Grundlagen der Signalverarbeitung - Arbeitsbereich Sprache und ...

1. Elementare Systemtheorie; Grundlagen der Signalverarbeitung
Im(z)
z=e jΩ
∡(Ω - φ Pi )
Re(z)
∡(Ω - φ 0i )
Bild 1.19. Geometrische Interpretation des Frequenzganges. (x) Pole, (o)
Nullstellen der Übertragungsfunktion
H(z) = Z {h(n)}. (1.62)
Mit Hilfe der Impulsantwort lässt sich das Übertragungsverhalten des
Filters auch im Zeitbereich beschreiben. Wenden wir den Faltungssatz
(1.21) der z-Transformation auf (1.31) an, so ergibt sich
y(n) = Z --- 1 { H(z)X(z)}= h(n)*x(n) = � n
k=0
= � n
k=0
h(n ---k)⋅ x(k)
h(k) ⋅ x(n ---k).
(1.63)
Das Ausgangssignal y(n) des Filters ist demnach das Faltungsprodukt aus
Eingangssignal x(n)undImpulsantworth(n).
Die Impulsantwort h(n) eines rekursiven Filters ist für wachsendes n
zeitlich grundsätzlich nicht begrenzt. Da damit die Faltung von Eingangssignal
und Impulsantwort ebenfalls eine zeitlich nicht begrenzte Opera-
21 Sprachsignalverarbeitung 1, 2
tion ist, wird im Normalfall das Ausgangssignal des Filters nicht auf diesem
Weg gewonnen, sondern durch eine (irgendwie geartete) Realisierung
der Zustandsgleichung (1.12), die sich auf vergangene Werte des
Ausgangssignals stützt. Einen wichtigen Sonderfall stellen aber die
Transversalfilter dar. Sie besitzen die finite Impulsantwort [vgl. im englischen
Sprachgebrauch: finite impulse response filters, FIR filters;diesim
Gegensatz zu den rekursiven Filtern, die auch als infinite impulse response
filters oder IIR filters bezeichnet werden]
h(n) = { dn n = 0(1)k
(1.64)
0 sonst .
Damit wird (1.63) für die Transversalfilter zu einer zeitlich begrenzten
Operation und geht direkt in die Zustandsgleichung (1.12) über. Für die
Transversalfilter ist also folgende wichtige Aussage festzuhalten:
Jede Realisierung eines Transversalfilters in direkter Struktur ist
gleichzeitig die Realisierung der Faltung der Impulsantwort des
Eingangssignals mit der Impulsantwort des Filters; diese wird
durch die Filterkoeffizienten selbst dargestellt. (1.65)
1.7.3 Stabilität, Pseudoleistung und Pseudoenergie
In Abschnitt 1.2.1 wurden die vier Begriffe Linearität, Stabilität, Kausalität
und Zeitinvarianz definiert. Wie aus den vorstehenden Abschnitten
ersichtlich, lassen sich Linearität, Zeitinvarianz und Kausalität durch die
Struktur und den Aufbau des Filters erzwingen. Hierbei kann das lineare
System des Grades k in jedem Fall mit der Zustandsgleichung (1.12) beschrieben
werden, die zu einer gebrochen rationalen Übertragungsfunktion
der Form (1.32) führt. Wenn die Filterkoeffizienten d i und g i nicht
von der Zeit abhängen, dann ist das Filter zeitinvariant.
Mit Hilfe der Impulsantwort lässt sich aus (1.10) eine notwendige und
hinreichende Bedingung für die Stabilität eines Filters herleiten:
� ∞
n=0
|h(n)| ≤ M h