Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

6 KAPITEL 2. NAVIER-STOKES LIGNINGEN
Som nævnt kan dette Poiseuille strømningsproblem løses ved først at lave en Fourierrækkeudvikling
i z-retningen af alle funktionerne og derefter benytte de givne grænsebetingelser.
Det kan vises [1], at hastighedsfeltet for væskestrømningen i kanalen er givet ved
v x (y, z) = 4h2 ∆p
π 3 ηL
∞∑
n,odd
1
n 3 [1 − cosh(nπ y h )
cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z ). (2.7)
h
I fig. 2.2 er hastighedsprofilerne langs symmetriakserne afbildet, samt et konturplot af
hastighedsfeltet i et tværsnit af kanalen.
h
(a)
z
(c)
0
(b)
v x (y,h/2)
− 1 2 w 1
2 w
y
v x (0,z)
Figur 2.2: (a) Konturlinier for hastighedsfeltet v x (y, z) for Poiseuille strømning i en kanal
med rektangulært tværsnit. For hver konturlinie falder størrelsen af hastighedsfeltet med
10% af maximalværdien v x (0, h 2
), når man bevæger sig ud mod kanalvæggen fra center
af kanalen. (b) Graf for v x (y, h 2 ) langs centerlinien, som er parallel med e y. (c) Graf for
v x (0, z) langs den korte centerlinie, som er parallel med e z .
For at simplificere problemet yderligere betragtes kun den ene halvdel af tværsnittet, og
der integreres over z-retningen, således at der udledes et udtryk for middelhastigheden i
x-retningen, som alene er en funktion af y.
< v x (y) > = 1 h
∫ h
< v x (y) > = 8h2 ∆p
π 4 ηL
0
dz 4h2 ∆p
π 3 ηL
∞∑
n,odd
∞∑
n,odd
1
n 3 [1 − cosh(nπ y h )
cosh(nπ w 2h )] sin(nπ z h ) ⇔
1
n 4 [1 − cosh(nπ y h )
cosh(nπ w (2.8)
2h
)]
Det ses, at for y = w 2 , er v x(y) = 0, det vil sige, at ”no-slip”grænsebetingelsen er opfyldt.
I den anden grænse, altså i midten af kanalen, bliver hastigheden
< v x (0) >= h2 ∆p
12ηL . (2.9)