Les matemàtiques a la natura - Marta Sanz Matamoros

LES MATEMÀTIQUES A LA NATURA


"La geometria té dos grans tresors: el teorema de Pitàgores i el nombre

auri. El primer pot comparar-se a una mesura d'or; el segon, a una pedra

preciosa "

(Johannes Kepler)

2


Índex

1 Introducció 4

2 Proporció àuria 5

2.1. Definició del nombre auri 5-7

3 El rectangle auri 8-9

3.1. Propietats del rectangle auri 10

4 L’angle auri 11

5 El pentàgon regular i el nombre d’or 12

6 Successió de Fibonacci 13

6 1. Leonardo de Pisa àlies Fibonacci 13

6.2. Un problema .. de conills! 13-15

6 3. Propietats de la Successió de Fibonacci 16-17

7 Fil·lotaxi i proporció àuria 18-19

8 Pràctica 1: La successió de Fibonacci a les flors del Delta de l’Ebre 20-41

9 Pràctica 2: El nombre d’or a les flors de cinc pètals 42-54

10 Pràctica 3: Models geomètrics de les flors 55-82

11 Pràctica 4: Fil·lotaxi 83-85

12 Conclusions 86

13 Agraïments 87

14 Annex 1 88

15 Annex 2 89-90

16 Annex 3 91-92

17 Referències bibliogràfiques 93-95

3


1 Introducció

En aquest treball el meu objectiu és demostrar que es compleix la proporció àuria i la

successió de Fibonacci en les plantes del Delta de l’Ebre.

La idea d’aquest projecte va sorgir durant una classe de matemàtiques, on la meva

professora M.Carme ens va parlar del nombre d’or i aquest tema va despertar la meva

curiositat. En aquells moments, estava cursant primer de batxillerat i havia d’escollir un

tema per al treball de recerca. Així doncs, li vaig comentar que em semblava un tema

molt interessant però que havia buscat informació i vaig trobar que s’havia exposat

moltes vegades. Llavors va ser quan la professora em va aconsellar que apliqués aquests

fenòmens matemàtics a les plantes del Delta de l’Ebre.

Sabia que no seria un treball fàcil, però em meravellava la idea de poder comprovar per

mi mateixa com les coses que ens envolten com la forma d’una pinya o els pètals d’una

flor o les fulles d’una tija estan distribuïdes seguint una proporció matemàtica.

Aquest treball està dividit en dues parts. La primera part, consta d’una fonamentació

teòrica en la qual s’explica què és la proporció àuria i una de les seves aplicacions: la

successió de Fibonacci. La segona part, consta d’una part pràctica en la qual he utilitzat

els programes Geogebra i Paint Tool, el primer per a representar gràficament qualsevol

tipus de funció i el segon programa per a dibuixar les formes de les flors. Tanmateix,

també he utilitzat el programa Adobe Photosop per a sobreposar les flors a diferents

formes geomètriques.

Per a poder dur a terme el treball, he realitzat diverses sortides als Ullals de Baltasar i

l’Encanyissada per tal d’aconseguir les plantes sobre les que volia treballar. Vaig visitar

l’Ecomuseu del Delta de l’Ebre on no vaig poder aconseguir informació sobre la flora

del Delta. Vaig intentar accedir a l’illa de Buda però no vaig poder ja que és un àrea

privada d’accés restringit.

4


2 Proporció àuria

La proporció àuria és una relació matemàtica que ha fascinat la humanitat des de fa

segles. Aquesta proporció és considerada l’expressió màxima d’harmonia, i estableix

que ‘el petit és al gran com el gran és al tot’. Aquesta frase significa que la proporció

que s’estableix entre la part més petita d’un segment i la part més gran d’aquest ha de

ser igual a la proporció entre part més gran i el total.

2.1 La definició del nombre auri

El nombre d'or, o nombre auri, és un nombre irracional que representem amb la lletra

grega phi ().Va ser una troballa dels grecs de l'època clàssica i la seva història

documentada comença en un dels llibres més cèlebres, comentats i reimpresos de la

història: els Elements de geometria d’Euclides, escrit al voltant de 300 anys abans de

Jesucrist.

EUCLIDES D’ALEXANDRIA (325-265 A.C.)

Euclides d'Alexandria va néixer cap a l'any 325 a.C. i en

el 300 a.C. apareix ja a Alexandria com a director del

departament de matemàtiques de l'anomenat Museu

(refugi de les muses) de la ciutat, el major científic de

tot el Mediterrani en la seva època, ja que recollia

còpies dels principals manuscrits científics del moment.

Allí va viure i va morir cap a l'any 265 a.C. Es creu que

es va educar a Atenes i se'l considerava ja en vida un

dels grans talents de l'època.

La seva influència s'estén a través dels segles de tal manera que quan en la dècada de

1930 un grup de matemàtics amb el nom col·lectiu de Bourbaki va voler donar un gir

radical a les matemàtiques de l'època van enarborar la consigna: "A baix Euclides".

5


Elements de Geometria es compon de tretze llibres. Del llibre I al llibre VI es dedica a la

geometria elemental, de la VII al X , a qüestions numèriques i de l'XI al XIII a la

geometria dels sòlids. En el llibre VI, com a tercera definició, apareix el text que ho va

començar tot. La traducció castellana del cosmògraf de Felip II, Rodrigo Zamorano, de

1576, la presenta de la següent manera: “Dize se ser dividida una línea recta con razón

extrema y media quando fuere que como se ha toda a la mayor parte, así la mayor a la

menor”.

Traducció castellana del cosmògraf Rodrigo Zamorano realitzada l’any 1576

Font: Corbalán, F. (2010). La proporción áurea.

Traduït al català el text diu: "Es diu que una recta està dividida en mitjana i extrema raó

quan la longitud de la línia total és a la part més gran, com la d'aquesta part és a la

menor". O dit encara més concretament: "El tot és a la part com la part a la resta".

Aquesta mitjana i extrema raó és el nombre que amb posterioritat es dirà nombre d'or o

nombre auri i al qual Luca Pacioli dedicarà tot un tractat en 1509, donant-li el nom de

Divina proporció. Phi (),el símbol amb el que avui coneixem al nombre auri, se li va

assignar en època posterior, a principis del segle XX, quan el matemàtic nord-americà

Mark Barr va proposar vincular el nombre amb Fidias, constructor del Partenó d'Atenes,

i va prendre prestada la seva inicial.

A continuació calcularem el nombre .

1 X-1

X

6


Si tenim un segment i en ell prenem dues parts, la partició que hem fet ho serà en

mitjana i extrema raó, és a dir serà una partició àuria quan x = 1

1 x−1

Aquesta igualtat ens porta (ja que perquè dues fraccions siguin iguals o equivalents ho

han de ser els seus productes en creu: a = c

a · d = b · c a l'equació de segon

grau:

x · (x − 1) = 1 · 1 x 2 − x = 1

Equivalent a:

x 2 − x − 1 = 0

b

d

Té dues solucions, i la positiva, que és la que ens interessa, és:

x = 1 + √5

2

≅ 1,618

Aquesta és la relació que busquem i a la que anomenem :

= 1 + √5 ≅ 1,618

2

Ja que en la seva expressió apareix una arrel quadrada no exacta, el número serà un

nombre irracional. El que vol dir que mai tindrem una expressió decimal exacta. I

encara més: no hi haurà cap grup dels seus decimals que es repeteixi de manera

periòdica. El nombre és, doncs, un nombre decimal no periòdic, del qual es poden

conèixer tantes xifres exactes a partir de les de √5.

7


3 El rectangle auri

El rectangle auri, també anomenat d’Euclides, és un rectangle concret els costats del

qual estan en proporció àuria.

Podem construir un rectangle auri a partir d’un quadrat ABCD. Marquem el punt mitjà

M d’un dels seus costats AB. Amb centre en M i radi MC tracem un arc que talli la

prolongació d'AB. La longitud d'AE és la longitud del costat del rectangle auri que

busquem. Llavors, només cal fer la perpendicular per E que talla en F. Així, vam

aconseguir el rectangle AEFD, el nostre rectangle auri.

Construcció rectangle auri a partir d’un quadrat

Font: elaboració pròpia

Si suposem que el quadrat inicial té 2 unitats de costat, el segment que surt des del punt

mig del quadrat fins un dels vèrtexs oposats (segment MC) val √5 .

- Teorema de Pitàgores

h²= a²+b²

h=√a 2 + b²

h= √1 2 + 2²

h= √5

8


El rectangle auri format té costats 2 i 1+ √5.

Així, diem que un rectangle és auri quan la proporció entre els seus costats diferents és

aproximadament 1,62, és a dir, quan el costat més llarg és 1,62 vegades més gran que el

costat més curt.

9


3.1 Propietats del rectangle auri

Si en un rectangle auri ABCD eliminem del seu interior un quadrat ABEF el costat del

qual és el costat menor del rectangle auri, s'obté un altre rectangle auri ECDF. Les

diagonals dels dos rectangles auris que es formen ABCD i ECDF, es tallen sempre en

angle recte.

Si repetim successivament aquest mateix procés amb el rectangle auri més petit

eliminant del seu interior un quadrat obtenim la següent successió de rectangles auris.

En traçar les diagonals, com en el cas anterior, s'observa que totes elles estan situades

sobre les dues rectes BD i CF, és a dir, són sempre perpendiculars i el seu punt de tall

sempre és el mateix. A aquest punt on convergeixen els innombrables rectangles auris

que pot generar la nostra imaginació geomètrica s'ha proposat dir-li "l'ull de Déu".

10


4 L’angle auri

Podem establir una relació angular de proporció entre dos segments angulars per obtenir

el nombre auri.

Siguin "a" i "b" els segments que es troben a la proporció àuria. Si dibuixem amb ells

una circumferència de longitud a+b, el valor de l'angle central corresponent al segment

menor és un nombre irracional, que podem simplificar i arrodonir com 137,5°. Si

dividim l'angle central corresponent al segment més gran entre el corresponent al

segment menor obtenim el nombre auri.

11


5 El pentàgon regular i el nombre d’or

Podem comprovar que en el pentàgon regular el quocient entre la longitud d'una

diagonal i un costat del pentàgon és el nombre auri.

El pentàgon i les seves diagonals conformen dos tipus de triangles isòsceles. Un amb

angles de 36°, 36° i 108° i el un altre amb angles de 72°, 72° i 36° i ambdós casos el

quocient entre el costat major i el costat menor és el nombre d’or.

12


6 Successió de Fibonacci

La successió de Fibonacci és una eina matemàtica que sovint apareix en els patrons

geomètrics de multitud de processos i estructures naturals.

6.1 Leonardo de pisa àlies Fibonacci

Leonardo de Pisa (1170-1250), més conegut en el món de les matemàtiques com

Fibonacci, fou un matemàtic italià, considerat com "el matemàtic occidental més

talentós de l'Edat Mitjana".

Fibonacci va publicar a principis del segle XIII el Liber Abaci (Llibre dels càlculs) on

plantejava problemes com a exercicis per als seus lectors. Un d’aquests problemes és el

que va donar lloc a la coneguda successió de Fibonacci, el problema dels conills.

6.2 Un problema... de conills!

“Un home té un parella de conills en un determinat lloc completament envoltat per

murs. Volem saber quantes parelles es crien d’ella en un any, si la natura d’aquests

conills és tal que crien tots els mesos una altra parella i comencen a reproduir-se al

segon mes del seu naixement. ”

Resolució del problema:

• El primer mes comencem amb una parella de conills (primer terme de la

successió=1).

• En el segon mes continuem tenint una parella de conills ja que encara no són fèrtils

(segon terme de la successió=1)

• El tercer mes la parella tindrà una parella de conills per tant tindrem dues parelles de

conills (tercer terme de la successió=2).

13


• El quart mes la primera parella tindrà una nova parella de conills però la segona

encara no serà fèrtil, per tant no tindrà cap, aleshores tindrem les dues parelles que

teníem més la nova parella engendrada per la primera, en total tres parelles (quart

terme de la successió=3).

• El cinquè mes la primera parella i la segona ja són fèrtils per tant tindran cada una,

una parella de conills, per tant tindrem 4 parelles però li hem de sumar la parella que

hem tingut el mes passat que encara no pot tenir conills, aleshores tenim un total de

cinc parelles ( cinquè terme de la successió=5)


14


Taula referent a la resolució del problema

Font: Corbalán, F. (2010). La proporción áurea.

El resultat d’això és que cada parell de conills té 2 parells en la seva vida, i mor. És a

dir, en la successió de Fibonacci, cada nombre és la suma dels dos nombres anteriors,

començant amb 0 i 1. Així comença la successió:

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Per tant, es pot deduir que l’expressió de la successió de Fibonacci és:

F(n)= F (n-1) + F(n-2)

On:

F (n) és el terme en posició “n”

F (n-1) és el terme anterior (n-1)

F (n-2) és el terme anterior a aquest (n-2)

15


6.3 Propietats de la successió de Fibonacci

Usant els termes de la successió de Fibonacci podem dibuixar rectangles de

dimensions iguals als termes de la successió, expressades, per exemple, en

centímetres.

Tal com s'observa a la figura adjunta, els rectangles amb aquestes dimensions

encaixen perfectament entre si, com a peces d'un quadrats, de mides

progressivament majors.

L'explicació és senzilla. Sumant els productes dels termes consecutius de la

successió en la forma:

(1·1) + (1·2) + (2·3) = 3², obtenim el quadrat de l’últim terme

(1·1) + (1·2) + (2·3) + (3·5) + (5·8) + (8·13) + (13·21) = 21²

(1·1) + (1·2) + (2·3) + (3·5) + (5·8) + (8·13) + (13·21) + (21·34) + (34·55) +

(55·89) + (89·144) = 144² ....etc.

Unint rectangles de dimensions igual als termes correlatius de la successió de

Fibonacci, formem l'anomenada espiral de Fibonacci.

16


Però la relació més sorprenent de totes, és la seva correlació amb el nombre d'or,

l’anomenada raó àuria φ.

φ =

1+√5

2

= 1,6180...

Si prenem els termes de la successió de Fibonacci.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .......

I dividim cada terme per l'anterior anem obtenint els següents valors.

1 2

= 1 =2

1 1

3

= 1,5

2

5

= 1,66..

3

8

= 1,6

13

=1,625

21

=1,615...

34

=1,619...

5

8

13

21

55

=1,617...

34

89

= 1,618...

55

144

89 =1,617...

2.5

1.5

Proporció

0.5

Nombres de Fibonacci

13 21 34 55


17


7 Fil·lotaxi i proporció àuria

Un dels exemples més sorprenents en el qual es fa evident la presència del nombre auri i

de la successió de Fibonacci a la natura el trobem en l’estudi de la fil·lotaxi de molts

vegetals. Es coneix com fil·lotaxis d'una planta, arbre o flor a la distribució dels seus

òrgans laterals. És a dir, la fil·lotaxis representa la distribució de les fulles al voltant de

la tija d'una planta, de les branques al voltant del tronc, o dels pètals i les llavors d'una

flor.

Si es pren la fulla d'una tija i es compta el nombre de fulles consecutives (n) fins a

trobar una altra fulla amb la mateixa orientació aquest número, en general, és un terme

de la successió de Fibonacci. A més si mentre es compten les fulles es va girant la tija,

el nombre de voltes (m) que s'han de donar a la tija per arribar a la següent fulla amb la

mateixa orientació, també és un terme de la successió de Fibonacci. La raó m

n

en el numerador com en el denominador un terme de la successió de Fibonacci.

conté tant

D'altra banda, els termes d'aquesta sèrie de fraccions es troben entre ½ i 1/3, ja que les

fulles successives estan separades entre si per un mínim d'un terç d'una circumferència,

assegurant la màxima il·luminació i l’aire per a cada base de la fulla, formant angles

"ideals" entre les fulles o branques i el tronc.

18


Seria difícil pensar que els arbres es comporten d'acord a les lleis matemàtiques sense

més motiu, però tots estarem d'acord en que per la seva naturalesa tenen una certa

intuïció que els fa lluitar per la seva supervivència, i per la reproducció i / o per la

màxima expansió de la seva espècie.

Tenint en compte aquesta intuïció, sembla natural pensar que cada branca o cada fulla

nova d'un arbre no creixerà superposant-se a les anteriors, ja que en aquest cas la nova

absorbiria tota la llum, i en conseqüència, es moririen les més antigues. Però no només

això és cert, sinó que aparentment les branques i les fulles de qualsevol planta o arbre

segueixen distribucions ben definides. De fet, les fulles dels arbres no creixen de forma

desordenada i arbitrària, sinó que brollen en sentit helicoïdal respecte a l'eix central, que

és la tija, formant una espècie d'hèlix les aspes, que són les pròpies fulles, estan

disposades de manera equiangular, és a dir, l'angle que forma qualsevol parell de fulles

consecutives és constant. A aquest angle constant se l'anomena angle de divergència, i

realitzant mesuraments experimentals s'ha comprovat que, en la majoria de les ocasions,

aquest angle és aproximadament 137,5°.

Distribució de les fulles d’una planta

Observem la fil·lotaxis des d’un punt de vista matemàtic. Si suposem que els òrgans

laterals dels vegetals creixen mantenint un angle constant podem considerar un model

matemàtic, proposat per H.Vogel el 1979, amb l'objectiu de calcular l'angle que

proporcioni la màxima exposició a la llum vertical. La solució a aquest problema és:

360°

² = 137,50776405003785464634 …

19


Pràctica 1: La successió de Fibonacci a les flors del Delta de

l’Ebre

FAMÍLIA ALISMATACEAE

PLANTATGE D’AIGUA (Alisma plantago-aquatica)

Número de pètals: 3

Sí segueix la successió de Fibonacci

Localització (àrees agrícoles):

Ampolla- la Cava, Sant Jaume

d’Enveja, Poblenou, illa de Buda, etc.;

ullals: Carrova, Baltasar

FAMÍLIA AMARYLLIDACEAE

LLIRI DE MAR (Pancratium martitimum)

Número de pètals:6

No segueix la successió de Fibonacci

Localització (litoral): platja de la

Marquesa, platja de la Bassa de

l’Arena, Garxal, illa de Buda; Punta de

la Banya

20


FAMÍLIA ASCLEPIADACEAE

CORRETJOLA BORDA (Cynanchum acutum)



Litoral: Sant Carles de la Ràpita-

Encanyissada, platja de la Marquesa,

Garxal, Serrallo, Aufacada-Platajola,

Port del Fangar, el Trabucador, illa de

Sant Antoni, etc.; ribes de l’Ebre: illa de

Buda, illa de Sapinya, Migjorn, illa de

Gràcia, etc.

MIRAGUÀ DE JARDÍ (Araujia sericifera)



Àrees agrícoles i urbanes: l’Aldea,

Giribecs, ullals de Baltasar, Camarles,

prop de Sant Jaume d’Enveja, etc.

21


FAMÍLIA ASTERACEAE

SALSONA (Inula crithmoides)



Litoral: platja de la Marquesa, Gola

del Pal, Garxal, illa de Sant Antoni,

illa de Buda, Aufacada, Aufacadaplatjola,

Platjola, Platjola-Tacnada,

Migjorn; Punta de la Banya, Deltebre.

XICOIRA AMARGA (Cichorium intybus)



Àrees agrícoles: illa de Buda,

Amposta, Hort de la Castellona, vores

Canal Navegació, Illa de Riu,

Deltebre, etc.; ullals de Campredó

(Tortosa).

22


PANIGROC (Anacyclus clavatus)



Àrees agrícoles i urbanes: Amposta,

Migjorn, l’Aldea, Deltebre, Bomba de

l’Agulla, Migjorn, etc.

CORONÀRIA (Chrysanthemum coronarium)



Localització: Deltebre, l’Aldea

23


FAMÍLIA BORAGINACEAE

BORRATJA (Borago officinalis)



Àrees agrícoles: l’Aldea, Amposta,

Lligallo del Roig, Sant Jaume

d’Enveja, els Muntells, etc.

BESNEULA (Cynoglossum creticum)



Àrees agrícoles: l’Aldea, illa de

Gràcia, Hort de la Castellona, Bomba

de l’Agulla, Prat del Notari, l’Antic,

sud d’Amposta, Camarles, Deltebre,

Poblenou, la Comandanta, etc.

24


FAMÍLIA BRASSICACEAE

RAVE DE MAR (Cakile marítima)



Litoral: Arenal, Punta del Fangar,

platja de la Marquesa, Gola del Pal,

Bassa de l’Arena, Garxal, illa de Buda,

Aufacada-Platjola,

Punta de la Banya.

Serrallo, Aluet;

HERBA DELS CANTAIRES (Sisymbrium officinale)



Localització: L’Aldea, Deltebre

RAVENISSA BLANCA (Diplotaxis erucoides)



Àrees agrícoles: Sant Jaume d’Enveja,

l’Aldea, Amposta, Deltebre, el Goleró,

etc.

25


FAMÍLIA CARYOPHYLLACEAE

ARENÀRIA (Arenaria serpyllifolia)



Localització: Riumar

BORRISOL (Cerastium glomeratum)



Localització: Poblenou-Aluet

ESPERGULÀRIA MARINA (Spergularia marina)



Litoral i àrees agrícoles: Platjola, Port

del Fangar, Garxal, platja de la

Marquesa, Sant Jaume d’Enveja,

Camarles, la Cava, Poblenou,

Migjorn, Illa de Riu, Deltebre,

l’Aldea, illa de Sant Antoni, etc.;

26


FAMÍLIA CONVOLVULACEAE

CORRETJOLA DE MAR (Calystegia soldanella)



Litoral: l’Ampolla, platja de la

Marquesa, Serrallo, Aufacada-Paltjola,

l’Aluet, la Comandanta, illa de Sant

Antoni; Punta de la Banya.

CORRETJOLA BLANCA (Calystegia sepium)

CORRETJOLA (Convolvulus arvensis)



Àrees agrícoles i ribes de l’Ebre: illa

de Buda, illa de Sapinya, Illa de Riu,

Sant Carles de la Ràpita-Encanyissada,

l’Aldea, illa de Gràcia, Canal Vell,

Poblenou, illa de Sant Antoni, Gola

Nord,etc.; ullals: Baltasar,

Carrova, Campredó, Migjorn,

Vilacoto, les Olles, etc.



Àrees agrícoles: l’Aldea, sud

d’Amposta, Giribecs, illa de Buda, illa

de Sapinya, Sant Jaume d’Enveja, vores

Canal Navegació, l’Oriola, Lligallo del

Gànguil, Poblenou, Bombes del Canal

Vell, els Muntells, etc.; Punta de la

Banya.

27


FAMÍLIA GERANIACEAE

AGULLETA (Erodium malacoides)



Àrees agrícoles: illa de Gràcia,

Deltebre, Amposta, etc.

GERANI DE SANT ROBERT (Geranium robertianum)



Àrees agrícoles: vores Canal

Navegació, l’Esquerra, els Tres

Desaigües, Illa de Riu, etc.

AGULLES (Geranium rotundifolium)



Àrees agrícoles: illa de Buda,

Amposta, el Goleró, l’Esquerra,

Deltebre, etc.

28


FAMÍLIA IRIDACEAE

LLIRI GROC (Iris pseudacorus)



Ullals: Baltasar, Carrova, Panxa,

Campredó (Tortosa); Platjola-

Tancada, Sant Carles de la Ràpita-

Encanyissada, Erms de la Tancada,

braç de Migjorn, illa de Sapinya,

Vilacoto, les Olles.

FAMÍLIA LYTHRACEAE

BLAVET (Lythrum junceum)



Àrees agrícoles: Sant Jaume d’Enveja,

vores Canal de Navegació, etc.; ullals

de Panxa.

SALICÀRIA (Lythrum salicaria)



Vores de l’Ebre: illa de Sapinya, etc.;

ullals: Baltasar, Panxa, Carrova,

Campredó (Tortosa); Vilacoto.

29


FAMÍLIA MALVACEAE

MALVA (Malva sylvestris)



Àrees agrícoles: Carlet, Panissos,

l’Esquerra, illa de Buda, illa de

Sapinya, vores Canal Navegació, etc.

MALVA DE RUNA (Lavatera cretica)



Àrees agrícoles i urbanes: illa de

Buda, Deltebre, l’Aldea, Sant Jaume

d’Enveja, vores Canal de Navegació,

la Palma, la Platjola,etc.

MALVÍ BLANC (Althaea officinalis)



Localització: Sant Carles de la Ràpita-

Encanyissada, illa de Buda, illa de

Sapinya, les Olles, Vilacoto, illa de

Gràcia; ullals: Baltasar, Carrova,

Panxa, Campredó (Tortosa).

30


FAMÍLIA NYMPHAEACEAE

Nenúfar (Nymphaea alba)



Localització: Ullals de Baltasar, ullals

de Panxa

FAMÍLIA PAPAVERACEAE

ROSELLA (Papaver rhoeas)



Àrees agrícoles: Hort de la Castellona,

etc.

31


FAMÍLIA PLUMBAGINACEAE

ENSOPEGUERA DE ROCA (Limonium virgatum)



Localització: illa de Sant Antoni, illa

de Buda, Punta de la Banya, Garxal,

Aufacada-Platjola

ENSOPEGUERA FERULÀCIA (Limonium ferulaceum)



Litoral: platja de la Marquesa,

Aufacada, l’Aluet; Erms de la

Tancada, Punta de la Banya.

AJOCAGRIPAUS (Limoniastrum monopentalum)



Litoral de l’hemidelta Nord, des de

l’Arenal fins a l’illa e Buda: l’Arenal,

Goleró, illa de Mar, platja de la

Marquesa, urbanització de Riumar i

illa de Buda.

32


FAMÍLIA POLYGONACEAE

CENTINÒDIA (Polygonum aviculare)



Àrees agrícoles i urbanes: illa de Buda,

la Cava, Sant Jaume d’Enveja,

Camarles, Poblenou, Amposta, illa de

Gràcia, Deltebre, Carlet, Illa de Riu,

etc.; ullals de Panxa.

PASSACAMINS (Polygonum equisetiforme)



Litoral: Illa de Mar, Goleró- les Olles,

badia dels Alfacs (prop de Poblenou),

Gola Nord; l’Aldea, Deltebre, camí de

Nicoman, Erms de Sales.

33


FAMÍLIA PRIMULACEAE

ANAGALL (Anagallis arvensis)



Àrees agrícoles: illa de Buda, illa de

Sapinya, Deltebre, vores Canal

Navegació, Illa de Riu, etc.; Erms de

la Tancada, illa de Sant Antoni.

LISIMÀQUIA (Lysimachia vulgaris)



Ribes de l’Ebre; ullals: Baltasar,

Carrova

34


FAMÍLIA RANUNCUACEAE

HERBA DE FOC (Ranunculus sceleratus)



Àrees agrícoles: la Cava, Poblenou,

illa de Buda, Carlet, Illa de Riu,

Deltebre, etc.

ESPERÓ (Delphinium orientale)



Localització: carretera entre Amposta i

Sant Jaume d’Enveja.

35


FAMÍLIA ROSACEAE

ESBARZEROLA (Rubus caesius)



Localització: Vores de l’Ebre, illa e

Sapinya, Hort de la Castellona, ullals

de l’Arispe, Deltebre, Carlet.

ESBARZER (Rubus ulmifolius)



Localització: Vores de l’Ebre: illa de

Buda, Deltebre Àrees agrícoles:

Poblenou, etc. Ullals: Carrova,

Campredó; Pont de Rodes

CINC-EN-RAMA (Potentilla reptans)



Àrees agrícoles: l’Aldea, Amposta,

Hort de la Castellona, vores Canal de

Navegació, etc.; ullals: Carrova,

Campredó (Tortosa).

36


FAMÍLIA RUBIACEAE

CRUCIANEL·LA MARINA (Crucianella maritima)



Litoral: platja de la Marquesa, Gola

del Pal, Bassa de l’Arena, Garxal, illa

de Sant Antoni, Alfacs-La Ràpita;

Punta de la Banya.

HERBA AFERRADISSA (Rubia peregrina)



Localització: Illa de Buda, Estació

Biològica Canal Vell.

37


FAMÍLIA SCROPHULARIACEAE

ANAGALL D’AIGUA (Veronica anagallis-aquatica)



Localització: Ullals de Panxa

FAMÍLIA VERBENACEAE

BERBENA (Verbena officinalis)



Àrees agrícoles: Illa de Riu, Bomba de

l’Agulla, Canal Navegació, l’Aldea, la

Cava, etc.; Erms de la Tancada, illa de

Sapinya, ullals de Panxa, Pont de

Rodes.

38


Per a realitzar aquest estudi, en primer lloc he buscat informació als següents llibres:

- Flora i fauna del Parc Natural Delta de l’Ebre (Toni Llobet i François)

- Flora vascular del delta de l’Ebre (Antoni Curcó Masip)

Tots dos els he agafat prestats de la biblioteca municipal. Una vegada m’he informat de

la flora típica d’aquí, el següent pas va ser anar a buscar les plantes i/o flors. El primer

lloc on vaig anar va ser als Ullals de Baltasar, allí vaig viure tota una odissea per tal

d’aconseguir un nenúfar que es trobava a un dels ullals. Tot i que el vaig posar amb

aigua, al dia següent s’havien tancat tots els pètals, sort que ja li havia fet les

fotografies. Dels ullals també vaig recollir el malví blanc, la crucianel·la marítima,

l’eucaliptus i el tres tipus de corretjola. Després, vaig intentar anar a l’illa de Buda però

sorprenentment es tracta d’una zona privada amb accés restringit. Així doncs, em vaig

dirigir a l’Ecomuseu del Parc Natural (Casa de Fusta) però no vaig trobar informació

sobre la flora. La resta de flors i tiges les he agafat del camp, a la vora del canal de

navegació, a l’Encanyissada i per Sant Jaume d’Enveja. Cal esmentar que algunes de les

fotografies que apareixen al treball les he obtingut d’Internet, no ha estat gens fàcil

trobar les flors concretes que volia analitzar.

Ullals de Baltasar 12/07/2018 Font: elaboració pròpia

39


La conclusió que podem extreure d’aquest anàlisi és que les flors que pertanyen a una

mateixa família poden complir o no la Successió de Fibonacci. Ara bé, podem observar

que quan una flor compleix la successió, les flors de la mateixa família també la

compliran. I al contrari, si una flor no segueix la successió, cap de les flors que

pertanyen a la mateixa família la complirà.

Famílies que segueixen la Successió de Fibonacci:

- Alismataceae

- Asclepiadaceae

- Asteraceae

- Boraginaceae

- Caryophyllaceae

- Convolvulaceae

- Geraniaceae

- Iridaceae

- Malvaceae

- Nymphaeaceae

- Plumbaginaceae

- Polygonaceae

- Primulaceae

- Ranuncuaceae

- Rosaceae

- Rubiaceae

- Verbenaceae

Famílies que no segueixen la Successió de Fibonacci:

- Amaryllidaceae

- Brassicaceae

- Lythraceae

- Papaveraceae

- Scrophulariaceae

40


El nombre de flors analitzades són 46. D’aquestes 46, 38 flors segueixen la Successió

de Fibonacci, mentre que la resta de flors, és a dir 8, no la segueixen.

N° total de flors 46

Sí segueixen la successió de Fibonacci: 38 flors

No segueixen la successió de Fibonacci: 8 flors

38 flors que compleixen la successió de Fibonacci . 100 %

46 flors totals = 82,6%

8 flors que no compleixen successió de Fibonacci . 100 %

46 flors totals = 17,39%

FLORS DEL DELTA DE L'EBRE

17.39%

82.61%

Sí segueixen la successió

de Fibonacci

No segueixen la successió

de Fibonacci

41


Pràctica 2: El nombre d’or a les flors de 5 pètals

En aquesta pràctica, el meu objectiu és comprovar si les flors pentagonals d’aquí del

Delta de l’Ebre compleixen el nombre auri. Per a dur a terme l’estudi, el primer pas ha

estat dibuixar la silueta de la flor amb l’aplicació Paint Tool (annex 1) i mesurar la

distància entre pètal i pètal de la flor i les seves diagonals. Després, amb el programa

informàtic Geogebra, he dibuixat un pentàgon inscrit a la flor i he inserit les mesures

prèviament realitzades. Finalment, amb l’ajuda de l’Excel he creat una taula amb les

dades obtingudes i he fet els càlculs corresponents.

Mesures del malví blanc. Font: elaboració pròpia

42



43


Longitud dels costats (cm) Longitud de la diagonal

AC

Longitud diagonal AC

Longitud de cada costat

1,4 2,4 1,71428571

1,5 2,4 1,6

1,4 2,4 1,71428571

1,5 2,4 1,6

1,4 2,4 1,71428571

Mitjana

1,66857143


CE

Longitud diagonal CE


1,4 2,5 1,785714286

1,5 2,5 1,666666667

1,4 2,5 1,785714286

1,5 2,5 1,666666667

1,4 2,5 1,785714286

Mitjana

1,73809524


EB

Longitud diagonal EB


1,4 2,4 1,71428571

1,5 2,4 1,6

1,4 2,4 1,71428571

1,5 2,4 1,6

1,4 2,4 1,71428571

Mitjana

1,66857143


BD

Longitud diagonal BD


1,4 2,4 1,71428571

1,5 2,4 1,6

1,4 2,4 1,71428571

1,5 2,4 1,6

1,4 2,4 1,71428571

Mitjana

1,66857143

44



DA

Longitud diagonal DA


1,4 2,5 1,785714286

1,5 2,5 1,666666667

1,4 2,5 1,785714286

1,5 2,5 1,666666667

1,4 2,5 1,785714286

Mitjana

1,73809524

Mitjana total

1,73809524 + 1,73809524 + 1,66857143 + 1,66857143 + 1,66857143 =

5

1,69638095

A partir de les dades obtingudes, podem afirmar que el malví blanc compleix la

proporció àuria. Tot i que la mitjana obtinguda és superior al nombre auri (1,618), hem

de tenir en compte el marge d’error a l’hora de mesurar la flor ja que no disposava de

les eines mes adequades per a mesurar amb més precisió.

45


CORRETJOLA BORDA (Cynanchum acutum)

46



AC



5,76 9,75 1,692708333

6,38 9,75 1,528213166

6,06 9,75 1,608910891

5,46 9,75 1,785714286

5,79 9,75 1,683937824

Mitjana

1,6598969


CE



5,76 9,57 1,66145833

6,38 9,57 1,5

6,06 9,57 1,57920792

5,46 9,57 1,75274725

5,79 9,57 1,65284974

Mitjana

1,62925265


EB



5,76 9,43 1,63715278

6,38 9,43 1,47805643

6,06 9,43 1,55610561

5,46 9,43 1,72710623

5,79 9,43 1,62867012

Mitjana

1,60541823


BD



5,76 9,61 1,66840278

6,38 9,61 1,50626959

6,06 9,61 1,58580858

5,46 9,61 1,76007326

5,79 9,61 1,6597582

Mitjana

1,63606248

47



DA



5,76 9,23 1,60243056

6,38 9,23 1,44670846

6,06 9,23 1,52310231

5,46 9,23 1,69047619

5,79 9,23 1,59412781

Mitjana

1,57136907

Mitjana total

1,6598969 + 1,62925265 + 1,60541823 + 1,63606248 + 1,57136907 =

5

1,620399866

A partir de les dades obtingudes, podem afirmar que la corretjola borda compleix la

proporció àuria. Observem que la mitjana obtinguda s’aproxima més al nombre d’or

(1,618), ja que es tracta d’una flor d’una mida més gran, i per tant, més fàcil de mesurar.

48



49



AC



3,95 6,14 1,55443038

3,87 6,14 1,58656331

3,61 6,14 1,70083102

4,05 6,14 1,51604938

3,54 6,14 1,73446328

Mitjana

1,61846747


CE



3,95 6,12 1,54936709

3,87 6,12 1,58139535

3,61 6,12 1,69529086

4,05 6,12 1,51111111

3,54 6,12 1,72881356

Mitjana

1,61319559


EB



3,95 6,17 1,56202532

3,87 6,17 1,59431525

3,61 6,17 1,70914127

4,05 6,17 1,52345679

3,54 6,17 1,74293785

Mitjana

1,6263753


BD



3,95 6,2 1,56962025

3,87 6,2 1,60206718

3,61 6,2 1,71745152

4,05 6,2 1,5308642

3,54 6,2 1,75141243

Mitjana

1,63428312

50



DA



3,95 6,15 1,55696203

3,87 6,15 1,58914729

3,61 6,15 1,70360111

4,05 6,15 1,51851852

3,54 6,15 1,73728814

Mitjana

1,62110341

Mitjana total:

1,61846747 + 1,61319559 + 1,6263753 + 1,63428312 + 1,62110341 =

5

1,622684978

A partir de les dades obtingudes, podem afirmar que la crucianel·la marítima també

compleix la proporció àuria.

51


BORRATJA (Borago officinalis)

52



AC



5,28 8,05 1,52462121

4,52 8,05 1,78097345

5,07 8,05 1,5877712

4,73 8,05 1,70190275

4,78 8,05 1,68410042

Mitjana

1,65587381


CE



5,28 7,66 1,45075758

4,52 7,66 1,69469027

5,07 7,66 1,51084813

4,73 7,66 1,61945032

4,78 7,66 1,60251046

Mitjana

1,57565135


EB



5,28 7,69 1,45643939

4,52 7,69 1,70132743

5,07 7,69 1,51676529

4,73 7,69 1,62579281

4,78 7,69 1,60878661

Mitjana

1,58182231


BD



5,28 7,87 1,4905303

4,52 7,87 1,74115044

5,07 7,87 1,55226824

4,73 7,87 1,66384778

4,78 7,87 1,64644351

Mitjana

1,61884806

53



DA



5,28 8,11 1,53598485

4,52 8,11 1,79424779

5,07 8,11 1,59960552

4,73 8,11 1,71458774

4,78 8,11 1,69665272

Mitjana

1,66821572

Mitjana total:

1,65587381 + 1,57565135 + 1,58182231 + 1,61884806 + 1,66821572 =

5

1,62008225

A partir de les dades obtingudes, podem afirmar que la borratja també compleix la

proporció àuria.

54


Pràctica 3: Models geomètrics de les flors

En aquesta pràctica l’objectiu és fer un estudi per comparar la forma de la distribució

dels pètals de les flors amb un model geomètric. En aquest cas, utilitzaré diferents

models d’espirals 1 i roses que a continuació exposo:

- L’espiral logarítmica

Fou descrita per primera vegada per Descartes i posteriorment investigada per Jakob

Bernoulli, qui l'anomenà Spira mirabilis, l'"espiral meravellosa".

En coordenades polars (r, θ) (Annex 2), la fórmula de l'espiral logarítmica es pot

escriure com:

r= a · b θ

on “r” és el radi vector 2 , a i b són nombres naturals i θ és l’angle de gir.

L'equació en forma paramètrica és:

x (θ) = a · b θ · cos(θ)

y (θ) = a · b θ · sin(θ)

Una propietat important de l'espiral logarítmica és que és equiangular. El nom de

equiangular ve que l'angle que forma en qualsevol punt de l'espiral logarítmica el radi

vector amb la tangent en aquest punt sempre és constant.

1

Una espiral és una corba contínua que va donant voltes al voltant d'un punt central sense

creuar-se mai.

2

El radi vector és el segment que va des de qualsevol punt de l'espiral fins al centre de la

mateixa.

55


- Espiral d’Arquímedes

Matemàticament l'espiral d'Arquímedes es defineix com el lloc geomètric d'un punt del

pla que partint de l'extrem d'una semirecta es mou uniformement sobre ella, mentre que

la semirecta gira també uniformement sobre un dels seus extrems.

En paraules d’Arquímedes:

" Imaginaos una línea que gira con velocidad constante alrededor de un extremo,

manteniéndose siempre en un mismo plano, y un punto que se mueve a lo largo de la

línea con velocidad lineal constante: ese punto describirá una espiral"

En coordenades polars (r, θ), la fórmula de l'espiral logarítmica es pot escriure com:

r = θ

56


- Espiral de Dürer

El 1525 Albert Dürer publica l'obra titulada "Instrucció sobre la mesura amb regla i

compàs de figures planes i sòlides". En aquest llibre Albert Dürer pretén ensenyar als

artistes, pintors i matemàtics de l'època diversos mètodes per dibuixar figures

geomètriques i en concret mostra com dibuixar amb regla i compàs algunes espirals

entra les quals hi ha una que passarà a la història com "L’Espiral de Dürer ".

Si en cada un dels quadrats dels rectangles auris tracem arcs de circumferència de radi

el costat del quadrat obtenim l'espiral de Dürer, que no és ni una espiral d'Arquímedes

ni una espiral logarítmica ja que cap de les dues es pot traçar amb regla i compàs.

L'espiral logarítmica es distingeix de l'espiral d'Arquímedes pel fet que en l'espiral

logarítmica les distàncies entre els seus braços s'incrementen en progressió geomètrica 3 ,

mentre que en una espiral d'Arquímedes aquestes distàncies són constants. L'espiral de

Dürer és gairebé una espiral logarítmica, de salt angular 90° i raó geomètrica el nombre

d'or i és una de les espirals gnòmiques basades en el nombre d'or.

3

Una progressió geomètrica és una successió en què cada terme s'obté multiplicant l'anterior

una quantitat fixa r, anomenada raó.

57


- Espiral involuta

Una involuta és una corba obtinguda a partir d'una altra corba donada adjuntant-li una

corda tibant imaginària a la corba donada i traçant el camí que ressegueix el seu extrem

lliure mentre la corda s'enrotlla a la corba donada.

La involuta d'una circumferència té una forma que s'assembla a una espiral

d'Arquímedes.

En coordenades cartesianes la involuta d'una circumferència té l'equació paramètrica:

r= cos (θ) + aθ sin(bθ)

r= sin (aθ) – cθ cos(bθ)

on r és el radi de la circumferència i θ és un paràmetre igual a l'angle en radians.

58


El primer pas ha estat dibuixar les diferents espirals. Per tal de realitzar aquesta feina he

instal·lat el programa Geogebra . Geogebra és un programari gratuït que permet graficar

qualsevol tipus de funció. Segons la seva pàgina oficial GeoGebra és un programari de

matemàtiques dinàmic, amb un processador geomètric i algebraic, és a dir, un compendi

de matemàtica amb programari interactiu que reuneix geometria, àlgebra, taules,

gràfiques, estadístiques i càlcul en un paquet fàcil d'utilitzar.

Un cop oberta l’aplicació, m’he dirigit a la barra d’entrada i he seleccionat l’opció:

Corba[ <Expressió>, <Expressió> ,<Paràmetre> ,<Valor inicial> , <Valor Final> ]. A

continuació, he substituït cadascuna de les expressions i cadascun dels valors pels

nombres corresponents. Per exemple:

Tot seguit, he clicat el botó “intro” i ja he obtingut l’espiral. En aquest cas:

Finalment, per variar la forma o col·locar altres valors he seleccionat l’opció de

propietats i he canviat els valors que acompanyen l'angle. He anat jugant amb diversos

resultats i determinant el que millor s'adapta a la forma en què es distribueixen els pètals

de la meva flor.

59


ESPIRAL INVOLUTA

60


ESPIRAL D’ARQUÍMEDES

61


ESPIRAL LOGARÍTMICA

62


ROSA

63


ROSA

64


Per tal d’estudiar la distribució dels pètals, he sobreposat la imatge de la forma de les

flors (Annex 1) sobre els models d’espirals detallats anteriorment, amb el programa

Adobe Photpshop (Annex 3). Durant aquest procés, he anat modificant els paràmetres

de la funció de les espirals per a adaptar-les a la forma de la nostra flor.

Finalment, he comptat el nombre total dels àpexs dels pètals que coincideixen amb la

línia de l’espiral. També he tingut en compte el nombre de pètals que s’aproximen a la

corba.

Àpex

Base


65


1. NENÚFAR (Nymphaea alba)

ESPIRAL INVOLUTA

14 coincidències amb l'àpex de de les fulles

66


NENÚFAR (Nymphaea alba)



67





D’aquest estudi podem concloure que l’espiral involuta és la que més s’aproxima a la

distribució dels pètals del nenúfar. Dels 21 pètals que formen la flor, 14 estan en

contacte amb la línia de l’espiral i els altres 7 restants s’aproximen bastant.

68


Un cop fet l’estudi del model geomètric que segueix el nenúfar, he sobreposat la silueta

de la flor sobre l’espiral de Dürer per tal d’esbrinar si compleix la Successió de

Fibonacci.


Espiral de Dürer

Conclusió: un cop fet l’exercici m’he adonat que el número de pètals que coincideixen

amb la corba de l’espiral és 8, un terme de la successió de Fibonacci. Per tal, puc

afirmar que el nenúfar sí que compleix l’anomenada successió.

69


2. SALSONA (Inula crithmoides)

ESPIRAL INVOLUTA


70





71





D’aquest estudi podem concloure que l’espiral d’Arquímedes és la que més s’aproxima

a la distribució dels pètals de la salsona. Com que el nombre de coincidències és el

mateix tant a l’espiral d’Arquímedes com a l’espiral involuta, he tingut en compte el

nombre de pètals que s’aproximen a la línia per tal d’arribar a aquesta conclusió. Dels

13 pètals que formen la flor, 6 estan en contacte amb la línia de l’espiral i 4 s’aproximen

bastant.

72



Espiral de Dürer



afirmar que la salsona també compleix la successió.

73


3. PANIGROC (Anacyclus clavatus)

ESPIRAL INVOLUTA


74





75





76


D’aquest estudi podem concloure que l’espiral d’Arquímedes és la que més s’aproxima

a la distribució dels pètals del panigroc. Dels 13 pètals que formen la flor, 7 estan en

contacte amb la línia de l’espiral i els altres 6 restants s’aproximen bastant.


Espiral de Dürer



afirmar que el panigroc també compleix la successió.

77


4. MALVÍ BLANC (Althaea officinalis)

Bona coincidència angular i d’extrems amb els pètals.

78





afirmar que el malví blanc també compleix la successió.

79


5. CRUCIANEL·LA MARINA (Crucianella maritima)


80



Espiral de Dürer



afirmar que la crucianel·la marina també compleix la successió.

81


6. PLANTATGE D’AIGUA (Alisma plantago-aquatica)


Espiral de Dürer



afirmar que el plantatge d’aigua també compleix la successió.

82


Pràctica 4: Fil·lotaxi

Aquesta pràctica consisteix en l’anàlisi de la disposició de les fulles en una tija per tal

de comprovar si aquesta distribució compleix la successió de Fibonacci.

Per tal de dur a terme aquesta pràctica, he fotografiat diferents tiges i amb l’ajuda del

programa Adobe Photoshop (Annex 3) he sobreposat la fotografia d’una espiral. He

comptat el nombre de fulles consecutives (n) fins a trobar una altra fulla amb la mateixa

orientació. Aquest número, en general, és un terme de la successió de Fibonacci. A més

si mentre es compten les fulles, es va girant la tija, el nombre de voltes (m) que s'han de

donar a la tija per arribar a la següent fulla amb la mateixa orientació, també és un terme

de la successió de Fibonacci. Finalment, he calculat la raó m

n

(factor fil·lotàctic).

LLORER (Laurus nobilis)

2

3

3


Número de voltes “8”, així el factor fil·lotàctic és 8 . “8” i “13” són termes de la

13

Successió de Fibonacci.

83


Blet blanc (Chenopodium album)

3

2


Número de voltes “5”, així el factor fil·lotàctic és 5 . “5” i “8” són termes de la Successió

8

de Fibonacci.

Eucaliptus (Eucalyptus globulus)

2

3


84



8

de Fibonacci.

Ortiga petita (Urtica urens)

1

2



8

de Fibonacci.

85


12 Conclusions

Quan vaig escollir el tema del meu treball de recerca no m’imaginava tots els

descobriments als que arribaria. Jo desconeixia per complet que les flors i les plantes

seguien una successió matemàtica i em sembla d’una gran perfecció que una cosa tant

senzilla com que les fulles d’una tija estiguen distribuïdes de manera que una fulla no

absorbeixi la llum solar de l’altra per a que pugui sobreviure.

Per començar el treball vaig buscar tota la teoria que ja em va semblar sorprenent però

encara em vaig quedar més bocabadada a mesura que anava realitzant les pràctiques i

els resultats obtinguts complien les meves expectatives.

Aquest treball m’ha ajudat a conéixer coses tan curioses com que el nombre de pètals

d’una flor és un terme de la successió de Fibonacci, que la divisió entre el costat d’una

flor i la seva diagonal sempre dóna el nombre d’or i que els elements de la naturalesa

segeuixen uns patrons matemàtics determinats.

També m’agradaria comentar que per a realitzar les pràctiques he fet servir diferents

programes informàtics desconeguts i amb els que poc a poc m’he anat familiaritzant.

Finalment, puc dir que aquest ha estat un treball interessant i satisfactori, que m’ha

permès descobrir una mica més el món natural que ens envolta. He après a cercar

informació a partir de diverses fonts, i a posar en pràctica diverses lleis matemàtiques.

86


13 Agraïments

Aquest projecte no hauria estat possible sense el suport, la col·laboració i l’esforç de les

següents persones:

M.Carme Tomàs Acosta, tutora del treball de recerca, per la seva dedicació i orientació.

Als meus pares per donar-me suport, animar-me, donar idees, portar-me a tot arreu quan

ho necessitava i per acompanyar-me a la recerca de flors, fins a fer-los autèntics experts

en el tema.

I al meu avi que m’ha ajudat molt en la identificació de les plantes.

87


Annex 1

Procediment per a dibuixar la flor:

1. Instal·lar el programa “Paint Tool SAI” . És un software que ens

permet dibuixar i pintar digitalment. En aquest treball m’ha servit per a calcar la

forma de les flors a partir de les seves imatges.

2. Un cop oberta l’aplicació, inserim la imatge de la flor que volem estudiar, que

prèviament hem guardat a l’arxiu del nostre ordinador.

3. A continuació, creem una capa:

4. Tot seguit cliquem la icona “curve” i ja podem començar a traçar la forma de la

nostra flor.

5. Finalment guardem la imatge i ja tenim la nostra flor digitalitzada.

88


Annex 2

COORDENADES POLARS

Per construir el sistema de coordenades polars en el pla, fixem un punt O, anomenat el

pol (o l'origen), i tracem des de O un raig inicial anomenat eix polar. Llavors, es pot

assignar a cada punt en el pla unes coordenades polars P (r, θ).

CANVIS DE COORDENADES

Les coordenades polars (r, θ) d'un punt estan relacionats amb les seves coordenades

rectangulars (x, y) per:

x = rcos (θ)

y = rsin (θ)

89


ESPIRALS O ROSES R FORMA

Espiral d’Arquímedes r = θ

Espiral logarítmica

r= a · b θ , amb a, b nombres

naturals

Espiral hiperbòlica

r= a , amb a nombre natural

θ

Espiral evolvent

r= cos (θ) + aθ sin(bθ) i

r= sin (aθ) – cθ cos(bθ), on a, b i

c són nombres naturals

Roses

r= a sin(m θ), on a i m són

nombres naturals

90


Annex 3

PROGRAMA ADOBE PHOTOSHOP

Procediment per a sobreposar el dibuix de la forma de les flors sobre les diferents

espirals o roses:

1. Instal·lar el programa Adobe Photoshop . Es tracta d’un editor de gràfics

rasteritzats desenvolupat per Adobe Systems. Utilitzat principalment per al retoc

de fotografies i gràfics, el seu nom en català significa literalment "taller de

fotos".

2. Un cop oberta l’aplicació, inserim la imatge de la flor que volem estudiar, que

prèviament hem guardat a l’arxiu del nostre ordinador.

3. A continuació, pressionem la casella “arxiu” i “col·locar”. Seleccionarem

l’espiral o forma geomètrica que desitgem contrastar.

91


4. Finalment, adaptem la forma de l’espiral al contorn de la flor.

92


17 Referències bibliogràfiques

Llibres i publicacions

Caballero, José. (2015).El místico influjo del nombre puro.

Corbalán, F. (2010). La proporción áurea.

François, T. L. (2009). Flora i fauna del Parc Natural Delta de l’Ebre .

Julio Mulero González, L. S. (2014). Las matemáticas de nuestra vida.

Masip, A. C. (2007). Flora vascular del delta de l'Ebre.

Llocs web

Ángel Alonso y Teresa Bermúdez (2002).De conejos y números. La sorprendente

sucesión de Fibonacci:

http://gaceta.rsme.es/abrir.php?id=168 [Consulta 14-07-2018]

El número de oro:

https://studylib.es/doc/4833189/el-numero-de-oro [Consulta 6-07-2018]

Flora catalana:

http://www.floracatalana.net/ [Consulta 20-06-2018]

Grajales, F. N. (2014). LA GEOMETRÍA DE LAS PLANTAS:UNA EXPERIENCIA DE

MODELACIÓN EN EL PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS:

http://www.bdigital.unal.edu.co/46145/1/71229819.%202014.pdf [Consulta 18-06-

2018]

La constante Φ y sus implicaciones en el estudio de la proporcionalidad:

http://bdigital.unal.edu.co/4953/1/G%C3%B3mezBelloMercedes.2011.pdf

23-12-2018]

[Consulta

93


La Divina Proporció (El Nombre D'or):

http://www.xtec.cat/~rcapsada/matgrega/divina%20proporcio.htm [Consulta 2-07-2018]

La proporción áurea:

http://www.juanbragado.es/ficheros/Mis%20trabajos%20para%20la%20web/El%20nu

mero%20de%20oro.pdf [Consulta 5-07-2018]

La proporció àuria o divina proporció:

https://www.ins-europa.org/setmana_proporcionalitat/la_proporcio_auria.pdf [Consulta

6-07-2018]

Matemáticas en la naturaleza

https://articulosletraviva.wordpress.com/2010/04/19/matematicas-en-lanaturaleza/[Consulta

22-12-2018]

Fotografies

Totes les fotografies han esta realitzades per la autora del treball, excepte les següents:

La definició del nombre auri (Euclides d'Alexandria):

http://valleplastica.blogspot.com/2011/10/historia-de-la-geometria.html

El rectangle auri:

http://ars-nostrum.blogspot.com/2010/10/la-razon-aurea-y-el-rectangulo-aureo.html

L'angle auri:


mero%20de%20oro.pdf

El pentàgon regular i el nombre auri:

http://ars-nostrum.blogspot.com/2010/10/la-razon-aurea-y-el-rectangulo-aureo.html

Propietats de la successió Fibonacci (espiral de Fibonacci):

https://www.aboutespanol.com/composicion-con-la-espiral-de-fibonacci-1348194

94


Fil·lotaxi i proporció àuria:

Julio Mulero González, L. S. (2014). Las matemáticas de nuestra vida.

Pràctica 3 (tipus d'espirals)

Espiral logarítmica:


mero%20de%20oro.pdf

Espiral d'Arquímedes:

https://ca.wikipedia.org/wiki/Espiral_d%27Arquimedes#/media/File:Archimedean_spir

al.png

Espiral de Dürer:

https://culturacientifica.com/app/uploads/2014/04/IMAGEN-17-a.png

Espiral involuta:

http://personales.unican.es/renedoc/Trasparencias%20WEB/Master%20Inv%20II/Comp

%20Scroll.pdf

Documents audiovisuals

Ángulo de Oro y filotaxia:

https://www.youtube.com/watch?v=1DWNpfTIjxo [Consulta 22-09-2018]

Espiral áurea con Geogebra:

https://www.youtube.com/watch?v=cKMireC0vHQ [Consulta 21-09-2018]

Geometria divina y mundo vegetal:

https://www.youtube.com/watch?v=R76N1VLPEt4 [Consulta 12-06-2018]

95

Les matemàtiques a la natura - Marta Sanz Matamoros

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?