Grundlagen der Signalverarbeitung - Arbeitsbereich Sprache und ...
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1. Elementare Systemtheorie; <strong>Gr<strong>und</strong>lagen</strong> <strong>der</strong> <strong>Signalverarbeitung</strong><br />
Im(z)<br />
z=e jΩ<br />
∡(Ω - φ Pi )<br />
Re(z)<br />
∡(Ω - φ 0i )<br />
Bild 1.19. Geometrische Interpretation des Frequenzganges. (x) Pole, (o)<br />
Nullstellen <strong>der</strong> Übertragungsfunktion<br />
H(z) = Z {h(n)}. (1.62)<br />
Mit Hilfe <strong>der</strong> Impulsantwort lässt sich das Übertragungsverhalten des<br />
Filters auch im Zeitbereich beschreiben. Wenden wir den Faltungssatz<br />
(1.21) <strong>der</strong> z-Transformation auf (1.31) an, so ergibt sich<br />
y(n) = Z --- 1 { H(z)X(z)}= h(n)*x(n) = � n<br />
k=0<br />
= � n<br />
k=0<br />
h(n ---k)⋅ x(k)<br />
h(k) ⋅ x(n ---k).<br />
(1.63)<br />
Das Ausgangssignal y(n) des Filters ist demnach das Faltungsprodukt aus<br />
Eingangssignal x(n)<strong>und</strong>Impulsantworth(n).<br />
Die Impulsantwort h(n) eines rekursiven Filters ist für wachsendes n<br />
zeitlich gr<strong>und</strong>sätzlich nicht begrenzt. Da damit die Faltung von Eingangssignal<br />
<strong>und</strong> Impulsantwort ebenfalls eine zeitlich nicht begrenzte Opera-<br />
21 Sprachsignalverarbeitung 1, 2<br />
tion ist, wird im Normalfall das Ausgangssignal des Filters nicht auf diesem<br />
Weg gewonnen, son<strong>der</strong>n durch eine (irgendwie geartete) Realisierung<br />
<strong>der</strong> Zustandsgleichung (1.12), die sich auf vergangene Werte des<br />
Ausgangssignals stützt. Einen wichtigen Son<strong>der</strong>fall stellen aber die<br />
Transversalfilter dar. Sie besitzen die finite Impulsantwort [vgl. im englischen<br />
Sprachgebrauch: finite impulse response filters, FIR filters;diesim<br />
Gegensatz zu den rekursiven Filtern, die auch als infinite impulse response<br />
filters o<strong>der</strong> IIR filters bezeichnet werden]<br />
h(n) = { dn n = 0(1)k<br />
(1.64)<br />
0 sonst .<br />
Damit wird (1.63) für die Transversalfilter zu einer zeitlich begrenzten<br />
Operation <strong>und</strong> geht direkt in die Zustandsgleichung (1.12) über. Für die<br />
Transversalfilter ist also folgende wichtige Aussage festzuhalten:<br />
Jede Realisierung eines Transversalfilters in direkter Struktur ist<br />
gleichzeitig die Realisierung <strong>der</strong> Faltung <strong>der</strong> Impulsantwort des<br />
Eingangssignals mit <strong>der</strong> Impulsantwort des Filters; diese wird<br />
durch die Filterkoeffizienten selbst dargestellt. (1.65)<br />
1.7.3 Stabilität, Pseudoleistung <strong>und</strong> Pseudoenergie<br />
In Abschnitt 1.2.1 wurden die vier Begriffe Linearität, Stabilität, Kausalität<br />
<strong>und</strong> Zeitinvarianz definiert. Wie aus den vorstehenden Abschnitten<br />
ersichtlich, lassen sich Linearität, Zeitinvarianz <strong>und</strong> Kausalität durch die<br />
Struktur <strong>und</strong> den Aufbau des Filters erzwingen. Hierbei kann das lineare<br />
System des Grades k in jedem Fall mit <strong>der</strong> Zustandsgleichung (1.12) beschrieben<br />
werden, die zu einer gebrochen rationalen Übertragungsfunktion<br />
<strong>der</strong> Form (1.32) führt. Wenn die Filterkoeffizienten d i <strong>und</strong> g i nicht<br />
von <strong>der</strong> Zeit abhängen, dann ist das Filter zeitinvariant.<br />
Mit Hilfe <strong>der</strong> Impulsantwort lässt sich aus (1.10) eine notwendige <strong>und</strong><br />
hinreichende Bedingung für die Stabilität eines Filters herleiten:<br />
� ∞<br />
n=0<br />
|h(n)| ≤ M h