Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

3-ugers kursus, s011337 og s011394
Topologi-optimering ved brug af
ikke-lineær Darcy dæmpning
Peter Jensen og Caspar Ask Christiansen
Vejleder: Fridolin Okkels
MIC – Institut for mikro- og nano-teknologi
Danmarks Tekniske Universitet
19 Januar 2005

Indhold
List of figures
vi
1 Indledning 1
2 Navier-Stokes ligningen 3
2.1 Leddene i Navier-Stokes ligningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Poiseuille strømning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært tværsnit . . . . . . 5
3 Topologi-optimering 9
3.1 Topologi-optimering af et stationært Navier-Stokes flow . . . . . . . . . . . 11
3.2 Simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal . . . . . . . . . 12
4 Ulineær Darcy dæmpning 15
4.0.1 Bestemmelse af koefficienterne c 1 , c 2 og c 3 . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1 Undersøgelse af ulineariteter i F Da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5 Simulering af hastighedsprofil i rektangulær kanal 21
5.1 FemLab simulering af hastighedsprofil for rektangulær kanal . . . . . . . . . 21
5.2 Ny s-svings simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal . . 22
6 Konklusion 27
iii

iv
INDHOLD

Figurer
2.1 Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translationsinvariant
i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes ∂C. Trykket er p 0
for x = L og p 0 + ∆p for x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en
kanal med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af
hastighedsfeltet med 10% af maximalværdien v x (0, h 2
), når man bevæger
sig ud mod kanalvæggen fra center af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs
centerlinien, som er parallel med e y . (c) Graf for v x (0, z) langs den korte
centerlinie, som er parallel med e z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mPas og ∆p = 1 Pa. . . . 7
3.1 Væskestrømning gennem lige mikrokanal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Figuren viser α plottet som funktion af γ for forskellige værdier af q-
parameteren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Grafisk illustration af den iterative proces, som benyttes i topologi-optimeringen.
Kontur-kurverne symboliserer målfunktionen, mens den røde linie symboliserer
de fysiske grænsebetingelser i systemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal,
der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret
til som s-svings simuleringen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Graf for Darcy kraften F Da som funktion af α for tre forskellige β-værdier. 16
4.2 3D plot af F Da
|v|
som funktion af γ og α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1 v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mPas og ∆p = 1 Pa. . . . 22
5.2 Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af Da, samt den
teoretisk beregnede hastighedsprofil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af β, samt den
teoretisk beregnede hastighedsprofil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4 Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der
er formet som et roteret L. I modellen i denne simulering er den ulineære
Darcy kraft samt værdierne β = −1 og Da = 1e − 5 benyttet, således at
tværsnittet af den simulerede kanal er rektangulær. . . . . . . . . . . . . . . 24
v

vi
FIGURER
5.5 Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal,
der er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret
til som s-svings simuleringen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Kapitel 1
Indledning
I denne rapport opstilles en model til at beskrive væskestrømninger i en mikrokanal med
et givent tværsnit. Modellen bygger på den antagelse, at det er muligt at beskrive dæmpningen
af væskestrømningen ved at tilføje et ulineært dæmpningsled i den fundamentale
Navier-Stokes ligning. Dette dæmpningsled går ofte under navnet ”den ulineære Darcy
kraft”. Modellen er en udbygning af en i forvejen kendt model, som ikke benytter ulineær
Darcy dæmpning. Det er tanken, at man ved indførelsen af dette dæmpningsled kan opnå
mere korrekte simuleringer for kanaler med visse tværsnit.
Det er hensigten, at modellen skal kunne bruges til at beskrive mange forskellige tværsnitsgeometrier
blot ved at justere på en enkelt parameter kaldet β. Dog vil der i denne rapport
kun betragtes kanaler med rektangulært tværsnit af hovedsageligt to grunde. For det første
kendes teoretiske løsninger til en sådan geometri allerede fra litteraturen, og for det andet
er netop denne geometri af stor forskningsmæssig interesse, da mange lab-on-a-chip systemer
i praksis benytter sig af kanaler med rektangulært tværsnit.
Ved brug af programmet FemLab og den opstillede model beregnes hastighedsprofiler
for væskestrømninger i en sådan kanal, og β bestemmes, således at profilen stemmer godt
overens med den teoretisk beregnede.
Det beskrives efterfølgende, hvordan modellen kan implementeres i en på forhånd kendt
MatLab rutine, som er konstrueret til at foretage topologi-optimering af forskellige
strømningsproblemer.
Til slut sammenlignes simuleringer foretaget ved brug af denne rutine for et givent
strømningsproblem, både ved brug af den opstillede model (med ulineær Darcy dæmpning)
og uden ulineær Darcy dæmpning.
1

2 KAPITEL 1. INDLEDNING

Kapitel 2
Navier-Stokes ligningen
I dette kapitel betragtes Navier-Stokes ligningen, som er en af de mest fundamentale
ligninger i mikrofluid-teori. Først knyttes nogle kommentarer til de enkelte led i ligningen,
og derefter beregnes hastighedsprofilen for væskestrømningen i en kanal med rektangulært
tværsnit.
2.1 Leddene i Navier-Stokes ligningen
I langt de fleste tilfælde vil det være rimeligt at antage, at den betragtede væske er
inkompressibel. I dette tilfælde er Navier-Stokes ligningen givet ved
ρ(∂ t v + (v · ∇)v) = −∇p + η∇ 2 v + ρg + ρ el E, (2.1)
hvor ρ er densiteten af væsken, v er hastighedsfeltet, p er trykket, η er viskositeten, ρ el er
ladningsdensiteten og E er det eksterne elektriske felt. Det er i denne sammenhæng vigtigt
at understrege, at hastighedsfeltet ikke betegner hastigheden for en enkelt væskepartikel,
men i stedet er hastigheden i et bestemt punkt i rummet (givet ved stedvektoren r) til tiden
t. Det bemærkes, at ligningen er en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket i
mange tilfælde gør det umuligt at finde analytiske løsninger.
Ligningen er opskrevet vha. Newtons anden lov, og venstresiden betegner den resulterende
kraft (pr. volumen), som afhænger af både af den tidslige variation af hastighedsfeltet og
dets divergens. Højresiden af ligningen er en superposition af de enkelte krafter (eller
rettere kraftdensiteterne) som har en indvirkning på væskestrømningen.
Det første led angiver gradienten af trykket. Ofte vælges koordinatsystemet og geometrien
af ens fysiske system således, at trykgradienten kan skrives som et trykfald, ∆p. Det
andet led kaldes det viskøse led, eftersom det beskriver gnidningskrafterne i væsken. Det
vil sige, betragtes en region Ω i væsken med overfladen ∂Ω, vil gnidningskrafter fra den
omsluttende væske virke på overfladen ∂Ω. Størrelsen af disse viskøse krafter er til dels
bestemt af viskositeten, η, som er en materialespecifik parameter. De to sidste led er
såkaldte ”body forces”, som er ydre krafter virkende på hele væsken. Det første af disse
to led er gravitationskraften, og det andet led er kraftpåvirkningen hidrørende fra et ydre
elektrisk felt, som vekselvirker med ladning i væsken. Det skal til slut nævnes, at det er
3

4 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN
muligt at udbygge den her betragtede Navier-Stokes ligning, så den også tager højde for
andre kraftpåvirkninger. Dette gøres i praksis ved at addere disse krafter på højresiden af
ligningen.
2.2 Poiseuille strømning
Som nævnt i det foregående afsnit, er Navier-Stokes ligningen en anden-ordens ikke-lineær
differentialligning, hvilket gør det svært at bestemme analytiske løsninger i de fleste tilfælde.
Det er imidlertid muligt at bestemme mange løsninger ved hjælp af numeriske
beregningsmetoder, fx ved hjælp af MatLab. Dog er det ofte til stor hjælp at kende til de
få analytiske løsninger, man kan finde, da de kan bidrage til en større forståelse af andre
beslægtede problemstillinger.
I dette afsnit opstilles de fysiske ligninger for en speciel klasse af strømningsproblemer, som
kaldes Poiseuille problemer. I næste afsnit vil løsningen til et sådant problem bestemmes
for en kanal med et rektangulært tværsnit.
Et Poiseuille strømningsproblem er karakteriseret ved, at der ikke er nogen tidslig variation
af strømningerne, og at der benyttes tryk til at drive væsken gennem uendeligt lange
translations-invariante kanaler. Desuden benyttes såkaldte ”no slip”grænsebetingelser, som
betyder, at hastighedsfeltet forsvinder på grænsefladen ∂Ω mellem væsken og kanalvæggene,
det vil sige
v(r) = 0, for r ∈ ∂Ω. (2.2)
Denne grænsebetingelse bygger på den antagelse, at de molekyler i væsken som er i kontakt
med kanalvæggene ligger fuldstændigt stille i forhold til molekylerne i kanalvæggen.
Der betragtes nu en kanal med arbitrært tværsnit C, som er translations-invariant i x-
retningen, og som indeholder en væske, der er udsat for et trykfald ∆p. Definitionerne,
der benyttes i det følgende, er skitseret i fig. 2.1.
p(0) =
p 0 + ∆p
z
y
∂C
C
x
p(L) = p 0
Figur 2.1: Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translations-invariant
i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes ∂C. Trykket er p 0 for x = L og p 0 + ∆p for
x = 0.

2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT5
Gravitationskraften er udbalanceret af en hydrostatisk trykgradient i z-retningen, og
disse krafter er derfor udeladt i beregningerne. Eftersom strømningen er tidsinvariant,
er ∂ t v = 0. Desuden bevirker translations-invariansen af C i x-retningen, og det faktum
at krafterne i yz planet udbalancerer hinanden, at (v · ∇)v = 0. Navier-Stokes ligningen
bliver da i dette tilfælde
0 = η∇ 2 [v(r)] − ∇p, v(r) = v x (y, z)e x . (2.3)
Eftersom y- og z-komposanterne af hastighedsfeltet er nul, bliver trykfeltet uafhængigt
af y og z, og dermed er p(r) = p(x). Det er således muligt at skrive x-komposanten af
Navier-Stokes ligningen som
η[∂ 2 y + ∂ 2 z ]v x (y, z) = ∂ x p(x). (2.4)
Denne anden-ordens partielle differentialligning kan løses ved hjælp af metoden kaldet
seperation af de variable. Først indses det, at højresiden kun afhænger af x, og at venstresiden
afhænger af y og z. Derved kan hver af de to sider sættes lig med den samme
konstant. Dette betyder, at trykket må afhænge lineært af x, og ved at benytte grænsebetingelserne
fås
p(x) = ∆p
L (L − x) + p 0.
Det er således muligt at opskrive den anden-ordens partielle differentialligning, lign. (2.4),
med tilhørende ”no-slip”grænsebetingelser, som modellerer væskestrømningen i Poiseuille
problemet
η[∂y 2 + ∂z 2 ]v x (y, z) = − ∆p , for (y, z) ∈ C (2.5)
ηL
v x (y, z) = 0, for (y, z) ∈ ∂C.
Det er ikke muligt at løse denne differentialligning uden at vælge et specifikt kanaltværsnit.
I næste afsnit løses denne ligning for en kanal med rektangulært tværsnit.
2.3 Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært
tværsnit
I dette afsnit bestemmes løsningerne til lign. (2.5) for en kanal med rektangulært tværsnit.
Det viser sig imidlertid, at problemet ikke kan løses analytisk, men at løsningen kan
bestemmes med tilfredsstillende nøjagtighed ved hjælp af Fourierrækker. Højden, h, af
kanalen er mindre end dens bredde w. Benyttes tillige ”no-slip”grænsebetingelserne er
Navier-Stokes ligningen med tilhørende grænsebetingelser givet ved
η[∂y 2 + ∂z 2 ]v x (y, z) = − ∆p
ηL , for − 1 2 w < y < 1 w, 0 < z < h, (2.6)
2
v x (y, z) = 0, for y = ± 1 w, z = 0, z = h.
2

6 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN
Som nævnt kan dette Poiseuille strømningsproblem løses ved først at lave en Fourierrækkeudvikling
i z-retningen af alle funktionerne og derefter benytte de givne grænsebetingelser.
Det kan vises [1], at hastighedsfeltet for væskestrømningen i kanalen er givet ved
v x (y, z) = 4h2 ∆p
π 3 ηL
∞∑
n,odd
1
n 3 [1 − cosh(nπ y h )
cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z ). (2.7)
h
I fig. 2.2 er hastighedsprofilerne langs symmetriakserne afbildet, samt et konturplot af
hastighedsfeltet i et tværsnit af kanalen.
h
(a)
z
(c)
0
(b)
v x (y,h/2)
− 1 2 w 1
2 w
y
v x (0,z)
Figur 2.2: (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en kanal
med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af hastighedsfeltet med
10% af maximalværdien v x (0, h 2
), når man bevæger sig ud mod kanalvæggen fra center
af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs centerlinien, som er parallel med e y. (c) Graf for
v x (0, z) langs den korte centerlinie, som er parallel med e z .
For at simplificere problemet yderligere betragtes kun den ene halvdel af tværsnittet, og
der integreres over z-retningen, således at der udledes et udtryk for middelhastigheden i
x-retningen, som alene er en funktion af y.
< v x (y) > = 1 h
∫ h
< v x (y) > = 8h2 ∆p
π 4 ηL
0
dz 4h2 ∆p
π 3 ηL
∞∑
n,odd
∞∑
n,odd
1
n 3 [1 − cosh(nπ y h )
cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z h ) ⇔
1
n 4 [1 − cosh(nπ y h )
cosh(nπ w (2.8)
2h
)]
Det ses, at for y = w 2 , er v x(y) = 0, det vil sige, at ”no-slip”grænsebetingelsen er opfyldt.
I den anden grænse, altså i midten af kanalen, bliver hastigheden
< v x (0) >= h2 ∆p
12ηL . (2.9)

2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT7
I fig. 2.3 ses v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mPas og ∆p = 1 Pa.
Hastighedsprofil, v x
(y)
3.5 x 10−6 y [m]
3
2.5
v x
(y) [m/s]
2
1.5
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10 −4
Figur 2.3: v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mPas og ∆p = 1 Pa.
Denne hastighedsprofil vil blive benyttet senere til at tilpasse en matematisk model, som
efterfølgende vil kunne bruges til at simulere væskestrømningen i en kanal med rektangulært
tværsnit. Ydermere vil modellen kunne benyttes til at lave topologi-optimering i
et system, hvor væskestrømningerne foregår i kanaler med rektangulære tværsnit. Mere
om dette i kapitel 4.

8 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN

Kapitel 3
Topologi-optimering
Dette kapitel er baseret på [2], og beskriver en metode til at optimere diverse strømningsproblemer.
Denne metode kaldes topologi-optimering og er en numerisk iterativ løsningsmetode.
For lettest at kunne forklare, hvad topologi-optimering nærmere går ud på, tager vi
udgangspunkt i et konkret eksempel.
Figur 3.1: Væskestrømning gennem lige mikrokanal.
Strukturen i den ovenstående figur forestiller en lige mikrokanal med højden h og længden
L = 10h. Som det kan ses, er kanalen sammensat af tre forskellige områder. Det blå
område, som er det midterste af de tre, skal forestille, at kanalen her er fyldt med et porøst
svampelignende materiale, som har en rumligt varierende porøsitet, mens de to yderste
områder skal forestille tom kanal.
Påtrykkes en trykforskel, ∆p, vandret hen over mikrokanalen, kan man få drevet væske
fra den venstre ende af kanalen gennem det porøse materiale og til den højre ende. Betragtes
størrelsen af x-komposanten af væskestrømningens hastighedsvektor i punktet r*,
vil denne være afhængig af, hvorledes svampen er udformet, da porøsiteten af svampen
kan varieres rumligt. Formålet med dette konkrete eksempel på topologi-optimering er
at finde den mest optimale udformning af svampen, således at netop x-komposanten af
væskestrømningens hastighedsvektor i punktet r* bliver minimeret.
Da topologi-optimeringen foregår numerisk ved hjælp af programmet FemLab, er det
nødvendigt at indføre nogle forskellige størrelser. Den første størrelse er en såkaldt målfunktion,
9

10 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING
Φ, som er en funktion, der udtrykker netop x-komposanten af væskens hastighedsvektor i
punktet r*.
Φ(v, γ) = v x (r ∗ ) (3.1)
Det er altså denne funktion, Φ, som skal minimeres ved at variere den lokale porøsitet af
svampen, hvilket svarer til at finde den mest optimale udformning af svampen. Som det
kan ses, afhænger målfunktionen af hastighedsfeltet v, som er løsningen til Navier-Stokes
ligningen, samt af størrelsen γ, som forklares i det følgende.
For at kunne kontrollere variationen af porøsiteten af svampen rumligt, indføres et designvariabelt
felt, γ(r), som kan antage værdier mellem 0 og 1. Når γ = 0 i et bestemt punkt,
svarer det til, at kanalen i det pågældende punkt er fyldt med solidt materiale, mens
γ = 1 svarer til, at kanalen i det pågældende punkt er tom. Sammenhængen mellem
denne design-variabel, γ(r), og den lokale inverse porøsitet, givet ved α(r), fås ved hjælp
af følgende ligning
q[1 − γ(r)]
α(r) = α min + (α max − α min ) (3.2)
q + γ(r)
Ligningen viser, at α kan variere både lineært og ikke-lineært som funktion af γ afhængig
af størrelsen på parameteren q. For q ≈ 0, er der en ikke-lineær sammenhæng mellem α
og γ, mens en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng opstår, når q >> 1. Parameteren q
bruges altså til at skrue på sammenhængen mellem α og γ, hvilket også kan ses ved hjælp
af følgende figur.
Figur 3.2: Figuren viser α plottet som funktion af γ for forskellige værdier af q-
parameteren.
I lign. (3.2) optræder foruden γ og q, de to størrelser α min og α max . Disse to størrelser, som
svarer til henholdsvis ingen materiale, altså uendelig porøsitet, og solidt materiale, altså
ingen porøsitet, burde teoretisk set være lig med henholdsvis 0 og ∞. Men for at lette det
numeriske arbejde sættes α min = 0, mens α max sættes lig med den endelige værdi
η
α max =
Da · L 2 (3.3)

3.1. TOPOLOGI-OPTIMERING AF ET STATIONÆRT NAVIER-STOKES FLOW 11
I denne ligning beskriver L den karakteristiske længdeskala i systemet, η er viskositeten
af væsken i systemet, og Da er det såkaldte Darcy tal, som beskriver forholdet mellem de
viskøse og porøse gnidningkræfter i systemet. Da α max angiver den inverse porøsitet, og
da α max afhænger omvendt af Da, vil porøsiteten altså afhænge proportionalt med Da.
Dette resulterer i, at jo mindre Darcy tallet er, des mindre vil porøsiteten af materialet
være. For at sikre at materialet kan blive solidt, skal man i praksis have et Darcy tal på
Da

12 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING
Den iterative løsningsproces ser ud som følger.
• For at starte iterationen gætter man på et simpelt svampe-design, altså et simpelt
gamma-felt. For at gøre dette gæt fysisk beregnes den tilhørende hastighedsprofil for
væskestrømningen, hvilket vil sige, at den simplificerede Navier-Stokes ligning løses.
Med denne hastighedsprofil beregnes dernæst gradienten af målfunktionen langs den
røde linie. Ved at følge denne gradient mod minimaet for målfunktionen, kommer
man frem til et bedre gæt på gamma-feltet.
• Dette gæt gøres så igen fysisk ved at beregne den tilhørende hastighedsprofil for
væsken. Med denne profil beregnes så igen gradienten af målfunktionen langs den
røde linie, og man kan dermed komme med et endnu bedre gæt på gamma-feltet.
• Denne iterative proces fortsættes, indtil man ikke kan minimere målfunktionen y-
derligere, og man har altså derved fundet det bedst mulige svampe-design.
3.2 Simulering af topologi-optimering for en vinklet mikrokanal
Der vil nu blive betragtet en konkret problemstilling, som omhandler topologi-optimering
i en bestemt geometri med visse veldefinerede fysiske grænsebetingelser. Værktøjerne, som
benyttes til at simulere problemet med, er MatLab og FemLab, som begge er programmer,
der benytter sig af numeriske beregningsmetoder.
Først defineres i FemLab det domæne, hvori problemet skal løses. I denne simulering
konstrueres et vinklet domæne, som ligner et roteret L. Dette L-domæne opdeles i tre
sub-domæner. Det midterste af disse sub-domæner skal svare til en porøs svamp af samme
type, som den der blev omtalt først i dette kapitel, mens de to andre domæner skal svare
til en tom kanal, hvor væsken kan bevæge sig ”frit”dog med ”no-slip”grænsebetingelser på
kanalvæggene. Dette gøres ved at definere et varierende γ-felt i det midterste sub-domæne,
og sætte γ = 1 i de to andre sub-domæner.
Hvis simuleringen køres, er resultatet de to figurer vist i fig. 3.4.
Den øverste af figurerne viser det design af svampen, som simuleringen har fundet frem
til bedst minimerer målfunktionen, mens den nederste figur viser, hvordan hastigheden af
væsken varierer gennem kanalen.
Ved at betragte det design, som simuleringen er kommet frem til, kan det meget let konkluderes,
at design-optimeringen bestemt ikke er triviel. Det kræver i hvert fald en meget
god fantasi, hvis man selv skulle komme op med netop dette design.
Denne simulering, som senere vil blive refereret til som s-svings simuleringen, har altså nu
optimeret målfunktionen for en væskestrømning gennem den porøse svamp. I simuleringen
er den kanal, som væsken skal flyde igennem, en kanal som er translations-invariant i
z-retningen, hvilket svarer til, at kanalen ikke har nogen top og bund. Det vil altså sige,
at denne simulering er første skridt imod en simulering af en rektangulær kanal, som jo
foruden vægge også har top og bund.

3.2. SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL13
Figur 3.4: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der
er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings
simuleringen.
Formålet med resten af denne rapport vil altså være at få udviklet en ny model, som
ligner den, der er brugt i den ovenstående simulering, men som tager højde for, at kanalen
har et rektangulært tværsnit og ikke bare er translations-invariant i z-retningen.

14 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING

Kapitel 4
Ulineær Darcy dæmpning
Næste skridt på vej mod simuleringen af en rektangulær kanal, er altså at få taget højde
for kanalens top og bund. Dette gøres ved at tilføje endnu en gnidningskraft, den såkaldte
Darcy kraft, på højresiden af Navier-Stokes ligningen.
ρ(∂ t v + (v · ∇)v) = −∇p + η∇ 2 v + ρg + ρ el E − f Da |v| (4.1)
I teorien er f Da lig en uendelig potensrække. Men eftersom højere-ordens leddene bidrager
mindre og mindre, er det en rimelig simplificering kun at medtage leddene op til anden
orden. Hermed kan F Da altså skrives som
hvor α(γ) er givet ved lign. (3.2).
F Da = −|v|(c 1 · α 2 (γ) + c 2 · α(γ) + c 3 ) (4.2)
4.0.1 Bestemmelse af koefficienterne c 1 , c 2 og c 3
For at kunne bestemme nogle udtryk for koefficienterne c 1 , c 2 og c 3 , betragtes fig. 4.1.
Som figuren viser, kan de tre koefficienter ikke vælges frit og uafhængigt af hinanden.
Dette skyldes, at der blandt andet gælder følgende to krav
og
F Da,min = −|v|(c 1 · α 2 min + c 2 · α min + c 3 ) (4.3)
F Da,max = −|v|(c 1 · α 2 max + c 2 · α max + c 3 ). (4.4)
Da begge disse ligninger altid skal være opfyldt, kan c 3 isoleres i begge ligninger, og de
to fremkomne udtryk for c 3 kan sættes lig med hinanden. Derved kan man efter lidt
simplificering nå frem til følgende udtryk, som angiver relationen mellem c 1 og c 2 .
c 2 = − 1 F Da,max − F Da,min
− c 1 (α max + α min )
|v| α max − α min
Dette udtryk for c 2 kan imidlertid simplificeres, da F min og F max kan udtrykkes på følgende
måde
F min = −|v|α min F max = −|v|α max
15

16 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING
Figur 4.1: Graf for Darcy kraften F Da som funktion af α for tre forskellige β-værdier.
Indsættes dette i lign. (4.0.1), fås efter simplificering, at
c 2 = 1 − c 1 (α min + α max ) (4.5)
Ved at indsætte dette simple udtryk for c 2 i enten lign. (4.3) eller lign. (4.4) og igen
benytte, at F min = −|v|α min , kan man finde et tilsvarende simpelt udtryk for c 3 .
c 3 = c 1 α min α max (4.6)
For at kunne bestemme et udtryk for c 1 skal figur 4.1 betragtes påny. Foruden de allerede
nævnte to krav på F min og F max , er der også følgende krav på hældningskoefficienten i
punkterne (α min , F min ) og (α max , F max )
dF Da
dα | α min
≤ 0
dF Da
dα | α max
≤ 0.
Hvis disse to krav ikke er opfyldt, vil det være muligt at få en kraft, som ligger udenfor
intervallet [F Da,min , F Da,max ], hvilket er ufysisk.

4.1. UNDERSØGELSE AF ULINEARITETER I F DA 17
Ved hjælp af lign. (4.2) samt lidt ulighedsregning, giver disse to krav, at
c 2 ≥ −2c 1 α min ∧ c 2 ≥ −2c 1 α max
Indsættes det tidligere fundne udtryk for sammenhængen mellem c 2 og c 1 , altså lign. (4.5),
i disse to uligheder, kan man efter simplificering nå frem til at
c 1 ≤
1
1
∧ c 1 ≥ −
α max − α min α max − α min
Disse 2 uligheder kan samles i en trekantsulighed, således at
1
−
≤ c 1 ≤
α max − α min
1
α max − α min
(4.7)
Ved at indføre en dimensionsløs parameter, β, som ligger mellem -1 og 1, kan denne
trekantsulighed skrives på følgende kompakte måde.
c 1 =
β
α max − α min
For at opsummere, er udtrykkene for koefficienterne c 1 , c 2 og c 3 altså givet ved:
β
c 1 =
,
α max − α min
β ∈ [−1, 1] (4.8)
c 2 = 1 − c 1 (α min + α max ) (4.9)
c 3 = c 1 α min α max (4.10)
4.1 Undersøgelse af ulineariteter i F Da
Som det er set tidligere, kan Darcy kraften skrives som
F Da = −|v|(c 1 · α 2 (γ) + c 2 · α(γ) + c 3 )
hvor koefficienterne er givet ved hjælp af lign.(4.8), (4.9) og (4.10).
Det er let at se, at F Da afhænger ulineært af α gennem α 2 -leddet, men derimod er det lidt
sværere at se, at der yderligere er en ulinearitet i F Da . Dette skyldes, at denne ulinearitet
er ”gemt”i α.
Jævnfør lign. (3.2) kan α afhænge ulineært af γ afhængigt af q-parameteren. Det vil dermed
sige, at F Da også kommer til at kunne afhænge ulineært af γ både gennem det ulineære
α 2 -led og gennem det lineære α-led.
Det vil altså sige, at Darcy kraften afhænger ulineært af både α og γ. Ved hjælp af de
to parametre β og q, kan påvirkningen fra disse ulineariteter dog justeres. Når der skrues
på β-parameteren, som jo ligger mellem -1 og 1, skrues der nemlig på c 1 -koefficienten og
derved på α-ulineariteten, mens γ-ulineariteten påvirkes, når der skrues på q-parameteren,
da sammenhængen mellem α og γ jo afhænger af q, jævnfør figur 3.2.

18 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING
Når Darcy kraften bliver medtaget i simuleringerne af væskestrømningen gennem den
porøse svamp, hvilket jo svarer til, at der kommer top og bund på den kanal, der går
gennem svampen, vil q-parameteren variere i løbet af simuleringen. Dette skyldes, at parameteren
bruges til at få simuleringen til at konvergere mod et egentligt resultat. Derimod
vil β-parameteren ikke variere gennem simuleringen, eftersom denne vælges inden simuleringen
starter.
Det vil altså sige, at sammenhængen mellem F Da og α er bestemt inden simuleringen,
mens sammenhængen mellem F Da og γ varierer i løbet af simuleringen, således at F Da
afhænger ulineært af γ i begyndelsen af simuleringen, hvor q-parameteren er lille, mens
den afhænger tilnærmelsesvis lineært af γ i slutningen af simuleringen, hvor q = 1.
For at kaste en smule lys over disse ulineariteter, er F Da afbildet i den nedenstående figur
som funktion af både γ og q for tre forskellige værdier af β.
β=−1
β=0
0
0
F Da
/ |v|
−50
F Da
/ |v|
−50
−100
−100
1
0.5
5
−150
1
0.5
5
γ
0
0
q
γ
0
0
q
β=1
0
F Da
/ |v|
−50
−100
−150
1
0.5
5
γ
0
0
q
Figur 4.2: 3D plot af F Da
|v|
som funktion af γ og α.

4.1. UNDERSØGELSE AF ULINEARITETER I F DA 19
Som det kan ses af de tre figurer, spiller valget af β-parameteren ind på sammenhængen
mellem F Da og γ. For β = 0 afhænger F Da lineært af γ for høje q, her q = 2, mens
F Da afhænger ulineært af γ selv for høje q, når β = −1 og β = 1.

20 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPNING

Kapitel 5
Simulering af hastighedsprofil i
rektangulær kanal
Tilbage i afsnit 2.3 blev hastighedsprofilen for den rektangulære kanal beregnet teoretisk
og afbildet. I dette kapitel vil det blive forsøgt at få denne hastighedsprofil simuleret
numerisk ved hjælp af FemLab. Dette bliver gjort ved at lave simuleringer for forskellige
værdier af Da og β. Formålet med dette er, at den kombination af Da- og β-værdier,
der giver en hastighedsprofil, der matcher den anaytisk fundne bedst muligt, så senere kan
bruges i en ny s-svings simulering, hvor der er taget højde for, at kanalen gennem svampen
er rektangulær og ikke bare translations-invariant i z-retningen.
5.1 FemLab simulering af hastighedsprofil for rektangulær
kanal
Målet med disse simuleringer i FemLab er altså at finde en kombination af de to parametre
Da og β, der giver en hastighedsprofil, som ligner den analytisk fundne hastighedsprofil.
For at have målet klart for øje, afbildes den tidligere fundne analytiske hastighedsprofil i
fig. 5.1.
Måden, hvorpå simuleringerne bliver lavet i FemLab, vil ikke blive beskrevet fuldstændigt
her, da det hurtigt bliver for komplificeret at forklare. I stedet vil fremgangsmåden kun
blive beskrevet i hovedtræk.
I FemLab tegnes et 1D domæne, som har en bredde som er halvt så stor som bredden på
dén rektangulære kanal, der er blevet brugt i den analytisk fundne løsning. Dette skyldes,
at symmetrien i kanaltværsnittet gør, at man bare kan nøjes med at betragte den ene
halvdel af kanalen.
Dette domæne deles så op i tre sub-domæner, hvor sub-domæne 1 skal svare til væggen af
kanalen, sub-domæne 2 skal svare til området i kanalen tæt på væggen, mens sub-domæne
3 skal svare til området i kanalen ”langt”væk fra væggen. Ved så at lade Darcy kraften
være konstant og meget stor i sub-domæne 1, være variende i sub-domæne 2, samt være
konstant men lille i sub-domæne 3, kan man altså få lavet en simulering af en hastighedsprofil,
der minder om hastighedsprofilen for den rektangulære kanal.
21

22KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL
Hastighedsprofil, v x
(y)
3.5 x 10−6 y [m]
3
2.5
v x
(y) [m/s]
2
1.5
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
x 10 −4
Figur 5.1: v x (y) afbildet for h = 20 µm, w = 200 µm, η = 1 mPas og ∆p = 1 Pa.
Som sagt afhænger den simulerede hastighedsprofil af, hvilke værdier af Da og γ, der
benyttes i simuleringen. Denne afhængighed kan ses i fig. 5.2 og fig. 5.3, hvor den simulerede
hastighedsprofil er afbildet både for tre forskellige Da-værdier og for tre forskellige γ-
værdier.
I begge figurer er den analytisk fundne hastighedsprofil også afbildet, således at det ved en
sammenligning med de simulerede er muligt at finde en kombination af Da- og β-værdier,
der giver en hastighedsprofil, der bedst muligt matcher den analytisk fundne.
Som det kan ses i de to figurer, kommer den simulerede hastighedsprofil til at ligne den
analytisk fundne profil, når man vælger de to parametre til at være Da = 1e−5 og β = −1.
Hermed er det altså fundet, at hvis man i en ny s-svings simulering vælger Da = 1e − 5 og
β = −1, vil den kanalstruktur, som simuleres, altså svare til en tilnærmelsesvis rektangulær
kanal i stedet for en kanal, der er translations-invariant i z-retningen.
5.2 Ny s-svings simulering af topologi-optimering for en
vinklet mikrokanal
I afsnit 3.2 blev den såkaldte s-svings simulering lavet. Modellen, der blev brugt i den
simulering, tog som sagt ikke højde for, at kanalen har et rektangulært tværsnit. Men ved
at udbygge den benyttede model og bruge de fundne værdier af Da og β, er det altså
muligt at få lavet en ny s-svings simulering, der tager højde for det rektangulære tværsnit.
For at udbygge modellen tilføjes den ulineære Darcy kraft i Navier-Stokes ligningen. Med

5.2. NY S-SVINGS SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL
Hastighedsprofil, v x
(y) for β=−1
3.5 x 10−6 y [m]
3
Da=1e−6
Da=5e−6
Da=1e−5
Reel løsning
2.5
v x
(y) [m/s]
2
1.5
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10 −4
Figur 5.2: Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af Da, samt den
teoretisk beregnede hastighedsprofil.
Hastighedsprofil, v x
(y) for Da=5e−6
3.5 x 10−6 y [m]
3
β=−1
β=0
β=1
Reel løsning
2.5
v x
(y) [m/s]
2
1.5
1
0.5
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10 −4
Figur 5.3: Afbildning af tre hastighedsprofiler for forskellige værdier af β, samt den teoretisk
beregnede hastighedsprofil.
værdierne β = −1 og Da = 1e − 5 indsat i denne nye model, fås simuleringsresultat, som
kan ses i fig. 5.4.
For at kunne sammenligne resultatet af denne nye simulering med resultatet fra den

24KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL
Figur 5.4: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der er
formet som et roteret L. I modellen i denne simulering er den ulineære Darcy kraft samt
værdierne β = −1 og Da = 1e − 5 benyttet, således at tværsnittet af den simulerede kanal
er rektangulær.
tidligere s-svings simulering, afbildes det tidligere fundne simuleringsresultatet igen, i fig.
5.5.
Eftersom der er mange forskellige parametre, der spiller ind i simuleringerne, skal der ikke
forsøges at lave nogle endegyldige konklusioner omkring de to simuleringer. I stedet skal
de observationer, man kan gøre sig ved at sammenligne dem, blot kommenteres.
Sammenlignes fig. 5.4 og 5.5, ses det, at begge simuleringer finder frem til, at s-svings
strukturen bedst minimerer målfunktionen, som jo er at få minimeret x-komposanten af
væskens hastighedsvektor i punktet r*. Men sammenligningen viser dog også, at der er en
tydelig forskel på resultatet af de to simuleringer. Resultatet af den tidligere simulering
blev nemlig en ret tynd kanal gennem svampen, mens resulatet af den nye simulering er
en noget tykkere kanal. Sammenlignes hastigheden af væsken i punktet r* i de to simuleringer,
kan det desuden ses, at hastigheden er blevet dobbelt så stor i den nye simulering
i forhold til hastigheden i den tidligere simulering. Dette kan dog måske forklares ved, at
Darcy tallet ikke er det samme i de to simuleringer. I den tidligere er Da = 1e − 6, mens
det i den nye simulering er Da = 1e − 5.
Som sagt er det nødvendigt at lave mange flere simuleringer, hvis man skal gøre sig håb om
at komme med nogle endegyldige konklusioner. Men desværre ligger dette ikke indenfor
tidsrammen for dette projekt.

5.2. NY S-SVINGS SIMULERING AF TOPOLOGI-OPTIMERING FOR EN VINKLET MIKROKANAL
Figur 5.5: Simulering af et topologi-optimerings problem for en vinklet mikrokanal, der
er formet som et roteret L. Denne simulering vil senere blive refereret til som s-svings
simuleringen.

26KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHEDSPROFIL I REKTANGULÆR KANAL

Kapitel 6
Konklusion
Det blev i denne rapport vist, hvorledes indførelsen af en såkaldt ulineær Darcy kraft i
Navier-Stokes ligningen, kan bruges til at modellere væskestrømningerne i en kanal med
et rektangulært tværsnit. Darcy kraften blev konstrueret, således at det var muligt at
regulere dens indvirkning på strømningerne ved blot at skrue på én parameter kaldet β.
Der blev alene betragtet kanaler med rektangulære tværsnit, eftersom strømningsforholdene
i sådanne kanaler er godt beskrevet i litteraturen. Hastighedsprofiler blev beregnet for
forskellige β-værdier, og blev efterfølgende sammenlignet med den teoretisk beregnede
hastighedsprofil, så optimale værdier for β blev fundet.
Denne model blev implementeret i et specifikt topologi-optimeringsproblem, hvor det var
hensigten at optimere designet af en mikrokanal, således at strømningshastigheden var
minimal i et givet punkt. Resultatet af denne simulering blev efterfølgende sammenlignet
med en lignende simulering, som ikke havde den ulinære Darcy kraft implementeret i sig.
Eftersom mange parametre havde indvirkning på resultatet af simuleringerne, var det ikke
muligt at konkludere noget endegyldigt på baggrund af de få simuleringer, der blev foretaget.
Derfor lægger dette projekt op til en videre undersøgelse af parametrenes indvirkning på
simuleringerne.
27

28 KAPITEL 6. KONKLUSION

Litteratur
[1] Theoretical Microfluidics, lecture note,
H. Bruus,
MIC, Efterår 2004.
[2] A high-level programming-language implementation of topology optimization applied
to steady-state Navier-Stokes flow,
Laurits Højgaard Olesen, Fridolin Okkels og Bruus,
MIC, John Wiley & Sons, 8. Oktober 2004.
29