Signal Processing Toolbox - EAL Lehrstuhl für Elektrische ...

MATLAB Signal Processing Toolbox 

0 Signal Processing Toolbox 

1 Was ist Digitale Signalverarbeitung? 

2 Inhalt 

3 Aufbereitung der Messdaten 

4 Interpolation 

6 Approximation 

7 Interpolation und Approximation 

8 Anpassung der Abtastrate 

11 Analyse im Zeitbereich 

12 Korrelationsfunktionen 

16 Analyse im Frequenzbereich 

17 Spektralanalyse 

18 Diskrete Fouriertransformation DFT 

23 Leakage–Effekt 

25 Fensterfunktionenn 

27 Leistungsdichtespektren 

32 Spektralanalyse – zeitvariable Signale 

33 Extraktion von Signalanteilen 

34 Digitale Filter 

35 FIR–Filter 

40 IIR–Filter 

44 Digitale Filter – Beliebiger Frequenzgang 

45 Digitale Filter – Vergleich 

46 Analoge Filter 

48 Digitale Filter – Herleitung 

51 sptool 

Inhaltsverzeichnis 

Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik 

Simulation mit Matlab/Simulink


MATLAB 

Signal Processing Toolbox 


Simulation mit Matlab/Simulink


Was ist Digitale Signalverarbeitung? 

Verarbeitung zeitdiskret abgetasteter Signale mit 

• Methoden zur Aufbereitung von Messdaten 

• Analysen im Zeitbereich 

• Analysen im Frequenzbereich 

• Methoden zur Extraktion von Signalanteilen 


Simulation mit Matlab/Simulink 1


Inhalt 

Schwerpunkte der heutigen Vorlesung: 

• Interpolation, Approximation und Abtastung 

• Korrelationsfunktionen 

• Spektralanalyse 

• Filter −→ Digital und Analog 




Aufbereitung der Messdaten 

Interpolation 

Approximation 

Änderung der Abtastrate 




Interpolation 

Anwendung 

• Funktionswertberechnung zwischen Abtastpunkten 

• Grafische Darstellung einer abgetasteten Kurve 

Verfahren 

• linear 

• kubisch 

• Splines 




Interpolation 

Matlab–Befehle 

• Interpolation (methode = linear, cubic, spline): 

interp1 (x_koord, y_werte, x_auswertung, ’methode’) 

• Mehrdimensionale Interpolation: 

interp2, interp3, interpn 

• Zweidimensionale Interpolation unsortierter Daten: 

griddata (x_koord, y_koord, z_werte, ... 

x_auswertung, y_auswertung, ’methode’) 




Approximation 

Anwendung 

• Generieren von Kennlinien aus verrauschten Daten 

• Beschreibung von Messdaten durch Ausgleichspolynom 


• polynom = polyfit (x_koord, y_werte, ordnung) 

• y_auswertung = polyval (polynom, x_auswertung) 




Interpolation und Approximation 

Vergleich interp1 mit Basic Fitting Tool 

• ’spline’, ’cubic’ −→ spline interp., shape-preserving 

• polyfit −→ linear, cubic etc. 




Anpassung der Abtastrate 

Anwendung 

• Messdaten liegen mit abweichender Abtastfrequenz vor 

• Kompatibilität zwischen unterschiedlichen 

Aufzeichnungsstandards (z.B. Digital-Audio) 

• Einfache (verlustbehaftete) Datenkompression 



Ohne Filterung: 




• downsample (x, faktor) −→ Zwischenwerte entfallen 

• upsample (x, faktor) −→ Auffüllen mit 0 

Mit Filterung: 

• decimate (x, faktor [, ordnung, ’fir’]) 

• interp (x, faktor) 

• resample (x, zaehler, nenner) 



5 

0 


−5 

0 20 40 

5 

0 

Original x 

Original x 

−5 

0 20 40 


5 

0 

y = downsample (x, 4) 

−5 

0 5 10 

5 

0 

y = decimate (x, 4, 8, ’fir’) 

−5 

0 5 10 

5 

0 

z = upsample (y, 4) 

−5 

0 20 40 

5 

0 

z = interp (y, 4) 

−5 

0 20 40 




Analyse im Zeitbereich 

Autokorrelation 

Kreuzkorrelation 




Korrelationsfunktionen 

Aufgabenstellung 

Korrelationsfunktion = Maß für Ähnlichkeit 

• zweier Signale −→ Kreuzkorrelation 

• eines Signals mit sich selbst −→ Autokorrelation 

Anwendung 

• Erkennung und Ausblendung von Echos 

• Laufzeitmessung zur Ortung einer Signalquelle 

• Unterscheidung verschieden codierter Sender 





Autokorrelation 

φxx(k) = 1 

N 

cxx = xcorr (x, ’options’) 

N 

n=1 

x n+k · xn 

Berechnung in Matlab: 

x: Signalvektor der Länge N 

cxx: Ergebnisvektor der Länge 2N − 1 

’options’ = ’none’ −→ Standard, ohne Skalierung 1/N 

= ’biased’ −→ Skalierung wie in Formel 

= ’coeff ’ −→ Skalierung, so dass φxx(0) = 1 






φxy(k) = 1 

N 

N 

n=1 

x n+k · yn 

Berechnung in Matlab: 

cxy = xcorr (x, y, ’options’) 

x, y: Signalvektoren, Länge jeweils ≤ N, 

bei Bedarf wird der kürzere Vektor mit 0 aufgefüllt 

cxy: Ergebnisvektor der Länge 2N − 1 





Signallaufzeit von 4 verschieden codierten Sendern 

mittels Kreuzkorrelation: 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 


S1, 100ms 

S2, 200 ms 

S3, 150ms 

S4, 400 ms 

−0.1 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 

Laufzeit [s] 

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 




Analyse im Frequenzbereich 

Amplitudenspektren 

Leistungsdichtespektren (PSD) 

Fensterfunktionen 

Averaging 




Spektralanalyse 


Bestimmung der Frequenzanteile in einem Signal 

ˆ= Korrelation mit Frequenzen F k 

Anwendung 

• Bestimmung der Übertragungsfunktion 

• Bestimmung des Rauschabstands (SNR) 

• Anlagenüberwachung (frühzeitige Fehlererkennung) 




Diskrete Fouriertransformation DFT 

Kontinuierliche FT: 

X(jω) = 

∞ 

−∞ 

x(t) exp (−jωt) dt 

Zeitdiskret (N Messwerte, Ts Abtastzeit): 

Xd(jωk) = N−1 

n=0 

= N−1 

n=0 

x(nTs) exp (−jω knTs) 

x(nTs) cos(ω knTs) 

 

Realteil 

− x(nTs) j sin(ω knTs) 

 

Imaginärteil 





• Nur für diskrete Frequenzen definiert: 

ω k = k∆ω = 2π k∆F 

• Frequenzauflösung = 1 / Messdauer: 

∆F = 1/(NTs) 

• Maximal messbare Frequenz = 1/2 Abtastfrequenz: 

Fmax = Fs/2 = 1/(2Ts) 

• Fourierkoeffizienten sind eindeutig und 

(konjugiert komplex) spiegelbildlich um N/2 bzw. Fs/2 





Reelle Fourierreihe: 

x(t) = a0 + K 

k=1 

Reelle Fourierkoeffizienten: 

(a k cos(kω kt) + b k sin(kω kt)) 

a k = 2 

N Re {X d(k)} k = 1 . . . N/2 

b k = − 2 

N Im {X d(k)} k = 1 . . . N/2 

a0 = 1 

N Re {X d(0)} k = 0 



• X = fft (x) 



Matlab–Befehl 

• x: Signalvektor der Länge N 

• X: Frequenzgang der Länge N 

(komplex, symmetrisch) 

• Achtung: Formel a0, a1, a2 . . . entspricht 

Matlab–Indizes 1, 2, 3 . . . ! 



15 

10 

5 

0 

−5 

−10 



Signal 

−15 

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 

Zeit [s] 

10 

9 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

Spektrum 

DFT 

Ideal 

Hamming 

0 

0 10 20 30 40 50 

Frequenz [Hz] 



1 

0.5 

0 

−0.5 

−1 

1 

0.5 

0 

−0.5 

−1 


Zeitbereich 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

Zeitbereich 

Leakage–Effekt 

8 Hz 

11 Hz 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 

1 

0.5 

0 

1 

0.5 

0 

Frequenzbereich (Prinzip) 

|sinc| 

k⋅ΔF 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 

Frequenzbereich (Prinzip) 

|sinc| 

k⋅ΔF 

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 




Leakage–Effekt 

• Messzeitfenster ◦—• Spaltfunktion 

• Im allgemeinen Fall (F = k ∆F ) wird Spaltfunktion 

nicht in Nullstellen (k ∆F ) abgetastet −→ Leakage 

• Verbesserung durch Gewichtung der Messwerte mit 

Fensterfunktionen: 

– Vorteil: niedrigere ” Nebenzipfel“ 

−→ verringertes Leakage 

– Nachteil: breiterer ” Hauptzipfel“ 

−→ schlechtere Frequenztrennung 






• Ohne Fensterung: Rechteck rectwin(n), alt: boxcar(n) 

• Fenster in Reihenfolge zunehmender Glättung ↓ 

triang(n) Dreieck 

hamming(n) Hamming 

hann(n) Hann 

blackman(n) Blackman 

1 

0.5 

0 

Dreieck 

Hamming 

Hann 

Blackman 

0 5 10 15 20 

• Matlab–Aufruf: X = fft (hamming(length(x)) .* x) 

• Matlab–Tool: wintool 








Leistungsdichtespektren 

Autoleistungsdichtespektrum 

Φxx(k∆F ) = 

1 

N 2 ∆F |X d (2π k∆F )| 2 

mit ∆F = Fs/N = 1/(NTs) 

Amplitudenspektrum ←→ Leistungs(dichte)spektrum 

Amplitude A ∼ U Leistung P ∼ U 2 

DF T / N |DF T / N| 2 / ∆F 

Einheit dB Einheit dB/Hz, W/Hz 

20 dB ˆ= 10 · U 20 dB ˆ= (10 · U) 2 = 100 · P 




psd −→ veraltet 


Matlab-Befehle (1) 

periodogram −→ sehr anfällig für Rauschen 

pwelch −→ mit Fensterung: reduziertes Leakage 

−→ ohne Fensterung: quantitative Analyse 

• Averaging (DFT stückweise, Mittelung) 

• überlappende Sequenzen (geringer Datenverlust) 





Matlab-Befehle (2) 

[Pxx, Fxx] = pwelch (x, fenster, Nover, Nfft, Fs) 

plot (Fxx, 10 * log10 (Pxx)) 

x: Signalvektor der Länge N 

fenster: Länge für Hamming (Standard), sonst Vektor 

Nover: Überlappung, Standard = Nfft/2 

Nfft: Länge einer Sequenz ≤ N 

Fs: Abtastfrequenz 

Pxx: Autoleistungsdichtespektrum (Schätzwert) 

Fxx: Zugehöriger Frequenzvektor 



Leistungsdichte [dB/Hz] 

20 

15 

10 

5 

0 

−5 



Spektrum mit "pwelch" 

Spektrum 

Ideal 

Rauschen 

−10 

0 5 10 15 20 25 

Frequenz [Hz] 

30 35 40 45 50 





Skalierung bei pwelch (x, rectwin(Nfft), [], Nfft, Fs) 

Signalanteil Zeitbereich ←→ Frequenzbereich 

Gleichanteil x = C X(0) = C 2 /∆F 

Sinus / Cosinus x = A · sin (. . .) X(f) = A 2 / 2 /∆F 

Rauschen x normalverteilt X = σ 2 / (Fs/2) 

Beispiel für ∆F = Fs/Nfft = 100 Hz/250 = 0.4 Hz: 

x = 2 + ... 10 ˆ= 10 dB/Hz 

+ 8 * sin (2*pi*8*t) ... 80 ˆ= 19 dB/Hz 

+ 5 * randn (1, n) 0.5 ˆ= − 3 dB/Hz 




Spektralanalyse – zeitvariable Signale 

x = 5 + 8 * sin (2*pi*(8+t).*t) + t .* cos (2*pi*33*t); 

[S, F, T, P] = spectrogram (x, 64, [], 64, Fs); 

pcolor (T, F, 10*log10(P)) 

Frequenz [Hz] 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

Spektraler Verlauf mit spectrogram 

5 10 15 20 

Zeit [s] 




Extraktion von Signalanteilen 

Digitale FIR- und IIR-Filter 

Analoge Filter 

Herleitung Digitaler Filter 

sptool 




Digitale Filter 


• Verstärkung des Nutzsignals 

• Unterdrückung von Störsignalanteilen 

H(z) = y(z) 

x(z) 

Allgemeine Gleichung (Matlab-Indizes!) 

= B(z) 

A(z) = b1 + b2 z −1 + . . . + b n+1 z −n 

a1 + a2 z −1 + . . . + a m+1 z −m 

a1 y k = b1 x k + b2 x k−1 + . . . + b n+1 x k−n 

− a2 y k−1 − . . . − a m+1 y k−m 




FIR–Filter 

• Der Ausgangswert wird ausschließlich aus 

Eingangswerten x k . . . x k−m berechnet: 

H(z) = y(z) 

x(z) = B(z) = b1 + b2 z −1 + . . . + b n+1 z −n 

y k = b1 x k + b2 x k−1 + . . . + b n+1 x k−n 

• FIR–Filter sind nicht–rekursiv und stets stabil. 

• Die Impulsantwort besitzt eine endliche Länge 

(Finite Impulse Response). 




FIR–Filter 


• Filterentwurf: B = fir1 (ordnung, Fg) 

B: Filterkoeffizienten, optimiert auf idealen Tiefpass 

Fg: Grenzfrequenz normiert auf Fs/2 = Fmax 

• Übertragungsfunktion: [H, F] = freqz (B, 1, N, Fs) 

N: Anzahl der Datenpunkte für Ausgabe 

H: Übertragungsfunktion 

F: zugehöriger Frequenzvektor 




FIR–Filter 

• Endliche Zahl an Koeffizienten ◦—• Spaltfunktion 

• Überlagerte Fensterfunktion reduziert Welligkeit 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

Filter−Koeffizienten 

−0.1 

−20 −10 0 10 20 

Nummer der Koeffizienten 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

Filter−Übertragungsfunktion 

Ideal 

FIR 

FIR + Hamming 

−0.2 

0 10 20 30 40 50 

Frequenz [Hz] 




FIR–Filter 


• Tiefpass, Durchlassbereich < 0.4 · Fmax 

fir1 (20, 0.4) 

• Hochpass, Durchlassbereich > 0.4 · Fmax 

fir1 (20, 0.4, ’high’) 

• Bandpass, Durchlassbereich 0.2 ... 0.4 · Fmax 

fir1 (20, [0.2 0.4]) 

• Bandsperre, Sperrbereich 0.2 ... 0.4 · Fmax 

fir1 (20, [0.2 0.4], ’stop’) 




FIR–Filter 

• Filterung (kausal): x_fir = filter (B, 1, x) 

• Filterung (doppelt): x_fir = filtfilt (B, 1, x) 

30 

20 

10 

0 

(ohne Phasenverschiebung, nur off-line möglich) 

Diskrete Filterung mit FIR 20. Ordnung 

ungefiltert 

FIR filter 

FIR filtfilt 

−10 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 

Zeit [s] 

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 




IIR–Filter 

• Der Ausgangswert wird aus Eingangswerten und 

vergangenen Ausgangswerten berechnet. 

a1 y k = b1 x k + b2 x k−1 + . . . + b n+1 x k−n 

− a2 y k−1 − . . . − a m+1 y k−m 

• IIR–Filter sind rekursiv (d.h. a2 . . . a m+1 = 0) 

und kann auch instabil sein. 

• Die Impulsantwort besitzt eine unendliche Länge 

(Infinite Impulse Response). 




IIR–Filter 

Matlab–Befehle (Filter-Typen) 

• Butterworth-TP, Fg: Grenzfrequenz normiert 

[B, A] = butter (ordnung, Fg [, typ]) 

• Tschebyscheff, Rp: Welligkeit im Durchlassbereich [dB] 

[B, A] = cheby1 (ordnung, Rp, Fg) 

• Tschebyscheff, Rs: Dämpfung im Sperrbereich [dB] 

[B, A] = cheby2 (ordnung, Rs, Fg) 

• Elliptisch (Cauer) 

[B, A] = ellip (ordnung, Rp, Rs, Fg) 




IIR–Filter 

Matlab–Befehle (Rückgabewerte) 

• Zähler– und Nennerpolynom 

[B, A] = butter (ordnung, Fg) 

• Nullstellen, Pole und Verstärkung 

[Z, P, K] = butter (ordnung, Fg) 

• Zustandsdarstellung 

[A, B, C, D] = butter (ordnung, Fg) 




IIR–Filter 

• Filterung (kausal): x_iir = filter (B, A, x) 

• Filterung (doppelt): x_iir = filtfilt (B, A, x) 

• Übertragungsfunktion: [H, F] = freqz (B, A, N, Fs) 

30 

20 

10 

0 

Diskrete Filterung mit IIR 4. Ordnung 

ungefiltert 

IIR filter 

IIR filtfilt 

−10 

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 

Zeit [s] 

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 



Amplitude 


Digitale Filter – Beliebiger Frequenzgang 


• FIR: fir2 (ordnung, frequenzen, amplituden) 

• IIR: yulewalk (ordnung, frequenzen, amplituden) 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

FIR−Filterdesign mit fir2 20. Ordnung 

Sollverlauf 

fir2 

0 

0 10 20 30 40 50 

Frequenz [Hz] 

Amplitude 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

IIR−Filterdesign mit yulewalk 4. Ordnung 

Sollverlauf 

yulewalk 

0 

0 10 20 30 40 50 

Frequenz [Hz] 




Digitale Filter – Vergleich 

FIR-Filter ←→ IIR-Filter 

immer stabil klassische Filtertypen 

numerisch unkritisch geringe Ordnung 

Gruppenlaufzeit konstant geringer Rechenaufwand 

Hinweise 

• Fg immer auf halbe Abtastfrequenz Fs/2 normiert. 

• Grenzfrequenz Fg entspricht meist nicht −3dB. 

• −→ Auslegung immer anhand Frequenzgang prüfen! 





Anwendung 

• Verwendung in quasikontinuierlichen Simulationen 

• Grenzfrequenz wg in [rad/s] 


[B, A] = besself (ordnung, wg) 

[B, A] = butter (ordnung, wg, ’s’) 

[B, A] = cheby1 (ordnung, Rp, wg, ’s’) 

[B, A] = cheby2 (ordnung, Rs, wg, ’s’) 

[B, A] = ellip (ordnung, Rp, Rs, wg, ’s’) 





Frequenzgang plotten 

[B, A] = butter (4, 1, ’s’); % Butterworth-TP, analog 

[H, W] = freqs (B, A); % Frequenzgang berechnen 

loglog (W, abs (H)); % Frequenzgang ausgeben 

Amplitude [dB] 

0 

−20 

−40 

Bessel 

0.1 1 10 

Frequenz normiert 

0 

−20 

−40 

Butterworth 

0.1 1 10 


0 

−20 

−40 

Tschebyscheff Typ 1 

0.1 1 10 


0 

−20 

−40 

Elliptisch (Cauer) 

0.1 1 10 





Digitale Filter – Herleitung 

Berechnung 

• Auslegung IIR-Filter als analoge Filter 

• Umrechnung mit der Bilinearen Transformation: 

s = 2 Fs · 

z − 1 

z + 1 

• Abbildung periodisch und verzerrt: 

– Abbildung Frequenz 0 −→ 0, Fs, ... 

– Abbildung Frequenz ∞ −→ Fs/2, 3Fs/2, ... 






Periodizität 

• Aliasing für Frequenzen > Fs/2 

• −→ Immer analogen Tiefpass vorschalten! 

0 

−20 

−40 

−60 

−80 

analog 

digital 

Fg 

Fs/2 

Periodischer Frequenzgang digitaler Filter 

10 20 30 40 50 100 200 

Frequenz [Hz] 






Verzerrung 

• Frequenz Fg wird auf kleinere Frequenz abgebildet. 

• −→ Pre-Warping vor Bilinearer Transformation! 

• Bei IIR-Filterfunktionen bereits berücksichtigt. 

0 

−10 

−20 

−30 

Pre−Warping bei digitalen Filtern 

analog 

digital (bilinear) 

analog (Pre−Warping) 

digital (Pre−Warping) 

Fg 

15 20 25 

Frequenz [Hz] 

30 35 40 45 50 




sptool – Signal Browser & Spectrum Viewer 




sptool – Filter Design and Analysis Tool

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