Grundlagen der Signalverarbeitung - Arbeitsbereich Sprache und ...

1. Elementare Systemtheorie; Grundlagen der Signalverarbeitung
H P (z) =
� k
i=0
d 0
g i z −i
=
d 0 z k
� k
g k−mz m=0
m
. (1.39)
Im Gegensatz dazu steht das nichtrekursive digitale Filter. Hier verschwinden
alle Koeffizienten g i :
y(n) = � k
i=0
d i x(n ---i) . (1.40)
Dies ist keine Rekursionsgleichung mehr, da y(n) nur von Werten des
Eingangssignals x(n) abhängt. Die Übertragungsfunktion
d i z
i=0
−i = 1 �k d
zk k−mz m=0
m (1.41)
weist k reelle oder konjugiert komplexe Nullstellen in der z-Ebene auf.
Außer einem k-fachen Pol bei z=0 besitzt sie keine Singularitäten. Da
y(n) nur von einer endlichen Zahl vorangegangener Werte des Eingangssignals
abhängt, besitzt dieser Filtertyp eine Impulsantwort (siehe
Abschnitt 1.7.2) endlicher Länge und ist daher unbedingt und in jedem
Fall stabil. Da das Signal nicht rückgekoppelt wird, sondern das Filter
nur durchquert, spricht man auch von einem Transversalfilter. Auch für
diese Filter existieren zahlreiche Strukturen.
X(z)
H T (z) = � k
d 0
z −1
d 1
z −1
d 2
z −1
d k
Y(z)
Bild 1.15. Nichtrekursives digitales
Filter (Transversalfilter)
in direkter Struktur
15 Sprachsignalverarbeitung 1, 2
1.6 Übergang zu zeitkontinuierlichen Systemen. Abtastung
1.6.1 Frequenzdarstellung in der z-Ebene und für kontinuierliche
Signale
Aus den Gesetzen der z-Transformation lässt sich leicht herleiten, dass
die z-Transformierte jeder ungedämpften sinusförmigen Schwingung einen
oder zwei Pole auf dem Einheitskreis der z-Ebene hat (also auf dem
Kreis mit Radius 1 um z=0) und keine weiteren Singularitäten aufweist.
Die Lage der Pole ist durch die Frequenz der Schwingung eindeutig festgelegt.
Für die komplexe Eingangsfolge f (n) = exp(jΩn) erhaltenwir
F(z) = z
z − e jΩ
(1.42)
mit einem Pol bei z = e jΩ ; für die reelle Kosinusschwingung
f (n) = cos Ωn ergibt sich unter Verwendung der Euler’schen Formel
(vgl. Bronstein und Semendjajew, 251991:508, 514)
F(z) = 1 2 [
z
+
z − e jΩ z
] (1.43)
z − e --- jΩ
mit zwei Polen bei z1 = exp(jΩ)undz2 = exp(---jΩ).
Einen Sonderfall stellen die beiden Folgen s(n) = 1n sowie
s−(n) = (--- 1) n dar. Beide lassen sich als Grenzfälle ungedämpfter
Schwingungen betrachten, einmal mit der Frequenz Null, zum anderen
mit einer so hohen Frequenz, dass je Periode nur noch zwei Abtastwerte
auftreten. Die zugehörigen z-Transformierten sind
S(z) = z
z − 1
sowie S−(z) = z
z + 1
. (1.44a,b)
Auch hier liegen die Pole auf dem Einheitskreis, und zwar in z=1 bzw.
z= --- 1. Das Signal s(n) wirdauchalsEinheitssprung bezeichnet.
VerlassenwirnundiedigitaleDarstellungundnehmenwiran,dassunsere
Folgen {f (n)} durch gleichförmige Abtastung von Zeitfunktionen
f (t) mit einem Abtastintervall T entstanden sind. Entsprechend der digitalen
Darstellung sei angenommen, dass der Zeitpunkt t=0 in den Messpunkt
n=0 übergeht, und dass das Signal für t