Versuchsanleitung - EAL Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme ...

Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik
Technische Universität München
Prof.Dr.-Ing.R.Kennel
Arcisstraße 21
D–80333 München
E-mail: eal@ei.tum.de
http: www.eal.ei.tum.de
Tel.: +49 (0)89 289–28358
Fax: +49 (0)89 289–28336
Praktikum
Simulation und Optimierung von
mechatronischen Antriebssystemen
Ausgabe WS 2013/2014
Ansprechpartner:
Julien Cordier
Raum 1908 (Gebäude 9, Innenhof)
Arcisstr. 21
D-80333 München
Tel.: 089-289-29013
E-Mail: julien.cordier@tum.de

Wichtige Hinweise
Ort und Zeit
Das Praktikum findet in Raum 1903 (Gebäude 9, TU–Innenhof, südlicher Eingang) jeweils
Dienstag von 14:00 bis 18:00 Uhr an den vereinbarten Terminen statt. Siehe hierzu
http://www.eal.ei.tum.de/index.php?id=psuovma.
– ii –

Versuchsvorbereitung und -protokolle
Zu jedem Versuch muss eine Versuchsvorbereitung pro Gruppe schriftlich ausgearbeitet und
mindestens 2 Tage vor Beginn des jeweiligen Versuchs abgegeben werden.
Gegenstand der Versuchsvorbereitung ist die Lösung der entsprechend gekennzeichneten Aufgaben.
An bestimmten Stellen der Praktikumsanleitung wird auf Literaturquellen verwiesen.
Zur Lösung der Aufgaben und Vertiefung der vorgestellten Zusammenhänge wird ausdrücklich
empfohlen, sich während der Vorbereitung mit den entsprechenden Inhalten vertraut zu machen.
Des Weiteren sind im Laufe des Praktikums zwei Versuchsprotokolle anzufertigen, wobei jeweils
ein Versuch über den Gleichstromantrieb (Versuch 1 – 3) und einer über Drehfeldantriebe
(Versuch 4 – 6) zu protokollieren sind. Die Protokolle sollen die Lösung der zu den gewählten
Versuchen gehörigen Vorbereitungsaufgaben sowie die jeweiligen Simulationsergebnisse und deren
Diskussion umfassen. Sie sind spätestens bis zu den vereinbarten Terminen abzugeben.
Die schriftlichen Ausarbeitungen (Vorbereitungen und Protokolle) können entweder in Papierform
beim Betreuer (Zimmer 1908) abgegeben oder per E-Mail an julien.cordier@tum.de
geschickt werden. Um eine einfache Zuordnung zu ermöglichen, sind Versuchsnummer, Gruppennummer
und Namen der Gruppenteilnehmer mit Matrikelnummern im Kopffeld anzugeben.
Bewertung
Die Endnote ergibt sich aus der Summe der gewichteten Teilnoten von Vorbereitungsaufgaben
(25%, Gruppenleistung), Versuchsdurchführung (35%, Gruppen- und Einzelleistung) sowie
Protokolle (40%, Gruppenleistung).
Zur Bewertung werden folgende Kriterien herangezogen:
• Schriftliche Ausarbeitungen:
– Richtigkeit der Ergebnisse
– Nachvollziebarkeit der Lösungswege
– Lesbarkeit, Sauberkeit, fristgerechte Abgabe
– Für die Protokolle: Analyse der Simulationsergebnisse, Verständnis
• Versuchsdurchführung:
– Implementierung der Modelle
– Verständnisfragen und Diskussion
– iii –

Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
Versuch 1: Modellierung des Gleichstromantriebs 2
1.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Vierquadranten-Pulssteller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Nachbildung von wertkontinuierlichen Spannungen . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Dynamisches Verhalten bei Sollwertänderungen . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Fremderregte Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Stationäres Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Stromerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Drehzahlmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Modell der Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Untersuchung des Verhaltens eines Gleichstrommotors . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Stromrichtergespeister Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4 Einfluss der Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Versuch 2: Regelung des Gleichstromantriebs 20
2.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Modell des Gleichstromantriebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Gleichstrommotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Leistungselektronische Stellglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Ankerstromregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Grundlegende Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Bewertung der Regelgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Drehzahlregelung im Ankerstellbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Reglerauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Bewertung der Regelgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.3 Verbesserung der Regeleigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
– iv –

INHALTSVERZEICHNIS
Versuch 3: Regelung einer Arbeitsmaschine über eine elastische Kopplung 31
3.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Modellierung der elastischen Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Verhaltensanalyse des Zweimassensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Signalflussplan der Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.3 Übertragungsfunktion zwischen Ω A und M M . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4 Übertragungsfunktion zwischen Ω M und M M . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Regelung der Antriebsdrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6 Verifikation und Bewertung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Versuch 4: Modellierung von Drehfeldantrieben 40
4.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Allgemeines Grundwellenmodellvon Drehfeldmaschinen . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.1 Annahmen zur Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.2 Elektrische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.3 Magnetische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.4 Raumzeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.5 Umrechnung rotorbezogener Größen auf die Statorseite . . . . . . . . . . 57
4.2.6 Mechanische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.7 Signalflussplan des allgemeinen Grundwellenmodells . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Modell der Asynchronmaschine mit Käfigläufer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Modell der permanentmagneterregtenSynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . 63
Versuch 5: Feldorientierte Regelung von Drehfeldantrieben 65
5.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Grundlegende Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Definition des rotorflussorientierten Koordinatensystems . . . . . . . . . 66
5.2.2 Modell der Asynchronmaschine im K-Koordinatensystem . . . . . . . . . 66
5.2.3 Bestimmung des Rotorflussraumzeigers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.4 Prinzipdarstellung der feldorientierten Regelung . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3 Beschreibung des betrachteten Antriebssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
– v –

INHALTSVERZEICHNIS
5.3.1 Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2 Zweipunkt-Umrichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.3 Sensorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Implementierung der feldorientierten Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.1 Stromregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.2 Fluss- und Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5 Verifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Versuch 6: Direkte Drehmomentregelung von Drehfeldantrieben 77
6.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.1 Modell der Asynchronmaschine im Statorkoordinatensystem . . . . . . . 78
6.2.2 Betrieb des Zweipunkt-Umrichters ohne Modulator . . . . . . . . . . . . 78
6.2.3 Prinzip der direkten Drehmomentregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2.4 Bestimmung von Statorflussraumzeiger und Drehmoment . . . . . . . . . 84
6.2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Implementierung der direkten Drehmomentregelung . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 Fluss- und Drehmomentregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.2 Überlagerte Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
– vi –

Einleitung
Moderne industrielle Fertigungsanlagen werden mit fortschreitender Technik zunehmend komplexer
und damit schwieriger zu handhaben bzw. zu regeln. Da sowohl jegliche Stillstandszeiten
von Anlagen, als auch geeignete Testaufbauten unerwünschte Kosten zur Folge haben, bleibt
dem Entwicklungsingenieur wenig Spielraum, um neuartige Steuer– und Regelungsverfahren
direkt am jeweiligen System zu testen.
Folglich hat sich während der letzten Jahre durch den rapiden Fortschritt der Computertechnik
die Rechnersimulation als wichtiges Hilfsmittel bei Entwurf, Analyse und Auslegung bzw.
Optimierung von Anlagen und deren Steuer– und Regeleinheiten entwickelt. Allgemeines Ziel
der Simulation ist es, mithilfe eines mathematischen Modells Aussagen über das Verhalten des
betrachteten physikalischen Systems zu machen. Hierzu gibt es mittlerweile eine Vielzahl verschiedener
Simulationsprogramme, die auf die unterschiedlichsten Anlagentypen zugeschnitten
sind.
Dieses Praktikum soll Einblicke in die Möglichkeiten der modernen Rechnersimulation geben.
In Rahmen von sechs Versuchen sollen verschiedene mechatronische Systeme (d.h. Systeme, in
denen eine geregelte elektromechanische Energiewandlung stattfindet, vgl. Abb. 1) am Rechner
simuliert sowie geeignete Regelalgorithmen entworfen und optimiert werden. Hierbei werden
die in der elektrischen Antriebstechnik bedeutendsten Maschinentypen, fremderregte Gleichstrommaschinen
und Drehfeldmaschinen, näher untersucht und deren geregelter Betrieb für
verschiedene Anwendungsfälle optimiert.
Im Laufe der Versuchewird die SimulationsumgebungMATLAB/Simulinkeingesetzt, welche sich
zur Untersuchung von linearen, nichtlinearen, zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Systemen
besonders eignet und durch deren graphische Oberfläche leicht zu erlernen und zu bedienen ist.
Abbildung 1: Bestandteile eines mechatronischen Systems
– 1 –

Versuch 1
Modellierung des Gleichstromantriebs
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Teilaufgaben sind in der schriftlichen
Versuchsvorbereitung zu lösen!
1.1 Übersicht
In den ersten drei Versuchen werden geregelte Gleichstromantriebe behandelt. In diesem Antriebstyp
besteht die Regelstrecke, d. h. das zu regelnde System, aus einer Gleichstrommaschine
und einem Gleichspannungswandler als leistungselektronischem Stellglied, welches eine gezielte
Beeinflussung des elektrischen Energieflusses in die Maschine ermöglicht und somit deren Regelung
überhaupt möglich macht. Die Ansteuerung des Stellglieds erfolgt durch einen Regler,
über einen Vergleich der gemessenen Regelgrößen mit deren Sollwerten.
Im Rahmen des Praktikums wird der in industriellen Anlagen weit verbreitete Fall der durch
einenVierquadranten-Pulssteller (kurzVierquadrantensteller)gespeistenfremderregtenGleichstrommaschine
in Betracht gezogen. Gegenstand des ersten Versuchs ist die Modellierung des
Gleichstromstellers, der fremderregten Gleichstrommaschine sowie der zugehörigen Sensorik.
Ausgehend von den erarbeiteten Modellen wird der gesteuerte Betrieb des Gleichstromantriebs
und insbesondere dessen stationäres Drehmoment-Drehzahl-Verhalten untersucht. Regelauslegung
und Analyse des Betriebs im geschlossenen Regelkreis erfolgen im zweiten Versuch.
1.2 Vierquadranten-Pulssteller
1.2.1 Funktionsweise
Der Pulssteller gehört zu den Gleichspannungswandlern und liefert, ausgehend von einer
festen Eingangspannung U dc , eine einstellbare, pulsierende Ausgangsspannung u A . Im Hinblick
auf die möglichen Spannungs- und Strompolaritäten wird zwischen Ein-Quadrantenund
Mehrquadranten-Pulsstellern unterschieden. Im weiteren Verlauf wird ein Vierquadranten-
Pulssteller betrachtet, welcher sowohl positive, als auch negative Ausgangsspannungen bereitstellen
und den Strom bidirektional führen kann (Abb. 1.1).
– 2 –

1.2.2. Nachbildung von wertkontinuierlichen Spannungen
Abbildung 1.1: Prinzipschaltplan eines Vierquadrantenstellers
Die in Abb. 1.1 dargestellten Schaltelemente S1 bis S4 (IGBT-Module mit integrierter Freilaufdiode)
werden als ideelle Schalter angenommen, die über die binären Ansteuerungssignale s 1
bis s 4 beliebig geschlossen (kurz s x , x ∈ {1..4}) oder geöffnet (kurz ¬s x , x ∈ {1..4}) werden
können. Ist in einem der beiden Halbbrücken ein Schalter geschlossen, muss der andere geöffnet
sein, um einen Kurzschluss der Eingangsspannung (Zwischenkreisspannung) U dc auszuschließen.
Somit ergeben sich folgende logische Zusammenhänge zwischen Steuersignalen und der
Ausgangsspannung:
⎧
(s 1 ∧¬s 2 ) ∧ (¬s 3 ∧s 4 ) ⇒ u A = U dc
⎪⎨
(¬s 1 ∧s 2 ) ∧ (s 3 ∧¬s 4 ) ⇒ u A = −U dc
⎪⎩
[(s 1 ∧¬s 2 ) ∧ (s 3 ∧¬s 4 )]∨[(¬s 1 ∧s 2 ) ∧ (¬s 3 ∧s 4 )] ⇒ u A = 0
(1.1)
Angesichts obiger Betrachtungen können die Signale s 2 bzw. s 4 durch logische Negierung aus
s 1 bzw. s 3 generiert werden.
1.2.2 Nachbildung von wertkontinuierlichen Spannungen
Wie aus (1.1) hervorgeht, kann der Pulssteller lediglich 3 diskrete Spannungswerte an dessen
Ausgangsklemmen bereitstellen. Durch Umschalten zwischen den drei möglichen Zuständen
lassen sich jedoch mittlere Spannungswerte im gesamten Intervall [−U dc ;U dc ] erzeugen. Dieses
Verhalten wird erzielt, wenn die Steuersignale s 1 und s 3 durch z. B. Pulsbreitenmodulation
(PWM) generiert werden.
Das Prinzip der PWM ist in Abb. 1.2 erläutert, wobei folgende Symbole benutzt wurden:
UA
∗
u d
T s
T on
u A
Spannungssollwert
Trägersignal
Periode des Trägersignals
Einschaltdauer des Schalters S1
Augenblickswert der Ausgangsspannung
– 3 –

1.2. Vierquadranten-Pulssteller
(a)
(b)
Abbildung 1.2: Funktionsprinzip der Pulsbreitenmodulation
(a) d > 0,5 bzw. u A > 0; (b) d < 0,5 bzw. u A < 0
Fernerentsprichtu A demgleitendenMittelwertderAusgangsspannungübereineTrägerperiode:
u A (t) = 1 T s
∫ t
t−T s
u A (t ′ )dt ′
Das binäre Signal s 1 wird durch Vergleich des Spannungssollwerts UA ∗
u d (Trägersignal) gemäß folgendem Gesetz bestimmt:
mit dem Referenzsignal
{ 1 wenn U
∗
s 1 = A /U dc ≥ u d
0 sonst
(1.2)
Das Tastverhältnis (engl. duty cycle) d des Signals s 1 lautet somit:
d = T on
= T on/2
T s T s /2 = 1+U∗ A /U dc
2
(1.3)
Zur Vermeidung eines gleichzeitigen Einschaltens von S1 und S2 erfolgt die Ansteuerung von
S2 über das Signal s 2 = ¬s 1 . Werden s 3 = s 2 = ¬s 1 und s 4 = ¬s 3 = s 1 gewählt, kann u A
laut (1.1) die Werte U dc und −U dc annehmen. Dies hat den Vorteil, dass lediglich ein Signal
zur Ansteuerung des Pulsstellers genügt. Durch Variieren des Tastverhältnisses im Intervall
– 4 –

1.2.3. Dynamisches Verhalten bei Sollwertänderungen
[0;1] können Spannungsmittelwerte u A im gesamten Bereich [−U dc ;U dc ] generiert werden. Auf
diese Weise kann zwar der dritte logische Zusammenhang in (1.1) nicht ausgenutzt werden,
dies ist jedoch unerheblich, da ein Spannungsmittelwert von Null durch geeignete Wahl des
Tastverhältnisses erzeugt werden kann.
Als Trägersignal wurde in Abb. 1.2 ein Dreiecksignal benutzt, andere Signaltypen wie z.B.
Sägezahnsignale wären ebenfalls möglich. Abb. 1.2(a) zeigt die sich ergebenden Steuersignale
sowie die zugehörige Ausgangsspannung und den resultierenden Strom für den Fall einer
ohmsch-induktiven Last und UA ∗ > 0 bzw. d > 50%. Der Verlauf derselben Größen für
< 0 d. h. d < 50% hingegen ist in Abb. 1.2(b) wiedergegeben.
U ∗ A
1.2.3 Dynamisches Verhalten bei Sollwertänderungen
Ändert sich der Spannungssollwert U ∗ A , vergeht eine Zeit T w bis sich der gleitende Mittelwert
der Ausgangsspannung entsprechend einstellt. Diese Tatsache ist in Abb. 1.3 ersichtlich. Der
Vierquadrantensteller kann folglich als Verstärker mit verzögerndem Verhalten angesehen werden.
Abbildung 1.3: Wartezeit bei der Umsetzung von Sollwertänderungen
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Kombination einer Spannungsquelle mit festem
Ausgang U dc und eines Vierquadranten-Pulsstellers zu einer einstellbaren Spannungsquelle
führt, deren Ausgangsbereich dem Intervall [−U dc ;U dc ] entspricht. Ferner kann der Energieaustausch
bidirektional erfolgen. Somit eignet sich der Vierquadranten-Pulssteller besonders
zum Einsatz als Stellglied im Anker- oder Erregerkreis von Gleichstromantrieben.
– 5 –

1.3. Fremderregte Gleichstrommaschine
1.3 Fremderregte Gleichstrommaschine
1.3.1 Modellierung
Der grundsätzliche Aufbau der Gleichstrommaschine ist Abb. 1.4 schematisch dargestellt. Da
in ihrem Inneren sowohl elektromagnetische, als auch mechanische und thermische Vorgänge
mit z. T. nichtlinearen Effekten auftreten, stellt sie ein komplexes System dar. Um dennoch
geschlossene Beziehungen zwischen elektrischen und mechanischen Größen in einem einfach
zu handhabenden Modell zu erhalten, werden zunächst folgende vereinfachende Annahmen
gemacht:
• Der Einfluss des Ankerstroms auf das Luftspaltfeld (Ankerrückwirkung) wird vernachlässigt.
Ankerrückwirkungen verschlechtern das Maschinenverhalten und es wird generell
versucht, diese durch geeignete Designmethoden zu unterdrücken (z.B. Kompensationswicklungen
bei größeren Maschinen [1], [2]), weswegen die Annahme grundsätzlich
berechtigt ist.
• Der Auswirkung der Temperatur auf Erreger- sowie Ankerwiderstand wird keine Rechnung
getragen.
• Bezüglich der magnetischen Materialeigenschaften wird lediglich der Einfluss der Eisensättigung
auf den Erregerkreis berücksichtigt. Hierbei wird ebenfalls durch entsprechende
Konstruktionsmaßnahmen angestrebt, Hysterese- oder Wirbelstromeffekte zu minimieren.
Aus diesem Grund wird der Zusammenhang zwischen Erregerstrom und Erregerflussverkettung
durch eine nichtlineare Funktion ausgedrückt.
Unter Berücksichtigung obiger Vereinfachungen ergeben sich folgende Zusammenhänge zwischen
elektrischen und mechanischen Größen:
Ankerkreis:
U A = E A +R A ·I A +L A · dI A
dt
E A = C M ·Ψ E ·Ω M
M Mi = C M ·Ψ E ·I A
(1.4a)
(1.4b)
(1.4c)
Erregerkreis:
U E = R E ·I E + dΨ E
dt
Ψ E = f(I E ) mit Ψ E (0) = 0
(1.4d)
(1.4e)
Mechanik:
M Mi −M L = Θ M · dΩ M
dt
(1.4f)
– 6 –

1.3.2. Stationäres Verhalten
Abbildung 1.4: Aufbau der Gleichstrommaschine [1, S. 849]:
(a) Läufer; (b) Läufer-Nutquerschnitt; (c) Schematischer Querschnitt der Maschine;
(d) Längsschnitt des Motors
1.3.2 Stationäres Verhalten
Motorkennlinie
Im stationären Betrieb, d. h. wenn die in der Maschine gespeicherte Energie konstant bleibt
und sich die Zustandsgrößen I A und Ω M nicht mehr ändern (dI A /dt = dΩ A /dt = 0), ist die
gesamte aufgenommene Leistung gleich der abgegebenen. Daraus folgt, dass für eine bestimmte
Ankerspannung U A ein fester Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehzahl in diesem
Fall existiert. Wird beispielsweise ein Lastmoment angelegt, stellt sich eine zugehörige Drehzahl
– 7 –

1.3. Fremderregte Gleichstrommaschine
Symbole Physikalische Größen Symbole Physikalische Größen
U A Ankerspannung I E Erregerstrom
I A Ankerstrom R E Erregerwiderstand
R A Ankerwiderstand C M Maschinenkonstante
L A Ankerinduktivität M Mi Luftspaltmoment
E A Elektromotorische Kraft (EMK) M L Lastmoment
Ψ E Erreger-Flussverkettung Θ M Rotorträgheitsmoment
U E Erregerspannung Ω M Rotorwinkelgeschwindigkeit
Tabelle 1.1: Bedeutung der in (1.4) verwendeten Symbole
Abbildung 1.5: Elektrisches Ersatzschaltbild von Anker- und Erregerkreiswicklung
ein. Wird hingegen äußerlich ein bestimmter Drehzahlwert aufgezwungen, so gibt der Motor
ein entsprechendes Drehmoment ab. Dies entspricht dem bekannten Betrieb einer Gleichstrommaschine
an einer festen Gleichspannungsquelle.
Die stationäre Beziehung zwischen Drehmoment und Drehzahl kann aus dem Gleichungssystem
(1.4) abgeleitet werden, indem Ankerspannung U A und Ankerstrom I A durch deren
Abhängigkeiten von Drehmoment und Drehzahl in (1.4a) ersetzt werden:
0
Aus U A = E A +I A ·R A + L ✟
✟ ✟✟✟✯ A · dI A
dt
unter Berücksichtigung von I A = M Mi
C M ·Ψ E
und E A = C M ·Ψ E ·Ω M
folgt U A = R A ·
M Mi
C M Ψ E
+C M ·Ψ E ·Ω M (1.5)
0
Anhand M Mi −M L = Θ
✟
✟ M ✟✟✟✟✯ · dΩ M
dt
ergibt sich schließlich
Ω M = U A
C M Ψ E
− R A
C 2 M Ψ2 E
·M L (1.6)
Gleichung (1.6) drückt einen linearen Zusammenhang zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit
aus (siehe Abb. 1.6). Der konstante Term entspricht der sog. Leerlaufwinkelgeschwindigkeit
Ω M0 . Diese stellt sich ein, wenn der Maschine keine mechanische Energie ent-
– 8 –

1.3.2. Stationäres Verhalten
nommen wird, d. h. M L = 0. Wird der Motor mit einem positiven Lastmoment M L = M L1
beaufschlagt,verringertsichdieDrehzahlundfolglichdieinduzierteSpannung.DerSpannungsabfall
am Widerstand der Ankerwicklung und daher der durch diese fließende Strom steigen.
Somit erhöht sich das von der Maschine entwickelte Drehmoment bis ein neues Gleichgewicht
zustande kommt. Der resultierende Arbeitspunkt ist (M L1 ,Ω 1 ).
Wird der Rotor festgehalten, wird keine Bewegungsspannung in der Ankerwicklung induziert,
sodass U A die am Ankerwiderstand abfallende Spannung darstellt. Der resultierende Strom i K
wird als Kurzschlussstrom bezeichnet. In diesem Fall liefert die Maschine das Kurzschlussmoment:
M K = C M ·Ψ E ·i K = C M ·Ψ E · UA
R A
(1.7)
Abbildung 1.6: Stationäre Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie der Gleichstommaschine
Beeinflussung der stationären Kennlinie
Neben den durch den Maschinenaufbau festgelegten Parametern C M und R A wirken sich U A
und Ψ E auf die Kennlinie aus. Wenn die Ankerspannung U A durch die an den Ankerklemmen
angeschlossene Spannungsquelle vorgegeben ist, kann der Erregerfluss gemäß (1.4d) über die
Erregerspannungeingestelltwerden.FolglichkanndieMaschinenkennlinieaufzweiverschiedene
Weise beeinflusst werden.
Wird die Ankerspannung variiert, jedoch der Erregerfluss auf seinen Nennwert Ψ EN gehalten,
verschieben sich die Schnittpunkte der Kennlinie mit den Koordinatenachsen, ohne dass sich
deren Steigung ändert. Diese Ansteuerungsart nennt sich Ankerstellbetrieb (siehe Abb. 1.7).
Da sowohl der Isolierlack der Rotorwicklung, als auch der Bereich zwischen zwei benachbarten
Kommutatorlamellen eine begrenzte Isolationsfestigkeit aufweist, darf die Ankerspannung nicht
über deren Nennwert U AN erhöht werden. Aus diesem Grund können durch dieses Prinzip nur
Betriebspunkte unterhalb der Nennkennlinie erreicht werden.
– 9 –

1.3. Fremderregte Gleichstrommaschine
In der Praxis wird bei der Dimensionierung eines Motors ein kleiner Wert für den Ankerwiderstand
angestrebt, um den Wirkungsgrad zu maximieren. Diese Maßnahme führt jedoch dazu,
dass der unter Nennspannung im Stillstand resultierende Strom Wärmeverluste U 2 AN /R A zur
Folge hätte, die die Isolierung der Rotorwicklung beschädigen würden. Dementsprechend wird
der Ankerstrom auf einen Wert I max < I K begrenzt und der Betrieb im Bereich des Schnittpunkts
der Nennkennlinie mit der Abzissenachse somit ausgeschlossen.
Abbildung 1.7: Betrieb im Ankerstellbereich
Abbildung 1.8: Erweiterung des Betriebsbereichs mittels Feldschwächung
StationäreBetriebspunkteüberderNennkennlinielassensichjedocherreichen,wennbeiAnkernennspannung
der Erregerfluss abgesenkt wird. Diese Vorgehensweise wird als Feldschwächung
bezeichnet. Wie aus (1.4b) hervorgeht, führt dies zu einer Verringerung der Gegenspannung, die
bei einer Winkelgeschwindigkeit Ω M in der Ankerwicklung induziert wird, sodass höhere Drehzahlen
als die Nennleerlaufdrehzahl erreicht werden können. Allerdings hat die Senkung der
magnetischen Erregung gleichzeitig zur Folge, dass das bei einem gewissen Strom I A entwickelteDrehmomentgeringerwird(siehe(1.4c)).FolglichentsprichtdieMinderungdermagnetischen
Erregung einer Drehung der Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie im Uhrzeigersinn (Abb. 1.8).
– 10 –

1.4 Sensorik
Betreibt man eine Gleichstrommaschine an einem Prüfstand, ist der Zugriff auf die physikalischen
Größen, wie z. B. Drehzahl oder Ankerstrom, nur durch den Einbau bestimmter Sensoren
möglich. Die Mitschrift einer physikalischen Größe selbst ist je nach Messprinzip demnach immer
zeitverzögert, verrauscht, verzerrt, mit Messfehlern wie Versatz, Quantisierung und Nichtlinearität
behaftet und/oder beeinflusst von anderen physikalischen Größen, wie Temperatur,
statische oder zeitveränderliche Magnetfelder sowie Erschütterungen. Diese Messfehler stellen
in der Praxis oft einen wesentlichen Begrenzungsfaktor für die Leistungsfähigkeit des gesamten
Antriebssystems dar. Aus diesem Grund wird im Folgenden auf die wichtigsten Ursachen von
Messfehlern näher eingegangen.
1.4.1 Stromerfassung
DieStrommessungerfolgtmeistensüberShuntwiderstände oderKompensationwandler.Einsog.
Shunt ist ein geeichter, niederohmiger Widerstand über dem eine stromproportionale Spannung
abfällt. Aufgrund der im Shunt entstehenden Wärmeleistung muss die an dessen Klemmen
abgegriffene Spannung klein gehalten werden, weswegen sie vor ihrer Digitalisierung durch
einen Analog-Digital-Wandler (ADC) immer mittels analoger Schaltungen in den Bereich von
etwa [−10V;10V] verstärkt wird. Dies hat ein relativ starkes Messrauschen zur Folge.
Abbildung 1.9: Aufbau eines Kompensationswandlers
Abbildung 1.9 zeigt die elementaren Komponenten im Aufbau eines Kompensationswandlers.
Darin umschließt ein Eisenkern den Leiter, in dem der zu messende Strom I A fließt. Ein Hall-
SensorerfasstdasimEisenkernvorhandeneMagnetfeldundlieferteineSpannungU hall ,mithilfe
deren der Strom in der Sekundärwicklung (Kompensationsstrom I comp ) so geregelt wird, dass
das Gesamtmagnetfeld im Eisenkern ausgelöscht wird. Damit ist der Kompensationsstrom zu
jeder Zeit dem zu ermittelden Strom proportional. Den Proportionalitätsfaktor bildet dabei die
Windungszahl der Sekundärwicklung. Im Allgemeinen wird der Kompensationsstrom zur AuswertungdurcheinenADCübereinenShuntineineSpannungumgewandelt.ImHinblickaufdie
niedrigen Stromstärken im Sekundärkreis kann einen größeren Shuntwiderstand zur Erhöhung
des Signal-Rausch-Verhältnisses gewählt werden. Bedingt durch das Prinzip des Hallsensors
und die Remanenz im Eisenkern führt dieses Messverfahren jedoch zu größeren Versätzen (engl.
offsets) in den ermittelten Werten.
– 11 –

1.4. Sensorik
ZusammenfassendsindMessrauschenundOffsetdiebedeutendstenFehlerquellenbeiderStrommessung.
Im Rahmen des Praktikums wird der Offset vernachlässigt und die Strommessung als
Überlagerung des tatsächlichen Stromes mit einem Rauschsignal modelliert, wie in Abb. 1.10
dargestellt.
Abbildung 1.10: Verwendetes Modell der Strommessung
1.4.2 Drehzahlmessung
In der Praxis wird zur Drehzahlmessung meist die Ableitung des Rotorwinkelsignals verwendet,
welches über einen am Rotor befestigten Drehgeber erfasst wird.
Abbildung 1.11: Skizzenhafte Darstellung eines optischen Inkremental-Gebers
Die am häufigsten verwendeten Lagegeber sind Inkrementalgeber (oder Inkremental-Encoder)
sowie Resolver, wobei im weiteren Verlauf nur Inkrementalgeber in Betracht gezogen werden.
Das der Positionsmessung zugrunde liegende physikalische Prinzip kann bei Inkrementalgebern
entweder magnetischer oder optischer Natur sein. In seiner einfachsten Ausführung besteht
der optische Inkrementalgeber im Wesentlichen aus einer Scheibe, eine Lichtquelle sowie zwei
Photodetektoren (siehe Skizze in Abb. 1.11). Entlang des Umfangs der Scheibe sind zwei Spuren
mit äquidistanten Schlitzen (Strichen), z. B. 1024, angeordnet. Beide Spuren sind um ein
Viertel des Abstands zwischen zwei Schlitzen zueinander verschoben, wodurch die Photodetektoren
ein zueinander um 90 Grad phasenverschobenes Rechteckspannungssignal ausgeben. Dies
ermöglicht, neben der Erkennung der Drehrichtung, auch eine Erhöhung der Positionsauflösung
um ein Vierfaches, d.h. mit einem 1024-Strich-Geber können bis zu 4096 diskrete Winkelstellungen
je Umdrehung voneinander unterschieden werden. Bei magnetischen Inkrementalgebern
wird eineScheibeaushartmagnetischemMaterialbenutzt,derenRandRegionen abwechselnder
magnetischer Polarität aufweist.
– 12 –

In den Simulationen wird bei der Drehzahlermittlung dem Verhalten des Inkrementalgebers
Rechnung getragen, indem die durch das Modell der Gleichstrommaschine gelieferte Winkelgeschwindigkeit
zunächst zu einem Winkel integriert wird, welcher anschließend entsprechend
der verwendeten Strichzahl quantisiert und das resultierende Signal nach der Zeit differenziert
wird (siehe Abb. 1.12).
Abbildung 1.12: Modellierung der Drehzahlerfassung
1.5 Aufgaben
1.5.1 Modell der Gleichstrommaschine
1.) * Überführen Sie das Gleichungssystem (1.4) in den Laplace-Bereich und zeichnen Sie
den Signalflussplan der fremderregten Gleichstrommaschine (Eingangsgrößen: U A , U E ,
M L ; Ausgangsgrößen: I A , Ω M ). Erklären Sie die physikalische Bedeutung der einzelnen
Blöcke.
2.) * Vervollständigen Sie das Diagramm in Abb. 1.13, indem Sie die Betriebsarten in den
QuadrantenII,IIIundIVangeben.WelcheVoraussetzungmussdasLastmomenterfüllen,
damit ein Betrieb in den Quadranten II und III möglich ist? Begründen Sie Ihre Antwort.
Abbildung 1.13: Quadranten im I A -U A -Diagramm
3.) *GebenSiedieKoordinatendesBetriebspunktsmaximalermechanischerLeistungimM-
Ω-Diagramm für eine gegebene Ankerspannung U A im Ankerstellbereich in Abhängigkeit
der Leerlaufwinkelgeschwindigkeit Ω M0 und des Kurzschlussmoments M K an. Wie verhält
sich die maximale mechanische Leistung im Feldschwächbereich?
– 13 –

1.5. Aufgaben
1.5.2 Untersuchung des Verhaltens eines Gleichstrommotors
Das Verhalten eines kleinen Gleichstrommotors, dessen Parameterwerte in Tabelle 1.2 zusammengefasst
sind, soll auf der Grundlage von Simulationen untersucht werden. Es wird zunächst
davon ausgegangen, dass dieser von einer idealen Gleichspannungsquelle gespeist ist.
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleistung P N = 200 [W]
Nenndrehzahl N N = 2000 [min −1 ]
Nenndrehmoment M N = [Nm]
Nennankerspannung U AN = 220 [V]
Nennankerstrom I AN = 1 [A]
Nennerregerspannung U EN = 220 [V]
Nennerregerstrom I EN = 0,1 [A]
max. Ankerstrom I A,max = 3 [A]
max. Erregerstrom I E,max = 0,3 [A]
Ankerinduktivität L A = [H]
Ankerwiderstand R A = [Ω]
Erregerwiderstand R E = [Ω]
Rotorträgheitsmoment Θ M = [kgm 2 ]
Tabelle 1.2: Parameter des betrachteten Gleichstrommotors
4.) * Um die in Tabelle 1.2 fehlenden Parameter bestimmen zu können, wurden verschiedene
Experimente an der Maschine durchgeführt, deren Ergebnisse in Abb. 1.14 bis 1.16
graphisch wiedergegeben sind.
(a) Berechnen Sie das Nennmoment und den Erregerwiderstand.
(b) Bestimmen Sie Ankerwiderstand und Ankerinduktivität aus dem in Abb. 1.14 dargestellten
Stromverlauf. Geben Sie den Wert der Ankerzeitkonstante T A an.
(c) Wie aus Abb. 1.15 ersichtlich, zeichnet sich der tatsächliche Zusammenhang zwischen
Erregerstrom und Erregerfluss durch ein ausgeprägtes Hystereseverhalten aus.
In den Simulationen wird die Hysterese-Schleife durch die zugehörige ideale Magnetisierungskurve
approximiert, welche durch folgende Gleichung dargestellt werden
kann:
Ψ E
Ψ EN
= a 1 ·atan
) ( ) ( )
2IE 3IE
+a 2 ·atan +a 3 ·atan
I EN I EN I EN
(
IE
wobei a 1 = −1,122, a 2 = 2,553 und a 3 = −0,759
(1.8)
Nennen Sie den physikalischen Grund, weswegen Gleichung (1.8) zur Approximation
des Erregerflusses für Werte von |I E | großer als I EN ungeeignet wäre.
(d) Geben Sie den Ausdruck der Maschinenkonstante C M in Abhängigkeit des Nennerregerflusses
Ψ EN an.
– 14 –

1.5.2. Untersuchung des Verhaltens eines Gleichstrommotors
(e) Das Diagramm in Abb. 1.16 stellt die Winkelgeschwindigkeit des Rotors während
eines Hoch- bzw. eines Herunterlaufens bei konstantem Motormoment dar. Wie aus
der Betrachtung der Verläufe hervorgeht, ändert sich die Geschwindigkeit nahezu
linear mit der Zeit.
Ermitteln Sie die zeitliche Ableitung der Winkelgeschwindigkeit während des
Beschleunigungs- bzw. des Bremsvorgangs mithilfe des Diagramms. Auf welchem
physikalischen Effekt ist der starke Unterschied zwischen beiden Werten
zurückzuführen?
Verwenden Sie die obigen Ergebnisse, um das Rotorträgheitsmoment zu berechnen.
1.2
1.1
1
u A /U AN
i A /I AN
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11
t[s]
Abbildung 1.14: Ankerstromantwort auf Spannungssprung (Ψ E = 0[Vs])
ImFolgendenwirdderBetriebdesMotorsaneineridealeneinstellbarenGleichsspannungsquelle
betrachtet.
5.) Öffnen Sie die DateiVersuch1GMParameter.mim VerzeichnisVersuch1inMATLAB,tragen
Sie die von Ihnen berechneten Parameterwerte an die entsprechenden Stellen ein und
speichern Sie Ihre Änderungen.
Öffnen Sie die Datei GM ideale Einspeisung.mdl in Simulink und vervollständigen Sie
den Ankerkreis der fremderregten Gleichstrommaschine. Stellen Sie U AN und U EN auf
derenNennwerteinundbeaufschlagenSiedieMaschinezumZeitpunktt = 1[s]miteinem
Lastmoment M L = M MN . Vor dem Start der Simulation sollten die Modellparameter
durch Doppelklicken auf den Block Initialize übernommen werden.
Bewerten Sie den Verlauf der durch das Maschinenmodell (Block Gleichstrommaschine
(GM))ausgegebenenGrößen.SehenSiesichdiezugehörigeTrajektorieimM-Ω-Diagramm
an und erklären Sie diese.
– 15 –

1.5. Aufgaben
ΨE/ΨEN
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−1
−1 −0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
I E /I EN
Abbildung 1.15: Erregerflussverkettung in Abhängigkeit des Erregerstroms
(aufgenommene Hysterese-Schleife und genäherte Magnetisierungskurve)
1
0.9
0.8
Ω M /Ω MN
i A /I AN
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.05 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95 1.05 1.15 1.25
t[s]
Abbildung 1.16: Rotorwinkelgeschwindigkeit während eines Auf- und Abwärtslaufs
sowie Ankerstromverlauf
– 16 –

1.5.3. Stromrichtergespeister Betrieb
6.) Überlegen Sie sich eine Methode, um die stationäre Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie in
Abhängigkeit einer bestimmten Ankerspannung U A darzustellen (Hinweis: Rampenfunktion
für das Lastmoment verwenden). Zeichnen Sie mit diesem Prinzip eine Kennlinie,
welche durch den I., II. und IV. Quadranten verläuft.
7.) Nehmen Sie die Kennlinien auf, die sich für U A = 0,5U AN und U A = U AN im ersten
Quadranten des M-Ω-Diagramms ergeben (vgl. Abb. 1.7).
8.) Dynamischer Ankerstellbetrieb: Untersuchen Sie den dynamischen Übergang zwischen
den Kennlinien unter Anwendung folgenden Spannungsverlaufs:
⎧
⎨
U A
U AN
=
⎩
0,4 für t ≤ 3[s]
0,8 für 3 < t ≤ 5[s]
1 für t > 5[s]
(1.9)
Stellen Sie den resultierenden Verlauf im M-Ω-Diagramm dar und bewerten Sie das Ergebnis.
9.) Feldschwächbetrieb: Stellen Sie nun die Spannungsquelle im Ankerkreis auf den Wert
U AN ein. Verwenden Sie folgenden Verlauf für die Erregerspannung, um die Nennkennlinie
und eine zugehörige Feldschwächkennlinie darzustellen:
U E
U EN
=
{ 1 wenn t ≤ 3[s]
0,5 wenn t > 3[s]
(1.10)
BeideKennliniensollen,ähnlichzuAbb.1.8,aufdenI.Quadrantenbeschränktdargestellt
sein.
1.5.3 Stromrichtergespeister Betrieb
In diesem Abschnitt wird der Betrieb des Gleichstrommotors an einem Vierquadranten-
Pulssteller betrachtet, dessen Eigenschaften in Tabelle 1.3 zusammengefasst sind.
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Zwischenkreisspannung U dc = 220 [V]
Maximale Schaltfrequenz f max = 2 [kHz]
Tabelle 1.3: Parameter des Pulsstellers
10.) * Der Pulssteller wird mittels PWM angesteuert. Welche maximale Trägerfrequenz f s
ergibt sich aus den Daten in Tabelle 1.3?
11.) *ZeichnenSie,analogzuAbb.1.2,denVerlaufderSteuersignales 1 unds 2 desPulsstellers
sowie dessen Ausgangsspannung u A für eine Sollspannung UA ∗ = 0 V und den sich dabei
mit einer RL-Last ergebenden Strom i A .
– 17 –

1.5. Aufgaben
12.) Öffnen Sie die Datei GM Pulssteller.mdl.
Klicken Sie doppelt auf den Block Pulssteller mit Last, damit dessen Inhalt sichtbar
wird.
Bauen Sie mit den zur Verfügung stehenden Elementen einen Vierquadrantensteller mit
ohmsch-induktiverLastundGegenspannungauf.SchlagenSiebeiBedarfaufderHilfeseite
der einzelnen Blöcke nach.
Verwenden Sie für die Parameter R A und L A die von Ihnen berechneten Werte. Stellen
Sie E A = 200 V ein. Speichern Sie Ihre Änderungen.
Erläutern Sie die Funktionsweise des Simulink-Blocks Modulator.
Geben Sie als Soll-Eingangsspannungen U ∗ A /U dc = 1 und U ∗ A /U dc = 0,8 vor und erklären
Sie die sich ergebenden Stromverläufe.
13.) * Wie aus Abschnitt 1.2.3 hervorgeht, verhält sich der Pulssteller wie ein Verstärker,
wobeisichdieAusgangsspannungbeiSollwertänderungenerstnacheinerZeitT w einstellt.
FolglichkannderPulsstelleralsTotzeitgliedmitVerzögerungT STR undVerstärkungV STR
vereinfacht modelliert werden, dessen Übertragungsfunktion durch Gl. 1.11 gegeben ist:
F STR (s) = V STR e −sT STR
≈ V STR
1+sT STR
(1.11)
(a) Bestimmen Sie den maximalen Wert der in Abb. 1.3 definierten Wartezeit T w . Begründen
Sie Ihre Antwort.
(b) Geben Sie den Wert der Parameter V STR und T STR in Abhängigkeit der Zwischenkreisspannung
U dc und der Trägerfrequenz f s an. Für die Bestimmung der Zeitkonstante
T STR soll die maximal mögliche Verzögerung bei gegebener Trägerfrequenz
betrachtet werden.
14.) Die Gültigkeit der obigen Approximation soll mithilfe einer Simulation überprüft werden.
Öffnen Sie hierzu die Datei GM Pulssteller Vergleich.mdl. Fügen Sie zunächst eine InstanzdesinAufgabe12.)bearbeitetenBlocksPulssteller
mit LasteinundnennenSie
diesen in Pulssteller um. Passen Sie dessen Inhalt an, um einen Vierquadrantensteller
zu erhalten, d. h. entfernen Sie alle der Last zugehörigen Komponenten. Als Schnittstellen
sollen zum einen das durch den Modulator generierte PWM-Signal und zum anderen die
Ausgangsspannung u A verwendet werden.
Fügen Sie zwei Instanzen des Motormodells aus der Datei GM ideale Einspeisung.mdl
ein. Verwenden Sie für das erste Modell die durch den Pulssteller-Block gelieferte
Ankerspannung. Nehmen Sie für das andere den Ausgang des Blocks Pulssteller
(Totzeit-Approximation). Passen Sie die Werte der Parameter T s , V STR und T STR in
der Datei Versuch1GMParameter.m an.
VergleichenSiedieErgebnissebeiderModelle.WelchenEinflusshateineVernachlässigung
desschaltendenVerhaltensderSpannungaufdenVerlaufderMaschinendrehzahl?Welche
entscheidende Vorteile hat jedoch diese Vernachlässigung?
– 18 –

1.5.4. Einfluss der Sensorik
1.5.4 Einfluss der Sensorik
Im Folgenden wird das Verhalten der Sensoren untersucht. Hierbei wird davon ausgegangen,
dass sowohl Ankerkreis, als auch Erregerkreis über einen Pulssteller gespeist werden, welche als
Totzeitglieder modelliert werden. Gleiche Parameterwerte werden für beide Gleichspannungswandler
verwendet, d. h. V STR und T STR .
15.) ÖffnenSiehierzudieDateiGM Sensorik.mdlundfügenSieeineInstanzdesMotormodells
aus der Datei GM ideale Einspeisung.mdl ein.
Benutzen Sie folgendes Sollwertsignal für den Pulssteller im Erregerkreis:
U ∗ E
U EN
=
{ 0 für t ≤ 0,1[s]
1 für t > 0,1[s]
(1.12)
Der Spannungssollwert für den Ankerkreis lautet:
U ∗ A
U AN
=
{ 0 für t ≤ 0,5[s]
1 für t > 0,5[s]
(1.13)
Beachten Sie bei der Implementierung die Verstärkung der Pulssteller. Belasten Sie die
Gleichstrommaschine zum Zeitpunkt t L = 1.5s mit dem Nennmoment M MN .
Betrachten Sie die Winkelgeschwindigkeit Ω M , die elektrischen Signale U A , E A , I A des
Ankerkreises und I E , Ψ E des Erregerkreises. Stimmt das Verhalten der Maschine mit
Ihren Erwartungen überein?
16.) Glätten Sie die Strommesssignale IA m und Im E jeweils mithilfe eines Tiefpassfilters erster
Ordnung mit der Zeitkonstante T g,IA = T g,IE = 2[ms]). Verwenden Sie ebenfalls ein
solches Filter für die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeitkonstante T g,ΩM = 2[ms].
Nach erfolgreicher Implementierung der Messwertglättungen vergleichen Sie die von der
Sensorik erzeugten Größen Ω m M , Im A und Im E mit den realen Signalen Ω M, I A und I E sowie
den geglätteten Signalen ˆΩ M , ÎA und ÎE. Bewerten Sie die Verläufe.
– 19 –

Versuch 2
Regelung des Gleichstromantriebs
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Teilaufgaben sind in der schriftlichen
Versuchsvorbereitung zu lösen!
2.1 Übersicht
Im vorangegangenen Versuch wurden vereinfachte Modelle der Komponenten eines Gleichstromantriebs
(Gleichstrommotor, Vierquadranten-Pulssteller, Sensorik) erarbeitet und mithilfe
von Simulationen im gesteuerten Betrieb validiert. Sie sollen nun zur Untersuchung des Gleichstromantriebs
im geschlossenen Regelkreis herangezogen werden.
Hierbei werden, wie in der Praxis üblich, die Zustandsgrößen Ankerstrom I A und Rotorwinkelgeschwindigkeit
N in einer kaskadierten Struktur durch lineare Regler vom Typ PID
(Proportional-Integral-Differential) geregelt (vgl. Abb. 2.1). Dies bedeutet zum einen, dass
Strom- und Drehzahlregelkreis ineinander verschachtelt sind und zum anderen, dass sowohl
ein Regler für den Ankerstrom, als auch einer für die Winkelgeschwindikgeit zu entwerfen sind.
In der industriellen Antriebstechnik werden die Reglerparameter häufig nach dem Betragsoptimum
bzw. dem Symmetrischen Optimum bestimmt. Diese Vorgehensweise erfordert einen
relativ geringen Aufwand bei der Modellierung des zu regelnden Systems und liefert dennoch
zufriedenstellende Ergebnisse im Hinblick auf Stabilität und Dynamik des geschlossenen Regelkreises.
Abbildung 2.1: Prinzipdiagramm einer Drehzahl-Strom-Regelung in Kaskadenstruktur
– 20 –

Nach einer kurzen Zusammenfassung der grundlegenden Eigenschaften der im ersten Versuch
entwickelten Modelle wird die Auslegung des Stromreglers im inneren Regelkreis betrachtet.
Im weiteren Schritt wird der Drehzahlregler entworfen. Die Einhaltung der jeweiligen Regelziele
wird anhand von Simulationen überprüft. Die Untersuchungen beschränken sich auf den
Ankerstellbetrieb, die Feldschwächung wird nicht betrachtet.
2.2 Modell des Gleichstromantriebs
Die wichtigsten Eigenschaften der im ersten Versuch erarbeiteten Modelle der Gleichstrommaschine,
des Pulsstellers sowie der Sensorik werden in diesem Abschnitt zusammengefasst. Die
für die Reglerauslegung zu verwendenden numerischen Parameterwerte finden sich in Tabelle
2.1.
2.2.1 Gleichstrommotor
Nach (1.4) bestehen folgende Zusammenhänge zwischen den elektrischen und mechanischen
Größen des fremderregten Gleichstrommotors:
Ankerkreis:
U A = E A +R A ·I A +L A · dI A
dt
E A = C M ·Ψ E ·Ω M
M Mi = C M ·Ψ E ·I A
(2.14a)
(2.14b)
(2.14c)
Erregerkreis:
U E = R E ·I E + dΨ E
dt
Ψ E = f(I E ) mit Ψ E (0) = 0
(2.14d)
(2.14e)
Mechanik:
M Mi −M L = Θ M · dΩ M
dt
(2.14f)
Der daraus abgeleitete Signalflussplan ist in Abb. 2.2 dargestellt.
Für den bereits im ersten Versuch betrachteten Motor gilt folgende Beziehung zwischen I E und
Ψ E :
( ) ( ) ( )
Ψ E IE 2IE 3IE
= a 1 ·atan +a 2 ·atan +a 3 ·atan (2.15)
Ψ EN I EN I EN I EN
mit a 1 = −1,122, a 2 = 2,553 und a 3 = −0,759
2.2.2 Leistungselektronische Stellglieder
Sowohl Anker-, als auch Erregerspannung werden von einem Pulsrichter zur Verfügung gestellt.
Wie im vorigen Versuch vorgestellt, werden die beiden Pulsrichter als verstärkende
– 21 –

2.2. Modell des Gleichstromantriebs
M L
U ∗ A U A I A
1
1
R A
T A C M
Θ M
M M
−
Ω M
... für Anker
−
E A
C M
1
R E
U ∗ E U E I E Ψ E
... für Erreger
−
dΨ E /dt
Pulssteller
Gleichstrommotor
Abbildung 2.2: Signalflussplan eines fremderregten Gleichstrommotors
mit Pulssteller im Anker- und Erregerkreis
Verzögerungs- bzw. PT1-Glieder modelliert. Wie sich im weiteren Verlauf herausstellen wird,
wird diese Approximation den Reglerentwurf vereinfachen. Die Übertragungsfunktion der leistungselektronischen
Stellglieder lautet somit:
F STR (s) = U(s)
U ∗ (s) = V STRe −sT STR
≈ V STR
1+sT STR
(2.16)
Hierbei stellt V STR die Verstärkung des Pulsrichters und T STR = T w,max die maximale Wartezeit
bei der Übernahme von Sollwerten dar (vgl. Versuch 1).
In der Tat kann der Betrag der Spannung am Ausgang der Spannungswandler den Wert der
Zwischenkreisspannung U dc nicht übersteigen. Dies wird in den Simulationen durch Einführen
einer Spannungsbegrenzung berücksichtigt.
2.2.3 Sensorik
Wie im ersten Versuch sind die Strommesssignale IA m und Im E mit Rauschen behaftet. Der
Rotorwinkel wird anhand eines Inkrementalgebers ermittelt und die Winkelgeschwindigkeit
Ω M durch eine zeitliche Ableitung daraus bestimmt. Für den Reglerentwurf wird angenommen,
dass die Sensoren keine eigene Dynamik besitzen, d. h. es besteht keine Verzögerung zwischen
dem Verlauf der gemessenen Größen I A , I E , Ω M und den zugehörigen Messsignalen IA m, Im E und
Ω m M .
Das Rauschen in einem Messsignal X, X ∈ {I A ,I E ,Ω M }, wird mithilfe eines PT1-Filters mit
– 22 –

2.2.3. Sensorik
der Zeitkonstante T g,X unterdrückt:
F g (s) = ˆX(s)
X m (s) = 1
1+sT g,X
(2.17)
Für die im weiteren Verlauf zu entwerfenden Regler stehen ausschließlich die gefilterten
Messignale als Eingangsgrößen zur Verfügung.
In Abb. 2.3 sind schließlich alle Komponenten des zu regelnden Antriebssystems als kompakter
Signalflussplan veranschaulicht.
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleistung P N = 200 [W]
Nenndrehzahl N N = 2000 [min −1 ]
Nenndrehmoment M N = 0,96 [Nm]
Nennankerspannung U AN = 220 [V]
Nennankerstrom I AN = 1 [A]
Nennerregerspannung U EN = 220 [V]
Nennerregerstrom I EN = 0,1 [A]
max. Ankerstrom I A,max = 3 [A]
max. Erregerstrom I E,max = 0,3 [A]
Ankerinduktivität L A = 0,374 [VsA −1 ]
Ankerwiderstand R A = 22 [Ω]
Erregerwiderstand R E = 2,2 [kΩ]
Rotorträgheitsmoment Θ M = 0,0013 [kgm 2 ]
Produkt Maschinenkonstante-Nennerregerfluss C M ·Ψ EN = 0,96 [Vs]
Verstärkung beider Pulssteller V STR = 220 [1]
Zeitkonstante beider Pulssteller T STR = 1 [ms]
Zeitkonstante der Glättungsfilter T g,X = 2 [ms]
Tabelle 2.1: Parameter des betrachteten Antriebssystems
U ∗ Pulssteller
A U A
GM I A Sensorik IA m Glättung Î A
V I E I m STR T STR
UE ∗ E 1 T g,X Î E
U E
[Abb. 2.2] n X
Ω M Ω m M
ˆΩM
Abbildung 2.3: Komponenten des untersuchten Antriebssystems
– 23 –

2.3. Ankerstromregelung
2.3 Ankerstromregelung
Gegenstand dieses Abschnitts ist die Auslegung des Stromreglers im inneren Regelkreis der
Kaskadenstrukur (siehe Abb. 2.1), wobei ein Betrieb im Ankerstellbereich, d. h. Ψ E = Ψ EN ,
vorausgesetzt wird. Wie in der elektrischen Antriebstechnik gebräuchlich, wird zur Reglerauslegung
das Betragsoptimum (BO) bzw. das Symmetrische Optimum (SO) angewendet.
Die theoretischen Hintergründe dieser Optimierungsverfahren zum Reglerentwurf und deren
Anwendung auf den speziellen Fall des Gleichstromantriebes werden in [3], Kapitel 3 bzw. 7,
ausführlich behandelt.
2.3.1 Grundlegende Überlegungen
1.) * Welche Voraussetzungen muss eine Regelstrecke erfüllen, damit der Reglerentwurf nach
BO oder SO erfolgen kann? Welche Regelziele werden mit den jeweiligen Optimierungsverfahren
verfolgt?
2.) * Welcher Effekt ist mit dem Begriff ”
Regler-Windup“ in der Regelungstechnik gemeint?
Bei welcher Art von Reglern tritt er auf und durch welche Maßnahme kann er vermieden
werden?
3.) * Stellen Sie die Übertragungsfunktion des Gleichstrommotors F GM in folgender Form
auf:
F GM (s) = Ω M(s)
U A (s) =
V GM
T A T M s 2 +T M s+1
Setzen Sie die in Tabelle 2.1 angegebenen numerischen Werte ein und ermitteln Sie, ob
der betrachtete Motor die in Aufgabe 1.) erwähnten Voraussetzungen erfüllt. Sollte dies
auf Anhieb nicht der Fall sein, welche Maßnahme ist zu treffen, damit eine Auslegung des
Stromreglers nach BO oder SO möglich wird?
4.) * Wie wirkt sich die induzierte Gegenspannung (EMK) E A auf den Stromregelkreis aus?
Zur Verbesserung der Dynamik der Stromregelung ist es im Allgemeinen sinnvoll, den
Einfluss von E A zu unterdrücken. Schlagen Sie eine einfache Methode zur Kompensation
der EMK vor und ergänzen Sie den Signalflussplan in Abb. 2.2 entsprechend.
2.3.2 Reglerentwurf
Bei der Auslegung des Stromreglers wird davon ausgegangen, dass der Effekt der EMK auf
geeignete Weise vollständig beseitigt wurde. Zudem wird die durch die Funktionsweise des
Pulsstellers bedingte Spannungsbegrenzung vorerst außer Acht gelassen.
Es werden folgende Anforderungen an das Verhalten des geschlossenen Stromregelkreises gestellt:
– 24 –

2.3.3. Bewertung der Regelgüte
• Der Regelkreis muss stabil sein.
• Der Regler muss in der Lage sein, konstante Störungen stationär genau auszuregeln.
• Der Regelkreis muss ein gutes Führungsverhalten aufweisen.
5.) * Warum wird für den Stromregelkreis Wert auf das Führungsverhalten gelegt?
6.) * Stellen Sie die Übertragungsfunktion zwischen dem gefilterten Ankerstrom ÎA und
dem Spannungssollwert U ∗ A auf:
FÎA (s) = ÎA(s)
U ∗ A (s) =
V S,IA
(1+T 1,IA s)(1+T σ,IA s)
Bestimmen Sie die kleine und die große Zeitkonstante der Regelstrecke, T σ,IA bzw. T 1,IA ,
sowie deren Verstärkung V S,IA in Abhängigkeit der Streckenparameter.
7.) * Entwerfen Sie mithilfe der Optimierungstabelle (siehe Abb. 2.6) den Stromregler unter
Berücksichtigung der Anforderungen an den Stromregelkreis.
2.3.3 Bewertung der Regelgüte
Im Folgenden werden die Eigenschaften des geregelten Ankerstromkreises anhand von Simulationen
analysiert und bewertet.
8.) Öffnen Sie das Modell GM Reglerimplementierung.mdl in Simulink.
Fügen Sie zur Glättung der Messsignale IA m, Im E und Ωm M jeweils ein Filter erster Ordnung
ein, wie in Abschnitt 2.2.3 beschrieben.
Implementieren Sie die in Aufgabe 4.) von Ihnen vorgeschlagene Maßnahme zur Kompensation
der induzierten Gegenspannung.
Fügen Sie den Stromregler ein, schließen Sie den Regelkreis und erweitern Sie die Datei
Versuch2GMParameter.m um die fehlenden Parameterwerte. Beim Klicken auf den
Simulink-Block Initialize werden diese übernommen.
9.) Simulieren Sie die Antwort des Regelkreises auf folgenden Stromsollwert:
wobei
I ∗ A(t) = I AN
2 (σ(t−t A)−σ(t−2t A )), t A = 0,5[s]
σ(t) =
{ 0 für t ≤ 0[s]
1 für t > 0[s]
Dies bedeutet, dass ab dem Zeitpunkt t A = 0,5 [s] der halbe Ankernennstrom I AN /2
während 0,5[s] eingeprägt wird.
Die Güte eines Regelkreises kann auf einfache Weise mithilfe dessen Sprungantwort quantitativ
bewertet werden. Zu diesem Zweck wird im Folgendem zum Zeitpunkt t 1 eine sprunghafte
Änderung des Sollwerts y ∗ einer Regelgröße y auf einen neuen Wert y ∗ ∞ betrachtet (vgl. Abb.
2.4). In diesem Zusammenhang werden die nachstehenden Parameter definiert:
– 25 –

2.3. Ankerstromregelung
Abbildung 2.4: Bestimmung der Regelgüte eines Regelkreises anhand dessen Sprungantwort
• Anregelzeit t an : Zeit, die nach der Sollwertänderung vergeht, bis die Regelgröße y(t) erstmals
den neuen Sollwert y ∗ ∞ erreicht.
• Ausregelzeit t aus : Dieser Parameter kennzeichnet den Zeitpunkt, ab dem y(t) innerhalb
eines definierten Toleranzbandes der Breite 2py ∗ ∞verbleibt, d. h.
∀t ≥ t 1 +t aus , |(y(t)−y ∗ ∞)| < |p·y ∗ ∞|
In der Praxis wird oft p ∈ [0,02;0,05] gewählt.
• Überschwingweite (engl. peak overshoot) ∆ po : Maß für die nach der Anregelzeit auftretende,
maximale Regelabweichung:
∆ po = 1 ( )
sup |y(t)−y
|y
∞|
∗
∞|
∗ t≥t 1 +t an
10.) Bestimmen Sie die Anregelzeit, die Ausregelzeit bei einem Toleranzband von ±2% und
das maximale Überschwingen für die zuvor simulierte Stromantwort.
VergleichenSieIhreErgebnissemitdenVorgabenderOptimierungstabelleundbegründen
Sie etwaige Abweichungen.
11.) Welche Auswirkung hat ein Ausfall der EMK-Aufschaltung auf den Verlauf des Ankerstroms?
– 26 –

2.4 Drehzahlregelung im Ankerstellbereich
2.4.1 Reglerauslegung
Nach Optimierung des inneren Stromregelkreises kann der Drehzahlregler in der äußeren Regelschleife
ausgelegt werden. Hierbei sind die nachstehenden Forderungen einzuhalten:
• Der Drehzahlregelkreis muss stabil sein.
• Der Regler muss in der Lage sein, konstante Störungen stationär genau auszuregeln.
• Der Regelkreis muss ein gutes Störverhalten besitzen.
Zur besseren Handhabung für die Reglerauslegung wird der unterlagerte Stromregelkreis als
Verzögerungsglied erster Ordnung approximiert (vgl. Abb. 2.5). In diesem Zusammenhang
wird zudem davon ausgegangen, dass der Einfluss der in die Ankerwicklungen induzierten
Gegenspannung vollständig kompensiert ist. Es gilt weiterhin: Ψ E = Ψ EN . Der Reglerentwurf
erfolgt wiederum nach dem Betragsoptimum bzw. dem Symmetrischen Optimum.
Abbildung 2.5: Approximation des Stromregelkreises als PT1-Glied
12.) * Ersetzen Sie den in Kapitel 2.3 untersuchten Stromregelkreis durch eine Ersatz-
Übertragungsfunktion mit PT 1 -Verhalten und der Zeitkonstante T ers,IA :
F w,IA (s) = I A(s)
I ∗ A (s) ≈ 1
1+sT ers,IA
Drücken Sie T ers,IA in Abhängigkeit von T σ,IA und T g,IA aus.
13.) * Stellen Sie, unter Berücksichtigung der obigen Approximation, die genäherte
Übertragungsfunktion zwischen dem Stromsollwert IA ∗ und der gefilterten Winkelgeschwindigkeit
Ω M in folgender Form auf:
FˆΩM
(s) = ˆΩ M (s)
I ∗ A (s) =
V S,ΩM
T 1,ΩM s·(1+T σ,ΩM s)
Geben Sie den Ausdruck der kleinen Zeitkonstante T σ,ΩM in Abhängigkeit von T ers,IA und
T g,ΩM an.
Bestimmen Sie die Verstärkung V S,ΩM , damit T 1,ΩM = T M = (R A Θ M )/(C M Ψ EN ) 2 .
– 27 –

2.4. Drehzahlregelung im Ankerstellbereich
14.) * Entwerfen Sie einen Regler, mit dem die Anforderungen an den Drehzahlregelkreis
eingehalten werden. Warum wird ein gutes Störverhalten gefordert?
2.4.2 Bewertung der Regelgüte
Mithilfe von Simulationen soll überprüft werden, ob der Drehzahlregelkreis das geforderte Verhalten
aufweist.
15.) Erweitern Sie Ihr Simulink-Modell um den entworfenen Drehzahlregler und tragen Sie
die Reglerparameter in die Datei Versuch2GMParameter.m ein.
Simulieren Sie das Verhalten des Regelkreises unter Verwendung folgenden Solldrehzahlverlaufs:
Ω ∗ M(t) = Ω MN
·σ(t−t Ω ), t Ω = 0.5 [s]
2
16.) Bestimmen Sie Anregelzeit, Ausregelzeit und maximales Überschwingen und begründen
Sie etwaige Unterschiede zu den Vorgaben der Optimierungstabelle.
2.4.3 Verbesserung der Regeleigenschaften
Die mit dem zuvor ausgelegten Regler erzielte Überschwingweite im Drehzahlverlauf kann sich
in vielen praktischen Anwendungen als überhöht erweisen. Zudem wurde nicht überprüft, ob
der in Tabelle 2.1 angegebene Maximalwert des Ankerstroms eingehalten ist.
17.) Implementieren Sie zunächst eine Maßnahme zur Reduzierung des Überschwingens, ohne
Änderungen am Drehzahlregler vorzunehmen.
Bewerten Sie den Drehzahlverlauf und überprüfen Sie, ob sich der Ankerstrom I A stets
im zulässigen Bereich befindet.
18.) Zum sicheren Betrieb der Maschine wird der Ankerstrom auf den doppelten Nennstrom,
d.h. I A,grenz = 2I AN = 2 [A], begrenzt. Dies bedeutet, dass der Drehzahlregler
grundsätzlich keine Stromsollwerte vorgeben darf, deren Betrag diesen Grenzwert
überschreitet.
Führen Sie hierzu einen Begrenzungsblock nach dem Drehzahlregler ein und simulieren
Sie das Verhalten des Drehzahlregelkreises erneut.
Welche Unterschiede sind im Drehzahlverlauf erkennbar und auf welchen Effekt sind sie
zurück zu führen?
19.) Modifizieren Sie die Struktur des Drehzahlreglers, um eine zufriedenstellende Regelgüte
für die Drehzahl unter Einhaltung der Strombegrenzung zu erreichen.
Validieren Sie Ihre Vorgehensweise anhand einer Simulation. Bestimmen Sie wiederum
die An- und Ausregelzeit sowie die maximale Überschwingweite für Ω M .
20.) Ersetzen Sie den Block Gleichstromantrieb durch den Block Gleichstromantrieb 2,
den Sie im gleichnamigen Modell finden, und führen Sie eine weitere Simulation durch.
Vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen der vorigen Aufgabe und erklären Sie die Unterschiede.
– 28 –

2.4.3. Verbesserung der Regeleigenschaften
21.) Geben Sie dem geregelten Antrieb folgenden Sollwertverlauf Ω ∗ M vor:
Ω ∗ M(t) = 1,1·Ω MN ·σ(t−t Ω )
Analysieren Sie die Verläufe der Winkelgeschwinschwindigkeit Ω M , des Stromsollwerts I ∗ A
sowiedesresultierendenAnkerstromsI A .SolltensichAbweichungenmitdemgewünschten
Verhalten ergeben, schlagen Sie eine Methode vor, um diese zu beseitigen.
– 29 –

– 30 –
Abbildung 2.6: Reglerauslegung nach BO und SO: Optimierungstabelle [3, S. 80]
Optimierungstabelle
w0 -6 d-GR -?
dz0-GS1-GS2 G0S w006
z }|-GS{
016 Fuhrungsgroe
rx0
-
-t
x01 w00tan 1 x0max 016 Storgroe
w00 2%
z006 -t
0 taus -t VSz00 x01
x0max VSz00 ZZZ Wendetangente
0 Z
Strecke Regler VerhaltenbeiSprungder tan -t
Nr.Typ 1PT1 G0S Gunstiger Bereich Typ GR Krit.TR;Tn;Tv Opt. Einstellung VR TG
tan T taus T(2%) Fuhrungsgroew x0max w00 x01 w00 Ters T tan T Storgroez
1+sT VS T=T1+T2+::I sTn=1 VR sTR BOTR=2VST Tn
6:3 VSx0max 10:64 z00 VSx01 1
z00
23 T=1:: T1 T1 T1
P BO Tn=T1 | 2TVS| (4:7) (8:4) 1:04x01
w001+VRVS2 2 5:5rT1 (4:7) T1+VRVS 0:5::1:2
1 1+VRVS 1
4PT2 (1+sT1)(1+sT) VS T4 T1 PI VR1+sTn
SO Tn=4T2TVS0::44:7::7:68:4::13:31:04::1:08 |4:7::3:18:4::16:51:04::1:43 2::4 | 10 1:2::1:6 T1=T 5 T1 T1 PD VR(1+sTv) BO Tv=T2 2TVS| T1 (4:7) (8:4) (1:04x01 w00) 1+VRVS2 4+T2 T 1+VRVS 1 1+VRVS
1
6PT3(1+sT1)(1+sT2)(1+sT)T1
VS T=1:: BOTn=T1
2TVS| 1:04 24:4rT1T2 T2 qT1 0:5::0:75
7 T2>T T4 T1 PIDVR(1+sTn)(1+sTv)
SOTn=4T Tv=T2 2TVS0::44:7::7:68:4::13:31:04::1:08 |4:7::3:18:4::16:51:04::1:43 2::4104rT2
T TqT2 T1 1:4::1:8 TqT2
8 VST1P T1
BO | 2TVS| 4:7 1:04 (4:7) 1 VRVS 9IT1 sT1(1+sT) VS VST>0PI T1 VR1+sTn
SO Tn=4T2TVS4 3:1 16:5 1:43 VRVS
10 VST1PD T1 VR(1+sTv) BO Tv=T2 2TVS| 7:6 4:7 13:3 8:4 1:08 1:04 42 4+T2 10 T1=T 1:6
T 1 VRVS 11IT2 sT1(1+sT2)(1+sT) VS | 3:1 16:5 1:43 | VRVS 1
T2>TVST>0PIDVR(1+sTn)(1+sTv)
T1
SOTn=4T Tv=T2 2TVS4 T1 7:6 13:3 1:08 1 4104rT2 T TqT2 T11:8
0
2.4. Drehzahlregelung im Ankerstellbereich

Versuch 3
Regelung einer Arbeitsmaschine über eine
elastische Kopplung
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Teilaufgaben sind in der schriftlichen
Versuchsvorbereitung zu lösen!
3.1 Übersicht
Im zweiten Versuch wurde die Drehzahlregelung des Gleichstromantriebs mit unterlagerter
Stromregelung betrachtet. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass der Einsatz von PI-Reglern
und deren Auslegung nach Standardverfahren wie dem Betragsoptimum (BO) und dem Symmetrischen
Optimum (SO) gute Kompromisse in Bezug auf Stabilität und Dynamik des geschlossenen
Regelkreises liefern.
In den Untersuchungen wurden allerdings bisher lediglich die Eigenschaften des Antriebs
berücksichtigt, sodass sich das Modell des mechanischen Subsystems auf die Rotorträgheit
beschränkte. In der Praxis ist die elektrische Maschine jedoch stets über eine mechanische Verbindung
mit dem anzutreibenden System (Arbeitsmaschine, bzw. Lastmaschine), z. B. einer
Werkzeugmaschine oder einem Fahrzeug, gekoppelt (vgl Abb. 3.1). In diesen Fällen steht nicht
die Drehzahl des Antriebs, sondern vielmehr die der Arbeitsmaschine im Vordergrund.
Im Allgemeinen erfahren die rotierenden mechanischen Komponenten, die den Antrieb mit
der Arbeitsmaschine verbinden, Verformungen (Torsion) infolge der ausgeübten Drehmomente,
sodass die Kopplung ein elastisches Verhalten aufweist. Ferner treten durch Reibung zwischen
mechanischen Teilen oder Spiel in Getrieben Nichtlinearitäten auf, welche jedoch im Rahmen
des Versuchs nicht behandelt werden.
Im Folgenden wird zunächst ein einfaches Modell der elastischen Verbindung erarbeitet. Darauf
aufbauendwirdderEinflussderKopplungaufdieStabilitätundDynamikderDrehzahlregelung
von Arbeitsmaschine und Antrieb mittels Simulation eingeschätzt.
– 31 –

3.2. Modellierung der elastischen Kopplung
Gleichstromantrieb
Getriebe
ü
Elastische Kopplung
Arbeitsmaschine
M M
Θ M
❈✄
lose
❅ ❅
✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈✄❈
C
Θ A
M W
reibung
✲
D
✲
ϕ M
˙ϕ M = Ω M
¨ϕ M
ϕ A
˙ϕ A = Ω A
¨ϕ A
Abbildung 3.1: Kopplung von Antrieb und Arbeitsmaschine über eine elastische Verbindung
3.2 Modellierung der elastischen Kopplung
Die Anordnung bestehend aus Gleichstromantrieb, Arbeitsmaschine und mechanische Verbindung
ist in Abb. 3.1 schematisch dargestellt. Die elastische Kopplung wird als masselose Drehfeder
mit der Steifigkeit C und der Dämpfung D modelliert. Das betrachtete System entspricht
somit einem sog. Zweimassensystem. Der Gleichstromantrieb bzw. die Arbeitsmaschine besitzt
das Rotorträgheitsmoment Θ M bzw. Θ A . Der jeweilige mechanische Winkel ist ϕ M bzw. ϕ A .
Der Antrieb liefert das Drehmoment M M . An der Welle der Arbeitsmaschine wirkt das Lastmoment
M W . Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit wird das Übersetzungsverhältnis des
Getriebes mit ü = 1 angenommen. Die durch Reibung und Lose bedingten nichtlinearen Effekte
werden vernachlässigt.
Das Übertragungsmoment der Feder M C ist der Winkeldifferenz ∆ϕ = ϕ M −ϕ A proportional:
M C = C ·∆ϕ (3.1)
Das Dämpfungsmoment hingegen ist der zeitlichen Ableitung der Winkeldifferenz proportional:
M D = D·∆ ˙ϕ (3.2)
Eine Momentenbilanz des Antriebs liefert:
M M −(M C +M D ) = Θ M · dΩ M
dt
= Θ M · ¨ϕ M (3.3)
Für die Arbeitsmaschine besteht folgender Zusammenhang:
(M C +M D )−M W = Θ A · dΩ A
dt
= Θ A · ¨ϕ A (3.4)
DiemechanischenGleichungen3.3und3.4bildendietheoretischeGrundlagedernachstehenden
– 32 –

Überlegungen.
3.3 Verhaltensanalyse des Zweimassensystems
3.3.1 Vorgehensweise
Um den Einfluss der Übertragungsmomente M C und M D nachzuvollziehen, wird das Zweimassensystem
zunächst isoliert untersucht. Zu diesem Zweck wird eine Darstellung anhand von
normierten Größen eingeführt, um den Vergleich von Simulationsergebnissen zu erleichtern und
somit aussagekräftige Rückschlüsse auf die Auswirkung der Parameter ziehen zu können. Die
für die Normierung notwendigen Bezugsgrößen sind in Tabelle 3.1 zusammengefasst.
Die in Abschnitt 3.2 getroffenen Annahmen führen zu einem linearen Modell des Zweimassensystems.
Hierbei stellt das Antriebsmoment M M die Stellgröße und das Lastmoment M W
eine Störgröße dar. Als Regelgrößen kommen die Winkelgeschwindigkeiten der Arbeitsmaschine
Ω A sowie die des Antriebs Ω M in Frage. Aus diesem Grund werden nachfolgend die
Übertragungsfunktionen G 1 (s) = Ω A (s)/M M (s) und G 2 (s) = Ω M (s)/M M (s) aufgestellt und
anhand von Simulationen untersucht.
Unnormierte Größen Bezugsgrößen Normierte Größen
M M , M W , M C , M D M BZ = M N m M , m W , m C , m D
Ω M , Ω A ˙ϕ BZ = Ω 0N ω M , ω A
ϕ M , ϕ A
ϕ BZ = T N · ˙ϕ BZ
α M , α A
T N = 1[s]
Θ M , Θ A
C
D
Θ BZ = M BZ
˙ϕ BZ
C BZ = M BZ
ϕ BZ
D BZ = M BZ
˙ϕ BZ
T ΘM , T ΘA
c
d
Tabelle 3.1: Bezugsgrößen zur Modellnormierung (vgl. [3, S. 959])
Im weiteren Verlauf wird als Antriebsmaschine wiederum der in den vorigen Versuchen betrachtete
Gleichstrommotor verwendet. Die Parameterwerte des Motors sind in Tabelle 3.2, die des
zu untersuchenden Zweimassensystems in Tabelle 3.3 aufgelistet.
3.3.2 Signalflussplan der Anordnung
Die Grundlage der weiteren Überlegungen stellt der normierte Signalflussplan des Zweimassenssystems
dar.
– 33 –

3.3. Verhaltensanalyse des Zweimassensystems
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleerlaufdrehzahl Ω 0N = 2200 [min −1 ]
Ankernennspannung U AN = 220 [V]
Ankernennstrom I AN = 1 [A]
Nennerregerfluss ψ EN = 1 [Vs]
Maschinenkonstante C M = 0,96 [1]
Rotorträgheitsmoment Θ M = 0,0013 [kgm 2 ]
Ersatzzeitkonstante des Stromregelkreises T ers,IA = 4 [ms]
Verzögerung bei der Drehzahlerfassung T g,ΩM = 2 [ms]
Physikalische Größe
Tabelle 3.2: Parameterwerte des Antriebs
Symbol und Wert (SI)
Normierte Federkonstante c = 5,5·10 5 [1]
Normierte Dämpfungskonstante d = 1 [1]
Mechanische Zeitkonstante der Arbeitsmaschine T ΘA = 0,5 [s]
Tabelle 3.3: Parameterwerte der elastischen Verbindung und der Arbeitsmaschine
1.) * Normieren Sie die Gleichungen (3.1) bis (3.4) mithilfe der in Tabelle 3.1 aufgeführten
Bezugsgrößen. Zeichnen Sie anschließend den normierten Signalflussplan des untersuchten
Zweimassensystems mit m M und m W als Eingangsgrößen sowie ω M und ω A als Ausgangsgrößen.
2.) * Berechnen Sie den Wert der Zeitkonstante T ΘM .
3.) Öffnen Sie das Modell Zweimassensystem.mdl im Verzeichnis Versuch3 in MATLAB und
implementieren Sie den in Aufgabe 1.) aufgestellten Signalflussplan des Zweimassensystems.
Versehen Sie diesen mit einem Schalter, damit entweder ω M oder ω A als Ausgangsgröße
bereitgestellt wird. Verwenden Sie eine Variable namens select zur Ansteuerung dieses
Schalters, wobei ω M zum Ausgang geführt wird, wenn select den Wert 0 annimmt.
Verbinden Sie zudem die vorhandenen Schnittstellen-Elemente mit den entsprechenden
Signalleitungen.
Öffnen Sie die Datei Versuch3Parameter.m und tragen Sie die nötigen Parameterwerte
in diese ein (siehe Tabellen 3.2 und 3.3). Speichern Sie Ihre Änderungen. Bevor eine Simulation
gestartet wird, sollen die Parameterwerte durch Doppelklicken auf den Block
Initialize in Simulink übernommen werden.
3.3.3 Übertragungsfunktion zwischen Ω A und M M
In diesem Abschnitt wird die Übertragungsfunktion G 1 (s) zwischen der Winkelgeschwindigkeit
der Arbeitsmaschine und dem Antriebsmoment betrachtet.
– 34 –

3.3.4. Übertragungsfunktion zwischen Ω M und M M
4.) * Geben Sie den Ausdruck von G 1 (s) in folgender Form an:
G 1 (s) = ω A
m M
= 1
sa 0
·
1+sb 1
1+sa 1 +s 2 a 2
5.) * Drücken Sie die Kennkreisfrequenz ω 0(N) und den Dämpfungsgrad D (N) des Polynoms
1+sa 1 +s 2 a 2 1 in Abhängigkeit der Systemparameter c, d, T ΘM , und T ΘA (vgl. Tabelle
3.3) aus und berechnen Sie die zugehörigen numerischen Werte.
6.) ErstellenSieeinBode-DiagrammitAmplituden-undPhasengangvonG 1 (jω).Verwenden
Sie hierzu das Skript bodeZMS.m. Stellen Sie vor dem Ausführen des Skripts die Variable
select auf den passenden Wert ein.
Interpretieren Sie die einzelnen Bereiche des Diagrammes anhand der Form der
Übertragungsfunktion. Welcher Wert ergibt sich graphisch für ω 0(N) ?
7.) Untersuchen Sie die Auswirkung der Federkonstante c, der Dämpfungskonstante d sowie
der Trägheit Θ A auf Amplituden- und Phasengang. Zu diesem Zweck, erhöhen bzw. verkleinern
Sie die Parameterwerte aus Tabelle 3.3 einzeln um eine Zehnerpotenz. Begründen
Sie Ihre Ergebnisse mit physikalischen Argumenten.
8.) Schließen Sie aus den Ergebnissen der vorigen Aufgabe, ob Stabilitätsprobleme bei der
Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl auftreten können.
3.3.4 Übertragungsfunktion zwischen Ω M und M M
Nun wird die Übertragungsfunktion G 2 (s) zwischen der Winkelgeschwindigkeit des Antriebs
und dessen Moment untersucht.
9.) * Berechnen Sie G 2 (s) und geben Sie das Ergebnis in der Form:
G 2 (s) = ω M
m M
= 1
sa 0
· 1+sc 1 +s 2 c 2
1+sa 1 +s 2 a 2
10.) * Geben Sie den Ausdruck der Kennkreisfrequenz ω 0(Z) und des Dämpfungsgrades D (Z)
des Zählerpolynoms in Abhängigkeit der Systemparameter sowie deren numerische Werte
an.
11.) * Welche Beziehungen bestehen zwischen ω 0(Z) und ω 0(N) sowie zwischen D (Z) und D (N) ?
Welche Kreisfrequenz und welcher Dämpfungsgrad sind stets größer?
12.) Wiederholen Sie die Aufgaben 6.) bis 8.) mit der Übertragungsfunktion G 2 (s).
3.4 Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl
In praktischen Anwendungen ist das Verhalten der Arbeitsmaschine von Bedeutung, während
dieDrehzahldesAntriebseineuntergeordneteRollespielt.BeispielsweisesolltebeiFräsarbeiten
– 35 –

3.4. Regelung der Arbeitsmaschinendrehzahl
zurGewährleistungderbestmöglichenOberflächenqualitätnichtdieDrehzahldesVorschubsantriebs,sonderndieGeschwindigkeitdesdurchihnangetriebenenArbeitstischesgeregeltwerden.
Gegenstand der nachfolgenden Überlegungen ist demnach die Untersuchung des geschlossenen
Regelkreises mit der Drehzahl der Arbeitsmaschine ω A als Regelgröße unter Anwendung der in
Versuch 2 vorgestellten Kaskadenstruktur. Zu diesem Zweck werden die in Abschnitt 2.4 angestellten
Analysen als Ausgangspunkt genommen. An dieser Stelle war zuerst der unterlagerte
StromregelkreisdurcheinVerzögerungsgliedersterOrdnungmitderErsatzzeitkonstanteT ers,IA
approximiert worden, wodurch eine IT1-Strecke resultierte. Diese Vorgehensweise ermöglichte
eine einfache Auslegung des Drehzahlreglers nach dem Symmetrischen Optimum.
Das asymptotische Bode-Diagramm des entsprechenden offenen Drehzahlregelkreis ist in Abb.
3.2 dargestellt. Der Phasengang liegt symmetrisch zur Amplitudendurchstrittfrequenz ω d , welche
durch die kleine Zeitkonstante der Regelstrecke T σ,Ω festgelegt ist. Es ergibt sich eine
theoretische Phasenreserve ϕ res .
Abbildung 3.2: Asymptotisches Bode-Diagramm eines Regelkreises mit IT1-Strecke und nach
dem Symmetrischen Optimum ausgelegtem PI-Regler
Als erster Schritt wird, in Anlehnung an den vorangegangenen Versuch, ein linearer Drehzahlregler
für das untersuchte System unter der Annahme einer starren Kopplung und einer
verzögerungsfreien Drehzahlmessung entworfen. Das Verhalten des Drehzahlregelkreis bei
Vorhandensein einer elastischen Kopplung wird anschließend in Simulationen beobachtet.
Ausgehend von den Ergebnissen der obigen Verhaltensanalyse verändert sich das Bode-
Diagramm in Abb. 3.2 durch den Einfluss der elastischen Verbindung. In Abhängigkeit der
Lage der Kennkreisfrequenz ω 0(N) werden unterschiedliche Kopplungsarten definiert:
– 36 –

• Liegt die Kreisfrequenz ω 0(N) deutlich über ω d , wird die Kopplung als hart bezeichnet.
• Ist hingegen ω 0(N) wesentlich kleiner als ω d , liegt eine weiche Kopplung vor.
• Wird die Federkonstante unendlich groß angenommen (c → ∞), ergibt sich eine starre
Kopplung. Es gilt: ϕ A = ϕ M . Diesem Fall entspricht das Bode-Diagramm in Abb. 3.2.
13.) * Stellen Sie den Signalflussplan des Drehzahlregelkreises auf.
14.) * Verfahren Sie wie in Abschnitt 2.4, um unter der Annahme einer starren Verbindung
einen linearen Regler für die Arbeitsmaschinendrehzahl zu entwerfen. Verwenden Sie hierzu
die Antriebsdaten aus Tabelle 3.2 sowie den in Tabelle 3.3 angegebenen Wert für die
Trägheit der Arbeitsmaschine. Geben Sie den Ausdruck der sich ergebenden Amplitudendurchtrittsfrequenz
an.
15.) * Welche Kopplungsart liegt bei der betrachteten elastischen Anordnung in der Tat vor?
Zum Vergleich werden ebenfalls die hypothetischen Fälle ω 0(N) = 0,1ω d und ω 0(N) =
10ω d untersucht. Berechnen Sie die zugehörigen Werte der Federkonstante c.
16.) Öffnen Sie die Datei Drehzahlregelung.mdl in Simulink und modellieren Sie zunächst
den Drehzahlregelkreis für den theoretischen Fall der starren Verbindung und den in
Tabelle 3.3 angegebenen Wert der Federkonstante.
VerwendenSieeinenSchalter,umdenRegelkreisaufeinfacheWeiseauftrennenzukönnen.
Ein- und Ausgang des offenen Regelkreises müssen außerdem für die Aufnahme von Bode-
Diagrammen mit In- bzw. Out-Schnittstellen versehen werden.
Erstellen Sie anschließend mithilfe der Funktion bodeDrehzahl ein Bode-Diagramm des
offenen Regelkreises. Welche Phasenreserve ergibt sich?
Simulieren Sie eine Sprungantwort auf Nenndrehzahl.
17.) Importieren Sie alle Komponenten des Modells Zweimassensystem.mdl und fassen Sie
diese in ein Subsystem mit Eingängen m M und m W sowie Ausgängen ω A und ω M zusammen.
Bauen Sie einen Schalter ein, um die rückzuführende Regelgröße bequem auswählen zu
können. Verwenden Sie hierbei wiederum die Variable select für die Ansteuerung des
Schalters, wobei ω M zurückgeführt wird, wenn select = 0.
Nehmen Sie ein Bode-Diagramm des offenen Regelkreises mit Zweimassensystem auf. Hat
sich die Phasenreserve im Vergleich zum Fall der starren Kopplung verändert? Simulieren
Sie zudem Sprungantworten der Last- und der Motordrehzahl.
18.) Wiederholen Sie diese Untersuchungen für die zwei Vergleichsfälle aus Aufgabe 15. Beurteilen
Sie jeweils das Regelverhalten im Hinblick auf Stabilität und Dynamik.
19.) Ermitteln Sie den erforderlichen Minimalwert der Federkonstante c, damit der Regelkreis
stabil wird. Verwenden Sie zu diesem Zweck das vorgegebene MATLAB-Programm
stabilDR.m. Spezifizieren Sie den Wert folgender Parameter vor dem Ausführen:
c min, c max, Schrittweite
Das Programm überprüft die Stabilität des Systems für die folgenden Werte von c:
{c ∈ R| c = c min+kSchrittweite∧c ≤ c max,k ∈ N}
– 37 –

3.6. Verifikation und Bewertung der Ergebnisse
Welches Stabilitätskriterium wird in dem Programm benutzt?
Überprüfen Sie den ermittelten Grenzwert von c auf geeignetem Weg.
3.5 Regelung der Antriebsdrehzahl
Ist der Regelkreis der Arbeitsmaschinendrehzahl mit der gewünschten Dynamik des unterlagerten
Stromregelkreises instabil, kann ersatzweise die Antriebsdrehzahl als Regelgröße herangezogen
werden. Im Folgenden werden die dynamischen Eigenschaften der geregelten Antriebsdrehzahl
sowie das Verhalten der nicht direkt beeinflussbaren Arbeitsmaschinendrehzahl mit
Simulationen bewertet.
20.) Nehmen Sie ein Bode-Diagramm des offenen Regelkreises von ω M für den Wert von c aus
Tabelle3.3.IstdieStabilitätdesgeschlossenenRegelkreisesgewährleistet?ÜberprüfenSie
Ihre Antwort mit der Aufnahme einer Sprungantwort der Antriebsdrehzahl. Simulieren
Sie ebenfalls die zugehörige Sprungantwort der Lastdrehzahl und bewerten Sie diese.
21.) Wiederholen Sie die vorige Aufgabe für die zwei Vergleichsfälle aus Aufgabe 15. Wird ein
stabiles Verhalten der Lastdrehzahl erreicht?
3.6 Verifikation und Bewertung der Ergebnisse
Die obigen Überlegungen basieren auf einem vergleichsweise groben Modell des Antriebs. Unter
anderem wurde von einer verzögerungsfreien Drehzahlerfassung ausgegangen. In den meisten
praktischen Fällen ist dies jedoch nicht gegeben, insbesondere, wenn das Drehzahlmesssignal
gefiltert wird, wie in Versuch 2 gezeigt.
Darüber hinaus wurde die Dynamik des unterlagerten Stromregelkreises als Verzögerungsglied
erster Ordnung approximiert und folglich eine exakte EMK-Kompensation vorausgesetzt. Aus
demerstenVersuchgehtdesWeiterenhervor,dassdiedurchdenPulsstellergenerierteschaltende
Spannung Schwingungen des Ankersstroms und daher des Maschinenmoments verursacht,
welche sich auf das Verhalten der elastischen Kopplung auswirken können.
Aus diesen Gründen sollen abschließend die zuvor gemachten Aussagen über Stabilität und
Dynamik der Regelung von ω M mit genaueren Modellen überprüft werden.
22.) Berücksichtigen Sie die Verzögerung des Drehzahlmesssignals durch Einführung eines
Verzögerungsglieds erster Ordnung mit der Zeitkonstante T g,ΩM (vgl. Tabelle 3.2) im
Rückführzweig des Drehzahlregelkreises. Passen Sie die Parameter des Drehzahlreglers
entsprechendan.InwiefernändernsichdieVerläufeimBode-DiagrammdesoffenenRegelkreises?
Simulieren Sie eine Sprunganwort der Antriebs- und Lastdrehzahl und bewerten
Sie das Ergebnis.
23.) Öffnen Sie die Datei GMgeregelt.mdl. Es handelt sich um das aus Versuch 2 bekannte
Modell der drehzahlgeregelten Gleichstrommaschine, welches eine genauere Überprüfung
der obigen Stabilitätsanalyse ermöglicht.
– 38 –

Klicken Siedoppelt aufdenBlockGleichstromantrieb.Fügen SieeineInstanzdesZweimassensystems
ein und stellen Sie die nötigen Verbindungen mit den restlichen Blöcken
her. Achten Sie darauf, dass lediglich das Modell des Zweimassensystems normiert ist.
Alle Modellparameter sind bereits in der Datei ParameterGMgeregelt.m definiert. Es
genügt demnach ein Doppelklick auf den Block Initialize vor dem Start der Simulation.
Simulieren Sie die Sprungantwort des Systems auf Nenndrehzahl und bewerten Sie
die Ergebnisse. Werden die Stabilitätsaussagen dadurch bestätigt?
– 39 –

Versuch 4
Modellierung von Drehfeldantrieben
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Teilaufgaben sind in der schriftlichen
Versuchsvorbereitung zu lösen!
4.1 Übersicht
Gegenstand der Versuche 4 bis 6 sind geregelte Drehfeldantriebe. In diesem Antriebstyp werden
Drehfeldmaschinen, d. h. Synchron- bzw. Asynchronmaschinen, eingesetzt, wobei sog. Umrichter
als leistungselektronische Stellglieder (vgl. Abb. 1) in Frage kommen.
Drehfeldmaschinen erfordern durch den Wegfall des Kommutators einen wesentlich geringeren
Wartungsaufwand im Vergleich zu Gleichstrommotoren und eignen sich demnach besonders für
den Einsatz in industriellen Antriebssystemen. Hierbei finden dreisträngige Asynchronmotoren
mitKäfigläufernsowieSynchronmaschinenmitPermanentmagnetenamhäufigstenAnwendung
undwerdenausdiesemGrundimRahmendesPraktikumsbehandelt.DiesewerdeninderRegel
durch Zweipunkt-Umrichter gespeist.
In vorliegenden Versuch werden einfache Modelle von diesen zwei Maschinentypen hergeleitet
und anhand von Simulationen getestet und validiert. In den weiteren Versuchen werden die
Modelle zur Untersuchung zweier gängiger Regelverfahren für Drehfeldantriebe herangezogen.
4.2 Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
4.2.1 Annahmen zur Modellbildung
Wie im Falle der Gleichstrommaschine sind die in Drehfeldmaschinen auftretenden elektromagnetischen,
mechanischen sowie thermischen Vorgänge komplex und im Allgemeinen nicht
linear. Aus diesem Grund müssen einige vereinfachende Annahmen zur Modellbildung gemacht
werden:
– 40 –

4.2.1. Annahmen zur Modellbildung
• Die räumlich-radiale Verteilung der magnetischen Durchflutung und des magnetischen
Luftspaltfeldes an der Statorbohrung werden als sinusförmig angesehen. Diese Annahme
trifft lediglich in erster Näherung zu. In praktischen Fällen wird zwar angestrebt, den
Oberwellengehalt der Durchflutung durch geschickte Wahl der Nutenzahl und Verteilung
der Wicklungen (z. B. Sehnung, vgl. [1], [2]) zu reduzieren, Oberwellen lassen sich jedoch
aufgrund der diskreten Verteilung nicht vollständig unterdrücken. Ferner führen die
Nutöffnungen zu Variationen der Luftspaltbreite, welche sich ebenfalls auf die Feldverteilung
auswirken.
• Die Blechpakete im Stator und Rotor besitzen linearen magnetischen Eigenschaften.
Sättigung, Hysterese sowie Wirbelströmen werden keine Rechnung getragen.
• Die Auswirkung der Temperatur auf Widerstands- und Induktivitätswerte wird vernachlässigt.
Abbildung 4.1: Prinzipdarstellung der betrachteten Anordnung
x 1 : ständerbezogene Umfangskoordinate; x 2 : läuferbezogene Umfangskoordinate;
θ: Winkel zwischen den Achsen der Stränge A und U
Die Vernachlässigung der Oberwellen im räumlichen Verlauf der Luftspaltgrößen führt zu sog.
Grundwellenmodellen. Zur Herleitung eines für Synchron- und Asynchronmaschinen allgemein
gültigen Grundwellenmodells wird zuerst eine Drehfeldmaschine mit sowohl einem Wicklungssatz
im Stator (Stränge A, B, C), als auch im Rotor (Stränge U, V, W) betrachtet (vgl. Abb.
4.1). Hierbei werden die nachstehenden Bedingungen vorausgesetzt:
– 41 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
• Stator und Rotor sind symmetrisch aufgebaut.
• Die Stränge auf Stator- bzw. Rotorseite sind symmetrisch gewickelt und deren Achsen
um 2/3 der Polteilung τ p , d. h. 2/3 der halben räumlichen Periode der Durchflutungsgrundwelle,versetzt.AlleStatorwicklungen(bzw.Rotorwicklungen)besitzenn
1 (bzw.n 2 )
Windungen.
• Beide Wicklungssätze sind sternförmig verschaltet. Beide Sternpunkte sind isoliert bzw.
potentialfrei.
Ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit wird der Übersichtlichkeit halber die Polpaarzahl
p = 1 gewählt. Folglich sind die Achsen der Strangwicklungen auf Stator- bzw. Rotorseite
räumlich um 120 ◦ versetzt. Zur Bestimmung der Rotorlage innerhalb einer Polpaarteilung, d.
h. einer vollen räumlichen Periode der Durchflutungsgrundwelle, wird der Winkel θ zwischen
den Strängen A und U herangezogen. Im betrachteten Fall entspricht θ dem mechanischen
Rotorwinkel θ M .
Im weiteren Verlauf werden strangbezogene Größen wie Spannungen, Ströme oder Flussverkettungen
mit dem Index k desentsprechendenStrangs (k ∈ {A, B, C, U, V, W}) gekennzeichnet.
Stator- bzw. Rotorgrößen, wie Widerstände oder Induktivitäten, werden mit dem Index 1 bzw.
2 versehen.
4.2.2 Elektrische Differentialgleichungen
Die Anwendung der Maschenregel auf die statorseitigen Wicklungsstränge führt zu folgendem
Gleichungssystem: ⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
u A = R 1 ·i A + dΨ A
dt
u B = R 1 ·i B + dΨ B
dt
(4.1)
u C = R 1 ·i C + dΨ C
dt
Hierbei bezeichnen u k , i k bzw. Ψ k (k ∈ {A, B, C}) die Spannungen, Ströme bzw. Flussverkettungen
der jeweiligen Stränge und R 1 deren Widerstand.
Für die Rotorstränge mit dem Widerstand R 2 gilt:
⎧
u U = R 2 ·i U + dΨ U
dt
⎪⎨
u V = R 2 ·i V + dΨ V
dt
⎪⎩
u W = R 2 ·i W + dΨ W
dt
(4.2)
Zur übersichtlichen Darstellung der Zusammenhänge werden die Stranggrößen in Vektoren
– 42 –

4.2.3. Magnetische Zusammenhänge
zusammengefasst:
Abbildung 4.2: Definition der verwendeten elektrischen Stranggrößen
(k ∈ {A, B, C, U, V, W}, l ∈ {1, 2})
⃗u 1 = [ u A u B u C
] T
⃗u 2 = [ u U u V u W
] T
⃗i 1 = [ i A i B i C
] T ⃗ i 2 = [ i U i V i W
] T
⃗Ψ 1 = [ Ψ A Ψ B Ψ C
] T ⃗Ψ2 = [ Ψ U Ψ V Ψ W
] T
Somit lassen sich die Gleichungen (4.1) und (4.2) in die folgende Form überführen:
⃗u 1 = R 1 ·⃗i 1 + d⃗ Ψ 1
dt
⃗u 2 = R 2 ·⃗i 2 + d⃗ Ψ 2
dt
(4.3)
(4.4)
4.2.3 Magnetische Zusammenhänge
Flussverkettungen der einzelnen Stränge
Um geschlossene Beziehungen zu erhalten, werden nachfolgend die Flussverkettungen der einzelnenSträngegenaueranalysiert.ImAllgemeinenistdavonauszugehen,dassallesechsStränge
magnetisch miteinander verkoppelt sind.
Unter der Annahme linearer magnetischer Verhältnisse ergibt sich beispielsweise die Flussverkettung
des Strangs A, Ψ A , demnach aus der Summe von sechs Anteilen:
Ψ A = Ψ }{{} AA +Ψ AB +Ψ AC +Ψ } {{ } AU +Ψ AV +Ψ } {{ AW}
I II
III
(4.5)
Neben der durch den Term I ausgedrückten Verkettung mit dem Eigenfeld, stellen die Anteile
II bzw. III die Kopplung mit den anderen statorseitigen Strängen bzw. mit den rotorseitigen
Spulen dar.
Als Folge der angenommenen magnetischen Linearität lassen sich die jeweiligen Anteile von Ψ A
– 43 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
auf einfache Weise mithilfe der Strangströme angeben. Zu diesem Zweck werden die vom magnetischen
Zustand der Maschine unabhängigen Induktivitäten L Ak , k ∈ {A, B, C, U, V, W}
eingeführt:
Ψ A = L AA ·i A +L AB ·i B +L AC ·i C +L AU (θ)·i U +L AV (θ)·i V +L AW (θ)·i W (4.6)
Hierbei ist jedoch zu beachten, dass sich die Kopplung zwischen Strang A und den Rotorwicklungen
mit den Rotorwinkel θ ändert, sodass die Induktivitäten L AU , L AV sowie L AW ebenfalls
von θ abhängig sind.
Die Flussverkettungen der anderen Stränge können analog ermittelt werden. Es ergeben sich
die nachstehenden Beziehungen zwischen den Vektoren ⃗ Ψ 1 und⃗i 1 bzw. ⃗ Ψ 2 und⃗i 2 :
Für die resultierenden Induktivitätsmatrizen gilt:
⎡
L 1 = ⎣
⃗Ψ 1 = L 1 ·⃗i 1 +L 12 ·⃗i 2 (4.7)
⃗Ψ 2 = L 2 ·⃗i 2 +L 21 ·⃗i 1 (4.8)
⎤ ⎡
L AA L AB L AC
L BA L BB L BC
⎦ L 2 = ⎣
L CA L CB L CC
⎡
L AU L AV
L 12 = ⎣ L BU L BV
L CU L CV
⎤
L UU L UV L UW
L VU L VV L VW
⎦
L WU L WV L WW
⎤ ⎡ ⎤
L UA L UB L UC
⎦ L 21 = ⎣ L VA L VB L VC
⎦
L CW L WA L WB L WC
L AW
L BW
Die Matrizen L 1 und L 2 drücken die magnetische Kopplung zwischen den Strängen innerhalb
des stator- bzw. rotorseitigen Wicklungssatzes aus, wohingegen L 12 und L 21 die Wechselwirkungen
zwischen beiden Wicklungssätzen zum Ausdruck bringen.
Eigeninduktivitäten der Stränge auf Stator- und Rotorseite
Die Eigeninduktivitäten des statorseitigen bzw. rotorseitigen Wicklungssatzes sind durch die
Diagonalelemente der Matrizen L 1 bzw. L 2 dargestellt. Diese sollen nachfolgend genauer beschrieben
werden.
Statorseitiger Wicklungssatz
WirdbeispielsweisederStrangAaufdemStänderdurchdenStromi A durchflossen,entstehtein
magnetischer Feldverlauf, welcher sich großenteils über den Luftspalt und den Rotor schließt.
Dieser Teil ist somit mit den Spulen aller Stränge auf dem Stator und dem Rotor verkettet und
wird als Luftspaltfeld bezeichnet. Der restliche Teil, das Streufeld, ist lediglich mit den Leitern
des Strangs A verkettet (siehe Abb. 4.3 und [2], [1]). Der resultierende magnetische Fluss Φ A ,
welcher die Wicklungen des Strangs A durchsetzt, kann folglich in zwei Anteile zerlegt werden:
Einen Hauptflussanteil Φ hA und einen Streuflussanteil Φ σA . Es gilt Φ A = Φ hA +Φ σA . Hierbei
wird in erster Näherung angenommen, dass alle Windungen der verteilten Strangwicklungen
vom selben Fluss Φ A durchsetzt werden.
– 44 –

4.2.3. Magnetische Zusammenhänge
Abbildung 4.3: Aufteilung des Magnetfelds einer Wicklung in Luftspalt- und Streufeld
[2, S. 235]
(a) Aufteilung im Querschnitt; (b) Aufteilung im Längsschnitt
Werden die Reluktanzen (magnetischen Widerstände) R mhA und R mσA dem Hauptflussanteil
bzw. dem Streuflussanteil zugeordnet, ergeben sich folgende Zusammenhänge aus dem Hopkinsonschen
Gesetz:
Für die Flussverkettung des Strangs A folgt:
Φ hA = n 1 ·i A
R mhA
(4.9)
Φ σA = n 1 ·i A
R mσA
(4.10)
Ψ A = n 1 ·Φ A = n2 1
R mhA
·i A + n2 1
R mσA
·i A (4.11)
Aus Gleichung (4.11) können die Hauptinduktivität L hA und die Streuinduktivität L σA des
Strangs A definiert werden:
L hA = n2 1
R mhA
(4.12)
L σA = n2 1
R mσA
(4.13)
– 45 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
Die Eigeninduktivität des Strangs A ergibt sich gemäß Gl. (4.11) zu:
L AA = L hA +L σA (4.14)
Bedingt durch den symmetrischen Maschinenaufbau sowie die zuvor angenommenen
Ausführungsmerkmale des statorseitigen Wicklungssatzes gilt für die Stränge B und C:
Für die Induktivitäten folgt:
R mhB = R mhC = R mhA = R mh (4.15)
R mσB = R mσC = R mσA = R mσ1 (4.16)
L hB = L hC = L hA = L h1 = n2 1
R mh
(4.17)
L σB = L σC = L σA = L σ1 = n2 1
R mσ1
(4.18)
L BB = L CC = L AA = L h1 +L σ1 (4.19)
Hierbei stellen L h1 und L σ1 die Hauptinduktivität bzw. die Streuinduktivität des statorseitigen
Wicklungssatzes dar.
Rotorseitiger Wicklungssatz
Die Eigeninduktivitäten L UU , L VV und L WW der auf dem Läufer angebrachten Wicklungen
können analog berechnet werden. Hierbei wird der Streuanteil des magnetischen Flusses der
Reluktanz R mσ2 zugeordnet. Ferner wird davon ausgegangen, dass der Hauptflussanteil, wie
auf der Statorseite, über den magnetischen Widerstand R mh mit dem Strom in Verbindung
steht. Daraus folgt:
L h2 = L hU = L hV = L hW = n2 2
R mh
(4.20)
L σ2 = L σU = L σV = L σW = n2 2
R mσ2
(4.21)
L UU = L VV = L WW = L h2 +L σ2 (4.22)
Koppelinduktivitäten zwischen den Strängen eines Wicklungssatzes
Es werden in diesem Abschnitt die Koppelterme in den Matrizen L 1 und L 2 untersucht. Diese
beschreiben die magnetische Kopplung zwischen den Strängen innerhalb eines Wicklungssatzes.
Statorseitiger Wicklungssatz
Es wird angenommen, dass die magnetische Kopplung zwischen den Strängen eines Wicklungssatzes
über das Luftspaltfeld und somit über den magnetischen Widerstand R mh erfolgt.
Fließt der positive Strom i A durch die Wicklungen des Strangs A, folgt aus den in Abschnitt
4.2.1 aufgeführten Voraussetzungen eine sinusförmige Verteilung der radialen Komponente
– 46 –

4.2.3. Magnetische Zusammenhänge
des Luftspaltfeldes über der Umfangskoordinate x 1 . Hierbei weist diese Komponente B r eine
räumliche Periodizität gleich der doppelten Polteilung τ p auf und erreicht deren Maximum
ˆB r in der Achse des Strangs A, d. h. bei x 1 = 0:
( )
B r = ˆB π
r ·cos x 1 (4.23)
τ p
DieWicklungsachsenderSträngeBundCsindum2/3bzw.4/3derPolteilungτ p gegenüberder
Achse des Strangs A versetzt. An den entsprechenden Stellen beträgt die radiale Komponente
des vom Strom i A herrührenden Luftspaltfelds −1/2· ˆB r und erzeugt demnach einen negativen
Fluss durch die Wicklungen der Stränge B und C.
Aus diesen Gründen gilt:
L AB = L AC = − n2 1
= − L h1
2·R mh 2
(4.24)
Die Herleitung der anderen Koeffizienten der Matrix L 1 erfolgt auf ähnliche Weise und es folgt:
⎡
L h1 +L σ1 − L h1
− L ⎤
h1
2 2
L 1 =
− L h1
L
⎢ h1 +L σ1 − L h1
(4.25)
2 2 ⎥
⎣
− L h1
− L ⎦
h1
L h1 +L σ1
2 2
Rotorseitiger Wicklungssatz
Ähnliche Zusammenhänge bestehen für den rotorseitigen Wicklungssatz, sodass die Matrix L 2
folgende Gestalt annimmt:
⎡
L h2 +L σ2
L 2 =
− L h2
⎢ 2
⎣
− L h2
2
− L h2
2
L h2 +L σ2
− L h2
2
− L ⎤
h2
2
− L h2
2 ⎥
⎦
L h2 +L σ2
(4.26)
L 1 und L 2 sind symmetrisch und erfüllen somit die Reziprozitätsbedingung für gekoppelte
magnetische Kreise [2].
Koppelinduktivitäten zwischen beiden Wicklungssätzen
Die obige Vorgehensweise kann prinzipiell zur Bestimmung der Koeffizienten der Matrizen L 12
sowie L 21 angewendet werden. In diesem Fall ist allerdings zu beachten, dass die Stränge auf
dem Stator und dem Rotor unterschiedliche Windungszahlen besitzen und sich deren Lage zueinander
durch den Winkel θ definiert. Darüber hinaus sind beide Wicklungssätze ausschließlich
über das Luftspaltfeld miteinander verkoppelt.
– 47 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
Die sich daraus ergebenden Zusammenhänge sollen nachfolgend am Beispiel der Stränge A und
U hergeleitet werden. Zu diesem Zweck wird davon ausgegangen, dass der durch den Strang A
fließende Strom i A eine radiale Feldverteilung nach Gl. (4.23) hervorruft. Für den Spezialfall,
dass die Achsen der Stränge A und U übereinander liegen, d. h. θ = 0, ergibt sich folglich der
maximale Wert der Induktivität L AU :
L AU (θ = 0) = n 1 ·n 2
R mh
= n 2
n 1
L h1 (4.27)
Für einen beliebigen Winkel θ ist zur Ermittlung des von i A herrührenden magnetischen Flusses
durchdieWicklungendesStrangsUzudemderVerlaufderradialenFeldkomponentenach(4.23)
zu berücksichtigen. In Anlehnung an die in Abschnitt 4.2.3 angestellten Analysen folgt:
L AU (θ) = n 2
n 1
L h1 ·cosθ (4.28)
Die Herleitung der anderen Koeffizienten der Matrix L 12 erfolgt analog unter Berücksichtigung
des Versatzes von 2/3 der Polteilung, welcher zwischen den einzelnen Strängen eines Wicklungssatzes
besteht. Für die Matrix L 12 ergibt sich:
⎡
L 12 = n 2
L h1 n 1 ⎢
⎣
cosθ
(
cos θ − 2π )
3
(
cos θ+ 2π )
3
(
cos θ+ 2π 3
)
cosθ
(
cos θ− 2π )
3
(
cos θ − 2π 3
(
cos θ + 2π 3
cosθ
)
)
⎤
⎥
⎦
(4.29)
DieHerleitungderKoeffizientenvon L 21 kannaufähnlicheWeisevorgenommenwerden,woraus
folgt:
⎡ (
cosθ cos θ− 2π ) (
cos θ + 2π ) ⎤
3 3
L 21 = n (
2
L h1 cos θ+ 2π ) (
cosθ cos θ − 2π )
(4.30)
n 1 3
3
⎢ (
⎣
cos θ − 2π ) (
cos θ+ 2π ) ⎥
⎦
cosθ
3 3
Es gilt somit:
L 21 = L T 12 (4.31)
4.2.4 Raumzeigerdarstellung
Grundlegende Überlegungen
Die Gleichungen (4.3) und (4.4) sowie (4.7) und (4.8) modellieren das Grundwellenverhalten
einer Drehfeldmaschine und bilden ein verkoppeltes System bestehend aus sechs linearen Dif-
– 48 –

4.2.4. Raumzeigerdarstellung
ferentialgleichungen:
d⃗i 1
⃗u 1 = R 1 ·⃗i 1 +L 1
dt +L d⃗i 2
12
dt
(4.32a)
d⃗i 2
⃗u 2 = R 2 ·⃗i 2 +L 2
dt +L d⃗i 1
21
dt
(4.32b)
An dieser Stelle bietet sich eine Suche nach möglichen Vereinfachungen des Differentialgleichungssystems
an. Zu diesem Zweck werden im Folgenden die räumlichen Zusammenhänge im
Maschinenquerschnitt betrachtet, wenn lediglich der statorseitige Wicklungssatz vorhanden ist
(vgl. Abb. 4.4). Die in Abb. 4.4 dargestellten Vektoren ⃗e A , ⃗e B und ⃗e C bezeichnen Einheitsvek-
Abbildung 4.4: Schematische Darstellung der Maschine im Querschnitt mit statorseitigem
Wicklungssatz und Definition der verwendeten Größen
toren der Wicklungsachsen der Stränge A, B und C, während die Basis (⃗e α , ⃗e β ) ein kartesisches
Koordinatensystem definiert, wobei davon ausgegangen wird, dass ⃗e A = ⃗e α . Dieses Koordinatensystem
wird folglich als ”
statorfestes“ oder (α, β)-Koordinatensystem bezeichnet. Die Lage
einesPunktesimLuftspaltwirdmitderUmfangskoordinatex 1 bzw.demWinkelϕbeschrieben.
Wie aus (4.23) hervorgeht, führt ein Strom i A durch Strang A zu einer sinusförmigen Durchflutungsverteilung
(bzw. einer sinusförmigen radialen Feldkomponente) im Luftspalt, die in der
Wicklungsachse des Strangs A maximal ist. Bekanntlich ist die resultierende Durchflutung ϑ A
proportional zu i A und es ergibt sich:
ϑ A = β ·i A ·cosϕ (4.33)
– 49 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
Ähnliches gilt für die von Strömen in den Strängen B und C herrührenden Durchflutungen:
ϑ B = β ·i B ·cos(ϕ−2π/3) (4.34)
ϑ C = β ·i C ·cos(ϕ+2π/3) (4.35)
Unter den in Abschnitt 4.2.1 gemachten Annahmen und insbesondere den vorausgesetzten
linearen magnetischen Verhältnissen ergibt sich die Verteilung der Gesamtdurchflutung ϑ zu
einem Zeitpunkt t 0 , welche aus den Strömen i A (t 0 ), i B (t 0 ) und i C (t 0 ) resultiert, aus der Summe
der einzelnen Durchflutungsverteilungen ϑ A , ϑ B und ϑ C :
ϑ(t 0 ) = β
(
i A (t 0 )·cosϕ+i B (t 0 )·cos
(
ϕ− 2π 3
)
+i C (t 0 )·cos
(
ϕ+ 2π 3
))
(4.36)
Die Durchflutungsverteilung ϑ(t 0 ) (bzw. die radiale Feldkomponente B r (t 0 )) weisen demnach
ebenfalls eine räumliche Periode von 2π auf. Der Betrag von ϑ(t 0 ) ist maximal, wenn folgende
Bedingung erfüllt ist:
dϑ(t 0 )
dϕ = 0 (4.37)
Aus (4.36) und (4.37) folgt für den Winkel ϕ 0 , für den die Extremwerte der Durchflutung ϑ(t 0 )
erreicht werden:
√ ( 3
cosϕ 0 ·
2 (i B −i C )−sinϕ 0 · i A − 1 )
2 (i B +i C ) = 0 (4.38)
Dieser Ausdruck kann auf folgende Weise dargestellt werden:
⎡
[ ]
cosϕ0 i
⎢ A − 1 ⎤
× ⎣
2 (i B +i C )
√ ⎥
∥ sinϕ 3
⎦
= 0 (4.39)
0
2 (i B −i C ) ∥
Gleichung (4.39) kann entnommen werden, dass der Vektor
⎡
i
i s ⎢ A − 1 ⎤
1 = ⎣
2 (i B +i C )
√ ⎥
3
⎦ = i α ·⃗e α +i β ·⃗e β
2 (i B −i C )
[ ] 1
= i A · +i
0 B ·
[ cos(2π/3)
sin(2π/3)
= i A ·⃗e A +i B ·⃗e B +i C ·⃗e C
]
+i C ·
[ cos(−2π/3)
sin(−2π/3)
die Punkte im Luftspalt bestimmt, an denen der Betrag der Durchflutung maximal ist. Schließlich
genügt die Kenntnis der zwei Komponenten i α und i β , um den räumlichen Verlauf der
Durchflutung bzw. die Feldverteilung im Luftspalt für einen gegebenen Zeitpunkt t 0 vollständig
beschreiben zu können. Die Größe i s 1 wird als Statorstromraumzeiger bezeichnet. Hierbei weist
]
– 50 –

4.2.4. Raumzeigerdarstellung
das hochgestellte s darauf hin, dass die Größe im statorfesten Koordinatensystem ausgedrückt
ist.
Clarke-Transformation
Die vorigen Überlegungen können durch Einführung folgender Transformation verallgemeinert
werden:
T C : R
⎡
3 ⎤
−→ R 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x A
x α x A
⃗x = ⎣x B
⎦ ↦−→ T C (⃗x) = x s = ⎣x β
⎦ = T C
⎣x B
⎦ (4.40)
x C x 0 x C
Hierbei lautet die Transformationsmatrix T C :
⎡ ( ) ( 2π
cos(0) cos cos − 2π ) ⎤ ⎡
1 − 1 T C = 2 3 3
( ) (
2π 3 ⎢
sin(0) sin sin − 2π )
= 2 √
2
3
⎣
3 3 ⎥ 3 ⎢
0
⎦ ⎣
2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
⎤
− 1 √
2
3
−
2 ⎥
⎦
1
2
(4.41)
T C wird als Clarke-Transformation bezeichnet und ermöglicht, die in den Vektor ⃗x zusammengefassten
Stranggrößen im allgemeinen Fall auf einen Raumzeiger x s abzubilden.
Wird T C auf beispielsweise den Stromvektor⃗i 1 = [ i A i B i C
] T
angewendet, ergibt sich der
Stromraumzeiger i s 1:
⎡
i s 1 = T C (⃗i 1 ) = T C
⃗i 1 = 2 3 ⎢
⎣
i A − 1 2 (i B +i C )
√
3
2 (i B −i C )
1
2 (i A +i B +i C )
⎤
⎥
⎦
(4.42)
Die ersten zwei Zeilen des in (4.42) auftretenden Spaltenvektors entsprechen dem zuvor ermittelten
Ausdruck von i s 1. Die dritte stellt den Mittelwert der Stranggrößen für den betrachteten
Zeitpunkt dar und wird als Gleichtaktkomponente (engl. zero sequence component) bezeichnet.
Der Faktor 2/3 dient lediglich der Normierung des Raumzeigers auf die Amplitude der
Stranggrößen.
Eskannleichtgezeigtwerden,dassdieMatrixT C reguläristundsomiteineRücktransformation
des Raumzeigers x s auf die zugehörigen Stranggrößen ermöglicht. Diese lautet:
T −1 C : R
⎡
3 ⎤
−→ R 3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
x α
x A x α
x s = ⎣x β
⎦ ↦−→ T −1 C (x s ) = ⃗x = ⎣x B
⎦ −1
= T C
⎣x β
⎦ (4.43)
x 0 x C x 0
– 51 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
mit
⎡ ⎤
1 0 1
T −1 C =
− 1 √ 3
1
⎢ 2 2
⎣
− 1 √ ⎥
3
⎦
2 − 1
2
(4.44)
An dieser Stelle sei angemerkt, dass sowohl der Vektor der zusammengefassten Stranggrößen
⃗x, als auch der Raumzeiger x s aus mathematischer Sicht dreidimensionale Vektoren darstellen.
Demnach entspricht die Clarke-Transformation einem Basiswechsel im Vektorraum R 3 .
Aus den Überlegungen im vorigen Abschnitt geht jedoch hervor, dass der Stromraumzeiger i s 1
die räumliche Verteilung der Durchflutungsgrundwelle im Luftspalt beschreibt und somit, im
Gegensatz zum Vektor ⃗i 1 , eine besondere physikalische Bedeutung aufweist. Dieser Tatsache
wird durch die unterschiedliche Schreibweise Rechnung getragen.
Anwendung der Clarke-Transformation zur Modellierung von Drehfeldmaschinen
Elektrische Gleichungen
Die Clarke-Transformation kann ebenfalls auf die Statorspannungssgleichung (4.3) angewendet
werden. In diesem Fall ergibt sich:
( )
T C (⃗u 1 ) = u s 1 = T C R 1 ·⃗i 1 + d⃗ Ψ 1 dΨ = R 1 ·T C
⃗i 1 +T ⃗ 1
C = R 1 ·T C
⃗i 1 + d(T CΨ ⃗ 1 )
dt dt dt
Daraus folgt die Statorspannungsgleichung in Raumzeigerdarstellung:
u s 1 = R 1 i s 1 + dΨs 1
dt
(4.45)
Die Analysen aus Abschnitt 4.2.4 können problemlos auf den Rotorwicklungssatz erweitert
werden. Hierbei ist allerdings eine neue kartesische Basis (⃗e d , ⃗e q ) zu definieren, sodass der
Vektor ⃗e d ein Einheitsvektor der Wicklungsachse des Strangs U darstellt (siehe Abb. 4.5).
Der Basis (⃗e d , ⃗e q ) zugehörige Koordinatensystem wird als rotorfestes Koordinatensystem bzw.
(d, q)-Koordinatensystem bezeichnet. Raumzeiger, die in diesem Koordinatensystem ausgedrückt
sind, werden mit einem hochgestellten r gekennzeichnet. Unter Berücksichtigung dieser
Zusammenhänge nimmt die Rotorspannungsgleichung (4.4) in Raumzeigerdarstellung folgende
Gestalt an:
Magnetische Beziehungen
u r 2 = R 2 i r 2 + dΨr 2
dt
(4.46)
Bei der Transformation der Statorflussverkettungsgleichungen (4.7) und (4.8) ist zu beachten,
dass diese sowohl Stator-, als auch Rotorgrößen enthalten.
– 52 –

4.2.4. Raumzeigerdarstellung
Abbildung 4.5: Definition des Rotorkoordinatensystems zur Anwendung der
Clarke-Transformation auf den rotorseitigen Wicklungssatz
Die Transformation von (4.7) liefert:
T C
(
⃗Ψ1
)
= Ψ s 1 = T C L 1
⃗i 1 +T C L 12
⃗i 2
= T C L 1 T C −1 i s 1 +T C L 12 T C −1 i r 2 (4.47)
Mit den Bezeichungen L s 1 = T C L 1 T C −1 und L s 12 = T C L 12 T C −1 ergibt sich für den Raumzeiger
der Statorflussverkettung
Ψ s 1 = L s 1i s 1 +L s 12i r 2 (4.48)
bzw. in ausgeschriebener Form nach Ausführen der Matrixmultiplikationen:
⎡ ⎤ ⎡
⎤⎡
⎤
Ψ α
3
⎢Ψ β ⎥
⎣ ⎦ = 2 L i
h1 +L σ1 0 0 α
⎢ 3
⎣ 0
2 L h1 +L σ1 0
⎥⎢i β ⎥
⎦⎣
⎦
Ψ 01 0 0 L σ1 i 01
⎡ ⎤⎡
⎤
cosθ −sinθ 0 i d
+ 3 n 2
L h1 ⎢sinθ cosθ 0⎥⎢i q ⎥
2n 1 ⎣ ⎦⎣
⎦
0 0 0 i 02
(4.49)
Aus (4.49) geht hervor, dass zum einen die transformierte Matrix L s 1 diagonal ist und zum
anderen, dass die dritte Komponente des Statorflussraumzeigers durch lediglich die Gleicht-
– 53 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
aktkomponenten der im stator- und rotorseitigen Wicklungssatz fließenden Ströme bestimmt
wird. Aus der Annahme, dass beide Wicklungssätze isolierte Sternpunkte besitzen, werden die
Raumzeiger i s 1, i r 2 und folglich Ψ s 1 vollständig durch ihre ersten zwei Komponenten beschrieben.
Durch Einsetzen von (4.49) in die Statorspannungsgleichung (4.45) kann ebenfalls geschlossen
werden, dass einzig die Komponenten u α und u β ungleich Null sind.
Auf ähnliche Weise lässt sich zeigen, dass der Raumzeiger der Rotorflussverkettung die folgende
Beziehung erfüllt:
Ψ r 2 = L r 2i r 2 +L r 21i s 1 (4.50)
wobei L r 2 = T C L 2 T C −1 und L r 21 = T C L 21 T C −1 .
In ausgeschriebener Form ergibt sich:
⎡ ⎤ ⎡
⎤⎡
⎤
Ψ d
3
⎢Ψ q ⎥
⎣ ⎦ = 2 L i
h2 +L σ2 0 0 d
⎢ 3
⎣ 0
2 L h2 +L σ2 0
⎥⎢i q ⎥
⎦⎣
⎦
Ψ 02 0 0 L σ2 i 02
⎡ ⎤⎡
⎤
cosθ sinθ 0 i α
+ 3 n 2
L h1 ⎢−sinθ cosθ 0⎥⎢i β ⎥
2n 1 ⎣ ⎦⎣
⎦
0 0 0 i 01
(4.51)
Hierbei besitzt die dritte Komponente aller auf den rotorseitigen Wicklungssatz bezogenen
Raumzeiger auch keine Relevanz, sodass im weiteren Verlauf sämtliche Zusammenhänge zwischen
Raumzeigern in dem von den Basisvektoren ⃗e α und ⃗e β (bzw. ⃗e d und ⃗e q ) aufgespalteten
Unterraum untersucht werden, d. h. die dritte Komponente wird nicht weiter betrachtet.
Mithilfe der Clarke-Transformation können demnach die linearen Kombinationen
i A +i B +i C = 0
i U +i V +i W = 0,
diezwischendendreiStrangströmenderjeweiligenWicklungssätzebestehen,wennderenSternpunkt
potentialfrei ist, zur Reduzierung der Modellordnung ausgenutzt werden.
Zusammenfassend ist das vereinfachte Gleichungssystem in ausgeschriebener Form wiedergegeben:
[ ] [
uα iα
= R
u 1
]+ d [ ]
Ψα
(4.52a)
β i β dt Ψ β
[ ] ( )[ ][
Ψα 3 1 0
=
Ψ β 2 L iα
h1 +L σ1
]+ 3 [ ][ ]
n 2 cosθ −sinθ id
L
0 1 i h1 (4.52b)
β 2n 1 sinθ cosθ i q
– 54 –

4.2.4. Raumzeigerdarstellung
[ ] [
ud id
= R
u 1
]+ d
q i q dt
[ ]
Ψd
=
Ψ q
[ ]
Ψd
Ψ q
( 3
2 L h2 +L σ2
)[ 1 0
0 1
][
id
n 2
]+ 3 [ cosθ sinθ
L
i h1
q 2n 1 −sinθ cosθ
][
iα
i β
]
(4.53a)
(4.53b)
Unter Verwendung der Definitionen
L 1 = 3 2 L h1 +L σ1
ergibt sich in kompakter Darstellung:
L 2 = 3 2 L h2 +L σ2
L m = 3 n 2
L h1
2n 1
[ ] cosθ −sinθ
T(θ) =
sinθ cosθ
u s 1 = R 1 i s 1 + dΨs 1
dt
Ψ s 1 = L 1 i s 1 +L m T(θ)i r 2
u r 2 = R 2 i r 2 + dΨr 2
dt
(4.54)
Ψ r 2 = L 2 i r 2 +L m T(−θ)i s 1
Das Gleichungssystem vierter Ordnung (4.54) mit Raumzeigern ist äquivalent zu den ursprünglichen
Gleichungen (4.3), (4.4), (4.7) und (4.8) mit Stranggrößen.
Rotierende Koordinatensysteme
Aus der Betrachtung der obigen Flussverkettungsgleichungen ist ersichtlich, dass die Drehmatrix
T die Winkelabhängigkeit der Koppelinduktivität zwischen stator- und rotorseitigem
Wicklungssatz ausdrückt.
Um die Zusammenhänge zu vertiefen und die Möglichkeit einer weiteren Vereinfachung des
Modell zu erörtern, wird die nachstehende Transformation definiert:
T Pϕ : R
[ 2 ]
−→ R 2
x k xk
= ↦−→ T
x Pϕ (x k ) = x s =
l
[
xα
x β
]
[ ]
xk
= T(ϕ) =
x l
[ ][ ] cosϕ −sinϕ xk
sinϕ cosϕ x l
(4.55)
T Pϕ definiert, ausgehend von der Basis (⃗e α , ⃗e β ), eine neue, um den Winkel ϕ gedrehte Ba-
– 55 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
Abbildung 4.6: Definition eines neuen, um den Winkel ϕ gedrehten Koordinatensystems
anhand der Transformation T Pϕ
sis (⃗e k , ⃗e l ) (vgl. Abb 4.6). Folglich ermöglicht diese Transformation, Raumzeiger nicht nur im
stator- bzw. rotorfesten Koordinatensystem zu beschreiben, sondern auch in einem beliebigen,
um die Maschinenachse rotierenden (k, l)-Koordinatensystem. Liegt der Ausdruck eines
Raumzeigers x k in diesem Koordinatensystem vor, entspricht T P (x k ) = T(ϕ)x k seiner Darstellung
im statorfesten Koordinatensystem (α, β). T Pϕ wird in der Antriebstechnik als Park-
Transformation bezeichnet.
Die Rotationsmatrix T ist regulär mit
sodass die Rücktransformation T Pϕ −1 existiert.
T(ϕ) −1 = T(ϕ) T = T(−ϕ), (4.56)
Sie ermöglicht, einen im (α, β)-Koordinatensystem angegebenen Raumzeiger in (k, l)-
Koordinaten zu überführen. Für den Sonderfall ϕ = θ entspricht T Pθ eine Transformation vom
rotorfesten ins statorfeste Koordinatensystem. Für ϕ = −θ ergibt sich hingegen eine Transformation
vom stator- ins rotorfeste Koordinatensystem. Aufgrund der besonderen Bedeutung
dieser beiden Transformationen wird für die zugehörigen Drehmatrizen im weiteren Verlauf die
Schreibweise T rs = T(θ) bzw. T sr = T(−θ) verwendet.
Somit ist ersichtlich, dass der Term T(θ)i r 2 im Gleichungssystem (4.54) dem Ausdruck des
Rotorstromraumzeigers im statorfesten Koordinatensystem, i s 2, entspricht. Der Term T(−θ)i s 2
stellt dagegen den Statorstromraumzeiger in Rotorkoordinaten, i r 1, dar.
Folglich lässt sich die Winkelabhängigkeit der Koppelinduktivität im System (4.54) entfernen
und die Gleichungen daher weiter vereinfachen:
u s 1 = R 1 i s 1 + dΨs 1
dt
Ψ s 1 = L 1 i s 1 +L m i s 2
u r 2 = R 2 i r 2 + dΨr 2
dt
Ψ r 2 = L 2 i r 2 +L m i r 1
(4.57a)
(4.57b)
(4.57c)
(4.57d)
– 56 –

4.2.5. Umrechnung rotorbezogener Größen auf die Statorseite
Ist ein Raumzeiger in einem umlaufenden Koordinatensystem angegeben, ist bei der Berechnung
dessen zeitlicher Ableitung die Produktregel zu beachten (vgl. Ψ r 2 in (4.57c)). Für den
allgemeinen Fall eines Raumzeigers x k in einem beliebigen Koordinatensystem (k, l) gilt demnach:
mit
dx k (t)
dt
= d[T(ϕ(t))−1 x s (t)]
dt
= d[T(−ϕ(t))xs (t)]
dt
= dT(−ϕ(t)) x s (t)+T(−ϕ(t)) dxs (t)
dt
dt
= ∂T(−ϕ) dϕ
∂ϕ dt xs (t)+T(−ϕ(t)) dxs (t)
dt
[ ] [ ] −sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ dx
= ˙ϕ x s s (t)
(t)+
−cosϕ −sinϕ −sinϕ cosϕ dt
[ ][ ] [ ] cosϕ sinϕ 0 −1 cosϕ sinϕ dx
= − ˙ϕ
x s s (t)
(t)+
−sinϕ cosϕ 1 0 −sinϕ cosϕ dt
= − ˙ϕT(−ϕ)Jx s (t)+T(−ϕ) dxs (t)
dt
( π
J = T =
2)
[ ] 0 −1
1 0
(4.58)
(4.59)
Wird (4.57c) mithilfe der Transformation T Pθ (und daher durch Anwendung der Matrix T rs =
T(θ)) in das Statorkoordinatensystem überführt, ergibt sich:
u s 2 = T rs u r 2 = R 2 T rs i r 2 +T rs
dΨ r 2
dt
= R 2 i s dT sr Ψ s 2
2 +T rs
dt
(
= R 2 i s 2 +T rs −ωT sr JΨ s dΨ s )
2
2 +T sr
dt
mit ω = ˙θ
= R 2 i s 2 + dΨs 2
dt
−ωJΨ s 2 (4.60)
(4.60) stellt die Rotorspannungsgleichung im statorfesten Koordinatensystem dar.
4.2.5 Umrechnung rotorbezogener Größen auf die Statorseite
Der Gleichungssatz (4.57) involviert u. a. die Parameter des rotorseitigen Wicklungssatzes R 2
und L 2 , sowie die Koppelinduktivität L m . Diese Größen sind jedoch in der Praxis nicht immer
bestimmbar, beispielsweise, wenn die Klemmen des rotorseitigen Wicklungssatzes nicht
zugänglich sind, wie im Falle von Asynchronmaschinen mit Kurzschlussläufern.
– 57 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
UmeinbrauchbaresModellzuerhalten,istausdiesemGrundeineUmformungvon(4.57)nötig.
Hierzu werden die Induktivitäten L 1 und L 2 wiederum in Haupt- und Streuanteil aufgespaltet
und anschließend Ersatzgrößen eingeführt. Für die Rotorflussverkettungsgleichung 4.57d gilt:
Ψ r 2 = L 2 i r 2 +L m i r 1
( ) 3
=
2 L h2 +L σ2
i r 2 + 3 n 2
L h1 i r 1
2n 1
Unter Berücksichtigung der Beziehung L h2 = n2 2
L h1 folgt:
Werden die Größen
( 3
Ψ r 2 =
2
n 2 2
n 2 1
n 2 1
L h1 +L σ2
)
i r 2 + 3 n 2
L h1 i r 1
2n 1
⇔ n ( )
1 3
Ψ r 2 =
n 2 2 L h1 + n2 1 n2
L
n 2 σ2 i r 2 + 3
2 n 1 2 L h1i r 1
Ψ r r = n 1
Ψ r 2 L σr = n2 1
n 2
L
n 2 σ2
2
M = 3 2 L h1
definiert, ergibt sich folgende Gleichung:
i r r = n 2
n 1
i r 2 i r s = i r 1 L r = M +L σr
Ψ r r = (M +L σr )i r r +Mi r s = L r i r r +Mi r s = M (i r r +i r s)+L σr i r r (4.61)
Der mit dem Verhältnis der Windungszahlen skalierte Raumzeiger der Rotorflussverkettung Ψ r r
besteht somit aus dem Hauptflussanteil Ψ r h = M(i r r+i r s) und dem Streuflussanteil Ψ r σr = L σr i r r.
Wird Ψ r r in die Rotorspannungsgleichung (4.57c) eingesetzt, folgt:
Anhand der Definitionen
lässt sich (4.57c) wie folgt umschreiben:
u r 2 = R 2 i r 2 + n 2dΨ r r
n 1 dt
⇔ n 1
u r 2 = n2 1
R 2 i r r + dΨr r
n 2 dt
n 2 2
R
n 2 2
2
u r r = n 1
u r 2 und R r = n2 1
n 2
u r r = R r i r r + dΨr r
dt
(4.62)
– 58 –

4.2.6. Mechanische Zusammenhänge
Ferner gilt für die statorseitige Flussverkettung in Statorkoordinaten:
mit
Ψ s s = L s i s s +Mi s r = M (i s s +i s r)+L σs i s s (4.63)
Ψ s s = Ψ s 1 R s = R 1 L s = M +L σs
Wiederum sind ein Hauptflussanteil, Ψ s h = M(i s r +i s s), sowie ein Streuflussanteil, Ψ s σs = L σs i s s,
zu erkennen.
Schließlich werden die elektromagnetischen Zusammenhänge im allgemeinen Grundwellenmodell
der Drehfeldmaschine mithilfe der neuen Größen durch den nachstehenden Gleichungssatz
beschrieben:
Statorspannung:
u s s = R s i s s + dΨs s
dt
(4.64a)
Statorflussverkettung: Ψ s s = L s i s s +Mi s r = M (i s s +i s r)+L σs i s s (4.64b)
Rotorspannung:
u r r = R r i r r + dΨr r
dt
(4.64c)
Rotorflussverkettung: Ψ r r = L r i r r +Mi r s = M (i r s +i r r)+L σr i r r (4.64d)
Hierbei ist festzuhalten, dass die Größen L s , L r , R r und M, im Gegensatz zu R s , nicht den
Wert der entsprechenden Stranggrößen annehmen. Somit stellt beispielsweise R r nicht den
tatsächlichen Widerstand eines rotorseitigen Strangs dar. Alle Parameterwerte können jedoch
experimentell auf einfache Weise bestimmt werden, z. B. durch einen Leerlaufversuch und einen
Kurzschlussversuch im Falle einer Asynchronmaschine (vgl. [3, S. 527]).
Im weiteren Verlauf und insbesondere bei der Herleitung des Signalflussplans der verallgemeinerten
Drehfeldmaschine wird ausschließlich der Gleichungssatz (4.64) zur Beschreibung der
elektromagnetischen Zusammenhänge herangezogen.
4.2.6 Mechanische Zusammenhänge
Die vorigen Überlegungen bezogen sich ausschließlich auf die Beschreibung des elektromagnetischenVerhaltensderDrehfeldmaschine.DerelektromagnetischeEnergiewandlungsprozessführt
jedoch ebenfalls zur Entstehung eines Drehmoments M M , welches sich auf den Rotor auswirkt.
Der Ausdruck dieses Drehmoments lässt sich aus einer Leistungsbilanz gewinnen und lautet:
wobei p die Polpaarzahl der Maschine darstellt.
M M = 3 2 p(is s) T JΨ s s = 3 2 p(Ψ αi β −Ψ β i α ), (4.65)
Über eine Momentenbilanz kann der Zusammenhang zwischen der mechanischen Winkelgeschwindigkeit
des Rotors ω m , dem elektromagnetischen Drehmoment M M sowie dem Lastmo-
– 59 –

4.2. Allgemeines Grundwellenmodell
von Drehfeldmaschinen
ment M L abgeleitet werden:
Θ M
dω m
dt
= M M −M L (4.66)
Hierbei stellt Θ M das Trägheitsmoment des Rotors dar. Bei Maschinen mit Polpaarzahl p > 1
ist zudem die Beziehung
θ = p·θ m
zwischen dem mechanischen Rotorwinkel θ m und dem elektrischen Winkel θ zu beachten. Letzterer
ist bei Koordinatentransformationen zwischen Stator und Rotor zu benutzen.
4.2.7 Signalflussplan des allgemeinen Grundwellenmodells
Zur Simulation des elektromechanischen Verhaltens von Drehfeldmaschinen wird im Folgenden,
ausgehend von den zuvor hergeleiteten Gleichungen, ein Signalflussplan des allgemeinen
Grundwellenmodells aufgestellt. Die hierbei zu verwendenden Modellgleichungen sind an dieser
Stelle zusammengefasst:
Statorspannung:
Statorflussverkettung:
Rotorspannung:
Rotorflussverkettung:
u s s = R s i s s + dΨs s
dt
Ψ s s = L s i s s +Mi s r = M (i s s +i s r)+L σs i s s
u r r = R r i r r + dΨr r
dt
Ψ r r = L r i r r +Mi r s = M (i r s +i r r)+L σr i r r
Elektromagnetisches Moment: M M = 3 2 p(is s) T JΨ s s = 3 2 p(Ψ sαi sβ −Ψ sβ i sα )
Mechanische Gleichung:
Θ M
dω m
dt
= M M −M L
Die Eingänge des abzuleitenden Signalflussplans sind die von außen festgelegten Spannungsraumzeigeru
s s undu r r sowiedasLastmomentM L .DessenAusgängenbildendieStromraumzeiger
i s s und i r r, die Flussverkettungsraumzeiger Ψ s s und Ψ r r sowie das Motormoment M M und die mechanische
Winkelgeschwindigkeit des Rotors ω m . Der Signalflussplan darf keine Differenzierer
enthalten.
1.) *ZeichnenSiedenTeilsignalflussplanmitu s s undi s s alsEingängensowiedemstatorseitigen
Flussverkettungsraumzeiger Ψ s s als Ausgang.
Stellen Sie den entsprechenden Teilsignalflussplan für die Rotorseite mit u r r und i r r als
Eingangsgrößen und Ψ r r als Ausgang auf.
2.) * Zeichnen Sie den Teilsignalflussplan zur Bildung des Raumzeigers Ψ s h aus dem Statorstromraumzeiger
in Statorkoordinaten i s s und dem Rotorstromraumzeiger in Rotorkoordinaten
i r r.
Erweitern Sie diesen anschließend um einen Zweig zur Berechnung von i s s mithilfe der
Raumzeiger Ψ s s und Ψ s h.
– 60 –

Führen Sie einen zweiten Zweig ein, um i r r ausgehend von Ψ r r und Ψ r h zu berechnen. Verwenden
Sie hierbei folgende Blöcke zur Darstellung der Koordinatentransformationen:
3.) * Stellen Sie die Bildung des Drehmoments M M aus den Komponenten des Statorflussraumzeigers,
Ψ α und Ψ β , sowie die des Statorstromraumzeigers, i α und i β , graphisch dar.
4.) * Zeichnen Sie den Teilsignalflussplan des mechanischen Subsystems mit M M und M L als
Eingängen sowie ω m , θ m und θ als Ausgängen.
5.) * Ausgehend von den zuvor erstellten Teildiagrammen, stellen Sie den Gesamtsignalflussplan
des Grundwellenmodells (Eingänge: u s s, u r r, M L ; Ausgänge: ω m , M M , i s s, i r r, Ψ s s, Ψ r r)
auf.
Bedingt durch die zur Berechnung der Ströme und Flussverkettungen angewendete Methode
enthält der Signalflussplan eine sog. algebraische Schleife. Wird er in Simulink auf diese Weise
implementiert, muss für jeden Simulationsschritt ein iteratives Verfahren eingesetzt werden, um
die sich zum darauffolgenden Zeitpunkt ergebenden Zustandswerte zu berechnen. Dies erhöht
die Simulationszeit deutlich.
6.) * Die Behebung dieses Problems erfordert eine Umformung des Signalflussplans. Drücken
Sie hierzu die Raumzeiger i s s, i s r und anschließend Ψ s h in Abhängigkeit von Ψ s s und Ψ s r auf.
Diese Vorgehensweise ermöglicht, ausgehend von den Flussverkettungen, die Ströme zu
berechnen.
7.) * Zeichnen Sie den resultierenden Gesamtsignalflussplan.
4.3 Modell der Asynchronmaschine mit Käfigläufer
In diesem Abschnitt soll das erarbeitete allgemeine Grundwellenmodell von Drehfeldmaschinen
zur Untersuchung des Verhaltens eines Asynchronmotors mit Käfigläufer eingesetzt werden.
Die Daten des betrachteten Motors sind in Tabelle 4.1 angegeben. Hierbei wurden die nötigen
Modellparameter experimentell ermittelt.
Es wird davon ausgegangen, dass der Motor von einer idealen, dreiphasigen Spannungsquelle
gespeist ist, welche die folgenden Strangspannungen liefert:
u A = Û cos(ωt)
u B = Û cos(ωt−2π/3)
u C = Û cos(ωt−4π/3)
– 61 –

4.3. Modell der Asynchronmaschine mit Käfigläufer
Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleistung P N = 2,2 [kW]
Nenndrehzahl N N = 2840 [min −1 ]
Nennspannung (Sternschaltung, verkettet) U NY = 400 [V]
Nennstrom (Sternschaltung) I NY = 4,61 [A]
Nennfrequenz f N = 50 [Hz]
Wirkfaktor cosϕ = 0,85 [1]
Rotorträgheitsmoment Θ M = 0,005 [kgm 2 ]
Statorwiderstand R s = 2,8 [Ω]
Rotorwiderstand (auf Statorseite umgerechnet) R r = 2,1 [Ω]
Statorinduktivität L s = 328 [mH]
Rotorinduktivität (auf Statorseite umgerechnet) L r = 328 [mH]
Koppelinduktivität M = 317 [mH]
Tabelle 4.1: Parameter des betrachteten Asynchronmotors
Die Spannungsamplitude Û sowie die Kreisfrequenz ω sind frei einstellbar.
8.) * Welche Beziehung erfüllt der Rotorspannungsraumzeiger u r r im Falle einer Asynchronmaschine
mit Käfigläufer?
9.) * Welche Polpaarzahl p ergibt sich aus den Angaben in Tabelle 4.1 für den untersuchten
Motor? Berechnen Sie das Motornennmoment M N sowie den Nennschlupf s N .
10.) * Welchen Betrag besitzt der Raumzeiger u s s, wenn die untersuchte Maschine in Stern
verschaltet ist und unter Nennspannung arbeitet?
11.) Öffnen Sie die Datei Untersuchung ASM.mdl im Verzeichnis Versuch4 in Simulink und
modellieren Sie die Spannungsquelle in einem Subsystem.
12.) Implementieren Sie die Clarke-Transformation und deren Inverse zur Berechnung der
Komponenten x α und x β eines Raumzeigers ausgehend von den drei entsprechenden
Stranggrößen x A , x B und x C und umgekehrt. Erstellen Sie hierbei jeweils ein Subsystem.
13.) Implementieren Sie die Park-Transformation und deren Inverse in zwei verschiedenen
Subsystemen,umRaumzeigerinunterschiedlichenrotierendenKoordinatensystemenausdrücken
zu können.
14.) Stellen Sie den Effektivwert der verketteten Ausgangsspannungen der Spannungsquelle
auf 400[V] und deren Frequenz auf 50[Hz] ein. Sehen Sie sich die zeitlichen Verläufe
beider Komponenten des resultierenden Spannungsraumzeigers an und begründen Sie
diese.
15.) Importieren Sie eine Kopie des Blocks Allgemeine Drehfeldmaschine aus der gleichnamigen
Datei und vergleichen Sie dessen Inhalt mit Ihrem Signalflussplan aus Aufgabe 7.).
Simulieren Sie den Hochlauf des betrachteten Asynchronmotors ohne Last, wenn dieser
– 62 –

an das starre dreiphasige Netz (400[V], 50[Hz]) angeschlossen wird. Vor Beginn der Simulation
sollten die Modellparameter durch Doppelklicken auf den Block Initialize
übernommen werden.
Bewerten Sie die resultierenden Verläufe der Stator- und Rotorströme sowie des Drehmoments
und der Drehzahl und analysieren Sie die zugehörige Drehzahl-Drehmoment-
Kennlinie.
Der Motor ist nun über eine starre Verbindung an einer Lastmaschine gekoppelt. Das resultierende
Trägheitsmoment Θ M beträgt 0,02[kgm 2 ].
16.) Begründen Sie etwaige Änderungen der Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie im Vergleich
zum vorigen Fall.
17.) Simulieren Sie das Verhalten der Maschine, wenn diese mit folgendem Lastmoment beaufschlagt
wird:
wobei
M L (t) = M N (σ(t−t M )−σ(t−2t M )), t M = 1[s]
σ(t) =
{ 0 für t ≤ 0[s]
1 für t > 0[s]
Bestimmen Sie graphisch den Wert der Nenndrehzahl sowie den des sich ergebenden
Wirkfaktors cosϕ bei Nennlast. Stimmen diese mit den Angaben in Tabelle 4.1 überein?
Woran könnten etwaige Abweichungen liegen?
18.) Ermitteln Sie den Wert des Kippmoments M K im Motorbetrieb und den zugehörigen
Kippschlupf s K . Schließen Sie auf das Überlastverhältnis der Maschine M K /M N .
4.4 Modell der permanentmagneterregten
Synchronmaschine
Das Verhalten von Synchronmaschinen mit oberflächenmontierten Permanentmagneten kann
ebenfalls anhand des erarbeiteten Grundwellenmodells beschrieben werden. In diesem Fall ist
jedochzubeachten,dasskeineWicklungenaufdemRotorangebrachtsind,sondernPermanentmagnete,
welche idealerweise eine sinusförmig verteilte radiale Feldkomponente im Luftspalt
hervorrufen. Ferner ist das durch die Magnete aufgebaute Feld im rotorfesten Koordinatensystem
zeitlich invariant.
AusdiesenGründenwirdeinentsprechenderFlussverkettungsraumzeigerΨ PM eingeführt.Ψ PM
ist in Rotorkoordinaten konstant. Der Gleichungssatz (4.64) reduziert sich auf die statorseitigen
Beziehungen, welche folgende Gestalt annehmen:
Statorspannung:
u s s = R s i s s + dΨs s
dt
(4.67a)
Statorflussverkettung: Ψ s s = L s i s s +Ψ s PM (4.67b)
Die Parameter des in diesem Abschnitt betrachteten Motors sind in Tabelle 4.2 wiedergegeben.
– 63 –

4.4. Modell der permanentmagneterregten
Synchronmaschine
Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleistung P N = 4,4 [kW]
Nenndrehzahl N N = 2000 [min −1 ]
Nennspannung (Sternschaltung, verkettet) U NY = 400 [V]
Nennstrom (Sternschaltung) I NY = 9,9 [A]
Nennfrequenz f N = 100 [Hz]
Polpaarzahl p = 3 [1]
Rotorträgheitsmoment Θ M = 2,3×10 −3 [kgm 2 ]
Statorwiderstand R s = 1,2 [Ω]
Statorinduktivität L s = 12 [mH]
Permanentmagnetfluss Ψ PM = 0,6 [Vs]
Tabelle 4.2: Parameter des untersuchten Synchronmotors
19.) *DrückenSiedenStatorstromraumzeigeri s s inAbhängigkeitvonΨ s s undΨ s PM aus.Stellen
Sie anschließend den Signalflussplan der Synchronmaschine mit oberflächenmontierten
Magneten auf (Eingänge: u s s, M L ; Ausgänge: ω m , M M , i s s, Ψ s s).
20.) Öffnen Sie die Datei Untersuchung PMSM.mdl in Simulink. Kopieren Sie alle Elemente
des zuvor verwendeten allgemeinen Grundwellenmodells in den Block PMSM. Nehmen Sie
die nötigen Anpassungen vor, um den Signalflussplan der Synchronmaschine zu erhalten.
Fügen Sie zudem eine Instanz der idealen Spannungsquelle ein und verbinden Sie diese
mit dem Motormodell.
Simulieren Sie das Verhalten der Synchronmaschine mit den Parametern aus Tabelle
4.2 und ohne Lastmoment, wenn diese an das starre dreiphasige Netz (400[V], 50[Hz])
angeschlossen wird. Begründen Sie den sich ergebenden Drehzahlverlauf.
21.) Modifizieren Sie die Spannungsquelle, um einen Hochlauf der Maschine auf halbe Nenndrehzahl
zu ermöglichen. Erhöhen Sie hierzu die Frequenz anfänglich linear mit der Zeit
bis diese die halbe Nennfrequenz erreicht. Ist es ratsam, eine der Frequenz proportionale
Versorgungsspannung einzuprägen? Achten Sie darauf, dass der Nennstrom I NY nicht
überschritten wird.
22.) Verwenden Sie folgenden Lastmomentverlauf, um das Verhalten des Motors unter Last
zu untersuchen:
M L (t) = M N σ(t−t M ), t M = 3[s]
WelcheAuswirkunghatdasLastmomentaufdieMaschinendrehzahl?Wieerfolgtderelektromechanische
Energiewandlungsprozess in diesem Fall? Begründen Sie Ihre Antworten
mit Aufnahmen von zeitlichen Verläufen der relevanten Größen.
– 64 –

Versuch 5
Feldorientierte Regelung von
Drehfeldantrieben
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Teilaufgaben sind in der schriftlichen
Versuchsvorbereitung zu lösen!
5.1 Übersicht
Im Vergleich zu Gleichstrommotoren mit störungsanfälligen Kommutatoren zeichnen sich
Synchron-undAsynchronmaschinendurchderenrobustenAufbauausundeignensichdemnach
besonders zur Realisierung wartungsarmer Antriebssysteme.
Eine unabhängige Steuerung von magnetischem Fluss und Drehmoment, wie diese bei Gleichstrommotoren
bekannt ist, lässt sich jedoch mit Drehfeldmaschinen nicht ohne spezielle Maßnahmen
erreichen. Somit ist die Drehmoment- und Drehzahlregelung in Kaskadenstruktur, wie
sie im zweiten Versuch für den Gleichstromantrieb implementiert wurde, zur Regelung von
Drehfeldantrieben nicht direkt einsetzbar.
In Folgenden wird ein als feldorientierte Regelung bekanntes Regelverfahren für Drehfeldmaschinen
betrachtet und dessen Funktionsweise sowie dynamische Eigenschaften untersucht. Es
ermöglicht, mithilfe geeigneter Koordinatentransformationen, sowohl das Drehmoment als auch
den Betrag des Flusses mit linearen Reglern vom Typ PID (Proportional-Integral-Differential)
unabhängig voneinander einzustellen. Unter diesen Umständen können der Fluss und die DrehzahljeweilsdurcheineKaskadenstrukturmituntergeordnetemStromregelkreisgeregeltwerden.
Hierbei können die verschiedenen Regler wiederum nach dem Betragsoptimum (BO) bzw. dem
Symmetrischen Optimum (SO) ausgelegt werden.
Im Rahmen des Versuchs wird die feldorientierte Regelung einer umrichtergespeisten Asynchronmaschine
implementiert und simuliert. Zu diesem Zweck werden die in den vergangenen
Versuchen bereits erstellten Modelle des Asynchronmotors mit Käfigläufer sowie der zur Erfassung
der Statorströme und der Rotordrehzahl nötigen Sensorik verwendet.
– 65 –

5.2. Grundlegende Betrachtungen
5.2 Grundlegende Betrachtungen
5.2.1 Definition des rotorflussorientierten Koordinatensystems
Die in vorigen Versuch eingeführte Park-Transformation, T Pϕ , ermöglicht, neben den bereits
verwendeten stator- und rotorfesten Koordinatensystemen, weitere rotierende Bezugssysteme
zu definieren.
ImBesonderenkann,ausgehendvonderBasis(⃗e α , ⃗e β )desStatorkoordinatensystems,eineneue,
um den Winkel ϕ K gedrehte Basis (⃗e k , ⃗e l ) konstruiert werden, in welcher der Raumzeiger der
rotorseitigen Flussverkettung sich wie folgt angeben lässt:
Ψ r = ‖Ψ r ‖⃗e k =
[ ]
Ψrk
=
Ψ rl
[ ‖Ψr ‖
0
Demnach entspricht der Winkel ϕ K dem des Rotorflussraumzeigers im Statorkoordinatensystem,
Ψ s r (vgl. Abb 5.1). Aus diesem Grund wird das somit definierte (k, l)-Koordinatensystem
als rotorflussorientiert oder allgemeiner als feldorientiert bezeichnet. Im weiteren Verlauf wird
zudem die Abkürzung K-Koordinatensystem benutzt und die in diesem Koordinatensystem
dargestellten Raumzeiger mit einem hochgestellten k versehen.
Die der Transformation T PϕK zugehörige Rotationsmatrix T(ϕ K ), welche einen im K-
Koordinatensystem ausgedrückten Raumzeiger in Statorkoordinaten überführt, lautet:
[ ] cosϕK −sinϕ
T(ϕ K ) =
K
(5.2)
sinϕ K cosϕ K
Im Folgenden werden die Bezeichnungen T ks = T(ϕ K ) und T sk = T(−ϕ K ) verwendet.
]
(5.1)
Abbildung 5.1: Definition des um den Rotorflusswinkel ϕ K gedrehten
(k, l)-Koordinatensystem anhand der Transformation T PϕK
5.2.2 Modell der Asynchronmaschine im K-Koordinatensystem
Mithilfe der Matrizen T ks und T sk können, unter Berücksichtigung der in Abschnitt 4.2.4
angegebenen Rechenvorschriften, die Statorspannungsgleichung (4.64a) und die Statorflussver-
– 66 –

5.2.2. Modell der Asynchronmaschine im K-Koordinatensystem
kettungsgleichung (4.64b) in das feldorientierte Koordinatensystem transformiert werden. Es
ergibt sich:
u k s = R s i k s + dΨk s
dt
Ψ k s = L s i k s +Mi k r
+ω K JΨ k s mit ω K = ϕ˙
K
(5.3a)
(5.3b)
Zur Überführung der im Rotorkoordinatensystem angegebenen Gleichungen (4.64c) sowie
(4.64d) müssen die Matrizen T rk = T(θ−ϕ K ) und T kr = T(ϕ K −θ) benutzt werden, wobei θ
dem elektrischen Rotorwinkel entspricht. Für die Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer
lautet das Ergebnis:
0 = R r i k r + dΨk r
dt
Ψ k r = L r i k r +Mi k s
+(ω K −ω)JΨ k r mit ω = ˙θ (5.4a)
(5.4b)
Gemäß Gleichung (4.65) gilt für das Motormoment:
M M = 3 2 p(is s) T JΨ s s = 3 2 p(is s) T T T skJT sk Ψ s s
= 3 2 p(T ski s s) T JT sk Ψ s s = 3 2 p(ik s) T JΨ k s (5.5)
Werden die Raumzeiger i k s und Ψ k s mittels der Flussverkettungsgleichungen (5.3b) und (5.4b)
in Abhängigkeit von i k r und Ψ k r ausgedrückt und die resultierenden Zusammenhänge in (5.5)
eingesetzt, ergibt sich:
M M = − 3 2 p(ik r) T JΨ k r = − 3 2 p(Ψ rki rl −Ψ rl i rk )
= − 3 2 pΨ rki rl = − 3 2 p‖Ψ r‖i rl (5.6)
Das Drehmoment wird durch den Betrag des Rotorflussraumzeigers und die Querkomponente
i rl des Rotorstromes bestimmt. Infolge der Bedingung (5.1), d. h. Ψ rl = 0 bzw. ˙Ψrl = 0, ergibt
sich aus (5.4b):
Ψ rl = 0 = L r i rl +Mi sl
⇐⇒ i rl = − M L r
i sl (5.7)
Ferner liefern Rotorspannungs- und Rotorflussverkettungsgleichung:
0 = R r i rk + dΨ rk
dt
= R r
(Ψ rk −Mi sk )+ dΨ rk
L r dt
⇐⇒ T r
dΨ rk
dt
+Ψ rk = Mi sk (5.8)
– 67 –

5.2. Grundlegende Betrachtungen
Hierbei bezeichnet T r = L r /R r die Rotorzeitkonstante. Die Überführung der obigen Gleichung
in den Laplace-Bereich ergibt:
Ψ rk (s) = M
1+T r s i sk(s) (5.9)
Gleichung (5.9) kann entnommen werden, dass sich der Betrag der Läuferflussverkettung, ‖Ψ r ‖,
über die erste Komponente des Statorstroms, i sk , mit der Zeitverzögerung T r einstellen lässt.
Aus diesem Grund wird i sk als flussbildende Komponente bezeichnet.
Schließlich folgt aus (5.6) und (5.7) für das Drehmoment:
M M = − 3 2 p‖Ψ r‖i rl = 3M
2L r
p‖Ψ r ‖i sl (5.10)
Unter der Annahme, dass der Rotorfluss, Ψ rk , auf konstantem Wert gehalten wird, kann das
Motormoment ohne Zeitverzögerung über die Querkomponente des Statorstroms, i sl , gesteuert
werden. i sl stellt folglich die drehmomentbildende Stromkomponente dar.
Im rotorflussorientierten Koordinatensystem ergibt sich somit für das Drehmoment der Asynchronmaschine
einen ähnlichen Zusammenhang wie bei der Gleichstrommaschine (vgl. Gleichung
(1.4c)). Um diese Eigenschaft ausnutzen zu können, ist allerdings die Kenntnis von
sowohl Betrag als auch Winkel des Rotorflussraumzeigers erforderlich.
Zusammenfassend sind die Modellgleichungen der Asynchronmaschine mit Käfigläufer im rotorflussfesten
Koordinatensystem wiedergegeben:
Statorspannung:
u k s = R s i k s + dΨk s
dt
+ω K JΨ k s (5.11a)
Statorflussverkettung: Ψ k s = L s i k s +Mi k r (5.11b)
Rotorspannung:
0 = R r i k r + dΨk r
dt
+(ω K −ω)JΨ k r
(5.11c)
Rotorflussverkettung: Ψ k r = L r i k r +Mi k s (5.11d)
Drehmoment:
M M = − 3 2 p(ik r) T JΨ k r = 3M
2L r
p‖Ψ r ‖i sl
(5.11e)
Mechanische Gleichung:
Θ M
dω m
dt
= M M −M L (5.11f)
5.2.3 Bestimmung des Rotorflussraumzeigers
In der Praxis kann die rotorseitige Flussverkettung nicht unmittelbar gemessen werden und
der Rotorflussraumzeiger muss demnach anhand anderer, zur Verfügung stehender Größen und
eines Modells nachgebildet werden. Üblicherweise kommen Statorströme, Rotordrehzahl oder
Statorspannungen als Hilfsgrößen in Frage, da diese entweder direkt gemessen werden oder
leicht bestimmbar sind.
Eine mögliche Vorgehensweise besteht darin, unter Verwendung der rotorseitigen Spannungs-
– 68 –

5.2.4. Prinzipdarstellung der feldorientierten Regelung
und Flussgleichungen im Statorkoordinatensystem den Rotorflussraumzeiger aus dem Statorstromraumzeiger
i s s und der elektrischen Rotorwinkelgeschwindigkeit ω zu berechnen. Es gilt:
0 = R r i s r + dΨs r
dt
−ωJΨ s r = R r
(Ψ s r −Mi s
L
s)+ dΨs r
r dt
−ωJΨ s r
⇐⇒ dΨs r
dt
= ωJΨ s r + 1 T r
(Mi s s −Ψ s r) (5.12)
Gleichung (5.12) ermöglicht eine praktische Berechnung des Rotorflussraumzeigers durch Integration
ausgehend von den Statorströmen sowie der Rotordrehzahl.
Hierbei ist allerdings die Kenntnis der Modellparameter R r , L r , und M erforderlich. Diese
können jedoch auf einfache Weise, z.B. durch einen Leerlauf- und einen Kurzschlussversuch
experimentell ermittelt werden.
5.2.4 Prinzipdarstellung der feldorientierten Regelung
Wie aus den obigen Überlegungen hervorgeht, ermöglicht die Rotorflussorientierung eine Zerlegung
des Statorstromraumzeigers im K-Koordinatensystem in einen flussbestimmenden Anteil
i sk und einen drehmomentbildenden Anteil i sl . i sk bzw. i sl können demnach als Stellgrößen für
eine Fluss- bzw. Drehmomentregelung verwendet werden.
Im betrachteten Fall erfolgen Fluss- und Drehmomentregelung innerhalb einer Kaskadenstruktur
mit untergeordneter Stromregelung im K-Koordinatensystem (vgl. Abb. 5.2).
Abbildung 5.2: Schematische Darstellung einer feldorientierten Drehzahlregelung mit
unterlagerter Stromregelung im Rotorflusskoordinatensystem
– 69 –

5.3. Beschreibung des betrachteten Antriebssystems
Die Regelung der Stromkomponenten im (k, l)-Koordinatensystem bietet den Vorteil an, dass
im stationären Zustand nur Gleichgrößen im Stromregelkreis auftreten, weswegen zwei lineare
Regler eingesetzt werden können. Die Stromregler geben folglich den Sollwert der Statorspannungskomponenten
u ∗ sk sowie u∗ sl vor.
Dieses Regelungskonzept erfordert die Kenntnis der momentanen Werte der Größen i sk , i sl
sowie Ψ rk , welche nicht unmittelbar gemessen werden können. Durch Anwendung der Clarke-
Transformation kann jedoch der Statorstromraumzeiger i s s anhand der gemessenen Phasenströme
bestimmt werden. Ein auf Gl. (5.12) basierender Flussschätzer ermöglicht ferner die
Ermittlung von Ψ rk und ϕ K . Die Park-Transformation liefert anschließend die Werte von i sk
und i sl .
Darüber hinaus geben die Stromregler Spannungssollwerte in feldorientierten Koordinaten
vor, aus denen die entsprechenden Phasensollwerte u ∗ A , u∗ B und u∗ C zur Ansteuerung
des leistungselektronischen Stellgliedes berechnet werden müssen. Dies geschieht durch
Rücktransformation in das Statorkoordinatensystem und anschließende Anwendung der inversen
Clarke-Transformation.
5.3 Beschreibung des betrachteten Antriebssystems
Gegenstand des Versuchs ist die Auslegung und Simulation einer feldorientierten Regelung für
einen Drehfeldantrieb. Dieser besteht aus einem Asynchronmotor mit Kurzschlussläufer, einem
Zweipunkt-UmrichteralsleistungselektronischemStellgliedsowiederzurErfassungderPhasenströme
und Rotordrehzahl benötigten Sensorik. Die Eigenschaften der einzelnen Komponenten
werden im Folgenden näher beschrieben.
5.3.1 Asynchronmotor
Die Typenschildangaben des eingesetzten Asynchronmotors, dessen Betrieb am symmetrischen
dreiphasigen Netz im vorangegangenen Versuch untersucht wurde, sind in Tabelle 5.1 zusammengefasst.
Zusätzlich wird das Rotorträgheitsmoment für die Drehzahlregelung benötigt und
kann mithilfe der im ersten Versuch vorgestellten Methode bestimmt werden. Der Motor ist
wiederum in Stern verschaltet.
Die zugehörigen, zur Implementierung und Simulation der feldorientierten Regelung erforderlichen
Modellparameter können durch einen Leerlauf- und einen Kurzschlussversuch ermittelt
werden. Sie sind in Tabelle 5.2 wiedergegeben. Für die Simulation wird das im vorigen Versuch
erarbeitete Motormodell herangezogen.
5.3.2 Zweipunkt-Umrichter
Der Asynchronmotor wird über einen sog. Zweipunkt-Spannungszwischenkreisumrichter gespeist
(siehe Abb. 5.3). Im Vergleich zu dem in Versuch 1 betrachteten Pulssteller (vgl. Abb.
– 70 –

5.3.2. Zweipunkt-Umrichter
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleistung P N = 2,2 [kW]
Nenndrehzahl N N = 2840 [min −1 ]
Nennmoment M N = 7,4 [Nm]
Nennspannung (Sternschaltung, verkettet) U NY = 400 [V]
Nennstrom (Sternschaltung) I NY = 4,61 [A]
Nennfrequenz f N = 50 [Hz]
Wirkfaktor cosϕ = 0,85 [1]
Rotorträgheitsmoment Θ M = 0,005 [kgm 2 ]
Größe
Tabelle 5.1: Kenndaten des betrachteten Asynchronmotors
Symbol und Wert (SI)
Statorwiderstand R s = 2,8 [Ω]
Rotorwiderstand (auf Statorseite umgerechnet) R r = 2,1 [Ω]
Statorinduktivität L s = 328 [mH]
Rotorinduktivität (auf Statorseite umgerechnet) L r = 328 [mH]
Koppelinduktivität M = 317 [mH]
Rotornennfluss
Ψ rN = 0,96 [Vs]
Tabelle 5.2: Modellparameter des Asynchronmotors
1.1), besitzt er eine weitere Halbbrücke. Die IGBT-Module S1 bis S6 werden wiederum als ideelle
Schalter angesehen und über die binären Steuersignale s 1 bis s 6 geöffnet oder geschlossen.
Abbildung 5.3: Prinzipschaltplan eines Zweipunkt-Umrichters
Zur Vermeidung von Kurzschlüssen der Zwischenkreisspannung U dc muss, wenn innerhalb einer
– 71 –

5.3. Beschreibung des betrachteten Antriebssystems
Halbbrücke ein Schalter geschlossen ist, der andere stets geöffnet sein. Die Steuersignale s 2 , s 4
und s 6 werden somit durch logische Negierung aus den Signalen s 1 , s 3 bzw. s 5 bestimmt.
Grundsätzlich können die verketteten Spannungen u AB und u BC lediglich die diskreten Werte
U dc , 0 sowie −U dc annehmen. Durch Pulsbreitenmodulation (PWM) lassen sich jedoch beliebige
Spannungsmittelwerte im Intervall [−U dc ; U dc ] nachbilden (vgl. Versuch 1).
In Anlehnung an den ersten Versuch wird wiederum einen Modulator zur Generierung der
Steuersignale aus den durch die Stromregler vorgegebenen Spannungssollwerten eingesetzt. Als
Referenzsignal (Trägersignal) wird erneut ein Dreiecksignal im Wertebereich [−1; 1] mit der
Periode T s verwendet. Im Gegensatz zu dem in Versuch 1 behandelten Pulssteller wird jede
Halbbrücke des Umrichters durch ein unabhängiges Sollwertsignal u ∗ A , u∗ B bzw. u∗ C angesteuert.
Ist der zeitliche Verlauf der Sollwertsignale u ∗ A , u∗ B bzw. u∗ C sinusförmig, wie dies für Drehfeldantriebe
im stationären Zustand zutrifft, wird das obige Steuerverfahren als Sinus-Dreieck-
Modulation bezeichnet (siehe [4], Kapitel 8).
Wie im Falle des Pulsstellers entspricht die maximale Zeitverzögerung bei der Umsetzung von
Sollwertänderungen der Trägerperiode T s . Bei der Reglerauslegung kann der Umrichter ebenfalls
als verstärkendes Verzögerungsglied erster Ordnung approximiert werden. Demnach wird
im weiteren Verlauf folgende Übertragungsfunktion zwischen Ist- und Sollwerten der Phasenspannungen
in feldorientierten Koordinaten benutzt:
G U (s) = u k,l(s)
u ∗ k,l (s) = U dc/2
1+T s s
(5.13)
Die Parameterwerte des betrachteten Umrichters finden sich in Tabelle 5.3.
Physikalische Größe Symbol und Wert (SI)
Zwischenkreisspannung U dc = 560 [V]
Trägerperiode T s = 250 [µs]
Tabelle 5.3: Parameter des verwendeten Umrichters
5.3.3 Sensorik
Die Phasenströme i A und i B werden gemessen. Die resultierenden Messignale i m A und im B
sind mit Rauschen behaftet, sie werden jedoch nicht gefiltert, sodass die Strommessung als
verzögerungsfrei angenommen werden kann.
DerRotorwinkelwirdmithileeinesInkrementalgebersbestimmtunddieWinkelgeschwindigkeit
ω m durch eine zeitliche Ableitung daraus berechnet. Folglich ist das Geschwindigkeitssignal ω m m
zu filtern. Hierzu wird ein PT 1 -Filter mit der Zeitkonstante T g,ωm = 2[ms] herangezogen. Bei
der Auslegung des Drehzahlreglers ist die dadurch verursachte Verzögerung zu berücksichtigen.
– 72 –

5.4 Implementierung der feldorientierten Regelung
5.4.1 Stromregelkreis
Wie im Falle des Gleichstromantriebs sind zunächst die beiden Regler im inneren Stromregelkreis
zu entwerfen, welche im K-Koordinatensystem implementiert werden. Folglich können
lineare Regler vom Typ PID eingesetzt und nach dem Betragsoptimum (BO) bzw. Symmetrischem
Optimum (SO) ausgelegt werden.
Für den Entwurf des Stromreglers sind folgende Anforderungen an das Verhalten des geschlossenen
Stromregelkreises zu beachten:
• Der Regelkreis muss stabil sein.
• Der Regler muss in der Lage sein, konstante Störungen stationär genau auszuregeln.
• Der Regelkreis muss ein gutes Führungsverhalten aufweisen.
1.) * Drücken Sie mithilfe des Gleichungssatzes (5.11) die zwei Komponenten des Statorspannungsraumzeigers,
u sk und u sl , in folgender Form aus:
u sk = R ′ i sk +L ′di sk
dt +a 1Ψ rk +b 1 i sl
(5.14a)
u sl = R ′ i sl +L ′di sl
dt +a 2Ψ rk +b 2 i sk
(5.14b)
Geben Sie den Ausdruck der Konstanten R ′ und L ′ sowie der Koeffizienten a 1 , a 2 , b 1 und
b 2 in Abhängigkeit der Maschinenparameter und der Winkelgeschwindigkeiten ω K und ω
an.
2.) * Führen Sie das Gleichungssystem (5.14) in den Laplace-Bereich über und zeichnen Sie
die zugehörigen Signalflusspläne mit i sk bzw. i sl als Ausgang.
Was stellen die Größen a 1 Ψ rk +b 1 i sl und a 2 Ψ rk +b 2 i sk für den Stromregelkreis dar? Durch
welche Maßnahme kann, unter der Voraussetzung einer exakten Kenntnis aller Maschinenparameter
und der Annahme ω K ≈ ω, deren Effekt effizient unterdrückt werden?
Im weiteren Verlauf wird davon ausgegangen, dass die Auswirkung der o. g. Größen auf geeignete
Weise vollständig kompensiert wurde.
3.) * Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion F i zwischen dem Strom i sk (bzw. i sl ) und dem
Spannungssollwert u ∗ sk (bzw. u∗ sl ), d. h. unter Berücksichtigung des Umrichters. Geben Sie
den Ausdruck der kleinen und der großen Zeitkonstante T σ,i bzw. T 1,i an.
4.) * Entwerfen Sie den Stromregler unter Beachtung der Anforderungen an den Stromregelkreis.
Nach welchem Kriterium, BO oder SO, ist der Regler zu optimieren? Begründen
Sie Ihre Antwort.
5.) Öffnen Sie die Datei ASM Reglerimplementierung.mdl im Verzeichnis Versuch5 in
Simulink.
Neben einem vereinfachten Modell des Drehfeldantriebs finden sich u. a. die zur
– 73 –

5.4. Implementierung der feldorientierten Regelung
Realisierung der feldorientierten Regelung benötigten Transformationsblöcke und der
Flussschätzer. Wozu dient der Block Entkopplung?
Fügen Sie die Stromregler ein und implementieren Sie die Regelung der Ströme i sk und i sl .
Ergänzen Sie die Datei Versuch5Parameter.m um die fehlenden Parameterwerte. Diese
werden durch Klicken auf den Block Initialize übernommen.
6.) Stellen Sie den Sollwert des flussbildenden Stroms auf 3[A] ein. Verwenden Sie für den
drehmomentbildenden Strom folgenden Sollwertverlauf:
i ∗ sl(t) = 4·(σ(t−t A )−σ(t−t B )) [A], t A = 0,6[s], t B = 0,8[s]
wobei
σ(t) =
{ 0 für t ≤ 0[s]
1 für t > 0[s]
Simulieren Sie das Maschinenverhalten ohne Belastung.
Bestimmen Sie An- und Ausregelzeit beider Stromantworten bei einem Toleranzband von
±2% sowie deren maximale Überschwingweite. Begründen Sie etwaige Abweichungen von
den Angaben der Optimierungstabelle 2.6.
7.) Was stellen Sie bei dem Flussverlauf fest und woran liegt dieses Verhalten?
8.) Welche Auswirkungen hat ein Ausfall der Entkopplung auf den Verlauf der Stromkomponenten
i sk und i sl ? Erklären Sie den Effekt, der in diesem Fall zustande kommt.
5.4.2 Fluss- und Drehzahlregelung
NachImplementierungderinnerenStromregelkreisekönnenderFluss-sowiederDrehzahlregler
in den äußeren Regelschleifen ausgelegt werden. Zur besseren Handhabung wird bei der Reglerauslegung
der zuvor optimierte Stromregelkreis als PT 1 -Glied approximiert (siehe Abschnitt
2.4).
Entwurf des Flussreglers
9.) * Approximieren Sie den geschlossenen Stromregelkreis durch eine Ersatz-
Übertragungsfunktion mit PT 1 -Verhalten und der Zeitkonstante T ers,i . Geben Sie
den Ausdruck von T ers,i in Abhängigkeit der im Stromregelkreis auftretenden Zeitkonstanten
an. Beachten Sie hierbei, dass keine Messglättung vorliegt.
10.) * Stellen Sie, unter Berücksichtigung der Approximation aus Aufgabe 9.), die genäherte
Übertragungsfunktion, F Ψr , zwischen der Komponente Ψ rk der Rotorflussverkettung und
dem Sollwert des flussbildenden Stroms i ∗ sk auf:
F Ψr (s) = Ψ rk(s)
i ∗ sk (s)
Bestimmen Sie die kleine sowie die große Zeitkonstante T σ,Ψr bzw. T 1,Ψr .
– 74 –

11.) * Entwerfen Sie einen Regler, welcher konstante Störungen stationär genau ausregelt und
ein gutes Führungsverhalten sicherstellt. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise.
12.) Implementieren Sie den Flussregelkreis. Verwenden Sie den Nennfluss Ψ rN als Sollwert
und simulieren Sie das sich ergebende Maschinenverhalten mit i sl = 0 sowie M L = 0.
Um mögliche Beschädigungen der Statorwicklungen zu vermeiden, darf der Statorstrom
das 1,5-fache dessen Nennwert nicht übersteigen. Überprüfen Sie, ob diese Bedingung
eingehalten ist. Führen Sie bei Bedarf einen Begrenzungsblock ein.
13.) Wie wirkt sich die Strombegrenzung auf den Flussverlauf aus? Implementieren Sie eine
Maßnahme zur Verbesserung der Regelgüte, ohne den Reglertyp und dessen Parameter
zu verändern.
Implementierung des Drehzahlregelkreises
Im Folgenden wird der Drehzahlregler ausgelegt. Zu diesem Zweck wird davon ausgegangen,
dass die Maschine im Grunddrehzahlbereich arbeitet, d. h. Ψ rk = Ψ rN .
14.) * Geben Sie die genäherte Übertragungsfunktion, F ωm , zwischen der gefilterten Winkelgeschwindigkeit
ˆω m und dem Sollwert des drehmomentbildenden Stromes i ∗ sl in folgender
Form an:
F ωm (s) = ˆω m(s)
i ∗ sl (s) = V S,ωm
T 1,ωm s(1+T σ,ωm s)
Bestimmen Sie die Verstärkung V S,ωm , sodass
T 1,ωm = Θ M2πf N
pM N
.
Drücken Sie T σ,ωm in Abhängigkeit von T ers,i und T g,ωm aus.
15.) * Entwerfen Sie einen Regler für den Drehzahlregelkreis. Nach welchem Kriterium ist
dieser auszulegen? Begründen Sie Ihre Antwort.
16.) Simulieren Sie die Antwort der Maschine auf den nachstehenden Verlauf der Solldrehzahl:
N ∗ (t) = 0,7·N N ·σ(t−t N ) [ Umin −1] , t N = 0,2[s]
Betrachten Sie die resultierenden Strom- und Drehzahlverläufe und bewerten Sie die Regelgüte.
17.) Nehmen Sie die nötigen Änderungen vor, um ein zufriedenstellendes Drehzahlverhalten
zu erreichen, ohne den Reglertyp und dessen Parameter zu modifizieren.
5.5 Verifikation
IndenobigenBetrachtungenwurdeeinvereinfachtesModelldesDrehfeldantriebsherangezogen
und sowohl das schaltende Verhalten des Umrichters als auch die Eigenschaften der Sensoren
– 75 –

5.5. Verifikation
vernachlässigt. An dieser Stelle wird ein genaueres Modell eingesetzt, um die Tauglichkeit der
entworfenen feldorientierten Regelung zu überprüfen.
18.) Ersetzen Sie zu diesem Zweck das Subsystem Drehfeldantrieb durch den Block
Drehfeldantrieb 2, welcher sich im gleichnamigen Modell befindet und simulieren Sie
das Verhalten des geregelten Antriebs. Welche Unterschiede stellen Sie im Vergleich zum
vorherigen Fall fest?
19.) Verwenden Sie zur Untersuchung des Störverhaltens folgendes Lastmoment:
M L (t) = M N ·σ(t−t ML ) [Nm], t ML = 0,5[s]
Bewerten Sie die resultierenden Verläufe des Motormoments sowie der Drehzahl.
20.) Simulieren Sie die Antwort des Systems auf die nachstehenden Verläufe des Drehzahlsollwerts
und des Lastmoments:
N ∗ (t) = 1,1·N N ·σ(t−t N ) [ Umin −1] , t N = 0,2[s]
M L (t) = 0,5·M N ·σ(t−t ML ) [Nm], t ML = 0,5[s]
Welches Problem tritt in diesem Fall in Erscheinung? Beheben Sie es auf geeignetem Weg.
21.) Welche Schwierigkeiten können bei der praktischen Umsetzung des in diesem Versuch
simulierten Verfahrens womöglich auftreten?
– 76 –

Versuch 6
Direkte Drehmomentregelung von
Drehfeldantrieben
Hinweis: Die mit * gekennzeichneten Teilaufgaben sind in der schriftlichen
Versuchsvorbereitung zu lösen!
6.1 Übersicht
Wie die Ergebnisse des vorangegangenen Versuchs belegen, lassen sich Drehfeldantriebe mittels
derFeldorientierung inähnlicherkaskadenförmigerWeisewieGleichstrommaschinenregeln.Zur
Durchführung der benötigten Koordinatentransformationen ist allerdings eine genaue Kenntnis
der Rotorflussraumzeigers und folglich der Maschinenparameter unabdingbar.
Letztere können jedoch eine ausgeprägte Abhängigkeit von den Betriebsbedingungen zeigen,
wie z. B. Stator- und Rotorwiderstand von der Temperatur. Stimmen die im Flussschätzer
verwendeten Parameterwerte mit den tatsächlichen nicht überein, entsteht ein Schätzfehler,
welcher sich auf die Regelgüte negativ auswirkt. Aus diesem Grund weist die feldorientierte
Regelung in ihrer Grundform eine begrenzte Robustheit gegenüber Parametervariationen auf.
Im Folgenden wird ein alternatives Regelkonzept, die direkte Drehmomentregelung (engl. Direct
Torque Control, DTC), untersucht. Hierbei erfolgen die Betrachtungen im statorfesten Koordinatensystem
und das Verhalten der Regelgrößen Statorflussverkettung und Drehmoment wird
durch (nichtlineare) Hystereseregler eingeprägt.
Gegenstand des Versuchs sind die Auslegung und die Simulation einer direkten Drehmomentenregelung
für den bereits in Versuch 5 betrachteten Drehfeldantrieb. Zu diesem Zweck werden
die entsprechenden Modelle des Asynchronmotors und des Zweipunktumrichters herangezogen.
– 77 –

6.2. Theoretische Grundlagen
6.2 Theoretische Grundlagen
6.2.1 Modell der Asynchronmaschine im Statorkoordinatensystem
Ausgangspunkt der weiteren Überlegungen stellt wiederum das Gleichungssystem (4.64) dar.
Durch Anwendung der Park-Transformation können Rotorspannungs- und Rotorflussverkettungsgleichungen
in das statorfeste (α,β)-Koordinatensystem überführt werden (vgl. Abschnitt
4.2.4). Daraus ergeben sich die nachstehenden Zusammenhänge:
Statorspannung:
u s s = R s i s s + dΨs s
dt
(6.1a)
Statorflussverkettung: Ψ s s = L s i s s +Mi s r = M (i s s +i s r)+L σs i s s (6.1b)
Rotorspannung:
0 = R r i s r + dΨs r
dt
−ωJΨ s r
(6.1c)
Rotorflussverkettung: Ψ s r = L r i s r +Mi s s = M (i s s +i s r)+L σr i s r (6.1d)
Drehmoment: M M = 3 2 p(is s) T JΨ s s = 3 2 p(Ψ sαi sβ −Ψ sβ i sα ) (6.1e)
Mechanische Gleichung:
Θ M
dω m
dt
= M M −M L (6.1f)
Der Gleichungssatz (6.1) dient als Grundlage der nachfolgenden Herleitungen.
6.2.2 Betrieb des Zweipunkt-Umrichters ohne Modulator
Bei der feldorientierten Regelung werden die binären Signale s 1 , s 3 und s 5 zur Ansteuerung
der Schalter im Inneren des Umrichters (IGBTs) mittels eines Modulators bestimmt (siehe
Abschnitt 5.3.2).
DerUmrichterkannimAllgemeinenebenfallsohneModulatorbetriebenwerdenunddieSignale
s 1 , s 3 und s 5 unmittelbar durch geeignete Regler generiert werden. Die direkte Drehmomentregelung
sowie andere Regelverfahren für Drehfeldantriebe nutzen diese Möglichkeit aus.
Für die Steuersignale der unteren Schalter S2, S4 bzw. S6 gilt stets s 2 = ¬s 1 , s 4 = ¬s 3 bzw.
s 6 = ¬s 5 , um Kurzschlüsse der Zwischenkreisspannung U dc auszuschließen. Im weiteren Verlauf
wird davon ausgegangen, dass der Schalter SX geschlossen ist (d. h. den Strom leitet), wenn
das entsprechende Steuersignal s X (X ∈ {1..6}) den Wert 1 annimmt. SX ist dagegen geöffnet
(d. h. sperrt), wenn s X = 0.
Insgesamt ergeben sich demnach 2 3 = 8 realisierbare Schaltkombinationen, wobei die Spannungen
u A0 , u B0 und u C0 den Wert U dc oder 0 annehmen können. Für die verketteten Spannungen
u AB und u BC sind die Werte U dc , 0 sowie −U dc möglich. Im Falle einer in Stern verschalteten
– 78 –

6.2.2. Betrieb des Zweipunkt-Umrichters ohne Modulator
Abbildung 6.1: Schematische Darstellung des Umrichters und der Statorstränge der Maschine
Maschine sind die Strangspannungen u A , u B und u C durch folgende Beziehungen festgelegt:
u A = 2s 1 −s 3 −s 5
U dc
3
u B = −s 1 +2s 3 −s 5
U dc
3
u C = −s 1 −s 3 +2s 5
U dc
3
(6.2a)
(6.2b)
(6.2c)
Wird die Clarke-Transformation T C auf den Vektor der zusammengefassten Strangspannungen
⃗u 1 = [ u A u B u C
] T
angewendet, folgt:
⎡
2
u s 3 s 1 − 1 ⎤ ⎡ ⎤
3 (s 3 +s 5 ) u sα
√ s = U dc ⎢ 3
⎣
3 (s ⎥
3 −s 5 ) ⎦ = ⎢u sβ ⎥
⎣ ⎦
0 0
Wiederum sind lediglich die ersten zwei Komponenten des resultierenden Spannungsraumzeigers,
u α und u β , von Bedeutung. Die acht mit dem Umrichter generierbaren Spannungsraumzeiger
sind in Abb. 6.2 graphisch dargestellt. Zur besseren Handhabung wurden diese hierbei
mit dem Symbol v k , (k ∈ {0..7}) gekennzeichnet, gefolgt von den zugehörigen Werten der
Steuersignale (s 1 , s 3 , s 5 ).
Die Zeiger v 0 (0, 0, 0) sowie v 7 (1, 1, 1) schließen die Last kurz und werden als Nullzeiger bezeichnet.
Die anderen sind sog. aktive Zeiger.
– 79 –
(6.3)

6.2. Theoretische Grundlagen
Abbildung 6.2: Mögliche Statorspannungsraumzeiger bei Umrichterspeisung und direkter
Ansteuerung
6.2.3 Prinzip der direkten Drehmomentregelung
Ansatz
Grundlage der nachstehenden Betrachtungen stellt die Statorspannungsgleichung (6.1a) dar:
v k = u s s = R s i s s + dΨs s
, k ∈ {0..7} (6.4)
dt
Erfolgt zum Zeitpunkt t 0 eine Umschaltung des durch den Umrichter vorgegebenen Spannungszeigers
von v k auf v l (l ∈ {0..7},l ≠ k), kann innerhalb des Zeitintervalls [t 0 ; t 0 + T s ],
T s ≪ T σs = L σs /R s , der Einfluss des ohmschen Spannungsabfalls in (6.4) vernachlässigt und
die zeitliche Ableitung von Ψ s s durch eine Differenz approximiert werden. Es gilt:
v l = u s s ≈ ∆Ψs s
T s
, l ∈ {0..7} (6.5)
Wie Abb. 6.3 veranschaulicht, bewirkt folglich das Anliegen des Spannungszeigers v l während
des Zeitintervalls T s folgende Variation der Statorflussverkettung:
∆Ψ s s ≈ T s ·v l (6.6)
Die Trajektorie des Raumzeigers Ψ s s in der (α, β)-Ebene kann demnach durch Einprägung
einer Folge geeigneter Spannungszeiger festlegt werden. Um diese Eigenschaft ausnutzen zu
können und ein brauchbares Regelkonzept für den Drehfeldantrieb daraus abzuleiten, ist ein
Zusammenhang mit dem Motormoment herzustellen. Dies geschieht, indem der in der Drehmomentgleichung
(6.1e) auftretende Statorstromraumzeiger i s s in Abhängigkeit von Ψ s s sowie Ψ s r
– 80 –

6.2.3. Prinzip der direkten Drehmomentregelung
Abbildung 6.3: Einfluss des angelegten Spannungszeigers v l auf Ψ s s (l ∈ 0..7)
ausgedrückt wird:
i s s = 1 (
Ψ s s − M )
Ψ s r
σL s L r
mit σ = L sL r −M 2
L s L r
(6.7)
Für das Drehmoment folgt:
M M = 3p
2σL s
(
Ψ s s − M L r
Ψ s r) T
JΨ s s
= 3p
2σL s
(
(Ψ s s) T JΨ s s − M L r
(Ψ s r) T JΨ s s
= − 3p
2σL s
M
L r
(Ψ s r) T JΨ s s
= 3pM
2σL s L r
‖Ψ s s‖‖Ψ s r‖sin(δ −ϕ) (6.8)
wobei δ bzw. ϕ der Winkel des Statorflussraumzeigers Ψ s s bzw. des Rotorflussraumzeigers Ψ s r
im Statorkoordinatensystem darstellt (vgl. Abb. 6.4). Folglich wird das Motormoment durch
den Betrag von Stator- und Rotorflussraumzeiger sowie deren relativen Winkel bestimmt.
Da die Rotorzeitkonstante T r = L r /R r im Allgemeinen wesentlich größer als die Statorzeitkonstante
T σs = L σs /R s ist und die Übertragungsfunktion zwischen Ψ s r und u s s die Ordnung 2
besitzt, kann Ψ s r während eines Zeitintervalls von einigen T s nach einem Umschaltvorgang als
konstant angenommen werden. Demnach verbleiben Betrag und Winkel des Statorflussraumzeigers
als Einflussmöglichkeiten auf das Drehmoment.
Um, in Anlehnung an die feldorientierte Regelung, das Drehmoment M M und den Betrag des
Statorflussraumzeigers ‖Ψ s ‖ unabhängig voneinander regeln zu können, wird auf das Drehmoment
nur über Änderungen des Winkels δ−ϕ Einfluss genommen. Durch Erhöhen bzw. Senken
dieses Winkels innerhalb des Intervalls [−π/2; π/2] lässt sich das Drehmoment vergrößern bzw.
)
– 81 –

6.2. Theoretische Grundlagen
mindern.
Abbildung 6.4: Einfluss des anliegenden Spannungszeigers v l auf den relativen Winkel
zwischen Ψ s s und Ψ s r während des Zeitintervalls T s
Erarbeitung des Regelkonzepts
Mithilfe der sechs durch den Umrichter generierbaren aktiven Spannungszeiger (vgl. Abb. 6.2)
kann der Statorflussraumzeiger Ψ s s während des Zeitintervalls T s auf sechs unterschiedliche
Weisen beeinflusst werden. Ungeachtet der Maschinenzustände führen stets drei dieser Spannungszeiger
zu einer Erhöhung des Flussbetrags ‖Ψ s ‖, während die übrigen diesen senken. Das
Anlegen eines der beiden Nullzeiger hat gemäß (6.5) nahezu keinen Einfluss auf den Statorflussraumzeiger
und führt zur Erhaltung dessen Winkels und Betrags.
Ferner wirken drei der sechs Zeiger auf Ψ s s links drehend und erhöhen damit tendenziell den relativen
Winkel mit dem Rotorflussraumzeiger. Die drei anderen aktiven Zeiger hingegen neigen
dazu, diesen Winkel zu senken. Dies wirkt sich unmittelbar auf das Drehmoment aus.
Die konkrete Zuordnung zwischen Zeiger und Wirkung hängt jedoch von dem Winkel δ des Statorflussraumzeigers
zum betrachteten Zeitpunkt ab. Aus diesem Grund wird die (α, β)-Ebene
in sechs Sektoren unterteilt, welche jeweils einen Winkel von π/3 aufspannen. Der erste Sektor
ist zudem symmetrisch zur α-Achse angeordnet (siehe Abb. 6.5). In jedem Sektor wirken sich
drei der sechs aktiven Zeiger auf den Flussbetrag erhöhend und die restlichen drei senkend aus.
Zwei der sechs aktiven Zeiger erhöhen das Drehmoment, zwei weitere verringern es. Die übrigen
zwei weisen generell eine schwache Wirkung auf das Drehmoment auf, welche allerdings in dem
Sektor im Vorzeichen nicht festgelegt werden kann. Sie werden daher als drehmomenterhaltend
interpretiert.
Der Zusammenhang zwischen Spannungszeigern und deren Wirkung auf Flussbetrag und DrehmomentinnerhalbderjeweiligenSektorenwirdineinersog.Schalttabelle
zusammengefasst(vgl.
Tabelle 6.1).
– 82 –

6.2.3. Prinzip der direkten Drehmomentregelung
Abbildung 6.5: Prinzipdarstellung der Sektoren in der (α, β)-Ebene
Die Entscheidung, ob der Flussbetrag oder das Drehmoment erhöht bzw. gesenkt werden muss,
wird jeweils durch einen Hystereseregler getroffen. Diese Regler sind zeitdiskret implementiert
und arbeiten mit der Abtastperiode T s .
Der durch den Flussregler für das Zeitintervall ]nT s ; (n + 1)T s ] (n ∈ N) ausgegebene Wert
h Ψs [(n+1)T s ] ist durch den zum Zeitpunkt t 0 = nT s abgetasteten Regelfehler e Ψs [nT s ] sowie
den zu diesem Zeitpunkt anliegenden Reglerausgang h Ψs [nT s ] bestimmt. Ein ähnlicher Zusammenhang
besteht im Drehmomentregelkreis zwischen dem Regelfehler e M und dem Reglerausgang
h M . Abb. 6.6 veranschaulicht die Funktionsweise beider Regler.
Der Ausgang des Drehmomentreglers kann die Werte −1, 0 und 1 annehmen. Für den Flussregler
kommen lediglich die Werte −1 und 1 infrage. Liefert ein Regler den Wert −1, ist die
entsprechende Regelgröße zu verringern. Ist der Reglerausgang dagegen gleich 0 bzw. 1, soll die
Regelgröße unverändert bleiben bzw. erhöht werden.
Aus dem Wert von h Ψs und h M sowie der Sektornummer, in dem sich der Statorflussraumzeiger
zum Zeitpunkt t 0 befindet, wird der einzuprägende Spannungsraumzeiger mithilfe der
Schalttabelle 6.1 ermittelt. Dieser wird für das Zeitintervall ]nT s ; (n + 1)T s ] an die Maschine
gelegt.
h Ψs h M S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6
1 1 v X v X v X v X v X v X
1 0 v X v X v X v X v X v X
1 -1 v X v X v X v X v X v X
-1 1 v X v X v X v X v X v X
-1 0 v X v X v X v X v X v X
-1 -1 v X v X v X v X v X v X
Tabelle 6.1: Schalttabelle zur Bestimmung des anzulegenden Spannungszeigers in
Abhängigkeit der Reglerausgänge und der Sektornummer (X ∈ {0..7})
– 83 –

6.2. Theoretische Grundlagen
(a)
(b)
Abbildung 6.6: Schematische Darstellung der Hysterese-Regler
(a) Flussregler; (b) Drehmomentregler
6.2.4 Bestimmung von Statorflussraumzeiger und Drehmoment
In der Praxis kann die statorseitige Flussverkettung nicht direkt gemessen werden und muss
unter Verwendung bekannter Größen mithilfe eines Modells nachgebildet werden.
Aus der Statorspannungsgleichung (6.1a) ergibt sich folgender Zusammenhang:
dΨ s s
dt
= u s s −R s i s s (6.9)
Durch Integration der Gleichung (6.9) besteht die Möglichkeit, Ψ s s ausgehend von den gemessenen
Strangströmen sowie den Strangspannungen zu berechnen. In den meisten Antriebssystemen
werden letztere ebenfalls nicht gemessen, sodass an deren Stelle die Sollspannungen
herangezogen werden. Diese lassen sich aus den Steuersignalen mittels der Gleichungen (6.2)
berechnen.
Darüber hinaus kann das Drehmoment M M aus dem geschätzten Statorflussraumzeiger ˆΨ s s
sowie dem Statorstromraumzeiger i s s mithilfe der Beziehung (6.1e) bestimmt werden:
ˆM M = 3 2 p (ˆΨsα i sβ − ˆΨ sβ i sα
)
(6.10)
SchließlichwirdzurSektorbestimmungderWinkeldesStatorflussraumzeigersδ benötigt.Dieser
– 84 –

6.2.5. Zusammenfassung
lässt sich aus den Komponenten von ˆΨ s s in Statorkoordinaten wie folgt berechnen:
ˆδ = atan2
(ˆΨsα , ˆΨ
)
sβ
(6.11)
Im Gegensatz zur feldorientierten Regelung ist zur Gewinnung aller zum Einsatz der direkten
Drehmomentregelung benötigten Größen lediglich die Kenntnis des Statorwiderstands erforderlich.
Festzuhalten ist jedoch, dass die zur Berechnung des Statorflussraumzeigers angewendete
Methode ein ideales Verhalten des Umrichters und der Stromsensoren voraussetzt.
6.2.5 Zusammenfassung
Aus den obigen Überlegungen lässt sich die Regelstruktur der direkten Drehmomentregelung
ableiten, welche das Zusammenwirken der zwei Hystereseregler und der Subsysteme Fluss- und
Drehmomentschätzer, Sektoridentifikation sowie Schalttabelle veranschaulicht (siehe Abb. 6.7).
Die in blau eingerahmten Blöcke werden softwaremäßig auf einem Echtzeitrechner implementiert.
Abbildung 6.7: Schematische Darstellung der direkten Drehmomentregelung
Infolge des schaltenden Verhaltens der Hystereseregler schwankt im stationären Zustand das
Drehmoment idealerweise innerhalb des durch den Drehmomentregler definierten Toleranzbandes
um seinen Sollwert während der Statorflussraumzeiger eine zickzackförmige Trajektorie in
der (α, β)-Ebene aufweist. Die resultierenden Verläufe sind in Abb. 6.8 graphisch dargestellt.
– 85 –

6.3. Implementierung der direkten Drehmomentregelung
(a)
(b)
Abbildung 6.8: Aus der direkten Drehmomentregelung resultierende, ideale Verläufe im
stationären Zustand
(a) Raumzeiger der statorseitigen Flussverkettung; (b) Motormoment
6.3 Implementierung der direkten Drehmomentregelung
Im Folgenden wird eine direkte Drehmomentregelung für das bereits in Versuch 5 betrachtete
Antriebssystem ausgelegt und mithilfe von Simulationen untersucht. Die hierzu benötigten
Antriebsparameter sind in den Tabellen 6.2 und 6.3 zusammengefasst.
Der Einfluss des Rauschens in den Strommesssignalen wird vernachlässigt und der Istwert der
Rotordrehzahl steht verzögerungsfrei zur Verfügung.
Zunächst werden Fluss- und Drehmomentregelkreis implementiert. Die sich ergebende Regelstruktur
wird im weiteren Schritt um eine überlagerte Drehzahlregelung ergänzt.
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Nennleistung P N = 2,2 [kW]
Nenndrehzahl N N = 2840 [min −1 ]
Nennmoment M N = 7,4 [Nm]
Nennspannung (Sternschaltung, verkettet) U NY = 400 [V]
Nennstrom (Sternschaltung) I NY = 4,61 [A]
Nennfrequenz f N = 50 [Hz]
Statorwiderstand R s = 2,8 [Ω]
Statornennfluss Ψ sN = 1,0 [Vs]
Rotorträgheitsmoment Θ M = 0,005 [kgm 2 ]
Tabelle 6.2: Kenndaten des eingesetzten Asynchronmotors
– 86 –

6.3.1. Fluss- und Drehmomentregelkreis
Physikalische Größe
Symbol und Wert (SI)
Zwischenkreisspannung U dc = 560 [V]
Maximale Schaltfrequenz f s,max = 4 [kHz]
Tabelle 6.3: Parameter des Zweipunkt-Umrichters
6.3.1 Fluss- und Drehmomentregelkreis
1.) * Der betrachtete Drehfeldantrieb besitzt keine Sensoren zur Messung der Strangspannungen,
sodass die Spannungssollwerte für die Regelung benutzt werden müssen.
Erstellen Sie ein Blockschaltbild zur Nachbildung des Statorspannungsraumzeigers u s s anhand
der Steuersignale s 1 , s 3 und s 5 sowie der Zwischenkreisspannung U dc . Deuten Sie
ggf. die Clarke-Transformation wie in Abb. 6.7 an.
2.) * Zeichnen Sie den Signalflussplan des Fluss- und Drehmomentschätzers. Verwenden
Sie den geschätzten Statorspannungsraumzeiger û s s und den Statorstromraumzeiger i s s
als Eingangsgrößen. Der geschätzte Raumzeiger der Statorflussverkettung ˆΨ s s und das
geschätzte Motormoment ˆM M stellen die Ausgänge dar.
3.) * Stellen Sie den Signalflussplan zur Ermittlung von Betrag und Winkel des Raumzeigers
ˆΨ s s aus dessen Komponenten ˆΨ sα und ˆΨ sβ auf.
4.) * Schlagen Sie eine Methode vor, um die Sektoridentifikation mithilfe von Blöcken aus
der Simulink-Bibliothek oder wenigen MATLAB-Codezeilen durchzuführen.
5.) * Überlegen Sie sich für jeden Sektor welche Spannungszeiger erhöhend, senkend oder
erhaltend hinsichtlich des Flussbetrags und des Drehmoments wirken und füllen Sie die
Schalttabelle 6.1 entsprechend aus. Verwenden Sie hierbei zunächst keine Nullzeiger.
Nachfolgend wird die in den vorigen Aufgaben erarbeitete Struktur der verschiedenen Komponenten
der direkten Drehmomentregelung als Simulink-Modell implementiert.
6.) Öffnen Sie die Datei ASM DTC Implementierung.mdl im Verzeichnis Versuch6 in
Simulink.
Neben dem Modell des Drehfeldantriebs findet sich ein Block namens DTC. Klicken Sie
doppelt auf diesen, um dessen Inhalt anzuzeigen. Als Eingänge stehen die Messignale
der Strangströme i m A und im B sowie der Rotorwinkelgeschwindigkeit ωm m zur Verfügung.
Der Block soll die in einem Vektor zusammengefassten binären Signale s 1 , s 3 und s 5 zur
Ansteuerung des Umrichters bereitstellen.
Erstellen Sie zuerst die fehlende Struktur im Subsystem Fluss- und
Drehmomentschätzer unter Einhaltung der vorgegebenen Ein- und Ausgangsgrößen.
Verwenden Sie hierbei einen zeitdiskreten Integrator.
7.) Implementieren Sie die von Ihnen in Aufgabe 4.) vorgeschlagene Lösung zur Sektoridentifikation.
Verwenden Sie bei Bedarf den Block MATLAB-Function. Testen Sie anschließend
das Subsystem auf seine Funktion.
– 87 –

6.3. Implementierung der direkten Drehmomentregelung
8.) Erstellen Sie die Struktur des Fluss- und des Drehmomentreglers. Benutzen Sie hierbei
die Variablennamen Delta Psi bzw. Delta M, um die Hystereseschranken festzulegen.
Die anfänglich zu verwendenden Werte dieser Parameter sind in der Datei
Versuch6Parameter.m bereits spezifiziert (∆‖Ψ s ‖ = 0,02[Vs], ∆M = 0,05[Nm]).
9.) Ergänzen Sie das dem SubsystemSchalttabelle zugehörigeMATLAB-Skript entsprechend
Ihren Ergebnissen zu Aufgabe 5.).
10.) Verknüpfen Sie die einzelnen Subsysteme miteinander und schließen Sie den Fluss- und
den Drehmomentregelkreis. Stellen Sie den Flussbetrag aufdessen Nennwert Ψ sN ein (vgl.
Tabelle 6.2). Benutzen Sie folgenden Sollwertverlauf für das Drehmoment:
wobei
M ∗ M(t) = M N
2 ·(σ(t−t A)−σ(t−t B )), t A = 0,3[s], t B = 0,5[s]
σ(t) =
{ 0 für t ≤ 0[s]
1 für t > 0[s]
Klicken Sie doppelt auf den Block Initialize, damit die Simulationsparameter geladen
werden. Überprüfen Sie die Funktion der implementierten Regelstruktur durch eine Simulation
ohne Lastmoment. Bewerten Sie den zeitlichen Verlauf der Maschinenströme,
des Drehmoments sowie der Drehzahl.
Durch Doppelklicken auf den Block Display Figures wird die Trajektorie des Statorflussraumzeigers
Ψ s s in der (α, β)-Ebene angezeigt (vgl. Abb. 6.8(a)). Analysieren Sie
diese.
6.3.2 Überlagerte Drehzahlregelung
Die zuvor entworfene direkte Drehmomentregelung wird um einen überlagerten Drehzahlregelkreis
erweitert. Im diesem Fall erfolgt die Vorgabe des Drehmomentsollwerts durch einen
Drehzahlregler.
11.) Für die Regelung der Drehzahl wird ein empirisch ausgelegter PI-Regler mit der
Verstärkung V R,ωm = 10[Nms] und der Nachstellzeit T n,ωm = 10[ms] eingesetzt. Implementieren
Sie den Drehzahlregler und schließen Sie den Regelkreis. Geben Sie die halbe
Nenndrehzahl als Sollwert vor. Die Maschine soll zudem ab dem Zeitpunkt t = 0,5[s] mit
einem Moment von 0,9M N belastet werden.
Simulieren Sie das Verhalten des Systems und analysieren Sie den resultierenden Verlauf
der Drehzahl und der Statorströme. Welches Problem tritt auf?
12.) Begrenzen Sie den Drehmomentsollwert auf das Nennmoment der Maschine M N und
modifizieren Sie den Drehzahlregler entsprechend, ohne dessen Typ oder Parameter zu
verändern. Führen Sie anschließend die Simulation erneut durch und bewerten Sie die
Strom-, Drehmoment- und Drehzahlverläufe.
13.) Öffnen Sie die Datei DTC Zusatzbloecke.mdl und fügen Sie eine Instanz des Blocks
Flankenzähler auf die oberste Ebene des Modells ASM DTC Implementierung.mdl ein.
– 88 –

6.3.2. Überlagerte Drehzahlregelung
Erläutern Sie dessen Funktionsweise und setzen Sie diesen ein, um die Anzahl der Schaltvorgänge
in jeder Umrichter-Halbbrücke zu bestimmen. Lassen sich die Ergebnisse mit
der in Tabelle 6.3 angegebenen maximalen Schaltfrequenz vereinbaren?
AusderüberhöhtenAnzahlanSchaltvorgängenwürdeninderPraxisSchaltverlusteresultieren,
die den Umrichter beschädigen könnten. Die Zahl der Schaltvorgänge pro Zeiteinheit lässt
sich durch die Vorgabe breiterer Toleranzbänder bei der Auslegung des Drehmoment- bzw.
Flussreglers oder einer größeren Abtastperiode T s reduzieren.
IndenbisherigenSimulationenwurdedieAbtastzeitdesBlocksDTCderSimulationsschrittweite
gleichgesetzt, d. h. es galt: T s = 5[µs]. Dieser Wert ist mit den meisten Echtzeitsystemen
nicht zu erreichen. Im weiteren Verlauf wird daher T s = 50[µs] gewählt, um aussagekräftige
Ergebnisse zu erhalten.
14.) Passen Sie die Abtastzeit des Blocks DTC an und simulieren Sie das sich ergebende Systemverhalten.
Welcher Einfluss hat die Vergrößerung der Abtastzeit auf die Trajektorie
des Statorflussraumzeigers und den zeitlichen Verlauf des Drehmoments? Begründen Sie
Ihre Antwort.
15.) Welche Auswirkung hat eine Erhöhung des Wertes von ∆M um eine Zehnerpotenz auf
den Drehmomentverlauf? Erklären Sie dieses Phänomen und verwenden Sie den Wert
∆M = 0.5[Nm] für die weiteren Aufgaben.
16.) Ersetzen Sie für den Fall h M = 0 die aktiven Zeiger der Schalttabelle durch Nullzeiger
und führen Sie eine Simulation durch. Inwiefern lässt sich die Zahl der Schaltvorgänge
durch diese Maßnahme reduzieren?
17.) Welche weitere Probleme können bei der praktischen Umsetzung des in diesem Versuch
vorgestellten Regelkonzepts entstehen?
– 89 –

Literatur
[1] A. Binder. Elektrische Maschinen und Antriebe - Grundlagen, Betriebsverhalten. Berlin:
Springer DE, 2012 (siehe S. 6 f., 41, 44).
[2] G. Müller und B. Ponick. Grundlagen elektrischer Maschinen. New York: John Wiley
& Sons, 2012 (siehe S. 6, 41, 44 f., 47).
[3] D. Schröder. Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen. 3. Aufl. 2009.
Berlin, Heidelberg: Springer, 2009 (siehe S. 24, 30, 33, 59).
[4] D.Schröder. Leistungselektronische Schaltungen - Funktion, Auslegung und Anwendung.
3. Aufl. 2012. Heidelberg: Springer-Verlag GmbH, 2012 (siehe S. 72).
– 90 –