta thấy chỉ có điểm Q vì 1 

1 5 2 

Chọn D. 

Câu 42: 


Gắn hệ trục tọa độ Oxyz 

Xác định khoảng cách giữa đường thẳng d 1 đi qua M 1 và có VTCP u 

1 

và đường thẳng d 2 đi qua M 2 và 

 

có VTCP u M1M 

2. u1; 

u 

2 

2 

là d 

u1; 

u 

2 



BC 

23

Gắn hệ tọa độ với B O(0;0;0), BC Ox, BA Oy, BB ' Oz. 

3a 

Vì BB ' AA' ; AB 2 3 a; 

BC a nên ta có tọa độ 

2 

3 

B(0;0;0), B ' 0;0; , C(1;0;0), A(0;2 3;0), C '(1;0;2 3) 

2 

 

Từ đó đường thẳng AC’ đi qua A (0;2 3;0) và có VTCP AC ' (1 2 3;2 3) 

3 

Đường thẳng B’C đi qua C(1;0;0) và có VTCP B ' C 1;0; 

 

2 

 

 

Suy ra AC (1; 2 3;0), AC '; B ' C 

 

(3 3;3;2 3) 

 

AC '. AC '; B ' C 

3 3 3.( 2 3) 2 3.0 3 3 3 

Nên d( AC '; B ' C) 

 

 

2 2 2 

AC '; B ' C (3 3) 3 (2 3) 4 3 4 

 

Vậy khoảng cách cần tìm là 3 a 

. 

4 

Chọn C. 

Câu 43: 


- Rút m theo x từ phương trình đã cho. 

- Biến đổi, đặt ẩn phụ đưa về phương trình m f ( t) 

thích hợp và sử dụng phương pháp hàm số đề tìm 

điều kiện của m. 


( m 1) x ( m 2) x x 2 1 x 

2 1 

Ta có: 

Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên với 

 

2 2 2 

mx x m x x x x x 

 

 

 

 

1 2 1 1 

 

m x x x 2 1 ( x 2 1) 2 x( x 2 1) x 

2 

1 2 

1 3 

m x x x x x 


x 0 

ta có: 

24

2 2 

2 

2 x 1 x 1 

2 

x 1 

x x 1 

x 

m x 

 

1 

1 

 

2 2 

x x x x x x 

1 1 

Đặt t x 2. x. 2 t 2. 

x 

x 

 

Khi đó 

Xét 

m 

2 2 

( t 1) t 2t 

1 

 

t 1 t 1 

2 

t 2t 

1 

f ( t) , t 2 

t 1 

f '( t) 0, x 

 

2; 

 

có 

 

x 

 

 

 

1 

x 1 

x 

 

 

2 

 

2 3 

t 1 

t t 

 

 

2; 

f '( t) 0 

2 

( t 1) 

t 3 

 

 

 

2; 

 

nên hàm số đồng biến trên 

 

2; . 

f ( t) f ( 2) 7 5 2 min f ( t) 7 5 2 và lim f ( t) 

 

2; 

t 

 

Để phương trình m f ( t) 

có nghiệm thuộc 

 

2; thì m min f ( t) 7 5 2 . 

2; 

Mà m m Z m 

Chọn A. 

Câu 44: 


( 1;7), 1;2;3;4;5;6 . 

Lập BBT của hàm số 

 

k( x) f ( x) g( x) 

từ đó tìm số cực trị của hàm số y k( x) 

m 

Sử dụng nhận xét: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số 

số 

f ( x) 


 

 

y f ( x) 

m 

m và số nghiệm đơn (hay bội lẻ) của phương trình f ( x) m 0 

bằng tổng số điểm cực trị của hàm 


25

Ta có hàm số f ( x) 

có 1 điểm cực trị x x0 

và g(x) có 1 điểm cực trị x x0 

nên suy ra 

f '( x ) 0; g '( x ) 0 

0 0 

Xét hàm số h( x) f ( x) g( x) h '( x) f '( x) g '( x), 

khi đó h '( x) 0 f '( x) g '( x) 0 x x0 

Lại có 

7 

h( x0 ) 0 f ( x0 ) g( x0 

) 

4 

Từ đồ thị hàm số ta thấy 

(theo giả thiết) 

f ( x ) g( x ); f ( x ) g( x ) 

1 1 2 2 

x 

x 

h( x) 0 f ( x) g( x) 0 f ( x) g( x) 

 

x 

x 

Bảng biến thiên của hàm số 

h( x) 

là 

1 

2 

nên 

x 

x 

+ 

h'( x) 

- 0 + 

h( x ) + 

+ 

o 

7 

4 

Từ đó ta có BBT của hàm số k( x) f ( x) g( x) 

x x1 

x0 

x2 

+ 

k '( x) 

- 0 + 0 - 0 + 

k( x) 

7 

+ 

r + 

4 

0 0 

Từ BBT ta thấy hàm số y k( x) 

có ba điểm cực trị nên hàm số y k( x) 

m cũng có 3 điểm cực trị. 

Nhận thấy số điểm cực trị của hàm số 

số nghiệm đơn (hay nghiệm bội lẻ) của phương trình k( x) m 0 

y k( x) 

m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y k( x) 

m 

Suy ra để hàm số y k( x) 

m có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình k( x) m 0 k( x) 

m 

có 

hai nghiệm đơn (hay bội lẻ). Từ BBT ta có 

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn. 

Chọn B 

Câu 45: 



7 7 

m 

m mà m Z, m( 5;5) m4; 3; 2 

4 4 

- Cộng cả hai vế với 2 y đưa phương trình dạng f ( u) f ( v) 

với u, v là các biểu thức ẩn x, y. 

26

- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm y f ( t) 

suy ra mối quan hệ u, v dẫn đến mối quan hệ 

của x, y. 

x 

-Đánh giá GTNN của và kết luận. 

y 


Ta có: 

y 

2 y 2x log x 2 

2 

 

y1 

 

y y y y1 

2 y 2 2x 2 log 

2( x 2 ) 

2.2 y 2( x 2 ) log ( x 2 ) 

y y 1 y1 

2 

2.2 log 2 2( x 2 ) log ( x 2 ) 

Đặt 

y y y 1 y 1 

2 2 

f ( t) 2t log 2 

t 

 

với t > 0 thì (*) là 

f 

(*). 

y 

y1 

(2 ) f ( x 2 ) 

Có f '( t) 2 1 0, t suy ra hàm số ( ) đồng biến trên 

t ln 2 

f (2 ) f ( x 2 ) 2 x 2 

y y 1 y y1 

y1 

y1 y1 y1 x 2 

2.2 x 2 x 2 g( y). 

y y 

y1 

2 

Xé hàm g( y) 

trên 0; 

có: 

y 

y1 y1 y1 

2 . y ln 2 2 2 ( y ln 2 1) 

 

 

g '( y) 0 

2 2 

y 

y 

1 

y log 

ln 2 


2 

e 

y 0 log2 

e 

f t 0; 

g '( y) 

- 0 + 


g( y ) + 

 

 

eln 2 

Do đó g( y) , y 

0 hay 

2 

x eln 2 

min . 

y 2 

log2 

e1 

e 

Dấu “=” xảy ra khi y log2 

e x 2 . 

2 

Chọn C. 

eln 2 

2 

27

Câu 46: 


Biến đổi rồi lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm ra hàm 

Chú ý f '( x) dx f ( x) 

C 


Ta có 2 f ( x) 1 x 2 f '( x) 2x1 f ( x) 

 

 

 

 

2 

2 f ( x). f '( x) f '( x)(1 x ) 2 x.(1 f ( x)) 

 

2 

2 f ( x). f '( x) ( x 1) f '( x) 2 x(1 f ( x)) 

 

( ) 

' 

( 1)( ( ) 1) 

' 

2 2 

f x x f x 

Lấy nguyên hàm hai vế ta được 

Lại có f (1) 11 (1 1).2 C C 1 

Nên 

2 2 

f x x f x 

( ) ( 1)( ( ) 1) 1 

2 2 2 

f ( x) x f ( x) x f ( x) 

f x x f x x f x 

 

2 2 

( )( ( )) ( ) 0 

 

2 

x f ( x) ( f ( x) 1) 0 

Suy ra 

1 1 

2 1 

f ( x) dx x dx . 

 

 

0 0 

3 

f ( x) 

2 2 

f ( x) ( x 1)( f ( x) 1) 

C 

f ( x) 1( ktm) 

f x x tm 

2 

( ) ( ) 

Chọn C. 

Câu 47: 


Đặt z x yi thay vào điều kiện bài cho tìm mối quan hệ x; y. 

rồi tính tích phân. 

- Thử đáp án, tìm x; y từ mỗi đáp án và thay vào H xem giá trị của H ở đáp án nào nhỏ nhất thì chọn. 


Đặt z x yi( x, y R) 

thì 

x yi 2 i x yi 2 5i 

( x 2) ( y 1) ( x 2) ( y 5) 

2 2 2 2 

2 2 2 2 

x x y y x x y y 

4 4 2 1 4 4 10 25 

8x 8y 24 0 x y 3. 

Đáp án A: 


x y 3 x 

3 

H 1. 

2x y 6 y 

0 

28

Đáp án B: 

Đáp án C: 

Đáp án D: 

 

x y 3 

x 3 5 

 

H 0,89... 

 

2x y 6 5 

y 5 

 

x y 3 

x 5 

 

H 0,96... 

 

2x y 3 5 

y 3 5 

 

x y 3 

x 3 5 

 

H 1, 29... 

 

2x y 6 5 

y 5 

Chọn B. 

Câu 48: 


Sử dụng phân chia khối đa diện để tính thể tích A.BMPN 

Sử dụng tỉ lệ thể tích: Chóp tam giác S.ABC có M, N, P bất kì thuộc cạnh SA, SB, SC suy ra 

VS . MNP 

SM SN SP 

. . 

V SA SB SC 

S. 

ABC 

1 

Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V h . S 

3 


Trong (ABCD) kéo dài BN cắt AD tại F. 

Trong (SAD) có MF SD { P} 

BC CN 1 

Vì BC / / BF DF 

ND 

3 

DF 3BC DF AD 


SP 2 

Xét tam giác SAF có FM, SD là hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm SAD 

. 

SD 3 

( BC AD). 

h 

Ta có S 

ABCD 

 

2 a. 

h (với BC = a; h là chiều cao hình thang) 

2 

1 1 1 1 1 

Ta có SBCN 

d( N, BC). BC a. . h ah S 

ABCD 

2 2 4 8 16 

29

1 1 3 9 9 

Tương tự ta có S 

AND 

d( N; AD). AD .3 a. 

h ah S 

ABCD 

2 2 4 8 16 

1 9 3 

Suy ra S 

ABN 

S 

ABCD 

SBCN S 

ADN 

S 

ABCD 

S 

ABCD 

S 

ABCD 

S 

ABCD 

16 16 8 

1 1 1 3 3 

Từ đó VABCD 

d ( S ;( ABCD )). S 

ABCD 

1 và VS . BAN 

. d( S;( BAN)). SBAN d( S;( ABCD)). 

S 

ABCD 

 

3 

3 3 8 8 

1 1 9 9 

VS . ADN 

d( S;( ADN)). S 

ADN 

d( S;( ABCD)). 

S 

ABCD 

 

3 3 16 16 

VS . MBN 

SM 1 1 

1 3 3 

Lại có VS . MBN 

VS . ABN 

suy ra VA . MBN 

. . 

V SA 2 2 

2 8 16 

S. 

ABN 

VS . MPN 

SM SP 1 2 1 2 2 9 3 

Và . . VA . MPND 

. VS . ADN 

. . 

V SA SD 2 3 3 3 3 16 8 

S. 

ABN 

1 1 1 9 3 3 

VP. 

ADN 

d P,( ADN) . S 

ADN 

. d( S;( ABCD)). 

S 

ABCD 

VABCD 

 

3 3 3 16 16 16 

3 3 3 

Suy ra VA . MNP 

VA . MNDP 

VP. 

AND 

 

8 16 16 

3 3 3 

Từ đó VA . MBNP 

VA . MNB 

VA . MNP 

. 

16 16 8 

Chọn A. 

Câu 49: 


- Trên tia đối của tia Oz lấy điểm P sao cho OP = AN. 

- Tính diện tích tam giác IMN và tìm GTNN của diện tích. 



Gọi A(4 3 t;3 4 t;0) 

d 

 

Do OA d nên OAu . 0 (4 3 t).( 3) (3 4 t).4 0.0 0 t 0 A(4;3;0) 

d 

Trên tia đối của tia Oz lấy điểm P sao cho OP = AN. 

Có OIP AIN( c. g. c) IP IN. 

30

Xét tam giác IMP 

và IMN 

có: 

IP = IN (cmt) 

MP = MO + OP = MO + AN = MN 

1 

Do đó IMP 

IMN ( c. c. c) 

suy ra SIMN 

SIMP 

IO. 

MP 

2 

S IMN 

Dễ thấy 

đạt GTNN khi MP đạt GTNN. 

AN ( MOA) 

AN MA 

 

 

nên 

2 2 2 2 

MP MN MA AN 

2 2 

2 2 2 2 2 MO AN MN 

 

MO OA AN MO AN 

25 2 

25 25 

2 2 

2 

2 MN 

2 

MN 25 MN 50 MN 5 2 hay MP 5 2 

2 

Dấu bằng xảy ra khi 

VTPT 

MO 5 2 5 2 

AN MO MP 0;0; . 

2 M 

 

2 

 

của mặt phẳng (M,d) là 

 

 

15 

MA, u d 

 

 

2 

 

10 2; ;25 hay MA, u d 

(4;3;5 2) 

2 5 

Chọn A. 

Câu 50: 


n( A) 

Sử dụng công thức tính xác suất P( A) 

với n(A) là số phần tử của biến cố A và n 

là số phần 

n( ) 

tử của không gian mẫu. 


8 

+ Số cách chọn ra số có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 là 9 . 

Từ đó số phần từ của không gian mẫu là 

n 

8 

( ) 9 . 

4 

+ Số cách chọn ra 4 chữ số khác nhau trong 7 số 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 là C 7 

cách 

8! 

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 2, 2 chữ số 1 và 4 chữ số đôi một khác nhau thành số có 8 chữ số là 

2!2! 

+ Cách chọn ra số có 8 chữ số mà có đúng 2 chữ số 1, đúng 2 chữ số 2 và 4 chữ số còn lại đôi một khác 

4 8! 

nhau là C7 

. 2!2! 

+ Gọi A là biến cố “Lấy được đúng số có đúng 2 chữ số 1, đúng 2 chữ số 2 và 4 chữ số còn lại đôi một 

khác nhau đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau” 


Khi đó: A là biến cố “Lấy được đúng số có đúng 2 chữ số 1, đúng 2 chữ số 2 và 4 chữ số còn lại đôi 

một khác nhau đồng thời các chữ số giống nhau đứng liền kề nhau” 

TH1: 2 chữ số 1 đứng liền nhau coi là 1 số, 2 chữ số 2 đứng liền nhau coi là 1 số 

31

Như vậy có 

C 4 

.6! 7 

số thỏa mãn. 

TH2: 2 chữ số 1 đứng liền nhau coi là 1 số, 2 chữ số 2 không đứng liền kề nhau 

Số cách sắp xếp 2 chữ số 2 sao cho 2 chữ số 2 không đứng cạnh nhau là 

2 

C7 6 

Số cách sắp xếp 5 chữ số còn lại là 5! cách 

Số cách chọn ra số có 8 chữ số mà 2 chữ số 1 đứng liền nhau coi là 1 số, 2 chữ số 2 không đứng liền kề 

4 2 

nhau là C .5!( C 6) cách 

7 7 

Tương tự cách chọn ra số có 8 chữ số mà 2 chữ số 2 đứng liền nhau coi là 1 số, 2 chữ số 1 không đứng 

4 2 

liền kề nhau là C 5!( C 6) cách 

7 7 

n A C .6! 2. C .5!( C 6) 

Suy ra 

4 4 2 

7 7 7 

4 8! 

Suy ra n( A) C7 

. n( A) 201600 cách. 

2!2! 

n( A) 201600 

Xác suất cần tìm là P( A) . 

2 

n( ) 9 

Chọn D. 

cách 


32





Câu 1: Hàm số nào dưới đây có tập xác định là khoảng 0; ? 

1 

A. y x 2 

x 

3 

B. y ln( x 1) 

C. y e 

D. y x x 

 

Câu 2: Tích vô hướng của hai véc tơ a( 2;2;5), b(0;1;2) 

trong không gian bằng 

A. 14 B. 13 C. 10 D. 12 

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) x sin 2x 

là 

2 

2 

x 

x 1 

A. cos 2x 

C B. cos 2 

2 1 

x C C. x cos 2 x C D. 

2 

2 2 

2 

Câu 4: Tìm nghiệm của phương trình log 

3( x 9) 3. 

 

 

2 

x 1 

cos 2 x C 

2 2 

A. x = 36 B. x = 27 C. x = 18 D. x = 9 

x 1 y 1 z 2 

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 

1 2 3 

phẳng ( P) : x y z 4 0. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng? 

A. d cắt (P) B. d//(P) C. d ( P) 

D. d ( P). 

và cho mặt 

2 2 2 

Câu 6: Mặt phẳng nào dưới đây cắt mặt cầu ( S) : x y z 2x 2y 4z 

3 0 theo thiết diện là 

một đường tròn? 

A. x 2y 2z 

6 0 B. x y z 0 C. Cả 3 đều sai. D. x 2y 3z 

3 0 

1 3 

Câu 7: Giá trị cực tiểu của hàm số y x x 1 

là 

3 

1 

5 

A. 

B. -1 C. 

D. 1 

3 

3 

Câu 8: Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2 là 

8 

A. 8 B. 4 C. D. 6 

3 


3 

y x x 

3 2 

nghịch biến trên các khoảng nào dưới đây? 

1; 

1; 

 

A. ; 1 và B. 

C. (-1;1) D. ; 1 1; 

 

Câu 10: Mệnh đề nào sau đây sai? 


x 

x a 

A. a dx C,(0 a 1) 

B. 

ln a 

 

1 

dx ln x C, x 0 

x 

1

C. x x 

e dx e C 

D. sin xdx cos x C. 

Câu 11: Cho số phức z = 2-3i. Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là 

A. (2;-3) B. (2;3) C. (-2;-3) D. (-2;3) 

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D; cạnh bằng a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Thể 

tích của tứ diện OA’BC bằng 

3 

3 

3 

3 

a 

a 

a 

a 

A. B. C. D. 

12 

24 

6 

4 

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;2;3). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M cắt các trục 

tọa độ Ox; Oy; Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trong tâm của tam giác ABC là 

A. ( P) : 6x 3y 2z 

18 0 

B. ( P) : 6x 3y 2z 

6 0 

C. ( P) : 6x 3y 2z 

18 0 

D. ( P) : 6x 3y 2z 

6 0 

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(-3;0;0), 

B(0;4;0), C(0;0;-2) là 

x y z x y z x y z x y z 

A. 1 

B. 1 

C. 1 

D. 1 

3 4 2 3 4 2 

3 4 2 

3 4 2 

3 2 

Câu 15: Biết rằng đường thẳng y 2x 

3 cắt đồ thị hàm số y x x 2x 

3 tại hai điểm phân biệt 

A và B, biết điểm B có hoành độ âm. Hoành độ của điểm B bằng 

A. -2 B. 0 C. -1 D. -5 

1 

Câu 16: Cho số thực x thỏa mãn log x log 3a 2log b 3log 

2 

c( a, b, 

c là các số thực dương). Hãy 

biểu diễn x theo a, b, c. 

3 

c 3a 

3a 

3ac 

A. x B. x C. x 

D. x 

2 

2 3 

2 

b 

b c 

b 

Câu 17: Thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết 

3ac 

2 

b 


AB a; AD 2 a; AC ' a 14 

3 

3 

a 14 

3 

3 

A. V 6a 

B. V 

C. V a 5 D. V 2a 

3 

Câu 18: Cho lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Thể tích của khối cầu đi qua 

các đỉnh của lăng trụ bằng 

1 

2 2 

A. 3 

 

2 2 

4a 

b 

B. 4a 

3b 

3 

18 3 

18 3 

3 

là 

2

3 2 

C. 4 

3 

 

a b 

D. 

18 3 

18 2 

2 2 

4a 

3b 

3 

x 3 2 

Câu 19: Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là 

2 

x 1 

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 

Câu 20: Một kĩ sư được nhận lương khởi điểm là 8.000.000 đồng/tháng. Cứ sau 2 năm lương mỗi tháng 

của kĩ sư đó được tăng thêm 10% so với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) kĩ sư đó nhận 

được sau 6 năm làm việc. 

A. 635.520.000 B. 696.960.000 C. 633.600.000 D. 766.656.000 

Câu 21: Cho tứ diện ABCD có AB a, AC a 2, AD a 3, các tam giác ABC, ACD, ABD là các 

tam giác vuông tại đỉnh A. Khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là 

a 66 

a 6 

a 30 

A. d 

B. d 

C. d 

D. 

11 

3 

5 

a 3 

d 

2 

4 2 

Câu 22: Để đồ thị hàm số y x ( m 3) x m 

1 

có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất 

cả các giá trị thực của tham số m là 

A. m 3 

B. m < 3 C. m 3 

D. m > 3 

Câu 23: Nếu 

0 

 

2 

 

 

 

 

e dx a be 

 

 

 

2 

4 2 

thì giá trị của a + 2b là 

A. 12 B. 9 C. 12,5 D. 8 


1 

i 

z 

1 

i 


. 

Tính 

A. -1 B. i C. –i D. 1 

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;a;1) và mặt cầu (S) có phương trình 

2 2 2 

x y z 2y 4z 

9 0. Tập các giá trị của a để điểm A nằm trong khối cầu là 

 

A. ; 1 3; B. (-3;1) C. [-1;3] D. (-1;3) 

x 1 y 1 

z 

Câu 26: Cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng : . Gọi d là đường thẳng đi qua M, cắt 

2 1 1 

và vuông góc với . Đường thẳng d có một VTCP là 

 

 

 

 

A. u ( 3;0;2) 

B. u (0;3;1) C. u (0;1;1) D. u (1; 4; 2) 


Câu 27: Một hộp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một 

phần tư thể tích phía trên hộp được rải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate 

nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x x 0 

là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, 

khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị V 0 bằng 

z 4 . 

3

64 

A. V0 64( dvtt) 

B. V0 

( dvtt ) C. V0 16( dvtt) 

D. V0 48( dvtt) 

3 

Câu 28: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng 

( P) : x y z 2 0,( Q) : x y z 1 0 là 

A. x y z 3 0 B. x 2y z 0 C. x z 2 0 D. x y 2 0 

Câu 29: Bạn An cần mua một chiếc gương đường viền là Parabol bậc 2 (xem hình vẽ). Biết rằng khoảng 

cách đoạn AB = 60cm, OH = 30cm. Diện tích của chiếc gương bạn An mua là: 

3 

3 

3 

3 

A. 1000( cm ) B. 1400( cm ) C. 1200( cm ) D. 900( cm ) 

Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 

2 3 i,1 2 i, 3 i. 

Tọa độ điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành là 

A. Q(0;2) B. Q(6;0) C. Q(-2;6) D. Q(-4;-4) 

 

2 

sin x cos x a 

Câu 31: Nếu I dx ln c,( a, b, c Z) 

thì a 2b 3c 

là 

1 

sin 2x 

b 

 

4 

A. 13 B. 14 C. 9 D. 11 

Câu 32: Đường thẳng x k cắt đồ thị hàm số y log x và đồ thị hàm số y log ( x 4) . Khoảng 

 

5 

3 

1 

cách giữa các giao điểm là . Biết k a b, trong đó a, b là các số nguyên. Khi đó tổng a + b bằng 

2 

A. 7 B. 6 C. 8 D. 5 

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M cắt 

các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C khác gốc tọa độ. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện 

OABC. 

A. 18 B. 9 C. 6 D. 54 

Câu 34: Cho hai điểm A, B là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự z 1 , z 2 khác 0 và thỏa mãn 

2 2 

đẳng thức z z z z . Hỏi ba điểm O, A, B tạo thành tam giác gì? (O là gốc tọa độ). Chọn phương án 

1 2 1 2. 

đúng và đầy đủ nhất 


4

A. Vuông cân tại O B. Cân tại O C. Đều D. Vuông tại O. 

Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy; SA a 6. Đáy ABCD là hình thang vuông 

1 

tại A và B, AB BC AD a. 

Gọi E là trung điểm AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 

2 

S.ECD. 

a 30 

19 

A. R 

B. R a 

C. R a 6 D. R 

3 

6 

114 

a . 

6 

x 3 

Câu 36: Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số y tại 

x 1 

hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất? 

A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 1 

Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 

z 3 4i 

2. 

Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm biểu 

diễn số phức w 2z 1 

i là hình tròn có diện tích bằng 

A. S 25 

B. S 4 

C. S 16 

D. S 9 


cho phương trình 

3 3 

4 2 

3 2 

y x x x 

3 2 2 

4 3 6 6 

x x x m m 

có đồ thị như vẽ bên. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao 

có đúng ba nghiệm phân biệt là 

A.m = 0 hoặc m – 6 B. m < 0 hoặc m > 6 C. 0 < m < 3 D. 1 < m < 6 

x 

2 t 

x 2 y 1 

z 

Câu 39: Trong không gian Oxyz, cho d1 : , d2 

: y 

3 . Phương trình mặt phẳng (P) 

1 1 2 

z 

t 

sao cho d 1 ; d 2 nằm về hai phía (P) và (P) cách đều d 1 ; d 2 . 

A. ( P) : x 3y z 8 0 

B. ( P) : x 3y z 8 0 


C. ( P) : 4x 5y 3z 

4 0 

D. ( P) : 4x 5y 3z 

4 0 

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) và mặt phẳng 

( P) : x 2y 2z 

5 0. Đường thẳng (d) đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ 

 

b 

N đến đường thẳng d nhỏ nhất, Đường thẳng (d) có một VTCP là u (1; b; c) 

khi đó bằng 

c 

5

A. 11 

B. C. D. 

c b 11 

c b 3 

2 

c b 3 

2 

c 2 

Câu 41: Cho hàm số y f ( x) 

liên tục trên R và có đạo hàm 

Khẳng định nào dưới đây đúng ? 

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (10;11) và (12; ). 

B. Hàm số có ba điểm cực trị 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (10;12). 

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 1 và x = 3. 

Câu 42: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng 

4x 

m 

y 

x 1 

2 

tại đúng một điểm. Tích các phần tử của S bằng 

f x x x x 


'( ) ( 10)( 11) ( 12) . 

d : y x 1 

A. 5 

B. 4 C. 5 D. 20 


Câu 43: Kết quả (b; c) của việc gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp, trong đó b là 

số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ hai được thay vào 

2 

phương trình bậc hai x bx c 0. Xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm là 

7 

17 

23 

5 

A. B. C. D. 

12 

36 

36 

36 

Câu 44: Trên cánh đồng có 2 con bò được cột vào 2 cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc 

là 4 mét, còn 2 sợi dây cột 2 con bò dài 3 mét và 2 mét. Tính phần diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò 

có thể ăn chung (lấy giá trị gần đúng nhất). 

2 

2 

2 

A. 1,989m B. 1,034m C. 1,574m D. 2,824m 



4m 

3 

m 

y 

2 

2 ( ) 5 

f 

x 

 

f ( x) 

 

f 

2 

liên tục trên R, có đồ thị như hình vẽ. Các giá trị của tham số m để 

( x) 3 có ba nghiệm phân biệt là 


2 

37 

3 

37 

A. m 

B. m 

C. m 

D. m 

2 

2 

2 

3 2 2 3 

Câu 46: Cho hàm số y x 3mx 2( m 1) 

x m m (m là tham số). Gọi A, B là hai điểm cực trị 

của đồ thị hàm số và I(2;-2). Tổng tất cả các giá trị của m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác nội tiếp 

đường tròn có bán kính bằng 

5 

là 

37 

2 

6

20 

2 

4 

A. B. 

C. D. 

17 

17 

17 

Câu 47: Một thùng rượu có bán kính đáy là thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán 

kính là 40 cm, chiều cao thùn rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung 

quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích của thùng rượu (đon vị lít) là bao nhiêu? 

14 

17 

A. 425162 lít B. 212581 lít C. 212,6 lít D. 425,2 lít 

Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;2;-1), B(0;4;0), mặt phẳng (P) có 

phương trình 2x y 2z 

2017 0. Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng (P) một 

 

góc nhỏ nhất. (Q) có một véc tơ pháp tuyến là n( Q) (1; a; b), 

khi đó a + b bằng 

A. 4 B. 0 C. 1 D. -2 

Câu 49: Cho hình chóp .S ABC có các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy các góc bằng nhau và đều bằng 

0 

30 . Biết AB = 5; AC = 8; BC = 7, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 

35 139 

35 39 

35 13 

A. d 

B. d 

C. d 

D. d 

13 

52 

52 

35 13 

26 

2017 2018x 

Câu 50: Cho hàm số f ( x) 

có đạo hàm trên R thỏa mãn f '( x) 2018 f ( x) 2018.2017. x . e với 

mọi x R; f (0) 2018. Giá trị của f (1) là 

2018 

A. f (1) 2018e 

2018 

 

B. f (1) 2019e 

2018 

 

C. f (1) 2018e 

D. 



f (1) 2019e 

1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.B 7.C 8.A 9.A 10.D 

11.B 12.A 13.C 14.B 1.C 16.D 17.A 18.B 19.C 20.A 

2018 

7

21.A 22.C 23.D 24.D 25.D 26.D 27.D 28.D 29.C 30.C 

31.D 32.B 33.B 34.C 35.B 36.B 37.C 38.A 39.A 40.B 

41.C 42.D 43.B 44.A 45.C 46.A 47.D 48.B 49.B 50.D 

Câu 1: 


 

Hàm số y x ( a 0) với không là số nguyên có tập xác định D (0; 

x 

Hàm số y a ( a 0) có TXĐ: D = R. 

Hàm số 


y ln x xác định trên TXĐ: D (0; ). 

1 

Hàm số y x 2 có TXĐ D (0; ). 

Hàm số 

y ln( x 1) 

có TXĐ 1; 

 

x 

Hàm số y e có TXĐ D = R. 

3 

Hàm số y x x có TXĐ D = R. 

Chọn A. 

Câu 2: 


 

a a ; b ; c , b a ; b ; c : ab a b a b a b . 

Công thức tính tích vô hướng của hai véctơ 


 

a. b 2.0 2.1 5.2 12. 

Chọn D. 

Câu 3: 




2 

x 1 

Ta có: ( x sin 2 x) dx cos 2x C 

2 2 

Chọn B. 

Câu 4: 


f ( x) 0 

Phương trình log 

a 

f ( x) m . 

m 

f ( x) 

a 


 

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3 3 

n1 

n x 

1 

x dx C( n 1), sin( ax b) dx cos( ax b) 

C 

n 1 

 

ax b 


8

x 

9 0 x 

9 

Ta có: log 

3( x 9) 3 x 36. 

3 

x 

9 3 x 

36 

Chọn A. 

Câu 5: 


Đường thẳng d đi qua M có VTCP u , mặt phẳng (P) có VTPT n 

. 

 

 

u. n 0 

Nếu thì d ( P). 

M ( P) 


x 1 y 1 z 2 

 

Đường thẳng d : đi qua M(1;1;2) và có VTCP u (1;2; 3) 

1 2 3 

 

Mặt phẳng ( P) : x y z 4 0 có VTPT n (1;1;1) 

 

Ta thấy u. n 1.1 2.11.( 3) 0 (1) 

Thay tọa độ điểm M(1;1;2) vào mặt phẳng ( P) 

ta được 11 2 4 0 M ( P) 

(2) 

Từ (1) và (2) suy ra d ( P). 

Chọn C. 

Câu 6: 


Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R theo một đường nếu 0 d( I;( P)) R. 


Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và bán kính R 11 4 3 3. 

Đáp án A: 

Đáp án B: 

tròn. 

Đáp án D: 

Chọn B. 

Câu 7: 


Nếu 

1 2.1 2.2 6 13 

d( I,( P)) 3 

2 2 2 

1 2 2 3 

11 

2 2 

d( I,( Q)) 3 

2 2 2 

1 2 2 3 

nên mặt phẳng không cắt mặt cầu. 

nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường 

1 2.1 3.2 3 12 

d( I,( R)) 4 3 nên mặt phẳng không cắt mặt cầu. 

2 2 2 

1 2 2 3 

f '( x0 

) 0 

 

f ''( x0 

) 0 



thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số 

y 

f ( x). 

9

Ta có TXĐ: D = R. 

2 x 

1 

y ' x 

1 0 

x 

1 

y '' 2 x y ''(1) 2 0; y ''( 1) 2 0 

y 

'( 1) 0 

Suy ra 

y 

''( 1) 0 

Chọn C. 

Câu 8: 


nên x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số, suy ra giá trị cực tiểu là 

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a là V a 3 . 


3 

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 2 là V 2 8. 

Chọn A. 

Câu 9: 


Hàm số y f ( x) 

có f '( x) 0 với x K thì y f ( x) 

nghịch biến trên K. 


TXĐ: D = R. 

Ta có: 

Xét 

y 

2 

' 3x 

3 

2 2 x 

1 

y ' 0 3x 3 0 x 3 0 

x 

1 

Nên hàm số nghịch biến trên ( ; 1);(1; ). 

5 

y( 1) . 

3 

Chọn A. 

Câu 10: 


Sử dụng các công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản và nhận xét tính đúng sai của từng đáp án. 


Đáp án A : đúng. 

Đáp án B : đúng. 

Đáp án C : đúng. 

Đáp án D : 

 

Chọn D. 

Câu 11: 



sin xdx cos 

x C 

nên D sai. 

Số phức liên hợp của số phức z a bi( a; b R) 

có số phức liên hợp z a bi. 

10

Số phức liên hợp của số phức 


Số phức liên hợp của số phức 

z a bi( a; b 

R) 

z 2 3i 

là z 2 3i 

có điểm biểu diễn M(a;b). 

Điểm biểu diễn số phức z 2 3i 

là M(2;3). 

Chọn B. 

Câu 12: 


1 

Thể tích khối chóp V Sh với S là diện tích đáy, h là chiều cao. 

3 


Tứ diện O.A’BC là chóp tam giác A’.OBC có chiều cao h = A’A = a. 


S 

OBC 

2 

1 a 

S 

ABCD 

. 

4 4 

2 3 

1 1 a a 

Thể tích VOA ' BC 

SOBC. A' A . . a . 

3 3 4 12 

Chọn A. 

Câu 13: 


Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : 

Mặt phẳng (P) cắt Ox; Oy; Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) 

( P) : x y z 1. 

a b c 

Sử dụng công thức trọng tâm : M là trọng tâm 

ABC 


Theo đề bài ta có : A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c)( a; b; c 0) 

Vì M là trọng tâm 

ABC 

thì 

thì 

 

x 

 

y 

 

 

z 

 

M 

M 

M 

 

xA xB xC 

 

3 

y y y 

 

3 

zA zB zC 

 

3 

xA xB xC 

a 

xM 

 

1 

3 

 

3 

a 

3 

yA yB yC 

b 

yM 

2 b 

6 

3 3 c 

9 

zA zB zC 

c 

zM 

 

3 

3 

 

3 

A B C 

a; b; c 0 


 

thì có phương trình 

11

Suy ra A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). 

Chọn C. 

Câu 14: 


Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c) 

với abc 0 là 

x y z 1. 

a b c 


x y z 

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(-3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;-2) là 1. 

3 4 2 

Chọn B. 

Câu 15: 


Giải phương trình hoành độ giao điểm để tìm hoành độ. 



2 

2 

x 

0 x 

0 y 3 

x ( x 1) 0 

. 

x 

1 0 x 

1 

y 5 

3 2 3 2 

x x 2x 3 2x 3 x x 0 

Vì B có hoành độ âm nên B(-1;-5) hay hoành độ của B là x 1. 

Chọn C. 

Câu 16: 


Thu gọn vế trái, biến đổi đẳng thức về dạng log x log y x y. 


1 2 

Ta có: VP log 3 x 2log b 3log c log 3 a log b log c 

2 

log 

3 a . c 3 

log 

ac 

2 2 

b 

b 

3 3 


3 3 

3ac 

3ac 

Vậy log x log x . 

2 2 

b 

b 

Chọn D. 

Câu 17: 


Sử dụng định lý Pytago để tính chiều cao AA’ 

Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là V = abc. 


3 

12

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chũ nhật nên A' B ' AB a; B ' C ' AD 2 a. 

Xét tam giác A’B’C; vuông tại B’ ta có 

A C A B B C a a a 

2 2 2 2 

' ' ' ' ' ' (2 ) 5 

Xét tam giác AA’C’ vuông tại A’ ta có 

AA AC A C a a a 

2 2 2 2 

' ' ' ' 14 5 3 . 

3 

Thể tích khối hộp chữ nhật là VABCD. A' B' C ' D' AB. AD. AA' a.2 a.3a 6 a . 

Chọn A. 

Câu 18: 


- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ (trung điểm đoạn nối tâm). 

4 3 

- Tính bán kính theo Pitago suy ra thể tích V R . 

3 



Gọi O, O’ lần lượt là tâm đáy, I là trung điểm của OO’ thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và bán 

kính R = IA’. 

Ta có: 

2 2 a 3 a 3 1 b 

A' O ' A' M ' . ; IO ' OO ' 

3 3 2 3 2 2 

13

Do đó 

2 2 b a 4a 3b 

IA' IO ' A' O ' 

4 3 12 

Thể tích khối cầu V 

Chọn B. 

Câu 19: 


Tìm ĐKXĐ 

2 2 2 2 

2 2 

2 a b 

 

4 4 4 3 4 

 

IA . 

4a 3b 4a 3b 

3 3 2 

3.12 12 18 3 

2 2 2 2 

 

3 3 


là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f ( x) 

nếu một trong các điều kiện sau được 

thỏa mãn 

lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) ; lim f ( x) 

 

 

xx0 xx0 xx0 xx0 


TXĐ: x 3; x 1; x 1. 

x 3 2 x 3 2 

x 

 

 

x 3 2 1 

+) lim lim lim 

x1 2 

x 1 x1 x1 

x 3 2 ( x 1)( x 1) x 3 2 ( x 1)( x 1) 

1 1 

lim 

 

x1 

x 3 2 ( x 1) 

8 

 

 

nên x = 1 không là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho. 

x 3 2 

+) lim 

nên x= -1 là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho. 

2 

x( 1) 

x 1 

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = -1. 

Chọn C. 

Câu 20: 


- Chia thành các giai đoạn 2 năm và tính lương nhận được của người đó trong khoảng thời gian đó. 

- Cộng các kết quả ta được đáp án. 


+ Hai năm đầu : người đó nhận được 2.12.8 192 


+ Hai năm tiếp: người đó nhận được 2.12.(8 8.10%) 211,2 triệu đồng. 


 

+ Hai năm cuối : người đó nhận được 2.12. 8 8.10% (8 8.10%).10% 232,32 triệu đồng. 

Vậy sau 6 năm người đó đã nhận được 192 + 211,2 + 232,32 =635,52 triệu đồng hay 635.520.000 đồng. 

Chọn A. 

Câu 21: 


 

14

Chỉ ra ABCD là tứ diện vuông (tức AB, AC, AD đôi một vuông góc) Khi đó sử dụng công thức tính 

chiều cao từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) là d thì 1 1 1 

1 . 

2 2 2 2 

d AB AC AD 


Vì các tam giác ABC, ACD, ABD là các tam giác vuông tại đỉnh A nên AB AC, AC AD, 

AD AB 

hay AB, AC, AD đôi một vuông góc nên khoảng cách từ A đến (BCD) là d thì 

1 1 1 1 

 

2 2 2 2 

d AB AC AD 

1 1 1 a 66 

d 

2 2 2 

a 2a 3a 

11 

Chọn A. 

Chú ý : 

1 1 1 1 

Ta có thể chứng minh công thức khoảng cách 

d AB AC AD 

+ Vì AB AC, AC AD, 

AD AB nên AD ( ABC) 

AD BC 

2 2 2 2 

+ Trong ABC 

kẻ AK BC , lại có AD BC BC ( AKD) 

như sau: 

+ Trong (AKD) kẻ AH DK mà AH BC( doBC ( ADK)) AH ( BCD) 

Suy ra d(A,(BCD)) = AH. 

+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC và ADK có 1 1 1 1 1 

1 

2 2 2 2 2 2 

AH AD AK AD AC AB 

Hay 1 1 1 

1 . 

2 2 2 2 

d AB AC AD 

Câu 22: 


4 2 

Hàm số y ax bx c( a 0) có cực đại mà không có cực tiểu nếu a < 0 và phương trình y’ = 0 có 

nghiệm duy nhất x 0. 


Ta có: 


y x m x 

x m 

3 2 

' 4 2( 3) 2 2 3 

 

 

15

2 

Yêu cầu bài toán thỏa 2x 

m 3 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x 0. 

m 3 0 m 3. 

Chọn C. 

Câu 23: 

Phƣơng pháp 

b 

axb 

1 axb 

b 

Sử dụng công thức nguyên hàm e du e C và f ( x) dx F( x) F( b) F( a) 

với là 

a 

F( x) 

a 

một nguyên hàm của hàm số f ( x). 


Ta có: 

0 

 

2 

x 

x 

0 

2 2 

4 e dx 4x 2e 2 ( 8 2 e) 10 2e 

2 

Suy ra a 10; b 1 a 2b 

10 2.( 1) 8. 

Chọn D. 

Câu 24: 


4 

Thu gọn số phức z rồi suy ra z . 


Ta có : 


1 i (1 i)(1 i) 2i 1 

i 

i z i 

1 i 11 2 1 

i 


 

4 2019 4 

z i i 

1. 

Chọn D. 

Câu 25: 


Điểm A nằm trong khối cầu (S) tâm I bán kính R khi IA < R. 


2 2 2 

Mặt cầu ( S) : x y z 2y 4z 

9 0 có tâm I(0;1;-2) và bán kính 

R 

2 2 2 

0 1 ( 2) ( 9) 14 

Để A nằm trong khối cầu thì 

 

2 

( a 1) 4 2 a 1 2 1 a 3. 



2 2 2 2 2 

IA R IA R 1 ( a 1) 3 14 

Chọn D. 

Câu 26: 


- Gọi tọa độ giao điểm của d với theo tham số t. 

 

- Sử dụng điều kiện . 

d ud u 0 

tìm t và suy ra VTCP của d. 

a 

16


Gọi N(1 2 t; 1 t; t) 

d 

 

Do d nên MN u 

MN. u 

0 

 

 

Lại có MN (2t 1; t 2; t), u 

(2;1; 1) 

2 

2(2t 1) 1.( t 2) ( t) 0 6t 4 0 t 

3 

 

MN 1 4 2 

; ; 

 

hay 3 MN (1; 4; 2) 

cũng là một VTCP của d. 

3 3 3 

Chọn D. 

Câu 27: 


Thể tích khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là V = abc. 

Tính V’ rồi lập BBT để tìm giá trị lớn nhất của thể tích. 


ĐK: 0 x 6 

2 3 2 

Thể tích hộp kim loại là V x(6 x)(12 2 x) (6 x x )(12 2 x) 2x 24x 72x 

Đặt 

3 2 

f ( x) 2x 24x 72x 

2 x 

6 (0;6) 

Ta có: f '( x) 6x 48x 

72 0 

x 

2 (0;6) 

Ta có BBT của f ( x) 

trên (0;6) 

x 0 2 6 

f '( x ) + 0 - 

f ( x ) 

64 

0 0 

Vậy giá trị lớn nhất của V là 64 x 2. 

3 3 

Tuy nhiên thể tích chocolate nguyên chất chỉ chiếm nên V0 

.64 48 (đvdt). 

4 4 

Chọn D. 

Câu 28: 


 

Mặt phẳng (R) vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) thì có VTPT n( P) ; n 

( Q) 

 

. 


Mặt phẳng (P) có VTPT 


 

n( P) (1;1; 1), 

mặt phẳng (Q) có VTPT 

 

n( Q) (1; 1;1). 

17

Khi đó n( P) ; n 

( Q) 

 

(0; 2; 2) 2(0;1;1). 

1 

Mặt phẳng (R) đi qua A(1;1;1) và vuông góc với cả (P) và (Q) nên ta chọn n( R) n( P) ; n 

( Q) 

(0;1;1) 

2 

làm VTPT. 

( R) : 0( x 1) 1( y 1) 1( z 1) 0 hay ( R) : y z 2 0. 

Chọn D. 

Câu 29: 


Xác định phương trình Parabol 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x), 

trục hoành và hai đường thẳng x a; 

x b là 

b 

 

a 

f ( x) dx. 


Gắn hệ trục tọa độ sao cho OH Oy, OB Ox. 

Gọi phương trình Parabol 

Từ đó ta có 

2 

y ax bx c 

c 

30 

c 

30 

 

1 

900a 30b 30 0 a 

 

 

30 

900a 

30b 

30 0 

 

b 0 

Diện tích chiếc gương là 

ta có Parabol đi qua ba điểm H(0;30), B(30;0), A(-30;0). 

nên phương trình Parabol 

30 30 

1 2 1 2 1 3 

 

30 30 

Chọn C. 

Câu 30: 


- Điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi. 

 

-Tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC 


1 

y x 

30 

2 

30 


30 

x 30 dx x 30 dx x 30x 

1200 

30 

 

30 90 30 

(đvdt). 

18

Ta có: các điểm M(2;3), N(1;-2), P(-3;1) lần lượt biểu diễn các số phức 2 3 i,1 2 i, 3 i. 

 

Gọi điểm Q(x;y) thì tứ giác MNPQ là hình bình hành MN QP 

1 2 3 x x 

2 

 

Q( 2;6). 

2 3 1 y y 

6 

Chọn C. 

Câu 31: 


Sử dụng các công thức lượng giác 



Ta có: 

2 2 

sin x cos x 1 

 

sin 2x 2sin x cos x 

 

sin x cos x 2 sin x 

 

4 

 

sin x cos x 2 cos x 

 

4 

1 

du ln | u | C 

và công thức vi phân d f ( x) f '( x) dx. 

u 

 

2 2 2 

sin x cos x sin x cos x sin x cos x 

I dx dx 

dx 

1 sin 2x 

sin x cos x 2sin x.cos x (sin x cos x) 

 

2 2 

 

2 

4 4 4 

 

 

 

2 2 

sin x cos x d(sin x cos x) 2 

 

dx ln sin 

x cos x 

sin x cos x 

 

sin x cos x 

 

4 4 

4 

2 2 1 

ln1 ln 

ln 2 ln 2. 

2 2 

2 


Suy ra a 1; b 2; c 2 a 2b 3c 

1 2.2 3.2 11. 

Chọn D. 

Câu 32: 


- Tìm tọa độ hai giao điểm của đường thẳng với hai đồ thị hàm số. 

- Thay vào điều kiện khoảng cách giữa hai giao điểm tìm k. 


Điều kiện: x 0. 

19

Đường thẳng x = k cắt đồ thị hàm số y log 5 

x tại điểm A k;log 5 

k với k > 0. 

Đường thẳng x = k cắt đồ thị hàm số 

1 1 k 4 1 

AB log 

5( k 4) log5 k log5 

 

2 2 k 2 

 

k 4 k 4 

do k+4>k>0 1 log5 log51 0 

 

k 

k 

 

Khi đó 

 

y log ( x 4) tại điểm Bk;log ( k 4) . 

4 4 5 

k 4 k 5 k 5 1 4 k 1 

1 

5 

5 1 

5 1 

Vậy k 1 5 a 1, b 5 a b 6. 

5 

Chọn B. 

Câu 33: 


Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : Mặt phẳng (P) cắt Ox; Oy; Oz lần lượt tại 

A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c)( a; b; c 0) thì có phương trình 

x y z 1. 

a b c 

1 

Thể tích khối tứ diện OABC là V . OAOB . . OC 

6 

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số a, b, c không âm 

 

 

3 

a b c 3 abc 

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 


Gọi A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c)( a; b; c 0) thì (P) có phương trình 

x y z 1. 

a b c 

1 2 1 

Vì M (1;2;1) ( P) 1 

a b c 

1 1 

Thể tích khối tứ diện OABC là V . OAOB . . OC abc 

6 6 

1 

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của V abc 

6 

1 2 1 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số ; ; ta có 

a b c 


1 2 1 

3 

2 2 

3 

54 

3 

3 1 3 1 abc 54. 

a b c abc abc abc 

5 

20

Dấu ‟=” xảy ra khi 

1 2 1 

a 

3 

a b c 

 

b 

 

1 2 3 

1 c 

3 

a b c 

 

Suy ra giá trị nhỏ nhất của V là 1 .54 9 a 3; b 6; c 3. 

6 

Chọn B. 

Câu 34: 


2 

z1 

- Chia cả hai vế của đẳng thức cho z2 

tìm số phức và mô đun. 

z 

2 

- Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng z z z z và lấy mô đun hai vế. 


Ta có: 

z 

1 2 1 2 

2 

2 

2 2 z1 z 

1 

z 

1 

z1 z1 

1 2 1 2 

1 0 1 0 

2 

 

z2 z2 z2 z2 z2 

1 3 

z z z z i 

 

2 2 

1 

 

1 

 

2 

 

z2 

1 z z OA OB. 

2 2 

Lại có 2 

z z z z z z z z 

1 2 1 2 1 2 1 2 

Lấy môđun hai vế ta được 

Hay 

2 2 

AB OA AB OA OB. 

2 2 2 

z z z z z z | z || z | z 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 

Vậy tam giác OAB đều. 

Chọn C. 

Câu 35: 


Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm S, E, C, D 

Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với SA (với M là trung điểm của CD) 

Gọi I d để I là tâm mặt cầu ngoại tiếp SECD thì IS = ID 

Từ đó tìm được tâm I và suy ra bán kính mặt cầu. 


2 


21

Vì E là trung điểm AD và AB BC 1 AD a nên AB = BC = AE = ED = a mà BC / / AE tứ giác 

2 

ABCE là hình vuông suy ra CE AD hay tam giác ECD vuông tại E nên M là tâm đường tròn ngoại 

tiếp ECD 

Gắn hệ trục tọa độ với A O(0;0;0), AD Ox; AB Oy; AS Oz. 

Coi đơn vị độ dài là a = 1. 

3 1 

Suy ra A(0;0;0), S(0;0; 6), E(1;0;0), D(2;0;0), C(1;1;0) 

và M 

 

; ;0 là trung điểm của CD. 

2 2 

Vì ECD vuông tại E nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD thuộc đường thẳng qua M và song 

song với SA. 

Phương trình đường thẳng d qua M và song song với SA có 1 VTPT là (0;0;1) thì có dạng 

Suy ra 

3 1 

I ; ; t 

2 2 

là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.EDC thì: 

 

 

2 2 2 2 

2 

3 1 1 1 

IS ID t 6 t 

2 2 2 2 

4 3 1 4 

2 6 t 8 t ; ; 

6 I 

 

2 2 

6 


2 

3 

 

x 

2 

1 

d : y 

 

2 

z t 

 

 

Bán kính mặt cầu là 

2 2 

1 1 4 19 

R ID . 

2 2 

 

6 6 

2 

Hay 

R 

19 

a . 

6 

22

Chọn B. 

Câu 36: 


- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số. 

- Tìm tọa độ giao điểm và sử dụng điều kiện MN ngắn nhất, kết hợp Vi-et tìm m. 


x 3 

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 x m (2 x m)( x 1) x 3 

x 1 

 

2 

2 x ( m 1) x m 3 0(*) x 1 

 

 

x 3 

Đường thẳng y 2x m cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân 

x 1 

2 2 

( m 1) 4.2( m 3) 0 m 6m 

25 0 

biệt x1, 

x2 

khác -1 

 

(luôn đúng). 

2 

 

 

2.( 1) ( m 1).( 1) m 3 0 2 0 

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

m 1 

x1 x2 

 

 

2 

 

. 

m 3 

x1x2 

 

2 

Gọi hai giao điểm là M x x m N x x m 

;2 , ;2 . 

1 1 2 2 

2 2 

Khi đó 

2 2 2 

MN x2 x1 2x2 2x1 5 x2 2x2x1 x1 5 x2 x1 4x1x 

 

 

2 

 

Áp dụng hệ thức Vi-et ta được : 

2 2 

 

2 m 1 

m 3 m 2m 

1 

MN 5 

4. 5 2( m 3) 

 

2 2 

4 

 

5 

2 1 8 24 

 

2 

4 m m m 

5 2 

5 

2 5 

m 6m 25 m 3 16 .16 20. 

4 4 

4 

2 

MN mn MN 

 

20 2 5 min 2 5 

khi m = 3. 

Chọn B. 

Câu 37: 


Biểu diễn số phức z theo w. 

Thay z vào dữ kiện đề bài để tìm tập hợp điểm biểu diễn w 

Diện tích hình tròn bán kính R là S R 



2 

23

Đặt w x yi( x, y R) 

Ta có: 

Khi đó 

w 1 

i 

w 2z 1 i z 

2 

w 1 

i 

z 3 4i 2 3 4i 2 w 7 9i 

4 

2 

x yi 7 9i 4 ( x 7) ( y 9) i 4 

 

2 2 2 2 

( x 7) ( y 9) 4 ( x 7) ( y 9) 16 

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn có bán kính R = 4. 

Diện tích hình tròn là S R 

Chọn C. 

Câu 38: 


 

2 

16 . 

 

- Dựng đồ thị hàm số y f x có được từ đồ thị hàm số đã cho bằng cách: 

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy. 

+ Xóa phần đồ thị phía bên trái trục Oy. 

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải vừa giữ lại qua Oy. 

- Sử dụng tương giao đồ thị suy ra điều kiện của m. 


3 3 2 3 

Đặt y f ( x) x x x. 

4 2 

2 2 

3 3 6 6 

m m m m 

 

4 2 4 4 

3 2 2 3 2 

Phương trình 4 x 3x 6 x m 6m x x x f x 

Từ đồ thị hàm số đã cho ta vẽ đồ thị hàm số 

 

y f x 

 

như sau: 


Quan sát đồ thị ta thấy, phương trình 

f 

 

x 

 

m 

 

2 

6m 

4 


24

2 

m 6m 

2 m 

0 

0 m 6m 

0 . 

4 

 

m 

6 

Chọn A. 

Câu 39: 


Lập luận để có 1 VTPT của mặt phẳng (P) là 

phẳng (P). 

Sử dụng công thức khoảng cách 

 

 

 

1 

 

 

n u1; 

u 2 

d d ;( P ) d ( M ;( P )) 

với 

1 1 

Với điểm M x ; y ; z và mặt phẳng ( P) : ax by z d 0 thì 

0 0 0 

rồi suy ra phương trình tổng quát của mặt 

d / /( P); 

M d 


x 2 y 1 

z 

Ta có d1 

: đi qua 

1 

và có 1 VTCP 

1 1 2 

M (2;1;0) 

 

u1 (1; 1;2) 

Và 

d 

2 

x 

2 t 

 

: y 

3 

 

z 

t 

Vì (P) cách đều d 1 ; d 2 nên 

 

đi qua M 1 (2;3;0) và có 1 VTCP u2 ( 1;0;1) 

ax0 by0 cz0 

d 

d( M ;( P)) 

 

2 2 2 

a b c 

 

d1 / /( P); d2 

/ /( P) 

suy ra 1 VTPT của (P) là n u1; u 

2 

( 1; 3; 1) 

Suy ra phương trình tổng quát của (P) cách đều d 1 ; d 2 nên 

Với I(2;2;0) là trung điểm của M M . 1 2 

Suy ra 

2 3 d 2 9 d 

 

 

5 d 11 

d 

11 11 d 8 

d 8 

2 2.3 d 0 

 

 

Vậy phương trình mặt phẳng ( P) : x 3y z 8 0 

Chọn A. 

Câu 40: 


;( ) ;( ) 

d M1 P d M 

2 

P 

 

I ( P) 


25

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P) 

- Tìm hình chiếu H của B lên (Q). 

- Đường thẳng AH là đường thẳng cần tìm. 


 

Mặt phẳng (Q) qua A(-3;0;1) và song song với (P) nên nhận n 

( Q) :1( x 3) 2( y 0) 2( z 1) 0 hay ( Q) : x 2y 2z 

1 0. 

Đường thẳng d đi qua A và song song (P) nên d ( Q). 

Gọi H là hình chiếu của B lên (Q) thì 

Gọi 

 

d( B, d) 

BH 

là đường thẳng đi qua B(1;-1;3) và vuông góc với (Q) thì 

(1; 2;2) 

làm VTPT. 

hay d(B,d) đạt GTNN bằng BH khi d = AH. 

x 

1 

t 

 

: y 

1 

2 t . 

 

z 

3 2t 

x 

1 

t 

y 

1 2t 

H ( Q) (1 t) 2( 1 2 t) 2(3 2 t) 1 0 

z 

3 2t 

 

x 2y 2z 

1 0 

10 

9t 

10 0 t 

9 

1 11 7 26 11 2 

H ; ; AH ; ; 

9 9 9 9 9 9 

11 1 11 1 b 11 

u 1; ; hay b , c . 

26 13 26 13 c 2 

Chọn B. 

Câu 41: 


Giải phương trình 

f '( x) 0 

rồi lập BBT. 

Lưu ý rằng: Qua nghiệm bội chẵn thì dấu 


Ta có: 

BBT 

f '( x) 

không đổi. 


x 

10 


f '( x) ( x 10)( x 11) ( x 12) 0 

 

 

x 11 

 

x 12 

26

x 

10 11 12 

f '( x ) - 0 + 0 + 0 - 

f ( x) 

 

Từ BBT ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (10;12) nên C đúng 

Hàm số có 2 điểm cực trị. 

Chọn C. 

Câu 42: 


Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm 

duy nhất. 



4x 

m 

x x x m x x m x 

x 1 

2 

2 2 2 2 

1 1 4 4 1 0( 1)(*) 

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm phương trình (*) có nghiệm duy nhất x 1. 

(*) có nghiệm kép x hoặc (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 

+) TH1: (*) có nghiệm kép 

2 2 

' 4 ( m 1) 0 5 m 0 

m 5 

x 1 m 5. 

2 2 

 

2 

 

1 4.1 m 1 0 m 

4 0 m 

2 

+) TH2: (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng 1. 

Khi đó 

2 2 

x 1 là nghiệm của (*) thì 1 4.1 m 1 0 m 2. 

Thử lại với m 2 

2 x 

1( L) 

thì (*) là x 4x 

3 0 

x 

3( TM ) 

hay phương trình hoành độ giao điểm có 

nghiệm duy nhất. 

 

 

Vậy S 5; 2 

suy ra tích các phần tử bằng 20. 

Chọn D. 

Chú ý: 

Một số em có thể sẽ quên mất trường hợp (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 

dẫn đến chỉ tìm ra hai giá trị 


 

5 

và không chọn được đáp án đúng. 

Câu 43: 


n( A) 

Sử dụng định nghĩa xác suất P( A) 

với n(A) là số phần tử của biến cố A và n 

là số phần tử 

n( ) 

của không gian mẫu. 

27


Số phần tử của không gian mẫu n 6.6 36 


2 

x bx c 

0 

có 

b 

2 

4c 

2 

Để phương trình vô nghiệm thì 0 b 4c 0 b 2 c (vì b, c > 0) 

 

Mà b, c 1;2;3;4;5;6 

 

nên: 

+ Với c 1 b 2 b 1 

+ Với c 2 b 2 2 b 1;2 

 

+ Với c 3 b 2 3 b1;2;3 

 

+ Với c 4 b 2 4 b1;2;3 

 

+ Với c 5 b 2 5 b 1;2;3;4 

 

+ Với c 6 b 2 6 b 1;2;3;4 

 

Với A là biến cố “phương trình bậc hai 

n( A) 1 2 3 4 4 17 

Xác suất cần tìm là 

Chọn B. 

Câu 44: 


17 

P( A) . 

36 

2 

x bx c 

0 

vô nghiệm” thì số phần tử của biến cố A là 


Nhận xét: mỗi con bò có thể ăn cỏ trong hình tròn có tâm là cọc buộc, bán kính là dây buộc. 

Do đó phần diện tích cỏ có thể ăn chung lớn nhất chính là phần giao nhau của hai hình tròn. 


Con bò thứ nhất có thể ăn cỏ trong hình tròn tâm A bán kính AC = 3m. 

Con bò thứ hai có thể ăn cỏ trong hình tròn tâm B bán kính BC = 2m. 

Phần diện tích lớn nhất hai con có thể ăn chung là phần giao của hai hình tròn (phần gạch sọc). 

Xét tam giác ABC có AC = 3; BC = 2; AB = 4. 

28

2 2 2 

BA BC AC 11 

cos ABC 

 

2 BA. BC 16 

93 8'. BC 

ABC 46 34' CBD 93 8' S 3, 251m 

360 

0 2 

0 0 2 

CBD 

0 

AC AB BC 7 

 

2 AC. AB 8 

2 2 2 

0 0 

cos CAB CAB 28 57 ' CAD 57 54' 

0 2 

57 54'. AC 

2 

SCAD 

4,548m 

0 

360 

1 

Lại có S CBD 

BC. BD.sin CBD 1,997m 

2 

2 

và 

1 

S CAD 

AC. AD.sin CAD 3,812m 

2 

2 

Vậy S S S S S (4,548 3,812) (3, 2511,997) 1,99m 

qCAD CAD qCBD CBD 

Chọn A. 

Câu 45: 


Biến đổi để sử dụng với f là hàm đơn điệu trên K thì f ( u) f ( v) u v. 

Từ đó sử dụng đồ thị hàm số đã cho và sự tương giao của hai đồ thị để biện luận số nghiệm của phương 

trình. 


4m 

3 

m 

Ta có 

2 

2 ( ) 5 

f 

x 

 

 

2 3 2 2 

f ( x) 3 4 m m f ( x) 3 2 f ( x) 5 

 

8m 3 2m 2 f 2 ( x) 6 2 f 2 ( x) 5 

 

 

 

 

(2 m) 3 2 f 2 ( x) 5 2 f 2 ( x) 5 f 2 ( x) 5(*) 

3 

2 

Xét hàm số g( t) 

t t có g '( t) 3t 1 0; t g( t) 

là hàm số đồng biến trên R. 

2 2 

g(2 m) g 2 f ( x) 5 2 f ( x) 5 2m 

Phương trình (*) suy ra 

5 

m 

 

2 

m 0 

 

 

m 

0 2 

4m 

5 

2 

( ) (1) 

2 2 

2 4m 

5 f x 

2 f ( x) 5 4 m f ( x) 

2 

2 

 

2 

 

4m 

5 

f ( x) (2) 

 

2 


2 

(Vì 

f ( x) 0 

chỉ có hai nghiệm phân biệt nên 

m 

5 ). 

2 

29

+ Vì 

2 

2 

4m 5 

4m 

5 

0 nên từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình f ( x) 

 

2 

2 

có một nghiệm duy 

nhất. 

Từ ycbt suy ra phương trình 

f ( x) 

 

2 

4m 

5 

2 

có hai nghiệm phân biệt. 

37 

2 

4 

+ Vì m m ( tm ) 

5 

4m 

2 5 

 

2 

2 

0 nên từ đồ thị hàm số suy ra 4 4m 

5 32 

2 

2 37 

m 

( ktm ) 

2 

Chọn C. 

Câu 46: 


- Tính ' y và tìm nghiệm của y' = 0. 

- Tìm tọa độ hai điểm cực trị và tìm điều kiện để tam giác IAB nội tiếp đường tròn bán kính 5. 


2 2 x m 1 y 4m 

2 

Ta có: y ' 3x 6mx 3( m 1); y ' 0 

x m 1 y 4m 

2 

A( m 1; 4m 

2) là điểm cực tiểu, Bm 

1; 4m 

2 

là điểm cực đại của đồ thị hàm số. 

Dễ thấy AB 2 5 2R 

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có tâm chính là trung điểm AB hay 

tam giác IAB vuông tại I. 

 

 

 

Có IA (1 m;4 m), IB (3 m; 4 4 m) 

nên IA IB IA. IB 0 

m 

1 

 

m 

 

2 2 2 

(1 m)(3 m) 4 m( 4 4 m) 0 m 4m 3 16m 16m 0 17m 20m 

3 0 . 

3 20 

Vậy tổng các giá trị của m là 1 . 

17 17 

Chọn A. 

Câu 47: 


Viết phương trình Parabol 

Sử dụng: Thể tích vật thể được sinh ra khi quay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f ( x), 

trục hoành và hai đường thẳng 



x a; 

x b 

quanh trục Ox là V f 2 ( x) dx. 

b 

 

a 

3 

17 

30

Gọi parabol nằm trên là 

2 

( P) : y ax bx c( a 0). 

Khi đó parabol đi qua điểm có tọa độ (0;40) (vì thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán 

kính 40cm) suy ra y(0) 40 c 40 

Đổi 1m = 100cm và bán kính đáy là 30cm nên thì ta có y(50) y( 50) 30 

Từ đó 2500a 50b 40 2500a 50b 40 b 0 

1 

Suy ra 2500a 

50.0 40 30 a . 

250 

1 2 

Phương trình Parabol ( P) : y x 40 

250 

50 

1 2 

3 

Thể tích thùng rượu là V x 40 

dx 425162cm 

415,162 lít. 

250 

50 

2 

Chọn D. 

Chú ý : 

Khi tính tích phân ở bước cuối các em bấm máy tính để tiết kiệm thời gian. 

Câu 48: 


- Thiết lập mối quan hệ a, b dựa vào điều kiện (Q) chứa A, B . 

- Lập biểu thức tính góc giữa hai mặt phẳng và tìm điều kiện để cos đạt GTLN ( đạt GTNN). 


 

Ta có : AB ( 1;2;1), n( Q) 

. AB 0 1 2a b 0 b 1 

2 a. 

 

n( P) . n( Q) 

2 a 2b 2 a 2(1 2 a) 3a 

1 

cos 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 

| n( P) | .| n( Q) 

| 2 1 2 . 1 a b 3 1 a (2a 1) 3 5a 4a 

2 4 2 

5 

2 

a a 

Đặt t 

1 

a 

thì 

4 2 

5 5 4t 2t 2 t 1 3 3 

2 

a 

a 

 

2 

2 

1 1 1 

cos 

 

4 2 3 3 

5 a a 

2 


đạt GTNN khi 

cos 

1 

3 

31

Dấu bằng xảy ra khi t 1 a 1 b 1 a b 0. 

Chọn B. 

Câu 49: 


Sử dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC có ba cạnh a, b, c là 

a b c 

S 

ABC 

p( p a)( p b)( p c) 

với p 

2 

abc 

Sử dụng công thức diện tích S 

ABC 

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 

4R 

ABC 

1 3V 

Sử dụng công thức thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V h. S h . 

3 S 


Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ S đến mặt phẳng (ABC) 

0 

Khi đó từ giả thiết ta có SAH SBH SCH 

30 

Suy ra SAH SBH SCH 

(gn-cgv) 

Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. 

Tam giác ABC có 

AB AC BC 

AC 7; AB 5; BC 8 p 10. 

2 

Theo công thức Hê-rông thì diện tích tam giác ABC là 

S p( p AB)( p AC)( p BC) 10 3 

ABC 

Lại có 

Hay 

S 

ABC 


AB. AC. BC 5.7.8 7 3 

R 

(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 

4R 

4S 

ABC 

3 

). 

7 3 

HA . Xét tam giác SHA vuông tại H có 

3 

0 7 3 7 

SH tan SAH. AH tan 30 . 

3 3 

32

1 1 7 70 3 

Thể tích khối chóp S.ABC là VS . ABC 

. SH. S 

ABC 

. .10 3 

3 3 3 9 

SH 14 

Lại có SHB vuông tại H nên SB SC 

sin 30 3 

Xét tam giác SBC có 

SB SC BC 19 

8 13 

p1 

suy ra S SBC 

p1 ( p1 SB)( p1 SC)( p1 

BC) 

 

2 3 

3 

70 3 

3. 

1 3V 

S. 

ABC 

35 39 

Từ đó V 9 

S. 

ABC 

d( A,( SBC)). S 

SBC 

d( A,( SBC)) . 

3 S 

SBC 8 13 52 

3 

Chọn B. 

Câu 50: 


- Nhân cả hai vế với e 2018x và lấy nguyên hàm hai vế. 

-Sử dụng điều kiện f (0) 2018 tìm hàm f ( x) 

và kết luận. 


Ta có: 

f '( x) 2018 f ( x) 2018. x . e f '( x). e 2018 e f ( x) 2018x 

2017 2018x 2018x 2018x 

2017 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Do 

2018x 2018 2018x 2018 2018x 

2018 

f ( x) e ' x ' f ( x). e ' dx x ' dx f ( x) 

e x C 

f f e C C 

0 

(0) 2018 (0). 2018 

f ( x) x . e 2018e 

2018 2018 x 

2018x 

f e e e 

Chọn D. 

2018 2018 2018x 

(1) 2018 2019 . 


33





Câu 1: Trong hình vẽ bên, điểm P biểu diễn số phức 

Q biểu diễn số phức 

A. 1 

3i 

B. 3 i 

C. 1 

2i 

D. 2 i 

z2 

. Tìm số phức z z1 z2 

f x 

 

, điểm z 1 

Câu 2: Giả sử và g x là hai hàm số bất kỳ liên tục trên và a, b, c là các số thực. Mệnh đề nào 

sau đây sai? 

b c a 

0 

 

A. f x dx f x dx f x dx 

B. 

a b c 

b b b 

C. f x g x dx f x dx. 

g x dx D. 

b 

 

a 

cf x dx c f x dx 

 

 

a a a 

 

 

b 

 

a 

b b b 

 

 

f x g x dx g x dx f x dx 

a a a 

Câu 3: Cho hàm số y f x có tập xác định ;2 và bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào 

sau đây sai về hàm số đã cho? 

f 

x 

x 

1 

0 1 2 

 

2 

A. Giá trị cực đại bằng 2 B. Hàm số có 2 điểm cực tiểu 

C. Giá trị cực tiểu bằng -1 D. Hàm số có 2 điểm cực đại 

 

 

Câu 4: Cho cấp số cộng un 

, có u1 2, u4 

4 . Số hạng u6 

là 

A. 8 B. 6 C. 10 D. 12 

1 

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng x z . Một 

2 

: 2 3 0 

véctơ chỉ phương của là 

 

 

A. b 2; 1;0 

B. 1;2;3 

C. 1;0;2 

D. u 

 

 


v 

a 

2;0; 1 

Câu 6: Cho khối hộp ABCD. A' B' C ' D ' có thể tích bằng 1. Thể tích khối tứ diện A' B' C ' D' 

bằng 

1 

1

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

3 

6 

2 

Câu 7: Tất cả các nguyên hàm của hàm số 

 

f x sin5x 

là 

1 

12 

1 

A. cos5 x C B. cos5x C 

C. cos5x C D. 

5 


y f x 


1 

cos5 x C 

5 

Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? 

2;4 

0;3 

2;3 

1;4 

 

A. B. C. D. 

Câu 9: Đường cong dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 

3 2 

A. y x 5x 8x 

1 

B. 

3 2 

C. y x 6x 9x 

1 

D. 

Câu 10: Giả sử a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn 

2 3 4 

a b 4 

3 2 

y x x x 

6 9 1 

3 2 

y x x x 

6 9 1 


A. 2log2 a 3log2 

b 8 

B. 2log2 a 3log2 

b 8 

C. 2log2 a 3log2 

b 4 

D. 2log2 a 3log2 

b 4 

Câu 11: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau song song với trục Oz? 

: 0 

A. z B. P : x y 0 

C. Q : x 11y 

1 0 D. 

Câu 12: Nghiệm của phương trình 


2 

 

2 

3 1 x 

là 

 

: z 1 

2

A. 0 B. 2 C. 1 

D. 1 

Câu 13: Mệnh đề nào sau đây sai? 

A. Số tập con có 4 phần tử của tập 6 phần tử là 

4 

C 6 

B. Số cách xếp 4 quyển sách vào 4 trong 6 vị trí trên giá là 

C. Số cách chọn và xếp thứ tự 4 học sinh từ nhóm 6 học sinh là 

D. Số cách xếp 4 quyển sách trong 6 quyển sách vào 4 vị trí trên giá là 

1 

Câu 14: Cho F x 

là nguyên hàm của f x 

thỏa mãn F 2 

4 . Giá trị F 1 

bằng 

x 2 

A. 3 B. 1 C. 2 3 

D. 2 

x 2 

Câu 15: Biết tập hợp nghiệm của bất phương trình 2 3 là khoảng . Giá trị là 

2 

x 

a; 

b 

a b 

A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 


y 

2 

x 2x x 

x 1 

4 

A 6 


A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 

Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, BC = 1, 

AA' 1. Tính góc giữa ' và 

AB BCC ' B' 

 

0 

0 

0 

A. 45 

B. 90 

C. 30 

D. 60 

 

2 

1;2 

 

Câu 18: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 1 x 2 với mọi x . Giá trị nhỏ nhất của 

hàm số y f x trên đoạn là 

 

 

 

A. f 1 

B. f 0 

C. f 3 

D. 

x y z 

Câu 19: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng : x y 2z 

0 . Góc 

1 2 1 

giữa đường thẳng và mặt phẳng 

bằng 

0 

0 

0 

0 

A. 30 

B. 60 

C. 150 

D. 120 

Câu 20: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x 0 và x 4 , biết rằng khi cắt bởi mặt 

phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 

bán kính R x 4 x 

 

 

 

x 0 x 4 

4 

C 6 

4 

A 6 

f 

0 

2 

thì được thiết diện là nửa hình tròn 

64 

32 

64 

A. V 

B. V 

C. V 

D. V 

3 

3 

3 

2 

Câu 21: Cho số thực a 2 và gọi z1, 

z2 

là hai nghiệm phức của phương trình z 2z a 0 . Mệnh đề 

nào sau đây sai? 


z1 z2 

z1 z2 

A. z1 z2 

là số thực B. z1 z2 

là số ảo C. là số ảo D. là số thực 

z z 

z z 

2 1 

32 

3 

2 1 

2 

Câu 22: Cho các số thực a, b thỏa mãn 1 a b và log b log a 3 . Tính giá trị của biểu thức 

a 

b 

 

3

T log 

ab 

2 

a b 

2 

1 

3 

2 

A. B. C. 6 D. 

6 

2 

3 

1 3 2 1 

Câu 23: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x x x x 1 

3 3 

như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây sai? 

và trục hoành 

1 3 

 

2 

 

A. S f x dx f x dx 

B. S f x dx 

1 1 

1 

 

 

C. S 2 f x dx 

D. S f x dx 

1 

Câu 24: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm 

 

 

I 1;2; 3 

3 

3 

1 

1 

và tiếp xúc với trục Oy có bán kính bằng 

A. 10 B. 2 C. 5 D. 13 

Câu 25: Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng 2, đường cao bằng 1. Tìm đường kính của mặt cầu 

chứa điểm S và chứa đường tròn đáy hình nón đã cho. 

A. 4 B. 2 C. 1 D. 2 

Câu 26: Cắt mặt xung quanh của một hình trụ dọc theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng ta 

được hình vuông có chu vi bằng 8 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng 

2 

3 

2 

A. 2 

B. 2 

C. 4 

D. 4 

Câu 27: Cho các số phức z , z thỏa mãn z1 z2 3 và z1 z2 2 . Môđun z1 z2 

bằng 

1 2 

A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 2 


2a 

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA , tam giác SAC vuông tại 

2 

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABCD 

3 

3 

3 

6a 

6a 

6a 

A. V 

B. V 

C. V 

D. V 

12 

3 

4 

 

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm M 1;2;3 và có véctơ chỉ phương là 

u 

2;4;6. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng ? 

3 

2a 

6 

3 

4

x 

5 2t 

x 

2 t 

x 

1 

2t 

 

A. y 

10 4t 

B. y 4 2t 

C. D. 

 

z 

15 6t 

y 

2 4t 

z 

6 3t 

z 

3 6t 


f 

log x 

x 

2 

x 

là 

1 

ln x 

1 

ln x 

1 

log2 

x 

A. f ' x B. f ' 

C. D. 

2 

x f ' 

2 

x 2 

x 

x ln 2 

x ln 2 

 

x 

3 

2t 

 

y 

6 4t 

z 

12 6t 

1 

log 

2 

x 

2 

f ' x 

Câu 31: Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: 

Hàm số 

f 

x 

' x 

 

 

1 

1 

 

 

g x f x x 


1 

A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 


đây 

Hàm số 

 

y f x 

1 

liên tục, nhận giá trị dương trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như dưới 

x 1 

0 1 2 

f ' x 

0 + 0 + 0 0 + 

2 

 

 

y log f 2x 

 


1;2 

 

 

1;1 

 

A. B. ; 1 

C. 1;0 

D. 

Câu 33: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên m sao cho tồn tại hai số phức phân biệt 

đồng thời các phương trình z 1 

z i và z 2m m 1. Tổng tất cả các phần tử của S là 

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 

 

 

z1, 

z2 

x 

thỏa mãn 

Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , 

AD 2 a, 

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng 

AC và SD. 


6a 6a 6a 3a 

A. B. C. D. 

6 

2 

3 

3 

Câu 35: Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà 

thiết diện qua trục của nó là một hình thang cân (xem hình vẽ). Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với 

bán kính lần lượt là R = 3 cm, r = 1 cm tiếp xúc với nhau và cùng tiếp xúc với mặt xung quanh của (N), 

đồng thời hai khối cầu lần lượt tiếp xúc với hai mặt đáy của (N). Tính thể tích vật lưu niệm đó. 

485 

3 

A. cm 

B. 

3 

3 

728 

81 cm 

C. 72 cm 

D. 

6 

9 

3 

cm 

 

f x 

f 

Câu 36: Cho hàm số liên tục trên có 0 0 và đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ bên. 

5

Hàm số 

3 

 

y 3 f x x 


2; 

 

2;0 

1;3 

 

 

 

A. B. ;2 

C. D. 

Câu 37: Cho số thực m và hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Phương trình 2 x x 

f 2 m nhiều 

nhất bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 ? 

 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có 

từ B của tam giác ABC đi qua điểm nào trong các điểm sau? 

 

0;0;1 , 3;2;0 , 2; 2;3 

A B C 


P M 

N 

 

A. 1;2; 2 B. 1;3;4 

C. 0;3; 2 D. Q 5;3;3 

. Đường cao kẻ 

Câu 39: Trong Lễ tổng kết Tháng thanh niên, có 10 đoàn viên xuất sắc gồm 5 nam và 5 nữ được tuyên 

dương khen thưởng. Các đoàn viên này được sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang trên sân khấu để 

nhận giấy khen. Tính xác suất để trong hàng ngang trên không có bất kì bạn nữ nào đứng cạnh nhau. 

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

7 

42 

252 

31 3 

x x 

Câu 40: Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số f x mx trên là 2 

A. 10; 5 B. 5;0 

C. 0;5 D. 

25 

252 

m m 

m 

m5;10 

6

Câu 41: Cho hàm số y f x . Hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới 

 

x 

2 

1 

0 1 2 

 

f ' x 

0 0 0 

2 

1;1 

Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 2x sin x trê n 

 

 

 

A. f 1 

B. f 0 

C. f 2 

D. 


y f x 

mx m 2 x 2 m f x 

 

có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình 

 

5 2 1 0 nghiệm đúng với mọi m 2;2 ? 

A. 1 B. 3 C. 0 D. 2 

Câu 43: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 

A , A , B , B 

1 2 1 2 

f 

1 

như hình vẽ bên. Người ta chia 

elip bởi parabol có đỉnh , trục đối xứng B B và đi qua các điểm M, N. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 

B1 

1 2 

200.000 đồng/ m 2 và trang trí đen led phần còn lại với giá 500.000 đồng/ m 2 . Hỏi kinh phí sử dụng gần 

nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A A 4 m, B B 2 m, MN 2m 

. 

1 2 1 2 


A. 2.341.000 đồng B. 2.057.000 đồng C. 2.760.000 đồng D. 1.664.000 đồng 

Câu 44: Sau khi tốt nghiệp đại học, anh Nam thực hiện một dự án khởi nghiệp. Anh vay vốn từ ngân 

hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% một tháng. Phương án trả nợ của anh Nam là: sau đúng một tháng 

kể từ thời điểm vay, anh bắt đầu trả nợ, hai lần trả nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền phải trả 

mỗi tháng là như nhau và anh trả hết nợ sau đúng 5 năm từ thời điểm vay. Tuy nhiên, sau khi dự án có 

hiệu quả và đã trả được nợ trong 12 tháng theo phương án cũ, anh nam muốn rút ngắn thời gian trả nợ nên 

7

từ tháng tiếp theo, mỗi tháng anh trả nợ cho ngân hàng 9 triệu đồng. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ 

tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng từ thời điểm vay anh Nam trả 

hết nợ? 

A. 32 tháng B. 31 tháng C. 29 tháng D. 30 tháng 

 

* 

2 

Câu 45: Giả sử hàm f có đạo hàm cấp n trên R, n N và f 1 x x f '' x 2x 

với mọi x R . 


1 

0 

 

I xf ' x dx 

 

 

1 

A. I 1 

B. I 1 

C. I 

D. 

3 

Câu 46: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC vuông tại A, 

1 

I 

3 

0 

ABC 30 , BC 3 2 , đường thẳng BC 

x 4 y 5 z 7 

có phương trình , đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng : x z 3 0 . Biết rằng 

1 1 4 

đỉnh C có cao độ âm. Tìm hoành độ của đỉnh A. 

3 

9 

5 

A. B. 3 C. D. 

2 

2 

2 


S x y z 

 

2 2 2 

: 2 4 6 24 

và điểm 

A2;0; 2 . Từ A kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc đường tròn 

. Từ điểm M di động 

nằm ngoài (S) và nằm trong mặt phẳng chứa 

 

 

 

 

 

, kẻ các tiếp tuyến đến (S) với các tiếp điểm thuộc 

đường tròn ' . Biết rằng khi và ' có cùng bán kính thì M luôn thuộc một đường tròn cố định. 

Tính bán kính r của đường tròn đó. 

A. r 6 2 B. r 3 10 

C. r 3 5 

D. r 3 2 

Câu 48: Cho hình chóp S.ABCD có đá ABCD là hình thoi cạnh 

0 

SAD 120 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD 

2 a, AC 3 a, 

SAB 

3 

3 

3 3a 3 

A. 3a 

B. C. 6a 

D. 

2 

2 3a 

3 

2x 

2 

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình m 

4 x x m 

có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. 

là tam giác đều, 

x 

9.3 4 2 1 3 3 .3 1 0 


A. Vô số B. 3 C. 1 D. 2 

Câu 50: Cho các số phức z và w thỏa mãn 

 

z 

2 i 

z 1 i . Tìm giá trị lớn nhất của T w 1 

i 

w 

4 2 

2 

2 2 

A. B. C. D. 

3 

3 

3 

2 

3 

8


Câu 1: Chọn: A 

Theo hình vẽ ta có 

Câu 2: Chọn: C 

z 1 2 i, z 2 i nên z1 z2 1 

3i 

1 2 

Theo tính chất tích phân ta có: 

b c a c a a 

 

 

) f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx 0 . Đáp án A đúng. 

 

a b c a c a 

b 

) 

a 

 

b 

 

c 

cf x dx c f x dx , với . Đáp án B đúng. 

a 

b b b b b b 

) 

 

 

f x g x dx g x dx f x dx g x dx g x dx f x dx . Đáp án D đúng. 

a a a a a a 

Đáp án C sai. 

Câu 3: Chọn: B 

Dựa vào tập xác định và bảng biến thiên của hàm số 

là x 0 . 


 

 

y f x 

ta thấy hàm số có 1 điểm cực tiểu 

Áp dụng công thức của cấp số cộng u u n d ta có: u4 u1 3d 4 2 3d d 2 

 

Vậy: u6 u1 5d 

2 5 2 8 

n 

1 

1 


 

Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến là n 1;0;2 

 

 

vuông góc với nên có véctơ chỉ phương là a n 

 

1;0;2 

 


 


Gọi h là chiều cao của hình hộp. 

1 

Ta có SB' C ' D' S 

A' B' C ' D' 

2 

1 1 1 1 1 1 

Do đó VA' B' C ' D' h. SB' C ' D' h. S 

A' B' C ' D 

h. 

S 

A' B' C ' D' VABCD. A' B' C ' D' 

 

3 3 2 6 6 6 

9

Câu 7: Chọn: D 

 

1 1 

sin 5xdx sin 5xd 5x cos5x C 

5 

 

 

5 

Ta có 


Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số đi lên trên khoảng 1;3 

hàm số đồng biến trên 2;3 


 

Vì đồ thị đã cho đi qua điểm 0; 1 

nên loại các phương án B, C. 

 

Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy đạo hàm của hàm số có 2 nghiệm là 1 và 3. 

2 

Xét A: y ' 3x 10x 

8 vô nghiệm nên loại. Vậy chọn D. 


Vì a, b là các số thực dương nên a b 

a b 

2 3 

2 2 2 2 2 

4 log log 4 

2 3 4 2 3 4 

2 2 

log a log b 4log 4 2log a 3log b 8 


Ta có trục Oz có véctơ chỉ phương là k 0;0;1 

 

Gọi n 

0;0;1 , n 

1;1;0 , n 

1;11;0 . n 

0;0;1 

 

P 

Q 

 

phẳng 

, P, Q, 

 

 

 

 

lần lượt là véctơ pháp tuyến của các mặt 

Nhận thấy n 

 

 

. k 

 

0.0 0.0 1.1 1 0 và n 

 

nên ta loại A và D. 

 

. k 

 

0.0 0.0 1.1 1 0 

 

 

Nhận thấy n . k 1.0 1.0 0.1 0 và O Oz P Oz P nên ta loại B. 

P Câu 12: Chọn: B 

Ta có: 

1 

2 

x3 x3 1 

2 2 2 x 3 1 x 2 


 

A đúng. Lấy ngẫu nhiên 4 phần tử từ tập 6 phần tử ta được một tập con của 6 phần tử. Vậy số tập con có 

4 

4 phần tử của tập 6 phần tử là C 6 

. 

B đúng. Mỗi cách sắp xếp 4 quyển sách trong 6 quyển sách là một chỉnh hợp chập 4 của 6 quyển sách. 

4 

Vậy số cách sắp xếp 4 quyển sách vào 4 vị trí trong 6 vị trí trên giá là . 

C sai. Mỗi cách lựa chọn và xếp thứ tự 4 học sinh từ nhóm 6 học sinh là một chỉnh chập 4 của 6 học sinh. 

4 

Vậy số cách lựa chọn và xếp thứ tự 4 học sinh từ nhóm 6 học sinh là A 6 

. 

D đúng. Mỗi cách sắp xếp 4 quyển sách trong 6 quyển sách vào 4 vị trí là một chỉnh hợp chập 4 của 6 

4 

quyển sách. Vậy số cách sắp xếp 4 quyển sách trong 6 vào 4 vị trí trên giá là A 6 

. 


1 

F x 

f xdx dx 2 x 2 C 

x 2 

Theo đề bài 


F 2 

4 nên 2 2 2 C 4 C 0 F 1 

2 1 2 2 

A 6 

10

Vậy F 

 

1 2 


Ta có: 

x 2 x 

2 

x x 

2 

x x x 

2 3 2 3.2 2 2 3.2 2 0 2 12 2 

0 

x 

2 

x 

1 2 2 log 1 x log 2 0 x 1 

2 2 

Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là khoảng 


Tập xác định: D ;02; 

 

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 

Ta có: 

2 

2 

1 

1 

x 2x x 

lim lim 

x 2 

x 

x 1 

x 

1 

1 

x 

và 

 

 

0;1 . Suy ra a b 0 1 1 

2 

2 

 

x 2x x 2x lim lim lim x 0 

x x 1 x 2 

x 

x 1 x 2x x 

1 2 

1 1 1 

x x 

Nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là: 


AB 

BC 

 

AB 

BB ' 

Ta có: AB BCC ' B ' 

BB ' 

là hình chiếu của 

Do đó: 

Xét 

ABB ' 

AB ' lên mặt phẳng BCC ' B ' 

AB ', BCC ' B ' AB ', BB ' AB ' B 

vuông tại B có: 

AB 

tan AB ' B 3 AB ' B 60 

BB ' 


2 2 

AB AC BC BB 

y 2 và y 0 


3, ' 1 

0 

11

x 

 

Ta có: f ' x x x 1 x 2 0 

 

 

x 1 

, với x 2 là nghiệm kép. 

 

x 2 

2 0 

Ta có bảng biến thiên như sau: 

x 

1 

0 2 

f ' x + 0 0 + 0 + 

 

f 

x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 

1;2 

tại x 0 . 


 

có vectơ chỉ phương là u 1;2; 1 

 

có vectơ pháp tuyến là n 1; 1;2 

 

 

u. n 1.1 2. 1 1 .2 1 

sin , 

 

 

 

u . n 2 2 2 2 2 2 2 

1 2 1 . 1 1 2 

0 

Vậy , 

30 


 

1 1 1 

2 2 2 

Ta có diện tích thiết diện là S x R 2 x 2 4 x 4x 2 x 

3 

 

4 4 4 

2 3 3 4 

1 1 4 1 32 

V S x dx x x dx x x 

 

 

2 2 3 4 3 

Thể tích của vật thể cần tìm là 4 

 



2 

z z a 

2 0 

Ta có: ' 1 a 0a 

2 

0 0 

Nên phương trình có hai nghiệm phức là: 

quát). 

Ta có: 

z1 z2 1 a 1 i 1 a 1 i 2 

 

z 1 a 1 i; z 1 a 1 

i 

1 2 

là một số thực nên A đúng. 

z1 z2 1 a 1 i 1 a 1 i 2 a 1 

i là một số ảo (với a 

2 ) nên B đúng. 

z1 z2 

1 a 1 i 1 a 1 i 4 2a 

 

z z 1 a 1 i 1 a 1 

i a 

2 1 


Ta có 

là một số thực (với 

 

2 

loga b logb a 3 loga b 2logb 

a 3 1 

Đặt t log b. Do 1< a 

a 


a 

a 

2 ) nên C sai. 

0 

(không làm mất tính tổng 

12

t 

1 

2 

 

 

2 

KTM 

t 3 t 3t 

2 0 

t t 2 TM 

Với t 2 ta có log b a 

2 b a 

2 

 

 

2 

a b 

2 2 2 

Suy ra T logab 

log 3 a log 

a 

a 

a 

2 3 3 


Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 

y f x 

x 

1 

1 3 2 1 

x x x 1 0 

 

x 1 

3 3 

 

 

x 3 

Từ hình vẽ ta thấy f x 0, x 

1;1 

và f x 0, x 

1;3 

 

3 1 3 2 

 

Do đó 2 

S f x dx f x dx f x dx f x dx 

1 1 1 1 

Suy ra các phương án A, C, D đúng. 


Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm 

Gọi R là bán kính mặt cầu có tâm 


 

và trục hoành: 

I 1;2; 3 

trên trục Oy H 0;2;0 

IH 10 

 

I 1;2; 3 

và tiếp xúc với trục Oy R IH 10 


Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. 

Đường tròn đáy của hình nón có tâm H bán kính r. 

Do H là hình chiếu của S và O trên mặt đáy của hình nón nên S, H, O thẳng hàng. 

Hình nón có độ dài đường sinh l 2, đường cao h 1. Suy ra 

r l h 

2 2 

 

3 

0 

Góc ở đỉnh của hình nón là ASB 2ASH 

120 

nên suy ra H SO (như hình vẽ). 

Trong tam giác OAH vuông tại H ta có: 

13

2 2 

2 2 2 2 2 2 h r 

OA OH HA R R h 

r R 2 

2h 

Vậy đường kính mặt cầu chứa điểm S và đường tròn đáy hình nón bằng 4. 

Cách 2: 

Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu. 

Đường tròn đáy của hình nón có tâm H bán kính r. 

Do H là hình chiếu của S và O trên mặt đáy của hình nón nên S, H, O thẳng hàng. 

Hình nón có độ dài đường sinh l 2, đường cao h 1. (như hình vẽ) 

Trong tam giác SAH vuông tại H ta có 

Xét tam giác SOA có 

OS OA R 

và 

SH 1 

cos ASH ASH 60 

SA 2 

OSA 60 

Suy ra tam giác SOA đều. Do đó R OA SA 2 

Vậy đường kính mặt cầu chứa điểm S và đường tròn đáy hình nón bằng 4. 


Ta có chu vi hình vuông bằng 8 cạnh hình vuông bằng 2 

Do đó hình trụ có bán kính R 1, đường sinh l 2 

(cũng chính là đường cao). 

2 2 

Vậy thể tích hình trụ V R h 2 


Cách 1: 

Gọi các số phức z a b i, z a b i a , b , a , b 

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 

 

 

z z a a b b i 

1 2 1 2 1 2 

z z a a b b i 

1 2 1 2 1 2 

0 


0 

Ta có: 

z a b 3 a b 3 

2 2 2 2 

1 1 1 1 1 

z a b 3 a b 3 

2 2 2 2 

2 2 2 2 2 

14

2 2 2 2 

z z 2 a a b b 2 a a b b 4 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 

a b a b 2a a 2b b 4 

2 2 2 2 

1 1 2 2 1 2 1 2 

2a a 2b b 2 

Do đó: 

1 2 1 2 

 

2 2 2 2 2 2 

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 

z z a a b b a b a b 2a a 2b b 8 2 2 

Cách 2: 

2 2 2 

z z z z z z z z z z z z 4 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 

2 2 2 

z z z z z z z z z z z z 8 

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 

z z 2 2 

1 2 

Cách 3: 

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn 2 số phức 

z , z 

1 2 

OA OB 3, AB 2. Gọi I là trung điểm của AB. 

2 2 

OI OA AI 2 

 

z z 2 OI 2 2 

1 2 


. Khi đó tam giác OAB có 


Vẽ SH AC tại H. 

15

Khi đó: 

Theo đề 

SAC ABCD 

 

SH SAC 

 

 

SAC ABCD AC 

1 

 

SH ABCD 

V SH. 

S 

 

3 

 

SH 

AC 

SAC 

SC AC SA 

vuông tại S nên ta có: 

a 

2 

2 2 6 

1 6a 

Vậy V SH. 

S 

ABCD 

 

3 12 


và 

3 

2a 

6a 

SA. SC 

. 

2 2 6a 

SH AC 

2a 

4 

Thay tọa độ điểm 1;2;3 vào các phương trình, dễ thấy M 1;2;3 không thỏa mãn phương trình 

x 

3 

2t 

 

y 

6 4t 

z 

12 6t 


Đk: x 0 

Ta có: 

f ' 

x 

1 

ln x 

 

2 

x ln 2 


ABCD 

M 

 

1 1 

log 

2 2 

2 

x '. x log 

. log log 

2 

x . x ' 

x x x 

xln 2 ln 2 

2 2 2 

x x x 

 

g ' x f ' x 1; g ' x 0 f ' x 1 

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số 

Bảng xét dấu 

g ' 

x 

' 

y f x 

ta có 

x 

1 

f ' x 

1 

 

x 

x0 

1 

x 1 

x0 

' 


g x 0 0 + 

 


 


Đặt 

 

g x f x x 

log2 

2 

 

g x f x 

Theo giả thiết, ta có 

, ta có 

có một điểm cực trị. 

g ' 

x 

f 2x 0, x R 

 

 

 

x 

2 f ' 2x 

f 

 

2 ln 2 

16

Do đó 

1 1 

1 2x 

1 

x 

g ' x 0 f ' 2x 

0 

2 2 

2x 

2 

x 

1 

1 1 

ra hàm số y g x 

đồng biến trên các khoảng ; và 1; 

. Chọn A. 

2 2 


Cách 1 (cách hình học): Gọi 

toán. 

Có: z 2m m 1 

0 

; , 

M x y x y R 

, (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm). Suy 

là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn yêu cầu bài 

TH1: m 1 0 m 1 z 2 (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z 1 

z i 

TH2: m 1 0 m 1 


2 2 2 

2 

1 x 1 yi x y 1i 

1 1 

 

 

2 2 

2 

2 1 2 1 2 1 

x y 0 1 

2 2 

2 * 

x 2m y m 1 2 

z z i x y x y 

 

z m m 

 

x m yi m 

x m y m 

 

 

 

Từ (1) suy ra: tập hợp điểm 

Từ (2) suy ra: tập hợp điểm 

 

 

M x; 

y 

biểu diễn của số phức z là đường thẳng: : x y 0 

Tâm I 2m;0 

M x; 

y 

biểu diễn của số phức z là đường tròn C 

: 

bk R m 1 

Khi đó: M C số giao điểm M chính là số nghiệm của hệ phương trình (*). 

Để tồn tại hai số phức phân biệt , thỏa mãn ycbt C cắt tại hai điểm phân biệt 

z z 

1 2 

2m m 1 

m 1 

2 m m 1 

1 2 1 2 

; 

m 

d I R 2 

 

m 1 0 

m 1 

m 1 0 

 

 

 

 

Vì m m S 0;1;2 . Vậy tổng các phần tử của S là 0 1 

2 3 . 


 

 

Cách 2 (cách đại số): 

17

Giả sử: z x yi x, 

y 

Có: z 2m m 1 

0 

TH1: m 1 0 m 1 z 2 (loại) vì không thỏa mãn phương trình: z 1 

z i 

TH2: m 1 0 m 1 

(1) 


1 1 

 

2 2 

 

z 1 z i 

x yi x y i 

x 1 y x y 1 

 

2 2 

2 

z 2m m 1 

x 2m yi m 1 

x 2m y m 

1 

 

y x 

y x 

 

 

 

 

2 2 2 2 

x 2m x 2 m 

1 2x 4mx 3m 2m 

1 0 * 

 

Để tồn tại hai số phức phân biệt 

z1, 

z2 

2 2 

thỏa mãn ycbt PT (*) có 2 nghiệm phân biệt 

 

 

2 2 2 

' 4m 2 3m 2m 1 2 m 2m 1 0 1 2 m 1 2 2 

Kết hợp điều kiện (1) và (2), m 

m S 0;1;2 

 

Vậy tổng các phần tử của S là: 0 1 

2 3 


Cách 1: 

Gọi I là trung điểm của cạnh AD. 

ABC 

vuông cân tại B, ICD 

vuông cân tại I và có AB IC a nên AC CD a 2 

Khi đó AC 2 CD 2 AD 

2 nên ACD 

vuông cân tại C. 

 

 

Trong ABCD , dựng hình vuông ACDE. Trong SAE 

, kẻ AH SE 

ED SA 

 

ED AE 

Ta có ED SAE ED AH 2 

Từ (1) và (2) suy ra AH SDE 

Vì AC / / ED nên , ; ; 

Trong 


d AC SD d AC SDE d A SDE AH 

1 1 1 SA. AE a. a 2 6a 

SAE, 

AH AH 

2 2 2 

AH SA AE 

2 2 2 

SA AE 2 

3 

a a 2 

1 

 

 

18

Vậy , 

Cách 2: 

d AC SD 

6a 

3 

 

 

Dễ thấy DC SAC . Trên mặt phẳng ABCD , dựng: AG / / CD, DG / / AC, 

DG AB E . 

Dễ dàng chứng minh được: S.AED là tam diện vuông (1) 

Tính được: 

AE AD 2a 

. Mà 

AC / / SDE d d 

AC; SD AC; SDE 

d 

A; 

SDE 

 

AH 

 

Với AH là đoạn thẳng dựng từ A vuông góc với mặt phẳng (ADE) 

1 1 1 1 6a 

Ta có: AH 

2 2 2 2 

AH SA AE AD 

3 

Cách 3: 

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz. 

Khi đó A0;0;0 , C a; a;0 , D0;2 a;0 , S 0;0; 

a 

 

 

Do đó AC a; a;0 , SD 0;2 a; a, SA 0;0; 

a 

và AC; SD 

a; a;2a 

 

AC; SD 

. SA a.0 a.0 2 a. a 

6a 

Ta có d AC, 

SD 

 

 

2 2 2 

AC; SD a a 2a 

3 

 



 

 

19

Gọi tâm của hai đường tròn trong (N) là C và D. Ta có GS là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại K và 

J. Khi đó: 

DJ 

GS 

 

CK 

GS 

 

 

Kẻ DN / / GS N IS , khi đó DHKJ là hình chữ nhật nên HK DJ 1 

cm, do đó ta có CH 2 cm. 

DJ GD DJ. CD 1.4 

Ta có DHC 

đồng dạng GJD 

nên DG 2 cm từ đó suy ra GF = 9 cm. 

CH CD CH 2 

GS GF DC. GF DC. 

GF 

Ta có DHC đồng dạng GFS 

GS 6 3 cm 

DC DH DH 

2 2 

DC CH 

2 2 

FS GS GF 

3 3 

cm. 

Vì GEL 

đồng dạng GFS 

nên 

EL GE GE. FS 1.3 3 3 

EL 

FS GF GF 9 3 

1 728 

V EL FS EL FS EF 

3 9 

2 2 

Vì (N) là khói nón cụt nên: 

N . 


Đặt 

Ta có 

 

3 

g x 3 f x x . Hàm số ban đầu có dạng y g x 

x 

0 

. Cho g ' x 

0 

 

 

x 1 

 

x 2 

2 

g ' x 3 f ' x 3x 


20

Dễ thấy 

g 

 

0 0 . Ta có bảng biến thiên 

x 0 1 2 a 

g ' x 

0 + 0 + 0 

 

y g x 

 

0 

y 0 

0 

 

0;2 

a 

g a 0 

Dựa vào BBT suy ra hàm số y g x đồng biến trên khoảng và ; với 


x x 

Đặt t t x 2 2 với x 1;2 

 

 

 

x 

x 

Hàm t t x liên tục trên 1;2 và t ' x 2 ln 2 2 ln 2, t ' x 0 x 0 


Vậy x 

x 1 

0 2 

t ' x 

0 + 

 

t x 

5 

2 

17 

1;2 t 

2; 

4 

 

5 

x 

Với mỗi t 2; có 2 giá trị của x thỏa mãn 

2 

t 2 2 

 

5 17 

Với mỗi t 2 ; có duy nhất 1 giá trị x thỏa mãn. 

2 4 

 


 

f t 

Từ đồ thị, phương trình 

17 

m với t 

2; 

4 

 

f 

5 5 17 

có 2 nghiệm t1, 

t2 

, trong đó có t1 

2; , t2 

 

; 

 

2 

2 4 

 

Khi đó, phương trình 


f 

 

 

 

x 

2 

x x 

2 2 m có số nghiệm nhiều nhất khi và chỉ khi phương trình f t 

m 

 

x x 

2 2 m có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 

 


 

AB 3;2; 1 , AC 2; 2;2 , n AB, AC 

 

2;4;2 

Ta có 

1 

12 

Một vectơ chỉ phương của đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là u n, AC 

1;0; 1 

 

17 

4 

 

 

21

Phương trình đường cao kẻ từ B là: 

Ta thấy điểm 


Cách 1: 

n 10! 

 

P 1;2; 2 

Bước 1: Xếp 5 bạn nữ có: 5! Cách 

 

x 

3 

t 

 

y 

2 

 

z 

t 

thuộc đường thẳng trên. 

Bước 2: Xếp 5 bạn nam vào xen giữa 4 khoảng trống của 5 bạn nữ và hai vị trí đầu hàng. Có hai trường 

hợp sau 

+) TH1: Xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống giữa 5 bạn nữ, bạn nam còn lại có hai lựa chọn: 

Xếp vào hai vị trí đầu hàng. Trường hợp này có 

+) TH2: 

A 4 

.2 5 

1 

- Chọn một khoảng trống trong 4 khoảng trống giữa hai bạn nữ để xếp hai bạn nam có C 4 

cách 

cách 

2 

- Chọn hai bạn nam trong 5 bạn nam để xếp vào vị trí đó có A 5 

cách 

- Ba khoảng trống còn lại xếp còn lại ba bạn nam còn lại có 3! Cách 

1 2 

Trường hợp này có C . A .3! cách 

4 5 

4 1 2 

Vậy có tất cả 5! A .2 C . A .3! 

Vậy xác suất là: 

Cách 2: 

n 10! 

 

5 4 5 

P 

- Xếp 5 bạn nam có 5! Cách 

 

 

cách 

4 1 2 

5! A5 .2 C4. A5 

.3! 1 

 

10! 42 

5 

- Xếp 5 bạn nữ xen vào giữa 4 khoảng trống và 2 vị trí đầu hàng có A 6 

cách 

Vậy 

Vậy 

5 

5!.A 6 

cách 

5 

5!. A6 

1 

P 

10! 42 


Ta có: 

 

 

 

f x 31 x 3 x mx f ' x 31 x ln31 3 x ln3 m . Xét 2 trường hợp sau: 

 

TH1: m 0, f ' x 0 hàm số y f x luôn đồng biến không tồn tại giá trị min. 

 

 

2 2 

TH2: 0 '' 31 x 

x 

m f x ln 31 3 ln 3 0 f ' x có nhiều nhất 1 nghiệm x0 

. Chọn trường hợp 

 

f ' x 0 

có nghiệm, khi đó 


22

x x0 

f ' x 

0 + 

 

f 

x 

 

f x 0 

 

Khi đó: 

 

 

 

 

 

f x 2 31 3 mx 2 

 

 

f x 

m 

x0 x0 

0 

0 

 

x0 x0 

' 

0 

0 31 ln 31 3 ln 3 0 

Với x m 

 

0 

0 ln31 ln3 5;0 

Với x 0 * x0 

** 

 

0 

x0 x0 

31 3 

m 

 

 

 

m 

 

Từ (**) bấm máy tính ta thấy 


Ta có 

x0 x0 

31 ln31 3 ln 3 

 

m 5;0 

 

* 

 

là thỏa mãn. 

2 

2 sin 2 2 2;2 

g x f x x f x x 

suy ra bảng biến thiên 

x 2 

0 2 

f ' 

0 + 0 0 + 

f 

 

Dựa vào BBT suy ra 

x 

0 

 

x 

2 

sin 0 

x 0 


 

f 2x f 0 g x f 0 2x 2;2 max g x f 0 

 

2 2 

Đặt g x mx m 5 x 2m 1 f x thì là hàm số liên tục trên 

Từ đồ thị 

g x 

2;2 

 

y f x ta thấy có nghiệm đối dấu là x 1 

 

 

 

1;1 

 

 

 

đạt được khi 

Do đó để bất phương trình mx m 2 5 x 2 2m 1 f x 0 nghiệm đúng với mọi x 2;2 thì điều 

kiện cần là 

1 phải là nghiệm của 

 

h x mx m 5 x 2m 

1 

x 

2 2 

2 m 

1 

1 2 2 1 0 


h m m m 

m 

0,5 

Do bài cần m nguyên nên ta thử lại với m 1 

2 

h x 5 x x 1 0, x 

2;1 

và h x 5 x 2 x 1 0, x 

1;2 

 

23

Dựa theo dấu 

y f x 

trên đồ thị ta suy ra g x mx m 2 5 x 2 2m 1 f x 0, x 

2;2 

Vậy m 1 thỏa mãn điều kiện bài ra. 


Phương trình đường Elip là: 

2 2 

x y 

2 

1. Diện tích hình Elip là S 

a. b 2 

E 

m 

 

4 1 

x 

1 

x 

1 

 

 

Tọa độ giao điểm M, N là nghiệm hệ: 2 2 

x y 3 

1 

y 

 

4 1 2 

3 3 

Vậy M 

1; , N 

1; 

 

 

 

2 2 

 

Parabol (P) đối xứng qua Oy có dạng y ax 2 c a 

0 

2 

Vì B N P P y x 

1 

c 

1 

3 

3 

0; 1 , 

1; 3 : 1 1 

2 

 

a 1 

2 

 

 

2 

1 

2 

x 3 

2 

Diện tích phần tô đậm là: S1 

2 

1 1 x 1dx 

4 

2 

0 

 

1 2 

x x dx 

* Tính I1 

1 

dx . Đặt sin t costdx 


4 2 2 

0 

 

6 6 6 

2 2 

Suy ra 

0 0 0 

x 

0 t 0 

 

 

x 

1 t 

6 


 

1 6 3 

 

I1 

1sin t.2costdt 2cos tdt 1 cos 2t dt t sin 2t 

 

2 6 4 

1 

3 1 

3 

2 

3 x 3 2 

* Tính I2 

 

1 x 1 dx 1 x 

2 

 

 

2 3 

0 

0 

6 3 

3 3 2 3 4 

Vậy S 

m 2 

1 

2 

 

6 4 6 3 

 

3 6 3 

0 

24

Tổng số tiền sử dụng là: 


1 E 1 

Gọi a là số tiền anh Nam trả hàng tháng. 

r 0,6% 

Giả thiết suy ra sau 5 năm: 

 

 

 

 

S .200000 S S .500000 2.341.000 

60 a 

60 

2001 r 1 r 

1 0 a 3,979 triệu đồng. 

r 

 

Số tiền anh Nam còn nợ sau 12 tháng: 

12 a 

12 

M 2001 r 1 r 

1 165,53 

r 

 


đồng 

Với số tiền góp 9 triệu đồng 1 tháng, giả sử anh Nam mất n tháng để trả hết nợ, ta có: 

n 9 

n 

M 1 r 1 r 

1 0 n 19,5 

r 

 

Vậy sau 

12 20 32 


2 

1 '' 2 1 

f x x f x x 

Thay 

x 0 

vào (1) ta được 

tháng, anh Nam trả hết nợ. 

f 

 

1 0 

Đạo hàm hai vế của (1) ta có f ' 1 x 2 xf '' x x 2 f ''' x 2 2 

Thay 

x 0 

vào (2) ta được 

 

f ' 1 2 

Mặt khác, lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến 1 của (1) ta có: 

1 1 1 

2 

 

 

f 1 x dx x f '' x dx 2xdx 

0 0 0 

1 1 

 

 

f 1 x d 1 x f ' 1 2 xf ' x dx 1 

0 0 

1 1 

 

 

0 0 

 

f x dx 2 xf ' x dx 3 

1 

 

 

1 

Đặt f x dx I . Vì xf ' x dx f 1 f x dx f x dx nên ta có hệ: 

0 

I1 2I 3 I1 

1 

 

I I1 

I 

1 

Vậy I 1 


1 1 1 


0 0 0 

25

x 4 y 5 z 7 

 

 

 

x 

z 3 0 

+ Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình 1 1 4 

B2;3;1 

+ Do C BC nên C 4 c;5 c; 7 4c 

 

2 

c 

1 

C 3;4; 3 

3 2 18 2 18 

 

c 3 C 1;2;5 

Theo giả thiết BC 

c 

Mà đỉnh C có cao độ âm nên C 3;4; 3 

+ Gọi A x; y;3 

x 

 

Do 

 

 

 

 

 

0 

ABC 30 

 

 

 

 

 

 

AB x 2 y 3 2 

x 

 

2 

2 

nên 

3 2 

2 2 2 

9 

AC 

x 3 y 4 6 

x 

 

 

 

2 

2 

7 

x x y y 

2 

2 2 

2 8 6 0 

3 6 2 2 2 27 

2 2 

2 2 113 

2x 18x y 8y 

0 2x 8x y 6y 

0 2 

 

2 

Từ (1) có 

53 10x 

y 

2 

Thay vào (2) ta có 

2 

 

10x 

2y 

53 0 1 

 

 

7 

2 5310x 

53 10x 

7 

2x 

8x 

6. 0 

2 2 2 

2 

2 9 9 3 

108 x 972 x 2187 0 2 x 9 0 x ;4; 

2 A 

 

 

2 2 


2 


 

26

Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường tròn 

 

 

Mặt cầu (S) có tâm I 2;4;6 và có bán kính R 24 2 6 . Ta có: 

2 2 2 

IA 4 4 8 4 6 

 

 

Do hai đường tròn và ' có cùng bán kính nên IM IA 4 6 

Tam giác IAK vuông tại K nên ta có: 

Do H là tâm của đường tròn 

 

 

 

2 

2 IK 24 

IK IH. IA IH 6 

IA 4 6 

nên điểm H cố định. 

2 2 

2 2 

Tam giác IHM vuông tại H nên ta có: MH IM IH 

4 6 6 3 10 

Do H cố định thuộc mặt phẳng (P), M di động trên mặt phẳng (P) và 

M thuộc đường tròn có tâm là H và có bán kính r HM 3 10 


Cách 1: 

+ Tam giác SAB đều SA SB AB 2a 

+ Xét tam giác SAD có 

+ Gọi 

MH 3 10 

2 2 2 2 

SD SA AD 2 SA. AD.cos SAD 12a SD 2 3a 

AC 3a 13a 

2 2 2 

2 2 

AC BD O AO BO AB AO BD a 

Áp dụng công thức Hêrông ta tính được diện tích của tam giác SBD là 

S SBD 

 

không đổi. Suy ra điểm 

13 

183a 

4 

+ Gọi H là hình chiếu của A trên (SBD). Vì AB AD AS 2a H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam 

giác 


SB. SD. BD 4 39a 

SBD SH 

4 183 

S SBD 

2 

27

2 

2 2 2 624a 

6 3a 

AH SA SH 4a 

 

183 183 

2 3 

1 1 6 3a 183a 3a 

V 

. 

V 

. 

. AH. S . . 

. 

2 

. 

3 

S ABD A SBD 

V V a 

3 SBD 3 183 4 4 

S ABCD S ABD 

Cách 2: 

Ta có 

2 2 2 2 2 2 

AB AC BC 4a 3a 4a 

3 

cos BAC 

2. AB. AC 2.2 a. 3a 

4 

BAC 2 5 

cos BAD 2 cos 1 

 

8 

Áp dụng công thức tính nhanh cho khối chóp A.SBD ta có 

AS. AB. 

AD 

2 

2 2 2 

VA . SBD 

. 1 2cos SAB.cos BAD.cos DAS cos SAB cos BAD cos DAS 

2 a.2 a.2a 

1 5 1 1 25 1 3a 

. 1 2. . . 

 

6 2 8 2 4 64 4 2 

V 2V 2V 3a 

S. ABCD S. ABD A. 

SBD 


Ta có 

3 

1 m 

4 

 

x1 

 

2x 2 x x 1 

9.3 4 2 1 3 3 .3 1 0 3 4 1 3 3 0 1 

Đặt t 

m x x m x m 

3 3 

t 1 m 

x 1, phương trình (1) thành 3 4 t 3m 

3 0 2 

t 

 

3 3 

Bài toán trở thành tìm số giá trị nguyên của m để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. 

Nhận xét: Nếu là một nghiệm của phương trình (2) thì t cũng là một nghiệm của phương trình (2). 

t0 

0 

Do đó điều kiện cần để phương trình (2) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương trình (2) có nghiệm 

t 0 . 

Với t 0 thay vào phương trình (2) ta có 

Thử lại: 

2 m 

1 

m 

m 2 0 

m 

2 

t 1 2 

+) Với 2 phương trình (2) thành 3 4 t 3 0 

t 

3 3 

m 

t 1 

Ta có 3 2, t và 2 4 3 2, 

t 1 2 

t 

t suy ra 3 4 t 3 0 0, t 

 

t 

t 

3 

3 

3 3 

 

Dấu bằng xảy ra khi t 0 , hay phương trình (2) có nghiệm duy nhất t 0 nên loại m 2 

+) Với 1 phương trình (2) thành 


1 1 

t 

3 3 

t 

m 3 4 t 6 0 3 

Dễ thấy phương trình (3) có 3 nghiệm t 1, t 0, t 1 

Ta chứng minh phương trình (3) chỉ có 3 nghiệm t 1, t 0, t 1. Vì t là nghiệm thì t 

cũng là nghiệm 

phương trình (3) nên ta chỉ xét phương trình (3) trên 0; 

3 

3 

28

Trên tập , 

Xét hàm 

t 1 1 

0; 

t 

t 

 

3 3 4 6 0 

3 3 

t 1 1 

3 4 t 6 trên 

t 

0; 

3 3 

 

f t 

2 1 

f t f t t 

3 t 

3. t 

t t t 2 t 

2 

' 3 ln 3 3 .ln 3 , '' 3 ln 3 3 .ln 3 0, 0 

3 

 

Ta có 

f 't 

 

Suy ra đồng biến trên 0; f ' t 0 có tối đa 1 nghiệm t 0 f t 0 có tối đa 2 nghiệm 

t 0; 

 

 

. Suy ra trên 0; , phương trình (3) có 2 nghiệm t 0, t 1 

Do đó trên tập , phương trình (3) có đúng 3 nghiệm t 1, t 0, t 1. Vậy chọn m 1 

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được m 2 ta có thể kết luận đáp án C do đề 

không có phương án nào là không tồn tại m. 


Nhận xét z 0 không thỏa mãn giả thiết bài toán. 

Đặt z R, R 0 

z 

z 

i z i R R i 

w 

w 

Ta có: 2 1 2 1 1 

2 

1 5 2 2 

R 2 

R R 

5R 

2R 

2 

2 

w 

w R 

2 

Suy ra w , R 

0 

3 

2 4 2 

Ta có T w 1 i w 1 i 2 

3 3 

Đẳng thức xảy ra khi 

4 2 

Vậy maxT 

3 

2 2 1 1 9 3 

5 2 , R 0 

2 

R R R 2 2 2 

 

z 2 z 2 

 

 

 

 

w k 1 i , k 0 1 

 

w 1 

i 

z 

 

3 

 

2 i 

z 1 

i 

w 


2 

 

 

 

29





 

a b 

 

Câu 1 [NB]: Cho hàm số y f x liên tục trên ; và có f ' x 0; x a; 

b , khẳng định nào sau 

đây sai? 

A. min f x f a 

B. đồng biến trên 

 

 

a; 

b 

 

 

C. max f x f b 

D. 

 

 

a; 

b 

 

f a f b 

f x 

a; 

b 

 

Câu 2 [TH]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;0; 2 , B 2;3; 1 , C 0; 3;6 

. 

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 

G 

 

G 

G 

1;0;1 

 

A. 1;1;0 B. 3;0;1 

C. 3;0; 1 D. G 

: 2 2 7 0 

Câu 3 [TH]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P x y z và điểm A 1;1; 2 

. 

 

 

Điểm H a; b; 1 

là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Tổng a b bằng 

A. 3 B. 1 

C. 3 

D. 2 

Câu 4 [TH]: Tìm điểm cực đại của hàm số 

4 2 

y x 2x 


 

A. x 1 

B. x 0 

C. x 1 

D. x 2019 

Câu 5 [TH]: Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 

a;2 a;3a 

có thể tích bằng: 

3 

3 

3 

A. 2 a 

B. 6 a 

C. 12 a 

D. 3 a 

Câu 6 [NB]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho (P) có phương trình: 2x 

4z 

5 0. Một VTPT của (P) 

là: 

 

 

 

 

A. n 1;0; 2 

B. n 2; 4; 5 

C. n 0;2; 4 

D. n 1; 2;0 

 

 

 

Câu 7 [TH]: Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn 5 i 

z 7 17i 

 

A. 2 

B. 3 C. 3 

D. 2 

Câu 8 [TH]: Cho 

 

3 

2 

I sin 

xcos 

xdx , khẳng định nào sau đây đúng? 

0 

1 

1 1 

1 2 

2 

A. 0 I B. I 

C. I 

D. I 1 

3 

3 2 

2 3 

3 

 

 

Câu 9 [NB]: Cho hàm số y f x liên tục trên a; 

b . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

y f x 

, trục Ox, các đường thẳng x a; 

x b và V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) 

quanh trục Ox, khẳng định nào sau đây đúng? 

b 

 

2 

A. V 

f x 

dx B. V f x dx C. V f x 2 

 

dx D. V f x dx 

a 


b 

a 

 

 

b 

 

a 

 

 

3 

b 

a 

 

 

1

Câu 10 [TH]: Tìm tập xác định của hàm số y log x 2 x 2 

 

1; 

 

1;1 

 

A. ;2 B. C. ; 1 2; D. 

Câu 11 [TH]: Số 1458 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân u có công bội u1 2 và q 3 

A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 

Câu 12 [TH]: Tìm họ nguyên hàm 

2 

 

F x 

 

 

1 

2x 

1 3 

1 

A. F x 

C 

B. F x 

4 2x 

1 

1 

C. F x 

C 

D. F x 

4 2x 

1 

3 

Câu 13 [TH]: Tìm số nghiệm của phương trình x x 

dx 

 

 

 

ln ln 2 1 0 

n 

 

1 

 

6 2 1 

x 2 

1 

 

6 2 1 

x 3 

C 

C 

A. 2 B. 4 C. 1 D. 0 

Câu 14 [NB]: Số phức nào dưới đây là một căn bậc hai của số phức z 3 4i 

? 

A. 2 i 

B. 2 i 

C. 1 2i 

D. 1 

2i 

Câu 15 [TH]: Biết 

 

a 

1 a 

1 

2 2 

, khẳng định nào sau đây đúng? 

A. a 1 

B. 1 a 2 

C. 0 a 1 

D. a 2 

2 

Câu 16 [TH]: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4 , trục Ox, đường thẳng x 3. 

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành. 

7 

5 

A. V (đvtt) B. V (đvtt) C. V 2 

(đvtt) D. V 3 

(đvtt) 

3 

3 

Câu 17 [NB]: Tính đạo hàm của hàm số y 2019 x . 

1 

A. ' .2019 x 

1 

y x 

B. y ' 2019 x 

x 

C. y ' 2019 .ln 2019 D. y ' 2019 x 

 

4x 

Câu 18 [TH]: Tính tích phân I e 1 

dx . 

ln 2 

0 

 

15 17 

A. I ln 2 B. I 4 ln 2 

C. I ln 2 D. 

4 

4 


Câu 19 [TH]: Tìm hệ số của số hạng chứa 

trong khai triển 

5 

x 3x 2 8 

3 

3 

3 

A. 1944 C 8 

B. 1944C 8 

C. 864C 8 

D. 864 

Câu 20 [TH]: Đồ thị hàm số sau là đồ thị của hàm số nào? 

x 1 

2x 

2 

A. y B. y 

x 1 

x 1 

x 1 

C. y 

x 

D. y 

x 1 

x 1 

15 

I ln 2 

2 

3 

C 8 

2

Câu 21 [TH]: Hàm số 

y 2018x x 

2 

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? 

1010;2018 

2018; 

0;1009 

1;2018 

A. B. C. D. 

Câu 22 [TH]: Cho hình chóp S.ABC có SA 3a 

cạnh a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. 

vuông góc với đáy và tam giác ABC là tam giác đều 

3 

3 

3 

3a 

3 3a 

3a 

A. V 

B. V 

C. V 

D. V 

2 

4 

4 

Câu 23 [TH]: Cho hàm số 

x 

y ' 

y 

y f x 


2 

1 3 

 

Khẳng định nào sau đây sai? 

 

1;3 

 

0 + 0 0 + 

2 

f x 

 

A. min 1 B. max f x 4 

C. min f x 2 

D. max f 4 

 

4 

1 

 

 

2;3 

Câu 24 [TH]: Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh huyền bằng 2a. Tính 

diện tích xung quanh 

xq 

S xq 

của hình nón. 

2 

2 

2 

A. S 2a 

B. S 2 

2a 

C. S 2 

a D. S 

xq 

Câu 25 [TH]: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình 

P log a log b 

2 2 

xq 

xq 

3 3 

2 

a 

3 

x 

a 

x x1 

4.4 9.2 8 0 . Tính giá trị 

A. P 3 

B. P 1 

C. P 4 

D. P 2 

2 

Câu 26 [VD]: Gọi z , z là 2 nghiệm của phương trình 2z 

z 1 0. Tính giá trị biểu thức 

2 2 

A z z 

1 2 

1 2 

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 

x 1 

Câu 27 [TH]: Cho hàm số y có đồ thị C 

. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị C 

. 

2 

2x 

2 

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 

Câu 28 [TH]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 

đây KHÔNG thuộc đường thẳng d? 


x 1 y 1 z 2 

d : . Điểm nào dưới 

2 1 2 

M N 

P 

 

A. 3; 2; 4 B. 1; 1; 2 

C. 1;0;0 D. Q 3;1; 2 

Câu 29 [TH]: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập ? 

2 

3

4 

3 

A. y x 

B. y tan x 

C. y x 

D. 

y log 

 

2 

Câu 30 [VD]: Cho lăng trụ tam giác đều tất cả các cạnh bằng a nội tiếp trong một hình trụ (T). Gọi V1 , V2 

V1 

lần lượt là thể tích của khối trụ (T) và khối lăng trụ đã cho. Tính tỉ số 

V 

V1 

4 3 

V1 

4 3 

V1 

3 

V 

A. B. C. D. 

V 9 

V 3 

V 9 

V 

2 

Câu 31 [VD]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 

2 

2 

2 

 

1 

2 

S x y z 

2 2 

2 

 

: 2 1 9 

x 

3 

3 


P : 2x y 2z 

3 0 . Biết rằng mặt cầu S cắt P 

theo giao tuyến là đường tròn C 

. Tính bán 

kính R của C 

 

A. r 2 2 B. r 2 

C. r 2 

D. r 5 

Câu 32 [TH]: Cho hàm số 

Trong các giá trị 

a, b, c, 

d 

A. 3 B. 1 

C. 2 D. 4 

Câu 33 [VD]: Cho hàm số 

3 2 

y ax bx cx d 

có bao nhiêu giá trị âm? 

có đồ thị như hình bên. 

y ex e x , khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên B. Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 

C. Hàm số đạt cực đại tại x 1 

D. Hàm số đồng biến trên 

Câu 34 [VD]: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện 

z i 1 z 2i 

và z 1 

A. 0 B. 2 C. 1 D. 4 

Câu 35 [VD]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

x e 

2 

2 

2 

e 3 

e 1 

e 1 

A. S 

B. S 

C. S 

D. 

4 

2 

2 

 

y xln 

x , trục Ox và đường thẳng 


2 

e 1 

S 

4 

Câu 36 [VD]: Cho hộp kín chứa 50 quả bóng kích thước bằng nhau, được đánh số từ 1 đến 50. Bốc ngẫu 

nhiên cùng lúc 2 quả bóng từ hộp trên. Gọi P là xác suất bốc được 2 quả bóng có tích của 2 số ghi trên 2 

quả bóng là một số chia hết cho 10, khẳng định nào sau đây đúng? 

A. 0,2 P 0,25 B. 0,3 P 0,35 C. 0,25 P 0,3 D. 0,35 P 0,4 

Câu 37 [VD]: Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH log 

 

H 

với 

H 

là nồng 

độ ion H trong dung dịch đó. Cho dung dịch A có độ pH ban đầu bằng 6. Nếu nồng độ ion H trong 

dung dịch A tăng lên 4 lần thì độ pH trong dung dịch mới gần bằng giá trị nào dưới đây? 

A. 5,2 B. 6,6 C. 5,7 D. 5,4 

4

Câu 38 [VD]: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 

phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Gọi là góc tạo bởi mp (P) và (ABCD). Tính tan 

6 

6 

2 

A. tan B. tan 

C. tan 

D. tan 

3 

2 

3 

Câu 39 [VD]: Cho tam giác ABC vuông tại B và nằm trong mặt phẳng (P) có 

điểm S thay đổi trên đường thẳng vuông góc với (P) tại 

 

A S A 

 

a 

5 . Gọi (P) là mặt 

3 

2 

AB 2 a, BC 2 3a 

. Một 

. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông 

góc của A lên SB, SC. Biết rằng khi S thay đổi thì bốn điểm A, B, H, K thuộc mặt cầu cố định. Tính bán 

kính R của mặt cầu đó. 

A. R 2a 

B. R 3a 

C. R 2a 

D. R a 

Câu 40 [VD]: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết 

AB 4 a, AD 3 a, SB 5a 

. Tính khoảng cách từ điểm C đến mp (SBD) 

12 41a 41a 12 61a 61a 

A. B. C. D. 

41 

12 

61 

12 

Câu 41 [VD]: Gọi S là tập các giá trị m thỏa mãn hệ sau có nghiệm 

 

4 2 

x m x x m 

 

 

 

1 1 1 2019 0 

2 4 

mx m x 

3 1 0 

 

. Trong tập S có bao nhiêu phần tử là số nguyên? 

A. 1 B. 0 C. 2 D. 4 

Câu 42 [VD]: Cho hình chóp S.ABC có 

SA SB SC AB AC a, BC 2x 

a 3 

và x thay đổi thuộc khoảng 

0; 

). Tính thể tích lớn nhất của hình chóp S.ABC 

2 

V max 

 

3 

3 

3 

a 

a 2 

a 

A. Vmax 

 

B. Vmax 

 

C. Vmax 

 

D. V 

6 

4 

8 

(trong đó a là hằng số 

max 

3 

a 2 

 

12 

x y 1 z 2 

Câu 43 [VD]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : và mặt 

1 2 1 

phẳng P : 2x y 2z 

2 0 . (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất. Gọi 

 

n a; b;1 

là một vecto pháp tuyến của (Q). Đẳng thức nào đúng? 

Q 

A. a b 1 

B. a b 2 

C. a b 1 

D. a b 0 

Câu 44 [VD]: Cho các số phức z, z , z thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: iz 2i 

4 3 ; phần thực 

1 2 

của bằng 2; phần ảo của z bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z z z 

z1 

2 

A. 9 B. 2 C. 5 D. 4 

Câu 45 [VDC]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu 

trình là 

S 

, 

S 

 

1 2 

2 2 

1 2 

lần lượt có phương 

2 2 2 2 2 2 

x y z 2x 2y 2z 22 0, x y z 6x 4y 2z 

5 0 . Xét các mặt phẳng 

P 

thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi 

 

 

P đi qua. Tính tổng S a b c 


 

A a; b; 

c 

 

là điểm mà tất cả các mặt phẳng 

5

5 

5 

9 

A. S 

B. S 

C. S 

D. 

2 

2 

2 

9 

S 

2 

 

 

Câu 46 [VD]: Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm trên 1;0 . Biết 

2 

f x . Tính giá trị biểu thức 

f ' x 3x 2 x e , x 1;0 

A f 0 f 1 

A. A 1 

B. A 1 

C. A 0 

D. 

Câu 47 [VD]: Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật ABCD có 

2 

diện tích bằng 1 và cạnh BC x m để làm một thùng 

m 

đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: 

Chia hình chữ nhật ABCD thành hai hình chữ nhật ADNM 

và BCNM, trong đó phần hình chữ nhật ADNM được gò 

thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng AM, 

phần hình chữ nhật BCNM được cắt một hình tròn để làm 

đáy của hình trụ trên (phần inox còn thừa được bỏ đi). 

Tính gần đúng giá trị x để thùng nước trên có thể tích lớn 

nhất (coi như các mép nối không đáng kể). 

A. 1,37m B. 1,02m C. 0,97m D. 1m 

1 

A e 

x 7 

Câu 48 [VD]: Gọi C 

là đồ thị hàm số y , A, B là các điểm thuộc C 

có hoành độ lần lượt là 0 

x 1 

và 3. M là điểm thay đổi trên C sao cho 0 3, tìm giá trị lớn nhất của diện tích ABM 

 

 

A. 3 B. 5 C. 6 D. 3 

 

Câu 49 [VDC]: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên . 

Biết hàm số 

f 

' x 

kiện của m để hàm số 

 

0;1 

 

có đồ thị được cho trong hình vẽ. Tìm điều 

 

x M 

g x f 2019 mx 2 

A. m 0 

B. m ln 2019 

C. 0 m ln 2019 D. m ln 2019 

Câu 50 [VD]: Tìm số nghiệm của phương trình 2 x 1 

x 

đồng biến trên 


x 1 e 

log 2 0 

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 

5 


1.D 2.D 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.A 9.A 10.C 

11.D 12.A 13.C 14.C 15.B 16.A 17.C 18.A 19.B 20.C 

6

21.A 22.C 23.B 24.A 25.B 26.B 27.D 28.D 29.C 30.A 

31.A 32.C 33.B 34.B 35.D 36.C 37.D 38.A 39.A 40.A 

41.A 42.C 43.B 44.D 45.D 46.C 47.B 48.A 49.A 50.A 

Câu 1: 


Sử dụng lý thuyết về hàm số đồng biến. 


 

f x 

 

 

Hàm số y f x có ' 0 với x a; 

b thì hàm số đồng biến trên khoảng a; 

b nên B đúng. 

Và min f x f a và max f x f b nên A, C đúng. 

 

 

a; 

b 

 

 

D sai vì f a f b 

Chọn: D 

Câu 2: 


Điểm G là trọng tâm 


Điểm G là trọng tâm 

Chọn: D 

Câu 3: 


 

ABC 

ABC 

 

a; 

b 

thì 

thì 

 

 

 

x 

 

y 

 

 

z 

 

G 

G 

G 

 

xA xB xC 

 

3 

y y y 

 

3 

zA zB zC 

 

3 

A B C 

1 

2 0 

 

xG 

1 

3 

 

0 3 3 

yG 

0 G1;0;1 

3 

2 1 

6 

zG 

 

1 

3 

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và nhận 

Bước 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng 


Mặt phẳng 

 

 

P 

có 1 VTPT là n 2; ;2 1 

Đường thẳng d đi qua A và nhận 


P 

 

P 

n 

P 

 

 

làm VTCP 

. Đó là điểm H cần tìm 

n x 

1 

2t 

 

P 

làm VTCP có phương trình y 

1 2t 

 

z 

2 t 

7

P 

 

H là hình chiếu của A lên mặt phẳng thì tọa độ giao điểm H của d và P là nghiệm của hệ 

x 

1 

2t 

x 

1 

y 

1 2t 

 

 

21 2t 21 2t 2 t 

7 0 9t 9 0 t 1 y 

3 

z 

2 

t 

z 

1 

 

2x 2y z 7 0 

Suy ra 

Chọn: D 

Câu 4: 

H 1;3; 1 a 1; b 3 a b 2 


Hàm số bậc bốn trùng phương có hệ số 


a 0 đạt cực đại tại x 0 

4 2 

Hàm số y x 2x 

2019 có a 1 0 nên đạt cực đại tại x 0 

Chọn: B 

Câu 5: 


Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 


Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 

Chọn: B 

Câu 6: 


Mặt phẳng 

a, b, 

c thì có thể tích V abc 

a;2 a;3a 

thì có thể tích bằng 

 

có một VTPT n A; B; 

C 

P : Ax By Cz D 0 

a.2 a.3a 

6a 


 

1 

Mặt phẳng P : 2x 4z 

5 0 có một VTPT n2;0; 4 

hay nó cũng nhận 1;0; 2 

làm VTPT. 

2 n 

 

Chọn: A 

Câu 7: 


 

 

Số phức z a bi, a, 

b có phần thực là a và phần ảo là b. 


 

7 17i5 

i 

 

7 17i 

52 78i 

5 i 

z 7 17i z 2 3i 

5 i 5 i 5 i 26 

Nên phần thực của số phức z là 2. 

Chọn: D 

Câu 8: 


Đổi biến t cos x tính tích phân. 


3 

8


Đặt t cos x dt sin 

xdx 

Đổi cận 

Do đó 

Chọn: A 

Câu 9: 

x 

0 t 1 

 

1 . Khi đó, 

x 

t 

3 2 

7 1 

0 I 

24 3 


1 

2 

1 

1 3 

2 2 t 

1 1 7 

I t dt t dt 

3 3 24 24 

Sử dụng công thức dùng ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể. 


Thể tích vật thể tạo thành khi quay hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 

thẳng 

Chọn: A 

Câu 10: 

x a; 

x b 


là V f x 

dx 

2 

 

b 

a 

Hàm số y log a 

f x xác định nếu xác định và 


Hàm số 

 

y x x 

2 

log 2 

 

xác định nếu 

1 

2 

1 

1 

2 

f x 

f x 0 

x 

2 x 

2 

Vậy tập xác định của hàm số là D ; 1 2; 

 

Chọn: C 

Câu 11: 


 

 

x 2 0 

x 

1 

Cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q thì có số hạng thứ n là 


un 

1 

y f x 

, trục Ox, các đường 

n1 

u u u q q 

 

n 1 n 1 

Gọi số hạng thứ n là u 1458 u q 1458 2.3 1458 

 

Chọn: D 

n1 

3 729 n 1 6 n 7 

Câu 12: 


Đưa hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng 

 

 

 

 

n 

n 

 

 

n ax b 

ax b 

dx C 

a. n 1 


1 

1 

 

a x b 

n 

và sử dụng công thức 

n 

1 

0 


9

Ta có: 

 

 

 

2 

1 3 

2x 

1 

1 

3 2 1 

2 

F x dx x dx C C 

2x 

1 2.2 

4 2x 

1 

 

 

 

 

 

 

Chọn: A 

Câu 13: 


+ Điều kiện. 

+ Sử dụng công thức log b log c log bc 0 a 1; b, c 0 đưa về phương trình dạng 

log x b x a 

a 



1 

x 

2 

b 

a a a 

 

x 

1 

tm 

 

2 

ln x ln 2x 1 0 ln x. 2x 1 0 2x x 1 

2 

2x 

x 1 0 

1 

x 

2 

 

ktm 

Vậy phương trình có 1 nghiệm x 1 

Chọn: C 

Câu 14: 


Số phức w được gọi là một căn bậc hai của số phức z nếu z w 


Thử đáp án. 

2 

Đáp án A: 2 i 4 4i 1 3 4i 

nên loại A. 

2 

Đáp án B: 2 i 4 4i 1 3 

4i 

nên loại B. 

2 

Đáp án C: 1 2i 1 4i 4 3 4i 

nên chọn C. 

Chọn: C 

Chú ý: 

Các em có thể giải theo cách trực tiếp: 

 

 

 

2 

Gọi w a bi là một căn bậc hai của z. Khi đó w z a bi 3 4i 

. Giải phương trình trên ta 

2 

cũng thu được đáp án. 

Câu 15: 


Sử dụng 


a 

f x f x 

 

Ta có 

Chọn: B 

2 2 


b 

mà 

 

a b 0 f x 1 

a 1 a 1 0 a 11 1 a 2 

 

2 

10

Câu 16: 


- Tìm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. 

2 

- Sử dụng công thức tính thể tích 



b 

 

V f x dx 

a 

2 

y x x 

4 0 2 

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh Ox là: 

2 

2 2 

 

3 3 3 3 3 3 

x 3 2 7 

V 

x 4 dx x 4 dx 4x 

4.3 4.2 

 

3 3 3 3 

Vậy V 

Chọn: A 

Câu 17: 

2 2 

7 

3 


(đvtt) 

x x 

Sử dụng công thức a ' a .ln a 


x 

Ta có y 

Chọn: C 

Câu 18: 


x 

' 2019 ' 2019 .ln 2019 



4 

Ta có: 

Chọn: A 

Câu 19: 

 

e 

 

a 

a xb 

a xb 

e dx C 

 

2 

ln 2 4x 

ln 2 4ln 2 0 

x e e e 

1 15 

I e 1 dx 

x 

ln 2 0 4 ln 2 ln 2 

4 

0 

0 

4 4 4 4 


n 

n k n k k 

 

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton a b 

Cn 

a b 


Ta có 

 

k0 

8 n 

8 n 

k k k k 8 k k 8 k 

 

8 

 

8 

k0 k0 

3x 2 C 3 x . 2 C .3 . 2 . x 

5 

Số hạng chứa x trong khai triển ứng với 8 k 5 k 3 nên hệ số cần tìm là 

Chọn: B 

Câu 20: 


 

C 

3 

.3 . 2 1944C 

3 8 3 3 

8 8 

11


- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với hai trục tọa độ. 

- Đối chiếu các đáp án và nhận xét. 


 

Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị cắt hai trục tọa độ tại các điểm 1;0 và 0; 1 

. 

Đáp án A: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm 1;0 nên loại A. 

Đáp án B: Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm 0; 2 


 

 

Đáp án C: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm 1;0 và cắt Oy tại điểm 0; 1 

nên chọn C. 

Chọn: C 

Câu 21: 


 

 

 

 

 

f x 

a b 

 

Hàm số y f x có ' 0 trên khoảng ; thì hàm số nghịch biến trên a; 

b . 



2 

y 2018x x có TXĐ D 0;2018 

2x 

2018 x 


y ' 

 

2 2018x x 2018x x 

2 2 

Ta thấy y ' 0 x 1009 0 x 1009 

nên hàm số nghịch biến trên 1009;2018 

Từ các đáp án ta thấy chỉ có A thỏa mãn vì 1010;2018 1009;2018 

Chọn: A 

Chú ý: Một số em không để ý đến điều kiện xác định của hàm số dẫn đến chọn nhầm đáp án B. 

Câu 22: 


1 

Thể tích khối chóp V Sh với S là diện tích đáy, h là chiều cao. 

3 


Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích 

S 

ABC 

2 

a 3 

 

4 

2 3 

1 1 a 3 a 3 

Thể tích khối chóp V S 

ABC. SA . .3a 

 

3 3 4 4 

Chọn: C 

Câu 23: 


Đọc bảng biến thiên để suy ra GTLN và GTNN của hàm số 


Từ BBT ta thấy 

 

 

 

 

1;3 

2;3 

 

 

 

min f x 1;min f x 2;max f x 4 

 


 

x 

là những khẳng định đúng. 

Còn đáp án B: max f x 4 sai vì lim y nên không tồn tại GTLN của hàm số trên 

12

Chọn: B 

Câu 24: 


Diện tích xung quanh Sxq 


Bán kính đáy 

rl 

1 1 

r BC .2 a a 

2 2 

Tam giác ABC vuông cân có 

Vậy diện tích xung quanh 

Chọn: A 

Câu 25: 


 

 

xq 

BC 2a 

nên AB AC a 2 l 

S rl a a a 

2 

. . 2 2 

x 

Đặt ẩn phụ 2 t t 0 để đưa về giải phương trình bậc hai ẩn t. Thay trở lại cách đặt để tìm x. 


Ta có 

Đặt 

1 

4.4 x 9.2 x 

8 0 4.4 x 18.2 x 8 0 2.4 x 9.2 x 4 0 

t 

4 

x 

2 

2 t t 

0 

ta có phương trình 2. t 9t 4 0 

1 tm 

 

 

t 

2 

x 

2 4 

Do đó x 

2 

1 P log2 a log2 b log2 2 log21 1 

x 

2 x 

1 

2 

Chọn: B 

Câu 26: 


- Giải phương trình tìm z1, 

z2 

- Thay vào tính A và kết luận. 


2 

1 

i 7 

Ta có: 2z 

z 1 0 có 1 4.2.1 7 

nên phương trình có hai nghiệm z1,2 

 

4 

Do đó 

Vậy 

z 

Chọn: B 

Câu 27: 

2 

1 

7 1 

z 

4 

4 

2 

2 2 

1 2 

2 2 1 1 

A z1 z2 

1 

2 2 



2 

13


được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x nếu một trong các điều kiện 

sau được thỏa mãn 



x 

1 

 

x 

1 

lim y ; lim y ; lim y ; lim y 

 

xx0 xx0 xx0 xx0 

x 1 x 1 

Ta có lim f x lim lim 0 nên x 1 không là TCĐ của đồ thị hàm số . 

 

x 1 x 1 2 

 

x1 

2x 

2 2. x 1 

f 

x 1 

x 

2 

lim lim 

 

x1 x1 

2 x 2 

Chọn: D 

Câu 28: 


 

 

lim x 1 2 

 

x1 

vì 

nên x 1 là TCĐ của đồ thị hàm số. 

2 

lim 2x 

2 

 

x1 

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng và kiểm tra tọa độ đó có thỏa mãn phương trình hay 

không. 


3 1 2 1 4 2 

Đáp án A: 1 nên M d 

2 1 2 

11 11 2 2 

Đáp án B: 0 nên N d 

2 1 2 

Đáp án C: 

Đáp án D: 

Chọn: D 

Câu 29: 


11 0 1 0 2 

1 

2 1 2 

nên 

3 1 1 1 2 2 

 

 

nên Q d 

2 1 2 

P d 

 

 

Hàm số y f x xác định trên và có f ' x 0, x 

(dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm) thì 

hàm số đồng biến trên . 


4 

3 

+ Đáp án A: Hàm số y x xác định trên và có y ' 4x 0 x 0 nên hàm số đồng biến trên 

 

 

0; 

nên loại A. 

 

 

+ Đáp án B: Hàm số y tan x có TXĐ D \ k 


4 

+ Đáp án D: Hàm số y log 2 

x có TXĐ D 0; nên loại D. 

 

3 

2 

+ Đáp án C: Hàm số y x xác định trên và có y ' 3x 0; x 

và y ' 0 x 0 nên hàm 

số đồng biến trên . 


 

14

Chọn: C 

Câu 30: 


2 

- Thể tích khối trụ V r h với r là bán kính đáy. 

1 

- Tính thể tích khối lăng trụ V Sh với S là diện tích đáy. 


Diện tích tam giác đáy 

Chiều cao tam giác ABC là 

2 2 a 3 a 3 

OA h . 

3 3 2 3 

2 

2 

a 3 

S 

4 

a 3 

h 

2 

 

bán kính 

2 

2 a 3 a h 

Thể tích khối trụ V1 

r h . 

 

. h 

3 

3 

2 2 

a 3 a h 3 

Thể tích lăng trụ V2 

Sh . h 

4 4 

Vậy 

2 2 

V1 

a h a h 

V 

2 

Chọn: A 

Câu 31: 


3 4 4 3 

: 

3 4 3 3 9 

2 

S 

P 

 

2 2 2 

r h R h d I; 

P 

Mặt cầu tâm I và bán kính R cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn C bán kính r. 

Khi đó ta có mối quan hệ với . Từ đó ta tính r. 


S 

Mặt cầu tâm I 2;0 1 

và bán kính R1 3 

2.2 0 2. 1 3 

; 1 

Ta có h d I P 

 

 

 

 

2 2 2 

2 1 2 

Bán kính đường tròn giao tuyến là 

Chọn: A 

Câu 32: 


2 2 2 

R R1 h 3 1 2 2 

Quan sát đồ thị hàm số, nhận xét các điểm đi qua, điểm cực trị, điểm uốn và suy ra dấu của a, b, c, 

d 


3 2 2 

y a x bx cx d y ' 3ax 2 bx c, y '' 6ax 2b 

Từ đồ thị hàm số ta thấy: 


15

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;d nằm phía dưới trục hoành nên d 0 

+) lim y nên a 0 

x 

+) Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung nên phương trình y ' 0 có hai nghiệm 

trái dấu 

3ac 

0 c 0 do a 0 

b 

+) Điểm uốn U có hoành độ dương nên phương trình y '' 0 có nghiệm x 0 b 0 do a 0 

3a 

Vậy a 0, b 0, c 0, d 0 

Có 2 trong 4 số 

Chọn: C 

Câu 33: 


a, b, c, 

d 

mang giá trị âm. 

f ' x0 

0 

Tính y ' sau đó lập BBT hoặc sử dụng hàm số y f x 

có thì x 0 

là điểm cực tiểu của hàm 

f '' x0 

0 

 

số y f x . 


TXĐ: D 

 

Ta có ' x 

x 

y e e 0 e e x 1 

 

1 

x 

Lại có y '' e y '' 1 e 0 nên x 1 

là điểm cực tiểu của hàm số. 

Chọn: B 

Câu 34: 


 

 

- Gọi z a bi, a, 

b , thay vào các điều kiện bài cho. 

- Lập hệ phương trình ẩn a, 

b . Tìm a, 

b và kết luận. 


Gọi 

z a bi, a, 

b 

 

 

, ta có: 

2 

a 1 b 1 a b 

2 

2 2 2 

z 1 z 1 a b 1 

 

z i 1 z 2i a 1 b 1 i a b 2 i 

2 2 2 

 

2a 1 2b 1 4b 4 2a 2b 2 0 a b 1 

2 2 2 2 2 

b 

0 a 1 

a b 1 b 1 

b 1 2b 2b 

0 

b 

1 a 0 

Vậy có hai số phức thỏa mãn là z1 1, 

z2 

i 

Chọn: B 

Câu 35: 



 

 

16

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox, đường thẳng x a; 

x b là 

b 

a 

 

S f x dx 

0 

Để tìm đủ cận tích phân ta đi giải phương trình f x . 

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính toán. 


ĐK: x 0 


Diện tích hình phẳng cần tìm là 

1 

dx du 

ln 

x u x 

Đặt 2 

xdx dv x 

v 

2 

Suy ra 

Hay 

Chọn: D 

Câu 36: 

x 

0 ktm 

xln x 0 

ln x 0 x 1tm 

e 

 

 

 

S xln 

x dx xln 

xdx 

1 1 

e 2 e e 2 2 e 

2 2 e 2 2 2 

e 

 

x x 1 e 1 e x e e 1 e 1 

xln xdx ln x . dx 

xdx 

2 2 x 2 2 2 4 2 4 4 4 

 

 

 

1 1 1 1 

1 

2 

e 1 

S 

4 


Chia thành các trường hợp: 

+ Trong hai quả bóng bốc được có ít nhất một quả có số chia hết cho 10. 

+ Trong hai quả bốc được có một quả có chữ số hàng đơn vị bằng 5 và một quả có chữ số hàng đơn vị là 

2,4,6,8. 

Đếm số khả năng có lợi cho biến cố và tính xác suất. 


Xét phép thử T: “Bốc ngẫu nhiên 2 trong 50 quả bóng”. 

2 

Số phần tử khong gian mẫu 


n C 50 

Gọi A là biến cố: “Tích hai số ghi trên hai bóng chia hết cho 10:. 

+) TH1: Trong hai quả bốc được có ít nhất 1 quả có số chia hết cho 10. 

Số cách chọn để trong hai quả không có quả nào có số chia hết cho 10 là 

2 

C 45 

Số cách chọn để trong hai quả có ít nhất 1 quả có số chia hết cho 10 là C 

2 2 

50 

C45 235 

+) TH2: Trong hai quả bốc được có 1 quả có chữ số hàng đơn vị là 5 và 1 quả có chữ số hàng đơn vị là 

2,4,6,8. 

1 1 

Số cách chọn để có được hai số trên (không phân biệt thứ tự) là C . C 100 

5 20 

17

n A 235 100 335 

Vậy P A 

Chọn: C 

Câu 37: 


 

2 

C 

n A 335 67 

0,27 

n 

245 

 

Tính nồng độ ion 

H 

khi độ pH bằng 6. 

Từ đó tính độ pH khi nồng độ ion 


50 

 

 

H 

 

 

tăng 4 lần. 

Khi độ pH = 6 ta có 6 log 

H 

 

 

H 

 

10 

6 

Khi nồng độ ion H 

6 

 

 

 

tăng 4 lần tức là lúc này 

H 

4.10 

thì độ pH là 

pH 

H 

 

Chọn: D 

Câu 38: 


6 

log log 4.10 5,4 

 

 

Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt 

phẳng ấy. 


Gọi O là tâm hình vuông ABCD. 

 

 

SO ABCD 

Ta có: 

góc giữa ABCD 

và P 

là góc 

SC P 

giữa SC và SO hay SCO. 

1 1 

Hình vuông ABCD cạnh 2a nên OC AC .2 a 2 a 2 

2 2 

Tam giác SOC vuông tại O nên 

2 2 2 2 

SO SC OC a a a 

5 2 3 

OC a 2 6 

tan tan CSO 

SO a 3 3 

Chọn: A 

Câu 39: 


Chỉ ra ba đỉnh H, K, B cùng nhìn cạnh AC dưới một góc vuông. Từ đó suy ra bán kính mặt cầu đi qua 4 

điểm A, H, B, K. 


Ta có 

 

 

BC AB gt 

 

 

BC SA do SA ABC 


 

 

 

BC SAB BC AH 

 

18

Mà AH SB AH SBC AH HC 

Ta thấy 

AHC 90 ; AKC 90 ; ABC 90 

0 0 0 

đỉnh A; H; B; K nhận AC là đường kính nên bán kính 

2 2 2 2 

AC AB BC 4a 12a 

R 2a 

2 2 2 

Chọn: A 

Câu 40: 


Sử dụng lý thuyết: 

nên mặt cầu đi qua bốn 

Cho 

 

 

 

 

 

 

d A, 

IA IA 

AH 

I . Khi đó: 

d A, 

. d H, 

 

 

d H, 

IH IH 


Gọi O là giao điểm của AC và BD. 

Dễ thấy 

Nên , , 

AC SBD O và OA OC 

d C SBD d A SBD h 

Tam giác vuông SAB có 

2 2 

SA SB AB 3a 

Xét tứ diện vuông A.SBD có 1 1 1 

1 

2 2 2 2 

h AD AB AS 

1 1 1 41 

 

9a 16a 9a 144a 

2 2 2 2 

2 

2 144a 12a 12a 

41 

h h 

Vậy , 

Chọn: A 

Câu 41: 

41 41 41 

12a 

41 

d C SBD 

41 


Tìm điều kiện xác định 

Dựa vào điều kiện có nghiệm của hệ đề phân tích các trường hợp xảy ra của tham số m. 


ĐK: x 1 


 

19

mx 2 3m x 4 1 0 m x 2 3 x 

4 1 

Xét phương trình 

x 1 0; x 1 m x 3 0 m 0 

4 2 

Vì 

+ Với m 0 ta có hệ phương trình 

 

 

 

 

4 

x 

x 

4 

4 

1 0 

1 0 

4 

x 1 0 

x 

1 

 

x 

tm 

1 

4 2 

+ Với 0 thì bất phuơng trình x 1 m x 1 x 1 2019m 

0 vô nghiệm vì 

m 

 

4 2 

x m x x m x 

1 1 1 2019 0; 1 

Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn đề bài là m 0 

Chọn: A 

Câu 42: 


- Lập hàm số tính thể tích V theo x. 

- Sử dụng phương pháp xét hàm tìm Vmax 

 


Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì O AH 

với H là trung điểm BC. 

Do SA SB SC nên SO ABC 

Tam giác AHB vuông tại H có 

Diện tích 

Ta có: 

AH AB BH a x 

2 2 2 2 

1 1 

S 

ABC 

AH. BC a x .2x x a x 

2 2 

2 2 2 2 

2 

AB. AC. BC a. a.2x a 

AO R 

4S ABC 4x a x 2 a x 

Tam giác SAO vuông tại O có 

2 2 2 2 

ktm 

4 4 2 2 4 2 2 

2 2 2 

 

2 2 2 2 2 2 

SO SA AO a 

 

1 1 2 2 a 3a 4x a x 3a 4x 

Thể tích khối chóp V S 

ABC. SO x a x . 

 

3 3 

2 2 

2 a x 6 


2 2 

3 4 

y f x x a x 

a 3 

trong khoảng 

 

0; 

2 

 

x a x a 

f x a x x x 

3a 4x 3a 4x 

4 

2 2 

2 2 4 3 8 6 

' 3 4 . 0 

2 2 2 2 


x 

 

a 4a 4a x a a 3a 4x 

4 a x 4 a x 2 a x 

2 2 2 2 


0 a 6 

a 3 

4 

2 

f ' x 

+ 0 

20

f 

x 

f max 

a 6 

Từ bảng biến thiên ta thấy: Hàm số y f x 

đạt GTLN tại x hay V S . ABC 

đạt GTLN tại 

4 

Khi đó V 

Chọn: C 

Câu 43: 

max 


2 

a 6 2 6a 

a. . 3a 

4. 

3 

4 16 a 

 

 

6 8 

 

Góc giữa hai mặt phẳng P; 

Q 

là thì cos cos n ; 

n 

P Q 

Để lớn nhất thì cos lớn nhất từ đó ta dùng hàm số để tìm GTLN. 

 

 

 

n . 

n 

P Q 

 

n . n 

P Q 


x y 1 z 2 

 

Đường thẳng d : có 1 VTCP u 1;2;1 

 

1 2 1 

 

Mặt phẳng P : 2x y 2z 

2 0 có 1 VTPT là nP 

2; 1; 2 

 

Vì chứa đường thẳng d nên n u n . u 0 a. 1 b.2 1 0 a 2b 

1 

Q 

 

Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng P ; Q , ta có: 

 

n . n 

P Q 

2a b 2 

cos 

cos n ; 

n 

P Q 

 

n . n 

2 2 2 

a b 1. 2 1 2 

Thay 

 

a 2b 

1 

ta được 

 

 

 

 

Q 

Q 

2 2 

P Q 

2 2b 1 b 2 3 b b b 

cos 

 

2 2 

2 2 

2b 

1 b 

1.3 

3. 5b 4b 2 5b 4b 

2 

2 

2 

5b 

4b 

2 

2 

2 

b 

b 

Để lớn nhất thì cos lớn nhất, suy ra lớn nhất hay lớn nhất. 

2 

2 

5b 

4b 

2 

5b 

4b 

2 

Ta tìm b để hàm số 

Ta có 

 

f b 

 

b 

2 

2 

5b 

4b 

2 

lớn nhất. 

2 2 2 

4b 

4b 

2 2 

5b 4b 2 5b 4b 

2 

2b 5b 4b 2 10b 4 . b b 

1 

f ' b 

f ' 

2 2 b 

0 

b 

0 

BBT của hàm số 

b 

f b 


1 

0 

f 'b 

+ 0 0 + 

 

 

a 6 

x 

4 

21

f b 

 

1 

Từ BBT ta thấy f b 

lớn nhất bằng khi 

3 

Chọn: B 

Câu 44: 


1 

5 

Sử dụng phương pháp hình học: 

1 

3 

b 1 a 1 a b 2 

+ Tìm tập hợp các điểm biểu diễn z, z , z và vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ . 

+ Đánh giá GTNN của T. 


Ta có: 

1 2 

+ Phần thực của bằng 2 nên tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng x 2 

z1 

M1 

1 

+ Phần ảo của bằng 1 nên tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng y 1 

z2 

M 

2 

2 

Lại có: 

iz 2i 4 3 i z 2 4i 3 z 2 4i 

3 

Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 

Dựng hình: 

Ở đó B2;1 , I 2;4 

2 2 2 2 2 2 2 2 

1 2 1 2 

Ta có: T z z z z MM MM MC MD MB AB 

2 

Do đó T AB , đạt được nếu M A, 

M M B . 

min 

 

1 2 

AB IB IA T AB 

Chọn: D 

Câu 45: 


2 

5 3 2 

min 

4 

Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu S 

; 

S 

 

1 2 

 

0 

 

1 

5 

I 2;4 

bán kính R 3 


Xác định vị trí điểm A rồi sử dụng định lý Ta-let để có tỉ lệ cạnh và suy ra tọa độ A. 

22


S 

Mặt cầu có tâm I 1;1;1 và bán kính R1 5 

1 

S 

Mặt cầu 

2 

có tâm O 3; 2; 1 

và bán kính R2 3 

 

OI 2;3;2 OI 17 

Nhận thấy 

R R OI R R 2 17 5 

2 1 1 2 

Nên hai mặt cầu 

 

S 

; 

S 

 

1 2 

cắt nhau. 

 

P 

 

Giả sử mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu S ; S lần lượt tại H; K. Khi đó giao điểm của HK 

1 2 

và OI chính là điểm A cần tìm. 

AO OK R1 

3 

Xét tam giác AIH có OK / / HI (cùng vuông với HK) nên 5AO 

3AI 

AI IH R2 

5 

 

 

A a; b; c AO 3 a; 2 b; 1 c ; AI 1 a;1 b;1 

c 

Gọi 

Suy ra 

53 a 31 

a 

6 

 

a 

 

 

13 

13 

5AO 3AI 52 b 31 b 

b 

nên A 

6; ; 4 

 

 

 

2 2 

51 c 31 

c 

c 4 

13 

a b c 6 4 

 

9 

2 2 

Chọn: D 

Câu 46: 


f x 

- Nhân cả hai vế của đẳng thức bài cho với e . 

- Lấy tích phân hai vế cận từ -1 đến 0 và tính A. 


Ta có: 

f x f x 

 

 

 

f x x x e x e f x x x x 

2 2 

' 3 2 , 1;0 ' 3 2 , 1;0 

Lấy tích phân hai vế, ta có: 

0 0 0 0 

2 3 2 

f x 

 

f x 

' 3 2 

1 1 1 


 

e f x dx x x dx e d f x x x 

1 

0 

f x f f 

0 1 

1 

 

e 0 e e 0 f 0 f 1 

Vậy A f f 

0 1 0 

Chọn: C 

Câu 47: 


Thể tích hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là V 

 

2 

r h 

23

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTLN của thể tích. 

Cho ba số 

a, b, 

c 

Dấu = xảy ra khi a b c 


không âm, theo BĐT Cô-si ta có 

1 

x 

Vì S AB. 

BC AB m 

ABCD 

a b c 

 

3 

3 

a b c 3 abc abc 

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ thì chu vi đáy của hình trụ là 2 r x r m 

Gọi 

1 

AM y0 

y 

x 

suy ra 

1 

BM y 

x 

x 

2 2. 1 1 x 

2 x x 

Lại có đường kính đáy hình trụ là r BM y y m 

1 x 

(ĐK: 0 0 x ) 

x 

2 2 

2 1 

Thể tích thùng nước hình trụ là 

x 

. x 

V r h y . 

x 

 

2 2 x 

2 2 

x x 1 1 

. . x x 2 x . x x 

2 2 2 

4 x 4 2 2 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số 

2 2 2 2 

 

2 2 

 

 

 

2 x; x ; x 

 

3 

ta có 

2 2 

 

3 

2x x x 

3 

2 2 2 8 

2 x. 

x . 

 

x 

3 

 

3 27 

 

 

3 

1 8 

1 

Suy ra V . V 

2 

2 2 

27 3 3 

 

Dấu = xảy ra khi 2x 2 x 2 3x 2 x (vì x 0 ) 

3 

Vậy thùng nước có thể tích lớn nhất khi x 1,02m 

Chọn: B 

Câu 48: 


- Gọi tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số. 

 

3 

- Tính khoảng cách từ M đến AB suy ra diện tích. 

- Từ đó sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của diện tích tam giác ABM. 


A 0; 7 , B 3; 1 AB 3 5 

Ta có: 

x 

2 


3 

24


Gọi 

xM 

7 

M xM 

; C 

xM 

1 

 

 

x 0 y 7 

AB : 2x y 7 0 

3 0 1 

7 

với 

0 3 

xM 

7 8 

2xM 

7 2xM 

8 

 

xM 

1 xM 

1 

d M , AB 

2 2 

2 1 

5 

x M 

8 

2xM 

8 

 

1 1 xM 

1 

4 

SMAB 

AB. d M , AB 

.3 5. 3 xM 

4 

2 2 5 

x 1 

4 

Xét g xM 

xM 

4 với 0 x M 

3 ta có: 

x 1 

 

 

M 

 

 

2 

 

 

 

 

4 xM 1 4 xM 3 xM 

1 

g ' xM 

1 0 x 1 

2 2 2 

M 

 

x 1 x 1 x 1 


M M M 

x 0 1 3 

M 

 

 

g ' x 0 + 

 

M 

g x M 

 

0 

Do đó g x g x S g x 

Vậy 

1 0 0 1 3. 3.1 3 

1 

M MAB M 

S đạt GTLN bằng 3 tại x 1 

MAB 

Chọn: A 

Câu 49: 


Sử dụng công thức đạo hàm 

 

M 

f u' u ' f ' u 

Hàm số y f x xác định trên K thì hàm số đồng biến trên K khi f ' x 0; x K (dấu = xảy ra tại 

hữu hạn điểm) 

Dựa vào đồ thị để đánh giá khoảng đồng biến của hàm 


Ta có ' 2019 x 

x 

.ln 2019. ' 2019 

 


g x f m 

g x 

 

Để hàm số đồng biến trên thì 

 

x 

x 

m 2019 .ln 2019. f ' 2019 với mọi x 0;1 

 

' 

M 

 

f x từ đó suy ra hàm g ' x 

g ' x 0; x 0;1 2019 .ln 2019. f ' 2019 m 0 

x 

x 

0;1 

0 

25

Đặt 

2019 x 

x 

.ln 2019. f ' 2019 

 

h x 

thì 

 

0;1 

 

 

m min h x 

' 

 

x 

x 

Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta xét trên đoạn thì 2019 1;2019 f ' 2019 0 và 

 

f ' 2019 x 

Lại có 

Nên 

 

đồng biến. 

2019 x đồng biến và dương trên 0;1 

 

h x 

2019 x 

x 

ln 2019. f ' 2019 đồng biến trên 0;1 

0;1 

0 0 

Suy ra min h x h 0 2019 .ln 2019. f ' 2019 ln 2019. f ' 1 0 (vì theo hình vẽ thì f ' 1 0 ) 

 

0;1 

Vậy m 0 

Chọn: A 

Câu 50: 


 

 

 

- Đặt ẩn phụ t x 1, tìm điều kiện của t, đưa phương trình về ẩn t. 

- Sử dụng phương pháp hàm số, xét tính tương giao đồ thị và suy ra số nghiệm của phương trình ẩn t. 

- Từ đó kết luận số nghiệm của phương trình ẩn x. 


Đặt t 

Xét hàm 

x 1 1, phương trình trở thành t e 


y f t t e t , t 1 có 

t 

log 2 0 t e log 2 

2 t 

2 

2 

2 

 

t 

' 

f ' t 2te t t e t t t 2 e t 0 t 0 do t 1 

1 

0 

f t 0 + 

 

f t 

1/e 

 

 

0 

y log 2 

Từ bảng biến thiên ta thấy, trên nửa khoảng 1; 

đường thẳng y log 2 cắt đồ thị hàm số y f t 

tại hai điểm phân biệt nên phương trình 

log 2 

f t có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn 1 t1 0 t2 

Nhận thấy t x 1 x t 1 

nên với mỗi t 1 

ta có tương ứng 2 giá trị của x. 

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. 

Chọn: A 


 

26





Câu 1 (TH): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D với AD = 2a, AB = 2DC = 

 

 

2a, SA ABCD và cạnh SB tạo với đáy một góc 60 0 . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng 

3 

2 

A. a 3 

B. 3 

3 

a 3 

C. 2 a 3 

D. 

3 

Câu 2 (VDC): Người ta sử dụng xe bồn để chở dầu. Thùng đựng 

dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có 

độ dài trục lớn bằng 2m , độ dài trục bé bằng 1, 6m , chiều dài (mặt 

trong của thùng) bằng 3, 5m . Thùng được đặt sao cho trục bé nằm 

theo phương thẳng đứng (như hình bên). Biết chiều cao của dầu hiện 

có trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là 

1, 2m . Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến 

hàng phần trăm). 

3 

3 

3 

A. V 4,42m 

B. V 2,02m 

C. V 7,08m 

D. V 2,31m 

Câu 3 (NB): Với 

0 a 1, biểu thức nào sau đây có giá trị âm? 

log log a 

a 

 

4 

1 

A. 

2 4 B. log2 

log a 

2 a C. log a 

a 

D. loga 

 

log10 

Câu 4 (VD): Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD. A' B' C ' D' 

biết A1;0;1 , B2;1;2 , 

D 

1; 1;1 , C ' 4;5; 5 . Tọa độ của đỉnh B' 

là 

B B 

B 

B' 4;6;5 

A. ' 3;5; 6 B. ' 4;6; 5 

C. ' 3; 4;5 

D. 

Câu 5 (TH): Số nghiệm của phương trình 

2 

x x 2 

x 

2 . log 1 0 

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 

Câu 6 (TH): Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

5x 

2 

y 

2 

3 x 

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 

3 

Câu 7 (VD): Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng 10;10 để hàm số y x mx 2 đồng biến 

 

 

trên 2; ? 

A. 17 B. 15 C. 18 D. 21 



y f x 


 

 

là 

là 

3 

a 

3 

1


 

1; 

 

A. Hàm số đồng biến trong khoảng ;0 B. Hàm số đồng biến trong khoảng 

 

1;2 

 

C. Hàm số nghịch biến trong khoảng 1;0 D. Hàm số nghịch biến trong khoảng 

Câu 9 (VD): Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số 

hoành, trục tung và đường thẳng 1. Biết S a 5 b, a, 

b . Tính a b 

x 

y x 4 x 

1 

1 

A. a b 1 

B. a b 

C. a b 

D. a b 

2 

3 

Câu 10 (VD): Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Nếu ta đặt quả bóng lên 

3 

miệng chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng chiều cao của quả bóng. Gọi V 1 

4 

,V 2 lần lượt là thể tích của quả bóng và thể tích chiếc chén, khi đó 

A. 3V 1 = 2V 2 B. 9V 1 = 8V 2 C. 27V 1 = 8V 2 D. 16V 1 = 9V 2 

Câu 11 (TH): Gọi M và M ’ lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z và 

đúng. 

z 

13 

3 

2 

, trục 

. Xác định mệnh đề 

A. M và M ’ đối xứng nhau qua trục hoành. B. Ba điểm O, M và M ’ thẳng hàng. 

C. M và M ’ đối xứng nhau qua gốc tọa độ. D. M và M ’ đối xứng nhau qua trục tung. 

Câu 12 (VD): Cho hình lăng trụ ABC. A' B' C ' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , AB = 2a, AA' = 2a, 

hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC . Thể tích của khối lăng 

trụ ABC. A' B' C ' bằng 

3 

3 

3 

a 14 

A. 4a 

2 B. 2a 

2 

C. D. 

4 

Câu 13 (TH): Cho cấp số cộng (u n ) có 

cấp số cộng? 

u 

1 

2 

3 

2a 

2 

và công sai d = 5. Số 198 là số hạng thứ bao nhiêu của 


A. Thứ 25. B. Thứ 39. C. Thứ 40. D. Thứ 41. 

Câu 14 (TH): Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 9 có đồ thị là (C). Điểm cực đại của đồ thị (C) là 

A. M (0;9) B. M (2;5) C. M (5; 2) D. M (9;0) 

Câu 15 (TH): Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm số nào? 

3 

2

x 1 

x 2 

2x 

2 

A. y B. y C. y 

D. 

x 1 

x 1 

x 1 

Câu 16 (TH): Tìm tập xác định của hàm số y log2x 2 5x 

2 

y 

2 

x 2 

x 1 

1 

1 

1 

1 

A. 

;2 

B. C. D. 

2 

 

; 2, 

 

 

2 

; 2, 

 

;2 

 

2 

2 

x 

e 

f x e 

2 

 

 

sin x 

x 

Câu 17 (TH): Tìm nguyên nhàm của hàm số 2 

x 

2 cot 2 tan 

x 

A. F x e x C 

B. F x e x C 

2 

C. F x 

tan x C 

D. 

x 

e 

 

Câu 18 (TH): Số nghiệm nguyên của bất phương trình 

 

2 

F x cot x C 

x 

e 

2 

log 

1 

x 2x 

8 4 

2 

A. Vô số B. 2 C. 4 D. 6 

Câu 19 (VDC): Cho bất phương trình 

 

2 

m 2 x 12 4 x 16x 3m 2 x 3m 

35 Có tất cả bao 

m 

 

nhiêu giá trị nguyên của tham số 10;10 để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 2;2 ? 

A. 10. B. 18. C. 3. D. 4. 

Câu 20 (VD): Cho tứ diện ABCD có AB = 3, AC = 2, AD = 6, BAC = 90 0 , CAD = 120 0 , BAD = 60 0 . Thể 

tích khối tứ diện ABCD bằng 

2 2 

A. 6 2 

B. C. 2 D. 3 2 

3 

Câu 21 (VD): Trong không gian Oxyz, cho ba điểm 

là 

1;0;0 , 0;3;0 , 0;0; 2 

A B C 


mặt phẳng (P) đi qua điểm D(1;1;1) và song song với mặt phẳng (ABC) là 

A. 3x 2y 3z 

2 0 

B. 2x 6y 3z 

5 0 

C. 3x 2y 6z 

1 0 

D. 6x 2y 3z 

5 0 

. Phương trình của 

Câu 22 (TH): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , SA (ABC), góc giữa hai mặt phẳng 

(SBC) và (ABC) bằng 30 0 . Độ dài cạnh SA bằng 

3a 

a 

A. a 3 

B. C. D. 

2 

2 

Câu 23 (VD): Trong mặt phẳng phức, cho số phức z có điểm biểu diễn là N. 

1 

Biết rằng số phức w được biểu diễn bởi một trong bốn điểm M , P, Q, R 

z 

như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu diễn của w là điểm nào? 

a 

3 

3

A. P. B. Q. 

C. R. D. M . 

Câu 24 (VD): Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 

1 k n 


k k 1 k 1 

A. C 

n 1 

C 

k k 1 k 

n 

Cn 

B. C 

n 1 

C k k k 1 

n 

Cn 

C. C n 1 

C n 

C 

k1 k k1 

n 

D. Cn Cn Cn 

Câu 25 (VD): Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A' B' C ' có AB a, AA' a 2 . Khoảng cách giữa A 'B và 

CC' bằng 

a 3 

A. B. a 3 

C. a 

D. 

2 

Câu 26(TH): Đường cong ở hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y = ax 4 + bx 2 + c với a, b, c là 

các số thực. 

A. Phương trình y ' = 0 vô nghiệm trên tập số thực. 

B. Phương trình y ' = 0 có ba nghiệm thực phân biệt. 

C.Phương trình y ' = 0 có hai nghiệm thực phân biệt. 

D. Phương trình y ' = 0 có đúng một nghiệm thực. 

a 6 

3 

2 

Câu 27(TH): Phương trình log x 4log x 3 0 có hai nghiệm x1, 

x2 

. Tính tổng x1 x2 

5 5 

A. 30. B. 80. C. 130. D. 20. 

Câu 28 (VD): Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng 2a . Tính thể tích của khối 

nón được tạo nên từ hình nón đó. 

1 3 

A. 3 B. C. D. 

3 a 

3 

1 3 

a 3 

3 

4 a 

1 

12 a 

Câu 29 (TH): Cho 

log 2 b . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

3 

3 

2 3b 

A. log 72 4 6b B. log 72 3b 

C. log 72 D. log 72 12b 

3 

3 

3 

3 

2 

 

Câu 30 (TH): Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 

f x 

 

I 3 f x 2 

dx 

 

A. I 3xF x 2x C B. I 3F x 2x C C. I 3F x 2 C D. 

3 

I 3xF x 2 C 

2 

Câu 31 (TH): Gọi z , z là hai nghiệm phức của phương trình z 4x 

5 0 . Tính giá trị của biểu thức 

P 2 z z z z 

1 2 1 2 


1 2 

A. P = 10 B. P =3 C. P = 6 D. P = 2 4 

Câu 32 (VD): Anh Bình vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất là 0, 5% / 1 tháng theo phương thức trả góp, 

cứ mỗi tháng anh Bình sẽ trả cho ngân hàng 30 triệu đồng và trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ. 

4

Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Bình trả được hết nợ ngân hàng? (Biết lãi suất ngân hàng không thay 

đổi). 


Câu 33 (VD): Cho số phức z thay đổi thỏa mãn 

 

w 1 3. i z 2 

 

là đường tròn có bán kính bằng R. Tính R. 

z 1 1 

. Biết rằng tập hợp các số phức 

A. R = 8. B. R =1. C. R = 4. D. R = 2. 

Câu 34 (NB): Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M nhận véc tơ a 

làm véc tơ chỉ 

phương và đường thẳng d ' đi qua điểm M ' nhận véc tơ a ' làm véc tơ chỉ phương. Điều kiện để đường 

thẳng d trùng với đường thẳng d ' là 

 

 

 

 

 

a ka', k 

0 

 

a ka', k 

0 

 

a ka', k 

0 

 

a a' 

A. 

B. 

C. 

D. 

M d ' 

M d ' 

M d ' 

M d ' 

Câu 35 (VD): Sắp xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh lớp 12A và 5 học sinh lớp 12B vào một ghế băng dài. 

Tính xác suất để các học sinh học cùng lớp ngồi cạnh nhau. 

461 

1 

1 

A. B. C. D. 

462 

462 

19958400 

Câu 36 (NB): Trong không gian Oxyz , véc tơ nào sau đây là véc tơ pháp tuyến 

P : 2x y z 1 0 

 

 

 

 

 

 

1 

231 

n 

 

 

 

 

A. n 4; 2;2 

B. n 2;1; 1 

C. n 4; 4;2 

D. n 

Câu 37 (VD): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

 

của mặt phẳng 

4;4;2 

y 3sin x 2cos x mx 

 

đồng biến 

trên 

A. m ; 13 

 

B. m 

 

13; 

C. m 

 

 

13; 

D. m ; 13 

 

Câu 38 (TH): Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt cầu có tâm 

phẳng (Oxz) là 

A. x 1 y 2 z 3 4 

B. 

 

I 1; 2; 3 

2 2 

2 

x y z 

 

C. x 1 y 2 z 3 1 

D. 

2 2 2 

1 2 3 2 

2 2 

2 

x y z 

 

Câu 39 (VD): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 

 

2 2 2 

2 2 2 

1 2 3 4 

P : 2x y 2z 

14 0 

 

và tiếp xúc với mặt 

và mặt cầu 

S : x y z 2x 4y 2z 

3 0 . Gọi tọa độ điểm M (a; b; c) thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng 

cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức K = a + b + c. 

A. K = -2. B. K = -5. C. K = 2. D. K = 1. 

Câu 40 (VD): Trong không gian Oxyz , phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M 1;2;3 

 

và có véc tơ chỉ phương 

 

a 1; 4; 5 

 

 

là 

A. x 1 y 2 z x 

1 

t 

x 

1 

t 

3 

B. y 

2 4t 

C. y 

4 2t 

D. 

1 4 5 

 

z 

3 5t 

 

z 

5 3t 



y f x 

có đồ thị như hình vẽ: 

x 1 y 4 z 5 

 

1 2 3 

5

Số nghiệm của phương trình 4 f (x) + 3 = 0 là 

A. 3. B. 0. 

C. 1. D. 2. 

 

Câu 42 (VDC): Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;0;1 , B 2;1;0 , C 3;1; 2 

và M là điểm 

 

thuộc mặt phẳng x y z . Tính giá trị nhỏ nhất của P 3MA 5MB 7MC 

: 2 2 7 0 

A. P min = 5 B. P min = 27 C. P min = 3 D. P min = 2 

Câu 43 (NB): Tính thể tích khối cầu có đường kính 2a . 

3 

3 

2 a 

2 

4 a 

4 a 

A. B. 4 

a 

C. D. 

3 

3 

3 

3 

x 

Câu 44 (TH): Cho tích phân I dx và t x . Mệnh đề nào dưới đây sai? 

0 

1 

x 1 

1 

3 2 

2 

3 

2 

2t 

2 

2 

2 

2 

A. I t B. I 2x 2xdx 

C. D. 

3 

I 2t 2t dt 

I 2t 2t dx 

1 

1 

0 

1 

1 

Câu 45 (VD): Biết hàm số y x 3 3m 1 

x 2 9x 

1 

nghịch biến trên khoảng x1; 

x2 

và đồng biến trên 

3 

các khoảng còn lại của tập xác định. Nếu 

số m thỏa mãn đề bài? 

x1 x2 6 3 

thì có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham 

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 

Câu 46 (VD): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

biến trên 1;0 . 

 

 

 

y x 4 1 m x 2 2 2m 

A. m 3 B. m > 3 C. m 1 D. m < 1 

 

2 3 

 

 

2 

nghịch 

Câu 47 (TH): Cho hàm số y f x liên tục trên và có đạo hàm f ' x 2 x x 1 3 x . Hàm 

số 

y f x 


3; 

 

 

1;2 

 

A. B. ;1 

C. ;2 

D. 

Câu 48 (TH): Cho 

9 

 

0 

 

f x dx 18 . Tính 

9 

I 10 1 

2 

0 x 1 

2 

f x 

 

 

dx 

 

 

A. I 18 

B. I 10 

C. I 8 

D. I 0 



y f x 

thỏa mãn: 

6

Hàm số 

 

2 

y f 4 x x x 1 

nghịch biến trên khoảng nào sau đây? 

 

3;6 

5; 

4;7 

A. ;3 

B. C. D. 

Câu 50 (VD): Cho số phức z thỏa mãn 

 

2 1 

1 i z 2iz 5 3i 

. Tính mô đun của w z z 

A. w 5 B. w 7 

C. w 9 

D. w 11 


7


1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.A 10.B 

11.D 12.B 13.D 14.A 15.B 16.D 17.D 18.B 19.C 20.D 

21.D 22.C 23.D 24.C 25.A 26.B 27.C 28.A 29.A 30.B 

31.A 32.C 33.D 34.B 35.D 36.A 37.C 38.A 39.D 40.A 

41.A 42.A 43.C 44.C 45.B 46.C 47.D 48.D 49.B 50.A 

Câu 1: 


+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d ' với 

d ' là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P). 

1 

+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V hS 

3 


+ Ta có SA (ABCD) AB là hình chiếu của 

SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB 

và đáy là góc SBA = 60 0 . 

+ Xét tam giác vuông SAB có 

SA = AB. tan SBA = 2a. tan 60 0 = 2 3 a 

+ Diện tích đáy 

S 

ABCD 

AB DC AD 2 a a.2a 

2 

3a 

2 2 

+ Thể tích khối chóp là 

1 1 

VS . ABCD 

SA S a a a 

3 3 

Chọn C. 

Câu 2: 


2 3 

. 

ABCD 

.2 3.3 2 3 

- Gắn hệ trục tọa độ lên mặt thiết diện ngang. Viết phương trình elip. 

- Tính diện tích phần thiết diện chỉ chứa dầu. 

- Tính thể tích phần dầu trong thùng, sử dụng công thức V = Sh với S là diện tích một phần elip tính 

được ở trên, h là chiều dài của thùng chứa dầu. 


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. 

Phương trình elip 

2 2 

x y 

1 y 0,8 1 

x 

2 

1 0,8 

Diện tích thiết diện có chứa dầu là phần diện tích được 

gạch chéo trong hình. 


Ta tính diện tích phần không gạch chéo S 1 là phần hình 

phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = 0, 4 với một phần elip 

2 

8

2 

phía trên trục hoành có phương trình y 0,8 1 

x . 

Phương trình hoành độ giao điểm: 

0,4 0,8 1 x x 

2 3 

2 

2 2 

Diện tích phần không gạch chéo: S1 

0,8 1 x 0,4 dx 0,49m 

 

2 

Diện tích elip: S ab .1.0,8 2,51m 

 

Diện tích phần gạch chéo: S 2 = S - S 1 = 2, 51 - 0, 49 = 2, 02 (m 2 ). 

Thể tích dầu là: V = S 2 .h = 2, 02.3, 5 7, 08 (m 3 ). 

Chọn C. 

Câu 3: 


 

3 

2 

 

3 

2 

 

Sử dụng các công thức log b log b;log b log b;log a 1 a, b 0; a 1 


1 

 

a a a 

a a 

1 

 

+ Đáp án A: log2 log 4 a log2 log a log2 

4 2 0 nên loại A 

a 

a 4 

1 

+ Đáp án B: log2 log a 2 log2 

1 0 nên chọn B. 

a 

2 

 

1 

 

4 

1 

4 

+ Đáp án C: loga 

a loga 

a 0 nên loại C. 

4 

1 

+ Đáp án D: loga 

loga1 0 nên loại D. 

log10 

Chọn B. 

Câu 4: 


- Tìm tọa độ C dựa vào tính chất ABCD là hình bình hành. 

 

- Tìm tọa độ C ' dựa vào tính chất hình hộp BB ' CC ' 


 

Ta có: AB 1;1;1 

 

ABCD là hình bình hành nên 

 

 

 

, gọi điểm C (x; y; z) thì: 

1 x 1 x 

2 

 

AB DC 1 y 1 y 0 C 2;0;2 

1 z 1 

z 

2 

 

CC ' 2;5; 7 

Lại có 


xB' 

2 2 xB' 

4 

 

 

BB ' CC ' yB' 

1 5 yB' 

6 

zB' 

2 7 

zB' 

5 

 

9

B' 4;6; 5 

 

Chọn B. 

Câu 5: 


Tìm điều kiện 

Đưa về giải phương trình tích A x B x 


ĐK : x > 0 

2 

Ta có 

 

 

A x 

. 0 

B x 

0 

0 

2 

x 

1 

x 

x 2 0 

x 

1 

L 

x x 2 log2 

x 1 0 

 

 

x 2 

log2 

x 1 0 

 

 

x 2 

N 

log2 

x 1 

 

 

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2. 

Chọn A. 

Câu 6: 


- Tìm các nghiệm của mẫu thức. 

- Thay vào tử thức và kiểm tra có là nghiệm của tử hay không. 


2 

Ta thấy: 3 x 0 x 3 không là nghiệm của tử nên x 3 và x là các đường tiệm cận đứng của 

đồ thị hàm số. 

Chọn A. 

Câu 7: 


Sử dụng công thức đạo hàm 

 

 

f 

x 

 

' 

 

f x 

f ' x . f x 

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng K khi f ' x 0; x K (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm) 



Ta có 

y ' 

3 

y x mx 2 xác định trên 

3x 2 m x 3 mx 2 

x 

3 

mx 2 

Đề hàm số đồng biến trên 

2 3 

Suy ra 

 

 

 


2; thì y ' 0; x 

2 

3x m x mx 2 0; x 

2 

 

 

10

2 

3x 

m 

2 2 

3x m 0 3x m 

2 2 I 

 

 

 

3 

 

3 

x m 

 

x mx 2 0 

x 2 mx 

x 

 

 

2 

 

2 2 

3x m 0 3x m 3x m 

 

3 3 

x mx 2 0 x 2 mx 

 

2 2 II 

 

 

 

x 

m 

x 

Xét hệ (I) 

 

2 

+ Để bất phương trình 3x m đúng với mọi x > 2 thì hoặc 

 

với mọi x > 2 

2 2 2 

2 

min 3x 3.2 12 m 3 x ; x 2 m 12 

hoặc với m 0 thì bất phương trình 3x m đúng với 

 

2; 

mọi x . (1) 


 

2 2 

g x 

x trên 2; 

x 

3 

2 2x 

2 

Ta có g ' x 2x 0 0 x 12; 

 

x 

x 

2 2 

g x 

 

BBT của trên 2; : (hình bên) 

Suy ra x m m 5 (2) 

x 

2 2 

Từ (1) và (2) suy ra 

m 5 

mà 

10;10 ; 9; 8;...;4;5 

m m m 

thỏa mãn. 

+ Xét hệ (II): 

3x m m max 3x 

 

 

2 

 

x 

2 2 

 

2; 

 

2 

x m m max g x 

2; 

nên có 15 giá trị 

Nhận thấy hệ (II) vô nghiệm vì không tồn tại GTLN của các hàm số 3 x ; g x 

x trên 2; 

x 

Chọn B. 

Câu 8: 


- Các khoảng làm cho y ' > 0 thì hàm số đồng biến. 

- Các khoảng làm cho y ' < 0 thì hàm số nghịch biến. 


Quan sát bảng biến thiên ta thấy: 

0; 

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 

 

2 2 2 

+ Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 , mà 1;0 2;0 

nên hàm số cũng nghịch biến trên 

khoảng 1;0 

Chọn C. 

Câu 9: 


 

x 2 

' 

g x + 

 

g x 


5 

 

 

11

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 


Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 

y f x 

, trục hoành, x = a; x = b là 

y x 4 x 

2 

với trục hoành là 

b 

a 

 

S f x dx 

2 

x x x 

4 0 0 

Diện tích hình phẳng cần tìm là 

1 1 

2 2 

 

S x x 4dx x x 4dx 

 

0 0 

3 

1 2 

x 

4 

2 

2 2 

 

1 1 5 5 8 

x 4d x 

4 

 

2 2 3 3 3 

0 

2 

0 

5 8 

Suy ra a ; b a b 1 

3 3 

Chọn A. 

Câu 10: 


- Tính bán kính đáy hình trụ. 

- Tính thể tích khối trụ và thể tích khối cầu suy ra đáp án. 


Gọi bán kính khối cầu là R thì đường kính 2R và chiều cao hình trụ h 2R 

Thể tích khối cầu: V 

1 

4 

R 

3 

3 

3 

Do phần ở ngoài có chiều cao bằng quả bóng nên chiều cao bên ngoài là 

4 

3 3R 

.2R 

4 2 

3R 

R 

OI R 

2 2 

Xét tam giác vuông OIA có 

2 2 

2 2 2 2 R 3R R 3 

IA OA OI R IA 

4 4 2 

2 3R 

3 

R 

Thể tích khối trụ V2 

. IA . h . .2R 

 

4 2 

V 

4 3 4 2 8 

1 

2 3 

1 

3 3 

R : R . 8V 2 

9V 

1 

V2 

3 2 3 3 9 

Chọn B. 

Câu 11: 


Số phức z = a +bi có điểm biểu diễn M (a;b) 

Số phức liên hợp 



z a bi và số phức đối của z là z a bi 

Gọi z = a + bi có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M (a;b) 

12

Số phức 

 

 

z a bi a bi có điểm biểu diễn M ' a; 

b 

M và M ' có hoành độ đối nhau và tung độ bằng nhau nên chúng đối xứng nhau qua trục tung. 

Chọn D. 

Câu 12: 


- Tính chiều cao A 'H . 

- Tính thể tích khối lăng trụ V S . A' 

H 


ABC 

Tam giác ABC vuông cân đỉnh A cạnh AB = AC = 2a 

nên 

BC a a a 

1 

AH BC a 

2 

2 2 

4 4 2 2 

Tam giác AHA' vuông tại H nên 

A H A A AH a a a 

2 

2 2 2 2 

' ' 4 2 2 

Vậy thể tích khối lăng trụ 

1 1 

V S A H AB AC A H a a a a 

2 2 

Chọn B. 

Câu 13: 

3 

ABC. ' . . ' .2 .2 . 2 2 2 


Cấp số cộng 


 

n 

u có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng thứ n là u u n d 

Gọi 198 là số hạng thứ n của dãy. 

Ta có: 

Chọn D. 

Câu 14: 

198 u n 1 d 2 n 1 .5 5n 205 n 41 


1 

- Tính y ', y '' và tìm nghiệm của y ' = 0 . 

- Tìm điểm cực đại của hàm số bằng cách kiểm tra 

- Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số và kết luận. 


Ta có: 

2 x 

0 

y ' 3x 6x 

0 

x 

2 

 

y '' 6x 6 y '' 0 0 

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số là M (0;9). 

Chọn A. 

Câu 15: 


y '' x 0 

nên x = 0 là điểm cực đại của hàm số, y CĐ = 9. 

0 

n 

1 

1 


Từ hình vẽ xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. 

Xác định một số điểm thuộc đồ thị rồi thay tọa độ vào các hàm số để loại trừ đáp án. 

13


Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 1 làm TCN và đường thẳng x = -1 làm TCĐ 

Suy ra loại C và D. 

Lại có điểm có tọa độ (2;0) thuộc đồ thị nên thay x = 2; y = 0 vào hai hàm số ở đáp án A, B ta thấy chỉ có 

x 2 

hàm số y được thỏa mãn nên chọn B. 

x 1 

Chọn B. 

Câu 16: 


Hàm số y = log f (x) xác định nếu f (x) xác định và f (x) > 0 . 


Điều kiện xác định: 

Vậy TXĐ: 

Chọn D. 

Câu 17: 


D 1 

 

;2 

2 

2x 5x 2 0 x 2 

2 

2 1 

Sử dụng các công thức nguyên hàm 

1 

e dx e C dx x C f x 

g xdx f xdx g xdx 

sin x 

x x 

; cot ; 

2 


x 

e 1 

f x dx e dx e dx 

sin x sin x 

 

x 

x 

Ta có 2 2 

2 

2 

x 1 

x 

2e dx 

dx 2e cot x C 

2 

sin x 

1 

cot x C 

x 

e 

Chọn D. 

Câu 18: 


- Tìm điều kiện xác định của hàm số. 

 

 

- Bất phương trình log f x m f x a m 

a 

nếu 0 a 1 



x 

2 x 

2 

Khi đó: 

1 

2 


2x 

8 0 

x 

4 

4 

2 2 1 2 

log x 2x 8 4 x 2x 8 x 2x 24 0 6 x 4 

2 

6 x 4 

 

2 x 4 

Kết hợp điều kiện ta được x 5;3 do 

x 

Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên. 

14

Chọn B. 

Câu 19: 


- Đặt ẩn phụ t 2 x 3 2 x đưa về bất phương trình bậc hai ẩn t . 

- Tìm điều kiện của t và đưa bài toán về tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với t thỏa mãn điều kiện 

tìm được ở trên. 


m x x x m x m 

2 

2 12 4 16 3 2 3 35 

m x m x x x m 

2 

2 3 2 16 12 4 3 35 

2 

 

m 2 x 3 2 x 2 8x 6 4 x 3m 

35 

Đặt t 2 x 3 2 x t 20 8x 6 4 x 

2 2 

1 3 

Dễ thấy t ' 0 nên hàm t = t (x) nghịch biến trên 2;2 

. 

2 2 x 2 2 x 

Do đó 2 x 2 6 t 2 

Thay vào bất phương trình trên được: 

 

 

mt t m t mt m 

2 2 

2 20 3 35 2 3 5 0 

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi 

2 

2t mt 3m 

5 0 

 

x 2;2 

 

nếu và chỉ nếu bất phương trình 

2 

nghiệm đúng với mọi t 6;2 

tam thức bậc hai f t 2t mt 3m 

5có hai 

 

nghiệm thỏa mãn t 1 

6 2 t 2 

m 

12 2 26 

 

2 

m 12 2 26 

0 m 

24m 

40 0 

 

67 67 

af 6 

0 2. 67 9m 

0 m m 

9 9 

af 2 

0 2. 3 m 

0 

m 

3 

 

 

 

Kết hợp với m 10;10 

thì m10; 9; 8 

Chọn 

Câu 20: 


 

 

Sử dụng công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện biết ba cạnh và ba góc cùng xuất phát từ một đỉnh: 

1 

6 

2 2 2 

V abc 1 2cos xcos y cos z cos x cos y cos z 



1 

2 2 2 

Áp dụng công thức V abc 1 2cos xcos y cos z cos x cos y cos z ta được: 

6 

15

1 

V .3.2.6. 1 2cos90 .cos120 .cos60 cos 90 cos 120 cos 60 

6 

1 1 

6 1 3 2 

4 4 

Chọn D. 

Câu 21: 

0 0 0 2 0 2 0 2 0 


 

+ Mặt phẳng P / / Q 

thì ta có thể chọn nP nQ 

 

+ Phương trình mặt phẳng qua ; ; và nhận n a; b; 

c làm VTPT thì có phương trình 

 

a x x b y y c z z 

0 0 0 

0 

M x y z 

 

0 0 0 


 

AB 1;3;0 ; AC 1;0; 2 AB; AC 

 

6; 2;3 

 

+ Mặt phẳng (ABC) có VTPT n AB; AC 

 

6; 2;3 

 

n 6; 2;3 

Ta có 

Vì (P) / / (ABC) nên 1 VTPT của (P) là 

Phương trình mặt phẳng 

Chọn D. 

Câu 22: 


P : 6 x 1 2 y 1 3 z 1 0 6x 2y 3z 

5 0 

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng (góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng mà cùng 

vuông góc với giao tuyến). 

- Tính toán, sử dụng tính chất của tam giác vuông, tam giác đều. 


Gọi M là trung điểm của BC . 

Tam giác ABC đều nên AM 

SA (ABC) SA BC . 

 

BC (SAM) BC SM . 

 

BC . Mà 

SBC ABC BC 

 

Ta có: AM 

BC 

nên góc giữa hai mặt phẳng 

 

 

SM BC 

0 

SBC và (ABC) là SM , AM hay SMA 

30 


Tam giác SAM vuông tại A nên 

Chọn C. 

Câu 23: 



a 3 

AM 

2 

0 a 3 3 a 

SA AM tan30 . 

2 3 2 

16

Tính 

1 

z 

để tìm được tọa độ điểm biểu diễn số phức 

Đánh giá hoành độ và tung độ để xác định xem điểm cần tìm thuộc góc phần tư nào, từ đó chọn đáp án. 


Gọi số phức 

Khi đó số phức 

 

z a bi, a, 

b thì điểm N a; 

b 

Nên điểm biểu diễn số phức 

 

1 1 a bi a bi a b 

 

z a bi a bi a bi a b a b a b 

 

2 2 2 2 2 2 

1 

z 

1 

z 

a b 

có tọa độ ; 

a b a b 

2 2 2 2 

a b 

Vì điểm N a; 

bthuộc góc phần tư thứ (IV) tức là a > 0; b < 0 suy ra 0; 0 nên điểm 

2 2 2 2 

a b a b 

 

1 

biểu diễn số phức thuộc góc phần tư thứ (I) . Từ hình vẽ chỉ có điểm M thỏa mãn. 

z 

Chọn D. 

Câu 24: 


Sử dụng tính chất của tổ hợp: 

Cho số nguyên dương n và số nguyên k với 1 k n , khi đó C C C 


Áp dụng công thức 

Chọn C. 

Chú ý : 

C C C 

k k k 1 

n n1 n1 

 

 

 

, thay n bởi n + 1 ta được 

. i 

k k k 1 

n n1 n1 

C C C 

 

k k k 1 

n 1 n n 

Các em có thể thay các giá trị cụ thể của k , n vào các đáp án và bấm máy tính kiểm tra. 

Câu 25: 


Sử dụng khoảng cách giữa hai đường thẳng d (a; b) = d (a; (P)) = d (M; (P)) với a / / (P); b (P); M a 

Và d (M; (P)) = MH với H là hình chiếu của M xuống mặt phẳng (P). 


Ta có CC '/ / AA' CC '/ / ABB ' A' 

 

Nên d CC '; AB' d CC '; ABB ' A' d C; ABB ' A' 

 

Lấy H là trung điểm của AB 

Khi đó CH 

 

AB (do tam giác ABC đều) 

Lại có A A' CH do A A' 

ABC 

Nên CH ABB ' A' 

tại ; ' ' 

H d C ABB A CH 

a 3 

Ta có CH CH (đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a ) 

2 

Vậy d AB'; 

CC ' 

Chọn A 

Câu 26: 

 


a 

2 

3 

17


Quan sát đồ thị, đếm số cực trị của đồ thị hàm số và suy ra số nghiệm của phương trình y ' = 0 . 


Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị hay hàm số có 3 điểm cực trị. Do đó phương trình y ' = 0 có ba nghiệm 

thực phân biệt. 

Chọn B. 

Câu 27: 


Tìm điều kiện 

Đưa về giải phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ log5 

x t 


ĐK: x > 0 

Ta có 

log x 4log x 3 0 log x 3log x log x 3 0 

2 2 

5 5 5 5 5 

 

3 

x x 

5 125tm 

 

1 

x x tm 

log x log x 3 log x 3 0 log x 3 log x 1 0 

5 5 5 5 5 

log5 

3 

 

log5 

1 5 5 

Vậy tổng các nghiệm x 1 + x 2 = 5 + 125 =130. 

Chọn C. 

Câu 28: 


- Xác định chiều cao và bán kính đáy hình nón. 

1 2 

- Tính thể tích theo công thức V r h 

3 


Tam giác SAB đều cạnh 2a nên r = OA = a , h = SO = 2 a 3 a 3 

2 

3 

1 2 1 2 a 3 

Vậy V r h . a . a 3 

3 3 3 

Chọn A. 

Câu 29: 


b 1 

b b b bc b c a b c 

a a a a a a a 

 

 

Sử dụng các công thức log log ;log log ;log log log 0 1; , 0 


2 3 2 3 

Ta có 1 

Chọn A. 

Câu 30: 

log 72 log 3 .2 2 log 3 log 2 2 2 3log 2 4 6b 


3 

32 

3 3 3 


Sử dụng tính chất 

 



18

Ta có: 

Chọn B. 

Câu 31: 

I 3 f x 2dx 3 f x dx 2 dx 3F x 2x C 


+ Giải phương trình tìm z 1 ; z 2 

2 2 

Sử dụng công thức tính mô đun của số phức z a bi, a, 

b và z a b để tính P. 


2 2 

2 

Ta có z z z z 

4 5 0 2 1 0 2 1 

2 2 z 

2 

i 

z 2 i 

z 

2 i 

Nên z1 2 i; z2 

2 

i 

Suy ra 

z z 2 i 2 i 4 z z 4 

1 2 1 2 

Và 

z z 2 i 2 i 2i z z 2 

1 2 1 2 

Nên P z1 z2 z1 z2 

Chọn A. 

Câu 32: 

2 2.4 2 10 


Sử dụng công thức lãi kép cho bài toán trả góp: 

A 

N 

1 1 1 

r 

 

 

N 

Số tiền còn nợ sau N tháng là T T r r 


N 

N A 

N 

Áp dụng công thức lãi kép cho bài toán trả góp TN 

T 1 r 1 r 1 ta có: 

r 

 

 

T = 1 tỉ, r = 0, 5% , A = 30 triệu 

N A N A N A 

Khi trả hết nợ thì TN 

0 nên T 1 r 1 r 1 

0 T 1 r 0 

r 

r r 

A A N A 

1 N 

r : T 1 r 

 

r r 

A Tr 

A 

30 

N log1 r 

log1 0,5% 

36,56 

A Tr 

30 1000.0,5% 

Vậy anh Bình phải trả nợ trong 37 tháng thì mới hết nợ. 

Chọn C. 

Câu 33: 


Biểu diễn số phức z theo w rồi thay vào giả thiết 

bán kính đường tròn. 


Ta có 

 


z 1 1 

w 2 

w 1 3. i z 2 1 3. i z w 2 z 

1 3i 

 

để để tìm tập hợp điểm biểu diễn w từ đó suy ra 

19

Đặt w x yi x; 

y 

x 2 yi 

1 

3i 

 

x yi 2 

x 2 y 3 y 3x 

2 3 

z 

i 

1 

3i 

4 4 4 

Ta có 

x 2 y 3 y 3x 

2 3 

z 1 1 i 1 1 

4 4 

x 6 y 3 y 3x 

2 3 

i 1 

4 4 

x y y x 

2 2 

3 6 3 2 3 16 

2 2 2 2 

x y x y xy y y xy y x 

3 36 12 12 3 2 3 3 12 2 3 4 3 12 16 0 

 

2 2 

4x 4y 24x 8 3y 

32 0 

2 2 

x y x y 

6 2 3 8 0 

2 

x y 

3 3 4 

Nên bán kính đường tròn là R = 2. 

Chọn D. 

Câu 34: 


2 

Điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là hai véc tơ chỉ phương cùng phương và một điểm thuộc đường 

thẳng này cũng thuộc đường thẳng kia. 


 

 

ud 

kud 

k 

 

d d ' 

M d, M d ' 

Chọn B. 

Câu 35: 


' 

0 

 

hay 

 

 

a ka ' k 

0 

 

M d ' 

 

n A 

Sử dụng công thức tính xác suất của biến cố A là P 

A 

với n 

là số phần tử của không gian 

n 

mẫu và n (A) là số phần tử của biến cố A. 


Số phần tử của không gian mẫu n = 11! 

Gọi A là biến cố “các học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau” 

 

 

Như vậy ta có 6! cách xếp 6 học sinh lớp 12A ngồi cạnh nhau, 5! cách xếp 5 học sinh lớp 12B ngồi cạnh 

nhau và có 2! cách xếp học sinh lớp 12A ngồi cung học sinh lớp 12B. 

Suy ra n (A) = 2!.6!.5! 

Xác suất cần tìm là P A 

Chọn D. 

Câu 36: 



 

 

 

 

n A 2!.5!.6! 1 

 

n 11! 231 

 

 

 

 

20

- Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 là n A; B; 

C 

 

- Nếu là một VTPT của (P) thì k n k 0 cũng là một VTPT của (P) . 

n 

 


 

 

Mặt phẳng P x y z có một VTPT là n 2; 1;1 

nên nó cũng nhận 2n 

4; 2;2 

làm VTPT. 

Chọn A. 

Câu 37: 


: 2 1 0 

 

 

 

Hàm số y f x đồng biến trên khi y ' f ' x 0, x 

(dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm) 

Sử dụng 1 sin x 1; 

x 


TXĐ: D 

Ta có 

y ' 3sin x 2cos x mx ' 3cos x 2sin x m 


thì y ' 0, x 3cos x 2sin x m; 

x 

 

3 2 m 

m 

cos x sin x 0 sin .cos x cos .sin x 0 x 

13 13 13 13 

Với là góc thỏa mãn 

 

sin 

 

 

 

cos 

 

 

3 

13 

2 

13 

m m 

sin x 

; x 1 m 13 do 1 sin x 

1; 

x 

13 13 

Vậy 

m 

 

 

Chọn C. 

Câu 38: 

13; 


 

Mặt cầu (I ; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nếu và chỉ nếu d (I ,(P)) = R. 


Gọi J là hình chiếu của I (1; -2; 3) lên (Oxz) thì J (1; 0; -3) 

(S) tiếp xúc (Oxz) R = d (I ,(Oxz)) = IJ = 2 . 

2 2 2 2 

Vậy S x y z 

Chọn A. 

Câu 39: 


: 1 2 3 2 4 

+ Tìm tâm và bán kính của mặt cầu 

+ Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu để suy ra vị trí của điểm M 

+ Tìm tọa độ của đường thẳng và mặt cầu thì ta giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và 

phương trình mặt cầu. 



2 

Mặt cầu (S) có tâm I R 

2 2 

 

1; 2; 1 ; 1 2 1 3 3 

 

 

 

21

Xét 

 

2.1 2 2 1 14 

d I; P 

4 R 3 

2 2 2 

2 1 2 

nên mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S). 

Khi đó điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất thì M là 

 

giao điểm của đường thẳng d đi qua I , nhận n( P) 2; 1;2 

làm VTCP với mặt cầu. 

x 

1 

2t 

 

Phương trình đường thẳng d : y 2 t 

 

z 

1 2t 

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S) thỏa mãn hệ phương trình 

x 

1 

2t 

y 

2 t 

 

 

z 1 2t 

 

2 2 2 

x y z x y z 

2 4 2 3 0 

t 2 t 2 t 2 

t t t 

1 2 2 1 2 2 1 2 4 2 2 1 2 3 0 

t 

1 

M 3; 3;1 

2 

9t 

9 0 

t 1 M 1; 1; 3 

Với M d M P 

 

2.3 3 2.114 

3; 3;1 ; 1 

2 2 

2 1 2 

Với M d M P 

 

 

 

 

2 

 

2. 1 1 2. 3 14 

1; 1; 3 ; 7 

2 2 

2 1 2 

2 

Nên điểm cần tìm là M a b c 

3; 3;1 3 3 1 1 

Chọn D. 

Câu 40: 


 

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua ; ; và nhận u a; b; 

c làm VTCP abc 0 là 

x x y y z z 

 

 

 

a b c 

0 0 0 


Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm 

1 2 3 

là 

x y z 

 

1 4 5 

Chọn A. 

Câu 41: 


M x y z 

 

0 0 0 

 

M 1;2;3 

và có véc tơ chỉ phương a 1; 4; 5 

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y f x và y g x chính là số nghiệm của phương trình 

 

 

f x g x 



 

 

 

22

Xét phương trình 4 f x 3 0 f x * 

 

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số 

y f x 


3 

y 

4 

3 

4 

(song song với trục hoành) 

3 

Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng y cắt đồ thị y f x 

tại ba 

4 

điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt. 

Chọn A. 

Câu 42: 


 

- Tìm điểm I thỏa mãn 3IA 5IB 7IC 

0 

- Đánh giá GTNN của biểu thức P và kết luận. 


 

+ Ta tìm điểm I thỏa mãn 3IA 5IB 7IC 

0 

 

IA 1 x; y;1 

z 

 

Gọi I x; y; 

z 

, ta có: IB 2 x;1 y; 

z 

 

 

IC 3 x;1 y; 2 

z 

3( 1 x) 5(2 x) 7(3 x) 0 

 

3IA 5IB 7IC 0 3( y) 5(1 y) 7(1 y) 0 

 

3(1 z) 5( z) 7( 2 z) 0 

x 

14 0 x 

14 

 

 

y 2 0 y 2 I 14; 2;17 

z 17 0 

z 

17 

 

Khi đó: P 3MA 5MB 7MC 

 

3 5 7 

MI IA MI IB MI IC 

 

MI 3IA 5IB 7IC MI MI 

Do đó P min nếu và chỉ nếu MI đạt min hay M là hình chiếu của I trên (P) . 

 

 

 

 


+) Đường thẳng d đi qua I 14; 2;17 

và vuông góc : 2x y 2z 

7 0 nên nó nhận 

 

 

n 2; 1;2 ud 

làm VTCP 

x 

14 2t 

 

Phương trình tham số: d : y 2 t 

 

z 

17 2t 

Điểm M là hình chiếu của I trên nên M d 

 

2( 14 2 t) ( 2 t) 2(17 2 t) 7 0 

5 52 1 41 

9 t 15 0 t ; ; 

3 M 

 

 

 

3 3 3 

23

2 2 2 

10 5 10 

 

Pmin 

MI 5 

3 3 3 

Chọn A. 

Câu 43: 


Khối cầu có bán kính R thì có thể tích V 


Bán kính mặt cầu là R = 2a : 2 = a 

4 4 

Thể tích khối cầu là V R a 

3 3 

Chọn C. 

Câu 44: 


3 3 

- Tính vi phân dx theo dt , đổi cận. 

- Thay vào tính tìm tích phân và kết luận. 


3 

x 

I dx 

0 

1 

x 1 

Đặt 

Đổi cận 

2 

t x 1 t x 1 2tdt dx 

x 

0 t 1 

 

x 

3 t 2 

.2 2 1 2 2 

4 

R 

3 

2 2 

2 2 2 

t 1 2 2 3 2 

I tdt t t dt t t dt t t 

1 

t 

3 

1 1 1 

Đối chiếu các đáp án ta thấy A, B, D đúng. 

Đáp án C sai vì quên không đổi cận. 

Chọn C. 

Câu 45: 


Lập luận để có hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn x1 x2 6 3 

Từ đó sử dụng hệ thức Vi-et để tìm m. 


3 


1 

Vì hàm số y x 3 3m 1 

x 2 9x 

1 

nghịch biến trên khoảng (x 1 ; x 2 ) và đồng biến trên các khoảng 

3 

còn lại của tập xác định nên hàm số có hai điểm cực trị x 1 ; x 2 hay x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình 

y ' 0 

 

 

2 

Ta có y ' 0 x 6 m 1 x 9 0có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 

Suy ra 2 2 m 

1 

' 9 m 1 9 0 m 2m 

0 

m 

0 

1 

24

Theo hệ thức Vi-ét ta có 

x1 x2 

6 m 1 

 

x1. x2 

9 

Theo đề bài ta có 

 

 

2 2 

x x 6 3 x x 108 x x 4 x . x 108 

1 2 1 2 1 2 1 2 

2 2 m 

3 

36m 

1 4.9 108 m 

1 

4 

m 

1 

Vì m nguyên dương nên chỉ có m = 3 thỏa mãn. 

Chọn B. 

Câu 46: 


- Tính y ' . 

- Hàm số nghịch biến trên (-1; 0) nếu y ' < 0, x 

(-1;0). 


 

3 2 

y ' 4x 2x 1 m 2x 2x 1 

m 

Hàm số nghịch biến trên (-1; 0) nếu y ' < 0, x (-1;0) 

 

 

2 2 

2x 1 m 0, x 1;0 m 2x 1, x 1;0 

2 

 

2x2x 2 1 m 0, x 

1;0 

 

Dễ thấy hàm số f x 2x 

1 có f ' x 4x 0, x 

1;0 

nên y = f (x) nghịch biến trên (-1; 0) 

 

f 1 f x f 0 3 f x 1 

Vậy để m < 2x 2 + 1, x 

1;0 

thì m 1. 

Chọn C. 

Câu 47: 


 

 

 

 

Hàm số y f x có f ' x 0; x K (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến trên 

khoảng K. 


2 x 0 x 2 x 

2 

' 2 1 3 0 3 

 

x 

1 3 x 0 x 13 x 

0 

 

 

1 x 3 

2 3 

Ta xét f x x x x 

Suy ra hàm số đồng biến trên (1;3) nghĩa là hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) 

Chọn D. 

Câu 48: 



Sử dụng tính chất 

 


9 

 

9 9 9 

10 1 10 1 10 1 

I f 

2 xdx 

2 

.18 1 10 9 0 

0 1 

2 dx f x dx 

x 

0 x 

1 

2 

 

 

 

 

x 1 0 

0 

2 

Chọn D. 

Câu 49: 



25

Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp 

 

f u' u '. f ' u 

 

Hàm số y f x nghịch biến trên K nếu f ' x 0; x K và f ' x = 0 xảy ra tại hữu hạn điểm. 


Xét hàm số y f x x x 

2 

4 1 

có y ' f 4 x 1 

2 

x 

x 

' 0 4 1 0 4 1 

2 2 

x 1 x 1 

Ta có y f x f x 

2 

x x 1 

x 

2 

Nhận thấy 1 0; x( do x 1 x x x) 

2 2 

x 1 x 1 

Nên suy ra f x 

2 4 x 1 3 x 6 

4 0 

 

4 x 2 

 

x 

2 

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (3; 6) 

Chọn B. 

Câu 50: 


Đặt z = a + bi thay vào đẳng thức bài cho tìm a, b . 

- Tính w và suy ra mô đun. 


Đặt 

z a bi, a, 

b 

 

 

, ta có: 

 

1 i z 2iz 5 3i 1 i a bi 2i a bi 5 3i 

a ai bi b 2ai 2b 5 3i 

 

a 3b a b i 5 3i 

a 3b 5 a 

2 

z 2 i 

a b 3 b 

1 

w 2 2 i 1 2 i 4 3i 

 

 

2 2 

w 4 3 5 

Chọn A. 

x 

x 

1 


26





Câu 1 [NB]: Tìm số nghiệm nguyên dương của bất phương trình 

2 2 

3x3 20197 

x 

A. 201 . B. 100 . C. 102 . D. 200 . 

3 2 

Câu 2 [TH]: Giá trị lớn nhất của hàm số y x 2x x 1 trên đoạn 1;1 là: 

 

31 

10 

A. . B. 0 . C. 1. D. . 

27 

9 


đồ thị hàm số 

y f x 

là: 

y f x 

 

0; 4 

A. 2;0 

B. 

 

 

1;0 

 

C. 0; 2 

D. 

Câu 4 [TH]: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

có đồ thị như hình bên. Tọa độ điểm cực đại của 

x 1 

y 

x 2 

tại điểm có hoành độ bằng -3 là: 

A. y 3x 

13 

B. y 3x 

5 

C. y 3x 

5 D. y 3x 

13 

Câu 5 [NB]: Cho log b 2 và 

2 3 

a 

log c 3; 0 a a 

1; b 0, c a b 

0 . Tính giá trị của P log a 

c 

A. P = 6 . B. P = 5 . C. P =1 . D. P = 2 3 

Câu 6 [TH]: Gọi z 1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 

z1 

hợp của w 

2 i 


2 

2z 

5 0 . Tìm số phức liên 

A. w 1 3i 

B. w i 

C. w 3 

i D. w i 

Câu 7 [NB]: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: 

x 

1 3 

y ' 

+ + 0 

y 

1 

 

 

2 

 

 

Đồ thị hàm số y = f (x) có tổng số bao nhiêu tiệm cận (gồm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) ? 

A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. 

1

Câu 8 [TH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I (1; -2; -1) và có tiếp diện là mặt 

phẳng (P): 2x + y + 2z + 5 = 0 , có phương trình là: 

2 2 

2 

x y z 

 

A. x 1 y 2 z 1 4 

B. 

C. x 1 y 2 z 1 4 

D. 

2 2 2 

1 2 1 1 

2 2 

2 

x y z 

 

Câu 9 [TH]: Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2; 7] để phương trình 

phân biệt. 

2 2 2 

1 2 1 1 

2 

x 2x 3 .2 m 

7 

A. 5. B. 8. C. 7. D. 6. 

Câu 10 [NB]: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số 

được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

2x 

1 

A. y 

B. 

x 1 

2x 

1 

C. y 

D. 

x 1 

2x 

1 

y 

x 1 

1 

2x 

y 

x 1 

 

 

có hai nghiệm 

Câu 11 [TH]: Cho số phức z a bi, a, 

b thỏa mãn: z 2 i z 1 i 2z 

3 . Tính S = a + b . 

A. S = 1. B. S = -5 . C. S = -1 . D. S = 7 . 

Câu 12 [NB]: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số y = f (x) đồng biến trên 


x 1 

0 1 

y ' 

y 

 

0 + 0 0 + 

4 

1;3 

 

 

; 1 

A. B. 1;1 

C. 4; 3 

D. 

 

Câu 13 [NB]: Tìm tập xác định D của hàm số y x 1 3 

. 

D 

A. B. D ;1 

C. \ 1 D. 

Câu 14 [NB]: Số phức z = 2 

3 

4 

 

D 

D 1; 

 


3i có điểm biểu diễn là: 

A. N =( 3; 2) . B. P (3; 2). C. M (2; 3). D. Q (2;3) . 

Câu 15 [VD]: Gia đình ông A cần khoan một cái giếng nước. Biết rằng giá tiền của mét khoan đầu tiên là 

200.000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá tiền của mỗi mét sau tăng 7% so với giá tiền của mét khoan 

ngay trước nó. Hỏi nếu gia đình ông A khoan cái giếng sâu 30m thì hết bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng 

nghìn)? 

A. 18 892 000 đồng. B. 18 895 000 đồng. C. 18 893 000 đồng. D. 18 892 200 đồng. 

Câu 16 [VD]: Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 1,2%/tháng để mua ô tô. Sau đúng 1 

tháng kể từ ngày vay thì người đó bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả ngân hàng 20 

2

triệu đồng cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 20 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì 

người đó trả được hết nợ ngân hàng? Biết lãi suất không thay đổi. 

A. 30 tháng. B. 26 tháng. C. 29 tháng. D. 32 tháng. 

Câu 17 [NB]: Đạo hàm của hàm số 

 

y x x 

2 

log8 

3 4 

1 

A. y ' 

B. 

2 

x 3x 

4 ln8 

 

2 

 

x x 

2x 

3 

C. y ' 

D. 

2 

x 3x 

4 ln 2 

Câu 18 [TH]: Trong khai triển 

 

 

 

là: 

y ' 

y ' 

x 

20 2 20 

1 2 x a a x a x ... 

a x 

0 1 2 20 

2 

2x 

3 

3 4 ln8 

2x 

3 

3x 

4 

. Giá trị của a 0 - a 1 + a 2 bằng: 

A. 800. B. 801. C. 721. D. 1. 

Câu 19 [TH]: Tìm số phức z thỏa mãn z 2z 2 4i 

2 2 2 

A. z 4 i B. z 4 i 

C. z 4 i D. 

3 

3 

3 


đối xứng. 

x 

y 

1 , m 

1 

x m 

 

2 

z 4 i 

3 

, có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị (C) nhận I (2;) làm tâm 

1 

1 

A. m 

B. m 

C. m = 2 . D. m = -2 . 

2 

2 

Câu 21 [VD]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bao nhiêu mặt phẳng qua M (2;1;3) , A(0; 0; 4) và 

cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại B, C khác O thỏa mãn diện tích tam giác OBC bằng 1? 

A. 0. B. 3. C. 2. D. 4. 

Câu 22 [TH]: Tính thể tích của khối nón biết thiết diện qua trục của nó là tam giác vuông cân có cạnh 

huyền bằng 2a. 

3 

3 

3 

2 a 

a 

A. a 

B. C. D. 2 a 

3 

3 

3 

Câu 23 [TH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vuông góc với đáy, 

M là trung điểm của BC, J là trung điểm của BM. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A. BC (SAC). B. BC (SAJ). C. BC (SAM). D. BC (SAB). 

Câu 24 [NB]: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, đường thẳng SC vuông góc với mặt 

phẳng đáy. Gọi V là thể tích của khối chóp. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

1 

1 

2 

1 

1 

A. V SC. AB. 

AC B. V SC. 

AB 

C. V SA. AB. 

AC D. V SA. 

AB 

3 

3 

3 

3 

Câu 25 [NB]: Cho khối trụ có bán kính đáy r = 

cho. 


3 

và chiều cao h = 4 . Tính thể tích V của khối trụ đã 

16 

3 

A. V 12 

B. V C. V 16 

3 D. V 4 

3 

Câu 26 [VD]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0 cắt mặt 

cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 6 y + 2 (m - 2)z + 4 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 3 . 

m 

2 

m 

3 

A. 

B. m 3 

C. D. 

m 

1 

 

m 

1 

m 

3 

 

m 

1 

2 

3

Câu 27 [TH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2 y - z - 1 = 0 , 

 

Q : 3x m 2 y 2m 1 z 3 0 . Tìm m để hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau. 

A. m = 0. B. m = 2 . C. m = -1. D. m = -2 . 

 

Câu 28 [TH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB 3;0;4 , AC 5; 2;4 

. 

Độ dài trung tuyến AM là: 

A. 4 2 . B. 3 2 . C. 5 3 . D. 2 3 . 

Câu 29 [TH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 

A2;1;3 

. Phương trình mặt phẳng (Q) qua A và d là: 

 

x 1 y 2 z 3 

 

2 1 1 

A. x y z 4 0 B. 2x y z 2 0 C. x y z 6 0 D. x 2y 3z 

9 0 

Câu 30 [TH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;3) và chứa trục hoành có 

phương trình là: 

A. 3y + z - 4 = 0 . B. x - y = 0 . C. 3y - z = 0 . D. x - 3y = 0 . 

Câu 31 [TH]: Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều có cạnh bằng a. 

2 

A. 2 

B. C. D. 

3 a 

1 2 

3 a 

2 

a 

2 

2 

a 

Câu 32 [TH]: Cho (T) là vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích V của (T) biết rằng 

khi cắt (T) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, 0 x 1, ta được thiết diện là 

tam giác đều có các cạnh bằng 1 

x 

3 

3 3 

3 3 

3 

A. V 

B. V 

C. V 

D. V 

2 

8 

8 

2 

Câu 33 [TH]: Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A 'B 'C 'D ' có ABCD là hình thoi cạnh a, góc giữa đường 

thẳng A 'B và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và B ' D ' . 

3 

1 

3 

A. d a B. d a 

C. d a D. d 3a 

3 

2 

2 

Câu 34 [VD]: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình 

phẳng giới hạn bởi các đường y = 

1 

x 

kính lần lượt là 2 dm và 4 dm , khi đó thể tích của lọ là: 

và trục Ox quay quanh Ox . Biết đáy lọ và miệng lọ có đường 

A. 8 dm 3 15 

. B. dm 3 . C. dm 3 . D. dm 3 . 

2 14 

3 15 

2 

3 

Câu 35 [TH]: Biết x a 

dx bln 2 cln 3, trong đó a là các số nguyên. Tính 

4 2 x 1 

3 

, b , c 

T a b c 

0 

A. T =1. B. T = 4 . C. T = 3. D. T = 6 . 

 

5 

Câu 36 [VD]: Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên , thỏa mãn f x 4x 3 2x 

1 

với 

 

mọi x . Tích phân f x dx bằng: 


8 

 

2 

32 

A. 10. B. 2. C. D. 72 

3 

và 

4

Câu 37 [VD]: Kết quả tính 

 

 

 

2xln x 1 

dx 

bằng: 

2 

2 

2 

x 

2 

x 

A. x 1 ln x 1 

x C 

B. x 1 ln x 1 

x C . 

2 

2 

2 

x 

C. x 2 ln x 1 

x C 

D. 

2 

2 

x 

x x x C 

2 

2 

1 ln 1 

Câu 38 [TH]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 

2 1 4 

y x , y x 

3 3 

7 

A. B. 

3 

39 

C. D. 

3 

và trục hoành như hình vẽ. 

56 

3 

11 

6 

Câu 39 [VD]: Cho tứ diện ABCD có (ACD) (BCD), AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x . Giá trị của x 

để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau là: 

a 2 

a 3 

a 3 

a 5 

A. B. C. D. 

3 

3 

2 

3 

Câu 40 [TH]: Cho hình chóp S.ABCD , mặt đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, phẳng (ABCD) và 

SA = a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). 

a 3 

a 

A. d B. d a 

C. d 

D. 

2 

2 

Câu 41 [VD]: Cho hàm số 

y x 3mx 3m 

3 2 3 

a 2 

d 

2 

. Biết rằng có hai giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

có hai điểm cực trị A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 48 . Khi đó tổng hai giá trị của m là: 

A. 2. B. -2. C. 0. D. 2 . 

' 

Câu 42 [VDC]: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f x . 

Hàm số y = f ' x 

liên tục trên tập số thực và có đồ thị như 

hình vẽ. 

Số nghiệm thuộc đoạn [-1;4] của phương trình f(x)=f(0) là: 

A. 4. B. 3. 

C. 2. D. 1 

Câu 43 [VDC]: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 

z 


z 2 i z 2 3i 

2 5 

. Tìm giá trị nhỏ nhất của 

4 5 

A. z 5 B. z C. z 13 D. z 2 5 

min min 

min min 

5 

x3 y xy1 xy1 

1 

Câu 44 [VD]: Cho các số thực x, y với x 0 thỏa mãn e e x y 1 

e 3y 

. Gọi m 

x3 

y 

e 

là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x + 2y +1. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

m 

 

m 

m 

m1;2 

 

A. 2;3 B. 1;0 

C. 0;1 D. 

Câu 45 [VD]: Có bao nhiêu số tự nhiên có 30 chữ số, sao cho trong mỗi số chỉ có mặt hai chữ số 0 và 1, 

đồng thời số chữ số 1 có mặt trong số tự nhiên đó là số lẻ? 

5

A. 3.2 27 . B. 2 27 . C. 2 29 . D. 2 28 . 

Câu 46 [TH]: Cho 

 

 

2 

f 4x dx x 3x C 

. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

2 

x 

A. f x 2dx 2x C 

B. 

4 

 

2 

2 

x 

C. f x 2dx 4x C 

D. 

4 

 

Câu 47 [TH]: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm 

đúng? 

A. f 1 f 2 f 2 

B. 

 

f x 2 dx x 7x C 

2 

x 

f x 2 dx 4x C 

2 

2 

3 

 

f ' x x 4 x 2 9 2x 

 

f 2 f 1 f 2 

 

f 2 f 1 f 2 

C. f 2 f 2 f 1 

D. 

Câu 48 [VDC]: Cho hàm số 



 

g x 

Điều kiện cần và đủ để 

 

y f x 

x 8 x 3 2 

f 

m 

48 x 1 

 

0, x 

0;1 

g x 

có đồ thị hàm số 

là: 

f 0 8 

A. m 

B. m 

48 3 2 

 

f 1 

C. m 2 

D. m 

48 

 

y f ' x 

với m là tham số thực. 

 

f 0 8 

 

48 3 2 

f 

1 

48 

2 

Câu 49 [VD]: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 

khoảng 0;2 

 

. Mệnh đề nào dưới đây 

mx 10 

y 

2x 

m 

A. 9. B. 6. C. 4. D. 5. 


Câu 50 [VD]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng 

P : x 2y z 7 0 

và đi qua hai điểm A (1; 2;1), B (2;5;3). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng: 

470 

546 

763 

A. B. C. D. 

3 

3 

3 



1.A 11.C 21.C 31.D 41.C 

2.A 12.A 22.C 32.C 42.D 

3.A 13.C 23.C 33.D 43.C 

4.A 14.C 24.B 34.B 44.C 

5.B 15.A 25.A 35.A 45.D 

6.D 16.A 26.B 36.A 46.C 

7.B 17.B 27.A 37.D 47.B 

8.D 18.B 28.B 38.D 48.C 

9.D 19.D 29.A 39.B 49.B 

345 

3 

6

10.A 20.D 30.C 40.D 50.B 

Câu 1: 


Giải bất phương trình mũ cơ bản. 


Ta có: 

3x3 20197 

x 

2 2 3x 3 2019 7x 10x 2016 x 201,6 

 

Mà x nên x {1; 2;3;...; 201}: có 201 số. 

Chọn: A 

Câu 2: 


Để tìm GTNN, GTLN của hàm số f trên đoạn [a;b], ta làm như sau: 

- Tìm các điểm x1; x2;...; xn 

thuộc khoảng [a;b] mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo 

hàm. 

- Tính f x ; f x ;...; f x ; f a; 

f b 

1 2 

n 

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên [a;b]; số nhỏ 

nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của f trên [a;b]. 


x 

1 

2 1 ' 3 4 1 ' 0 3 4 1 0 

 

1 

x 

3 

3 2 2 2 

y x x x y x x y x x 

3 2 

Hàm số y x 2x x 1 

liên tục trên , có: 

Chọn: A 

Câu 3: 


 

 

f 1 3 

1 31 31 

f max y 

3 27 1;1 

 

 

27 

 

f 1 

1 

Dựa vào đồ thị hàm số để chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 


Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f (x) là: (-2; 0) . 

Chọn: A 

Câu 4: 


Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) tại điểm M (x 0 ; y 0 ) là: y = f ' (x 0 ).(x - x 0 ) + y 0 . 



x 1 3 

y y 3 

4 y ' y ' 

2 3 

3 

x 2 x 2 

 

 

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trên tại điểm có hoành độ bằng -3 là: 

7

y 3. x 3 4 y 3x 

13 

Chọn: A 

Câu 5: 


Sử dụng các công thức cơ bản của lôgarit. 


a b 

P a b c b c 

c 

2 3 

2 3 

loga loga loga loga 2 3loga loga 

2 3.2 3 5 

Chọn: B 

Câu 6: 


Giải phương trình bậc hai một ẩn trên tập số phức. 


Ta có: 

2 

z 2z 5 0 z 1 

2i 

z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z1 1 

2i 

1 

Khi đó, 

Chọn: D 

Câu 7: 


i i 

z 1 2 2 

1 

1 

2i 5i 

w i w i 

2 i 2 i 4 i 5 

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x 

 

Nếu lim f x a hoặc lim f x a y a là TCN của đồ thị hàm số. 

x 

x 

 

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x 

 

Nếu lim f x hoặc lim f x hoặc lim f x hoặc lim f x thì x a là TCĐ 

 

xa 



 

xa 

 

Quan sát bảng biến thiên, ta có: Đồ thị hàm số 

Chọn: B 

Câu 8: 


Phương trình mặt cầu có tâm 


 

xa 

 

 

 

xa 

 

y f x có tất cả 2 tiệm cận, đó là: y 1, x 1 

I x0; y0; 

z0 

, bán kính R là: x x0 y y0 z z0 

R 

2 2 2 2 

2.1 2 2. 1 5 

tiếp xúc với S R d I; P 

1 

4 1 

4 

P : 2x y 2z 

5 0 

2 2 2 

Phương trình mặt cầu S x y z 

Chọn: D 

Câu 9: 


: 1 2 1 1 

 

8


x 

Ta có: 

2 xm x 2 xm 

3 .2 7 log 3 .2 log 7 x 2xlog 2 mlog 2 log 7 0 

2 2 2 

3 3 3 3 3 

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 2 

2 

log3 2 log3 

7 

m 

3,43 

log 2 

Mà 

3 

2;7 m 2; 1;0;...;3 

m 

Chọn: D 

Câu 10: 


 

' 0 log 2 mlog 2 log 7 0 

: có 6 giá trị. 

3 3 3 

ax b 

a 

Đồ thị hàm số y ad bc 0, c 0 

có 1 TCN là y , 1 TCĐ là 

cx d 

c 


Nhận xét: 

Đồ thị hàm số có TCĐ là 

Đồ thị hàm số có TCN là 

x 1 

y 2 

Loại C 

Loại D 

Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm có hoành độ dương Chọn A. 

Chọn: A 

Câu 11: 


Ta có: z a bi, a, 

b 


Ta có: 

 

 

z a b 

2 2 

d 

x 

c 

2 2 

2 1 2 3 2 1 2 2 3 

z i z i z a b i a bi i a bi 

2 2 

2 2 2 2 

2 1 2 

2 a b a b . i a bi 1 2ai 2b 3i 

 

2 2 

 

 

2 b 2a 3 a 1 2b 3a 4b 

7 0 

 

 

2 2 

a b b 2a 

3 

a b b 2a 

3 

2 2 2 2 

a b b 4a 9 4ab 12a 6b 

4b 

7 

a 

 

3 

 

b 

2a 

3 0 

 

2 

4b 7 4b 7 4b 

7 

3 4. b 

12. 6b 

9 0 

3 3 3 

4b 

7 

 

a 

3 

 

b 

2a 

3 

 

2 

4b 7 4b4b 7 124b 7 

18b 

27 0 

 

a b a b 

 


9

4b 

7 

 

a 

3 

 

a 

3 

b 2a 3 S a b 1 

b 

4 

2b 

8 0 

 

 

Chọn: C 

Câu 12: 


Hàm số đồng biến trên a; b f ' x 0, x a; 

b 


 

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng (1; 3). 

Chọn: A 

Câu 13: 


Xét hàm số y x : 

+ Nếu là số nguyên dương thì TXĐ: D = 

+ Nếu là số nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ: D = 

+ Nếu là không phải là số nguyên thì TXĐ: 


TXĐ: D = 

Chọn: C 

Câu 14: 

 

 

\ 0 

D 0; 

 

\ 1 


Số phức 


z a bi, a, 

b 

 

 

có điểm biểu diễn là M (a; b). 

Số phức z = 2 -3i có điểm biểu diễn là: M (2; -3). 

Chọn: C 

Câu 15: 


Giá của các mũi khoan lần lượt là: T 1 , T 2 = (1 + 7% )T 1 , T 3 = (1 + 7% ) 2 T 1 , ......, T n = (1 + 7%) n T 1 


Số tiền ông A phải trả là: 


T 1 + T 2 + ... + T 30 = T 1 + (1 + 7%)T 1 + ... + (1 + 7%) 29 T 1 = T 1 (1 + 1,07 + ... +1,07 29 ) 

30 30 

1,07 1 1,07 1 

T1. 200 000. 

1,07 1 1,07 1 

Chọn: A 

Câu 16: 


18 892 000 (đồng). 

10

Dành cho bài toán trả góp: Gọi số tiền vay là N, lãi suất là r, n là số tháng phải trả, A là số tiền phải trả 

vào hàng tháng để sau n tháng là hết nợ. 

n 

N 1 r . r 

A 

n 

1 r 1 


Ta có: 

n 

500 11,2% .1,2% 

n 

20 20.1,012 20 6.1,012 

n 

11,2% 1 

n 10 

1,012 n 29,9 

7 

Vậy sau 30 tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng. 

Chọn: A 

Câu 17: 


 

 

log 

a 

 

 

u x 


 

 

 

' 

u x 

 

u x 

.ln 

 

 

' 

aa 

y log x 3x 4 y ' 

Chọn: B 

Câu 18: 

2 

8 2 


 

x 

2x 

3 

 

3x 

4 ln8 

n i i n i 

Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: x y 

Cnx . y 


20 2 20 

i 

1 2 x a a x a x ... a x C 2x 

0 1 2 20 2 

i0 

20 

 

0 0 1 1 2 2 

0 1 2 20 20 20 

a a a C 2 C 2 C 2 1 40 760 801 

Chọn: B 

Câu 19: 


 

Hai số phức bằng nhau thì phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằng nhau. 


Giả sử số phức đó là z a bi, a, 

b 

i 

n 


n 

i0 

Khi đó: z 2z 2 4i a bi 2a 2bi 2 4i 

2 

3a 

2 a 

2 

3 z 4 i 

b 

4 3 

 

b 

4 

Chọn: D 

11

Câu 20: 


a x b 

Đồ thị hàm số bậc nhất trên bậc nhất y 

cx d 

 

C 

 

d b 

có tâm đối xứng I ; 

c a 


Đồ thị (C) nhận I (2;1) làm tâm đối xứng m 

2 m 2 

Chọn: D 

Câu 21: 


Sử dụng phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng. 


x y z 

Giả sử Bb;0;0 , C 0; c;0 , b, c 0 . Phương trình mặt phẳng đó là: 1 

 

b c 4 

Do M 

 

2 1 3 2 1 1 

2;1;3 

nên 1 

 

b c 4 b c 4 

1 

Lại có: Diện tích tam giác OBC bằng 1 bc 1 bc 2 bc 2 

2 

+) bc 2 1 1 

2 c c 4 2 4 0 : vô nghiệm 

b 

c 

4 

c c 

+) bc 2 1 1 

2 c c 4 2 4 0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 

b 

c 

4 

c c 

Vậy, có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài. 

Chọn: C 

Câu 22: 


Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy là r và chiều cao 


h : V 

1 

 

3 

2 

r h 


Thiết diện qua trục của nó là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 2a 

2a 

2 1 . 

2 a 

r h a V r h a . a 

2 3 3 

Chọn: C 

Câu 23: 


3 

12

Sử dụng quan hệ vuông góc để chứng minh các đáp án và chọn đáp án đúng. 


ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm của BC 

AM BC 

Mà SA BC do SA ABCD 

BC 

Chọn: C 

 

SAM 

 

Câu 24: 


1 

Công thức tính thể tích khối chóp là V S 

3 d. h 


1 1 

Do SC vuông góc với mặt phẳng đáy VS . ABCD 

SC. S 

ABCD 

SC. 

AB 

3 3 

Chọn: B 

Câu 25: 


Công thức tính thể tích khối trụ: V 


2 

V r h .3.4 12 

Chọn: A 

Câu 26: 


2 

r h , với r là bán kính đáy, h là chiều cao của khối trụ. 


2 

d r R 

2 2 2 

Trong đó, d : khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P), 

r : bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P), 

13

R : bán kính hình cầu. 


Bán kính của đường tròn giao tuyến là: d 

3 

 

 

3 

Ta có: 

2 

2 2 

3 m 2 4 0 m 4m 

9 0 : luôn đúng với mọi m 

2 2 2 

 

S : x y z 6y 2 m 2 z 4 0 

(S) có tâm 

I 

 

0;3;2 m 

 

, bán kính 

2 

R m m 

4 9 

0 3 2 m 1 6 m 

d d I; 

P 

 

3 3 

2 

2 2 2 6 m 

2 

Ta có d r R 3 m 4m 

9 

3 

 

2 2 

6 m 9 3m 12m 

27 

2 2 

m m m m 

12 36 9 3 12 27 

 

2 

2m 

18 m 3 

Chọn: B 

Câu 27: 


 

Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau n . n 

0 

P Q 


là phương trình mặt cầu với mọi m 

 

n . n 0 1.3 2. m 2 1. 2m 1 0 m 0 

Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau 

 

Chọn: A 

Câu 28: 


AM là trung tuyến của tam giác ABC AM 1 

AB AC 

2 

P 

Q 

 


1 

AB 3;0;4 , AC 5; 2;4 AM AB AC 

2 

1; 1;4 

 

AM 1116 3 2 

Chọn: B 

Câu 29: 


 

Phương trình mặt phẳng đi qua ; ; và có 1 VTPT n a; b; 

c 0 

 

là: 

 


0 0 0 

0. 


 

Lấy M d AM 

 

u 

1; 2;3 3; 3;0 

Đường thẳng d có 1 VTCP 2; 1;1 

 


M x y z 

 

0 0 0 

là 1 VTCP của mặt phẳng (Q) 

14

Mặt phẳng (Q) qua A và d nhận 

 

n u; AM 

 

3;3; 3 

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 

Chọn: A 

Câu 30: 

 

làm VTPT 

1 x 2 1 y 1 1 z 3 0 x y z 4 0 


 

Phương trình mặt phẳng đi qua ; ; và có 1 VTPT n a; b; 

c 0 

 

là: 

 


0 0 0 

0. 

M x y z 

 

0 0 0 


 

OA 1;1;3 

 

Mặt phẳng (P) qua A1;1;3 

 

 

và chứa trục hoành nhận n i1;0;0 ; OA 

 

0; 3;1 

làm VTPT, có 

phương trình là: 

Chọn: C 

Câu 31: 


Diện tích mặt cầu : S mc = 4 

r 2 . 


0 3 y 0 1 z 0 0 3y z 0 

Nhận xét: các mặt chéo của hình bát diện trên đều đều là các hình vuông có cạnh bằng a 

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình bát diện đều: 

1 

Smc 

4 r 4 . a 2 

a 

2 

Chọn: D 

Câu 32: 


2 2 2 

a 2 

r 

2 

Diện tích của vật thể là: S (x), sử dụng công thức V S x dx để tính thể tích của vật thể. 


 

 

2 

1 1 1 

x 3 1 1 

3 3 2 3 3 3 3 

Thể tích cần tìm là: V S xdx dx 1 xdx 1 

x 

4 4 

 

8 2 8 8 

Chọn: C 

Câu 33: 


b 

a 

 

0 0 0 

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách 

giữa hai mặt phẳng song song chứa 2 đường thẳng đó. 


0 

Do A A' ABCD A' B; ABCD A' B; AB ABA' 60 

A A AB a 

0 

' .tan 60 3 


0 

15

Do 

/ / ' ' ' ' 

Chọn: D 

Câu 34: 

ABCD A B C D nên d d AC; B' D' d ABCD; A' B' C ' D' A A' a 3 


 

 

Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi 

 

 

hai đồ thị số y f x , y g x và hai đường thẳng x a, 

y b khi quay quanh trục Ox là: 

b 

S f 2 x g 2 x dx 

 

 

a 


 

 

 

 

 

y 

2 

x 1 x 0 

2 

y 

4 

x 1 x 3 

2 

Thể tích cần tìm là: 

2 

1 2 1 2 2 15 3 

1 1 1 4 1 

3 3 3 

 

V x dx x dx x dm 

2 2 2 

0 0 

Chọn: B 

Câu 35: 


Đặt ẩn phụ. 


Đặt 

2 

x 1 t x t 1 dx 2tdt 

Đổi cận: x 0 t 1; x 3 t 2 

2 

3 

x t 

t t 

 

 

1 6 1 

 

dx 2tdt dt t 2t 3 dt t t 3t 6ln t 2 

4 2 x 1 

4 2t t 2 t 2 3 

 

3 2 2 2 2 

2 3 2 

0 1 1 1 

0 


14 7 7 

12ln 2 6ln 3 

12ln 2 6ln 3 

3 3 3 

a 7; b 12; c 6 T a b c 1 

Chọn: A 

Câu 36: 


Đặt x 5 + 4x + 3 = t . 

16 

1


Đặt x 5 4 

+ 4x + 3 = t 5 4 

Giải phương trình: 

x dx dt 

5 

x x x 

4 3 2 1 

5 

x x x 

4 3 8 1 

Ta có: f x 5 4x 3 2x 1 5x 4 4 . f x 5 4x 3 5x 4 42x 

1 

1 1 8 1 

4 5 4 5 4 

5 4 . 4 3 5 42 1 10 5 8 4 

x f x x dx x x dx f t dt x x x dx 

1 1 2 1 

Chọn: A 

Câu 37: 


Sử dụng công thức từng phần: 


b 

 

a 

udv uv vdu 

 

b 

a 

b 

 

a 

2xln x 1 dx ln x 1 d x x ln x 1 x d ln x 1 x ln x 1 x . dx 

x 1 

2 2 2 2 2 1 

1 

1 

ln 1 

1 ln 1 

ln 1 

 

x 1 

2 

2 1 2 

x 1ln x 1 

x x C 

2 

Câu 38: 

2 2 2 

x x x dx x x x x x C 


Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) , trục hoành và hai đường thẳng 

x = a; x = b được tính theo công thức: 


Diện tích cần tìm: 

Chọn: D 

Câu 39: 


b 

 

S f x g x dx 

a 

1 4 1 4 

2 3 2 

1 4 1 1 4 1 8 7 11 

S x dx x dx x x x 

 

3 3 3 6 3 3 3 6 6 

 

0 1 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng 

, 

 

 

- Tìm giao tuyến của 

 

, 

 

 

- Xác định 1 mặt phẳng 

- Tìm các giao tuyến a , 

b 

 

- Góc giữa hai mặt phẳng , 

: 

; 

a; 

b 


Gọi M là trung điểm của CD. 

0 1 


Do tam giác ACD và BCD là các tam giác cân tại A, B 

17

CD AM 

CD ABM 

CD 

BM 

0 

; 90 

 

và 

ACD BCD AMB 

Dễ dàng chứng minh được 

 

ABC 

ABD c. c. 

c , dựng CI AB 

0 

tại I, suy ra DI AB ABC ; ABD CID 

90 

ICD 

2x 

vuông cân tại I IM CM CD x 

2 

Lại có: ABM vuông cân tại M, 

 

1 

MI ABdo AB ICD 

AM AC CM a x 

IM 

2 2 2 

Từ (1), (2) suy ra: 

Chọn: B 

Câu 40: 


2 2 2 2 

2 

2 2 2 

a x 2 2 2 2 a a 

x a x 2x x x 

2 3 3 

Xác định khoảng cách sau đó dùng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách 

đó. 


Dựng AH vuông góc với SB tại H. 

BC 

AB 

BC SAB BC AH 

BC 

SA 

Ta có: 

Mà SB AH AH SBC 

 

 

 

d A; 

SBC 

 

AH 

1 1 1 1 1 2 

SAB 

vuông tại A có AH SB 

2 2 2 2 2 2 

AH SA AB a a a 

a 

a 2 

AH d A; 

SBC 

 

 

2 

2 

Chọn: D 

Câu 41: 


Xác định tọa độ 2 điểm cực trị, và phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 

Từ đó, xác định công thức tính diện tích tam giác OAB theo tham số m. 



3 2 3 2 x 

0 

y x 3mx 3 m y ' 3x 6 mx, y ' 0 , m 0 

x 

2m 

Tọa độ hai điểm cực trị: A0;3 m , B2 m; m AB 4m 16m 

3 3 2 6 

 

 

18

Ta có: 

1 m 

y y '. 

x 2mx 3m 

3 3 

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: 

3 

y m x m m x y m 

2 3 2 3 

2 3 2 3 0 

0 0 3m 

3m 

d O; 

AB 

 

 

Diện tích tam gaics OAB là; 

3 3 

4 4 

4m 

1 4m 

1 

1 3m 

1 

S m m m m m m 

2 4m 

1 

2 

3 

. 

2 6 3 4 

. 4 16 48 . 3 . 2 48 

4 

16 2 

Tổng hai giá trị của m là: -2 + 2 = 0. 

Chọn: C 

Câu 42: 


Xét hàm số g (x) = f (x) - f (0) trên đoạn [-1; 4]. Từ đó đánh giá số nghiệm của phương trình f (x) = f (0). 


Xét hàm số g (x) = f (x) - f (0) trên đoạn [-1; 4], có: g ' x f ' x 

Bảng biến thiên: (chú ý : g (0) = f (0) - f (0) = 0) 

x -1 0 1 2 4 

g ' x 

0 + 0 - 0 + 0 

g x 

 

g 1 

* Ta so sánh g (2) và g(0): 

 

0 

g 

1 

g 

2 


g 4 

1 2 

1 2 

 

 

 

0 1 

 

S S g ' x dx g ' x dx g 1 g 0 g 1 g 2 g 2 g 0 

19

Vậy, đồ thì hàm số g (x) cắt trục Ox tại đúng 1 điểm trên đoạn [-1; 4] hay phương trình f (x) = f (0) có 

đúng 1 nghiệm trên đoạn [-1; 4]. 

Chọn: D 

Câu 43: 


Sử dụng phương pháp hình học. 


Giả sử M , A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, z1 2 i, z2 

2 3i 

Khi đó, 

Nhận xét: 

z 2 i z 2 3i 2 5 MA MB 2 5 , với A2;1 , B2;3 

2 2 

AB 4 2 2 5 MA MB AB B 

1 

AB BM t AB t M t t 

2 

4;2 , 0 2 2 ;3 

 

2 2 2 

z OM 2 2t 3 t 5t 14t 13, t 0 

ttrên đoạn thẳng MB. 

Xét f t 5t 2 14t 13, t 0; , f ' t 10t 

14 0, t 0; 

 

f t 

liên tục và đồng biến trên 0; 

min f t f 0 13 

 

z 3 t 0 M 2;3 M B 

min 

Chọn: C 

Câu 44: 


 

 

0; 

 

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm. 


x3 y xy1 xy1 x3 y xy1 

Ta có: e e x y 1 1 e 3y e x 3y e xy 11 

 

1 1 1 

e e e 

x3 y x3 y xy1 

t 1 

1 

Xét hàm số f t 

e t có f ' Hàm số f (t) liên tục và đồng biến trên 

t 

t 

e t 1 0, t 

 

t 

e 

e 

Khi đó, (1) 

f x 3y f xy 1 x 3y xy 1 x xy 3y 

1 0 

x 1 

y x x y do x 

x 3 

3 1 0 

x 1 4 

Suy ra, T x 2y 1 x 2. 1 x 1 

x 3 x 3 

1 

Ta chứng minh T , x 

0 : 

3 

2 

4 4 x 6x 

5 

2 2 

g x x 1 , x 0 g ' x 1 0, x 0 

x 3 x 3 x 3 

Xét 


 

20

g x 

đồng biến trên 0; 

1 

min g x 

g 0 

 

0; 

 

3 

Vậy, GTNN của T là 1 3 

Chọn: C 

Câu 45: 


Gọi S i là số các số lập được mà trong số đó có đúng i chữ số 1, i {1;3;5;...; 29}. 

Ta có: 

S 1 = 1 

2 2 

S 3 = 1.C 

29 

= C 

29 

4 4 

S 5 = 1.C 

29 

= C 

29 

.... 

S 1. 

C C 

28 28 

29 29 29 

Do đó, số các số thỏa mãn: 

S S S ... S 1 C C ... 

C 

2 4 28 

1 3 5 29 29 29 29 

1 

C C C ... C .2 2 

2 

Chọn: D 

0 2 4 28 29 28 

29 29 29 29 

Câu 46: 


Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến. 


Đặt 4x t 2 4dx dt 

2 2 2 

1 t 2 t 2 t t 

f t 2dt 3. C t C f t 2dt 4t C 

4 

 

4 4 16 

 

4 

 

2 

x 

f x 2 dx 4x C 

4 

Vậy 

Chọn: C 

Câu 47: 


Lập bảng biến thiên. 



x 

1 2 

-2 2 9 

2 

f x 

- 0 - 0 + 0 - 

f 

' x 


21

2 1 2 

f f f 

Chọn: B 

Câu 48 


Nhận xét: 

x 8 x 3 2 

f 

g x 0, x 0;1 m, x 

0;1 

48 x 1 

 

f x 8 x 3 2 

Xét h x 

 

trên khoảng (0;1): 

48 x 1 

1 

f x 

8 f ' x 

3 f ' x 

8 

h x 

h' x 

8. x 

0, x 

 

2 2 0;1 

48 x 3 2 48 x 3 2 48 x 3 x 3 2 

 

f ' x 1 

8 8 

(do 0 0,0625 và 0,25 0,3 với x 0;1 

) 

48 16 

x 3 3 2 7 3 12 

1 , 0;1 

h x h x 

 

Vậy để 

Chọn: C 

Câu 49: 

 

2 

f 1 

0, x 

0;1 thì m h1 

2 

48 

 

g x 


Hàm số nghịch biến trên (a; b) f '(x) < 0 x (a; b). 


mx m m 

y x y 

2x m 2 2x m 

2 

10 

20 

, ' 

2 

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) thì 

2 

m 

 

 

20 0 

 

m 

2 5 m 2 5 

 

 

0 2 

2 m 

4 

m2 5; 4 

 

 

 

0;2 5 

 

m 

 

 

m 0 

0 2 

 

2 

Mà 

 

m 

m 4;0;1;2;3;4 

Chọn: B 

Câu 50 


Lấy 

J 3 7 

 

; ;2 

2 2 

 

là trung điểm của AB, 

 

: có 6 giá trị. 

 


 

AB 

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: 

 

1;3;2 

 

 

 

 

 

 

 

22

3 7 

1 x 3 y 2 z 2 0 x 3y 2z 16 0 Q 

2 2 

 

Gọi I là tâm mặt cầu (S). 

x 2y z 7 0 

Do I P & IA IB nên I thuộc giao tuyến của (P) và (Q): d 

: 

x 3y 2z 

16 0 

 

 

(d) có 1 VTVP u n1; n 

2 

1; 1;1 

, với n1 1;2;1 ; n2 

1;3;2 

 

y 

2 

Cho x 0 

z 

11 

 

d 

 

đi qua M 

Phương trình đường thẳng : 2 

Giả sử 

 

x 

t 

 

d y t 

 

z 

11 t 

 

0; 2;11 

2 2 2 2 13 182 546 

I t; 2 t;11 t IA t 1 t 4 t 10 

3t 26t 117 3t 

 

3 3 3 

546 

Vậy, bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng: 

3 

Chọn: B 


2 

23





Câu 1 (NB) Cho các số thực dương 

x, a, b. 

Khẳng định nào dưới đây đúng? 

 

 

b 

b 

a a 

a ab 

a a 

A. x x 

B. x x 

C. x x 

D. 

b 

 

b b 

a 

b 

x 

 

a b 

x 

Câu 2: Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy và chiều cao đều bằng 5 là: 

A. 50 . 

B. 250 . 

C. 25 . 

D. 125 . 

Câu 3 (NB): Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

2x 

1 

y 

x 2 

1 

1 

A. y 2. 

B. x 

C. y D. x 2. 

2 

2 

Câu 4 (TH): Họ nguyên hàm của hàm số 

cos 2 

f x x 

1 1 

A. 2sin 2 x C. 

B. sin 2 x C . C. sin 2 x C . D. sin 2 x C. 

2 

2 

 

 

Câu 5 (TH): Cho cấp số nhân u có số hạng đầu u1 2 và công bội q 3. Số hạng thứ 5 bằng 

n 

A. 96. 

B. 48. C. 486. D. 162. 

Câu 6 (NB): Trong không gian , hình chiếu của điểm 1;2;3 trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là 

là: 

Oxyz M 

 

1;2;0 

1;0;3 

0;2;3 

0;0;3 

A. B. C. D. 


 

 

y f x 

đồ thị hàm số y f x và trục Ox là: 

2 

 

 

A. S= f x dx 

B. S= f x dx 

1 

0 2 

có đồ thị như hình dưới đây. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 

2 

 

1 

 

 

C. S= f x dx f x dx D. S= f x dx f x dx 

1 0 


2 1 

0 0 

là: 

Câu 8 (NB): Hàm số 

4 2 

y x 4x 

1 


A. 2 B. 0 C. 1 D. 4 

Câu 9 (TH): Cho hình chóp S.ABC có các cạnh S A, SB, 

SC đôi một vuông góc với nhau. Biết 

SA 3, SB 4, SC 5, thể tích khối chóp S.ABC bằng 

A. 20. B. 30. C. 10. D. 60.

Câu 10 (TH): Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của hàm số 

nào trong bốn hàm số dưới đây 

A. 

B. 

C. 

D. 

3 2 

y x 3x 

2. 

3 2 

y x 3x 

2. 

3 

y x x 

3 2. 

3 

y x x 

3 2. 

Câu 11 (TH): Trong không gian Oxyz , khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng 

P : x y 2z 

3 0 

bằng 

6 

3 

A. B. C. 3 

D. 

2 

2 

Câu 12 (NB): Cho số phức 

z 5 3 i. 

Phần ảo của số phức z bằng 

A. 3. 

B. 3. C. 3 i. 

D. 5. 

Câu 13 (TH): Bất phương trình 

3 

 

 

log x 1 2 

có nghiệm nhỏ nhất bằng 

A. 7 B. 10 C. 9 D. 6 

Câu 14 (TH): Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ trưởng và một tổ phó từ một tổ có 10 người? Biết khả 

năng được chọn của mỗi người trong tổ là như nhau. 

A. 90. B. 100. C. 45. D. 50. 

Câu 15 (TH): Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng vuông góc 

với trục Oz ? 

A. 2y 3 0. B. 2x 

2y 

3 0. C. 2z 3 0. 

D. 2x 3 0. 

Câu 16 (VD): Cho hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là và O ; bán kính đáy hình trụ bằng a. 

Trên hai 

O 

 

O 

đường tròn và O lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho đường thẳng AB tạo với trục của hình trụ 

a 3 

một góc 30 và có khoảng cách tới trục của hình trụ bằng . Tính diện tích toàn phần của hình trụ đã 

2 

cho. 

 


2 

2 a 

 

 

 

3 3 

2 

a 

2 

2 

A. 3 2 B. a 3 2 . C. 2 a 3 1 D. 

3 

x 1 

Câu 17 (TH): Có tất cả bao nhiêu giá trị khác nhau của tham số m để đồ thị hàm số y 

có 2 

2 

x mx 4 

đường tiệm cận? 

A. 1 B. 2. C. 3. D. 0. 

Câu 18 (TH): Cho hình chóp S.ABC có đường cao S A, 

tam giác ABC vuông tại A có AB 2, AC 4. 

Gọi H là trung điểm của BC. Biết diện tích tam giác SAH bằng 2, thể tích của khối chóp S.ABC bằng 

1 

2 

3 

Trang 2/16

16 5 

16 5 

4 5 

A. B. C. D. 

15 

5 

9 

4 5 

3 

x 3x 

Câu 19 (TH): Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 5 625 bằng 

A. 9 B. 3 C. 4 D. 6 

Câu 20 (TH): Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

 

 

0;3 . Giá trị của biểu thức M 2m 

gần với số nào nhất trong các số dưới đây? 

2 

 

f x x x 

trên doạn 

A. 0,768 B. 1,767 C. 0,767 D. 1,768 

Câu 21 (TH): Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây. Số điểm cực trị 

của đồ thị hàm số 

 

y f x 

là 

A. 3 B. 5 

C. 0 D. 2 

Câu 22 (VD): Cho hình chóp S.ABC có đường cao S A, 

tam giác 

3 

3a 

là tam giác cân tại A có AB a, BAC 120 . 

Biết thể tích khối chóp S.ABC bằng , góc giữa hai 

4 

SBC 

mặt phẳng và ABC bằng 

ABC 

A. 90 B. 30 C. 60 D. 45 

ln x 3 

Câu 23 (VD): Cho hàm số y f x 

liên tục trên 0; 

. Biết f x 

và 1 , tính 

x 

2 

2 

ln 3 3 

ln 3 3 

ln 3 3 

A. B. C. D. 

2 

2 

2 

f f 

2 

ln 3 

3 

m 

Câu 24 (TH): Cho x , m, n N*, m, n 

1. 

Biết ba số log 

3 

x, 1, log3 

81x 

theo thứ tự lập thành 

n 

một cấp số cộng. Tính m n. 

A. 38. B. 4 C. 10 D. 82 

2 

Câu 25 (TH): Biết số phức z 3 4i là một nghiệm của phương trình z az b 0, trong đó a, b là 

các số thực. Tính a b. 

A. 31. 

B. 11. 

C. 1 D. 19 

 

 

Câu 26 (TH): Cho hàm số y ln x 2 có đồ thị là . Gọi A là giao điểm của C với trục Ox. Hệ 

số góc của tiếp tuyến của 


 

C 

 

tại A bằng 

C 

1 

A. 1 B. 1 

C. 

D. 

4 

1 

2 

2 

3 . 

Trang 3/16

Câu 27 (TH): Trong không gian , cho hai điểm 2;0;2 và B 0;4;0 . Mặt cầu nhận đoạn thẳng 

AB làm đường kính có phương trình là 

Oxyz A 

2 2 

2 

x y z 

A. x 1 y 2 z 1 36 

B. 

C. x 1 y 2 z 1 6 

D. 

2 2 2 

1 2 1 6 

2 2 

2 

x y z 

 

2 2 2 

1 2 1 36 

Câu 28 (VD): Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 9 2 i. 

Tìm mô đun của z. 

 

A. z 7 

B. z 21 

C. z 7 

D. z 29 

 


y f x 


Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 

0 

f x m 

A. 2; 

B. C. D. 

có hai nghiệm phân biệt là 

 

1;2 

1;2 

;2 

Câu 30 (VD): trong không gian , mặt phẳng đi qua điểm A 1;1;2 và song song với hai đường 

thẳng 

x 1 y 1 z 3 

: , 

2 2 1 

Oxyz 

x y 3 z 1 

 

: 1 3 1 


A. x y 4z 6 0 B. x y 4z 8 0 C. x y 4z 

8 0 D. x y 4z 

10 0 

Câu 31 (VD): Bác Bính có một tấm thép mỏng hình tròn tâm O bán kính 4dm. Bác định cắt ra một hình 

quạt tròn tâm O , quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón 

tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Bính tạo ra bằng bao nhiêu? 

(bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép) 


3 

3 

 

3 

128 3 

A. dm 

3 

16 3 64 3 

B. dm C. dm D. 

81 

27 

27 

128 3 dm 

27 

Trang 4/16

f x 

f 

Câu 32 (VD): Cho hàm số thỏa mãn 1 3 và x 4 f x f x 1 

với mọi x 0. Tính 

f 

2 . 

A. 5 B. 3 C. 6 D. 2 

2 2 2 

Câu 33 (VD): Trong không gian , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 2 4 và mặt phẳng 

P : x y 2z 1 0. 

Oxyz 

Gọi M là một điểm bất kì trên mặt cầu . Khoảng cách từ M đến P có giá trị 

nhỏ nhất bằng 

S 

4 6 

A. 2 6 2 

B. 2 

C. 0 D. 

3 6 2 

Câu 34 (VD): Trong không gian Oxyz, 

cho mặt phẳng P : x 2y 2z 

3 0 và mặt phẳng 

Q : x 2y 2z 

6 0. 

Gọi là một mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng. Bán kính của S bằng 

S 

 

3 

A. 3 B. C. 9 D. 

2 

Câu 35 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 

3 2 

y x 3x 3mx 

2019 nghịch biến trên khoảng 1;2 ? 

A. 11 B. 20 C. 10 D. 21 

Câu 36 (VD): Tính tổng phần thực của tất cả các số phức 

9 

2 

 

10;10 

5 

z 0 thỏa mãn 

 

z i 7 z. 

z 

 

A. 2 

B. 3 

C. 3 D. 2 

 


Câu 37 (VD): Trong không gian , cho các điểm A 1;4;5 , B 0;3;1 , C 2; 1;0 


P : 3x 3y 2z 

15 0. 

Oxyz 

Gọi ; ; là điểm thuộc P sao cho tổng các bình phương khoảng cách 

M a b c 

 

từ M đến A, B, C nhỏ nhất. Tính a b c. 

A. 3. 

B. 5 C. 5 

D. 3 

Câu 38 (VD): Có bao nhiêu cách chia 20 chiếc bút chì giống nhau cho 3 bạn Bắc, Trung, Nam sao cho 

mỗi bạn được ít nhất một chiếc bút chì? 


A. 190 B. 153 C. 171 D. 210 

Câu 39 (VD): Cô Ngọc vay ngân hàng một số tiền với lãi suất 1%/tháng. Cô ấy muốn hoàn nợ cho ngân 

hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, cô ấy bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách 

nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là 5 triệu đồng và cô ấy trả hết nợ sau đúng 5 năm kể 

từ ngày vay (số tiền hoàn nợ tháng cuối cùng có thể ít hơn 5 triệu đồng). Biết rằng mỗi tháng ngân hàng 

chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mà cô Ngọc vay ngân hàng là số nào trong các 

số dưới đây? 

A. 221 triệu đồng. B. 224 triệu đồng. C. 222 triệu đồng. D. 225 triệu đồng. 

Trang 5/16

Câu 40 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 3, hình chiếu vuông góc của 

 

 

 

S trên mặt phẳng ABCD là điểm H nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AB 3 AH, SH 3. Khoảng 

cách từ C đến mặt phẳng 

SAD 

 

bằng 

3 3 

A. 3 

B. C. 2 3 

D. 

2 


Số nghiệm của phương trình 

A. 5 B. 1 

y f x 

C. 2 D. 3 


có đồ thị như hình vẽ sau 

2 

x 

x 

f e 

 

f e 2 0 

 

 

y f x 

có đồ thị như hình bên. Bất phương trình 

mọi 

 

x 1;3 

 

 


A. m 3 f 3 

B. 

C. m 3 f 1 4 D. 

là 

liên tục trên R. Hàm số 

 

m 3 f 3 

m f 

2 

 

 

3 1 4 

 

3 2 

3 f x x 3x m 

 

y f x 

đúng với 

2 

Câu 43 (VD): Cho x 1 e x dx ae be c với a, b, 

c là các số nguyên. Tính a b c. 

1 

A. 0 B. 1 C. 4 D. 3 

Câu 44 (VD): Hình phẳng giới hạn bởi tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 

z 3 z 3 10 

có diện tích bằng 

A. 20 B. 15 C. 12 D. 25 

Câu 46 (VDC): Cho phương trình 

số m thuộc đoạn 

 

20;20 

 

2 

3 2 

3 

2 2 

x 3x m x 8x 2m 

0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 

để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt? 

A. 19 B. 18 C. 17 D. 20 

Câu 47 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm đối xứng của C 

 

qua B và N là trung điểm của SC. Mặt phẳng MND chia khối chóp S. ABCD thành hai khối đa diện, 

trong đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích khối đa diện còn lại có thể tích V (tham khỏa hình vẽ 

V1 

dưới đây). Tính tỉ số . 

V 


2 

 

V , 1 2 

Trang 6/16

V1 

12 

A. B. C. D. 

V V1 

5 

7 

V V1 

1 

3 

V V1 

7 

5 

V 5 

2 

2 

Câu 48 (VDC): Cho số phức z thỏa mãn z 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của T z 4 i z 2 i . 

A. 2 46. B. 2 13. C. 2 26. D. 2 23. 


2 

3 

f x x 3x 

1. 

Tìm số nghiệm của phương trình f f x 

 

A. 5 B. 4 C. 9 D. 7 

2 

0. 

2 2 

Câu 50 (VDC): Cho hai số thực a và b. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của a b để đồ thị hàm số 

 

4 3 2 

y f x 3x ax bx ax 3 có điểm chung với trục Ox. 

9 

36 

4 

A. B. C. D. 

5 

5 

5 


1 

5 

Trang 7/16


1. B 2. D 3. D 4. C 5. D 6. A 7. C 8. C 9. C 10. A 

11. A 12. A 13. B 14. A 15. C 16. C 17. C 18. A 19. D 20. A 

21. B 22. D 23. D 24. A 25. D 26. A 27. B 28. D 29. C 30. B 

31. D 32. A 33. D 34. B 35. A 36. C 37. D 38. C 39. B 40. B 

41. C 42. C 43. B 44. A 45. D 46. B 47. D 48. B 49. D 50. B 

Câu 1: 


Sử dụng các tính chất lũy thừa của số mũ thực. 


Ta có : x 

a 

b 

Chọn B. 

Câu 2: 


x 

ab 

Thể tích khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là V 


2 

Thể tích khối trụ là V .5 .5 125 . 

Chọn D. 

Câu 3: 





Chọn D. 

Câu 4: 


 

ax b 

y ad bc 0 

cx d 

2x 

1 

y có đường TCĐ là x 2. 

x 2 

1 

cosax b dx sin ax b 

C. 

a 


 

2 

r h 

có đường tiệm cận đứng là 

d 

x . 

c 


Trang 8/16

Ta có: 

 

1 

f xdx cos 2xdx sin 2x C 

2 

Chọn C. 

Câu 5: 


Số hạng tổng quát của CSN : 

un 

u q 

. n 1 

. 1 


Ta có: 

u q u u q 

4 4 

1 

2, 3 

5 

 

1. 2.3 162. 

Chọn D. 

Câu 6: 


M a b c 

Oxy 

H a b 

Hình chiếu của ; ; lên mặt phẳng là 


Hình chiếu của 1;2;3 lên mặt phẳng là 

Chọn A. 

Câu 7: 


; ;0 . 

M 

Oxy 

H 

1;2;0 . 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục , đường thẳng x a, 

x b a b là 

 

S f x dx. 


Xét phương trình hoành độ giao điểm: 

 

x 

1 

f x 

0 

 

 

x 0 . 

 

x 2 

2 0 2 0 2 

 

Khi đó diện tích 

 

Chọn C. 

Câu 8. 


1 1 0 1 0 

Ox 


S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx. 

 

 

4 2 

Hàm số y ax bx c a 0 có ab 0 thì có một điểm cực trị. 


4 2 

Ta thấy hàm số y x 4x 

1 

có ab 1.4 0 nên hàm số đã cho có 1 điểm cực trị. 

Trang 9/16

Chọn C. 

Chú ý khi giải: Ta cũng có thể tính y rồi giải phương trình y 0, lập BBT để tìm số điểm cực trị. 

Câu 9: 


1 

Thể tích tứ diện vuông là V abc. 

6 


Thể tích V 

. 

Chọn C. 

Câu 10: 

S ABC 


1 1 

SA. SB. SC .3.4.5 10. 

6 6 

Sử dụng cách đọc đồ thị hàm số bậc ba 

+ Xác định dấu của hệ số a dựa vào lim y. 

x 

3 2 

y ax bx cx d 

+ Xác định tọa độ một số điểm thuộc đồ thị hàm số rồi thay vào mỗi hàm số ở đáp án để loại trừ. 


Từ hình vẽ ta thấy khi x thì y hay hệ số a 0. Do đó loại B, C. 

 

 

Thấy điểm 0; 2 thuộc đồ thị hàm số nên ta thay x ; y 2 

vào hai hàm số còn lại thấy chỉ có hàm 

số 

3 2 

y x 3x 

2 thỏa mãn. 

Chọn A. 

Câu 11: 


 

 

Khoảng cách từ điểm M x ; y ; z đến mặt phẳng P : ax by cz d 0 là: 

0 0 0 

ax0 by0 cz0 

d M 

, P 

. 

2 2 2 

a b c 


Ta có: d O 

P 

Chọn A. 

Câu 12: 


0 0 2.0 3 3 6 

, . 

2 2 

1 1 2 6 2 

 


2 

 

Số phức z a bi a, 

b R có phần thực là a, phần ảo là b. 

Trang 10/16


Số phức z 5 3i 

có phần ảo là 3. 

Chọn A. 

Câu 13: 


Giải bất phương trình 


 

Ta có: 

2 

3 

 

log f x m f x a m 

a 

với a 1. 

log x 1 2 x 1 3 x 10. 

Chọn B. 

Câu 14: 


Sử dụng kiến thức về tổ hợp và qui tắc đếm cơ bản. 


1 

Số cách chọn 1 người làm tổ trưởng là C10 10. 

1 

Số cách chọn ra 1 người làm tổ phó là C 

9 

9 

Nên số cách chọn ra 1 tổ truoqngr và 1 tổ phó là 10.9 90 cách. 

Chọn A. 

Câu 15: 


 

Mặt phẳng P 

vuông góc với đường thẳng d thì ud 

kn P 


 

Trục Oz có VTCP k 0;0;1 . 

 

Đáp án A: n 0;2;0 không cùng phương k 

nên loại. 

 

 

 

Đáp án B: n 2;2;0 không cùng phương k 

nên loại. 

Đáp án C: 

 

n 

 

 

 

 

0;0;2 2k 

 

nên 

P Oz. 

 

Đáp án D: n 2;0;0 không cùng phương k 

nên loại. 

Chọn C. 

Câu 16: 


 


 

Trang 11/16

+ Sử dụng d a; b d a; P d M ; P MH với a / / P ; b P ; M a và H là hình chiếu 

vuông góc của M xuống mặt phẳng P. 

+ Xác định góc giữa hai đường thẳng a, 

b là góc giữa a và b với b / / b. 

+ Sử dụng định lí Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn. 

+ Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy r và đường sinh l là 

2 

S 2 2 . 

tp 

rl r 


Kẻ các đường sinh 

AB, 

A B thì AB / / OO / / AB. 

Ta có d OO; AB d OO; AABB d O; 

AABB 

Kẻ OH AA tại H H là trung điểm của AA. 

OH AA 

3 

OH AA BB d O AA BB OH 

a 

A B OH 

2 

Ta có: ; 

Lại có AB tạo với trục hình trụ góc 30 mà OO / / AB ABA 

30 

Xét tam giác ABA vuông tại A có AB AA.cot 30 a 3. 

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là: 

tp 

rl r a a a a 

2 2 2 

S 2 2 2 . . 3 2 2 3 1 . 

Chọn C. 

Câu 17: 


- Tìm các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số. 

 

- Nhận xét số đường tiệm cận đã có và suy ra điều kiện để có đủ số tiệm cận thỏa mãn yêu cầu bài toán. 


Ta có: 

x 1 

lim y lim 0 

x 

x 

2 

x mx 4 

nên đồ thị hàm số luôn có 1 TCN là 

 

y 0. 

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận thì nó chỉ có duy nhất 1 đường tiệm cận đứng 

x 

2 

 


2 

mx 4 0 có nghiệm x 1 

hoặc phương trình x mx 4 0 có nghiệm kép (có thể bằng 1). 

m m 

 

m 

4.4 0 m 

4 

2 

1 .1 4 0 5 

 

2 

. 

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn bài toán. 

Chọn C. 


Chú ý khi giải: Một số em có thể chỉ để ý trường hợp nghệm kép và chọn B là sai, một số em khác lại 

quên trường hợp nghiệm kép và chọn A là sai. 

Trang 12/16

Câu 18: 


Thể tích khối chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là 

1 

V h . S . 

3 

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính toán. 


Xét tam giác ABC vuông tại A ta có 

2 2 

BC AB AC 2 5 

AH 

2 2 2 

1 1 4 5 

Mà S 

SAH SA. AH 2 SA. 5 SA . 

2 2 5 

Thể tích khối chóp V 

. 

Chọn A. 

Câu 19: 


Bất phương trình 


S ABC 

 

5 

1 1 4 5 1 16 5 

. SA. S 

ABC 

. .2.4 . 

3 3 5 2 15 

 

f x 

a m f x log m với a 1. 

2 

x 3x 

2 2 

5 

5 625 x 3x log 625 4 x 3x 4 0 1 x 4. 

Do x Z nên x 0;1;2;3 . Vậy tổng các nghiệm nguyên là 6. 

Chọn D. 

Câu 20: 

 


a 

Tính y, 

giải phương trình 0 chọn ra các nghiệm x a; 

b và các giá trị x mà tại đó y không xác 

định. 

Khi đó 

 

 

a; 

b 


ĐK: x 0 


 

y 

 

max y max y a ; y x ; y x ; y b 

i 

j 

 

và 

 

 

a; 

b 

i 

 

 

min y max y a ; y x ; y x ; y b 

i 

j 

j 

 

Xét trên 

 

0;3 

ta có f x 1 1 0 x 1 0;3 . 

2 x 4 

f 1 1 

0 0; f 3 3 3; f 

 

. 

4 4 

Ta có 

Trang 13/16

Suy ra 

1 

M max y max f 0 ; f ; f 3 f 3 

3 

3. 

0;3 

 

4 

1 1 1 

m min y min f 0 ; f ; f 3 f . 

0;3 

 

4 4 4 

Nên 

Chọn A. 

Câu 21: 

1 

M 2m 

3 3 2. 0,768. 

4 


Dựng đồ thị hàm số 

 

y f x từ đồ thị hàm số y f x; 

- Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần dưới 

qua Ox. 


Dựng đồ thị hàm số 

 

y f x 

 

đồ thị hàm số y f x là 5. 

Chọn B. 

Câu 22: 


như hình vẽ ta thấy, số điểm cực trị của 

P 

 

Xác định góc giữa các mặt phẳng và Q ta thực hiện các bước sau: 

+ Xác định giao tuyến d của P và Q. 

 

 

+ Trong mặt phẳng P xác định đường thẳng a d, 

trong mặt 

phẳng 

 

 

Q xác định đường thẳng b d. 

P 

 

+ Khi đó góc giữa và Q là góc giữa hai đường thẳng a 

và b. 


Gọi M là trung điểm BC AM BC (do ABC 

cân tại A ). 

 

 

Lại có SAB SAC c. g. 

c SB SC hay SBC 

cân tại S. 

SM BC. 

Ta có: 

 

SBC ABC BC 

 

AM BC; 

AM ABC 

 

SM BC; 

SM SBC 


 

 

Trang 14/16

; ; 

SBC ABC SM AM SMA 

2 

1 1 2 a 3 

S ABC 

AB. AC.sin BAC a sin120 . 

2 2 4 

3 3 3 2 

3a 1 a 3 a 3 a 3 a 

Theo đề bài VS . ABC 

SA. S 

ABC 

SA : . 

24 3 24 8 4 2 

Lại thấy ABM 

vuông tại M có 

a 

AM AB.sin 30 . 

2 

180 BAC 

AB a; ABM 

30 

2 

a 

Xét tam giác SAM vuông tại A có SA AM nên SAM 

vuông cân tại A hay SMA 

45 

2 

SBC 

Vậy góc giữa và ABC là 45 . 

Chọn D. 

Câu 23: 


Sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm: Tìm hàm số 


ln x 

f x f x dx dx 

x 

Ta có: 

2 2 

dx ln x t ln x 

Đặt t ln x dt dx tdt C C 

x 

 

x 

 

2 2 

2 

2 

ln x 

3 3 ln x 3 

f x 

C. 

Mà f 1 C f x 

 

2 

2 2 2 2 

Vậy 

f 

 

Chọn D. 

Câu 24: 


2 2 

ln 3 3 ln 3 

3 

3 . 

2 2 2 

a c 

+ Ba số a, b, 

c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì b . 

2 

 

f x 

và suy ra giá trị f 3 . 

+ Sử dụng công thức loga bc loga b loga 

c 0 a 1; b, c 0 và log x c x a c 

a 

. 


ĐK: x 0. 


Trang 15/16

Từ đề bài ta có: 

log x log 81x 

3 3 

2 

 

 

1 log x log 81x 2 2log x 6. 

3 3 3 

3 

1 

log3 

x 3 x 3 x tm 

suy ra m 1, n 27 m n 28. 

27 

Chọn A. 

Câu 25: 


Nghiệm phức của phương trình bậc hai hệ số thực trên tập số phức là hai số phức liên hợp. 


2 

Do z 3 4i 

là một nghiệm của z az b 0 với a, 

b R nên z 3 4i cũng là nghiệm của 

phương trình. 

Áp dụng định lí Vi – ét ta có: 

Chọn D. 

Câu 26: 


+) Tìm tọa độ điểm A 

 

z z a a 6 a 

6 

a b 19. 

zz b b 

25 b 

25 

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại A của đồ thị hàm số y f x là k f x A . 


 

 

Hoành độ giao điểm của đồ thị C và trục Ox thỏa mãn phương trình: 

 

A1;0 

 

ln x 2 0 x 2 1 x 1. Suy ra 

1 

Ta có y hệ số góc của tiếp tuyến tại 1;0 là 

x 2 

Chọn A. 

Câu 27: 


 

A y 

 

1 1. 


AB 

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và bán kính là R . 

2 


Có 

2 2 2 

A2;0;2 , B0;4;0 I 1;2;1 

là trung điểm của AB và AB 2 4 2 

2 6. 

AB 

Khi đó mặt cầu đường kính AB có tâm I 1;2;1 

và bán kính R 6 có phương trình là: 

2 

Trang 16/16

x y z 

2 2 2 

1 2 1 6 

Chọn B. 

Câu 28: 


 

 

+ Gọi z x yi x, 

y R thì số phức liên hợp z x yi và mô đun 

z x y 

2 

 

2 . 

+ Biến đổi giả thiết để đưa về hai số phức bằng nhau thì phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau. 


Gọi 

 

 

z x yi x, 

y R thì số phức liên hợp z x yi 

z 1 i z 9 2i x yi 1 i x yi 9 2i 

Ta có 

x yi x y yi xi 9 2i 2x y xi 9 2i 

2x y 9 x 

2 

 

x 

2 y 

5 

Suy ra 

Chọn D. 

Câu 29: 

z i z 


2 2 

2 5 2 5 29. 

 

Số nghiệm của phương trình f x m là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và đường thẳng 

y m 



Ta có: f x m m f x 

0 . 

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt đường thẳng y m 

cắt đồ thị hàm số y f x tại hai 

điểm phân biệt. 

Quan sát bảng biến thiên ta thấy, với 2 m 

1 

thì đường thẳng y m 


tại hai điểm phân biệt hay 1 

m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 

Vậy tập hợp các giá trị cần tìm là 1;2 

 

Chọn C. 

 

 

y f x 

Chú ý khi giải: Một số em có thể sẽ chọn nhầm B vì nghĩ m 

1 

thì đường thẳng y m 

cắt đồ thị 

hàm số tại 3 điểm phân biệt là sai. 

Câu 30: 



 

+ 1 VTPT của mặt phẳng P 

là n u1; 

u 2 

với u1; 

u2 

lần lượt là 1 VTCP của hai đường thẳng 

; . 

Trang 17/16

+ Mặt phẳng đi qua ; ; và nhận n a; b; 

c làm VTCP có phương trình 

P 

M x y z 

 

 

0 0 0 



 

Ta có: u 

0 0 0 

0. 

 

2;2;1 ; u 1;3;1 

 

1 2 

 

 

lần lượt là VTCP của hai đường thẳng 

 

; . 

u1; u 

2 

1; 1;4 

 

 

n u1; u 

2 

1; 1;4 

Vì mặt phẳng P song song với cả hai đường thẳng ; nên nhận làm 1 

VTPT. 

Phương trình mặt phẳng 

Chọn B. 

Câu 31: 


- Gọi bán kính đáy hình nón là r . 

P 

 

P : 1 x 1 1 y 1 4 z 2 0 x y 4z 

8 0. 

- Lập hàm số tính thể tích của hình nón và tìm GTLN của hàm số. 


Gọi bán kính đáy hình nón là r. 

1 2 1 2 2 

Ta có: Vn 

r h r 16 r với 0 r 4. 

3 3 

2 2 

 

Xét hàm f r r 16 r trên 0;4 có: 

4 6 

r 

0;4 

3 

r 

r 

f r 

r r r r 

16 r 16 r 3 

r 0 0;4 

 

 

3 

2 

32 3 4 6 

2 16 . 0 

0;4 

2 2 



 

 

Từ bảng biến thiên ta thấy, hàm số 

f r 

đạt GTLN khi 

r 

4 6 . 

3 

2 2 

1 4 6 4 6 128 

3 

. 16 

dm . 

3 3 3 

27 

3 

Vậy Vmax 

 

Chọn D. 

Câu 32: 

Trang 18/16


Biến đổi giả thiết rồi lấy nguyên hàm hai vế để tìm được 

Từ đó tính 


Ta có: 

f 

2 . 

 

x 4 f x f x 1 4x xf x f x 1 

f x xf x 4x 1 xf x 

 

4x 

1 

 

Lấy nguyên hàm hai vế theo 

Mà 

 

 

ta được 

2 

f 1 

3 

 

 

xf x 2 x x C. 

x 

2 

nên ta có 1. f 1 2.1 1 C 3 3 C C 0 

 

2 

Từ đó xf x 2x x f x 2x 

1 

(do x 0 ) 

Suy ra 

Chọn A. 

Câu 33: 

f 2 

2.2 1 5. 


 

 

- Dựng hình, tìm vị trí điểm M S sao cho d M ; P đạt 

GTNN. 

- Tìm GTNN và kết luận 


S 

Mặt cầu có tâm I 1; 2;2 

và bán kính R 2. 

Dễ thấy 

và 

 

S 

 

 

 

1 2 2.2 1 

d I, P 

6 2 R 

2 2 2 

1 1 2 

không cắt nhau. 

nên 

Gọi M là giao điểm của đường thẳng qua I và vuông góc 

với 

 

P 

 


 

 

 

 

 

f x. 

Lưu ý rằng f xdx f x 

C 

Ta thấy d M ; P M H IH R 6 2 nên d M , P đạt GTNN bằng 6 2 khi M M . 

Chọn D. 

Câu 34: 


Mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng song song và Q thì bán kính mặt cầu là 

1 1 

R d P; Q d M ; Q 

với M P. 

2 2 



 

P 

 

P 

 

 

Trang 19/16

1 2 2 3 

Mặt phẳng P : x 2y 2z 

3 0 và mặt phẳng Q : x 2y 

2z 6 0 có nên 

1 2 2 6 

P Q 

Lấy 

/ / . 

M 

3;0;0 

 

3 6 

P thì d P; Q d M ; Q 

3. 

2 2 2 

1 2 2 

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng và là 

Chọn B. 

Câu 35: 


 

 

 

1 ; 

3 . 

2 2 

P 

Q 

R d P Q 

Hàm số y f x nghịch biến trên a; b y 

0, x a; 



TXĐ: 

D R. 

Ta có: 

y x x m 

2 

3 6 3 . 

1;2 

 

Để hàm số đã cho nghịch biến trên thì y 0, x 

1;2 và bằng 0 tại hữu hạn điểm. 

 

 

2 2 

3x 6x 3m 0 x 1;2 x 2x m 0 x 1;2 

x 1 2 m 1 0 x 1;2 1 m x 1 2 

x 1;2 

 

 

2 

1; 

 

Hàm số y x 1 đồng biến trên nên cũng đồng biến trên 

x x 

 

2 2 2 2 

11 1 2 1 0 1 1 

2 

 

1 m x 1 x 1;2 1 m 1 m 0 

 

Lại có m 10;10 

và Z nên 

Vậy có 11 giá trị của m. 

Chọn A. 

Câu 36: 


 

m m 

 

Cô lập z, sử dụng phương pháp mô đun hai vế. 



10; 9;....;0 . 

5 

5 i 

7 7 1 

7 5 i 

 

z i z zi z z i . 

z 

 

z z 

2 25 

4 2 

2 z 49 2 z 49 z 25 0 

2 

z 

1;2 . 


 

2 

z 25 tm 

 

 

1 z 5 

z ktm 

2 

 

(do z 0 ) 

Trang 20/16

Thay 

z 5 

vào biểu thức đề bài ta có: 

7 i 

z 1 i 7 z z i 1 7 i 3 

4 i. 

i 1 

 

Chọn C. 

Câu 37: 


- Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , tìm tọa độ G . 

- Viết lại biểu thức cần tìm GTNN dưới dạng véc tơ, xen điểm G và tìm GTNN. 


2 2 

Xét biểu thức T MA MB MC 

2 . 

 

Gọi G 1;2;2 là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC 0. 

 

 

 

2 2 2 

2 2 2 

Ta có: T MA MB MC MG GA MG GB MG GC 

 

3MG 2MG GA GB GC GA GB GC 

2 2 2 2 

3MG GA GB GC 

 

 

 

 

2 2 2 

Gọi H là hình chiếu của G lên P thì MG HG nên T đạt GTNN nếu M H. 

Viết phương trình đường thẳng đi qua G 1;2;2 và vuông góc P. 

d 

 

Khi đó nhận n 3; 3; 2 

làm VTCP nên 

d 

 

 

 

M d P nên tọa độ của M 

P 

x 

1 

3t 

 

d : y 2 3t 

z 

2 2t 

thỏa mãn hệ phương trình: 

x 

1 

3t 

y 

2 3t 

 

z 

2 2t 

 

3x 

3y 

2z 15 0 

t t t t t M 

3 1 3 3 2 3 2 2 2 15 0 22 22 0 1 4; 1;0 . 

a 4, b 1, c 0 a b c 3. 

Chọn D 

Câu 38: 


Sử dụng kiến thức về tổ hợp. 


Giả sử ta đặt 20 chiếc bút nằm thẳng hàng nhau thì giữa chúng có 19 khoảng trống (không kể khoảng 

trống ở hai đầu) 

Để chia làm 3 phần thì ta đặt bất kì 2 vạch đánh dấu mà mỗi vạch vào 1 khoảng trống trong 19 khoảng 

trống trên thì đều chia 20 chiếc bút chì thành 3 phần và mỗi phần đều có ít nhất 1chiếc bút. 

Như vậy có 

Câu 39: 

2 

C 19 


cách chia 20 bút chì gống nhau cho 3 bạn mà mỗi bạn được ít nhất 1 chiếc bút chì. 

Trang 21/16


- Lập công thức tính số tiền còn nợ sau mỗi tháng theo T là số tiền nợ ban đầu. 

- Đến khi trả hết nợ thì số tiền nợ bằng 0 . 

- Giải phương trình và kết luận. 


Gọi T là số tiền cô Ngọc vay ban đầu, kí hiệu r 1%, A 5tr 

- Sau tháng thứ nhất, số tiền nợ là 

- Sau tháng thứ hai, số tiền nợ là 

 

T2 T 1 r A T 1 r A 

r A 

1 1 

 

T r T r r A Ar A 

2 

1 1 

 

T r A r A 

- Sau tháng thứ ba, số tiền nợ là: 

T1 T Tr A T 1 r A. 

2 2 

1 1 1 1 

 

T r A r A T r A r A 

r A 

 

 

3 2 

1 1 1 

 

T r A r A r A 

3 2 

 

T 1 r A 1 r 1 r 1 

 

 

r 3 

3 1 1 

T 1 r 

A 

1 

r 1 

3 A 

3 

T 1 r 1 r 1 

r 

 

 

.... 

A 

n 

1 1 1 . 

r 

 

 

n 

- Sau tháng thứ n, số tiền nợ là T T r r 

Do sau 5 năm (60 tháng) thì cô Ngọc trả hết nợ nên T60 0 

T 11% 5 11% 60 

1 

0 T 224,775 

1% 

 

n 

Do tháng cuối cùng có thể trả ít hơn 5 triệu nên số nợ ban đầu không vượt quá 224,775 triệu 

Vậy nên số nợ ban đầu có thể là 224 triệu. 

Chú ý: Số nợ không thể là 225tr vì nếu vậy thì sau 60 tháng không thể trả hết nợ mà sẽ còn dư nợ đến 

tháng thứ 61 (mâu thuẫn giải thiết). 

Câu 40: 


Sử dụng d M ; P 

d N; 

P với MN / / P. 

 

triệu 


Sử dụng công thức chuyển điểm: Đường thẳng AB cắt P 

tại M thì 

Trang 22/16

d A; 

P AM 

d B; 

P BM 

Xác định khoảng cách 

vuông góc của N trên P. 

 

 

 

d N; 

P NH 

với H là hình chiếu 


Vì BC / / AD BC / / SAD d C; SAD d B; 

SAD 

d B; 

SAD 

AB 

Lại có AB 3AH 

3 

d H; 

SAD 

 

AH 

 

Hay d C; SAD 3 d H; 

SAD 

Ta có: 

AD AB 

 

 

AD SAdo SA ABCD 

Kẻ HK SA 

tại K ta có: 

Nên 

 

AD 

 

SAB 

HK SA 

 

 

HK AD do AD SAB 

HK SAD 

tại K nên d H; SAD 

HK. 

Ta có AB 3 AH 1. 

Xét tam giác 

SHA 

 

vuông tại H có 

1 1 1 1 1 HK 

3 . 

2 2 2 

HK SH HA 3 1 2 

3 3 

d C; SAD . 

2 

Suy ra 

Chọn B. 

Câu 41: 


x 

- Giải phương trình bậc hai ẩn f e 

. 

- Sử dụng tương giao đồ thị hàm số nhận xét nghiệm của phương trình và kết luận. 


x 

Điều kiện: x 0 e 1. 

x 

x 

Ta có: f e 

f e 

 

 

 

 

x 

 

 

x 

1 2 

 

2 f e 2 1 

2 0 

 

f e 

 

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy: 

 

+ Đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại ba điểm 

 


x 0 x 1 2 x . 

 

0 1 2 

Trang 23/16

Do đó 

 

 

 

x 

e x0 

0 vo nghiem 

 

x 

1 e x1 

0;1 ( vo nghiem) 

 

x 

e x 2 x ln x x ln x 

 

2 

2 2 2 

+ Đường thẳng y 1 

cắt đồ thị hàm số y f x tại hai điểm x 

Do đó 2 

 

 

x 

e 1 

vo nghiem 

 

 

x 

e x x 

2 

2 ln 2 ln 2 

 

 

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. 

Chọn C. 

Câu 42: 


a; 

b 

+ Cô lập m đưa về dạng m g x với x 

 

+ Dựa vào hình vẽ và lập BBT của hàm số y g x trên 

+ Từ BBT ta tìm được m. 

1; x 2 

 

1 2 

a; 

b 


3 2 3 2 

Ta có 3 f x x 3x m m 3 f x x 3 x * 

với x 

1;3 . 

Xét 

3 2 

g x 3 f x x 3x 

trên 1;3 

 

Ta có gx 3 f x 3x 2 6x 3 

f x x 2 2x 

 

 

2 

Xét đồ thị hàm số y f x và y x 2x 

với x 1;3 trên cùng một hệ trục tọa độ như sau: 

 

 

 


0 1;3 

 

Nhận thấy trên 1;3 thì f x x 2 2x 

0 nên g x trên 

Ta có BBT của g x 

trên 1;3 

 

Trang 24/16

Vậy để bpt (*) đúng với 

Chọn C. 

Câu 43: 


Thực hiện tích phân từng phần: 

x 

1;3 

thì m g 1 m 3 f 1 

4 

u 

x 1 

Đặt tính tích phân đã cho suy ra a, b, 

c và kết luận. 

x 

dv 

e dx 


Đặt 

u x 1 

du dx 

 

x x 

dv e dx v e 

2 2 

2 2 

x x x 2 

x 

 

 

x 1 e dx x 1 e e dx 3e 2e e 

1 1 

1 1 

Vậy a 3, b 1; c 1 a b c 1. 

Chọn B. 

Câu 44: 


Gọi 

z x yi x; 

y R 

 

 

 

 

2 2 2 2 

3e 2e e e 3 e e e. 

thì mô đun 

Biến đổi giả thiết để có quỹ tích là elip 

Diện tích elip bằng .ab 


Gọi 

 

 

z x y 

x 

a 

y 

 

b 

2 2 

2 2 

 

2 2 

1. 

z x yi x; 

y R ta có z 3 z 3 10 

x 3 yi x 3 yi 10 

 

2 2 2 2 

x 3 y x 3 y 10 

3 10 3 

2 2 2 2 

x y x y 


2 

x 6x 9 y 100 20 x 3 y x 6x 9 y 

2 2 2 2 2 

Trang 25/16

2 2 

5 x 3 y 3x 

25 

 

 

 

2 2 2 

25 x 6x 9 y 9x 150x 

625 

x y 

 

4 5 

2 2 

2 2 

25x 

16y 

400 1 

Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là elip 

Diện tích elip là: S ab 20 

Chọn A. 

Câu 45: 


2 2 

x y 

1 a 4; b 5 

4 5 

+ Đặt log x log 16 t, 

rút x, 

y theo t và thay vào đẳng thức bài cho tìm phương trình ẩn t. 

2 

y 

+ Tình giá trị biểu thức cần tính theo t và sử dụng phương trình trên suy ra kết quả. 


Đặt 

log x log 16 t x 2 t 

2 

y 

t t t 

Khi đó xy 64 2 .2 64 2 2 t 6. 

t 

Lại có: 

và 

4 4 

t 

x 2 

 

2 

2 4 

log2 log2 x log2 

y t 

 

 

y 

 

4 

1 1 4 

t 

t t log2 

y y 2 . 

log 1 

16 

y 

log 

t 

 

2 

y 

4 

t 

6 4 

2 2 

2 16 4 4 

2 

2 

t 8 t 8 8 t 

16 6 6 20. 

t t t 

Vậy 

x 

log2 

20. 

y 

2 

Chọn D. 

Câu 46: 


+ Đặt x 2 3x m t rồi biến đổi đưa về phương trình tích. 

+ Từ đó sử dụng sự tương giao của hai đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình. 

 

y f x y g x 

+ Phương trình f x g x có số nghiệm bằng số giao điểm của hai đồ thị hàm số 



; . 

Trang 26/16

2 

2 

2 2 

2 

2 

Xét phương trình 

Đặt 

x 3x m x 8x 2m 0 x 3x m x 3x m 5x m 0 

2 2 2 

x 3x m t m t x 3x 

ta có phương trình: 

 

2 2 2 2 

t t x t x x t x t x t x t x 

5 3 0 2 2 0 2 0 

2 2 

t x 0 x 4x m 0 m x 4x 

 

 

t x x x m m x x 

2 2 

2 0 2 2 0 2 2 

Ta có đồ thị hàm số 

2 

y x 4x 

và 

2 

y x x 

2 2 

Từ đồ thị hàm số ta thấy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì 

Mà 

20;20 ; 20; 19;...; 6; 4; 3; 2 

m m Z m 

Chọn B. 

Câu 47: 


m 

1 

 

m 

5 

nên có 18 giá trị của m thỏa mãn. 

+) So sánh thể tích khối tứ diện NMCD với thể tích V của khối chóp S. ABCD. 

+) So sánh thể tích với thể tích khối tứ diện NMCD, từ đó suy ra thể tích V so với V. 

+) Từ đó suy ra đáp số 


Gọi 

Có 

V2 

2 

V là thể tích khổi chóp S. ABCD. 

BP MP MB 1 BP 1 

BP / / DC P là trung điểm của AB. 

DC MD MC 2 AB 2 

Ta có: 


MBP DAP c. g. c S 

MBP 

S 

DAP 

S S S S S S 

MBP BCDP DAP BCDP MCD ABCD 

Trang 27/16

Mà 

d N, MCD 

NC 1 

d S, 

ABCD 

SC 

2 

1 

SMCD. d N, 

MCD 

VN . MCD 3 

1 1 V 

V V 

V 

S. 

ABCD 

 

 

3 

N . MCD S. 

ABCD 

1 

S . , 

2 2 2 

ABCD 

d S ABCD 

Xét tam giác MNC , áp dụng định lý Menelaus cho bộ ba điểm thẳng hàng B, Q, S ta có : 

BM 1 2 

. SC . QN 1 1.2. QN 1 QN MQ . 

BC SN QM QM QM 2 MN 3 

V 

M . PBQ 

. . . . 

V 

M . NCD 

MB MP MQ 

MC MD MN 

1 1 V V 

VM . PBQ 

VM . NCD 

. 

6 6 2 12 

1 1 2 1 

2 2 3 6 

V V 5V 

VBPQ. CDN 

VM . CDN 

VM . BPQ 

 

2 12 12 

V 

V V V 

5V 5V 7V 

1 

7 

2 1 

. 

12 12 12 V2 

5 

Chọn D. 

Câu 48: 


+ Số phức z x yi x; 

y R có mô đun 

 

 

z x y 

 

2 2 

+ Sử dụng BDT Bunhiacopxki với hai bộ số ; , ; ta có 

x y 

+ Dấu " " xảy ra khi . 

a b 


Gọi số phức z x yi x; 

y R 


a b x y ax by 2 a 2 b 2 x 2 y 

2 

 

Trang 28/16

Theo đề bài 2 2 

z x yi x y 

1 3 1 3 1 3. 

Ta có 4 2 4 1 2 1 

T z i z i x y i x y i 

x 4 y 1 x 2 y 1 

2 2 2 2 

 

Áp dụng BDT Bunhiacopxki ta có: 

2 

4 1 2 1 

1 1 4 1 2 1 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 

T x y x y x y x y 

 

2 2 2 2 2 

 

T 2 2x 2y 4x 22 4 x 1 y 10 52 (vì 2 2 

x 1 y 3 ) 

Do đó T 2 13 

Dấu 

" " 

xảy ra khi và chỉ khi: 

3 

 

x 

10 

9 

2 2 2 2 

y 3 

x 4 y 1 x 2 y 1 

y 3x 

3 

 

 

 

 

 

10 

 

 

2 

2 2 

 

2 

x 1 y 3 

x 1 3x 

3 

3 3 

 

 

 

x 

10 

9 

y 3 

 

10 

Vậy Tmax 2 13. 

Chọn B. 

Câu 49: 


 

3 

- Vẽ đồ thị hàm số y f x x 3x 

1 

hệ trục tọa độ. 

 

- Sử dụng mối tương giao đồ thị nhận xét số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số, từ đó suy ra số 

nghiệm. 


 

3 

Hàm số y f x x 3x 

1 

xác định trên R và có 

 

2 

f x 3x 3 0 x 1. 


 

 

Đồ thị: 

Sử dụng MTCT ta có 

 

 

 

x 

x1 

2; 11 

 

f x 

0 x x2 

0;1 

 

x 

x3 

1;2 

 

Trang 29/16

1 

2; 1 1 

2 

1;2 3 

f x x 

 

f f x 0 f x 

0 f x x 0;1 2 

 

f x x3 

 

 

+ Đường thẳng y x 1 

2; 1 cắt đồ thị hàm số y f x tại duy nhất 1 điểm nên 1 có 1 nghiệm 

duy nhất. 

 

 

 


0;1 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm nên 2 có 3 nghiệm phân biệt. 

 

 

 


1;2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm nên 3 có 3 nghiệm phân biệt. Hơn 

nữa trong ba nghiệm này không có nghiệm nào trùng với nghiệm của 

 

 

 

 

1 và 2 . 

Vậy tổng số nghiệm của ba phương trình 1 , 2 , 3 là 1 3 3 7 nghiệm. 

Chọn D. 

Câu 50: 


+ Xét phương trình hoành độ giao điểm, chia cả hai vế cho 

1 

+ Đặt x t; t 2 ta được phương trình ẩn t. 

x 

2 2 

+ Sử dụng BĐT Bunhiacopxki để đưa về dạng a b g X có nghiệm trên K. Suy ra 

2 2 

a b g X 

K 

 

 

min . 

 

+ Lập BBT của hàm g X trên K và kết luận. 

 

 

+ Lưu ý: BĐT Bunhiacopxki với hai bộ số ; , ; là ax by a b x y Dấu " " xảy 

x y 

ra khi . 

a b 


x 2 . 

a b x y 

 

 

 

2 2 2 2 2 . 

4 3 2 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox ta có 3x ax bx ax 3 0 

2 

Nhận thấy x 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế cho x 0 ta được 

2 a 3 2 1 1 

3x ax b 0 3 x a x b 0. 

2 

2 

x x x x 

Đặt 


1 2 2 1 

x t; t 2 t 2 x 

2 

x 

x 

nên ta có phương trình 

t 2 at b t 2 at b t 2 at b 

3 2 0 3 6 0 6 3 1 

Từ đề bài suy ra phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn t 2. 

Theo BĐ Bunhiacopxki ta có at b 2 a 2 b 2 t 

2 1 

Trang 30/16

2 2 

Nên 6 3 1 

2 2 2 2 2 2 

t at b a b t a b 

2 

Đặt t 1 X , vì t 2 X 5. Ta có 

 

2 2 

2 

6 3t 

2 

t 

2 

1 

X 2 

6 3 1 

2 2 

a b 

X 

6 3 X 1 2 

9 3X 81 54X 9X 

81 

Xét g X 9X 

54 với X 5. 

X X X X 

81 

Ta có g X 9 0 với mọi X 5 . 

2 

X 

Suy ra 

Dấu 

 

 

5; 

g 

min g X 5 

" " 

36 

 

5 

hay 

2 2 36 

a b . 

5 

b 

 

a 

2 144 12 

t 

a bt 

 

a a 

 

225 

15 

xảy ra khi X 

5 t 2 

2 36 6 

2 2 36 

2 2 36 

b 

b 

a b a b 25 

 

5 

5 5 

Vậy giá trị nhỏ nhất của 

Chọn B. 

2 2 36 

a b . 

5 


Trang 31/16





Câu 1. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng 

(P) : x y z 

3 

0 đi qua điểm nào dưới đây? 

A. C( 2; 0; 0) 

B. B( 0; 11 ; ) 

C. D(0;1;0) D. A( 111 ; ; ) 

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng xét dấu như hình sau : 

x -∞ -1 0 2 4 +∞ 

y’ + 0 - + 0 - 0 + 

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị? 

A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng nào 

dưới đây ? 

A. ( 11 ; ) 

B. ( 3; ) 

C. ( ; 1 ) 

D. ( 1; ) 

Câu 4. Cho a, b, c theo thứ tự này là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết a + b + c = 15. Giá 

trị của b bằng: 

A. b = 10 B. b = 8 C. b = 5 D. b = 6 

Câu 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau : 

x -∞ -1 0 1 +∞ 

y’ - 0 + 0 - 0 + 

y +∞ 


A. M( 0; 2) 

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 

B. x 0 là điểm cực đại của hàm số 

o 

C. xo 

1 là điểm cực tiểu của hàm số 

D. f ( 1) 

là một giá trị cực tiểu của hàm số 

1 


2 

-1 

+∞ 

Câu 6. Phương trình 

2 x 1 

5 125 có nghiệm là: 

A. x 3 B. x 5 C. x 3 D. x 1 

2 

2 

 

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A thỏa mãn OA 2i j là hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ 

Ox, Oy. Tọa độ điểm A là: 

Trang 1

A. A( 2; 1; 0) 

B. A( 0; 2; 1) 

C. A( 0; 11 ; ) 

D. A( 111 ; ; ) 

Câu 8. Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng? 

3 

A. log( 3a) 

3log a B. log a 3log a C. log( 3a) 1 log a D. log a 

3 

log a 

3 

Câu 9. Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, độ dài hai cạnh góc vuông là 3a, 4a và chiều 

cao của khối lăng trụ là 6a. Thể tích của khối lăng trụ bằng: 

3 

3 

3 

A. V 27 a 

B. V 12 a 

C. V 72 a 

D. V 36 a 

Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm A( 1; 0; 0) 

, B( 0; 2; 0) 

, C( 0; 0; 3) 

có phương trình 

là: 

x y z 

x y z 

x y z 

A. 1 B. 0 C. 1 D. 

1 2 3 

1 2 3 

1 2 3 

Câu 11. Cho z 1 

2i 

. Điểm nào trong hình vẽ bên dưới là điểm biểu diễn số phức z ? 

A. N B. M C. P D. Q 

Câu 12. Với 

nào dưới đây đúng? 

P log b log 2 b 

a 

a 

3 6 

a 

3 1 

3 

x y z 

1 

1 1 3 

, trong đó a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1. Khi đó mệnh đề 

A. P 27 log b B. P 9log b C. P 6log b 

D. P 15 log b 


a 

x 

f (x) 2 2 là: 

x 

x 

2 

A. x x 

2 

2 ln 2 

C B. 2 2lnx 

C C. ln x C D. 

2 

x 

ln 2 

2 

 

Câu 14. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn 1; 

3 và có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, 

m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1; 

3 . Giá trị của M + 

m là: 

A. 5 

B. 2 

C. 6 

D. 

2 

 

 


 

a 

 

x 

2 

ln x C 

ln 2 

2 

 

a 

Câu 15. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào đưới đây? 

x 

1 

3 

A. y 

B. y x 3x 

2 

x 1 

Trang 2

x 

4 2 

C. y D. y x 2x 

1 

x 1 

2 2 

2 

Câu 16. Kí hiệu z 

1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 3z 

3 

0. Giá trị của z1 z2 

bằng: 

A. 2 3 B. 2 5 

C. 6 D. 4 

1 

1 

Câu 17. Cho f (x)dx 

x 

2. Khi đó 

 

2f (x) e 

dx bằng: 

0 

0 

A. e 3 

B. 5 

e 

C. 3 

e 

D. 5 e 

Câu 18. Chọn kết luận đúng? 

k n! 

0 

k n! 

1 

A. An 

 

B. Cn 

0 

C. Cn 

 

D. An 

1 

(n k)! 

k!(n k)! 

Câu 19. Thể tích của khối cầu có bán kính R bằng: 

1 4 4 

A. R 

3 

B. 2 R 

3 

C. R 

3 

D. V 4R 

3 

3 

3 

3 


2 2 2 

(S) : x y z 2x 

3 

0. Bán kính của mặt cầu bằng: 

A. R 3 B. R 4 C. R 2 D. R 5 


1 

log (x 1) log x 1 

1 2 2 

2 

2 

 

A. ; 

B. C. 0; 

1 D. ( 1; ) 


y log x 2 x có đạo hàm là: 

2 

2x 

1 2x 

1 

2x 

1 

A. y ' 

B. y' 

C. y' 

D. 

2 

2 

2 

x x 

2(x x)ln 2 

(x x)ln 2 

Câu 23. Một khu vườn dạng hình tròn có hai đường kính AB, CD vuông góc với 

nhau, AB = 12m. Người ta làm một hồ cá có dạng hình elip với bốn đỉnh M, N, 

M’, N’ như hình vẽ, biết MN = 10m, M’N’ = 8m, PQ = 8m. Diện tích phần trồng 

cỏ (phần gạch sọc) bằng: 

A. 20 , 33 m 2 

B. 33 , 02 m 2 

C. 23 , 02 m 2 

D. 32 , 03 m 2 


là: 

( 2x 1)ln 

2 

y' 

2 

2(x x) 

Câu 24. Cho khối trụ (T) có đường cao h, bán kính đáy R và h = 2R. Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ 

theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 16a 2 . Thể tích của khối trụ đã cho bằng: 

16 

A. V 27 a 

3 

B. V 16 a 

3 

C. V a 

3 

D. V 4a 

3 

3 


x 1 y 2 z 1 

: . Khoảng cách giữa và (P) bằng: 

2 2 1 

(P) : x 2y 2z 1 0và đường thẳng 

Trang 3

8 

7 

6 

8 

A. B. C. D. 

3 

3 

3 

3 

Câu 26. Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn 

là: 

x 

f ( 0) 

0;f '(x) . Họ nguyên hàm của hàm số 

2 

x 1 

A. (x 2 1)ln(x 2 ) x 2 c 

B. x ln(x 1) x 

2 2 2 

g(x) 

4xf (x) 

C. (x 2 1)ln(x 2 1 ) x 2 c 

D. (x 1)ln(x 1) x 

Câu 27. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: 

2 2 2 

x -∞ -2 2 +∞ 

f’(x) - - - 

f(x) 0 

-∞ 

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: 

+∞ 

A. 1 B. 2 C.3 D. 0 

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A( 0; 11 ; ) , B( 1; 0; 0 ) và mặt phẳng (P) : x y z 

3 

0. Gọi 

(Q) là mặt phẳng song song với (P) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) tại C sao cho CA 2CB 

phẳng (Q) có phương trình là: 

4 

A. (Q) : x y z 

0 

B. (Q) : x y z 0 hoặc (Q) : x y z 

2 

0 

3 

4 

C. (Q) : x y z 0 D. (Q) : x y z 

0 hoặc 

3 

-∞ 

+∞ 

-∞ 

(Q) : x y z 0 

. Mặt 

x 2 

Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y đồng biến trên ; 

4 

. 

x 2m 

Số phần tử của S là: 

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 

Câu 30. Cho hàm số y = f(x) và hàm số bậc ba y = g(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích phần gạch 

chéo được tính bởi công thức nào sau đây? 


1 2 

 

A. S f (x) g(x) dx g(x) f(x) dx B. 

3 1 

2 

 

3 

 

S f (x) g(x) dx 

 

Trang 4

1 2 

 

C. S g(x) f (x) dx f(x) g(x) dx D. S g(x) f (x) dx g(x) f (x) dx 

3 1 

1 2 

 

3 1 

Câu 31. Người ta làm một dụng cụ sinh hoạt gồm hình nón và hình trụ như hình vẽ (không có nắp đậy 

trên). Cần bao nhiêu m 2 vật liệu để làm (các mối hàn không đáng kể, làm tròn kết quả đến một chữ số 

thập phân sau dấu phẩy) ? 

A. 5, 6 m 2 

B. 6, 6m 2 

C. 5, 2 m 2 

D. 4, 5m 2 

Câu 32. Cho hàm số y = f(x) có hàm biến thiên như sau: 

x -∞ 0 1 +∞ 

y’ + 0 - 0 + 

y 

-∞ 

Số nghiệm thực của phương trình 2019 f(x) – 5 = 0 là : 

1 

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 

Câu 33. Số phức z thỏa mãn 

z( 1 i) z i 0là: 

A. z 1 

2i 

B. z 1 

2i 

C. z 1 

2i 

D. z 1 

2i 

Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi α là góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng 

(ABC’D’). Khi đó: 

A. tan 3 B. tan 1 C. tan 1 D. 

3 


0 

+∞ 

tan 2 

y x 4 2mx 2 m . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số có 3 cực trị 

A. m 0 B. m 0 C. m 0 D. m 0 

Câu 36. Cho số thực a > 4. Gọi P là tích tất cả các nghiệm của phương trình 

2 

ln x ln(ex) 

a a a 0. Khi đó 

A. P ae 

B. P e 

C. P a 

D. P a 

2 

4 

1 x 2 

a c 

a c 

Câu 37. Cho 

dx ln với a, b, c, d là các số nguyên, và là các phân số tối 

x x 

2 

b d 

1 2 1 

b d 

giản. Giá trị của a + b + c + d bằng : 


A. 16 B. 18 C. 25 D. 20 

2019 z 

Câu 38. Xét z số phức thỏa mãn là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là 

z 2 

một đường tròn (C) trừ đi một điểm N(2;0). Bán kính của (C) bằng : 

A. 3 B. 1 C. 2 D. 2 

Câu 39. Anh A gửi ngân hàng 900 triệu (VNĐ) với lãi suất 0,4% mỗi tháng theo hình thức lãi kép, ngân 

hàng tính lãi trên số dư thực tế của tháng đó. Cứ mỗi tháng anh ta rút ra 10 triệu để chi trả sinh hoạt phí. 

e 

Trang 5

Hỏi sau bao lâu thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết (tháng cuối cùng có thể rút dưới 10 triệu để 

cho hết tiền). 


Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, BC = a, tam giá SAB đều và 

nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDB) bằng : 

a 57 

a 3 

a 3 

A. B. C. D. 

19 

4 

2 

Câu 41. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 

. Hàm số f’(x) có đồ thị như hình 

2 

vẽ. Bất phương trình f ( 2sin x) 2sin x m đúng với mọi x ( 0; ) 

khi và chỉ 

khi : 

A. m f( 1) 

1 B. m f( 1) 

1 

2 2 

C. m f( 0) 

1 D. m f( 0) 

1 

2 

2 

Câu 42. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 

nghiệm thực của phương trình 

A. 1 B. 2 

C. 4 D. 3 

x 

f ( 2 

f (e )) 1 là: 

và có đồ thị như hình vẽ. Số 

Câu 43. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả cac cạnh bằng a là: 

3a 

6 

a 6 

a 6 

A. B. C. D. 

4 

12 

4 

2a 

57 

19 

Câu 44. Trong không gian Oxyz, cho A( 0; 0; 2),B( 11 ; ; 0 ) và mặt cầu (S) : x y (z 1) 

. Xét điểm M 

4 

thay đổi thuộc (S). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

MA 

2MB 

2 2 

bằng: 

a 6 

4 

2 2 2 1 

1 

3 

21 

19 

A. B. C. D. 

2 

4 

4 

4 

Câu 45. Cho hàm số y f (x) a x 4 bx 3 cx 2 dx e . Biết rằng hàm số y = f’(x) liên tục trên và có 

đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số 


y f ( 2x x 2 ) 

có bao nhiêu điểm cực đại? 

A. 5 B. 3 C. 1 D. 2 

Trang 6

Câu 46. Có 3 quả cầu màu vàng, 3 quả cầu màu xanh (các quả cầu cùng màu thì giống nhau) bỏ vào hai 

cái hộp khác nhau, mỗi hộp 3 quả cầu. Tính xác suất để các quả cầu cùng màu thì vào chung một hộp. 

1 

1 

1 

A. B. C. D. 

3 

120 

20 

x y z 3 

Câu 47. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : và mặt cầu 

2 2 1 

2 2 2 

(S) : (x 3) (y 2) (z 5) 

36 . Gọi là đường thẳng đi qua A( 2; 1; 3) 

vuông góc với đường thẳng 

(d) và cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng 

 

u( 1;a;b) . Tính a + b 

A. 4 B. 2 C. 1 D. 5 

2 

Câu 48. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m để tồn tại 4 số phức z thỏa mãn 

z(z 2) (z z) m là số thuần ảo. Tổng các phần tử của S là: 

2 1 

2 1 

A. 2 1 

B. C. D. 

2 

2 

1 

2 

có một vectơ chỉ phương là 

z z z z 2 

Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và M, N là hai điểm lần lượt bên cạnh CA, CB sao cho MN song 

CM 

song với AB và k . Mặt phẳng (MNB’A’) chia khối lăng trụ ABC. A’B’C’ thành hai phần có thể tích 

CA 

V 1 (phần chứa điểm C) và V 2 sao cho 

V1 

. Khi đó giá trị của k là: 

V 2 

2 

 

A. k 1 5 B. k 1 

C. k 1 5 

D. 

2 

2 

2 


f (x) a x 3 bx 2 cx d 

có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập 

hợp các giá trị của m(m ) 

sao cho 

3 

(x 1) 

m f ( 2x 1) mf(x) f(x) 1 

0x 

 

. 

Số phần tử của tập S là : 

A. 2 B. 0 

C. 3 D. 1 

1 

2 

k 3 

3 


và 

ĐÁP ÁN 

1. D 2.A 3. D 4. C 5. A 6. D 7. A 8. B 9. D 10.A 

11. D 12. C 13. C 14. D 15. A 16. C 17. A 18. A 19. C 20. C 

21. D 22. B 23. D 24. B 25. A 26. C 27. C 28. D 29. D 30. C 

31. A 32. A 33. C 34. D 35. C 36. B 37. B 38. B 39. C 40. C 

41. B 42. B 43. C 44. D 45. D 46. D 47.D 48. B 49. A 50. A 

Trang 7

Câu 1 (NB). 



Thay trực tiếp tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình mặt phẳng. 

Cách giải : 

Ta có : 1 1 1 3 0 A( 111 ; ; ) (P) 

Chọn D. 

Câu 2 (NB). 


Điểm x = x 0 là điểm cực trị của hàm số khi qua điểm đó f'(x) đổi dấu. 


Dựa vào BXD ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị x = -1; x = 0; x = 2; x = 4. 

Chọn A. 

Chú ý: Nhiều học sinh cho rằng x = 0 không phải là điểm cực trị do y' (0) ≠ 0. Lưu ý điều kiện f'(x 0 ) = 0 

chỉ là điều kiện cần để x = x 0 là điểm cực trị của hàm số. 

Câu 3 (NB). 


Dựa vào đồ thị hàm số xác định các khoảng đơn điệu của hàm số. 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên 

Chọn D. 

Chú ý: Không kết luận hàm số đồng biến trên 

Câu 4 (NB): 


 

 

; 

1 

và 1; 

 

; 

1 

và 3; 

 

Sử dụng tính chất: a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì a + c = 2b. 


Do a, b, c theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên a + c = 2b. 

Mà a b c 15 3b 15 b 5 

Chọn C. 

Câu 5 (NB): 


Dựa vào BBT nhận xét các cực trị của hàm số. 


Dựa vào BBT ta thấy M(0;2) là điểm cực đại của đồ thị hàm số nên đáp án A sai. 

Chọn A. 

Câu 6 (NB): 


Trang 8


f (x) 

a b f (x) loga 

b( 0 a 1;b 0) 


x 

5 2 1 

125 2x 1 log5125 3 x 1 

Chọn D. 

Câu 7 (NB): 


 

Điểm A thỏa mãn OA xi yj zk A(x; y;z) 


 

OA 2i j A( 2; 1; 0) 

Chọn A. 

Câu 8 (NB): 


m 

Sử dụng công thức log(ab) log a log b,log a m log a(a,b 0) 

. 


log(3a) log3 loga (a 0) 

3 

loga 3loga (a 0) 

Chọn B. 

Câu 9 (NB): 


Thể tích lăng trụ V = Sh. 


Thể tích lăng trụ là 

Chọn D. 

Câu 10 (NB): 


Đáp án A và C sai. 

Đáp án B đúng, đáp án D sai. 

1 

V Sh .3a.4a.6a 36a 

2 

3 

Sử dụng phương trình mặt chắn: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0), B(0;b;0), 

C(0;0;c) có phương trình là: x y z 1 

a b c 


x y z 

(ABC) : 1 

1 2 3 

Chọn A. 

Câu 11 (NB): 


Trang 9


+) z a bi z a bi 

+) z a bi được biểu diễn bởi điểm M (a;b) . 


z 1 2i z 1 2i Q( 1; 2) là điểm biểu diễn số phức z . 

Chọn D. 

Câu 12 (NB): 




m 

n 

m 

log n b log 

a 

a 

b( 0 a 1, b 0) 

3 6 6 

P loga b log 2 b 3log 

a 

a 

b loga b 6loga 

b 

2 

Chọn C. 

Câu 13 (NB): 




2 2 

x ln 2 

 

x 

x a dx 

a dx C, ln x C 

ln a x 

x 

x 

f (x)dx 2 dx 2ln x C 

Chọn C. 

Câu 14 (NB): 


 

Dựa vào đồ thị hàm số, xác định GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-1;3]. 


Trên đoạn [-1;3], ta có: 

Chọn D. 

Câu 15 (TH): 


M m ax y = y (-1) = 2 

 

1; 

3 

 

M m 2 4 2 

m min y = y (2) = -4 

 

1; 

3 

Dựa vào hình dáng đồ thị và các điểm đồ thị hàm số đi qua. 



Đồ thị trên là đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, do đó loại đáp án A và D. Đồ thị hàm số đi 

qua điểm (0;1) Loại đáp án C. 

 

Trang 10

Chọn A. 

Câu 16 (NB): 


+) Giải phương trình tìm z , z 

1 2 

+) z a bi z a 2 b 

2 


3 3 

z1 

i 

2 2 2 

2 2 

z 3z 3 0 

z1 z2 

3 

3 3 

z2 

i 

2 2 

Vậy 

Chọn C. 

2 2 

z z 6 

1 2 

Câu 17 (TH): 


b b b 

 

 

f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx 

a a a 


1 1 1 

x x x 

1 

 

2f (x) e 

dx 2 f (x)dx e dx 22 . e 4 e 1 3 

e 

0 

0 0 0 

Chọn A. 

Câu 18 (NB): 


Sử dụng công thức: 


A 

k 

n 

n! 

là kết luận đúng. 

(n k)! 

Chọn A. 

Câu 19 (NB): 

k 

k 

A n! n! 

n 

;Cn 

 

(n k)! k!(n k)! 

4 

Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R là V R 

3 . 

3 


4 

Công thức tính thể tích khối cầu bán kính R là V R 

3 . 

3 

Chọn C. 


Trang 11

Câu 20 (NB): 


Mặt cầu có phương trình 

2 2 2 

(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0có tâm I (a;b;c) bán kính 

2 2 2 

R a b c d 


. 

2 2 2 

2 2 2 

Mặt cầu (S) : x y z 2x 

3 

0có a = 1; b = 0; c = 0; d = -3 R 1 0 0 ( 3) 

2 

Chọn C. 

Chú ý: Xác định đúng giá trị của các hệ số a, b, c, d. 

Câu 21 (TH): 


log f (x) log g(x)(a 1) f (x) g(x) 0 

a 


a 

1 1 1 

log 

1(x 1) log2 log log 

2 2 2 2 

x 1 x 1 x 1 

2 

x 

11 x 

0 

1 1 

2 0 

0 x 1 

x 

1 

2 

x 1 x 1 

2 

x 

x 

1 

1 0 

x 

1 

Chọn D. 

Câu 22 (TH): 




u ' 

(loga 

u)' 

u ln a 

2x 1 

2 ' 2 

2 ( x x) 2 x x 2x 1 

y' log2 x x ' 

 

 

 

2 2 

2 

x x ln 2 x x ln 2 2(x x)ln 2 

Chọn B. 

Chú ý: Cẩn thận khi tính đạo hàm của hàm hợp. 

Câu 23 (VD): 


+) Đặt trục tọa độ, lập phương trình đường tròn, phương trình elip. 

+) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x), đường thẳng x = a, x = b (a < b) là 

b 

 

S f (x) g(x)dx 

a 



Trang 12

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có AB = 12m OA = 6m. 

Phương trình đường tròn là x y 36 y 36 x 

2 2 2 

Phương trình elip là : x 2 y 2 

y 

x 2 

1 4 1 

25 16 25 

Khi đó diện tích phần trồng cỏ là: 

4 

 

2 

x 

2 2 

S 2 

36 x 4 1 dx 32 , 03 (m ) 

 

 

4 

25 

 

Chọn D. 

Câu 24 (TH): 


Thiết diện qua trục của hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao h là hình chữ nhật có kích thước 2R × h. 

Thể tích khối trụ bán kính đáy R và chiều cao h là V R 2 h . 


Một mặt phẳng qua trục cắt khối trụ theo thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 16a 2 

2 2 2 

2R. 2R 16 a R 4a R 2a h 2R 4a 

. 

2 2 3 

Thể tích của khối trụ đã cho: V R h .( 2a) . 4a 16 a 

. 

Chọn B. 

Câu 25 (TH): 


Cho 

/ /(P) d( ;(P)) d(M;(P)) với M 


(P) nhận n 

= (1; -2; 2) là 1 VTPT. 

nhận u 

= ( 2;2;1) là 1 VTCP. 

 

Ta có: n.u 12 . 22 . 21 . 0 n u 

Lấy M( 1; 2; 1) 1 2( 2) 21 . 1 8 0 M (P) / /(P) 

8 8 

Do đó d( ;(P)) 

d(M;(P)) 

1 2 ( 2) 

2 2 

3 

Chọn A. 

Câu 26 (VD): 


 

+) f (x) f '(x)dx Xác định hàm số f(x) 

+) Sử dụng phương pháp đổi biến và nguyên hàm từng phần tính nguyên hàm của hàm g(x). 



Trang 13

x 

f '(x) 

2 

x 1 

2 

xdx 1 d(x 1) 

1 2 

f (x) f '(x)dx ln(x ) C 

2 

x 

 

1 

2 

1 2 x 1 2 

1 1 

f ( 0) 0 ln1 C 0 C 0 f (x) ln(x 2 1) 

2 2 

g(x) 4xf (x) 2x ln(x 2 1) g(x)dx 2x ln(x 2 1)dx 

Đặt t x 2 1 dt 2xdx 

1 

g(x)dx ln tdt t ln t t. dt t ln t dt t ln t t C 

t 

 

2 2 2 

(x 1)ln(x 1) (x 1) C 

 

2 2 2 

Đặt 1 C c g(x)dx (x 1)ln(x 1) x c 

Chọn C. 

Câu 27 (TH): 


Cho hàm số y = f (x). 

+) Nếu lim y y y y là TCN của đồ thị hàm số. 

x 

o 

+) Nếu lim y x x là TCĐ của đồ thị hàm số. 

xxo 


Dựa vào BBT ta có: 

lim y 0 y 0 là TCN của đồ thị hàm số. 

x 

lim y ; lim y 

 

 

 

x2 x2 

 

x 2 

lim y ; lim y 

 

 

x2 x2 

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. 

Chọn C. 

Câu 28 (VD): 


o 

o 

 

 

là TCĐ của đồ thị hàm số. 

+) (P) / / (Q) Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng x + y + z + c = 0 (c ≠−3) . 

+) Tìm tọa độ điểm C . Thay C vào phương trình mặt phẳng (Q) tìm c . 



(P) / / (Q) Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng x + y + z + c = 0 (c ≠−3) . 

 

TH1: Điểm C nằm giữa hai điểm A, B AC 2 

AB 

3 

Trang 14

2 2 

 

x 

C 

( 1 0) xC 

 

3 3 

2 1 2 1 1 

y C 

1 ( 01) yC 

C ; ; 

3 3 3 3 3 

2 1 

z C 

1 ( 01) zC 

 

3 3 

2 1 1 4 4 

C (Q) c 0 c (tm) (Q) : x y z 0 

3 3 3 3 3 

 

TH2: Điểm C không nằm giữa hai điểm A, B AC 2AB 

xC 

2(1 0) xC 

2 

 

 

yC 

1 2(0 1) yC 

1 C2; 1; 1 

 

zC 

1 2(0 1) 

 

zC 

1 

C (Q) 211 c 0 c 0(tm) (Q) : x y z 0 

Chọn D. 

Câu 29 (VD): 


Hàm số 


TXĐ: 

ax b 

y đồng biến trên 

cx d 

 

D 

\ 2m 

 

Ta có: 


Mà m 

S 0; 

1 

Chọn D. 

Câu 30 (TH): 


 

y' 

0 

 

(a;b) d 

(a;b) 

c 

2m 

2 

y ' 

(x 2m) 

 

; 

4 

thì 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số là 

b 

 


a 


Ta có: 

2 

 

y' 0 2m 2 0 m 

1 

1 m 2 

2m 4 m 2 m 

2 


y f (x), y g(x), x a, x b(a b) 

là 

Trang 15


3 

1 2 

 

2 

f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx 

3 1 

1 2 

 

g(x) f (x) dx f(x) g(x) dx 

3 1 

Chọn C. 

Câu 31 (TH): 


 

+) Diện tích xung quanh hình trụ bán kính đáy R , chiều cao h là S 2Rh 

. 

+) Diện tích xung quanh hình nón bán kính đáy R , đường sinh l là S Rl 

. 


1, 

4 

2 

Diện tích xung quanh hình trụ là: S 

1 

2. . 0, 7 0, 98 (m ) 

2 

Chiều cao hình nón bằng 1,6 - 0,7 = 0,9 (m) 

Độ dài đường sinh của hình nón bằng 0, 9 2 0, 

7 

2 

130 

10 

130 

2 

Diện tích xung quanh hình nón là: S 

2 

.0,7. 2,507(m ) . 

10 

2 

Vậy diện tích vật liệu cần dùng là S1 S 

2 

5, 6(m ) . 

Chọn A. 

Câu 32 (TH): 


Số nghiệm của phương trình f (x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m 



2019 f (x) 5 0 f (x) 5 


5 

Ta có 0 

1 

Đường thẳng y 5 cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt, do đó phương 



trình 2019 f (x) 5 

0có 3 nghiệm thực phân biệt. 

Chọn A. 

Câu 33 (TH): 


Đặt z a bi z a bi 


Đặt 

z a bi z a bi 


. Theo bài ra ta có: 

xq 

xq 

Trang 16

(a bi)( 1 i) (a bi) i 0 a b (a b)i a bi i 0 

2a b 0 a 

1 

2a b (a 1)i 0 z 1 

2i 

a 

1 

0 b 

2 

Chọn C. 

Câu 34 (VD): 


Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. 


Gọi O A 'C BD' O A'C (ABC'D') 

Gọi H A 'D 

AD' ta có: 

AB (ADD'A') AB A'H 

 

A'H (ABC'D') 

A'H 

AD' 

HO là hình chiếu của A’O trên (ABC’D’) 

(A'C;(ABC'D')) (A'O;HO) A'OH 

 

Không mất tính tổng quát, ta đặt cạnh của hình lập phương bằng 1. 

Xét tam giác vuông A'OH vuông tại H có: 

1 1 

OH AB 

2 2 

AH 

 

tan A 'OH tan 2 

OH 

A 'H 1 

A 'D 

 

2 

2 2 

Chọn D. 

Câu 35 (TH): 


Hàm số y ax 4 bx 2 c có 3 cực trị ab 0 


Hàm số y x 4 2 mx 2 m có 3 cực trị 1.m 0 m 0 

Chọn C. 

Câu 36 (VD): 


ln x 

Đặt t a (t 0) 

, đưa phương trình về phương trình bậc hai ẩn t. 


2 

ln x ln(ex) 

a a a 0 (x 0) 


2ln x 1 

ln x ln x 2 ln x 

a a a (a ) a.a a 

0 0 

ln x 

2 

Đặt t a (t 0) 

, phương trình trở thành t at a 0 (*) 

2 

a 4a a(a 4) 0a 

4 

S 

a 0 

phương trình (*) có 2 nghiệm t 1 , t 2 dương phân biệt. 

 

P 

a 0 

Suy ra phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt. 

ln x 

loga 

t 

Ta có: t a ln x log t x e 

a 

x x 

loga t1 loga t2 e .e 

loga t1loga t2 e 

log a (t1t 2) e 

loga 

a 

e e P e 

 

1 2 

 

Chọn B. 

Câu 37 (VD): 


Trang 17

Đổi biến, đặt t x 


dx 

Đặt t x dt . Đổi cận 

2 x 

x 

1 

t 1 

 

x 

4 t 2 

2 

4 2 2 2 

2 

1 x 2 t 2 1 

dx dt 1 dt 

1 2 x 

x 1 

1 

t 1 

1 t 1 

2 

2 1 1 

 

1 dt 

t 2ln t 1 

 

 

 

t 1 ( t 1) 

t 1 

2 

1 

 

1 

1 1 7 3 a c 

2 2ln 3 1 2ln 2 2ln 2ln 

3 2 6 2 b d 

a 7; b 6; c 3; d 2 a b c d 7 6 3 2 18 

Chọn B. 

Câu 38 (VD): 


2019z 


+) Đặt z a bi . Biến đổi số phức về dạng A Bi 

z 2 z 2 


+) A Bi là số thuần ảo A 0 

z 2 


Đặt z a bi ta có: 

2019z 2019( a bi) 2019( a bi)( a 2 bi) 

 

 

 

2 2 

z 2 a bi 2 ( a 2) b 

 

2 

2019 ( 2) ( 2) 

 

 

a a b ab a b i 

 

2 2 

( a 2) b 

2 

2019 a( a 2) b 2019 ab ( a 2) b 

 

 

 

 

2 2 2 2 i z 2 

( a 2) b ( a 2) b 

 

 

 

2 

2 2 2 

là số thuần ảo 2019 

a( a 2) b 

0 a 2a b 0 

2 2 

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( C) : x y 2x 

0 trừ đi một điểm N(2;0) có 

2 2 

tâm I(1;0), bán kính R 1 0 0 1 

Chọn B. 

Câu 39 (VD): 


Áp dụng công thức lãi kép: A (1 ) n 

n 

A r 


Số tiền còn lại cuối tháng thứ nhất là: A 1 = 900(1 + 0,4%) -10 . 

Số tiền còn lại cuối tháng thứ hai là: A 2 = A 1 (1 + 0,4%) - 10 = 900 (1 + 0,4% ) 2 - 10 (1 + 0,4%) - 10. 

…. 

Cứ như vậy ta tính được số tiền còn lại sau tháng thứ n là: 

 


Trang 18

A 

A 

n 

n 

n 

n1 

900(1 0, 4%) 10(1 0, 4%) ... 10 

 

n n1 n2 

900(1 0, 4%) 10 

(1 0,4%) (1 0, 4%) ... 1 

 

n 

n 1 (1 0,4%) 

An 

900(1 0, 4%) 10. 1 (1 0,4%) 

Do tháng cuối cùng có thể rút dưới 10 triệu để hết tiền nên n là số tự nhiên nhỏ nhất để A 0 . 

Ta có: A111 7,9, A112 

2,05 

Sau 112 tháng thì số tiền trong ngân hàng của anh ta sẽ hết. 

Chọn C. 

Câu 40 (VD): 


Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách 


Gọi H là trung điểm của AB, do tam giác SAB đều SH AB 

( SAB) ( ABCD) 

AB 

 

Ta có: ( SAB) ( ABCD) SH ( ABCD) 

 

( SAB) 

SH AB 

d( A;( SDB)) 

AB 

Ta có: AH ( SDB) B 2 

d( H;( SDB)) 

HB 

d( A;( SDB)) 2 d( H;( SDB)) 

Trong (ABCD) kẻ HM BD( M BD) 

, trong (SHM) kẻ 

HK SM ( K 

Ta có: 

BD 

HM 

 

BD ( SHM ) BD HK 

BD SH ( SH ( ABCD)) 

HK SM 

HK ( SDB ) d ( H ;( SDB )) HK 

HK 

BD 

Trong (ABCD) kẻ AE BD( E BD) AE / / HM 

AB. AD 2 a. a 2a 

Ta có AE 

2 2 2 2 

AB AD 4a a 5 

1 a 

Có HM là đường trung bình của tam giác ABE HM AE 

2 5 

2a 

3 

Tam giác SAB đều cạnh AB 2a SH a 3 

2 

a 

a 3. 

SH. HM 

3 

Xét tam giác vuông SHM: 

5 a 

HK 

2 2 2 

SH HM 4 

2 a 

3a 

 

5 

a 3 a 3 

Vậy d( A;( SDB)) 2. 

4 2 

Chọn C. 

Câu 41 (VD): 


+) Đặt t = 2sinx 


n 

Trang 19

+) 

g( t) mt ( a; b) m max g( t) 

 

 

a; 

b 

+) Lập BBT hàm số y = g(t) và kết luận. 


Đặt t = 2sinx, với x (0; ) sinx (0;1) t (0;1) 

1 2 

Khi đó ta có f ( t) 

t m đúng với mọi t (0;1) 

2 

1 2 

m max g( t) f(t) t 

0;1 

2 

Ta có g '( t) f '( t) t 0 f '( t) 

t 

Vẽ đồ thị hàm số y f '(t) và y = t trên cùng mặt phẳng tọa độ. 

t 

0 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy f '(t) t 

 

 

t 1 

 

t 2 

BBT: 

t -∞ 0 1 2 +∞ 

g’(t) - 0 + 0 - 0 + 

g(t) 

1 1 

Từ BTT tao có: max g( t) g(1) f (1) m f (1) 

0;1 

2 2 

Chọn B. 

Câu 42 (VDC) 


Số nghiệm của phương trình f (x) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f (x) và đường thẳng y = m . 


x 

x 

Số nghiệm của phương trình f (2 f ( e )) 1 là số giao điểm của đồ thị hàm số y f (2 f ( e )) và 

đường thẳng y = 1. 


x 

x 

2 f ( e ) 1 f ( e ) 3 

x 

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: f (2 f ( e )) 1 

 

 

x 

 

x 

 

2 f ( e ) xo 

2;3 

f ( e ) xo 

2 (0;1) 

Tương tự ta có: 

x 

e 

1 

x 

f ( e ) 3 

x 0 

x 

e x1 

1( vonghiem) 

Trang 20

x 

f ( e ) x o 

2 (0;1) 

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khác 0. 

x 

e a 0( vo nghiem) 

 

x 

e b 0( vo nghiem) 

x 

e c 0 x ln c 0 

Vậy phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt. 

Chọn B. 

Câu 43 (VD): 


+) Xác định giao điểm của trục của mặt đáy và mặt phẳng trung trực 

của 1 mặt bên, chứng minh giao điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp 

chóp. 

+) Sử dụng tỉ lệ của tam giác đồng dạng tính bán kính mặt cầu ngoại 

tiếp chóp. 


Gọi O là trọng tâm tam giác ABC SO ( ABC) 

. 

Gọi M là trung điểm của SA. 

Trong (SOA) kẻ IM SA( I SO) 

ta có IS = IA. 

Lại có I SO IA IB IC IA IB IC IS I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. 

Tam giác ABC đều cạnh 

a 3 2 a 3 

AE AO AE 

2 3 3 

2 

2 2 2 a a 6 

Xét tam giác vuông SOA: SO SA OA a 

3 3 

a 

a. 

SI SM SA. SM 6 

Dễ thấy 

( . ) 

2 a 

SOA SMI g g SI 

SA SO SO a 6 4 

3 

a 6 

Vậy R 

4 

Chọn C. 

Câu 44 (VD): 


 

+) Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn IA 2IB 

0 , xác định tọa độ điểm I. 

+) Biến đổi biểu thức MA 2 + 2MB 2 bằng cách chèn điểm I. 

+) Tìm vị trí của M trên (S) để MA 2 + 2MB 2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính. 


 

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn IA 2IB 

0 ta có: 

( a; b;2 c) 2(1 a;1 b; c) 0 

2 

 

a 

a 

2 2a 

0 

3 

2 2 2 2 

b 2 2b 0 b I ; ; 

 

3 3 3 3 

2 c 2c 

0 

 

2 

c 

 

3 

Ta có: 


Trang 21

2 2 2 2 

MA 2 MB ( MI IA) 2( MI IB) 

 

 

2 2 2 2 

MI 2MI IA IA 2MI 4MI IB IB 

 

2 2 2 2 2 2 

3MI IA 2IB 2 MI ( IA 2 IB) 3MI IA 2IB 

 

0 

const 

2 2 2 

 

2 2 2 2 8 

IA 2 

3 3 3 3 

2 2 

2 2 

Do 

IA 2IB 

4 không đổi ( MA 2 MB ) với 

2 2 2 

min 

MI min 

2 2 2 2 2 

 

IB 1 1 

3 3 3 3 

2 2 2 

I ; ; , M ( S) 

3 3 3 

2 2 2 

Ta có 

2 2 2 1 

1 

1 I nằm ngoài (S) 

3 3 3 4 

1 

Khi đó MImin 

IJ R với J(0;0;1) là tâm mặt cầu, R là bán kính 

2 

mặt cầu. 

Ta có: 

2 2 2 

2 2 

1 2 

IJ 1 MI 

1 1 

min 

1 

3 3 3 

2 2 

2 2 2 1 19 

Vậy ( MA 2 MB ) 

min 

3MI 

min 

4 3. 4 

2 4 

Chọn D. 



+) Tính đạo hàm của hàm số y = f (2x - x 2 ) . 

+) Xét dấu, lập BBT (hoặc BXD) và kết luận số điểm cực đại của hàm số. 


2 2 

y f (2 x x ) g( x) g '(x) (2 2 x) f '(2 x x ) 0 

2 

x 

1 

 

x 

1 

2 

2 2x 

0 2x x 4 

 

 

 

 

x 1 

5 

2 2 

f '(2x x ) 0 

 

2x x 1 

 

x 

1( boi 2) 

2 

2x x 4 

 

 

BBT: 

x -∞ 1 5 

1 1 5 

+∞ 

g’(x) - 0 + 0 - 0 + 

g(x) 


2 

Dựa vào BBT ta thấy hàm số y f (2 x x ) có 2 điểm cực đại. 

Chọn D. 

Chú ý: Lưu ý khi tính đạo hàm của hàm hợp 

Câu 46 (VD): 


Trang 22

+) Tính không gian mẫu. 

+) Tính số phần tử của biến cố. 

+) Tính xác suất của biến cố. 


Do các bi cùng màu giống nhau nên n( ) 4(0 v 4 x,1v3x,2 v 2 x,3v1 x,4v0 x) 

Xếp các quả cầu cùng màu vào cùng 1 hộp có 2 cách xếp (0 v 4 x, 4 v 0 x) 

1 

Vậy xác suất để các quả cầu cùng màu thì vào chung một hộp là . 

Chọn D. 

Chú ý: Chú ý giả thiết các bi cùng màu giống nhau. 



+) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. 

+) Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S) J là hình chiếu của I(3;2;5) là tâm của 

(S) trên (P). 

+) Để ( ) cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao 

tuyến của (P) và (S). 


 

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d nP 

ud 

(2;2; 1) 

. 

Phương trình mặt phẳng (P): 2(x - 2) + 2(y -1) -1(z - 3) = 0 2x + 2y - z - 3 = 0 . 

là đường thẳng đi qua A(2;1;3) vuông góc với đường thẳng ( d) ( P) 

. 

Để ( ) cắt (S) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao 

tuyến của (P) và (S). 

Gọi J là tâm của đường tròn giao tuyến của (P) và (S) J là hình chiếu của I (3;2;5) là tâm của (S) 

trên (P). 

x 

3 

2t 

 

Gọi d' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( P) d': y 2 2t 

 

z 

5 t 

J d ' J (3 2 t;2 2 t;5 t) 

J (P) 2(3 2 t) 2(2 2 t) (5 t) 3 0 

2 23 14 47 

9t 2 0 t J ; ; 

 

 

9 9 9 9 

 

đi qua J, A nhận JA 5 ; 5 ; 20 

 

5 1;1;4 

là 1 VTCP. 

9 9 9 9 

a 

1 

u (1;1;4) cũng là 1 VTCP của a b 1 4 5 

b 

4 

Chọn D. 



Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z. Sử dụng phương pháp hình học. 


Gọi z x yi z x yi 

+) z z z z 2 x yi x yi x yi x yi 2 

2x 2yi 2 x y 1 


(*) 

2 

Trang 23

x y 1 khi x 0, y 0( d1) 

 

x y 1 khi x 0, y 0( d2) 

 

x y 1 khi x 0, y 0( d3. 

) 

 

x y 1 khi x 0, y 0( d4) 

+) z( z 2) ( z z) 

m 

( x yi)(x yi 2) (x yi x yi) m 

2 

x(x 2) y ( 2 ) 2 

xy xy y i x m 

2 2 

2 2 2 2 

x y m 2yi 

là số thuần ảo x y m 0 x y m( C) 

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (*) là hình vuông 

Để tồn tại 4 số phức z thì (C) phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt. 

0 0 1 1 

Ta có d O; 

d1 

 

2 2 

1 1 

2 

1 

Để (C) cắt ở 4 cạnh của hình vuông ABCD tại 4 điểm phân biệt thì 

RC 

m 

2 

 

RC 

m 1 

1 

1 2 1 

S ;1 Tổng các phần tử của S là 1 

 

2 

2 2 

Chọn B. 



Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích 


( MNB ' A') ( ACC ' A') A'M 

 

Ta có: ( MNB ' A') (B CC 'B') B 'N A' M , B ' N, CC ' đồng quy tại S 

 

( ACC ' A') (BCC'B') CC' 

Áp dụng định lí Ta-let ta có: 

SM MN MN CM SN SC 

k 

SA' A' B ' AB CA SB ' SC ' 

VS . MNC 

SM SN SC 3 

. . k 

V SA' SB ' SC ' 

S. A' B' C ' 

V 

1 k V (1 k ) V 

1 

3 3 

 

1 

 

S. A' B' C ' 

VS . A' B' C ' 

SC SC ' CC ' CC ' 

Ta có: k k 1 

k 

SC ' SC ' SC ' 

1 

SC ' 

VS A B C 3 1 

VABC A B C 

VS . A' B' C ' 

 

V CC ' 3(1 k) 3(1 k) 

. ' ' ' . ' ' ' 

ABC. A' B' C ' 

V 1 

k k 

V (1 k ) V (1 k ) V 

3(1 k ) 3 

Ta có: 

2 

3 3 ABC. A' B' C ' 

1 S. A' B' C ' ABC. A' B' C ' 

V1 

k k 

2 V V 1 k k 2 k 

V 

3 3 3 2 

2 


2 

2 1 2 2 

5 1 

1 ABC. A' B' C ' 

Trang 24

Chọn A. 



m 

0 

3 

Từ giả thiết g(1) 0 m m 0 

 

 

m 1 

 

m 1 

Với m = 0 ta có: ( x 1) f ( x) 1 0x 

(đúng) 

Với m = 1 ta có: 

Với m 1 

 

 

1 

(2 x 1) 1 f (2 x 1) 1 0 x 

(đúng) 

2 

f (2x 

1) 1 

Xét x > 1 ta có: lim 4 

x 

2 f ( x) 

 

1, đủ lớn sao cho f (2 

1) 1 2 f ( ) 

 

Vậy m0;1 

 

( 1) f (2 1) 1 2 f ( ) 0 (mâu thuẫn (*)) m 1 

loại. 

Chọn A. 


Trang 25





3 

Câu 1. Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3x 

2 ? 

A. y 9x 12 

. B. y 9x 14 

. C. y 9x 13. D. y 9x 

11. 

2x 

1 

Câu 2. Hàm số y giảm trong khoảng 

x 1 

0; 

 

 

 

A. . B. ; . C. ;2 . D. ;0 . 

Câu 3. Hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 

3 2 

1 3 1 2 

A. y x 3x 

. B. y x x . 

3 2 

1 3 3 2 

1 3 3 2 

C. y x x . D. y x x . 

2 2 

3 2 

 

 

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u a; b; c, v x; y; 

z . Tích có hướng , 

 

u v 

 

có tọa độ 

là 

bz cy cx az ay bx 

 

A. ; ; . B. bz cy; cx az; 

ay bx . 

by cz ax cz by cz 

 

C. ; ; . D. bz cy; az cx; 

ay bx . 

Câu 5. Thể tích khối trụ có bán kính đáy bằng R và đường cao bằng h là 

4 2 

A. . B. . C. . D. . 

3 R h 2 

1 2 

R h 

3 R h 1 2 

3 R h 

 

x 

Câu 6. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x xe ? 


2 

x x 

A. F x 

e . B. F x xe x e x . C. x 

x 

x1 

F x xe e . D. F x xe . 

2 

Câu 7. Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên khoảng 0; ? 

A. y ln x . B. 2 x 

. C. y log x . D. y x 1 3 

. 

y 

1 

2 

x 

1 

3 t, 

 

Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ : y 2 t, 

t 

 

. Một vectơ chỉ phương của Δ có 

 

z 

3 t, 

tọa độ là 

 

1;2;3 

3;2;1 

 

A. 3; 2; 1 . B. . C. . D. 1;0;3 . 

 

 

Trang 1


P : z 2 0 

. Khẳng định nào sau đây sai? 

P 

Oxz 

P 

 

A. vuông góc với mặt phẳng . B. vuông góc với mặt phẳng Oyz . 

P 

Oxy 

P 

 

C. vuông góc với mặt phẳng . D. song song với mặt phẳng Oxy . 


 

4 2 

y f x x 2x 

2019 . Khẳng định nào dưới đây đúng? 

f f f 

 

A. 2 3 1 . B. f 2 f 1 f 3 . 

f f f 

f 1 f 2 f 3 

C. 3 1 2 

. D. 

S 

 

2 2 2 

Câu 11. . Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x 1 y 2 z 3 25. 

Tọa độ tâm I và bán kính R của 

 

S 

 

là 

I R 

A. 1;2;3 và 5 . B. I 1; 2; 3 và R 5 . 

C. I 1;2;3 và R 25 . D. I 1; 2; 3 

và R 25. 

x 1 

Câu 12. Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 1 

của đồ thị hàm số y có phương trình là 

x 1 

1 1 

1 1 

A. y 2x 

2 . B. y x . C. y x . D. y x 1. 

2 2 

2 2 

Câu 13. Hàm số nào dưới đây, có đồ thị như hình kèm theo? 

x 

2x 

x 1 

x 

A. y . B. y . C. y . D. y . 

1 x 

x 1 

x 1 

x 1 

4 2 

Câu 14. Số điểm cực trị của hàm số y x 2x 

3 là 

A. năm. B. bốn. C. hai. D. ba. 

Câu 15. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

2 

f x dx 2 

 

A. . B. 

 

0 

1 2 

y f x x x x 

f 

0 

x dx 

1 2 

f x 

dx f x 

dx 

2 1 

 

C. . D. f x dx f x dx . 

1 0 


 

 

0 1 

và trục hoành bằng 

Câu 16. Số tiệm cận của đồ thị hàm số 

y 

x 

2 

2 

4 x 

3x 

2 

là 

Trang 2

A. hai. B. bốn. C. ba. D. một. 

Câu 17. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

bằng 

A. 2 2 1. B. 4. C. 2 2 . D. 3. 


3 2 

y ax bx cx d 


y x 1 3 x thì M 2m 

x 

0 2 

y x 

+ 0 - 0 + 

 

thì 

a b c d 

y 

bằng 

 

2 

A. 1. B. 0. C. 1. D. 2. 


S 

 

 

2 2 2 

2 

S : x y z 2x 6y 10z 

14 0. Phương trình mặt 

phẳng tiếp xúc với tại điểm A 5;1;2 được viết dưới dạng ax by cz 22 0 . Giá trị của tổng 

a b c 

là 

A. 7. B. 11. C. 11. D. 22. 

10 

Câu 20. Nếu số phức z 1 

i , thì z bằng 

A. 32i. B. 32. C. 32i. D. 32. 

Câu 21. Thể tích khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 1 là 

3 

3 

3 

A. 3 . B. . C. . D. . 

12 

2 

4 

Câu 22. Cho số phức z thỏa z 2z 2 3i , thì z bằng 

29 

85 

29 

85 

A. . B. . C. . D. . 

3 

3 

3 

3 

 

2 

Câu 23. Quay hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x và đường thẳng D : x 1 

quanh Ox, thì 

được một vật thể tròn xoay có thể tích là 

1 

2 

1 

1 

A. V . B. V . C. V . D. V . 

3 

3 

5 

2 

Câu 24. Trong không gian Oxyz, số mặt cầu có bán kính bằng 2 và tiếp xúc với cả ba mặt phẳng tọa độ là 

A. bốn. B. mười sáu. C. tám. D. mười hai. 

Câu 25. Cho hàm số sin 2 2sin , với x ; . Hàm số này có mấy điểm cực trị? 

y x x 

A. Bốn. B. Một. C. Ba. D. Hai. 

Câu 26. Cho biết 


2 

1 1 

x x dx a bln 2 , trong đó a, b là hai số hữu tỉ, thì 

0 

x 1 

Trang 3

1 

3 

1 

5 

A. a b . B. a b . C. a b . D. a b . 

2 

2 

2 

2 

 

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A 1;2;3 , B 10; 5; 1 , C 3; 9;10 

. 

Phương trình đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là 

A. x 1 2 3 

 

y 

z 

x 

. B. 1 y 2 z 

 

3 . 

3 2 3 

3 2 7 

x 

C. 1 y 2 z 3 

x 

. D. 1 y 2 z 3 

 

. 

1 1 1 

5 6 1 

Câu 28. Cho hình lập phương 

và AB là 

ABCD. ABC D 

có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng 

3 

A. 1. B. 3 . C. 2 . D. . 

3 


1 

 

 

ln x 1 dx a bln 2 , trong đó a, b là hai số hữu tỉ thì 

0 

A. a b 2 . B. a b 1. C. a b 3 . D. a b 1. 

Câu 30. Cho (K) là một đa giác đều có 10 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh bất kỳ của (K) thì xác định được 

một tứ giác lồi, xác suất để tứ giác nói trên là hình chữ nhật là 

2 

4 

4 

2 

C10 

C8 

C5 

C5 

A. . B. . C. . D. . 

4 

4 

4 

4 

C 

C 

C 

C 

10 

10 

Câu 31. Cho tứ diện ABCD có BD vuông góc với AB và CD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của của 

các cạnh CD và AB thỏa mãn 

BD : CD : PQ : AB 3: 4 : 5 : 6 

Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Giá trị của cos bằng 

7 

1 

11 

1 

A. . B. . C. . D. . 

8 

2 

16 

4 

Câu 32. Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình 

10 

 

2 

log2 

x 6x 

7 7 

A. 48. B. 75. C. 54. D. 42. 

Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với 

chiều cao của tam giác ABC. Tỉ số 

BH 

CH 

. 

 

là 

5;7; 9 , 1;3;7 , 6; 7; 3 

A B C 


(tỉ số giữa độ dài hai đoạn thẳng BH và CH) là 

4 

3 

2 

3 

A. . B. . C. . D. . 

3 

2 

3 

4 

10 

CD 

. Gọi AH là 

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 5, BC = 2. Biết rằng SB = 4, SA = 

3, SC = x, SD = y. Giá trị lớn nhất thể tích khối chóp S.ABCD là 

12 

A. 8. B. . C. 24. D. 8xy. 

5 xy 

Trang 4

Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với 

thuộc mặt phẳng 

là 

: 2 3 2 0 

O0;0;0 , A6;0;0 , B0;8;0 

. Điểm M a; b; 

c 

P x y z đồng thời cách đều các đỉnh O, A, B. Giá trị của tổng a b c 

A. 2. B. 2. C. 4. D. 10. 

Câu 36. Một hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh thành một cấp số nhân, thể tích của khối hộp bằng 

64cm 3 và tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật bằng 168 cm 2 . Tổng độ dài các cạnh của hình hộp 

chữ nhật là 

A. 84 cm. B. 26 cm. C. 78 cm. D. 42 cm. 

Câu 37. Cho f là hàm sô liên tục trên đoạn 

 

 

 

 

1 2018 

0 

 

0;1 

 

 

. Biết rằng ba số 

 

f x dx , f x dx , 

 

 


theo thứ tự đó, lập thành một cấp số cộng. Giá trị của biếu thức 

0 

 

 

 

 

1 2020 

0 

 

f x dx 

1 

 

1 2 2 

0 

 

 

f x f x dx 

 

A. 4. B. 0. C. 1. D. 9. 

Câu 38. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng 1. Thể tích khối nón có đỉnh là C, đáy là đường 

tròn ngoại tiếp tam giác BDG bằng 

2 3 

2 3 

1 

A. . B. . C. . D. . 

6 

9 

27 

6 

Câu 39. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6 cm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và 

AD. Gấp hình vuông trên để được tứ diện ACEF. Thể tích khối tứ diện ACEF là 


A. 18 cm 3 . B. 3 cm 3 . C. 27 cm 3 . D. 9 cm 3 . 

Câu 40. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Bán kính của mặt cầu qua trung điểm các cạnh của tứ 

diện là 

3 

2 

1 

A. 2 . B. . C. . D. . 

2 

2 

2 

 

bằng 

Trang 5

Câu 41. Cho hình cầu (S) có tâm I, bán kính bằng 13 cm. Tam giác (T) với độ dài ba cạnh là 27 cm, 29 

cm, 52 cm được đặt trong không gian sao cho các cạnh của tam giác tiếp xúc với mặt cầu (S). Khoảng 

cách từ tâm I đến mặt phẳng chứa tam giác (T) là 

A. 12 cm. B. 3 2 cm. C. 5 cm. D. 2 3 cm. 

Câu 42. Cho S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu 

nhiên một số x thuộc S. Tính xác suất để x chia hết cho 6. 

8 

9 

11 

10 

A. . B. . C. . D. . 

64 

64 

64 

64 

Câu 43. Khai triển 

10 2 10 

2x 1 A A x A x ... 

A x 

0 1 2 10 

Trong đó A0 , A1 ,..., A10 

là các số thực. Số lớn nhất trong các số A0 , A1 ,..., A10 

là 

A. . B. . C. . D. A . 

A10 

A7 

A8 

9 

Câu 44. Cho số phức z thỏa z 1 2i z 3 i . Khi đó z nhỏ nhất bằng 

3 

5 

A. 1. B. . C. D. 2. 

2 

2 

x 

2 1 

Câu 45. Cho f x log2 

. Giá trị của biểu thức f bằng 

2 

x 

 

1 

f 1 f f 2 ... f f 40 

A. 410. B. 820. C. 40. D. 1640. 

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 

có nghiệm thực? 

2 

x x m x m 

log 3 2 log 

2 2 

A. Mười. B. Chín. C. Vô số. D. Tám. 



 

2 4 2 

f x 1 x a 2a 2 a 10a 10 

x 

Trong đó a là tham số. Có bao nhiêu giá trị a để f là hàm số chẵn? 

, 

Trang 6

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3. 

2 2 

Câu 48. Cho số phức z thỏa z 1. Tìm giá trị lớn nhất của P z z z z . 

14 

A. . B. 4. C. 2 2 . D. 2 3 . 

5 

Câu 49. Trong không gian Oxyz, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm 

Oz tại điểm N, cắt mặt phẳng tọa độ 

 

Oxy 

 

 

A 3; 4;10 

tại điểm M sao cho tam giác OMN vuông cân? 

A. Hai. B. Vô số. C. Ba. D. Một. 

Câu 50. Tính diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm số 

3 2 

y ax bx cx d , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 3 (phần 

được tô như hình vẽ), thì ta được 

7 

5 

A. S . B. S . 

3 

3 

4 

6 

C. S . D. S . 

3 

3 

_____________________HẾT ________________ 


 

và cắt trục tọa độ 

Trang 7

ĐÁP ÁN 

1. B 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. A 8. C 9. C 10. D 

11. A 12. C 13. D 14. A 15. D 16. A 17. B 18. B 19. C 20. C 

21. D 22. D 23. D 24. C 25. D 26. B 27. D 28. A 29. B 30. D 

31. D 32. A 33. C 34. A 35. D 36. A 37. C 38. C 39.D 40. C 

41. A 42. C 43. B 44. C 45. B 46. B 47. A 48. C 49. A 50. C 


Câu 19. Phương trình của mặt phẳng là 6x 2y 3z 

22 0 . 


Câu 27. Để ý rằng, tam giác ABC cân tại A. Hơn thế nữa, nó là tam giác đều. 


Câu 31. 


Trang 8

Do AB vuông góc với BD, nên AB nằm trong mặt phẳng 

 

 

 

chứa AB và vuông góc với BD. 

Dựng hình chữ nhật BDPR, thì góc giữa hai đường thẳng AB và CD cũng là góc giữa hai đường thẳng 

AB và BR. 


Ta có 

2 2 2 

BQ BR QR 9 4 16 1 

cos 

. 

2. BQ. BR 2.3.2 4 

Trang 9


Câu 32. Ta có 


Câu 33. Cách 1. 

 

 

2 

log x 6x 7 7 9 x 1 7 x 15 

. 

2 

P 

 

Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BC, phương trình của P là 

x 2y 2z 

1 0 . 

Để ý rằng 

Cách 2. 

 

 

 

BH d B, P 6 2 

 

 

. 

CH d 

C, 

P 

9 3 

Ta tìm được H 3; 1;3 , BH 6, CH 9 . Từ đó, cũng có kết quả tương tự như cách 1. 


Câu 34. 

Gọi SK, SH lần lượt là khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC và đường thẳng AB. Ta có SK SH . 

Vì diện tích của hình chữ nhật ABCD không đổi nên thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và 

chỉ khi SH là đường cao của tam giác SAB. Lúc đó, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . 

 


Tam giác SAB vuông tại S, nên 

1 1 1 1 1 25 

 

2 2 2 

SH SA SB 9 16 144 

12 

Do đó, SH . 

5 

 

 

SAB 

 

Trang 10

1 12 

VS . ABCD 

. .2.5 8 . 

3 5 


Câu 35. 

Cách 1. Ta tìm a, b, c từ hệ 

Cách 2. 

 

 

M P , a 2b 3c 

2 0, 

a 

3, 

2 2 2 2 2 2 

OM AM , a b c a 6 b c , b 

4, 

 

2 2 2 2 2 

2 

 

OM BM 8 

c 

3. 

a b c a b c 

M cách đều các đỉnh O, A, B, nên M thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tam giác này 

vuông tại O, nên có tâm I của đường tròn ngoại tiếp là trùng điểm của cạnh AB, tức I 3;4;0 . Đường 

 

thẳng qua I và vuông góc mặt phẳng nhận vectơ k 0;0;1 làm vectơ chỉ phương. Phương 

Δ Oxy 

 

trình của Δ là 

x 

3, 

 

y 

4, 

 

z 

t. 

Δ P 

 

M là giao điểm của và , nên có tọa độ 3;4; 3 

. 

Giá trị của tổng 


Câu 36. 

a b c là 3 4 3 

10 

Cách 1. Gọi độ dài ba cạnh là a, aq, aq 2 . Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng 64 cm 3 , nên 

 

2 

a. aq . aq 64 aq 4 . 

Mặt khác, tổng diện tích các mặt của nó bằng 168 cm 2 nên 

 

2 a 2 q a 2 q 2 a 2 q 3 168 2aq a aq aq 2 168 4 a aq aq 

2 84 . 

2 

Cách 2. Không mất tính tổng quát, gọi ba cạnh của hình hộp là a, b, c với a b c . Ta có b ac . Giải 

hệ phương trình 

abc 

8, 

2 

b 

ac, 

 

2ab bc ca 

128, 

Ta được a 1, b 4, c 16. 

Do đó, tổng độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật là 




a b c cm 

4 4 1 4 16 84 

. 

 

 

Trang 11

Thu gọn, ta được 

1 1 1 

2 

 

2018 2020 2019 


0 0 0 

 

 

1 2018 2 

0 

f x . 1 f x dx 0 

2018 

2 

0;1 

 

Do f x . 1 f x liên tục, không âm trên đoạn , nên f x . 1 

f x 0 . Ta có 


Câu 38. 

 

 

1 2 2 1 

f x 1 f x dx 1dx 

1 

0 0 

 

 

 


Trang 12

Vì hình lập phương có cạnh bằng 1, nên tam giác BGD đều có cạnh bằng 2 . 

Ta có CB = CG = CD và EB = EG = ED, do đó, đường thẳng CE là trục của đường tròn ngoại tiếp tam 

giác BDG. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDG, thì CI là đường cao của khối nón CBDG. 

Ta có 

3 

Do đó, CI . 

3 

Tam giác BDG đều có cạnh bằng 

2. 3 6 

 

3 3 

. 

Thể tích khối nón cần tìm là 


1 1 1 1 

3. 

2 2 2 2 

CI CB CD CG 

2 , nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng 


2 

1 6 3 2 

3 

V 

. 

. 

3 

 

3 

3 27 

Câu 39. Tứ diện ACEF có chiều cao là AC và đáy là tam giác vuông cân AEF. Thể tích tứ diện ACEF là 

1 1 2 

V . .3 .6 9 (cm 3 ). 

3 2 


Câu 40. 

Trang 13


Trang 14

Trung điểm các cạnh của tứ diện đều là các đỉnh của một bát diện đều. Vì tứ diện đều có cạnh bằng 2, 

nên các cạnh của bát diện đều bằng 1. 

2 

Bán kính của mặt cầu cần tìm là . 

2 


Câu 41. 


Trang 15


Tam giác đã cho có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 5. Khoảng cách cần tìm là 


Câu 45. Với x > 0, ta có 

2 2 

13 5 12 

(cm) 

Điều này dẫn đến 

x 

2 

log 

2 1 

2 x 

 

x 

2 1 2.2 

f f x 

log2 x 

log2 

x . 

2 

log2 

2 

2 2 

x 

1 

1 

 

f f 1 f f 2 ... f f 40 1 2 ... 40 820 . 

Trang 16

Chọn đáp án B 

Câu 46. Phương trình đã cho tương đương với 

x m x m 

x x 4x 

0 x 

 

m x 4x 

 

2 

0 0 0 5 

2 2 2 

2 

x 3x 2m x m m x 4x m x 4x 

Lập bảng biến thiên của hàm số f x x 4x 

trên khoảng 0;5 , ta được 5 m 4 . 


Câu 47. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi 

Điều kiện cần để f là hàm số chẵn là 

Với 

Với 

Với 

Với 

 

 

2 

 

1 x 0 x 

1 

 

 

4 2 4 2 

a 10a 10 x 0 x a 10a 

10 

4 2 

a 10a 10 1 a 3 a 1 a 1 a 3. 

a 3, f x 1 x 13 1 

x . Đây không là hàm số chẵn. 

 

a 1, f x 1 x 1 

x . Đây là hàm số chẵn. 

 

a 1, f x 1 x 3 1 

x . Đây không là hàm số chẵn. 

 

a 3, f x 1 x 1 

x . Đây là hàm số chẵn. 



2 2 

P z z z z 

 

1 z z 1 

z z 

z z 1 z z 1 

z 1 z 1 . 

A B 

 

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z, 1;0 và 1;0 , thì M thuộc đường tròn tâm O 0;0 , bán 

kính bằng 1. Hai điểm A, B thuộc đường tròn này và 

 

AB 2 . Ta có 

2 2 2 

z 1 z 1 AM BM 2 MA MB 2. AB 2 2 . 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AM = BM, tức tam giác MAB vuông cân tại M. Chẳng hạn, 

z 

i 

. 


Câu 49. 

 

2 2 

Gọi M x; y;0 , N 0;0; z , với x y 0 và z 0 . Tam giác OMN chỉ có thể vuông tại O, do đó 

x y z 

2 2 2 

Ta có 

. 


 

 

AM x y AN z 

3; 4; 10 , 3;4; 10 

 

M 

 

0;1 

 

hay 

Trang 17

Ba điểm A, M, N thẳng hàng khi và chỉ khi 

 

x 

3t 

3 

 

AM t. AN y 4t 

4 

10t 

10 

z 

 

t 

Thay vào phương trình 

x y z 

2 2 2 

 

, ta được 

 

2 

2 2 100 t 1 

2 2 

 

 

9 1 t 16 t 1 t 1 . t 4 0 t 2 t 1 t 2 

2 

t 

- Với 2 , ta có 9; 12 0 và N 0;0;15 . Tam giác OMN vuông cân tại O. 

t M 

- Với 1, ta có 0;0;0 và N 0;0;0 . Không tồn tại tam giác OMN. 

t M 

- Với 2, ta có 3;4;0 và N 0;0;5 . Tam giác OMN vuông cân tại O. 

Chọn đáp án A 

t M 

Câu 50. Vì đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm có tọa độ 

tọa độ 

 

3;0 

 

, do đó, hàm số đã cho có dạng 

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm (0; -3), nên 

Vậy 

2 

y (x 1) (x 3) 


. Diện tích cần tìm là 

 

1 

2 

1 3 

y a x x 

 

3 a 3 a 1. 

 

4 

x 1 x 3 dx . 

3 

 

3 2 


 

1;0 

 

và cắt trục hoành tại điểm có 

Trang 18






 

F x 

e 

2 

x 

là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: 

 

2 

 

2 

x 

2 x 

2x 

A. f x 2xe 

B. f x x e 1 

C. f x e D. 

Câu 2: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

x 1 

y 

2x 

4 


A. y 1 

B. y 1 

C. y 2 

D. 

2 

f 

x 

1 

y 

4 

2 

x 

e 

 

2x 

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào là phương 

trình của mặt cầu? 

2 2 2 

A. x y z 2x 4z 

1 0 

B. 

2 2 2 

C. x y z 2xy 4y 4z 

1 0 

D. 

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn phương trình 

phức z. 

2 

2 2 

x z x y z 

3 2 4 1 0 

2 2 2 

x y z x y z 

2 2 4 8 0 

3 2i z 2 i 4 i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số 

M M 

M 

M 1; 1 

A. 1;1 B. 1; 1 

C. 1;1 

D. 

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng 

x 

1 

t 

 

d : y 2 2t 

 

z 3 t 

P : x y 3 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P 

. 


0 

0 

0 

A. 60 

B. 30 

C. 120 

D. 45 

Câu 6: Phương trình sin x cos x có số nghiệm thuộc đoạn ; là: 

 

A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 

f x 

 

2 4 

Câu 7: Cho hàm số có đạo hàm f ' x x x 1 x 2 với mọi x . Số điểm cực trị của hàm 

số f là 

A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 

Câu 8: Biết tập nghiệm của bất phương trình x 2 3x 10 x 2 có dạng a; 

b . Tính A a b . 

 

A. 12 B. 19 C. 16 D. 18 

Câu 9: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 

của khối tròn xoay tạo thành bằng: 


 

y tan x, y 0, x 0, x quay quanh trục Ox. Thể tích 

4 

 

A. 5 B. 1 

3 

 

C. 

D. 

1 

 

 

4 

2 

2 

0 

1

x 1 y z 2 

Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 

: , 

2 1 2 

x 2 y 1 

z 

d2 

: . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho. 

2 1 2 

A. Chéo nhau B. Trùng nhau C. Song song D. Cắt nhau 

Câu 11: Cho số phức 

z 1 2i 

. Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức w 2z z 

A. 3 B. 5 C. 1 D. 2 

Câu 12: Cho số thực a 0, a 1. Chọn khẳng định sai về hàm số y log a 

x . 

1; 

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng ;1 . 

B. Hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy. 

C. Hàm số có tập xác định là 0; . 

D. Hàm số tập giá trị là . 


thẳng AB? 

3 2 

y x x x 

3 9 1 

 

 

có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường 

M 

Q 

P 

N 1; 10 

A. 0; 1 B. 1;10 

C. 1;0 

D. 

Câu 14: Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? 

A. 7 B. 9 C. 3 D. 6 

2 

Câu 15: Tìm tập xác định của hàm số y x 3x 

2 . 

 

A. B. ;1 2; 

C. 1;2 

D. 

 

 

1;2 

 

 

; 1 2; 

 

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; (SAD) (ABCD), tam giác SAD đều. Góc 

giữa BC và SA là: 

A. 90 0 B. 45 0 C. 60 0 D. 30 0 

Câu 17: Một vật N 1 có dạng hình nón có chiều cao bằng 40cm. Người ta cắt vật 

N 1 bằng một mặt cắt song song với mặt đáy của nó để được một hình nón nhỏ N 2 

1 

có thể tích bằng thể tích N 1 .Tính chiều cao h của hình nón N 2 ? 

8 

A. 10cm B. 20cm 

C. 40cm D. 5cm 

Câu 18: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 

mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60 o . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. 

3 

3 

a 

3 

A. V a 

B. V 

C. V 3a 

D. V 

3 

3 , SA vuông góc với đáy và 

2 

Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x và đường thẳng y 2x 

là: 

4 

5 

3 

23 

A. B. C. D. 

3 

3 

2 

15 

x 1 

Câu 20: Gọi x , x là hai nghiệm của phương trình 4 x x x 

2 3 . Tính x1 x2 

1 2 


2 2 

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 

3a 

3 

3 

2

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 

2 

x y z 

2 2 

1 2 6 

2 1 2 2 

1 

: x y z , 

2 

: 

x y z 

d d . 

3 1 1 1 1 1 

đồng thời song song với hai đường thẳng 

x y 2z 

3 0 x y 2z 

3 0 

A. B. C. D. 

x y 2z 

9 0 

x y 2z 

9 0 x y 2z 

9 0 

x y 2z 

9 0 

Câu 22: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của 

đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy. 

5 2 

A. r 5 

B. r 5 

C. r 

D. r 

2 

Câu 23: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i 1 

i z . 

 

 

5 2 

2 

A. Đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R 2 B. Đường tròn tâm I(1; 0), bán kính R 2 

C. Đường tròn tâm I(-1; 0), bán kính R 2 D. Đường tròn tâm I(0; -1), bán kính R 2 

2 

Câu 24: Gọi z , z là các nghiệm của phương trình z 2z 

5 0 . Tính P z z . 

1 2 

2 2 

1 2 

A. 10 B. 5 C. 12 D. 4 

Câu 25: Lớp 11A có 2 tổ. Tổ I có 5 bạn nam, 3 bạn nữ và tổ II có 4 bạn nam, 4 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên 

mỗi tổ 2 bạn đi lao động. Tính xác suất để trong các bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ. 

1 

69 

1 

9 

A. B. C. D. 

364 

392 

14 

52 

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt 

 

phẳng : x 3y z 1 0, : 2x y z 7 0 . 

x 2 y z 3 x 2 y z 3 

x y 3 z 10 

A. B. C. D. 

2 3 7 

2 3 7 

2 3 7 

f x 

 

Câu 27: Cho hàm số có đạo hàm f ' x xác định, liên tục 

 

trên và f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau 

đây là đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên ; 1 


B. Hàm số đồng biến trên 1; 

 

3; 

 

C. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 và 

D. Hàm số đồng biến trên 

2 

x 2x 

2 1 

Câu 28: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y 

trên đoạn ;2 . 

x 1 

 

 

2 

 

5 

10 

A. M B. M 2 

C. M D. M 3 

2 

3 

6 

3 

f x 

f 2 

 

Câu 29: Cho hàm số liên tục trên và f x dx 10, thì 

0 

0 

x dx 

A. 30 B. 20 C. 10 D. 5 

x 2 y z 3 

 

2 3 7 

3

Câu 30: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 

1 

6 x 4 2 x 

2.3 

x 

A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 

 

3 2 

y 2x 3 2m 1 x 6m m 1 x 1 đồng biến trên khoảng 2; ? 

 

1000;1000 

A. 999 B. 1001 C. 1998 D. 998 

 


Câu 32: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển 

động chậm dần đều với vận tốc 

10 20 / 

v t t m s 

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng gây, kể 

từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét? 

A. 5 m B. 20 m C. 40 m D. 10 m 

Câu 33: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z i 5 z i 5 6 , biết z có mô đun bằng 5 ? 

A. 3 B. 4 C. 2 D. 0 

Câu 34: Cho đường tròn 

T x y 

2 2 

: 1 2 5 

đường thẳng cắt (T) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành. 

và hai điểm A(3; -1), B(6; -2). Viết phương trình 

x 

3y 

10 0 

A. x 3y 

10 0 B. C. x 3y 

10 0 D. 

x 

3y 

10 0 

 

 

x 

3y 

0 

 

x 

3y 

10 0 

Câu 35: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên đồng thời thỏa mãn f 0 f 1 5 . Tính tích phân 

1 

0 

 

f x 

I f ' x e dx 

A. I = 10 B. I 5 

C. I = 0 D. I = 5 

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình log 2 2 

2 

7x 7 log2 

mx 4x m 

nghiệm đúng với mọi x. 

A. 5 B. 4 C. 0 D. 3 

: 2 2 1 0 

Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng P x y z , 

 

Q : x my m 1 z 2019 0 . Khi hai mặt phẳng P , Q tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt 

phẳng 

 

Q 

 

đi qua điểm M nào sau đây? 

M M 

M 0;0; 2019 

A. 2019; 1;1 B. 0; 2019;0 C. 2019;1;1 D. M 

2 2 

Câu 38: Tìm m để phương trình log x log x 3 m có nghiệm x 1;8 . 

 


2 2 

A. 6 m 9 B. 2 m 3 

C. 2 m 6 D. 3 m 6 

2x 

Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y x m 2 cắt đồ thị hàm số y tại 

x 1 

hai điểm phân biệt A và B sao cho độ dài AB ngắn nhất. 

A. m 3 

B. m = 3 C. m 1 

D. m = 1 

Câu 40: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích là V . Điểm M nằm trên cạnh AA’ sao cho AM = 2MA’. 

V ' 

Gọi V ' là thể tích của khối chóp M.BCC’B’. Tính tỉ số . 

V 

4

V ' 1 

A. B. C. D. 

V V ' 1 

3 

V V ' 3 

2 

V V ' 2 

4 

V 3 

Câu 41: Dãy số nào dưới đây là dãy số bị chặn? 

n 

2 

n 

1 

A. un 

B. un 

n 1 

C. un 

2 1 

D. un 

n 

n 1 

n 

 

Câu 42: Tìm mô đun của số phức z biết 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i 

. 

1 

2 

2 

1 

A. B. C. D. 

9 

3 

9 

3 

Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có 

ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: 

a 3 

SA 

2 

, các cạnh còn lại cùng bằng a. Bán kính R của mặt cầu 

a 13 

a 

a 13 

a 13 

A. R 

B. R 

C. R 

D. R 

2 

3 

3 

6 

 

Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A 2;1;0 , B 3;0;2 , C 4;3; 4 

. 

Viết phương trình đường phân giác trong góc A. 

x 

2 

x 

2 

x 

2 t 

 

 

 

A. y 

1 t B. y 

1 

C. y 

1 

D. 

 

z 

0 

 

z 

t 

 

z 

0 

Câu 45: Cho tích phân 

 

1 

5 

x 2 

dx a b ln 2 c ln 3 

x 1 

x 

2 t 

 

y 

1 

 

z 

t 

với a, b, c là các số nguyên. Tính P = abc. 

A. P 36 

B. P = 0 C. P 18 

D. P = 18 

Câu 46: Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm ? 

 

m 

e e 2 x 1 x 1 x 1 

x 

3m 

2 2 

. 

A. 2 B. 0 C. vô số D. 1 


 

 

3 2 

f x m 1 x 5x m 3 x 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham 

 

số m để hàm số y f x có đúng 3 điểm cực trị ? 

A. 1. B. 4. C. 5. D. 3. 


2 2 

Câu 48: Cho số phức z có z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z z z z 1 

. 

13 

A. B. 3 C. 3 

D. 

4 

Câu 49: Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, có AB là đoạn vuông góc chung 

của hai đường thẳng đó và AB = a. Hai điểm M và N lần lượt di động trên Ax và By sao cho MN = b. Xác 

định độ dài đoạn thẳng AM theo a và b sao cho thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất. 

2 2 

2 2 

2 2 

b a 

b a 

b a 

A. AM B. AM 

C. AM 

D. AM 

3 

2 

2 

11 

4 

b 

a 

3 

2 2 

5

Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm 

A 

1;2; 3 , B 2; 2;1 


: 2x 2y z 9 0 . Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng 

sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới 

một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng MB khi MB đạt giá trị lớn nhất. 

x 

2 

t x 

2 2t 

x 

2 

t 

 

 

 

A. y 

2 2t 

B. y 

2 t 

C. y 

2 D. 

 

z 

1 2t 

 

z 

1 2t 

 

z 

1 2t 

x 

2 

t 

 

y 

2 t 

 

z 

1 

----------- HẾT ---------- 


6

STT 

Chuyên 

đề 

Đơn vị kiến thức 

MA TRẬN 

Nhận 

biết 

Cấp độ câu hỏi 

Thông 

hiểu 

Vận 

dụng 

Vận 

dụng 

cao 

1 Đồ thị, BBT 0 

2 Cực trị 

C7 

C13 

Tổng 

C47 3 

3 Đơn điệu C27 C31 2 

Hàm số 

4 Tương giao C39 C46 2 

5 Min - max C28 1 

6 Tiệm cận C2 1 

7 

Bài toán thực tế 0 

8 Hàm số mũ - logarit C15 C12 2 

9 

10 

11 

Mũ - 

logarit 

Biểu thức mũ - 

logarit 

Phương trình, bất 

phương trình mũ - 

logarit 

C20 

C30 C36 

C38 

Bài toán thực tế 0 

12 Nguyên hàm C1 1 

13 Nguyên Tích phân C29 C45 2 

hàm – 

C8 

14 

Tích phân 

Ứng dụng tích phân 

C35 3 

C19 

15 

Bài toán thực tế C32 1 

16 Dạng hình học C4 C23 2 

17 Số phức Dạng đại số C11 C33 C42 C48 4 

18 

19 Đường thẳng 

Hình Oxyz 

20 


PT phức C24 1 

C5 

C10 

C26 

0 

4 

C44 4 

Mặt phẳng- Mặt cầu C3 C21 C37 C50 4 

21 Mặt cầu 0 

22 Bài toán tọa độ C14 1 

7

23 

24 

25 

HHKG 

điểm, vecto, đa điện 

Bài toán về min, 

max 

Thể tích, tỉ số thể 

tích 

C49 1 

C17 C18 C40 3 

Khoảng cách, góc C16 1 

26 Khối nón 0 

27 Khối tròn Khối trụ C22 1 

xoay 

Mặt cầu ngoại tiếp 

28 

C43 1 

khối đa diện 

29 Tổ hợp – chỉnh hợp 0 

30 

Tổ hợp – 

xác suất 

Xác suất C25 1 

31 

Nhị thức Newton 0 

32 

CSC - 

CSN 

Xác định thành phần 

CSC - CSN 

33 PT - BPT Dạng vô tỉ C8 1 

34 Giới hạn C41 1 

Giới hạn 35– Hàm số Hàm số liên tục 0 

liên tuc 36 – Đạo hàm Tiếp tuyến 0 

37 

38 

PP tọa độ 

trong mặt 

phẳng 

Đạo hàm 0 

PT đường thẳngđường 

tròn 

0 

C34 1 

39 Lượng PT lượng giác C6 1 

40 giác BĐT Lượng giác 0 


8

NHẬN XÉT ĐỀ 

Mức độ đề thi: KHÁ 

Đề thi gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan. 

Kiến thức tập trung trong chương trình lớp 12, câu hỏi lớp 11 chiếm 8%, câu hỏi thuộc kiến thức 

lớp 10 chiêm 2%. 

Cấu trúc bám sát theo đề thi thử. 

22 câu hỏi VD-VDC phân loại học sinh. 5 câu VDC. 

Chủ yếu các câu hỏi ở mức thông hiểu, vận dụng. 

Đề thi phân loại học sinh ở mức Khá.. 


9


1.A 2.A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.D 8.B 9.B 10.C 

11.B 12.A 13.D 14.B 15.D 16.C 17.B 18.A 19.A 20.D 

21.B 22.C 23.D 24.A 25.B 26.D 27.C 28.C 29.B 30.C 

31.B 32.B 33.B 34.D 35.C 36.C 37.C 38.C 39.D 40.D 

41.A 42.B 43.D 44.C 45.A 46.B 47.B 48.B 49. 50. 

Câu 1 (NB): 


Dựa vào định nghĩa nguyên hàm cơ bản: Cho hàm số 

khoảng) chứa đoạn a; 

b 

F x 


là một nguyên hàm của 

2 

Ta có: 

Chọn A 

Câu 2 (TH): 

 

y f x 

f x 

trên K nếu F ' x f x, 

x K 

2 2 2 

x x x 

f x F ' x e ' x '. e 2 x. 

e 


+) Đường thẳng y = b được gọi là TCN của đồ thị hàm số lim 


Ta có: 

x 1 1 

lim 

x 

2 x 4 2 

x 1 

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y có phương trình là: 

2x 

4 

Chọn A. 

Câu 3 (NB): 


Trong không gian Oxyz phương trình 

2 2 2 

A B C D 

liên tục trên K (khoảng đoạn hoặc nửa 

y f x f x b 

2 2 2 

x y z Ax By Cz D 

x 

1 

y 

2 

2 2 2 0 

là phương trình mặt cầu khi: 

2 2 2 

0 . Khi đó mặt cầu có: tâm I A; B; 

C 

và bán kính R A B C D . 

 


Kiểm tra các phương trình đã cho có là phương trình mặt cầu trong các đáp án ta có: 

2 2 

2 2 2 

Đáp án A. A B C D 

1 2 0 1 6 0 

Đáp án B. Loại vì phương trình khuyết 

Đáp án C. Loại vì có đại lượng 2xy. 

2 

y 

2 2 

2 2 2 2 

Đáp án D. A B C D 

Chọn A. 

Câu 4 (TH): 


1 1 2 8 0 

10


 

Cho số phức z x yi x, y M x; 

y là điểm biểu diễn số phức z. 


Ta có: 

3 2i z 2 i 4 i 3 2i z 4 i 2 

i 

 

1 

5i 

1 

5i3 2i 

 

 

 

2 2 

3 2i z 4 i 4 4i 1 3 2i z 4 i 4 4i 

1 

3 2i z 1 5i z 1 

i 

2 2 

3 

2i 

3 2 

M 1;1 

Chọn C. 

Câu 5 (TH): 


 

ud 

. np 

 

Sử dụng công thức sin d; 

P 

trong đó ud 

, np 

lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng d và 

u . n 

VTPT của mặt phẳng P . 


Ta có: 

x 

1 

t 

 

d : y 2 2t 

 

z 3 t 

 

n 1; 1;0 

 

 

 

 

d 

p 

 

có 1 véc tơ chỉ phương là u 1;2;1 và P x y có véc tơ pháp tuyến là 

Khi đó : góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P là: 

 

ud 

. np 

1. 1 

1.2 0.1 

sin d; 

P 

 

2 2 2 

u . 

2 2 

d 

np 

1 1 0. 1 2 1 

Chọn A. 

Câu 6 (TH): 


 

3 3 

d; P 

60 

12 2 

0 

 

 

 

 

: 3 0 


x 

k2 

Giải phương trình lượng giác cơ bản: sin x sin 

 

k 

 

. Tìm nghiệm trên ; 

x 

k2 


Ta có: 

11

sin x cos x sin x sin x 

2 

 

 

x x k2 

 

2 

 

 

x x k2 

vo nghiem 

2 

 

 

2x k2 

x k 

k 

 

2 4 

3 

Trên ; phương trình có 2 nghiệm x ; x . 

4 4 

Câu 7 (NB): 


Số điểm cực trị của hàm số là số điểm mà qua đó f 


x 

0 

2 4 

f ' x x x 1 x 2 

0 

 

 

x 1 

 

x 2 

 

' x 

đổi dấu. 

Tuy nhiên x 1, x 2 là các nghiệm bội chẵn của phương trình ' 0 nên hàm số y f x chỉ có 

f x 

 

1 điểm cực trị là x = 0 . 

Chọn D. 

Câu 8: 


Giải bất phương trình căn dạng 


A 

0 

 

A B B 

0 

 

A 

B 

x 

2 

x 

2 0 

 

2 2 

x 

5 

x 3x 10 x 2 x 3x 

10 0 

2 

2 

2 x 

 

 

x 3x 10 x 

2 

2 

x 3x 10 x 

2 

x 

5 x 

5 

 

5 x 14 x 5;14 

2 2 

x 3x 10 x 4x 

4 x 

14 

a 5; b 14 A a b 5 14 19 

Chọn B 

Câu 9 (TH): 


2 


 

2 

12

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số 

 

 

quanh trục Ox là V f 2 x g 2 x dx . 


 

b 

a 

Xét phương trình hoành độ giao điểm tan x 0 x k . 

 

Xét trên 0; x 0 . 

4 

 

4 2 

Khi đó tan 1 

V xdx 

. 

0 

 

4 

Chọn B. 

Câu 10 (TH): 


 

Giả sử d1; 

d2 

có 1 VTCP là u1, 

u2 

. 

 

+) Nếu u1; u 

2 

0 d1 / / d2 

hoặc d1 d2 

. 

+) Lấy M d 1 

. Kiểm tra xem M có thuộc d2 

hay không? 


x 1 y z 2 

 

Ta có: d1 

: có 1 véc tơ chỉ phương là: u1 2;1; 2 

2 1 2 

x 2 y 1 

z 

 

d2 

: có 1 véc tơ chỉ phương là: u2 2; 1;2 

2 1 2 

 

Ta có: u1 u2 

1 

2 0 1 

Lấy M 1;0; 2 d1 

. Ta có M d2 

. 

2 1 

Vậy 

d1; 

d2 

Chọn C 

Câu 11 (NB): 


là hai đường thẳng song song 

Sử dụng các công thức cộng trừ số phức, xác định số phức w . 


Ta có: 

z 1 2i z 1 

2i 

Re w 3 

w 2. z z 2 4i 1 2i 3 2i 

 

Im w 2 

Tổng phần thực và phần ảo của w 2z z là: 3 + 2 = 5 

Chọn B. 

Câu 12 (NB): 


, , , 

y f x y g x x a x b a b 


 

khi xoay 

13

+) Hàm số y log x 0 a 1 có TXĐ là D 0; và có TGT là . 

+) Đồ thị hàm số nhận Oy làm TCĐ. 

a 

+) Hàm số đồng biến khi a 1 

và nghịch biến khi 0 a 1. 


Do 

0 a 1 Chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số y log a 

x 

Chọn A. 

Câu 13 (TH): 


+) Giải phương trình y ' 0 xác định các điểm cực trị của hàm số. 

x xA 

y yA 

+) Viết phương trình đường thẳng đi qua AB: . 

x x y y 

B A B A 

+) Dựa vào các đáp án xác định điểm thuộc đường thẳng AB. 


TXĐ: 

D . Ta có: y ' 3x 2 6x 9 3x 2 2x 

3 

 

 

x 1 y 6 A 1;6 

2 

y ' 0 x 2x 

3 0 

x 3 y 26 B 3; 26 

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là: 

x 1 y 6 x 1 y 6 

8x 8 y 6 8x y 2 0 

31 26 6 4 32 

Dựa vào các đáp án ta có N 1; 10 

AB . 

Chọn D. 

Câu 14 (NB): 


Ghi nhớ: Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng. 


 

 

Hình lập phương có 9 mặt phẳng đối xứng: 3 mặt phẳng đối xứng chia nó thành hai khối hộp chữ nhật, 6 

mặt phẳng đối xứng chia nó thành 2 khối lăng trụ tam giác. 

Chọn B. 

Câu 15 (NB): 


Cho hàm số 

y x 

 

Với n 

TXD : D . 

 

Với n 

TXD : D \ 0 . 

n 

. TXĐ của hàm số phụ thuộc vào n như sau: 

 

Với n 

TXD : D 0; 

 


Hàm số: y x 2 3x 

2 

 


 

 

14

2 x 

1 

Vì Hàm số xác định khi: x 3x 2 0 x 1 x 2 

0 

x 

2 

 

TXD : D ;1 2; 

Chọn D. 

Câu 16 (TH): 


Góc giữa đường thẳng a, b là góc giữa đường thẳng 


Gọi H là trung điểm của AD SH AD . 

 

SAD ABCD AD 

 

Ta có: SAD ABCD 

SH ABCD 

. 

 

SAD 

SH AD 

Ta có: ABCD là hình vuông 

 

AD / / BC BC, SA AD,SA 

SAD 

. 

a ', b ' với a / / a ', b / / b' 

0 

Lại SAD 

là tam giác đều BC, SA SAD 

60 . 

Chọn C. 

Câu 17 (TH): 


1 2 

Công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy R và chiều cao h: V R h . 

3 


Gọi bán kính đáy của vật N 1 và vật N 2 lần lượt là r , r . 



1 1 40 

r 

VN 

r h r 

1 

3 3 3 

 

2 

1 2 1 2 r2 

h 

VN 

r 

2 2 

h r2 

. h 

3 3 3 

2 

2 2 1 

1 1 

 

1 

.40 

1 2 

2 2 2 

40 

r1 r2 h 2 2 r2 

5 

VN 

8V 8. 5.r 

. 

1 N 

 

2 

1 

r2 h 

2 

3 3 r h 

Do cắt vật 

N 1 

1 

bằng một mặt cắt song song với mặt đáy nên theo định lý Ta-lét ta có: 

2 

r2 

h 5 h 3 2 

h 5.40 8000 h 20cm 

. 

r 40 h 40 

1 


Chọn B. 

Câu 18 (TH): 


1 

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh . 

3 

15


Ta có: 

ABCD SBC BC 

AB 

BC 

Lại có: BC SAB 

BC SB . 

SA 

BC 

BC 

SB 

 

BC 

AB 

0 

SBC, ABCD SB, AB SBA 60 

0 

Xét SAB ta có: SA AB.tan 60 a 3 . 

1 1 

VSABCD 

SA. AB. AD a 3. a. a 3 a 

3 3 

Chọn A. 

Câu 19 (TH): 



b 

 

 

hàm số y f x , y g x là: S f x g x dx . 


Ta có: 

2 2 x 

0 

x 2x x 2x 

0 

x 

2 

 

a 

3 

. 

. 

x a, 

x b a b 

3 2 

3 

2 2 

2 2 2 x 2 2 4 

S x 2x dx 2x x dx x 2 

0 

0 

3 3 3 

0 

Chọn A. 

Câu 20 (TH): 


Giải phương trình mũ để tìm nghiệm của phương sau đó tính biểu thức đề bài yêu cầu. 


2 2 2 2 

2 

x x x x1 

x x x x 

 

4 2 3 2 2.2 3 0 

 

2 

 

x x 

 

2 

x 

 

2 1 0 

 

x x 0 x 

2 

x 1 

0 x1 x2 

0 1 1 

x x 

 

2 3ktm 

x 

1 

 

Chọn D. 

Câu 21 (VD): 


P 

S 

; 

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu có tâm I và bán kính 

 

 

R d I P R 

 

 


Mặt phẳng P có VTCP là n P 

, song song với đường thẳng d1, 

d2 

có VTCP lần lợt là 

 

u1, u2 n 

P 

u1, 

u 2 

. 


S 


Ta có: có tâm I 1;0; 2 


16

1 

 

 

có VTCP là: u1 3; 1; 1 , d2 

có VTCP là: u2 1;1; 1 

. 

d 

 

 

P d 

1 

Ta có: nP 

u1, u 

2 

2;2;4 21;1;2 

. 

P 

d 

 

2 

 

Khi đó ta có phương trình P có dạng: x y 2z d 0 . 

Mặt phẳng 

 

 

 

 

 

 

P 

tiếp xúc với mặt cầu S d I; 

P 

R 

 

 

1 0 2. 2 d 3 d 6 d 

9 

6 3 d 6 

2 2 2 

 

1 1 2 

3 d 6 

 

d 

3 

P1 

: x y 2z 

9 0 

 

P2 

: x y 2z 

3 0 

Chọn B. 

Câu 22 (TH): 


Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h: S 2 

rh 


Ta có: 

2 2 25 5 2 

Sxq 

2 rh 50 4 

r r r 

2 2 

Chọn C. 

Câu 23 (VD): 


Cho số phức 

Modun của số phức 


, ; 

z x yi x y M x y 

z x yi : z x y 

Gọi số phức z x yi x, 

y 

2 2 

1 1 

 

1 

z i i z x yi i i x yi 

x y i x y y x i 

1 

2 

2 2 2 

x y x y y x 

 

x y 2y 1 x 2xy y y 2xy x 

2 2 2 2 2 2 

2 2 

x y y 

2 1 0 

 

 

là điểm biểu diễn số phức z 

Vậy tập hợp biểu diễn số phức z thỏa mãn bài cho là đường tròn có phương trình 

tâm 

 

 

I 0; 1 

và bán kính R 2 

Chọn D. 

Câu 24 (TH): 



xq 

2 2 

x y y 

2 1 0 

có 

17

+) Giải phương trình bậc hai trong tập số phức bằng công thức nghiệm hoặc bấm máy tính sau đó tính giá 

trị biểu thức đề bài yêu cầu. 

+) Modun của số phức 


z 

2 

z 

1 

2i 

2z 

5 0 

z 

1 2i 

z x yi : z x y 

2 2 2 

2 

1 2 

P z z 1 2 1 2 10 

Chọn A. 

Câu 25 (TH): 


 

 

2 2 

A 

Công thức tính xác suất của biến cố A là: P A 


Số cách chọn các bạn đi lao động là: 

n 

 

2 2 

8 8 

n 

n 

C . C 784 

cách chọn. 

Gọi biến cố A: “Chọn mỗi tổ 2 bạn đi lao động, trong đó có đúng 3 bạn nữ”. 

Khi đó ta có các TH sau: 

2 1 1 

+) Tổ 1 có 2 bạn nữ, tổ 2 có 1 bạn nữ và 1 bạn nam có: C . C . C 48 cách chọn. 

3 4 4 

1 1 2 

+) Tổ 1 có 1 bạn nữ và 1 bạn nam, tổ 2 có 2 bạn nữ có: C . C . C 90 cách chọn. 

48 90 138 

n A 

Vậy P A 

Chọn B. 

Câu 26 (VD): 


n A 

n 

138 69 

 

784 392 

5 3 4 

 

 

Phương trình đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng đi qua điểm có tọa độ 

 

thỏa mãn phương trình hai mặt phẳng trên và có VTCP u u 

; u 


 

Ta có: n 

1;3; 1 , n 

2; 1;1 

 

 

ud 

n 

 

d 

ud 

n 

; n 

 

2; 3; 7 / / 2;3;7 

ud 

n 

 

 

 

A 

x y z 

 

+) Tìm tọa độ điểm ; ; thuộc hai mặt phẳng , : 

Chọn 

A 

 

y 

 

0 x ;z 

0 0 0 

2;0;3 

 

 


 

0 0 0 

là nghiệm của hệ phương trình: 


x 2 y z 3 

d : 

2 3 7 

x0 z0 1 0 x0 

2 

 

 

2x0 z0 7 0 z0 

3 

18

Chọn D. 

Câu 27 (VD): 


Dựa vào đồ thị hàm số, nhận xét tính chất và xét dấu của hàm 

 

hàm số y f x . 


y f ' x 

f x 

 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: ' 0 với x 

; 1 3; . 

 

 

Hàm số y f x đồng biến trên ; 1 và 3; . 

Chọn C. 

Câu 28 (TH): 


 




i i 

i 

i 


b . Khi đó: 


 

 

a; b 

a; 

b 


b . 


 

 

TXĐ: D R \ 1 

. 

Ta có: 

y ' 

2 2 

2 2 1 

2 2 2 

 

x 1 x 

1 

x x x x x x 

x 

2 2 

1 

x 

0 

 

;2 

2 

2 

 

y ' 0 x 2x 

0 

1 

x 

2 

 

;2 

2 

 

 

 

Ta có: 1 

y 5 ; y 0 

2; y 2 

 

10 . 

2 2 3 

Vậy 

10 

max y khi x 2 

3 

1 

 

;2 

2 

 

Chọn C. 

Câu 29 (TH): 


Sử dụng phương pháp đổi biến để làm bài. 


Đặt 2x t dt 2dx 

. 

x 0 3 

i 


từ đó suy ra tính đơn điệu của 

 

 

19

Đổi cận: 

t 0 6 

3 6 6 

Ta có: 

Chọn B. 

Câu 30 (VD): 


 

f 2x dx 2 f t dt 2 f x dx 20 

0 0 0 

Đưa bất phương trình về dạng tích sau đó giải bất phương trình mũ cơ bản: 


x x1 

x x x x 

6 4 2 2.3 6 2.2 2.3 4 0 

 

 

x x x x x 

2 3 2 2 3 2 0 3 2 2 2 0 

x 

 

3 2 0 x 

log3 

2 

 

x 

 

2 2 0 x 

1 

 

 

log3 

2 x 1 

x 

3 2 0 

 

 

x 

log3 

2 

 

 

x 

2 2 0 

x 

1 

 

Mà x 

x 1. 

Chọn C. 

Câu 31 (VD): 


 

 

Hàm số y f x đồng biến trên 2; f ' x 0 x 

2; . 


Ta có: y ' 6x 2 62m 1 x 6mm 

1 

 

y x m x m m 

2 2 

' 0 2 1 0. * 

Ta có: 

2 2 2 2 

2m 1 4 m m 4m 4m 1 4m 4m 

1 0 

* 

 

 

luôn có hai nghiệm phân biệt x ; x x x với mọi m. 

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 

1 2 1 2 

x1 x2 

2m 

1 

 

2 

x1x2 

m m 

Hàm số đồng biến trên 2; y ' 0 x 2; 

 

a 

x 

a 

1 

 

x b 

b 

a 

0 a 1 

 

x b 


20

2; x ; x x 2 

2 1 2 

 

x1 x2 4 

x1 x2 

4 

 

 

 

x1 2 x2 2 0 

x1x2 2x1 x2 

4 0 

3 

3 

m 

2m 

1 4 

 

 

 

m 

 

 

2 

2 

m 1 

2 

 

m m 22m 

1 

4 0 

m 1 

2 

 

m 3m 

2 0 

 

 

 

m 

2 

Lại có: 

m 

 

 

m 

 

m 

 

 

1000;1000 m1000;1 

Vậy có tất cả 1001 giá trị m thỏa mãn bài toán. 

Chọn B. 

Câu 32 (VD): 


 

 

Ta có: s t v t dt . 


Khi ô tô dừng hẳn thì ta có: 

 

v t 0 10t 20 0 t 2 s 

Cho đến khi dừng hẳn, người đó đi thêm được quãng đường là: 

 

2 

10 20 5 20 20 40 20 

2 2 

S v t dt t t t m 

0 0 

2 

0 

Chọn B. 

Câu 33 (VD): 


Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, 

F1 

và F2 

là 2 điểm biểu diễn số phức z1 i 5, z2 

i 

5 . Xác định 

đường biểu diễn điểm M. 


Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , F 1 và F 2 là 2 điểm biểu diễn số phức z i 5, z i 

5 . 

1 2 

Theo bài ra ta có: MF MF M thuộc Elip E nhận F 1 và F 2 là 2 tiêu điểm. 

 

1 2 

6 

Lại có z 5 OM 5, M thuộc E Có 4 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

 

Chọn B. 

Câu 34 (VD): 


 

+) ABCD là hình bình hành AB / / CD CD nhận AB làm VTCP. 

 

 

+) Đường tròn T cắt đường thẳng tại hai điểm C, D; H là trung điểm của 

. 

CD IH CD; TH d I; 

 



21

T 

Đường tròn có tâm I 1; 2 


 

2 

AB 3; 1 AB 3 1 10 . 

 

ABCD là hình bình hành AB / / CD CD nhận AB làm VTCP 

CD nhận vecto 1;3 

làm VTPT 

DC : x 3y c 0 . 

Phương trình đường thẳng d đi qua 

 

3 x 1 y 2 0 3x y 1 0 . 

Ta có: ; 

 

 

I 1; 2 

2 2 

2 CD 2 AB 

d I CD R R 

2 4 

 

 

1 3. 2 c 10 

5 5 c 5 

2 

1 

3 

4 

5 c 5 c 10 CD : x 3y 

10 0 

 

5 c 5 

 

c 0 

 

CD : x 3y 

0 

Chọn D. 

Câu 35 (TH): 


Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm hợp. 


Ta có: 

Chọn C. 

 

 

 

 

và vuông góc với AB là: 

1 

1 

f x 

1 

f x f x f 1 f 0 5 5 

 

0 0 

 

I f ' x e dx e d f x e e e e e 0 

Câu 36 (VD): 


log 

a 

a 

1 

x loga 

y 

x 

y 0 


0 


22

log 7x 7 log mx 4x m 7x 7 mx 4x m 0x 

 

2 2 2 2 

2 2 

m 

0 

 

2 

' 4 m 0 

 

2 

m 7 

x 4x m 7 0x 

 

m 

0 m 

0 

m 

0 

 

m 2 m 2 

m 2 

 

 

 

 

 

m 2 

 

 

m 2 

m 2 

 

 

 

m2;5 

m 7 m 7 

m 7 0 

 

2 m 

7 2 m 

9 

 

4 m 

7 

0 

m 7 2 

 

 

 

m 

5 

Chọn C. 

Câu 37 (VD): 


0 

Với 90 thì cos là hàm nghịch biến. 

 

nP. 

nQ 

Sử dụng công thức tính góc giữa 2 mặt phẳng P, 

Q 

là: cos P; 

Q 

. 

n n 


 

 

Gọi nP, 

nQ 

lần lượt là các VTPT của P 

và Q 

ta có nP 

1;2; 2 ; nQ 

1;m;m 1 

. 

 

nP. nQ 

1 2m 2m 

2 1 

Khi đó ta có cos P; 

Q 

 

n 

2 

P 

nQ 

3 1 m m 1 

2m 2m 

2 

Ta có 

 

2 2 

2 2 2 1 1 1 1 3 3 

2m 2m 2 2 m m 2 2 m 2.m. 2 2 m 

2 4 4 2 2 2 

1 2 

1 

cos P; 

Q 

. Dấu “=” xảy ra m . 

3 3 

2 

2 

1 1 1 

P; 

Q 

nhỏ nhất m Q 

: x y z 2019 0 

2 2 2 

Khi đó Q 

đi qua điểm M 2019;1;1 

 

Chọn C. 

Câu 38 (VD): 


Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ t log2 

x 


2 2 

log x log x 3 m . (ĐK: x 0 ) 

2 2 

log x 2log x 3 0 Do x 0 

2 

2 2 


 

 

2 

P 

Q 

23

Đặt t 

x 1;8 t 0;3 

log 2 

x . Khi 

Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình t 2 2t 3 m có nghiệm t 0;3 . 

0 1 

3 

 

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 



BBT: 

t 

2 

 

f t t 2t 

3 ta có 

f ' t 2t 2 0 t 1 

f 't 

0 + + 

f t 

3 

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm t 0;3 m 

2;6 . 

Chọn C. 

2 

6 

 

 

2 

f t t 2t 

3 

Chú ý: Nhiều HS sau khi lập BBT sẽ kết luận nhầm m 3;6 và chọn đáp án D. 

Câu 39 (VD): 


+) Xét phương trình hoành độ giao điểm (*). 

+) Tìm điều kiện để (*) có hai nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Vi-ét. 

+) Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng AB x x y y 


2x 

Xét phương trình hoành độ giao điểm: x m 2 x 1 

. 

x 1 

 

 

2 2 

B A B A 

2 2 2 1 2 0 * 

 

2 2 

x x m x m x g x x m x m 

 

 

Để đường thẳng d cắt C tại 2 điểm phân biệt pt * có 2 nghiệm phân biệt khác 1. 

 

 

2 2 

0 m 1 4 m 2 0 m 6m 9 0 

m 3 2 

0 

 

m 3 

g 1 

0 

1 m 1 m 2 0 1 m 1 m 2 0 

2 0m 

 

Gọi 

Ta có: 

x , x 

A 

B 

 

là 2 nghiệm phân biệt của (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: 

2 2 

2 

2 2 2 2 

AB xB xA yB yA xB xA xB m xA 

m 

Ta có: 

2 2 2 

x x x x x x m m 

 

2 

B 

 

A 

2 

A 

 

B 

4 

A B 

2 1 4 2 

 

2 2 

m m m m m m 

 

2 2 1 4 8 2 2 9 2 1 16 16 

AB 

2 


16 AB 4 . Dấu “=” xảy ra m 1 

tm 

2 

 

 

 

xA 

xB 

m 1 

 

xAxB 

m 2 

và đường thẳng y = m 

24

Vậy m = 1. 

Chọn D. 

Câu 40 (TH): 


Nhận xét V V . 


M . BCC ' B' A.BCC'B' 

Ta có: AA'/ / BCC ' B ' d M ; BCC 'B' d A; BCC ' B ' 

2V 2 V V ' 2 

VM . BCC ' B' VA 

.BCC'B' 

V ' 

3 3 V 3 

Chọn D. 

Câu 41 (VD): 


 

 

* 

Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u M n 

. 

 

u n 

 

* 

Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u m n 

. 

Dãy số 

 

u n 

u n 


Xét đáp án A ta có: 

Với 

 

được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. 

* n n 11 1 

n : un 

1 

n 1 n 1 n 1 

1 1 

Do n 0 n 1 1 1 1 0 . 

n 1 n 1 

 

Lại có 

Do đó 

Vậy dãy số 

Chọn A. 

1 1 

0 1 1 

n 1 n 1 

 

0 u 1 

n 

 

n 

u 

n 

Câu 42 (VD): 


n 

 

n 1 

* 

là dãy số bị chặn. 

+) Đặt z a bi z a bi . Dựa vào giả thiết tìm a, b. 

+) Tính môđun số phức 


Đặt z a bi z a bi 



z : z a b 

2 2 

n 

n 

25

2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i 

 

2a 2bi 1 1 i a bi 1 1 i 2 2i 

2a 2bi 1 2ai 2b i a bi 1 ai b i 2 2i 

 

3a 3b a b 2 i 2 2i 

1 

a 

3a 

3b 

2 3 1 1 1 1 2 

 

z i z 

a 

b 2 2 1 3 3 9 9 3 

b 

3 

Chọn B. 

Câu 43 (VD): 


Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có các cạnh bên bằng nhau là 

R 

canh ben 2 


2h 

trong đó h là chiều cao của chóp. 

Ta có CA CB CS a Hình chiếu của C trên SAB trùng với 

 

tâm đường tròn ngoại tiếp SAB . 

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB SO SAB . 

Gọi H là trung điểm của SA. Tam giác SAB cân tại 

B BH SA O BH . 

Ta có: 

2 

2 

a 2 3 13 1 1 13 3 39 

 

a SAB 

. . a . 

a a 

 

BH a 

4 

S BH SA 

4 2 2 4 2 16 

. 

a 3 

a. a. 

AB. SB. SA 

2 

Gọi R là bán kính ngoại tiếp 2 a 

SAB R OA . 

2 

4S 

ABC a 39 13 

4. 

16 

2 

2 2 2 4a 

3 

 

SO SA OA a 

 

 

13 13 

2 

2 

canh ben a a 

13 

Rcau 

 

2h 

3a 

2. 

6 

13 

Chọn D. 

Câu 44 (VD): 


a 

 


+) Giả sử đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D. 

 

26

DB AB 

+) Dựa vào tính chất đường phân giác . Xác định tọa độ điểm D. 

DC AC 

+) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, D đã biết. 


Giả sử đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D. 

Ta có 

 

BC 1;3; 6 

 

 

D BC D 3 t;3 t;2 6 t . 

 

, phương trình BC là: 

AB 11 4 6; AC 4 4 16 2 6 

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: 

 

x 

3 

t 

 

y 

3t 

 

z 

2 6t 

DB AB 6 1 

 

2DB DC 2DB DC 

DC AC 2 6 2 

 

 

DB t; 3 t;6 t ; DC 1 t;3 3t; 6 6 t 

Ta có: 

2t 

t 1 

1 10 

 

6t 3 3 t t D ;1;0 

3 3 

12t 

6 6t 

Ta có: 

 

AD 4 

;0;0 / / 1;0;0 

3 

 

. Vậy phương trình đường thẳng 

x 

2 t 

 

AD : y 

1 

 

z 

0 

Chọn C. 

Câu 45 (VD): 


x 2 

+) Xét dấu biểu thức để phá trị tuyệt đối. 

x 1 

x 2 3 

+) Phân tích biểu thức 1 . Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng để tính tích phân. 

x 1 x 1 


Ta có: 


27

x 2 x 2 x 2 

dx dx dx 

x 1 x 1 x 1 

5 2 5 

 

1 1 2 

2 3 5 3 

 

1 dx 1 dx 

1 

 

x 1 

2 

 

 

 

x 1 

2 5 

x 3ln x 1 x 3ln x 1 

 

1 2 

2 3ln 3 1 3ln 2 5 3ln 6 2 3ln 3 

 

1 3ln 3 3ln 2 3 3ln 6 3ln 3 

9 3 

2 3ln 2 3ln 2 3ln 3 

6ln 2 

12 4 

a 

2 

 

b 6 

P abc 36 

 

c 

3 

Chọn A. 

Chú ý: Bắt buộc phải phá trị tuyệt đối trước khi tính tích phân. 



+) Đặt x 1 x 2 t , tìm khoảng giá trị của t. 

 

+) Đưa bài toán về dạng m f t . Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. 


2 

ĐKXD: 1 x 0 1 x 1. 

Đặt 

2 

x 1 x t 

t 

ta có t x 1 x 2x 1 x 1 2x 1 x x 1 x 

2 

2 

Ta có: t x x x x t x 

2 

2 2 2 2 2 2 1 

2 

x 1 

x x 

1 , 1;1 ' 1 0 

2 2 

1 

x 1 

x 

2 

x 

0 2 

1 x x x 

2 2 

1 

x x 2 

BBT: 

x 

1 

2 

2 

t ' x 

+ 0 

t x 


2 

 

1 

1 

1 

Từ BBT ta có: t 1; 2 

 

 

. 

28

2 

m m t 

1 

 

2 

3 2 3 

Khi đó phưng trình trở thành: e e 2t 1 t t 1 t t * 

 

 

3 

 

 

 

2 

Xét hàm số f t t t ta có f ' t 3t 1 0 t 

Hàm số đồng biến trên Hàm số đồng biến 

 

 

trên 1; 2 . 

m 

m 

1 

Từ * f e f t e t m ln t m 0;ln 2 0; ln 2 . 

2 

 

Lại có m m 

Chọn B. 



Xét 2 trường hợp: 

TH1: m = 1, thay trực tiếp vào hàm số, lập BBT và xác định số điểm cực trị của hàm số y f x . 

TH2: m 1. Để hàm số y f x có 3 điểm cực trị thì hàm số y f x có 2 điểm cực trị trái dấu. 


TXĐ: D . 

 

 

2 

TH1: m = 1. Khi đó hàm số trở thành: f x 5x 4x 

3 . 

2 

Ta có f ' x 

10x 4 0 x . 

5 

BBT: 

x 

' 

0 

2 

5 

 

f x + 0 

f 

x 

 

Từ đó ta suy ra BBT của hàm số 

x 

 

y f x 

2 

 

5 

 

như sau: 

19/5 

0 2 

5 

f ' x 

0 

f 

 

x 

 


19/5 

 

 

 

 

 

 

 

Hàm số có 3 điểm cực trị, do đó m = 1 thỏa mãn. 

TH2: m 1. 

29

Để hàm số y f x có 3 điểm cực trị thì hàm số y f x có 2 điểm cực trị trái dấu. 

 

2 

Ta có: f ' x f x 3 m 1 x 10x m 3 0 . 

Để hàm số có 2 cực trị trái dấu 

 

 

f 

x 0 

ac 0 3 m 1 m 3 0 3 m 1. 

Do m 

m 2; 1;0 

. 

 

Kết hợp các trường hợp ta có m 2; 1;0;1 

. 

Chọn B. 



+) Đặt z a bi a 2 b 

2 1. 

 

 

 

 

có 2 nghiệm trái dấu 

+) Biểu diễn P f a , sử dụng MTCT tìm GTLN của P . 


Đặt 

z a bi 


. Ta có 

2 2 

P z z z z 

1 

P z z z z 

2 

1 1 

P z z z 

2 

1 1 

P a bi a abi b a bi 

 

2 2 2 2 2 2 

z a b a b b a a 

1 1 1 0 1 1 

2 2 

1 2 1 

2 2 2 

2 

1 1 2 

 

2 2 

P a b a b a ab b 

 

2 2 2 2 

2 

2 

2 

P a 2a 1 b a b a 1 b 2a 

1 

2 2 

 

2 

2 2 4 4 1 

 

2 2 

P 2 2a 2a a 1 a 2a 

1 

P a a a 

P 2 2a 2a 1 1 a 1 

Sử dụng MTCT ta tìm được Pmax 3, 25. 

Chọn A. 

 


30






 

2 

f (2 x) dx x x C. 


1 

A. 2 

2 

f ( x) dx ( x x) 

C 

B. f ( x) dx 4x 2x C 

2 

 

1 2 1 

1 2 

C. f ( x) 

dx x x C 

D. ( ) . 

4 2 

f x dx x x C 

2 

Câu 2. Phần thực và phần ảo của số phức z 3 

4i 


A.3; 4i B. 3i; 4 C. 3; 4 D. 4; 3 

Câu 3. Cho hai số thực dương a và b tùy ý. Giá trị của 

10 

log( ab ) 

bằng 

A. 10 log( ab) 

B. 10log( ab) 

C. 10log a logb 

D. log a 10logb 

Câu 4. Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB. AD. AA' 12 

bằng 

A. 12 B. 2 C. 4. D. 6. 



x 

-1 2 

y ' 

+ 0 - 0 + 

y 4 2 

2 -5 


A. max y 2 B. min y 2 C. max y 4 D. max y 5. 

R 

R 

2 2 2 

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S) : x y z 2x 4y 

4 0. Thể tích của khối cầu 

(S) bằng 

A. 36 B. 9 C. 32 D. 16 

Câu 7. Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y f ( x). 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng? 


R 

R 

 

1

1 

A.(2;3) B. ;1 C. (1;0) D. (0;2) 

2 


4 2 

y ax bx c 

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Hàm số đã cho có ba điểm cực tiểu. 

B. Hàm số đã cho có ba điểm cực đại. 

C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. 

D. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại. 

3 2 

Câu 9. Đồ thị của hàm số y x 2x 

2 

2 

và đồ thị của hàm số y x 2 có tất cả bao nhiêu điểm 

chung? 

A.3 B. 1 C. 0 D. 2. 

Câu 10. Thể tích của khối nón có đường sinh bằng 5 và diện tích đáy bằng 9π là 

A. V 12 

B. V = 24 C. V = 36 D. V = 45 

Câu 11. Tìm nghiệm của phương trình 


x1 2x1 

4 2 5 0. 

10 

10 

10 

A. x log4 

B. x ln C. x 4 9 

D. 

9 

9 

Câu 12. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ bên 

10 

x 

9 

2

x 

-1 1 

y ' 

+ 0 - 0 + 

y 1 

 

 

3 2 

A. y x 3x 3x 

1 

B. 

3 2 

C. y x 3x 3x 

1 

D. 

-3 

3 

y x x 

3 1 

3 

y x x 

3 1. 

Câu 13. Trong không gian cho khối cầu (S) có tâm I, bán kính R = 5. Điểm A nằm trong mặt cầu (S) khi 

và chỉ khi 

A. IA = 5 B. IA > 5 C. IA < 5 D. IA 5 

Câu 14. Trong không gian Oxyzm cho ba điểm A(-1;2;3), B(-2;1;3), C(-3;0;3). Tọa độ trọng tâm tam 

giác ABC là 

A.M(-6;3;3) B. N(-2;1;1) C. P(6;6;3) D. Q(2;2;1) 

2 2 


có đạo hàm f '( x) ( x x) ( x 2), x. 

Hàm số đã cho nghịch biến trên 


A. ( 2; ) B. ( ; 2) 

C. (-2;1) D. (0;1) 

 

Câu 16. Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm M(1;2;-3) và nhận vectơ u( 1;2;1) 

làm một 

vectơ chỉ phương có phương trình là 

x 1 y 2 z 1 

A. B. 

x 1 y 2 z 3 

 

1 2 3 

1 2 1 

C. x 1 y 2 z 3 

 

D. 

x 1 y 2 z 3 

 

1 2 1 

1 2 1 

x 

Câu 17. Đạo hàm của hàm số y log ( e 1) 

là 

2 

x 

x 

x 

e 

2 

2 ln 2 

A. y ' 

B. y ' 

C. y ' 

D. 

x 

x 

x 

e 1 ln 2 (2 1)ln 2 2 1 

 

 

Câu 18. Số phức nào dưới đây thỏa mãn (2 i) z (3 i) z 9 2 i ? 

x 

e 

y ' 

e 

A. z 1 2i 

B. z 2 i C. z 1 2i 

D. z 2 i 

Câu 19. Có bao nhiêu cách phát 10 món quà khác nhau cho 10 học sinh, mỗi học sinh nhận một món 

quà 

10 

A. 10 

B. 10! C. 1. D. 10. 

Câu 20. Cấp số cộng (u n ) có u 1 = -1, u 10 = 21. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 

A. 200 B. 110 C. 220 D. 100 

2 

Câu 21. Gọi z 1 , z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2z 

4 0. Giá trị của z1 2z2 

bằng 

A. 2 3 B. 6 C. 3 2 D. 3 3 

Câu 22. Cho log 3 a, 

giá trị của log 16 bằng 

2 

 

27 

x 

ln 2 

1 


3

3a 4 

4a 

A. B. C. 12a D. 

4 

3a 

3 

Câu 23. Tập tập nghiệm của bất phương trình log ( x 2) 2 

có chứa bao nhiêu số nguyên 

A. Vô số B. 5 C. 4 D. 6 


liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ 

1 

2 

Tích phân 

6 

 

3 

f ( x) 

dx 

bằng 

A. 12 B. -15 C. -12 D. 15 

Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : 2x ay 3z 

5 0 và 

( Q) : 4 x y ( a 4) z 1 0. Tìm a để (P) và (Q) vuông góc với nhau. 

1 

A. a 0 

B. a = 1 C. a 

D. a = -1. 

3 

2 

x x 4 

Câu 26. Tất cả đường tiệm cận của đồ thị hàm số y 

là 

2 

x 4x 

3 

A. y 0, y 1 

và x 3. 

B. y = 1 và x 3. 

C. y 0, x 1 

và x 3 

D. y 0 và x 3. 

Câu 27. Một người gửi tiết kiệm số tiền m, với lãi suất 0,625 một tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày 

gửi nếu người này không rút tiền ra thì số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo. 

Sau đúng một năm kể từ ngày gửi người này nhận được tổng số tiền cả gốc và lãi là 10 triệu đồng. Biết 

rằng trong suốt một năm đó lãi suất không thay đổi và người này không rút tiền ra, số tiền mm gần nhất 

với kết quả nào dưới đây ? 

A.9,28 triệu đồng B. 9,3 triệu đồng C. 8,61 triệu đồng D. 9,2 triệu đồng 


 

Câu 28. Cho tích phân I udv với u x 2 , dv cos xdx. 

Khẳng định nào sau đây đúng? 

0 

 

2 

 

A. I x sin x xsin xdx. 

B. 

0 

 

0 

 

2 

 

C. I x sin x 2 xsin xdx. 

D. 

0 

 

0 

 

sin sin . 

0 

 

 

2 

I x x x xdx 

 

2 

I x x x xdx 

0 

 

sin 2 sin . 

0 

 

0 

4

2 1 2 3 

x x 

Câu 29. Tích các nghiệm của phương trình 2 3 bằng 

A. 3log 3 B. log 54 C. 4 D. 1 

log 3 

 

2 

 

2 

2 

Câu 30. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Côsin của góc 

giữa hai mặt phẳng (OA′B′) và (OC′D′) bằng 

2 

4 

8 

3 

A. B. C. D. 

5 

9 

25 

5 

ax b 

Câu 31. Cho hàm số f ( x) ( a, b, c, d R) 

có đồ thị như hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của m để 

cx d 

phương trình f ( x) 

m có hai nghiệm phân biệt là 

A. m 2 và m 1 

B. 0 < m < 1 C. m > 2 và m < 1. D. 0 < m < 1 và m > 1. 

Câu 32. Một chiếc cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm, chiều cao bằng 10cm có chứa sẵn một lượng 

nước. Người ta thả vào đó 5 viên bi sắt có bán kính bằng 3cm thì mực nước trong cốc dâng lên sát mép 

cốc, biết các viên bi ngập hoàn toàn trong nước. Thể tích nước có sẵn trong cốc đã cho bằng 

3 

3 

3 

A. 70 

cm B. 170 cm C. 120 cm D. 50 cm 

Câu 33. Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a và SC ( ABC), 

ABC vuông cân tại B, AB 2 a. 

Gọi D, 

E lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên SA, SB. Thể tích khối chóp S.CDE bằng 

3 

3 

3 

3 

4a 

2a 

2a 

a 

A. B. C. D. 

9 

3 

9 

3 


có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị hàm số y f ( x) 

như hình vẽ 


3 

5

Tích phân 

1 

 

0 

f '(5x 3) dx 

bằng 

A. 0,6 B. 1,8 C. 45 D. 15. 

x 1 y 3 z 1 

Câu 35. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 

: và 

1 1 1 

x 3 y 1 

z m 

d2 

: . Có bao nhiêu số thực m để hai đường thẳng d 1 , d 2 cắt nhau? 

2 2 1 

A. 2 B. 0 C. 1 D. Vô số 

Câu 36. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A' B ' C ' có AB 2 a, AA' a 3. Gọi I là giao điểm của 

AB’ và A’B. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( BCC ' B ') bằng 

3a 3a 3a 3a 

A. B. C. D. 

4 

2 

4 

2 

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn (1 iz). z ( z 1) i. 

A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 

 

2 

sin .cos 

Câu 38. Cho x x dx a b ln 2 c ln 3, với a, b, c là các số hữu tỷ. Giá trị của 4a b c bằng 

2 

(cos x 3) 

0 

A. 2 B. -4 C. 0 D. -2 

Câu 39. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 

x x m 

log (4 ) 4 log 0 

2 2 

nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. m( ;2) B. m [2;4) C. m [4;9) D. m[9;12). 

Câu 40. Có bao nhiêu số thực m để hàm số 

trên khoảng ( ; )? 


1 2 5 1 4 1 3 1 2 2 

y m x ( m 2) x x ( m 1) x 1 

5 4 3 2 

A. 2 B. 1 C. Vô số D. 0 

chứa đúng 1000 số 


6

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Biết rằng có tất cả n mặt phẳng dạng 

( P) : x a y b z c 0( i 1,2..., n) 

đi qua M và cắt các trục tọa độ x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz lần lượt tại các 

i i i i 

điểm A, B, C khác gốc tọa độ O sao cho O.ABC là hình chóp đều. Giá trị của a1 a2 ... an 

bằng 

A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 


liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị 

 

thực của tham số m để phương trình f (2sin x 1) 

m có nghiệm thuộc nửa khoảng 

 

0; là 

6 

A. ( 2;0] 

B. (0;2] C. [-2;2) D. (-2;0) 


mx 

f ( x) 2 x . 

2 

x 2 

Hàm số đã cho có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? 

A.1 B. 3 C. 5 D. 4 

Câu 44. Cho tập 

S 

 

 

1,2,..,6 . 

Ba bạn A, B, C được mời lên bảng, mỗi bạn viết ngẫu nhiên một tập 

con của S. Xác suất để các tập con của A, B, C viết được khác rỗng; đôi một không giao nhau và trên 

bảng có đúng 4 phần tử của S gần nhất với kết quả nào dưới đây ? 

A. 0,412 B. 0,206 C. 0,432 D. 0,216 

Câu 45. Cho hàm số y f ( x). 

Hàm số y f '( x) 

trên đoạn [0;9] có đồ thị như hình vẽ bên (là đường 

nét đậm gồm hai nửa đường tròn và một đoạn thẳng). Giá trị lớn nhất của hàm số y f ( x) 

trên đoạn 

[0;9] bằng 


7

A. f (0) 

B. f (6) 

C. f (9) 

D. f (2) 

3 2 

Câu 46. Cho đồ thị hàm số f ( x) 

x ax bx c có đồ thị (C). Đừng thẳng d qua hai điểm A, B trê 

hình vẽ là tiếp tuyến của (C) tại A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và C bằng 

A. 6,575 B. 4,5 C. 8,45 D. 4,75 



z z z z 

nhất của z 2 2 i . Đặt A M m. 

Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A A 

 

A. 34;6 B. 6; 42 C. A 2 7; 33 D. 

4. 

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 

A 4;3 

3 . 

x x1 

x x 

Câu 48. Có bao nhiêu số nguyên [ 20;20] để phương trình 9 3 m 9 8.3 2m 

0 có 

m 2 

đúng hai nghiệm thực phân biệt? 

A. 19 B. 23 C. 21 D. 22 

8

Câu 49. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB 1, BC 2 và 

0 0 

ABS 60 , CBS 45 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SB. Biết khoảng cách giữa hai 

đường thẳng BM và CN bằng 

2 . 

41 

Thể tích khối chóp S.ABC bằng 

2 

2 

2 

A. B. C. D. 

15 

5 

9 


2 

3 

2 2 2 

( S) : ( x 2) ( y 2) ( z 2) 4 

x 

1 

mt 

2 

: y ( m m) t . Gọi (P), (Q) là hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng 

2 

z 

m t 

mặt cầu (S) tại các điểm A và B. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của AB bằng 

4 13 4 5 4 13 4 5 20 13 12 5 12 13 20 5 

A. B. C. D. 

3 

5 

15 

15 

ĐÁP ÁN 


và tiếp xúc với 

1D 2C 3D 4A 5C 6A 7C 8B 9D 10A 

11A 12D 13C 14B 15B 16C 17A 18A 19B 20D 

21A 22B 23C 24C 25D 26D 27A 28D 29B 30D 

31D 32A 33C 34B 35D 36B 37C 38C 39D 40B 

41D 42A 43C 44B 45D 46A 47A 48B 49C 50D 

HƯỚNG DẪN GIẢI: 

Câu 1: 

Theo định nghĩa nguyên hàm có: 

2 1 2 

 

 

f (2 x) f (2 x) dx ' ( x x C)' 2x 1 f ( x) x 1 f ( x) dx ( x 1) dx x x C. 

2 


Câu 2: 


Câu 3: 

Có 

10 10 

log( ab ) log a log b log a 10log b. 


Câu 4: 

Có V 

. ' ' ' 

AB. AD. AA' 12. 

ABCD A B C D 


Câu 5: 

Có min y y(2) 5;max y y( 1) 4. 

R 


R 

9


Câu 6: 

4 3 

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2;0), R 3 V( S ) 

3 36 . 

3 


Câu 7: 

Hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên, đối chiếu các đáp án chọn C. 


Câu 8: 


Câu 9: 

3 2 2 3 2 

Có x 2x 2 x 2 x 3x 0 x 0; x 3. Đồ thị của hai hàm số đã cho có đúng 2 điểm 

chung. 


Câu 10: 

2 2 

r 9 

r 3 

r h 

Có 

V 12 . 

2 2 

l 5 

h l r 4 3 


Câu 11: 

Có 

x1 2x1 

x 1 x 9 x x 10 10 

4 2 5 0 4.4 .4 5 .4 5 4 x log 

4 

. 

2 2 9 9 


Câu 12: 

Hàm số đã cho có hai điểm cực trị x 1; x 1. 

Đối chiếu đáp án chọn D. 


Câu 13: 

Điểm A nằm trong mặt cầu (S) khi và chỉ khi IA R IA 5. 


Câu 14: 


Câu 15: 


Câu 16: 


Câu 17: 

Có 

x 

e 

1 ' 

x 

e 

 

x 

x 

e 

e 

 

y ' 

. 

1 ln 2 1 ln 2 



10

Câu 18: 


Câu 19: 


Câu 20: 

10 10 

... ( 1 21) 100. 

2 2 

Có S u u u u u 

10 1 2 10 1 10 


Câu 21: 

Có 

 

2 

z z z i z1 z2 

i i 

2 4 0 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3. 


Câu 22: 

log2 

16 4 4 

Có log27 

16 . 

log 27 3log 3 3a 


Câu 23: 

Có 

1 

2 

2 2 

1 

log ( x 2) 2 0 x 2 4 2 x 2 

2 


Câu 24: 

Áp dụng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

6 0 6 

1 6 4 

f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx 3 2 3 12. 

2 2 

 

3 3 0 

2 

có chứa tất cả 4 số nguyên. 

y 

f ( x) 

và trục hoành có: 


Câu 25: 

 

Có ( P) ( Q) n . n 0 (2; a;3).(4; 1; a 4) 0 8 a 3( a 4) 0 a 1. 


Câu 26: 

Có 

P 

2 

x x 4 

lim y lim 0 y 0 

x 

x 

2 

x 4x 

3 

Tìm tiệm cận đứng: Tập xác định: 

là tiệm cận đứng. 


Câu 27: 

Q 


là tiệm cận ngang. 

2 

x 

x 

 

 

 

x 

2 

4 0 2 3 

 

4x 

3 0 x 

2 

2 

x x 4 

và lim y lim x 3 

x3 x3 

2 

x 4x 

3 

11

Có 

m 

10 

(1 0,00625) 

12 

(1 0,00625) 10 m 9,28 

12 


Câu 28: 

Với 

2 

u 

x du 

2xdx 

 

. Tích phân từng phần có: 

dv 

cos xdx v 

sin x 

 

 

sin 2 sin . 

0 0 

 

2 

I udv uv vdu x x x xdx 

 

0 0 0 


Câu 29: 

Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình: 

x 1 (2x 3)log 3 x (2log 3) x 1 3log 3 0. 

2 2 

2 2 2 


Tích các nghiệm của phương trình bằng 1 

3log2 3 log 254. 


Câu 30: 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh A′B′,C′D′ ta có ((OA′B′), (OC′D′)) = (OM,ON). 

Ta có 

2 2 2 2 

2 a 5a OM ON MN 3 

MN a, OM ON a cos MON . 

2 2 2 OM. OM 5 


Câu 31: 

Đồ thị hàm số f ( x ) được suy ra từ đồ thị hàm số f ( x) 

bằng cách: 

Giữ nguyên phần đồ thị hàm số 

f ( x) 

phía trên trục hoành; 

Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị phía dưới trục hoành của hàm số f ( x) 

. 


12

Quan sát đồ thị suy ra phương trình 

f ( x) 

m 

có hai nghiệm thực phân biệt 

0 m 1 . 

m 

1 


Câu 32: 

Thể tích nước bằng thể tích cốc trừ đi thể tích của 5 viên bi sắt và bằng 

2 4 3 3 

5 10 5 3 70 cm . 

3 


Câu 33: 

 

 

3 

1 1 2 

2 1 1 2a 

Ta có: VS . ABC 

SC. AB .2 a. a 2 và áp dụng tỷ số thể tích có 

3 2 3 2 3 

2 2 2 2 3 3 

4 4 2 2 

V SD . 

. SE S CDE 

V SC . 

. SC S ABC 

V 

a 2 2 . 

. a . a a 

S ABC 

. 

2 2 2 2 

SA SB SA SB 4a 2a 4a 4a 

3 9 



13

Câu 34: 

Đổi biến t 5x 3 dt 5 dx; x 0 t 3; x 1 t 2. 

Do đó 

1 2 2 1 2 

1 1 1 

 

I f '(5x 3) dx f '( t) . dt f '( t) dt f '( t) dt f '( t) dt . 

5 5 

 

5 

 

0 3 3 3 1 

 

Trên đoạn [-3;-1] đồ thị f ( t ) đi xuống nên f '( t) 0, t 

[ 3; 1]; trên đoạn [-1;2] đồ thị f ( t) 

đi lên 

nên f '( t) 0, t 

[ 1; 2]. 

Vì vậy 

1 2 

1 

1 1 9 

I f '( t) dt f '( t) dt f ( 3) f ( 1) f (2) f ( 1) (6 3 2 0) . 

5 

 

 

5 5 5 

3 1 

 


Câu 35: 

 

 

Đường thẳng d 1 qua điểm A(1;3; 1), u1(1; 1;1); 

đường thẳng d 2 qua điểm B(3;1; m), u2(2; 1;1). 

Ta có 

 

u1 k. u2 d1, 

d2 

chéo nhau hoặc cắt nhau. Để d 1 , d 2 cắt nhau điều kiện là 

 

u1, u 

2 

. AB 0 (1;1;0)(2; 2; m 1) 0 1.2 1.( 2) 0.( m 1) 0 (luôn đúng). 

Vậy với mọi m hai đường thẳng đã cho luôn cắt nhau. 


Câu 36: 

Ta có d( I,( BCC ' B ')) 

1 d( A,( BCC ' B ')). Gọi M là trung điểm cạnh 

2 

AM 

BC 

1 3a 

BC AM ( BCC ' B '). Vì vậy d( I,( BCC ' B ')) AM . 

AM 

BB ' 

2 2 



14

Câu 37: 

 

 

2 2 

Đặt t z t 0 ta có z t i ( t 1) i z ( t t 1) i(*). 

Lấy môđun hai vế có: 

t 

0 

t 

1 

z t t i t t t t t t 1 

t 1 2 

2 

t t t 1 

2 2 2 

( 1) 1 . 

z 

i 

z 

i 

Thay ngược lại (*) có . Vậy có hai số phức thoả mãn. 

 

z (1 2) i z 

(1 2) i 


Câu 38: 

 

Đặt t cos x dt sin xdx; x 0 t 1; x t 0. Do đó 

2 

 

2 

0 1 1 

sin x cos x t t 1 3 

dx ( dt) 

dt dt 

(cos x 3) ( t 3) ( t 3) t 3 ( t 3) 

 

2 2 2 2 

0 1 0 0 

3 1 1 

ln t 3 2ln 2 ln 3 4a b c 1 2 1 0. 

t 3 0 4 


Câu 39: 

Bất phương trình tương đương với: (log2 x 2)(log 

2 

x m) 0(*). 

TH1: Nếu 


m 

2 

2 (*) (log2 

x 2) 0 

bất phương trình vô nghiệm (loại); 

TH2: Nếu 2 (*) log2 

2 2 m 

m 

m m x x 4 tập nghiệm của bất phương trình là S (2 ;4) 

chứa tối đa 3 số nguyên là 1, 2, 3 (loại); 

15

TH3: Nếu 

có chứa tất cả 

2 (*) 2 log 4 2 m 

m 

m x m x tập nghiệm của bất phương trình là S (4;2 ) 

2 5 số nguyên số là các số nguyên 

2 

5,..., 2 1 . 

m m 

m 

Theo giả thiết có 2 5 1000 m log2 

1005 9,97. 


Câu 40: 

2 4 3 2 2 

Có ycbt y ' 0, x g( x) m x ( m 2) x x ( m 1) x 0, x 

. 

Nhận thấy 

g(0) 0 

do đó trước tiên cần có 

g m m 

2 

'(0) 0 1 0 1. 

4 3 2 2 2 

+) Với m 1 g( x) x x x x ( x x 1) 0, x 

(thỏa mãn); 

4 3 2 2 2 

+) Với m 1 g( x) x 3 x x x ( x 3x 1) 0, x 

(loại). 

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm duy nhất. 


Câu 41: 

Gọi A( a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c ) có ( ) : x y z 

1 2 3 

P 1 

và M (1;2;3) ( P) 1. 

a b c 

a b c 

Vì O.ABC là hình chóp đều nên 

OA OB OC 

OA OB OC 

 

 

OA OB OC 0. 

AB BC CA 

2 2 2 2 2 2 

OA OB OB OC OC OA 

Do đó với OA OB OC a b c . 

1 2 3 a b c 6 

1 

Vậy ta có hệ điều kiện: a b c 

 

 

 

 

a 4, b c 4 . 

 

a b c 

a 2, b 2, c 2 

Vậy ta có ba mặt phẳng thoả mãn là 

x y z 6 0; x y z 4 0; x y z 2 0. 

Vì vậy S a1 a2 a3 111 1. 


Câu 42: 

Đặt t 2sin x 1 

với 

 

1 

0 x 0 sin 0 2sin x 1 1 2sin x 1 2 t [1;2). 

6 2 

Phương trình trở thành: f ( t) 

m có nghiệm t [1;2) 2 m 0. 


Câu 43: 


g( x) 

 


mx 

x 

2 

x 2 

có 

16

2m 

g x x m 

( x 2) 

2 3 

'( ) 2 ( 2) 0. 

2 3 

+) Nếu m 2 2 g '( x) 0, x hàm số không có điểm cực trị và g( x) 0 có tối đa một nghiệm. Do 

đó hàm số 

+) Nếu 

g( x) 


3 3 3 3 

m g x x m x m x m x m 

2 2 2 2 2 2 2 

2 2 '( ) 0 2 2 2 2 

hai điểm cực trị 

x 

3 2 3 2 

x x m 2; x x m 2 và bảng biến thiên: 

1 2 

x1 

x2 

g '( x ) 

+ 0 - 0 + 

g( x ) 

g( x1 

) 

g( x2) 

 

 

hàm số có 

Suy ra g( x) 0 có tối đa ba nghiệm phân biệt. Vì vậy hàm số g( x) 



Câu 44: 

6 

Tập S có tất cả 2 64 tập con. Mỗi bạn có 64 cách viết ngẫu nhiên. Nên số phần tử không gian mẫu 

3 

bằng 64 . 

Ta tìm số cách viết thoả mãn: 

Gọi x, y, z là số phần tử có trong các tập con của A, B, C viết lên bảng. 

Vì các tập con của ba bạn này viết khác rỗng nên x, y, z 1. 

Vì các tập con của ba bạn này đôi một không giao nhau và trên bảng có đúng 4 phần tử của S nên 

x y z 4. 

Vậy ta có hệ 

x y z 4 

 

( x; y; z) (1;1;2);(1;2;1);(2;1;1). 

z, y, z 1 

1 1 2 1 2 1 2 1 1 

Vậy có tất cả C C C C C C C C C 

6 5 4 6 5 4 6 4 3 

540 

540 

Xác suất cần tính bằng 

3 

64 0,206. 


Câu 45: 

Trên đoạn [0;9] có f '( x) 0 x 0; x 2; x 6. 

Bảng biến thiên : 

cách viết thoả mãn. 


17

x 0 2 6 9 

f '( x ) 

+ 0 - 0 + 

f ( x ) 

f (2) 

f (9) 

f (0) 

f (6) 

Suy ra f x f f 

max ( ) max (2), (9) . 

[0;9] 

Quan sát các diện tích hình phẳng có : 

2 2 2 

 

1 

f '( x) dx 

f '( x) dx f (2) f (0) 

 

2 

 

2 2 

0 0 

6 2 6 

 

2 

f '( x) dx f '( x) dx 2 f (2) f (6) 2 

2 

 

2 2 

9 9 

 

1 3 3 

f '( x) dx 31 f '( x) dx f (9) f (6) 

2 

 

2 2 

0 6 

3 

f (2) f (9) 2 0 max f ( x) max f (2), f (9) f (2). 

2 

[0;9] 

Suy ra 

 


Câu 46: 

3 2 

Đường thẳng d : y mx n cắt đồ thị hàm số f ( x) 

x ax bx c tại các điểm có hoành độ 

x 1; x 2 trong đó tại điểm có hoành độ x 1 

là điểm tiếp xúc của hai đường. 

3 2 2 

Vì vậy x ax bx c 

( mx n) ( x 1) ( x 2). 

Diện tích hình phẳng cần tính bằng 

2 2 

3 2 2 

 

S ( x ax bx c) ( mx n) dx ( x 1) ( x 2) dx 6,75. 

1 1 


Câu 47: 

Với z a bi z z z z 4 2a 2b 4 a b 2. 

Khi đó 

P z i a b 

2 2 

2 2 ( 2) ( 2) . 

a 0 a b 2 b a 

2 

Nhận thấy Pmax 

. 

b 0 a 0, b 0 2 a 0 

Khi đó 

P f a a a f a f f 

( ) ( 

2 

2) ( 

2 

4) max ( ) ( 2) (0) 2 5. 

[ 2;0] 

a 0 a b 2 b 2 a 

Nhận thấy Pmin 

. 

b 0 a 0, b 0 0 a 2 

 


18

Khi đó 

2 2 2 

P f ( a) ( a 2) a 2( a 1) 2 2. Vậy M m 2 5 2 5,88. 


Câu 48: 

x 

Đặt t 3 ( t 0) phương trình trở thành: 

2 2 2 

( t 3 t m) t 8t 2m 

0. 

2 2 

Đặt tiếp u t 3t m m u t 3 t, 

phương trình trở thành: 

2 2 2 2 2 

u t 2( u t 3 t) 0 u 2u t 2t 

u t m 4t t 

 

u 2 t m t 2t 

2 

2 

2 2 

( u 1) ( t 1) 

(*). 

2 

Với mỗi t > 0 cho duy nhất một nghiệm x log 

3 

t; 

phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi 

và chỉ khi (*) có đúng hai nghiệm phân biệt t 0 đường thẳng y cắt đồng thời hai parabol 

2 2 

( P ) : y 4 x x ;( P ) : y x 2x 

2 tại đúng hai điểm có hoành độ dương 

1 2 


0 m 4 

 

 

 

m 1 m20,..., 1,1,2,3 . 

 

m 2 

Vậy có tất cả 23 số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán. 


Câu 49: 

Lập hệ trục toạ độ Oxyz. Chọn gốc toạ độ O tại B. Các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia BA, BC 

và tia qua B vuông góc với mặt phẳng (ABC). 

19

Toạ độ các đỉnh là B(0;0;0), A(1;0;0), C(0; 2;0), S( a; b; c)( c 0). Khai thác giả thiết góc có: 

 

0 0 2 2 2 1 a 

0 

ABS 60 BA. BS BA. BS.cos 60 a 1 a b c . 

. 

2 2 2 

2 b c 3a 

 

2 2 2 

0 0 2 2 2 2 a c b 

CBS 45 BC. BS BC. BS.cos 45 2b 2. a b c . . 

2 b 

0 

2 2 

b 

2a 

 

 

2 2 

a 1 2a a a 2a a 

Suy ra c a S( a; 2 a; a); M 

; ; , N ; ; 

2 2 2 2 2 2 

a, b 0, c 0 

 

 

Khi đó 

a 1 2 2 2 2( 2) 

; a ; a 

, a ; a 2; a 

BM CN , BC(0; 2;0); BM , CN 

a ; a ; 

a 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 4 2 

 

Áp dụng công thức khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau có: 

 

2a 

BM , CN 

 

 

. BC 

4 2 2 

d( BM , CN) a . 

2 2 

2 

BM , CN 41 3 

2a a 2( a 2) 

 

2 4 4 


20

1 1 1 2 2 

Khi đó VS . ABC 

S 

ABC. d( S,( ABC)) . .1. 2. . 

3 3 2 3 9 


Câu 50: 

Có 

x 

1 

mt 

2 

: y ( m m) t x y z 1, m ( R) : x y z 1 0, m. 

2 

z 

m t 

Mặt cầu (S) có tâm I(2;2;2), R = 2 và đường thẳng luôn đi qua điểm cố định M(1;0;0). 

Gọi H ( IAB) 

ta có 

IA 

( P) 

 

 

( IAB) IH ( IAB) H h / c( I, ). 

IB 

( Q) 

 

2 2 2 

Gọi N AB IH N là trung điểm của AB và AB 2AN 2 IA IN 2 4 IN . Theo hệ thức 

lượng cho tam giác vuông IAH có 

IA 16 16 

. 2 4 . 

IH IH IH 

2 

2 2 

IA IN IH IN AB 

2 2 2 

5 4 13 4 5 

Ta có d ( I ,( R )) IH d ( I , ) IM 3 ; . 

3 

IH AB 

 

5 3 



21





Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A 'B 'C 'D ' có AB = a, AD = AA’ = 2a. Diện tích của mặt cầu 

ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho bằng 

2 

2 

2 

3 a 

9 a 

2 

A. 9 a . 

B. . 

C. . 

D. 3 a . 

4 

4 

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với Ab = 3a, BC = a, cạnh bên SD = 2a và 

SD vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng 

3 

3 

3 

3 

A. 3a 

B. a 

C. 2a 

D. 6a 

 

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho a 3;4;0 và b 5;0;12 . Côsin của góc giữa a và b 

bằng 

 

3 

5 

5 

A. B. C. 

D. 

13 

6 

6 

Câu 4: Giả sử a, b là các số thực dương bất kỳ. Biểu thức 

 

 

 

ln a b 2 

bằng 

3 

 

13 

1 

1 

A. ln a ln b B. ln a ln b C. ln a 2ln b 

D. ln a 2ln b 

2 

2 

E 

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho 1;0;2 và F 2;1; 5 

. Phương trình đường thẳng EF là 

x 1 y z 2 x 1 y z 2 x 1 y z 2 

x 1 y z 2 

A. B. C. D. 

3 1 7 3 1 7 1 1 3 

1 1 3 

1 

Câu 6: Cho cấp số nhân un 

, với u1 9, 

u4 

. Công bội của cấp số nhân đã cho rằng 

3 

1 

A. . 

B. -3 C. 3 D. 

3 

Câu 7: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới 

đây? 

3 

A. y x 3x 

1 

B. 

x 1 

y 

x 1 

x 1 

3 2 

C. y D. y x 3x 

1 

x 1 

1 

. 

3 


Câu 8: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M 

 

vectơ a 1; 1;2 


 

 

 

3; 1;4 

A. 3x y 4z 

12 0 

B. 3x y 4z 

12 0 

C. x y 2z 

12 0 

D. x y 2z 

12 0 

 

đồng thời vuông góc với giá của 

1

Câu 9: Cho hàm số y f x liên tục trên 3;3 và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Mệnh đề 

nào sau đây sai về hàm số đó? 

x -3 -1 0 1 2 3 

f ' x + 0 - 0 - 0 + 0 - 

A. Đạt cực tiểu tại x = 1 B. Đạt cực đại tại x = -1 

C. Đạt cực đại tại x = 2 D. Đạt cực tiểu tại x = 0 

f x 

 

 

Câu 10: Giả sử là một hàm số bất kỳ liên tục trên khoảng ; và a, b, c, b c ; 

. Mệnh đề 

nào sau đây sai? 

b c b 

. 

f xdx f x dx 

f x dx. 

A. f x dx f x dx f x dx 

B. 

a a c 

b bc b 

. 

C. f x dx f x dx f x dx 

D. 


a a bc 

b bc c 

a a a 

b c c 

f xdx f xdx 

f x dx. 

 

y f x 

Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó? 

A. Nghịch biến trên khoảng (-1;0). 

B. Đồng biến trên khoảng (-3;1). 

C. Đồng biến trên khoảng (0;1). 

D. Nghịch biến trên khoảng (0;2). 

Câu 12: Tất cả các nguyên hàm của hàm số 


f 

x 

 

 

3 x 

là: 

a a b 

x 

x 

3 

 

A. C B. 3 x x 

3 

C C. 3 ln 3 C 

D. C 

ln 3 

ln 3 

Câu 13: Phương trình 

Câu 14: Cho 

 

 

log x 1 2 có nghiệm là: 

A. 11 B. 9 C.101 D. 99 

 

k, 

n k n 

 

là các số nguyên dương bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng? 


k n! A. . 

k 

k 

k n! 

An 

B. An 

k!. Cn 

. C. An 

. D. A 

k! 

k! n k ! 

 

 

k 

n 

k 

n!. C . 

n 

Câu 15: Cho các số phức 

trong hình bên biểu diễn số phức z w ? 

z 1 2 i, w 2 i . Điểm nào 

A. N B. P 

C. Q D. M 

2

Câu 16: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng 

phẳng 

của 

 

 

 

 

 

là: 

 

P : x 3y 2z 1 0, Q : x z 2 0 . Mặt 

vuông góc với cả (P) và (Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình 

A. x y z 3 0. 

B. x y z 3 0. 

C. 2x 

z 6 0. 

D. 2x 

z 6 0. 


2 

1 3i z 3 4i 

. Môđun của z bằng: 

5 5 2 4 

A. . 

B. . 

C. . 

D. . 

4 

2 

5 

5 

Câu 18: Cho hình trụ tròn xoay có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy và thể tích của khối trụ bằng 

16 . Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng 

A. 16 B. 12 C. 8 D. 24 

2 

Câu 19: Biết rằng phương trình log x 7log x 9 0 có hai nghiệm x1, 

x2 

. Giá trị x1x2 

bằng: 

2 2 

A. 128. B. 64. C. 9. D. 512. 


Câu 21: Cho 

f 

x 

x 

3 1 

 

x 

3 1 

2 x 

A. f ' x 

.3 . 

B. 

x 

3 1 

2 

2 x 

C. f ' x 

.3 ln 3. 

D. 

x 

3 1 

2 

là 

2 x 

f ' x .3 . 

 

 

f ' x 

x 

3 1 2 

2 

x 

3 1 2 

x 

.3 ln3. 

4 2 

y f x 

f x x 5x 

4. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 

và trục hoành.. Mệnh đề nào sau đây sai? 

2 

 

 

A. S f x dx. 

B. 

2 

2 

 

 

C. S 2 f x dx. 

D. 

0 

1 2 

 

S 2 f x dx 2 f x dx . 

 

0 1 

2 

 

S 2 f x dx . 

 

 

2 2 

Câu 22: Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x x x 1 , x . Hàm số y 2 f x 


trên khoảng 

2; 

 

 

0;2 

A. B. ; 1 

C. 1;1 

D. 



3 

x 4x 

y 

3 

x 3x 

2 


A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 

Câu 24: Biết rằng ; là các số thực thỏa mãn 2 2 2 

8 2 

2 

. Giá trị của 2 

bằng 

 

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 

0 

3

Câu 25: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A 'B 'C ' có AB = a, góc giữa đường thẳng A 'C và mặt 

phẳng (ABC) bằng 45 0 . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A’B 'C ' bằng 

3 

3 

3 

3a 

3a 

3a 

A. B. C. D. 

4 

2 

12 

 

Câu 26: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Hàm số y 2 f x đạt cực đại tại 

f 

x 

x 

-1 0 2 

1 

-2 

1 

 

3a 

6 

3 

 

1 

A. x B. x 1 

C. x 1 

D. x 2 

2 

Câu 27: Cho hình nón tròn xoay có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung quanh bằng 

của hình nón đã cho bằng 

0 

0 

0 

0 

A. 60 

B. 150 

C. 90 

D. 120 

6 3 . Góc ở đỉnh 

2 

Câu 28: Gọi x , x là các nghiệm phức của phương trình z 4z 

7 0 . Số phức z1 z2 z1z2 

bằng 

1 2 

A. 2 B.10 C. 2i D.10i 

9 

Câu 29: Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y x trên đoạn 1;4 

. 

x 

Giá trị của m + M bằng 

65 

49 

A. B. 16 

C. D. 10 

4 

4 

Câu 30: Cho hình lập phương ABCD. A 'B 'C 'D ' có I, J tương ứng là trung điểm của BC và BB ' . Góc 

giữa hai đường thẳng AC và IJ bằng 

A. 45 0 B. 60 0 C. 30 0 D.120 0 

Câu 31: Giải bóng truyền quốc tế VTV Cup có 8 đội tham gia, trong đó có hai đội Việt Nam. Ban tổ chức 

bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai bảng đấu, mỗi bảng 4 đội. Xác suất để hai đội của Việt Nam nằm 

trong hai bảng khác nhau bằng 

2 

5 

3 

4 

A. B. C. D. 

7 

7 

7 

7 

x 

Câu 32: Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x trên khoảng là 

2 

0; 

 

sin x 

 

 

A. x cot x ln sinx C 

B. x cot x ln sinx C 

cot ln sinx 

C. x cot x ln sinx C 

D. 

x x C 

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A 'B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Gọi E là trung điểm 

của AB. Cho biết AB = 2a, BC = 

13 , CC’ = 4a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'B và CE bằng 

4a 12a 6a 3a 

A. B. C. D. 

7 

7 

7 

7 



y f x 

có đồ thị như hình vẽ bên. Có 

3 

bao nhiêu số nguyên m để phương trình f x 3x m có 6 

 

 

4

nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1;2 ? 

A. 3 B. 2 

C. 6 D. 7 


Câu 35: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 1 z z i z z i 1? 

A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 

f x 

 

Câu 36: Cho mà hàm số y f ' x có bảng biến thiên như hình bên. Tất cả các giá trị của tham số 

2 1 3 

m để bất phương trình m x f x 

x nghiệm đúng với mọi x 0;3 

là 

3 

f 

x 

x -1 1 3 

 

1 

 

A. m f 0 B. m f 0 C. m f 3 

D. m f 

3 

Câu 37: Trong không gian Oxyz cho các điểm 2;1;4 , N 5;0;0 , 1; 3;1 . Gọi I a; b; 

c là tâm của 

 

 

 

2 

1 

M P 

mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) đồng thời đi qua các điểm M ,N , P. Tìm c biết rằng a b c 5 

A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 

Câu 38: Biết rằng 

a b c 

bằng 

1 

 

0 

dx 

a ln 2 bln 3 

c ln 5 

3x 

5 3x 

1 7 

2 

 

3 

với a, b, c là các số hữu tỉ. Giá trị của 

10 

5 

10 

5 

A. 

B. 

C. D. 

3 

3 

3 

3 


A 

x 1 y z 2 

d : 

2 1 1 

và hai điểm 

1;3;1 , B 0;2; 1 . Gọi C m; n; 

p 

là điểm thuộc d sao cho diện tích của tam giác ABC bằng 2 2 . 

Giá trị của tổng 

m n p 

bằng 

A. -1 B. 2 C. 3 D. -5 


x 3 x x 

9 ln 5 0 

có bao nhiêu nghiệm nguyên? 

A. 4 B. 7 C. 6 D. Vô số 

Câu 41: Cho hàm số f x 

có đồ thị hàm số y f ' x 

y f cosx x x 

được cho như hình vẽ bên. Hàm số 

2 

đồng biến trên khoảng: 


1;2 

1;0 

 

A. B. 

5

0;1 

2; 1 

C. D. 

2 2 

x x 

Câu 42: Cho hàm số f x . Gọi m0 

là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn 

12 

 

f m f 2m 

2 0 


A. m0 [1513;2019) 

B. m0 [1009;1513) 

C. m0 [505;1009) 

D. m0 [1;505) 

f x 

 

x 

Câu 43: Cho hàm số thỏa mãn f x f ' x e , x và f 0 2 . Tất cả các nguyên hàm 

của 

f 

xe 

2x 

 

là 

2 2 

A. x 2 e x e x C 

B. 

 

 

C. x 1 e x C 

D. 


f x 

có đồ thị hàm số y f ' x 

2 

được cho như hình vẽ bên. Hàm số y f x x f 0 

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị trong khoảng (-2;3) 

A. 6 B. 2 

C. 5 D. 3 

Câu 45: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có 

1 

và SCD 

bằng . Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 

10 

1 

2 

x x 

x e e C 

x 1 e x C 

SA 11a 

, côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng SBC 

A. 3a 3 B. 9a 3 C. 4a 3 D.12a 3 

Câu 46: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An 

đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối 

tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng OO' = 

5cm, OA = 10cm, OB = 20cm, đường cong AB là một phần của một 

parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng 

2750 

3 

A. cm 

 

B. 

3 

2050 

3 

C. cm 

 

D. 

3 

2500 

3 

2250 

3 

Câu 47: Giả sử , là hai trong các số phức z thỏa mãn z 6 8 zi là số thực. Biết rằng z1 z2 4 

 

 

cm 

cm 

z1 z2 

 

. Giá trị trị nhỏ nhất của z 3z 

bằng: 


1 2 

A. 5 21 B. 20 4 21 C. 20 4 22 

D. 5 22 

3 

3 

 

 

6

Câu 48: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu 

số nguyên m để phương trình 

 

 

đoạn 2;2 ? 

A. 11 B. 9 

C. 8 D. 10 

1 x 

f 1 

x m có nghiệm thuộc 

3 2 

Câu 49: Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng Đường thẳng 

x y z 1 x 3 y z 1 x 1 y 2 z 

d : ; 1 : ; 2 

: . Đường thẳng vuông góc với d đồng thời 

1 1 2 2 1 1 1 2 1 

cắt 1, 

2 

tương ứng tại H , K sao cho độ dài HK nhỏ nhất. Biết rằng có một vecto chỉ phương 

 

u h; k;1 

.Giá trị của h - k bằng: 

 

 

A. 0 B. 4 C. 6 D. -2 

 

Câu 50: Trong không gian Oxyz, cho a 1; 1;0 

và hai điểm A4;7;3 , B 4;4;5 

. Giả sử M, N là hai 

 

điểm thay đổi trong mặt phẳng (Oxy) sao cho MN cùng hướng với a và MN 5 2 . Giá trị lớn nhất 

của 

AM 

BN 

bằng: 

A. 17 B. 77 C. 7 2 3 

D. 82 5 


7


1.A 2.C 3.D 4.D 5.B 6.D 7.B 8.C 9.D 10.B 

11.C 12.A 13.D 14.B 15.B 16.A 17.A 18.D 19.A 20.C 

21.D 22.C 23.D 24.D 25.A 26.C 27.D 28.A 29.A 30.B 

31.D 32.A 33.C 34.B 35.D 36.B 37.B 38.A 39.C 40.C 

41.A 42.B 43.D 44.D 45.C 46.B 47.C 48.C 49.A 50.A 

Câu 1 (TH) 


Hình hộp chữ nhật có các kích thước a , b, c có bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính bởi công thức: 

1 

R a b c 

2 

2 2 2 

. 

2 

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R : S 4 

R . 


Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho là: 

1 2 2 2 1 2 2 2 3 

R AB AD +AA' a 4a 4a a . 

2 2 2 

2 

2 9a 

2 

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho là: S 4 R 4 . 9 

a . 

4 

Chọn A. 

Câu 2 (TH) 


1 

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh . 

3 


1 1 

3 

Ta có: V SD. S 

ABCD 

.2 a.3 a. a 2a 

. 

3 3 

Chọn C. 


Câu 3 (TH) 


 

Công thức tính cos của góc giữa hai vecto: cos a, 

b 

 

 

a. 

b 

 

a . b 


8

a. b 15 3 

cos , . 

a . b 3 4 . 5 12 13.5 13 

Ta có: a b 

Chọn D. 

Câu 4 (TH) 


Sử dụng công thức: 


a 

3 .5 4.0 0.12 

2 

2 2 

 

2 

a 

b 

2 

ln ln a ln b,ln a 2ln a. 

Ta có: ln ln a ln b 2 ln a 2ln b, a, b 0 

Chọn D. 

Câu 5 (TH) 

2 

b 

(giả sử các biểu thức đều có nghĩa). 


 

x x y y z z 

Phương trình đường thẳng d đi qua M x0; y0; 

z0 

và có VTCP u a; b; 

c 

là: 

 

a b c 

0 0 

0 

. 


 

Ta có đường thẳng EF đi qua E và nhận vecto EF 3;1; 7 

làm VTCP có phương trình: 

x 1 y z 2 

. 

3 1 7 

Chọn B. 

Câu 6 (TH) 


Công thức tổng quát của CSN có số hạng đầu là u 1 

và công bội q: 


n1 1 3 3 1 1 

Ta có: u4 u1q 9. q q q . 

3 27 3 

Chọn D. 

Câu 7 (NB) 


Dựa vào đồ thị hàm số để chọn đáp án đúng. 


Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1 loại đáp án A, C, D. 

Chọn B. 

Câu 8 (TH) 

 

u 

n 

 

u q 

n 1 

1 

. 


 

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua ; ; và có VTPT n a; b; 

c là: 

 




0 0 0 

0. 

Mặt phẳng (P) vuông góc với giá của vecto 

Ta có phương trình (P): 

M x y z 

 

0 0 0 

 

a 1; 1;2 

a là VTPT của mặt phẳng (P). 

 

x 3 y 1 2 z 4 0 x y 2z 

12 0. 

 

9

Chọn C. 

Câu 9 (TH) 


Dựa vào đồ thị hàm số để chọn đáp án đúng. 


Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -1, x = 2 và đạt cực tiểu tại x = 1. 

Tại x = 0 hàm số có y ' không đổi dấu nên x = 0 không là điểm cực trị của hàm số. 

Chọn D. 

Câu 10 (TH) 


b c b b a 

 

Sử dụng tính chất: 


f x dx f x dx f x dx, f x dx f x dx. 

a a c a b 

b c b 

 

 

+) Đáp án A: f x dx f x dx f x dx đáp án A đúng. 

a a c 

b bc b 

 

 

+) Đáp án C: f x dx f x dx f x dx đáp án C đúng. 

a a bc 

b c c c b 

 

 

+) Đáp án D: f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx đáp án D đúng. 

Chọn B. 

Câu 11 (NB). 


a a b a c 

Dựa vào đồ thị hàm số ta kết luận hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng nào. 


Chọn C. 

Câu 12. (NB) 


 

x 

x 

a 

a dx C 

.ln 

a 


 

x 

x 

3 3 

3 

x dx C C 

1.ln 3 ln 3 

Chọn A. 

Câu 13. (TH) 


log a 

f x 

có nghĩa khi và chỉ khi f x 0,0 a 1 

 

 

log f x b f x a 

a 


Điều kiện: x 1 0 x 1. 


b 

10

log x 1 2 

x 1 10 

 

2 

x 99 tm 

Chọn D. 

Câu 14 (NB). 

 


Công thức: 


A 

n! 

A 

. Cn 

 

n k ! P 

k 

k k n 

n 

 

 

k 

k k 

An 

An 

Dựa vào công thức ta có: Đáp án B: C A k!. 

C 

P k! 

Chọn B. 

Câu 15 (TH). 


k k k 

n n n 

k 

Cho 2 số phức z a bi; z ' a ' b ' i z z ' a a ' b b ' i a, a ', b, b ' 


z w 1 2i 2 i 1 

i 

Khi đó ta có điểm biểu diễn số phức z + w là (1;1) chính là điểm P. 

Chọn B. 

Câu 16 (TH). 


 

Phương trình mặt phẳng (R) có vtpt n A; B; 

C đi qua điểm M x ; y ; z có dạng: 

 

A x x0 B y y0 C z z0 0. 

 

+) Bước 1: Tìm vtpt của mp chính là: n nP; 

n Q 

+) Bước 2: Tìm điểm mà mp đi qua. 

+) Bước 3: Thay vào phương trình mặt phẳng trên. 


n 

n 

P 

Q 

 

 

 

 

1; 3;2 

1;0; 1 

3 2 2 1 1 3 

n 

nP; n 

Q 

; ; 3;3;3 

0 1 1 1 1 0 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 

 

 

3;0;0 

 

Mp cắt trục Ox tại điển có hoành độ bằng 3 nên ta có Mp đi qua điểm M 

 

Vậy phương trình mp có vtpt 3;3;3 và đi qua điểm M 3;0;0 có dạng: 

x y z 

 

3 3 3 0 3 0 

x y z 3 0 

Chọn A. 

Câu 17 (TH). 



 

n 

 

 

 

11

z a bi a, b R : z a b 

Mô đun của số phức 

2 2 


 

2 2 3i z 3 4i z 

 

 

z z 

2 

2 

2 2 3i 

 

i 

2 2 

1 3i z 3 4i 1 2 3i 3i z 3 

4i 

3 

4i 

2 2 3i 

3 4i 2 2 3i 6 6 3i 8i 

8 3 

4 12 

6 8 3 6 3 8 3 4 3 3 3 4 

z z i 

16 8 8 

Khi đó ta có: z 

Chọn A. 

Câu 18 (TH). 


2 2 

3 4 3 3 3 4 5 

 

8 8 

4 

2 

Công thức tính thể tích của hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy là R là: V R h 

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ: S 2 

Rh 

Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ: S S 2. S 


xq 

tp xq d 

2 2 3 

Ta có: V R h R .2R 16 

R 8 R 2; h 4 

Diện tích toàn phần của khối trụ đã cho bằng: 

S S S Rh R 

2 2 

tp xq 

2. 

d 

2 2 2 .2.4 2 .2 16 8 24 

Chọn D. 

Câu 19 (TH): 


Điều kiện 

log a 

f x 

có nghĩa là: f x 0;0 a 1 

Đặt t log 2 

x đưa về phương trình bậc hai ẩn t để giải. 


Điều kiện: x > 0 

2 7 13 

Đặt: t log 2 

x khi đó phương trình ban đầu trở thành: t 7t 9 0 t 

2 


7 13 7 13 

t log2 

x x 2 

2 2 

7 13 7 13 

t log2 

x x 2 

2 2 


7 

13 

2 

7 

13 

2 

7 13 7 13 7 13 7 

13 

 

2 2 2 2 7 

1 2 

2 .2 2 2 128 

x x 

12

Chọn A. 

Câu 20 (TH). 


u u '. v u. v ' x x 

' ; 

2 a ' a .ln a 

v v 


 

' 

x x x x 

 

 

x 

2 

 

 

x 

2 

3 1 

x 

3 1 

3 1 '. 3 1 3 1 . 3 1 ' 

x 

3 1 3 1 

x x x x 

3 .ln 3. 3 1 3 1 .3 .ln 3 

 

x x x x x x 

3 .ln 3.3 3 .ln 3 3 .3 .ln 3 

3 .ln 3 

 

x 

2 

3 1 

x 

3 .ln 3 

2. 

x 

2 

3 1 

Chọn C. 

 

Câu 21 (TH) 


 

 


hàm số 


Ta có: 

Lại có: 

 

 

y f x , y g x là: S f x g xdx 

x 

4 2 

b 

 

2 

x 

x 

4 2 

5x 

4 0 

2 

x 

1 

x 

1 

 

4 2 

f x x 5x 

4 là hàm chẵn. 

2 2 

 

 

2 0 

 

S f x dx 2 f x dx 

1 0 1 2 

 

 

f x dx f x dx f x dx f x dx 

2 1 0 1 

1 2 

 

 

0 1 

1 2 

 

0 1 

 

2 f x dx 2 f x dx 

 

 

2 f x dx 2 f x dx 

Vậy chỉ có đáp án D sai. 

Chọn D. 

Câu 22 (VD) 


Hàm số 


 

y f x 

 

 

a 

đồng biến trên a; b f ' x 0 x a; 

b 

x a, 

x b a b 


 

 


13

Ta có: y f x 

f x x f x y f x 

' 2 ' 2 ' ' 2 ' ' 0 ' 0 

x 

0 

x' x 2 1 

0 

 

x 1 

 

 

 

x 1 

Khi đó ta có bảng xét dấu: 

x -1 0 1 

f 

 

 

x 

- 0 + 0 + 0 - 

Hàm số y 2 f x 

đồng biến trên 1;1 

Chọn C. 

Câu 23 (TH): 


+) Đường thẳng x = a được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số 

 

 

g x 

y f x lim f 

x a 

x 

 

h x 

+) Đường thẳng y = b được gọi là TCN của đồ thị hàm số lim 


 

 

 

 

x x 2 

Ta có: lim y lim 1 

x 

x 

2 

x 1 

 

 

x 1 

 

 

 

 

3 

x 4x 

x x 2 x 2 x x 2 

y 

3 2 2 1 1 

lim 

3 2 

2 2 

x x x x x 

y 

y f x f x b 

x 

đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm TCĐ và nhận đường thẳng y = 1 làm TCN. 

Chọn D. 

Câu 24 (VD) 


Sử dụng các công thức: 


 

m n mn 

1 

. ; f x m m 

a a a a a f x 

m; 

a 

a 


1 1 

2 2 2 82 2 2 2 2 8 

2 

2 

 

 

 

2 2 

2 2 2 8 

2 2 2 .2 .2 8 

0 

 

2 .2 

2 3 

2 8 2 do 2 2 0 2 3. 

 

 

Chọn D. 

Câu 25 (VD) 


Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là: V Sh. 


m 

14

Ta có: 

S 

ABC 

2 

a 3 

 

4 

Có 

 

0 

AA ' ABC A' C, ABCD AC, A' C 45 

AA ' AC a. 

2 3 

a 3 a 3 

VABC . A' B' C ' 

AA '. S 

ABC 

a. . 

4 4 

Chọn A. 

Câu 26 (VD) 


 

Ta có: x x 0 

là điểm cực đại của hàm số y f x tại điểm x x0 

thì hàm số có y ' đổi dấu từ âm 

sang dương. 


Dựa vào BBT ta thấy hàm số y f x đạt cực đại tại x = -1, x = 2. 

 

x 

0 

2x 

0 

 

1 

y f 2 x y ' 2 f ' 2 x y ' 0 f ' 2x 0 

 

2x 1 

 

x 

2 

2x 

2 

x 

1 

Ta có: 

 

Dựa theo tính đơn điệu của hàm số y f x hàm số y f 2x 

đạt cực đại 

Chọn C. 

Câu 27 (VD) 


1 

2x 

1 

x 

 

 

2 

2x 

2 

x 

1 

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h và đường sinh l: S Rl. 


Ta có: R = 3 

S Rl .3. l 6 

3 l 2 3 

xq 

R 3 3 

sin 

 

l 2 3 2 

 

Chọn D. 


0 0 0 

60 ASB 2.60 120 . 

xq 

Câu 28 (TH) 


+) Giải phương trình tìm số phức z. 

15

+) Cho số phức z a bi z a bi. 


Ta có: 

z 

2 

z1 2 3i z1 

2 3i 

4z 

7 0 

z2 2 3i z2 

2 3i 

2 2 

 

z1 z2 z1 z2 2 3i 2 3i 

2 

Chọn A. 

Câu 29 (TH) 


Cách 1: 

 



+) Giải phương trình y’ = 0 tìm các nghiệm x i 

i 

i 

i 

i 

+) Tính các giá trị f a , f b , f x x a; b . Khi đó: 


 

 

a; b 

a; 

b 


b 


Ta có: 

 

 

9 9 

x 

3 

1;4 

2 

y ' 1 y ' 0 1 0 x 9 

2 2 

 

x x x 3 

1;4 

 

f 1 

10 

 

M 

10 

f 3 

6 M m 16. 

 

m 

6 

 

25 

f 4 

 

4 

Chọn B. 

Câu 30 (TH) 


Góc giữa đường thẳng a, b là góc giữa đường thẳng a’, b’ với a // a’, b // b’ 


Gọi K là trung điểm của AB 

 

 

của tam giác) AC, IJ IK, IJ KIJ 

Ta có: 

 

Chọn B. 

KIJ 

0 

KIJ 60 . 

là tam giác đều 


 

 

IK // BC (tính chất đường trung bình 

 

16

Câu 31 (VD) 


n 

 

Xác suất của biến cố A được tính bởi công thức: 

A 


Số cách chia 8 đội thành 2 bảng là: 

n 

 

4 4 

8 4 

P A 

C . C 70 

n 

cách chia. 

Gọi A là biến cố: “Hai đội của Việt Nam được xếp vào 2 bảng khác nhau”. 

1 3 

Số các chia 2 đội của Việt Nam vào 2 đội là: C . C 40 cách chia. 

40 4 

P A 

 

70 7 

Chọn D. 

Câu 32 (VD) 


2 6 

Sử dụng nguyên hàm cơ bản và phương pháp nguyên hàm từng phần để làm bài toán hoặc đạo hàm các 

hàm số ở từng đáp án, đáp án nào có đạo hàm ra hàm số bài cho là đáp án đúng. 


x 

Ta có: I dx 

2 

sin x 

u 

x 

 

du 

dx 

1 

Đặt dv 

dx v cot x 

2 

sin x 

 

I x cot x cot xdx x cot x ln sinx C. 

Chọn A. 

Câu 33 (VD) 


Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để làm bài toán. 


Chọn hệ trục như hình vẽ. 

Ta có: 

2 2 2 2 

AC BC AB 13a 4a 3a 

0;0;0 , ;0;0 , 2 ;0;0 ,C0;3 ;0 , ' 0;0;4 

 

; 3 ;0 , ' 2 ;0; 4 , ;0;0 

A E a B a a A a 

 

CE a a A B a a EB a 

 

2 2 2 

CE, A' B 

 

12 a ;4 a ;6a 

 

 

CE, A' B 

 

. EB 

d CE, A' 

B 

 

CE, A' 

B 

 

 

12a 

12a 

 

4 4 4 

144a 16a 36a 

14a 


3 3 

2 

 

6a 

7 

Chọn C. 

17

Câu 34 (VD) 


 

 

3 

+) Đặt t x 3 x, x 1;2 , tìm khoảng giá trị của t. 

+) Biện luận số nghiệm của phương trình f t m dựa vào đồ thị hàm số 


 

 

3 

2 

Đặt t x 3 x, x 1;2 , ta có t ' x 3x 3 0 x 1 

BBT: 

 

t 2;2 

 

x -1 1 2 

t ' x 

- 0 + 

t 

 

Ứng với t = 2 có 1 giá trị x 1;2 

 

2 

Ứng với t ( 2;2] 

có 2 giá trị x 1;2 

 

 

 

-2 

2 

y f x 

3 

Phương trình f x 3x m có 6 nghiệm thuộc 1;2 

khi và chỉ khi phương trình f t m có 3 

nghiệm phân biệt thuộc ( 2;2] 

 

 

Dựa vào đồ thị hàm số y f x ta có: Phương trình f t m có 3 nghiệm phân biệt thuộc ( 2;2] 

khi 

và chỉ khi m = 0, m = -1 (Do m ) 

Chọn B. 

Câu 35 (VD) 


Cho số phức z a bi z a bi. 

Modun của số phức z x yi : 


Gọi z a bi z a bi a, 

b 

z x y 

2 2 


 

 

18


z 1 z z i z z i 1 

 

2 2 

 

 

2 2 

1009 

a bi 1 a bi a bi i a bi a bi i .i 

 

1 

 

a 1 b bi i 2ai 

1 

 

2 

 

2 

2 2 

a b 

a 1 b 1 

 

1 1 

2 2 2 

 

 

a 1 b b 2ai 1 b 2a 

 

b 2a 

0 

b 

2a 

b 

2a 

 

a 

0 

b 

2a 

2 

 

a 

2 2 

a 2a 1 4a 

1 

5 

 

 

 

2 4 

b 

2a 

b 2a 

 

 

 

z i 

5 5 

2 2 

 

a 2a 1 4a 

1 

 

a 0 

 

 

 

z 

0 

 

2 

a 2 4 

5 z 

i 

 

 

5 5 

Chọn D. 



2 1 3 

m x f x 

x nghiệm đúng x 

0;3 

3 

1 3 2 

g x f x x x m nghiệm đúng x 

0;3 

m min g x. 

3 

0;3 

g ' x f ' x x 2 x. 

Ta có 

2 

Dựa vào BBT ta thấy: 

f 

x -1 1 3 

x 

 

2 

1 f ' x 3x 0;3 1 x 2x 

3 

1 

g ' x 0x 

0;3 

Hàm số đồng biến trên 0;3 

 

 

 

min g x g 0 f 0 m f 0 

0;3 

Chọn B. 

Câu 37 (VD) 


3 


 

 

2 

19

+) Gọi I a; b; 

c . Từ giả thiết ta có 

+) Giải hệ phương trình tìm a, b, c. 


 

 

IM 

IN 

 

IM 

IP 

 

 

d I; 

Oyz 

IN 

Gọi I a; b; 

c là tâm mặt cầu tiếp xúc với (Oyz) đồng thời đi qua M, N, P. 

IM 

IN 

 

Ta có: IM 

IP 

 

 

d I; 

Oyz 

IN 

Ta có: 

 

IM 2 a;1 b;4 

c 

 

IN 5 a; 3 b;1 

c 

 

IP 1 a; 3 b;1 

c 

 

 

 

d I; 

Oyz a 

 

 

 

 

2 1 4 5 

 

2 2 2 2 

 

2 2 

a b c a b c 

 

 

 

2 2 2 2 

a 5 

a 

b c 

 

2 a 1 b 4 c 1 a 3 b 1 

c 

2 2 2 2 2 2 

4a 4 2b 1 8c 16 10a 

25 

 

4a 4 2b 18c 16 2a 1 6b 9 2c 

1 

2 2 2 2 

a 5 

a 

b c 

6a 2b 8c 4 b 1 

c 

 

 

2a 8b 6c 10 a 1 

c 

 

a b c 

 

c c 

c 

2 2 2 2 

10 25 10 1 1 25 

c 

2 

 

a 

3 tm 

b 

1 

c 

 

 

b 

1 

a 1 c 

c 2 

 

c 4 

2 

 

2x 

12c 

16 0 

a 

5 ktm 

 

b 

3 

Chọn B. 

Câu 38 (VD) 


Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. 


I 

1 1 

 

dx 

dx 

 

3x 5 3x 1 7 

 

3x 1 5 3x 

1 6 

0 0 


20

Đặt 

Đổi cận: 

3x 1 t t 3x 1 2tdt 3dx dx tdt 

3 

x 

1 

t 2 

 

x 

0 t 1 

2 2 

2 2 2 

2 tdt 2 tdt 2 3 2 

I dt 

3 t 5t 6 3 

 

t 2 t 3 3 

 

t 3 t 2 

 

2 

1 1 1 

2 2 2 

 

3 1 3 

3ln t 3 2ln t 2 3ln 5 2ln 4 3ln 4 2ln 3 

2 2 20 4 

3ln 5 2ln 3 5ln 4 10ln 2 2ln 3 3ln 5 

ln 2 ln 3 2ln 5 

3 3 3 3 

20 

 

a 

3 

4 10 

b a b c . 

3 3 

c 2 

 

 

Chọn A. 

Câu 39 (VD) 


Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ABC: 


x 

1 

2t 

 

: 1 2 ; ;2 . 

z 

2 t 

 

 

AB 1; 1; 2 ; BC 2t 1; t 2;3 t. 

 

AB, BC 

 

3t 7; 3t 1;3t 

3 

1 

S 

ABC 

AB, BC 

2 2 

2 

Ta có: d y t C d C t t t 

t t t 

 

 

2 2 2 

3 7 3 1 3 3 4 2 

2 

27t 

54t 

59 32 

 

2 

27t 54t 27 0 t 1 

 

C 1;1;1 m n p 1 m n p 3. 

Chọn C. 

Câu 40 (VD) 


Giải bất phương trình 

log 

a 

a 

1 

b 

x 

a 

x b 

0 a 1 

 

 

b 

 

x 

a 

S 

ABC 

1 

 

2 

 

AB, 

AC 

 


21


Điều kiện: x > -5 

Xét dấu hàm số f x x x 3 x 3 

x - -3 - 0 + 3 + 

x + 3 - 0 + + + 

x - 3 - - - 0 + 

f x 

- 0 + 0 - 0 + 

 

 

 

f x 0 x 3;0 [3; 8) 

 

f x 0 x ( ; 3] [0;3) 

3 

x x x 

 

 

x 

3 

x 9x 

0 

x x 3 3 0 

 

 

0 

 

ln x 5 

0 

x 5 e 

9 ln 5 0 

 

3 

 

x 9x 

0 

x x 3 x 3 

0 

 

0 

ln x 5 

0 

 

 

 

x 5 e 

 

x 3;0 [3; 8) 

 

 

x 4 

4 x 3 

 

x ( ; 3] 0;3 

0 x 3 

 

 

 

 

x 4 

Lại có x 

x 4; 3;0;1;2;3 

 

Chọn C. 

Câu 41 (VD) 



2 

Xét hàm số y g x f cos 

x x x ta có g ' x sin x f ' cos x 

2x 

1 

Câu 42 (VD) 





+) Sử dụng công thức uv' u ' v v ' u. 

+) Sử dụng phương pháp tích phân 2 vế. 

+) Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần udv uv vdu. 


 

Ta có: 

x x x x 

f x f ' x e f x e f ' x e 1 f x e 

' 1 

Lấy tích phân 2 vế ta có: 


 

 

22

x 

 

x 

x x 

x x 

x 

 

f xe 

'dx 

dx f x e x f x e f 0 

x 

0 0 

0 0 

x 

2 2 

2x 

x 

2 

f x e x f x x e 

f x e x e 

2x f xe dx x 

x 

2e dx x 

x 

2 d e 

 

 

 

2 2 1 

x x x x x 

x e e dx C x e e C x e C 

 

Chọn D. 

x 



Xét hàm số có 

Vẽ đồ thị hàm số 

Khi đó ta có 

1 2 

g x f x x f 0 

có g ' x f ' x x 0 f ' x 

x. 

2 

' 

y f x 

x 

2 

* 

 

 

x 0 

 

x 2 

và đường thẳng y = -x trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có: 

g x 

x 

2;3 

Phương trình ' 0 có 1 nghiệm đơn 2 2;3 Hàm số y g x có 1 cực trị thuộc 

1 

2 

Xét g x 0 f x x 2 f 0 

2 

x 

2 

Ta có f 0 f 0 x 

2;3 

BBT hàm số 

x 

 

y f x 

-2 a 0 b 3 

f ' x + 0 - 0 - 0 + + 

f x 

f 2 


f a 

f 

0 

f b 

f 

3 

 

Ta so sánh 

f 

0 

và 

f 

3 

23

 

3 

Ta có f ' x dx f ' x dx f 0 f b f 3 f b f 0 f 3 

0 

So sánh 0 và f 2 . Ta có: 

a 

 

2 

 

f 

0 

b 

 

 

f ' x dx f ' x dx f a f 2 f a f 0 f 2 f 0 

a 

2 

x 

Phương trình f x f 0 

có tối đa nghiệm thuộc 

2 

2;3 

g x 0 

 

Phương trình có tối đa 2 nghiệm Hàm số y g x có tối đa 1+2=3 cực trị 

Chọn D. 

Câu 45 (VD): 


 

 

+) Kẻ BH SC H SC Xác định góc giữa (SBC) và (SCD) 

+) Gọi x là độ dài cạnh đáy của chóp đều S.ABCD . Tính độ dài HB, HD theo x. 

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác BDH, từ đó biểu diễn x theo a. 

1 

+) VS . ABCD 

Sday. h. 

3 


Gọi x là độ dài cạnh đáy của chóp đều S.ABCD . 

Gọi O AC BD SO ABCD 

Ta có: 

 

BD AC gt 

 

 

BD SO SO ABCD 

Trong (SBC) kẻ 

BH SC 

 

BD SC cmt 

Ta có: 

 

 

 

 

BH SC H SC 

 

 

 

 

 

 

BD SAC BD SC 

 

 

ta có 

SC BDH SC DH 

 

SBC SCD SC 

1 

cos BHD 

 

 

 

10 

SBC BH SC SBC; SCD BH; 

DH 

 

1 

SCD DH SC 

cos BHD 

 

 

10 

Dễ dàng chứng minh được BHC DHC HB HD HBD 

cân tại H. 

Xét tam giác SBC ta có: 

2 

x 11 

HC BC.cos 

C 

 

22a 

2 2 2 2 

BC SC SB x x 

11 

cos C 

 

2. BC. SC 2 x. 11a 

22a 

x x a x 

 

44a 

2a 

11 

4 2 2 

2 2 2 

HB BC HC x HD 

2 

Xét tam giác BDH có: 


24

x 

x 

HB HD BD 22 22 

44x a 

cos BHD 

a a 1 

x 

 

44a 

 

22a 

TH1: 

4 4 

2 2 2 2 

2 2 2 2x 2x 2x 2x 

2 2 

2 2 

4 

4 2 2 4 

2 HB. HD 2 x 

2 

44x a x 

2 x 

2x 

 

2 

2 

1 

2 2 

44x a 1 

2 2 

44x a 9 

10 

2 2 4 

44x a x 10 

2 2 4 

44x a x 10 

cos BHD 1 

440x a 396x a 9x 9x 44x a 

2 2 2 2 4 4 2 2 

(vô nghiệm) 

2 2 2 2 

1 44 1 44 11 

TH2: cos x a 

x a 

BHD 1 

2 2 4 2 2 4 

10 44x a x 10 44x a x 

10 

2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 

440x a 484x a 11x 11x 44x a x 4a x 2a 

1 1 

OA AC .2 a . 2 a 2 

2 2 

Xét tam giác vuông SOA có: 

1 1 

VS . ABCD 

SO. S 

ABCD 

.3 a. 2a 4a 

3 3 

Vậy 2 3 

2 2 2 2 

SO SA OA 11a 2a 3a 

Chọn C. 

Câu 46 (VD): 


+) Xác định hàm parabol, sử dụng công thức tính thể tích vật thể giới hạn bởi đồ thị hàm số 

 

2 2 

y f x , y g x , x a, 

x b a b khi quay xung quanh trục Ox: V f x g xdx 

+) Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ chiều cao h, bán kính đáy R: V R h 


Gắn hệ trục tọa độ như sau: 


b 

 

a 

2 . 

P : y ax bx c. 

+) Gọi phương trình parapol là 

2 

(P) đi qua 

A 

10;0 , B 0;20 

và nhận x = 10 là trục đối xứng nên ta có hệ phương trình: 

25

1 

 

a 

100a 10b c 0 5 

 

1 1 

c 20 b 4 P : y x 4x 20 x 10 

 

5 5 

b 

c 

20 

10 

 

2a 

 

 

 

2 

2 

 

x 10 5y x 10 5y x 10 5y 

20 

2 1000 

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi (P), trục Ox, Oy là V1 

10 5y 

dy 

3 

2 

+) Thể tích khối trụ có chiều cao h = 5, bán kính R = 10 là V2 10 .5 500 . 

1000 

2500 

500 . 

3 3 

3 

Vậy thể tích chiếc mũ là V V1 V2 

cm 

 

Chọn B. 



Giả sử z x yi . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z1, 

z2 

ta có AB = 4 

Ta có: 

z 68 zi x yi 68 x yii 

x 6 yi 

8 

xi y 

6 8 68 8 6 

x yi y xi x y xy y y x x 

i 

2 2 

8x xy 48 6y xy x y 6x 8y i 

 

2 2 

8x 6y 48 x y 6x 8y i 

Theo bài ra ta có 

 

2 2 

x y x y 

6 8 0 

2 2 

A, B C : x y 6x 8y 

0 

 

Xét điểm M thỏa mãn MA 3MB 

0 

MO OA 3MO OB 0 OA 3OB 4OM 

Gọi H là trung điểm của AB ta có: 

 

 

là đường tròn tâm 4;3 bán kính R = 5 

M thuộc đường tròn (T) tâm I 3;4 

bán kính R ' 22 

Ta có: z1 3z2 

OA 3OB 4OM 4OM 

1 2 min 

min 


z 3 z OM OI R ' 5 22. 

2 2 2 2 2 

HI R HB 21, IM HI HM 22. 

0 

2 

26

Vậy z1 z2 min 

Chọn C. 

3 4 5 22 20 4 22. 



x 

+) Đặt 1. Đưa phương trình về dạng 

2 

t g t m, t a; 

b 

+) Phương trình có nghiệm 


t 

 

min g t; max g t 

 

. 

a; b 

a; 

b 

 

x 

Đặt t 1, x 2;2 t 0;2 

và x 2t 

1 

2 

1 

3 f t t m t f t m t t m 

Khi đó ta có 2 1 , 0;2 3 6 1 6 3 6 * 

 

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số 

 

Vẽ đồ thị hàm số y f t và y 6t 

trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ ta có: 

Gọi d 1 là đường thẳng đi qua 

Gọi d 1 là đường thẳng đi qua 

 

 

y 

f t 

và đường thẳng d : y 6t 3m 

6 

0; 4 

và song song với đường thẳng y 6 t d : y 6t 

4 

2;5 

và song song với đường thẳng y 6 t d : y 6t 

17 

 

 

Để phương trình (*) có nghiệm t 0;2 Đường thẳng d : y 6t 3m 

6 nằm giữa hai đường thẳng 

 

10 11 

d1 

và d2 

4 3m 6 14 m . 

3 3 

Kết hợp điều kiện m 

m3; 2; 1;0;1;2;3 

 

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN. 

Câu 49 (VD): 


+) Tham số hóa tọa độ điểm H 1, K 2. 

 

+) d u . HK 0. 

d 


2 

1 

27

+) Tính độ dài HK . Tìm điều kiện để HK nhỏ nhất. 


 

Giả sử H 3 2 t; t;1 t 1, K 1 t ';2 2 t '; t ' 2.ta có: HK t ' 2t 2;2 t ' t 2; t ' t 1 

 

Đường thẳng d có 1 VTCP là ud 

1;1; 2 

 

Vì d u HK u . HK 0 

 

d 

t ' 2t 2 2 t ' t 2 2 t ' t 1 0 

d 

 

t ' t 2 0 t ' t 2 

 

2 

2 2 

HK t 4; t 2; 3 HK t 4 t 2 9 

Ta có 

2 

2 2 

HK t t t 

2 4 29 2 1 27 27 

 

HKmin 3 3 t 1. Khi đó HK 3; 3; 3 / / 1;1;1 

 

Suy ra đường thẳng nhận u 1;1;1 là 1 VTCP h k 1 

Vậy h k 11 0 

Chọn A. 


 

 


 

 

 

2 2 

MN cùng hướng với a 1; 1;0 MN k; k;0 k 0 MN 2k 50 k 5 

 

MN 5; 5;0 

 

AA' MN 5; 5;0 A' 1;2;3 

Lấy A ' thỏa mãn 

Vì AA 'NM là hình bình hành AM 

A' 

N 

Ta có: AM BN A' N BN A' N 17 

Dấu "=" xảy ra N A' 

B Oxy 

Ta có 

 

A' B 3;2;2 

 

 

 

 


N A' B N 1 3 t;2 2 t;3 

2t 

3 

N Oxy 

3 2t 0 t 

2 

Khi đó 

Chọn A. 

7 17 

N ; 1;0 ; M ;4;0 

2 2 

 

x 

1 

3t 

 

A' B : y 2 2t 

z 

3 2t 


28

Bộ đề dự đoán kì thi THPT Quốc Gia năm 2019 chuẩn (Kèm lời giải) môn Toán

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?