Topologi-optimering ved brug af ikke-lineær Darcy dæmpning

Kapitel 4
Ulineær Darcy dæmpning
Næste skridt på vej mod simuleringen af en rektangulær kanal, er altså at få taget højde
for kanalens top og bund. Dette gøres ved at tilføje endnu en gnidningskraft, den såkaldte
Darcy kraft, på højresiden af Navier-Stokes ligningen.
ρ(∂ t v + (v · ∇)v) = −∇p + η∇ 2 v + ρg + ρ el E − f Da |v| (4.1)
I teorien er f Da lig en uendelig potensrække. Men eftersom højere-ordens leddene bidrager
mindre og mindre, er det en rimelig simplificering kun at medtage leddene op til anden
orden. Hermed kan F Da altså skrives som
hvor α(γ) er givet ved lign. (3.2).
F Da = −|v|(c 1 · α 2 (γ) + c 2 · α(γ) + c 3 ) (4.2)
4.0.1 Bestemmelse af koefficienterne c 1 , c 2 og c 3
For at kunne bestemme nogle udtryk for koefficienterne c 1 , c 2 og c 3 , betragtes fig. 4.1.
Som figuren viser, kan de tre koefficienter ikke vælges frit og uafhængigt af hinanden.
Dette skyldes, at der blandt andet gælder følgende to krav
og
F Da,min = −|v|(c 1 · α 2 min + c 2 · α min + c 3 ) (4.3)
F Da,max = −|v|(c 1 · α 2 max + c 2 · α max + c 3 ). (4.4)
Da begge disse ligninger altid skal være opfyldt, kan c 3 isoleres i begge ligninger, og de
to fremkomne udtryk for c 3 kan sættes lig med hinanden. Derved kan man efter lidt
simplificering nå frem til følgende udtryk, som angiver relationen mellem c 1 og c 2 .
c 2 = − 1 F Da,max − F Da,min
− c 1 (α max + α min )
|v| α max − α min
Dette udtryk for c 2 kan imidlertid simplificeres, da F min og F max kan udtrykkes på følgende
måde
F min = −|v|α min F max = −|v|α max
15