Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

More documents

Recommendations

Info

4 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN muligt at udbygge den her betragtede Navier-Stokes ligning, så den også tager højde for andre kraftpåvirkninger. Dette gøres i praksis ved at addere disse krafter på højresiden af ligningen. 2.2 Poiseuille strømning Som nævnt i det foregående afsnit, er Navier-Stokes ligningen en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket gør det svært at bestemme analytiske løsninger i de fleste tilfælde. Det er imidlertid muligt at bestemme mange løsninger ved hjælp af numeriske beregningsmetoder, fx ved hjælp af MatLab. Dog er det ofte til stor hjælp at kende til de få analytiske løsninger, man kan finde, da de kan bidrage til en større forståelse af andre beslægtede problemstillinger. I dette afsnit opstilles de fysiske ligninger for en speciel klasse af strømningsproblemer, som kaldes Poiseuille problemer. I næste afsnit vil løsningen til et sådant problem bestemmes for en kanal med et rektangulært tværsnit. Et Poiseuille strømningsproblem er karakteriseret ved, at der ikke er nogen tidslig variation af strømningerne, og at der benyttes tryk til at drive væsken gennem uendeligt lange translations-invariante kanaler. Desuden benyttes såkaldte ”no slip”grænsebetingelser, som betyder, at hastighedsfeltet forsvinder på grænsefladen ∂Ω mellem væsken og kanalvæggene, det vil sige v(r) = 0, for r ∈ ∂Ω. (2.2) Denne grænsebetingelse bygger på den antagelse, at de molekyler i væsken som er i kontakt med kanalvæggene ligger fuldstændigt stille i forhold til molekylerne i kanalvæggen. Der betragtes nu en kanal med arbitrært tværsnit C, som er translations-invariant i x- retningen, og som indeholder en væske, der er udsat for et trykfald ∆p. Definitionerne, der benyttes i det følgende, er skitseret i fig. 2.1. p(0) = p 0 + ∆p z y ∂C C x p(L) = p 0 Figur 2.1: Poiseuille strømning i en kanal med et tværsnit C, der er translations-invariant i x-retningen. Grænsen af tværsnittet kaldes ∂C. Trykket er p 0 for x = L og p 0 + ∆p for x = 0.
2.3. LØSNING AF POISEUILLESTRØMNING I KANAL MED REKTANGULÆRT TVÆRSNIT5 Gravitationskraften er udbalanceret af en hydrostatisk trykgradient i z-retningen, og disse krafter er derfor udeladt i beregningerne. Eftersom strømningen er tidsinvariant, er ∂ t v = 0. Desuden bevirker translations-invariansen af C i x-retningen, og det faktum at krafterne i yz planet udbalancerer hinanden, at (v · ∇)v = 0. Navier-Stokes ligningen bliver da i dette tilfælde 0 = η∇ 2 [v(r)] − ∇p, v(r) = v x (y, z)e x . (2.3) Eftersom y- og z-komposanterne af hastighedsfeltet er nul, bliver trykfeltet uafhængigt af y og z, og dermed er p(r) = p(x). Det er således muligt at skrive x-komposanten af Navier-Stokes ligningen som η[∂ 2 y + ∂ 2 z ]v x (y, z) = ∂ x p(x). (2.4) Denne anden-ordens partielle differentialligning kan løses ved hjælp af metoden kaldet seperation af de variable. Først indses det, at højresiden kun afhænger af x, og at venstresiden afhænger af y og z. Derved kan hver af de to sider sættes lig med den samme konstant. Dette betyder, at trykket må afhænge lineært af x, og ved at benytte grænsebetingelserne fås p(x) = ∆p L (L − x) + p 0. Det er således muligt at opskrive den anden-ordens partielle differentialligning, lign. (2.4), med tilhørende ”no-slip”grænsebetingelser, som modellerer væskestrømningen i Poiseuille problemet η[∂y 2 + ∂z 2 ]v x (y, z) = − ∆p , for (y, z) ∈ C (2.5) ηL v x (y, z) = 0, for (y, z) ∈ ∂C. Det er ikke muligt at løse denne differentialligning uden at vælge et specifikt kanaltværsnit. I næste afsnit løses denne ligning for en kanal med rektangulært tværsnit. 2.3 Løsning af Poiseuillestrømning i kanal med rektangulært tværsnit I dette afsnit bestemmes løsningerne til lign. (2.5) for en kanal med rektangulært tværsnit. Det viser sig imidlertid, at problemet ikke kan løses analytisk, men at løsningen kan bestemmes med tilfredsstillende nøjagtighed ved hjælp af Fourierrækker. Højden, h, af kanalen er mindre end dens bredde w. Benyttes tillige ”no-slip”grænsebetingelserne er Navier-Stokes ligningen med tilhørende grænsebetingelser givet ved η[∂y 2 + ∂z 2 ]v x (y, z) = − ∆p ηL , for − 1 2 w < y < 1 w, 0 < z < h, (2.6) 2 v x (y, z) = 0, for y = ± 1 w, z = 0, z = h. 2
Page 1: 3-ugers kursus, s011337 og s011394
Page 4 and 5: iv INDHOLD
Page 6 and 7: vi FIGURER 5.5 Simulering af et top
Page 8 and 9: 2 KAPITEL 1. INDLEDNING
Page 12 and 13: 6 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGE
Page 14 and 15: 8 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGE
Page 16 and 17: 10 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING
Page 18 and 19: 12 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING D
Page 20 and 21: 14 KAPITEL 3. TOPOLOGI-OPTIMERING
Page 22 and 23: 16 KAPITEL 4. ULINEÆR DARCY DÆMPN
Page 28 and 29: 22KAPITEL 5. SIMULERING AF HASTIGHE
Page 34 and 35: 28 KAPITEL 6. KONKLUSION

Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?