Ψηφιακό Τεκμήριο - E-Thesis

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ 16
με n=1,2,3…, Τ είναι η τάση της χορδής, L το μήκος της χορδής και μ η γραμμική
πυκνότητα της χορδής, και √Τ/μ είναι η ταχύτητα του ήχου στην χορδή. Συνήθως οι
χορδές είναι πακτωμένες σε δυο άκρα και αποτελούν την πιο απλή περίπτωση πηγής,
όπου η πηγή ταλαντώνεται σε ένα άπειρο αριθμό συχνοτήτων.
Εικόνα 1.2.1 Μικρό τμήμα της χορδής.
Η κυματική εξίσωση ενός κύματος σε μια ιδανική χορδή μπορεί να υπολογιστεί
από τον 2 0 νόμο του Νεύτωνα για ένα απειροελάχιστο τμήμα της χορδής. Το τμήμα
της χορδής που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα είναι πολύ μικρότερο σε σχέση με
το συνολικό μήκος της χορδής και θεωρούμε ότι αυτό το μήκος του απειροελάχιστου
τμήματος της χορδής είναι dx. Επίσης, θεωρούμε ότι η μετατόπιση y της χορδής είναι
πολύ μικρή και η αλλαγή της τάσης λόγω της μετατόπισης αμελητέα.
Ως προς τον άξονα x’x: Η συνισταμένη των δυνάμεων ως προς τον άξονα x’x
είναι ίση με:
Tcos(θ(x+dx))-Τcos(θ(x)) (1.2.2)
Θεωρώντας την γωνία θ πολύ μικρή, τόσο το cos(θ(x+dx)), όσο cos(θ(x))είναι
ίσες με την μονάδα. Έτσι, η διαφορά τους είναι περίπου ίση με το μηδέν και
προσεγγιστικά θεωρούμε ότι δεν υπάρχει κίνηση του απειροελάχιστου τμήματος της
χορδής στην διεύθυνση x’x και κινείται μόνο ως προς τον άξονα y’y. Επομένως,
θέλουμε να υπολογίσουμε την συνισταμένη των δυνάμεων στην διεύθυνση y’y.
Ως προς τον άξονα y’y: Η συνισταμένη των δυνάμεων ως προς τον άξονα y’y
είναι ίση με: ΣFy=dma,δηλαδή Tsin(θ(x+dx))-Τsin(θ(x)) =ma. Και συμβολίζουμε το
Tsin(θ(x+dx))-Τsin(θ(x)) με dFy. Έτσι, η συνολική δύναμη που τείνει να επαναφέρει
στην θέση ισορροπίας το στοιχειώδες τμήμα της χορδής είναι ίση με:
dFy=Fy(x+dx)- Fy(x). Η διαφορά των δυο τάσεων μπορεί να υπολογιστεί από το
θεώρημα του Taylor, δηλαδή εφαρμόζοντας την σχέση:
Fy(
x) Fy(x dx) Fy(x) dx Fy(x)
1.2.3
x