Grundlagen der Signalverarbeitung - Arbeitsbereich Sprache und ...

1. Elementare Systemtheorie; Grundlagen der Signalverarbeitung
Konsistenz der graphischen Darstellung ist es üblich, auch die Signalgrößen
in ihrer spektralen Darstellung, also als z-Transformierte anzugeben.
1.5.2 Kaskaden- und Parallelstruktur
Nachdem die Übertragungsfunktion des linearen digitalen Filters eine
gebrochen rationale Funktion ist, lässt sie sich durch Bestimmung der
Nullstellen des Zähler- und Nennerpolynoms in Produktform darstellen:
H(z) = d0 ⋅ (z − z01 )(z− z02 ) ��� (z − z0k )
. (1.33)
(z − zP1 )(z− zP2 ) ��� (z − zPk )
(Auch hier bedeutet der Ansatz des gleichen Grades k in Zähler und
Nenner keinen Verlust an Allgemeinheit, wenn erlaubt ist, dass einzelne
Pole bzw. Nullstellen gleich sein dürfen oder den Wert Null annehmen
können.) Da die Koeffizienten di und gi reell sind, folgt aus der Tatsache,
dass H(z) eine gebrochen rationale Funktion ist:
Die Nullstellen z0i sowie die Pole zPi der Übertragungsfunktion
H(z) sind entweder reell oder liegen paarweise konjugiert
komplex zueinander. (1.34a)
Auch in der Form (1.33) lässt sich die Übertragungsfunktion H(z)
durch eine entsprechende Filterstruktur, die Serien- bzw. Kaskadenstruktur
(Bild 1.11) direkt realisieren:
H(z) =
d . � 0 m 1
[z
i=1
2 − (z 0 i +z * 0 i )z+ z 0 i z* 0 i] . � m 2
i=1
(z − z 0ri )
� k 1
[z
i=1
2 − (z Pi +z * Pi )z+ z Pi z* Pi ] . � k 2
(z − z Pri )
i=1
2m 1 +m 2 =2k 1 +k 2 =k ; (1.34)
wobei das Zeichen ”*” für konjugiert komplexe Darstellung, der Index r
für reelle Pole und Nullstellen steht.
Aus der Definition (1.32) ist leicht ersichtlich, dass die Übertragungsfunktionen
in Reihe geschalteter Filter multiplikativ miteinander verknüpft
sind (Bild 1.12):
;
13 Sprachsignalverarbeitung 1, 2
X(z) Y(z) Bild 1.11. Digitales Fil-
k=2 k=1
ter in Kaskadenstruktur
H1 (z) = Y1 (z)
X(z) ; H Y(z)
2 (z) =
Y1 (z) ;
H(z) = Y(z) Y(z)
=
X(z) Y1 (z) ⋅ Y1 (z)
X(z) = H1 (z) ⋅ H2 (z) .
(1.35)
X(z) Y Y(z) Bild 1.12. Zur Reihenschal-
1 (z)
H1 (z)
H2 (z) tung digitaler Filter oder Filterbausteine
Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist und zudem für D(z)
und G(z) getrennt abläuft, bietet diese Eigenschaft die Möglichkeit, die
Teilsysteme in beliebiger Reihenfolge anzuordnen. Als eine weitere
wichtige Eigenschaft linearer (passiver) Systeme ergibt sich somit aus der
Tatsache, dass die Übertragungsfunktion gebrochen rational ist:
Lineare passive Systeme lassen sich nach Maßgabe der Übertragungsfunktion
in Teilsysteme zerlegen; sind diese in Reihe geschaltet,
so ist die Reihenfolge der Teilsysteme beliebig. (1.36)
Diese Eigenschaft unterscheidet die linearen passiven Systeme grundlegend
von nichtlinearen Systemen: dort kommt es zwingend auf die
Reihenfolge an, in der die Komponenten durchlaufen werden!
Die Realisierung von (1.32) in Form einer Partialbruchzerlegung ergibt
die Parallelstruktur. Sofern alle Pole verschieden sind, lässt sich auch
diese Struktur in Form von Filterbausteinen 1. und 2. Grades direkt realisieren
(Bild 1.13):
H(z) = d 0 +� k 1
i=1
A i z + B i
z 2 − (z P i +z * P i )z+ z P i z* P i
+ � k 2
m=1
Cm
z − z Pr m . (1.37)
Die Parallelstruktur ist in dieser einfachen Form nur realisierbar, wenn
alle Pole verschieden sind. Insbesondere ist sie nicht realisierbar im Fall