Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΗΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗΣ ΜΟΥΣΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ 18<br />
2 2<br />
y T y<br />
2 2<br />
t x<br />
(1.2.12)<br />
, όπου Τ/ρ είναι ίσο με το τετράγωνο της ταχύτητας του ήχου στην χορδή, δηλαδή<br />
c 2 =T/ρ. Έτσι, η παραπάνω σχέση γίνεται ίση με:<br />
2 2<br />
y 2 y<br />
c 2 2<br />
t x<br />
, η οποία έχει την ίδια μορφή της εξίσωσης (1.1.1).<br />
Η γενική λύση της κυματικής εξίσωσης της κίνησης της χορδής έχει την μορφή<br />
δυο ηχητικών κυμάτων τα οποία διαδίδονται προς αντίθετες κατευθύνσεις. Δηλαδή,<br />
y(x,t)=f(ct-x)+g(ct+x) (1.2.13)<br />
Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η συναρτήσεις f(ct-x), g(ct+x) είναι εκθετικής<br />
μορφής και συγκεκριμένα:<br />
ή ισοδύναμα<br />
f(ct-x)=Αe ik(ct-x) f(ct-x)=Αe i(ωt-kx) και g(ct+x)=Βe ik(ct+x) <br />
g(ct+x)=Βe i(ωt+kx) (1.2.14)<br />
y(x,t)=(Αcos(ωt)+Bcos(ωt))(Ccos(kx)+Dsin(kx)) (1.2.15)<br />
, όπου Α και Β σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες και C και<br />
D σταθερές που προσδιορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες.<br />
Η μορφή της γενικής λύσης της κυματικής εξίσωσης εξαρτάται από τον τρόπο<br />
πάκτωσης της χορδής, από την θέση και τον τρόπο εφαρμογής της εφαρμοζόμενης<br />
δύναμης. Αυτός είναι και ο λόγος που η χορδή ενός πιάνου έχει διαφορετική<br />
φασματική ανάλυση(ηχόχρωμα) από την χορδή μιας κιθάρας, έστω και αν έχουν τα<br />
ίδια χαρακτηριστικά και εφαρμόζεται η ίδια τάση.<br />
Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε μια χορδή με πυκνότητα ρ και τα δυο άκρα της είναι<br />
πακτωμένα. Η χορδή έχει τάση Τ και η απόσταση ανάμεσα στα δύο άκρα που είναι<br />
στερεωμένη η χορδή είναι L.<br />
Η γενική λύση της κυματικής εξίσωσης της κίνησης της χορδής, όπως είδαμε είναι<br />
ίση με την σχέση (1.2.14):<br />
y(x,t)=(Αcos(ωt)+Bcos(ωt))(Ccos(kx)+Dsin(kx))<br />
Για τις συνοριακές συνθήκες μπορούμε να γράψουμε ότι: Αφού είναι τα δύο άκρα<br />
της χορδής πακτωμένα, για το αριστερό και το δεξί άκρο της χορδής για κάθε χρονική<br />
στιγμή t ισχύει ότι:<br />
Αριστερό άκρο(x =0): y(0,t)=0(Αcos(ωt)+Bcos(ωt))(Ccos(kx)+Dsin(kx))=0<br />
(Αcos(ωt)+Bcos(ωt))C=0C=0.
Change language