Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Kapitel 2
Navier-Stokes ligningen
I dette kapitel betragtes Navier-Stokes ligningen, som er en af de mest fundamentale
ligninger i mikrofluid-teori. Først knyttes nogle kommentarer til de enkelte led i ligningen,
og derefter beregnes hastighedsprofilen for væskestrømningen i en kanal med rektangulært
tværsnit.
2.1 Leddene i Navier-Stokes ligningen
I langt de fleste tilfælde vil det være rimeligt at antage, at den betragtede væske er
inkompressibel. I dette tilfælde er Navier-Stokes ligningen givet ved
ρ(∂ t v + (v · ∇)v) = −∇p + η∇ 2 v + ρg + ρ el E, (2.1)
hvor ρ er densiteten af væsken, v er hastighedsfeltet, p er trykket, η er viskositeten, ρ el er
ladningsdensiteten og E er det eksterne elektriske felt. Det er i denne sammenhæng vigtigt
at understrege, at hastighedsfeltet ikke betegner hastigheden for en enkelt væskepartikel,
men i stedet er hastigheden i et bestemt punkt i rummet (givet ved stedvektoren r) til tiden
t. Det bemærkes, at ligningen er en anden-ordens ikke-lineær differentialligning, hvilket i
mange tilfælde gør det umuligt at finde analytiske løsninger.
Ligningen er opskrevet vha. Newtons anden lov, og venstresiden betegner den resulterende
kraft (pr. volumen), som afhænger af både af den tidslige variation af hastighedsfeltet og
dets divergens. Højresiden af ligningen er en superposition af de enkelte krafter (eller
rettere kraftdensiteterne) som har en indvirkning på væskestrømningen.
Det første led angiver gradienten af trykket. Ofte vælges koordinatsystemet og geometrien
af ens fysiske system således, at trykgradienten kan skrives som et trykfald, ∆p. Det
andet led kaldes det viskøse led, eftersom det beskriver gnidningskrafterne i væsken. Det
vil sige, betragtes en region Ω i væsken med overfladen ∂Ω, vil gnidningskrafter fra den
omsluttende væske virke på overfladen ∂Ω. Størrelsen af disse viskøse krafter er til dels
bestemt af viskositeten, η, som er en materialespecifik parameter. De to sidste led er
såkaldte ”body forces”, som er ydre krafter virkende på hele væsken. Det første af disse
to led er gravitationskraften, og det andet led er kraftpåvirkningen hidrørende fra et ydre
elektrisk felt, som vekselvirker med ladning i væsken. Det skal til slut nævnes, at det er
3