Formelsammlung (Stand: 26.11.2013) - EAL Lehrstuhl für ...

Regelung von regenerativen Energiesystemen
Formelsammlung (WS13/14)
Technische Universität München, Christoph Hackl Stand 26. 11. 2013
1 Trigonometrische Formeln (siehe [1])
Im Folgenden gelte x,y ∈ R (bei entsprechender Einschränkung des Bereiches falls notwendig).
sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y) (1)
cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y) (2)
tan(x±y) = tan(x)±tan(y)
1∓tan(x)tan(y) = sin(x±y)
cos(x±y)
(3)
sin(x)sin(y) = 1 ( )
cos(x−y)−cos(x+y) (4)
2
cos(x)cos(y) = 1 ( )
cos(x−y)+cos(x+y) (5)
2
sin(x)cos(y) = 1 ( )
sin(x−y)+sin(x+y) (6)
2 ( ) ( ) x+y x−y
sin(x)+sin(y) = 2sin sin
(7)
2 2
( ) ( ) x+y x−y
sin(x)−sin(y) = 2cos sin
(8)
2 2
( ) ( ) x+y x−y
cos(x)+cos(y) = 2cos cos
(9)
2 2
( ) ( ) y +x y −x
cos(x)−cos(y) = 2sin sin
(10)
2 2
⎧
( 1
⎨
π
−arctan(x) ,x > 0
arctan = 2
x)
⎩− 2 −arctan(x) ,x < 0. (11)
arctan(−x) = −arctan(x) (12)
Folgende Funktionswerte arctan(x) ergeben sich für ausgewählte Argumente x:
x ±∞ ± √ 3 ±1 ± 1 √
3
0
arctan(x) ± π 2
± π 3
± π 4
± π 6
0
Tabelle 1: Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von arctan : R → R.
x [ ◦ ] 0 [0 ◦ ]
sin(x) 0
cos(x) 1
tan(x) 0
π π
6 [30◦ ]
4 [45◦ ]
√
1 2
√2
3
√2
2
2 2
1
√
3
1
π π 2π 3π
3 [60◦ ]
2 [90◦ ]
3 [120◦ ]
4 [135◦ ] π [180 ◦ 3π
]
2 [270◦ ]
√ √ √
3 3 2
1
0 −1
2 2 2
1
0 − 1 √
2
− −1 0
2 2 2
√ √
3 ±∞ − 3 −1 0 ±∞
Tabelle 2: Ausgewählte Argumente für und Funktionswerte von cos, sin, tan : R → R.
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2 Energieeinheiten und Umrechnungsfaktoren
Energieträger Energiegehalt Anmerkung
1 [kg] Steinkohle 8.14 [kWh] –
1 [kg] Rohöl 11.63 [kWh] Benzin: 8.7 [kWh/Liter]; Diesel: 9.8 [kWh/Liter]
1 [m 3 ] Erdgas 8.82 [kWh] –
1 [kg] Holz 4.3 [kWh] (bei 15% Feuchte)
Tabelle 3: Umrechnungsfaktoren verschiedener Energieträger (siehe [2, Tab. 1.2])
[kJ] [kcal] [kWh] [kg] SKE [kg] RÖE [m 3 Erdgas]
1[kJ] = 1000[Ws] 1 0.2388 2.78·10 −4 3.4·10 −5 2.4·10 −5 3.2·10 −5
1[kcal] 4.1868 1 1.163·10 −3 1.43·10 −4 1·10 −4 1.3·10 −4
1[kWh] 3600 860 1 0.123 0.086 0.113
1[kg] SKE 29308 7000 8.14 1 0.7 0.923
1[kg] RÖE 41868 10000 11.63 1.428 1 1.319
1[m 3 Erdgas] 31736 7580 8.816 1.083 0.758 1
Tabelle 4: Umrechnungsfaktoren zwischen verschiedenen Energieeinheiten (siehe [3, Tab. 1.1]) mit den
Abkürzungen [kJ]: Kilojoule, [Ws]: Wattsekunde, [kcal]: Kilokalorie, [kWh]: Kilowattstunde,
[SKE]: Steinkohleeinheit, RÖE: Rohöleinheit und [ m 3] : Kubikmeter (Volumen).
Vorsatz Symbol Wert Vorsatz Symbol Wert
Milli m 10 −3 (Tausendstel) Kilo k 10 3 (Tausend)
Mikro µ 10 −6 (Millionstel) Mega M 10 6 (Million)
Nano n 10 −9 (Milliardstel) Giga G 10 9 (Milliarde)
Piko p 10 −12 (Billionstel) Tera T 10 12 (Billion)
Femto f 10 −15 (Billiardstel) Peta P 10 15 (Billiarde)
Atto a 10 −18 (Trillionstel) Exa E 10 18 (Trillion)
Tabelle 5: Vorsätze, Symbole und Faktoren
3 Wechsel- und Drehstromsysteme (siehe [4])
Im Folgenden sei t 0 ≥ 0 ein beliebiger Zeitpunkt und x: R ≥0 → R ein periodisches Signal mit
Periodendauer T > 0 [s] (d.h. x(t) = x(t+T) für alle t ≥ 0) und Amplitude ˆx > 0.
• Gleichwert oder arithmetischer Mittelwert:
X := 1 T
t∫
0 +T
t 0
x(τ)dτ = 1 T
∫ T
0
x(τ)dτ (13)
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• Gleichrichtwert:
X DC := 1 T
t∫
0 +T
|x(τ)|dτ = 1 T
∫ T
|x(τ)|dτ (14)
(für sinus- oder cosinusförmige Signale gilt X DC =
t 0
0
2
πˆx ≈ 0.637ˆx)
• Effektivwert (engl. root-mean-square/RMS value) oder quadratischer Mittelwert:
X eff := √ 1 t∫
0 +T
√ 1 ∫ T
x(τ)
T T
2 dτ (15)
t 0
x(τ) 2 dτ =
(für sinus- oder cosinusförmige Signale gilt X eff = ˆx √
2
≈ 0.707ˆx)
• Momentanleistung im Wechselstromsystem mit Stromi(t) [A] und Spannungu(t) [V]
0
∀t ≥ 0: p ∼ (t) := u(t)i(t) [W] (16)
• Momentanleistung im Drehstromsystem mit Strangströmeni abc (t) = (i a (t), i b (t), i c (t)) ⊤ [A] 3
und Strangspannung u abc (t) = (u a (t), u b (t), u c (t)) ⊤ [V] 3 (jeweils vektoriell zusammengefasst;
drei Stränge mit den Bezeichnungen a,b,c)
∀t ≥ 0: p 3∼ (t) := u abc (t) ⊤ i abc (t) = u a (t)i a (t)+u b (t)i b (t)+u c (t)i c (t)[W] (17)
• Mittlere Leistung für periodische Ströme und Spannungen mit Periodendauer T > 0
P ∼ := 1 T
∫ T
0
p ∼ (τ)dτ bzw. P 3∼ := 1 T
∫ T
0
p 3∼ (τ)dτ (18)
• Scheinleistung für sinusförmige Ströme und Spannungen mit Periodendauer T > 0
S ∼ := U eff I eff [VA] bzw. S 3∼ := 3U eff I eff [VA] (19)
die Effektivwerte der Stranggrößen sind (Sternschal-
wobei U eff = U eff und I eff = I eff
tung).
• Wirkleistung für sinusförmige Ströme und Spannungen mit Periodendauer T > 0
P ∼ := S ∼ cos(ϕ) = U eff I eff cos(ϕ) [W] bzw.
P 3∼ := S 3∼ cos(ϕ) = 3U eff I eff cos(ϕ) [W]
(20)
• Blindleistung für sinusförmige Ströme und Spannungen mit Periodendauer T > 0
Q ∼ := S ∼ sin(ϕ) = U eff I eff sin(ϕ) [var] bzw.
Q 3∼ := S 3∼ sin(ϕ) = 3U eff I eff sin(ϕ) [var]
(21)
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4 Grundlagen linearer Regelungstechnik (siehe [1, 5, 6, 7])
• Lösungsformel für ax 2 +bx+c = 0
x 1,2 = −b (
1±
2a
√
1−4 ac
b 2 )
für a,b,c ∈ R (22)
• Rechenregeln für Logarithmus zur Basis x
log x (a·b c ) = log x (a)+clog x (b) für a,b,c,x ∈ R (23)
• Komplexe Rechnung
s = σ +j ·ω = |s|exp(j∠s) ∈ C für σ,ω ∈ R (24)
wobei s ∗ := σ −j ·ω, |s| = √ s ∗ s = √ R{s} 2 +I{s} 2 und tan∠s = I{s}
R{s} . Dann
∠s = arctan
( ) I{s}
+
R{s}
⎧
⎪⎨ 0 ,I{s} ≥ 0∧R{s} ≥ 0
π ,(I{s} < 0∨I{s} > 0)∧R{s} ≤ 0
⎪⎩
2π ,I{s} ≤ 0∧R{s} ≥ 0.
(25)
• Laplace-Transformation x(s) = ∫ ∞
0
x(t)exp(−st)dt (oder kurz x(t) ❞ x(s))
Für a,b ∈ R und a ≠ b gilt:
ẋ(t) ❞ sx(s)−x(0+) ∗ (26)
ẍ(t) ❞ s 2 x(s)−sx(0+)−ẋ(0+) ∗ (27)
{
1 ,t ≥ T
σ(t−T) = ❞ e −sT
(28)
0 ,t < T s
t n ,n ∈ N ❞ n!
0 (29)
s n+1
1
a−b (exp(−bt)−exp(−at)) ❞ 1
(30)
(s+a)(s+b)
exp(−at)cos(bt) ❞
1
b exp(−at)sin(bt) ❞ 1
s+a
(s+a) 2 +b 2 (31)
(32)
(s+a) 2 +b 2
1 ❞ 1
(
)
exp(−at)−exp(−bt)+(a−b)texp(−bt) (33)
(s+a)(s+b) 2 (a−b) 2
• Faltungsregel für Impulsantworten f(t) ❞ F(s) und g(t) ❞ G(s)
f(t)∗g(t) :=
∫ t
0
f(τ)g(t−τ)dτ ❞ F(s)G(s) (34)
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• Additivität von Betrag (in [dB]) und Phase im Bode-Diagramm
F(jω) = F 1 (jω)·...·F n (jω)
= |F 1 (jω)|exp(j∠F 1 (jω))·...·|F n (jω)|exp(j∠F n (jω)) (35)
|F(jω)| dB = 20log(|F 1 (jω)|·...·|F n (jω)|)
= 20log(|F 1 (jω)|)+...+20log(|F n (jω)|)
= |F 1 (jω)| dB +...+|F n (jω)| dB (36)
∠F(jω) = ∠F 1 (jω)+...+∠F n (jω) (37)
• Standardreglerstrukturen
P-Regler:
u(t) = V R e(t) ❞ F P (s) = u(s)
e(s) = V R (38)
PI-Regler:
u(t) = V R
(
e(t)+ 1 T n
∫
)
e(t)dt
❞ F PI (s) = u(s) (
e(s) = V R 1+ 1 ) ( ) 1+sTn
= V R
sT n sT n
(39)
PD-Regler:
u(t) = V R (e(t)+T v ė(t)) ❞ F PD (s) = u(s)
e(s) = V R(1+sT v ) (40)
PID-Regler:
u(t) = V R
(e(t)+T v ė(t)+
∫ ) e(t)
dt
T n
❞ F PID (s) = u(s) (
e(s) = V R 1+sT v + 1 )
sT n
( ) 1+sTn +s 2 T v T n
= V R
sT n
(41)
• Anfangs- und Endwertsätze für F(s) = y(s)
u(s) = Z(s)
N(s)
Wenn die Endwerte lim t→0+ y(t), lim t→∞ y(t) und lim t→0 ẏ(t) existieren und endlich sind,
dann gilt
lim
t→0+
lim
t→∞
y(t) = lim(sF(s)u(s)) für deg(Z) < deg(N) (42)
s→∞
y(t) = lim(sF(s)u(s)) (43)
s→0
limẏ(t) = lim(s 2 F(s)u(s)) (44)
t→0 s→∞
wobei deg(Z) und deg(N) die Ordnung des Zähler- bzw. Nennerpolynoms beschreiben.
• Stabilität von linearen Regelkreisen
Ein Regelkreis der Ordnung m,n ∈ N 0 , V S ∈ R, c 0 ,...,c m−1 ∈ R und a 0 ,...,a n−1 ∈ R
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mit der Übertragungsfunktion
F S (s) = y(s)
u(s) := V Z(s)
S
N(s) = V S
c 0 +c 1 s+···+c m−1 s m−1 +s m
a 0 +a 1 s+···+a n−1 s n−1 +s n mit m ≤ n (45)
zwischen Eingang u(s) und Ausgang y(s) ist (exponentiell) stabil (d.h. Systemantwort
klingt ab), wenn alle Pole λ i von F S (s), d.h. alle Nullstellen des Nennerpolynoms N(λ i ) =
0 negativen Realteil R{λ i } < 0 für alle i = 1,...,n besitzen.
• Routh-Hurwitz Stabilitätskriterium für lineare Regelkreise
Dazu untersucht man das charakteristische Polynom n-ter Ordnung des LTI Systems
N(s) = a 0 +a 1 s+a 2 s 2 +···+a n s n , a 0 ,...,a n ∈ R. (46)
Das charakteristische Polynom entspricht dem Nennerpolynom der Übertragungsfunktion
F S (s) in (44). Es gilt: N(s) ist ein Hurwitz-Polynom (d.h. System ist exponentiell stabil),
(i) dann sind alle Koeffizienten a i > 0 in N(s) (notwendige Bedingung, d.h. nicht unbedingt
ausreichend!);
(ii) genau dann, wenn der Koeffizient a n > 0 und alle nordwestlichen Hurwitz-Unterdeterminanten
D i > 0 für i = 1,...,n−1 (notwendige & hinreichende Bedingung) 1
Die Unterdeterminanten D i entstehen aus den Determinanten der entsprechenden (i,i)-
Untermatrizen in der linken oberen (“nordwestlichen”) Ecke der Koeffizienten-Matrix
⎡
M n =
⎢
⎣
⎤
a n−1 a n−3 a n−5 ... a n−2n+3 a n−2n+1
a n a n−2 a n−4 ... a n−2n+4 a n−2n+2
0 a n−1 a n−3 ... a n−2n+5 a n−2n+3
0 a n a n−2 ... a n−2n+6 a n−2n+4
.
.
.. .
⎥
0 0 ... ... a 1 0 ⎦
0 0 ... ... a 2 a 0
∈ R n×n . (47)
Zu untersuchen sind D 1 = a n−1 und D 2 =
∣ a ∣
n−1 a n−3 ∣∣∣
, etc. Es gilt a
a n a −k = 0 für k > 0.
n−2
• Kausalität (Realisierbarkeit)
Ein lineares dynamisches System F S (s) = y(s) := V u(s) S Z(s) = V N(s) S c 0+c 1 s+···+c m−1 s m−1 +s m
a 0 +a 1 s+···+a n−1
wird
s n−1 +s n
kausal genannt, wenn m ≤ n. Die Systemantwort y(t) eines kausalen Systems hängt
lediglich vom (vorangegangenen) Verlauf der Eingangsgröße u(τ) mit 0 ≤ τ ≤ t ab.
• Zustandsdarstellung eines LTI 1 Systems (Regelungsnormalform)
1 Falls alle Koeffizienten a i > 0 kann über das Liénard-Chipart-Kriterium die Anzahl der zu untersuchenden
Determinaten reduziert werden. Es müssen lediglich die Determinanten D i mit ungeradem Index i = 1,3,5,...
oder geradem Index i = 2,4,6,... auf Positivität geprüft werden. Dieser Sachverhalt basiert auf der linearen
Abhängigkeit der Determinaten für a i > 0 für alle i = 1,2,3,....
1 linearen, zeit-invarianten (engl. linear, time-invariant)
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Zustandsgleichung (Vektordifferentialgleichung) und Ausgangsgleichung eines dynamischen
Systems n-ter Ordnung
}
ẋ(t) = Ax(t)+bu(t) ,x(0) = x 0 ∈ R n
y(t) = c ⊤ (48)
x(t)
mit
– dem Zustandsvektor x(t) = ( x 1 (t), ..., x n (t) ) ⊤
∈ R (z.B. Motorstrom & -drehzahl)
– der Stellgröße u(t) ∈ R (z.B. Motorspannung oder -moment)
– der Systemmatrix in Regelungsnormalform (RNF)
⎡
⎤
0 1 0 ... ... 0
0 0 1 0 ... 0
.
A =
. .. . .. . .. .
∈ R n×n (49)
⎢ 0 ... ... 0 1 0
⎥
⎣ 0 ... ... ... 0 1 ⎦
−a 0 −a 1 ... ... ... −a n−1
– dem Steuer-/Einkoppelvektor b = ( 0, ..., 0, V S
) ⊤
∈ R
n
– dem Auskoppel-/Ausgangsvektor c ⊤ = ( c 0 , c 1 , ..., c n−1
)
∈ R
n
• Übertragungsfunktion (aus Regelungsnormalform)
Darstellung im Laplace-Bereich mit s = σ +iω ∈ C ergibt
F S (s) = y(s)
u(s) = c⊤ (sI n −A) −1 c 0 +c 1 s+···+c n−1 s n−1
b = V S
(50)
a 0 +a 1 s+···+a n−1 s n−1 +s n
• Stabilität eines LTI Systems in Zustandsdarstellung (47)
Ein System der Form (47) ist
– für jeden Anfangswert x 0 ∈ R n (exponentiell) stabil und
– für jeden Anfangswertx 0 ∈ R n und jeden beschränkten Eingangu(·) bounded-input,
bounded-output (BIBO) stabil,
wenn alle Eigenwerte λ 1 ,...,λ n ∈ C der Matrix A negativen Realteil besitzen, d.h.
R{λ i } < 0 für alle i ∈ {1,...,n}. Die Eigenwerte können durch Nullsetzen der charakteristischen
[ Gleichung χ A (s) := det(sI n − A) = 0 bestimmt werden. Hierbei entspricht
1
.
I n = .. ∈ R
1]
n×n der Einheitsmatrix der Ordnung n. Die Eigenwerte λ i sind identisch
mit den Polen der Übertragungsfunktion (49).
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5 Grundlagen zu Drehfeldmaschinen (siehe [5] und [6])
Wichtige Grundlage zum Verständnis von Drehfeldmaschinen ist die Zeigertheorie (engl. space
vector theory). Hierzu siehe Abbildung 1.
u
v
w
q
q ′
i q′
s
i β s
β
ω s = ˙φ s
i s = i s s
d
ω k = ˙φ k
i d s
b
i q s
b
φ s
φ k
i d′
s
d ′
ω r = ˙φ r
c
b r
c r
a r
a
b r
c
c r
i α s
a r
a
φ r
α
Abbildung 1: Zeigertheorie: Maschine mit Anschlussklemmen u, v, w, Stator-Wicklungen a, b, c und
Rotor-Wicklungen a r , b r , c r (links) und unterschiedliche Koordinatensysteme (rechts):
• 3-phasiges Koordinatensystem (a,b,c),
• statorfestes s-Koordinatensystem (α,β),
• rotorfestes r-Koordinatensystem (d ′ ,q ′ ) und
• beliebiges k-Koordinatensystem (d,q)
und Statorstrom i s mit Länge ‖i s ‖ = ‖i s s‖ =
√
(i α s) 2 +(i β s) 2 = ‖is‖ r = ∥ ∥i s
k ∥ mit entsprechenden
Komponenten (z.B. i α s und i β s im Stator-Koordinatensystem).
• Clarke-Transformation von Stranggrößen x abc in Statorgrößen x s = T C x abc mit
T C : R 3 → R 3 ,
⎡
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 − 1
x a x α
⎝x b ⎠ ↦→ ⎝x β ⎠ := 2 2
− 1 ⎤
2 ⎛ ⎞
⎢0 √ 3
x c x 0 3 ⎣ 2
− √ x a
3
⎥⎝x b ⎠ (51)
2 ⎦
x c
} {{ } } {{ } 1 1 1
=:x abc =:x s }
2 2
{{
2
}
=:T C ∈R 3×3
[Analogie zu D. Schröder: a 0 := e j0◦ = 1, a 1 := e j120◦ , a 2 := e j240◦ ]
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wobei x ∈ {ψ r , ψ s , u r , i s , ...}. T C ist regulär mit inverser Matrix
⎡ ⎤
1 0 1
C = ⎢
⎣− 1 √
3
2 2
1⎥
⎦ , d.h. xabc = T −1
− 1 2
− √ 3
2
1
T −1
C xs . (52)
Oft wird die Nullkomponente x 0 vernachlässigt (z.B. gilt i 0 = 0 = i a +i b +i c bei Sternschaltung),
dann vereinfachen sich die Clarke-Transformationsmatrizen zu
⎡ ⎤
[ ]
1 0
T C = 2 1 −
1
− 1 2 2
√
3 0 3
− √ ∈ R 2×3 und T −1
3
C = ⎢
⎣− 1 √
3
⎥
2 2 ⎦ ∈ R3×2 .
2 2
− 1 − √ 3
2 2
• Park-Transformation von Statorgrößen x s in beliebig umlaufendes Koordinatensystem
(z.B. rotorfestes (d ′ ,q ′ )-KoSy oder rotorflussfestes (d,q)-KoSy)
Zur Vereinfachung wird die Nullkomponente (zero-sequence) x 0 in Statorgrößen vernachlässigt
[ ]
cos(φ) −sin(φ)
T P : R → R 2×2 , φ ↦→ T P (φ) :=
[Analogie zu D. Schröder: e jφ ]
sin(φ) cos(φ)
(53)
wobei T P (φ) regulär für alle φ ∈ R mit inverser Matrix
[ ]
cos(φ) sin(φ)
T P (φ) −1 = = T P (φ) ⊤ = T P (−φ). [Analogie zu D. Schröder: e −jφ ]
−sin(φ) cos(φ)
(54)
Es gilt entsprechend
[ ]
cos(φ) −sin(φ)
T P (−φ) −1 = = T P (−φ) ⊤ = T P (φ). (55)
sin(φ) cos(φ)
Mithilfe der trigonometrischen Sätze folgt
∀φ 1 ,φ 2 ∈ R: T P (φ 1 )·T P (φ 2 ) = T P (φ 1 +φ 2 ). [Analogie zu D. Schröder: e j(φ 1+φ 2 ) ]
(56)
Für φ = π/2 gilt
[ ]
( π
) 0 −1
J := T P = ,
2 1 0
[Analogie zu D. Schröder: e j π 2 ] (57)
was einer (positiven) Drehung um π/2 eines Vektors x ∈ R 2 entspricht.
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Die Matrizen J und T P (φ) kommutieren, d.h.
[ ]
−sin(φ) −cos(φ)
∀φ ∈ R: JT P (φ) = = T P (φ)J, (58)
cos(φ) −sin(φ)
Für d dt
und
φ =: ω gilt
[Analogie zu D. Schröder: e j(π 2 +φ) = e j(φ+π 2 ) = je jφ ].
[ ]
Ṫ P (φ) := d −sin(φ) −cos(φ)
dt T P(φ) = ω = ωJT P (φ) = ωT P (φ)J (59)
cos(φ) −sin(φ)
[Analogie zu D. Schröder:
Ṫ P (φ) −1 := d dt T P(φ) −1 = ω
[Analogie zu D. Schröder:
[
−sin(φ) cos(φ)
d
dt ejφ = jωe jφ = e j(π 2 +φ) = ωe j(φ+π 2 ) ]
−cos(φ) −sin(φ)
]
d
dt e−jφ = −jωe −jφ ]
= −ωJT P (φ) −1 = −ωT P (φ) −1 J
Mit der Konvention φ k = φ lässt sich mithilfe der Park-Transformation T P (φ k ) ausgehend
von einem statorfesten Koordinatensystem (α,β) in ein (beliebiges) umlaufendes
k-Koordinatensystem (d,q) (Superskript x k = (x d , x q ) ⊤ ) übergegangen werden
(60)
x k = T P (−φ k )x s = T P (φ k ) −1 x s =⇒ x s = T P (φ k )x k , (61)
z.B. zur Rotorfluss-Orientierung (d.h. ψr q = ˙ψ r q = 0 und ψr d = ‖ψr‖ r = ∥ ∥
∥ψ k r
∥, der
Rotorfluss im k-Koordinatensystem liegt ‘exakt’ auf der d-Achse).
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Optimierungstabelle
y ref
′
y
ref,0
′
✻
1
Führungsgröße
z
z 0
✻
1
Störgröße
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z F S
y ′ { }} {
y ref ref
✲ ✲ ❡ ✲ ✲ ❄
F R
❡−
y
F G
✲F Sσ
✲F S1
✲F S2
✲
✻−
Führungsglättung
Regler Strecke
Strecke
Regler
y
y ′ ref,0
y ∞
y ′ ref,0
0
✻
1
0
t an
t aus
✲
t
y max
y ′ ref,0 ±2%
✲
t
0
y
y max
V S z 0 ✻
y
V S z 0 ∞
V S z 0
0
❩
❩ Wendetangente
❩
❩
Verhalten bei Sprung der
Einstellung
Führungsgröße y ref (bzw. y
ref ′ ) Störgröße z Nr.
Günstiger
Opt.
Nr. Typ F S Typ F R t an t aus y max y ∞ T ers t an 1 y max 1 y ∞
Bereich Krit. T n V R T v T G (±2%)
T σ T σ y
ref,0
′ y
ref,0
′ T σ T σ V S z 0 V S z 0
V S
1
1
1 PT 1 beliebig I V R BO — — — 4,7 8,4 1,04 1 2 6,3 0,64 0 1
1+sT σ s 2T σ V S
( )
T 1
2
≫ 1 P V R BO — T 1
— — (4,7) (8,4) 1,04 y ∞ V R V S
1 1
T σ 2T σ V S y ′ 2 (4,7) ≈
2
ref,0
1+V R V S 1+V R V S 1+V R V S
√
V S T 1 1+sT n T 1
T1 0,5...1,2
3 PT 2 > 1 PI V R BO T 1 — — 4,7 8,4 1,04 1 2 5,5
0 3
(1+sT 1 )(1+sT σ ) T σ sT n 2T σ V S T σ T 1 /T σ
T 1 1+sT n T 1
— 3,1 ... 4,7 8,4 ... 16,5 1,04 ... 1,43 1 — 1,2...1,6
4
≥ 4 PI V R SO 4T σ — ≈ 10
0 4
T σ sT n 2T σ V S 0..4Tσ 4,7 ... 7,6 8,4 ... 13,3 1,04 ... 1,08 1 2 ... 4 T 1 /T σ
( )
T 1
5
≫ 1 PD V R (1+sT v ) BO — T 1
T 2 — (4,7) (8,4) 1,04 y ∞ V R V S
T σ 2T σ V S y ′ 2 4+ T 2 1 1
≈
5
ref,0
1+V R V S T σ 1+V R V S 1+V R V S
√
V S T 1 (1+sT n )(1+sT v ) T 1
T 1 T 2 0,5...0,75
6 PT 3 > 1 PID V R BO T 1 T 2 — 4,7 8,4 1,04 1 2 4,4 √ √
(1+sT 1 )(1+sT 2 )(1+sT σ ) T σ sT n 2T σ V S T 2 0 6
σ T1 /T σ T2 /T σ
√
T 1 (1+sT n )(1+sT v ) T 1
— 3,1 ... 4,7 8,4 ... 16,5 1,04 ... 1,43 1 — T2 1,4...1,8
7 T 2 > T σ ≥ 4 PID V R SO 4T σ T 2 ≈ 10 4 √ 0 7
T σ sT n 2T σ V S 0..4Tσ 4,7 ... 7,6 8,4 ... 13,3 1,04 ... 1,08 1 2 ... 4 T σ T 1 /T σ T2 /T σ
T 1
8
≫ 1 P V R BO — T 1
— — 4,7 8,4 1,04 1 2 (4,7) ≈ 1 1
8
V
V S T σ 2T σ V S V R V S V R V S S
IT 1
sT 1 (1+sT σ ) 1+sT n T 1
— 3,1 16,5 1,43 1 —
1,6
9 beliebig PI V R SO 4T σ — 10
0 9
sT n 2T σ V S 4Tσ 7,6 13,3 1,08 1 4
T 1 /T σ
T 1
10
≫ 1 PD V R (1+sT v ) BO — T 1
T 2 — 4,7 8,4 1,04 1 2 4+ T 2
≈ 1 1
10
V
V S T σ 2T σ V S T σ V R V S V R V S S
IT 2
√
sT 1 (1+sT 2 )(1+sT σ ) (1+sT n )(1+sT v ) T 1
— 3,1 16,5 1,43 1 — T2 1,8
11
beliebig PID V R SO 4T σ T 2 ≈ 10 4 √ 0 11
T 2 > T σ sT n 2T σ V S 4T σ 7,6 13,3 1,08 1 4 T σ T 1 /T σ T2 /T σ
Abbildung 2: Optimierungstabelle für exakt bekannte Strecken mit Ordnung n ≤ 3 und rein reellen Polen
(T 1 , T 2 ...große Zeitkonstanten, T σ ...kleine (Ersatz-)Zeitkonstante).
t an
✲
t
✲
t
Technische Universität München, Christoph Hackl Stand 26. 11. 2013
Regelung von regenerativen Energiesystemen Formelsammlung (WS13/14)

Regelung von regenerativen Energiesystemen
Formelsammlung (WS13/14)
Technische Universität München, Christoph Hackl Stand 26. 11. 2013
Literatur
[1] L. Råde, B. Westergren, and P. Vachenauer, Springers mathematische Formeln: Taschenbuch
für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler.
Springer-Verlag, 3. ed., 2000.
[2] K. Mertens, Photovoltaik. Hanser Verlag, 2013.
[3] V. Quaschning, Regenerative Energiesysteme. Hanser Verlag, 2011.
[4] R. Kories and H. Schmidt-Walter, Taschenbuch der Elektrotechnik. Verlag Harri Deutsch,
1998.
[5] D. Schröder, Elektrische Antriebe — Grundlagen (3.,erw. Auflage). Springer-Verlag, 2007.
[6] D. Schröder, Elektrische Antriebe - Regelung von Antriebssystemen (3., bearb. Auflage).
Berlin: Springer-Verlag, 2009.
[7] D. Hinrichsen and A. Pritchard, Mathematical Systems Theory I — Modelling, State Space
Analysis, Stability and Robustness. No. 48 in Texts in Applied Mathematics, Berlin:
Springer-Verlag, 2005.
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