Grundlagen der Signalverarbeitung - Arbeitsbereich Sprache und ...

1. Elementare Systemtheorie; Grundlagen der Signalverarbeitung
X(ω) = � +∞
--- ∞
x(t) exp(---jωt) dt ; x(t) = 1
2π �+∞
--- ∞
X(ω) exp(jtω) dω . (1.47a,b)
Die Abtastung der Zeitfunktion lässt sich mathematisch mit Hilfe der Ausblendeigenschaft
der Deltafunktion (vgl. z.B. Marko, 21982:179) darstellen;
der einzelne Abtastwert ist damit definiert als
x(nT) := � +∞
x(t) δ (t ---nT) dt . (1.48)
--- ∞
Die Fouriertransformierte der abgetasteten Zeitfunktion wird
X T (ω) = � +∞
n=−∞
x(nT) exp(---jωnT) . (1.49)
Gleichung (1.47b) für die Rücktransformation in (1.49) eingesetzt ergibt
XT (ω) = 1
2π �+∞ [ exp(---jωnT) . �
n=−∞
+∞
X(v) exp(jvnT) dv ] (1.50a)
−∞
und nach Umformung
X T (ω) = 1
2π �+∞
−∞
X(v) dv .[ � +∞
n=−∞
X(v) exp[jnT(v ---ω)]] dv . (1.50)
Nach dem Summen-Orthogonalitätssatz für harmonische Funktionen wird
diese Summe nur dann nicht Null, wenn gilt
(v ---ω) T = k ⋅ 2π ; k ganzzahlig . (1.51)
Damit kann aber die Ausblendeigenschaft der Deltafunktion auch auf (1.50)
angewendet werden:
X T (ω) = 1
T �+∞
k=−∞
X(ω+ 2πk
) . (1.52a)
T
Hieraus folgt die eigentliche Aussage des Abtasttheorems:
17 Sprachsignalverarbeitung 1, 2
Tastet man eine beliebige Zeitfunktion x(t) an äquidistanten
Stützstellen t=nT ab, so wird die zugehörige Spektralfunktion
XT(ω) mit der Kreisfrequenz 2π/T, also mit der Frequenz 1/T
periodisch; die einzelnen Werte von XT(ω) setzen sich zusammen
als Summe aller Werte der ursprünglichen Spektralfunktion
X(ω), die von der betrachteten Kreisfrequenz ω den Abstand
2πk/T, also ein Vielfaches des Periodizitätsintervalls, besitzen.
(1.52)
Soll die Zeitfunktion x(t) durch ihre abgetastete Version x(nT) vollständig
bestimmt sein, so ist zu verlangen, dass X(f) undXT(f) überdas
ganze Periodizitätsintervall identisch sind; hieraus wiederum folgt, dass
bei der Bildung von XT(f)ausX(f) nur ein Summand (in der Regel der für
k=0)vonNullverschiedenseindarf;X(f) muss also streng auf ein Intervall
∆f