Dynamisches Betriebsverhalten - EAL Lehrstuhl für Elektrische ...

Lehrstuhl für Elektrische Antriebssysteme und Leistungselektronik
Technische Universität München
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D–80333 München
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Prof. Dr.-Ing. Ralph Kennel
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Elektrische Antriebe
Grundlagen und Anwendungen
Übung 3: Dynamisches Betriebsverhalten
und Regelung der Gleichstrommaschine
1

1 Theorie
Zur Wiederholung:
Die 5 Grundgleichungen der Gleichstrommaschine.
Der Signalflussplan der Gleichstrommaschine.
U a
E a
1
R a
−
di a
U a = R a i a + L a
dt + E a (1.1)
E a = k 1 Φ e ω (1.2)
M Mi = k 1 Φ e i a (1.3)
dω
dt = 1 J (M Mi − M L ) (1.4)
Φ e = f (i e ) (1.5)
T a
i a
Φ e
M Mi
M L 1
J
−
k 1
ω
k 1
Abbildung 1.1: Signalflussplan der Gleichstrommaschine
Das Übertragungsverhalten der Gleichstrommaschine im Laplacebereich gleicht bei konstantem
Erregerfluss und M L = 0 einem Trägheitsglied 2. Ordnung,
K
G g =
1
s
ω 2 + 2D
0
2 ω 0
s + 1
(1.6)
mit den folgenden Kenngrößen.
Stationäre Verstärkung: K = 1
k 1 Φ e
(1.7)
Eigenfrequenz: ω 0 = k 1 Φ e
√
1
JL a
(1.8)
Lehr’sches Dämpfungsmaß: D = R a
2k 1 Φ e
√
J
L a
(1.9)
1.1 Dynamisches Betriebsverhalten
Wird an den Klemmen der Gleichstrommaschine eine Spannung angelegt, die größer als die
induzierte Spannung ist, baut sich im Ankerkreis ein Strom auf. Dieser Strom ruft instantan
ein proportionales Drehmoment hervor, was der Last entgegenwirkt und den Rotor beschleunigt,
also die Drehzahl kontinuierlich erhöht. Der genaue Zusammenhang zwischen den genannten
Größen lässt sich in einer Differentialgleichung beschreiben.
2

1.1.1 Differentialgleichung der Gleichstrommaschine
Als Grundlage dient die Spannungsgleichung des Ankerkreises (1.1) mit ausgeschriebenem Term
E a .
U a = R a i a + L a ˙ i a + k 1 Φ e ω (1.10)
Weil ein stationärer Betrieb nicht angenommen werden kann, bleibt der induktive Term erhalten.
Der Ankerstrom kann gemäß Gl.(1.3) durch das Drehmoment der Maschine ersetzt werden.
Für die Ableitung des Stroms im induktiven Term kommt folglich die Ableitung des Drehmoments
zum Einsatz. Dabei wird der Erregerfluss in der Ableitung als Konstante behandelt.
U a = R a
M Mi + L a
M˙
Mi + k 1 Φ e ω (1.11)
k 1 Φ e k 1 Φ e
Das Drehmoment M Mi lässt sich nun gemäß Grundgleichung (1.5) als Kombination aus Beschleunigungsund
Lastmoment beschreiben.
M Mi = J ˙ω + M L (1.12)
U a = JR a
˙ω + R a
M L + JL a
¨ω + L a
M˙
L + k 1 Φ e ω (1.13)
k 1 Φ e k 1 Φ e k 1 Φ e k 1 Φ e
Damit ergibt sich eine lineare inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung zur Beschreibung
der Rotordrehzahl und ihrer Abhängigkeit von der Ankerspannung U a und dem Lastmoment
M L .
¨ω + R a
L a
Die Lösung des homogenen Teils
˙ω + k2 1Φ 2 e
JL a
ω = k 1Φ e
JL a
U a − 1 J ˙ M L − R a
JL a
M L (1.14)
¨ω + R a
L a
˙ω + k2 1Φ 2 e
JL a
ω = 0 (1.15)
erfolgt über den bekannten Ansatz e λt .
ω = ω 0 e λt ω = ω 0 λe λt ¨ω = ω 0 λ 2 e λt (1.16)
Durch das Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt sich ein quadratisches Polynom
0 = ω 0 λ 2 e λt + R a
L a
ω 0 λe λt + k2 1Φ 2 e
JL a
ω 0 e λt (1.17)
0 = λ 2 + R a
L a
λ + k2 1Φ 2 e
JL a
(1.18)
aus dessen Lösung λ, also der Faktor im Exponenten der Lösung bestimmmt werden kann.
√
λ 1/2 = − R a
2L a
±
Ra
2
4L 2 a
− k2 1Φ 2 e
JL a
(1.19)
Bei dem Ergebnis dieser Lösung sind zwei grundlegende Fälle zu unterscheiden:
1.
R 2 a
4L 2 a
≥ k2 1 Φ2 e
JL a
entspricht D = Ra
√
J
2k 1 Φ e
L a
≥ 1 oder 4T a ≤ T m
Die Subtraktion unter der Wurzel ergibt einen positiven Wert. Die Ergebnisse für λ sind
damit reell was dazu führt, dass die e-Funktion der Lösung einen aperiodisch abklingenden
Verlauf über der Zeit hat.
3

2.
R 2 a
4L 2 a
< k2 1 Φ2 e
JL a
entspricht D = Ra
√
J
2k 1 Φ e
L a
< 1 oder 4T a > T m
Die Subtraktion unter der Wurzel ergibt einen negativen Wert. Die Ergebnisse für λ sind
damit komplex was dazu führt, dass die e-Funktion der Lösung mit dem nun komplexen
Exponenten eine Schwingung ergibt, deren Frequenz vom Imaginärteil I {λ} und deren
Abklingverhalten vom Realteil R {λ} beschrieben wird.
ω 1 (t) = ω 0 e λ 1t = ω 0 e (R{λ 1}+I{λ 1 })t = ω 0 e eI{λ 1 }t R{λ 1 }t
= ω 0 (cos(λ 1 t) + i sin(λ 1 t))e R{λ 1}t
(1.20)
(1.21)
Weil R {λ} < 0 sein muss, ist die Schwingung immer abklingend.
ω
ω 0
ω
ω 0
t
t
Abbildung 1.2: Lösung der homogenen DGL links: Fall 1 ,rechts: Fall 2
1.1.2 Vereinfachung zum System 1. Ordnung
Ein im Allgemeinen unerwünschter Effekt bei elektrischen Maschinen ist der durch die Ankerinduktivität
verzögerte Stromaufbau, denn er verschlechtert die Dynamik des gesamten Systems.
Bei der Gleichstrommaschine führt er bei hohen Drehzahlen zu einem weiteren Nachteil am
Kommutator: Wird drehzahlbedingt die für die Stromwendung vorgesehene Zeit kürzer als sich
der Strom in der Ankerinduktivität abbauen kann, fließt der am Ende verbleibende Strom nach
der Kontaktunterbrechung zwischen Bürste und Kollektorlamelle zwangläufig über die Luft
weiter und bildet dort einen Lichtbogen. Dieses sog. Bürstenfeuer bestimmt den Verschleiß des
Kommutators maßgeblich mit.
Kompensationswicklung
Wendepol
Φ a
Abbildung 1.3: Maßnahmen zur Verkleinerung der Ankerzeitkonstante
4

Zur Minimierung dieser Effekte werden konstruktive Maßnahmen ergriffen um die Ankerzeitkonstante
T a = La
R a
und damit L a möglichst klein zu halten. Das heißt, dass der Ankerstrom i a
möglichst wenig Fluss Φ a erzeugen darf.
L a = Ψ a
i a
= n a
Φ a
i a
(1.22)
Deshalb werden, wie in Abbildung 1.3 dargestellt, neben den großen Lufträumen links und
rechts des Rotors zur Optimierung Wendepole (rot) und Kompensationswicklungen (blau) integriert,
die in Reihe zur Ankerwicklung geschaltet vom gleichen Strom i a durchflossen werden
und dabei ein gegenläufiges Feld hervorrufen, das Φ a idealerweise vollständig kompensiert. In
Summe entsteht damit aus dem Ankerstrom deutlich weniger Fluss, was zu einer Senkung der
Ankerinduktivität und damit der Ankerzeitkonstante führt.
Diese übliche Auslegung führt zu 4T a = 4L2 a

Die vollständige Lösung der DGL (1.24) ergibt sich nach der Addition des partikulären Anteils
zum homogenen Anteil.
ω(t) = ω h + ω p = ω 0 e − t
Tm + C(t)ω 0 e − t
Tm (1.33)
= ω 0 e − t
Tm + k 1Φ e
JR a
∫t
0
U a e t
Tm dt e − t
Tm − 1 ∫ t
M L e t
Tm dt e − t
Tm (1.34)
J
0
Gleichung 1.34 beschreibt den allgemeinen Fall für beliebige Ankerspannungs- und Lastmomentverläufe.
Sind diese Werte konstant vereinfacht sich die Gleichung.
Konstante Ankerspannung und kein Lastmoment:
ω(t) = ω 0 e − t
Tm + k 1Φ e
JR a
U a
∫t
0
e t
Tm dt e − t
Tm − 1 ∫ t
J
= ω 0 e − t
Tm + k 1Φ e
JR a
T m U a
(
1 − e − t
Tm
Konstante Ankerspannung und konstantes Lastmoment:
ω(t) = ω 0 e − t
Tm + k 1Φ e
JR a
U a
= ω 0 e − t
Tm +
(
Ua
k 1 Φ e
∫t
0
0
0e t
Tm dt e − t
Tm (1.35)
)
= ω 0 e − t
Tm + U a
k 1 Φ e
(
1 − e − t
Tm
e t
Tm dt e − t
Tm − 1 ∫ t
J M L
− R aM L
k 2 1Φ 2 e
) (
1 − e − t
Tm
)
0
)
(1.36)
e t
Tm dt e − t
Tm (1.37)
(1.38)
Unter konstanter Anregung durch U a und M L antwortet die Gleichstrommaschine in der Drehzahl
also immer mit einem transienten Ausgleichsvorgang. Dabei ergibt sich ein Übergang von
der Anfangsdrehzahl ω 0 zur stationären Drehzahl ω ∞ = Ua
k 1 Φ e
bzw. ω ∞ = Ua
k 1 Φ e
− RaM L
in Form
k1 2Φ2 e
einer e −t Kurve.
( )
w(t) = ω 0 e − t
Tm + ω ∞ 1 − e − t
Tm
(1.39)
)
= ω 0 + (ω ∞ − ω 0 )
(1 − e − t
Tm
(1.40)
1.1.3 Betrieb in Strombegrenzung
Im Ankerstellbetieb, wo die Spannung immer so gestellt wird, dass der Nennstrom i N nicht
überschritten wird, wird näherungsweise mit konstantem Moment gearbeitet.
M Mi = k 1 Φ e i N (1.41)
Wird auch hier ein konstantes Lastmoment angenommen, bildet sich der Drehzahlverlauf in
Form einer Geraden aus.
dω
dt = 1 J (M Mi − M L ) = 1 J (k 1Φ e i N − M L ) (1.42)
ω = 1 J
∫ t
0
(k 1 Φ e i N − M L )dt = k 1Φ e i N − M L
J
· t (1.43)
6

ω
ω L
ω Last
ω N
T N T Last Zeit t
Abbildung 1.4: Zeitverlauf der Drehzahl für T A = 0
1.1.4 Zusammenfassung des Dynamischen Verhaltens
In Abbildung 1.4 ist der auf den letzten Seiten hergeleitete zeitliche Drehzahlverlauf einer
Gleichstrommaschine unter Vernachlässigung der Ankerzeitkonstante grafisch aufgetragen. Das
zu Beginn (im Ankerstellbereich) konstante Drehmoment führt zu einer konstanten Beschleunigung
und damit zu einem linearen Drehzahlanstieg über der Zeit.
Beim Erreichen der Nenndrehzahl ω N ergibt die Summe aus dem Spannungsabfall über dem
Widerstand R a i N und der induzierten Spannung E a die maximal verfügbare Spannung U N . Bis
zu diesem Zeitpunkt T N ist das Maximalmoment verfügbar. Weil nun aber trotz vorhandener
Beschleunigung die Ankerspannung nicht weiter erhöht werden kann, sinkt der Ankerstrom,
sodass die Spannungsgleichung des Ankerkreises weiter gilt. Damit fällt aber auch das Motormoment,
was zur Folge hat, dass der Motor langsamer beschleunigt, also die Drehzahl langsamer
steigt. Das Resultat ist ein zwischen T N und T Last mit e −t -Charakteristik ansteigender Drehzahlverlauf,
der theoretisch für t → ∞ die Leerlaufdrehzahl ω L erreichen würde.
Zum Zeitpunkt T Last wird der Motor jedoch sprungartig mit einer Last beaufschlagt, die fortan
konstant ist. M Mi − M L ergibt damit in der vierten GM-Gleichung (1.4) einen negativen
Wert, also eine negative Beschleunigung; der Motor wird langsamer, die Drehzahl ω sinkt und
damit auch die induzierte Spannung E a . Durch die nun schwächere induzierte Spannung kann
wieder mehr Strom durch den Ankerwiderstand getrieben werden, was das Motormoment M Mi
vergrößert und damit den Betrag des negativen Beschleunigungswertes abschwächt - die Kurve
fällt flacher. Das Resultat ist auch hier wieder eine Kurve mit e −t -Charakteristik, die nun
beginnend von der fast erreichten Leerlaufdrehzahl ω 0 ≈ ω L zur Lastdrehzahl ω Last hin abfällt,
die sie theoretisch bei t → ∞ erreicht.
1.2 Regelung der Gleichstrommaschine
In der technischen Anwendung ist es oft von Bedeutung, dass der Antrieb möglichst exakt
bei einer bestimmten Drehzahl arbeitet, die durchaus von der Nenndrehzahl abweichen kann.
Um dieser Forderung nachzukommen gibt es zwei verschiedene Wege, die Steuerung und die
Regelung.
Dazu sei die Gleichstrommaschine, wie in Abbildung 1.5 dargestellt, ganz allgemein als regelungstechnisches
System verstanden, dass von einer Stellgröße u (Bei der Gleichstrommaschine
U a ) beeinflusst werden kann. Der Systemausgang ist die in der Anwendung interessante physikalische
Größe (im obigen Beispiel ω) und wird als Regelgröße y bezeichnet. Die Stellgröße
7

u
z
System
y
Abbildung 1.5: Regelungstechnische Systembeschreibung
u beeinflusst also den Systemausgang y nach bestimmten Gesetzmäßigkeiten, die im System
beschrieben sind. Neben u gibt es in der Regel weitere den Ausgang beeinflussende Größen, die
selbst nicht beeinflussbar und in der Regel unbekannt sind (bei der Gleichstrommaschine z.B.
das Lastmoment M L ). Sie werden als Störgrößen z bezeichnet.
Wird nun eine bestimmte Ausgangsgröße y (z.B Drehzahl ω) erwünscht, wird dieser Sollwert
durch die Führungsgröße w dargestellt und ein Konzept benutzt um das System dazu zu bewegen
einen Ausgangswert y anzunehmen, der mit der Führungsgröße w möglichst gut übereinstimmt.
z
w
Steuerung
u
System
y
Abbildung 1.6: Steuerung
In Abbildung 1.6 ist das Prinzip der Steuerung dargestellt. Sind die Struktur und die Parameter
des Systems ausreichend gut bekannt, so lässt sich in der Steuerung eine Logik (inverses
System) hinterlegen, die das System genau mit der Stellgröße u versorgt, die es braucht um am
Ausgang y = w zu ergeben. Problematisch ist hierbei nur, dass in der Realität die Parameter
niemals mit absoluter Genauigkeit bekannt sind und in der Regel auch über der Zeit, Temperatur
usw. variieren. Somit wird sich in der Realität, selbst bei z = 0, niemals der exakte Sollwert
einstellen. Wie nun schon angedeutet, ergibt sich ein noch größeres Problem beim Vorhandensein
einer Störgröße z, wie dem Lastmoment M L . Wird die Gleichstrommaschine also mit einer
bestimmten Ankerspannung U N angesteuert, damit sich im Leerlauf eine Drehzahl ω L einstellt,
so entsteht unter Störung durch M L eine gewisse Abweichung, weil die Drehzahl lastbedingt
abfällt.
Aus dieser Abweichung wird im zweiten Ansatz, der Regelung, der sog. Regelfehler e definiert
e = w − y (1.44)
und dessen Verlauf von einem Regler nach bestimmten Kriterien bewertet. Aufgrund dieser
Bewertung stellt der Regler dann eine Stellgröße u, die y in Richtung von w zwingt und damit
den Regelfehler e verkleinert.
z
w
−
e
Regler
u
System
y
Abbildung 1.7: Regelung
Weil nun die Stellgröße u danach gebildet wird wie gut der Ausgang mit seinem Sollwert
übereinstimmt, ist nur noch ein grobes Wissen über die Parameter des Systems notwendig und
es kann auch einer Störgröße entgegengewirkt werden.
8

1.2.1 Grundarten der Regler
P-Regler Die einfachste Form der Bewertung des Regelfehlers e nimmt der P-Regler vor,
wobei P für „proportional“ steht. Hier ergibt sich u durch den mit dem Faktor k p verstärkten
Regelfehler.
u = k p · e (1.45)
Ein P-Regler hat im Normalfall keinen nachteiligen Einfluss auf die Systemdynamik, jedoch
bringt er einen entscheidenden Nachteil mit sich: Bei Systemen, die für einen dauerhaften Wert y
am Ausgang eine dauerhafte Stellgröße u am Eingang benötigen (z.B. sämtliche Trägheitsglieder
PT1, PT2 usw.) stellt sich mit einem P-Regler eine bleibende Regelabweichung ein. Das heißt y
wird w nie erreichen, weil sonst e = 0 wäre und der Regler keine Stellgröße mehr stellen könne,
die aber zum Vorhandensein eines y-Wertes benötigt wird.
Hat das System ein stationäres Übertragungsverhalten
G ∞ = y ∞
u ∞
, (1.46)
so stellt sich mit einem P-Regler die folgende bleibende Regelabweichung ein.
e ∞ = w ∞ − y ∞ = w ∞ − G ∞ u ∞ = w ∞ − G ∞ k p e ∞ (1.47)
1
e ∞ = · w ∞
1 + G ∞ k p
(1.48)
w,y
w
e ∞
y ∞
y
Zeit t
Abbildung 1.8: Bleibende Regelabweichung
I-Regler / I-Anteil Die Lösung für dieses Problem wäre ein Regler der eine Stellgröße
u stellen kann, ohne dafür eine Regelabweichung zu benötigen. Dies wird über den I-Regler
realisiert, bei dem I für „Integral“ steht. Er bildet die Stellgröße u aus der Regelabweichung e
nach dem folgenden Gesetzt:
u = k i
∫t
0
e dt (1.49)
Es genügt hierbei also, wenn vom Zeitpunkt t aus betrachtet in der Vergangenheit für eine
gewisse Zeit eine Regelabweichung vorhanden war; zum Zeitpunkt t und später kann diese
durchaus e = 0 betragen.
Weil ein I-Regler zum aufbauen einer Stellgröße jedoch immer eine bestimmte Zeit benötigt, ist
seine Reaktion verzögert und beeinflusst damit die Dynamik des Systems nachteilig. Ist bereits
eine Verzögerung im System selbst vorhanden, wird es in Kombination mit einem I-Regler in
9

aller Regel schwingfähig. Dies passiert, wenn das Integral während des Vorhandenseins einer
Regelabweichung einen größeren Wert aufbaut, als er zum Erreichen von y = w notwendig wäre,
sodass das System über das Ziel hinaus schießt. Oberhalb ergibt sich dann eine negatives e,
durch das der Regler folglich (bei linearen Verhältnissen) einen kleineren Wert aufbauen wird,
als er zum Erreichen von y = w notwendig ist. Nach der richtigen Auslegung von k i ist dieser
Vorgang stabil, was heißt, dass die Schwingung rasch abklingt und ein konstanter Endwert ohne
bleibende Regelabweichung erreicht wird.
w,y
w
y
Zeit t
Abbildung 1.9: Einregelvorgang eines I-Reglers
Ein I-Regler kommt nur seltenst allein zum Einsatz. Meist bildet er den I-Anteil in einem PI-
Regler, welcher bessere dynamische Eigenschaften hat, als der I-Regler allein und dabei keine
bleibende Regelabweichung aufweist. Ein PI-Regler bildet seine Stellgröße nach dem folgenden
Gesetz.
u = k p · e + k i
∫t
e dt (1.50)
0
= k p
⎛
⎝e + 1 T i
∫
0
t
⎞
e dt⎠
mit: T i = k p
k i
(1.51)
D-Anteil Zur Bekämpfung von Stabilitätsproblemen (Schwingung) oder zur speziellen Verbesserung
der Dynamik kann ein D-Anteil verwendet werden, der die Stellgröße nach dem
folgenden Gesetz bildet.
u = k d · de
dt
(1.52)
Weil er eine zur Geschwindigkeit proportionale Stellgröße bildet, wirkt er als eine Art Dämpfung
und nimmt deshalb bei dynamischen Vorgängen Energie aus dem System.
Probleme bringt der D-Anteil mit sich, wenn die in der Anwendung rückgemessene Regelgröße y
durch die Messung einen bestimmten Rauschanteil bekommt. Dieser wird vom D-Anteil deutlich
verstärkt in die Stellgröße überführt und verursacht damit Vibrationen, Geräusche und Verluste.
1.2.2 Umsetzung an der Gleichstrommaschine
Wie bereits erwähnt, hat die Gleichstrommaschine zwei Zustandsgrößen, die bei hohem Anspruch
an die Systemdynamik beide geregelt werden sollten: Der Strom und die Drehzahl. Dies
erfolgt in der Praxis meist über eine kaskadierten Reglerstruktur oder Kaskadenregelung, die
im folgenden Abschnitt aufgebaut wird.
10

Stromregelung Das bei der Stromregelung zu regelnde System wird durch die Spannnungsgleichung
des Ankerkreises beschrieben und ist in Abbildung 1.10 als Blockschaltbild dargestellt.
U a
E a
1
R a
-
T a
i a
Abbildung 1.10: Blockschaltbild der Spannungsgleichung
Es besteht aus einem Trägheitsglied erster Ordnung, kann durch die Stellgröße U a gesteuert
werden und wird von der Störgröße E a beeinflusst. Um durch das PT1-Glied keine bleibende
Regelabweichung zu erhalten und um der Störgröße entgegen zu wirken ist die Verwendung
eines PI-Regler zu empfehlen.
i ∗ a
e
k p
T i
R a
U a -
E a 1
T a
i a
-
Abbildung 1.11: Stromregelkreis der Gleichstrommaschine
Die Umsetzung des Stromregelkreises ist in Abbildung 1.11 dargestellt. Vom Sollstrom i ∗ a, wird
der reale Wert i a abgezogen, die Differenz e mit einem PI-Regler bewertet und in die Ankerspannung
U a überführt. Das Übertragungsverhalten der gesamten, rückgekoppelten Struktur
führt in etwa 1 zu der in Abbildung 1.9 dargestellten Sprungantwort. Einregelzeit liegt dabei
deutlich unterhalb der Ankerzeitkonstante T a , die ohne die Stomregelung die Größenordnung
der Zeit widerspiegelt, die bei einer Steuerung vergeht bis aus einer gestellten Spannung das
zugehörige Drehmoment entsteht.
Drehzahlregelung Das System, das der Drehzahlregelung zugrunde liegt ist zunächst einmal
das Strukturbild der Gleichstrommaschine aus Abbildung 1.1. Zur Verbesserung der Dynamik
wird nun aber das bereits angesprochene Prinzip der Kaskadenregelung umgesetzt und als
Stellgröße nicht U a , sondern i ∗ a, die Führungsgröße des Stromregelkreises, verwendet. Wie schon
beschrieben wird i ∗ a vom unterlagerten Stromregelkreis deutlich schneller in einen Strom und
damit in ein Drehmoment übersetzt, als es das bloße Stellen von U a täte.
Damit ergibt sich als Regelstrecke für den Drehzahlregler die in Abbildung 1.12 dargestellte
Struktur.
Aufgrund des Integrators am Ende der Abbildung und des PI-Stromreglers ist es mit dieser
Struktur möglich bei einer Stellgröße i ∗ a = 0 einen Wert der Regelgröße ω dauerhaft einzustellen.
Daraus folgt, dass dieses idealisierte 2 System im ungestörten Fall unter Verwendung eines P-
Reglers keine bleibende Regelabweichung hat.
Die Forderung nach stationärer Genauigkeit unter Last erfordert aber schließlich doch einen
PI-Regler, womit sich die in Abbildung 1.13 Struktur der Drehzahlregelung ergibt.
1 Der Anstieg der Kurve y zum Zeitpunkt des Sprungs ist nicht Null, sondern ändert sich sprunghaft zu einer
bestimmten Steigung.
2 Reibung und andere Verluste wurden nicht berücksichtigt.
11

i ∗ a
−
k 1
ω
k 1
E a
i a
Φ e
M Mi
M L 1
J
Abbildung 1.12: Regelstrecke der Drehzahlregelung
w ∗
e
−
k p
T i
i ∗ a
−
k 1
ω
k 1
E a
i a
Φ e
M Mi
M L 1
J
Abbildung 1.13: Struktur der Drehzahlregelung
Kaskadenregelung mit EMK-Kompenstion Wie in den letzten zwei Strukturbilder nun
ersichtlich wurde, handelt es sich, wenn eine überlagerte Drehzahlregelung vorhanden ist, bei
E a nicht um eine unbekannte Störgröße für den Stromregler, da die Drehzahl gemessen wird
und aus ihr die induzierte Spannung E a berechnet werden kann. Bekannte Störgrößen können
deshalb durch eine entsprechende Vorsteuerung kompensiert werden. Eine solche sog. Störgrößenkompensation
hat einen verbessernden Einfluss auf die Dynamik des Systems.
Die Gesamtstruktur der Kaskadenregelung mit EMK-Kompensation ist in Abbildung 1.14 dargestellt.
Darin soll ganz klar der Logikteil „Regelung“ vom physikalischen Objekt „Gleichstrom-
Regelung
k p
w ∗
−
T i
i ∗ a
−
k p
T i
k 1 Φ e
U ∗ a
Gleichstrommaschine
U a
1
−
E a
R a T a
ia
M L
1
J
M Mi
− k 1
ω
Φ e
k 1
Abbildung 1.14: Kaskadenregelung mit EMK Kompensation
maschine“ unterschieden werden, denn links sind numerische Berechnungen in einem Mikrocontroller
und rechts reale Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen dargestellt. Die
Schnittstelle zwischen beiden Systemen bildet in der oberen Mitte die Leistungselektronik, die
den digitalen Spannungswert in einen realen überführt und in der unteren Mitte die Sensoren,
die bei der Messung die realen Größen Strom und Drehzahl in digitale Werte wandeln.
12

1.3 Übersetzungen
Sei es das Abrollen zweier Zahnräder, der Kontakt zwischen einem Rad und dem Boden oder das
Fortbewegen des Schlittens einer Kugelrollspindel - überall wo Wege und/oder Winkel in fester
Relation zueinander stehen handelt es sich um eine Übersetzung. Das Übersetzungsverhältnis
z 3 ist dabei wie folgt definiert
z = dϕ Ab
dϕ An
, (1.53)
wobei jedes ϕ auch durch einen Weg ersetzt werden kann. Damit folgt also für die an- und
abtriebsseitigen Geschwindigkeiten:
˙ϕ Ab = z · ˙ϕ An (1.54)
Der Energieerhaltungssatz fordert (bei verlustfreien Übersetzungen) ein inverses Verhältnis für
Drehmomente und Kräfte.
M Ab = 1 z · M An (1.55)
Dabei kann auch hier das Drehmoment M durch eine Kraft ersetzt werden.
Die Projektion von Drehmomenten, Kräften, Winkeln oder Wegen durch ein Getriebe erfolgt
also durch einfache Multiplikation, bzw. Division mit dem Übersetzungsverhältnis z.
Die Projektion von energiebezognen Größen, wie Trägheiten J, Dämpfungen d oder Steifigkeiten
c, durch ein Getriebe muss gesondert betrachtet werden.
M J,Ab = J Ab · ¨ϕ Ab (1.56)
M d,Ab = d Ab · ˙ϕ Ab (1.57)
M c,Ab = c Ab · ϕ Ab (1.58)
Ersetzt man nun die abtriebsseitigen Größen durch ihren Zusammenhang mit der Antriebsseite
wird folgender ein quadratischer Zusammenhang ersichtlich.
1
z M J,An = J Ab z · ¨ϕ An (1.59)
1
z M d,An = d Ab z · ˙ϕ An (1.60)
1
z M c,An = c Ab z · ϕ An (1.61)
M J,An = z 2 J Ab · ¨ϕ An (1.62)
M d,An = z 2 d Ab · ˙ϕ An (1.63)
M c,An = z 2 c Ab · ϕ An (1.64)
Damit lässt sich antriebsseitig ein sogenanntes reduziertes Massenträgheitsmoment, eine reduzierte
Dämpfung oder eine reduzierte Steifigkeit verwenden.
J red,An = z 2 J Ab (1.65)
d red,An = z 2 d Ab (1.66)
c red,An = z 2 c Ab (1.67)
3 Die unüblich Wahl des Formelzeichen soll eine Verwechslung mit dem Strom i vermeiden.
13

2 Übungsaufgaben
2.1 Aufgabe 1 - RC-Fahrzeug
r v
r h
ω
m A
m C
m G z g
m v , J v
m M , J R
J G
m h , J h
ω
M
t
Abbildung 2.1: RC Fahrzeug
J v = 1, 5 10 −5 kgm 2 J h = 8.0 10 −5 kgm 2 J R = 0.3 10 −5 kgm 2 J G = 0.5 10 −5 kgm 2
m v = 0.030kg m h = 0.080kg m M = 0.190kg m G = 0.100kg
m C = 0.750kg m A = 0.390kg r v = 0.03m r h = 0, 04m
z g = 0.25 R a = 0, 165Ω L a = 0, 5mH k 1 Φ e = 6, 32 10 −3 V s
U Akku = 7, 2V
i max = 30A
Ein RC Modellfahrzeug, das von einem Gleichstrommotor betrieben wird, soll über eine 30 ◦
geneigte Schanze springen. Vom Stillstand beginnend betätigt der Fahrer an der Fernsteuerung
sprunghaft den Gashahn zur Maximalstellung. Dabei beschränkt die Endstufe den Stom auf
i max = 30A. Für die Berechnungen wird angenommen, dass die Ankerzeitkonstante T a = 0 ist.
1. Welchen Wert hat das motorseitige reduzierte Massenträgheitsmoment J red ?
2. Bis zu welchem Zeitpunkt t 1 wird mit aktiver Strombegrenzung gefahren?
3. Das Fahrzeug erreicht die Schanze mit 90% seiner maximalen Geschwindigkeit. Zu welchem
Zeitpunkt t 2 erreicht das Fahrzeug die Schanze?
4. Die Fahrt auf der Schanze dauert 0, 2s. Mit welcher Endgeschwindigkeit verlässt das
Fahrzeug die Schanze?
5. Welche Umfangsgeschwindigkeit haben die Hinterräder 0, 2s nach dem Verlassen der
Schanze erreicht?
6. Zeichnen sie den gesamten Fahrvorgang qualitativ in das M-ω- und in das ω-t-Diagramm
ein!
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2.2 Aufgabe 2 - Geregelter Fahrbetrieb
Das gleiche Fahrzeug wie in Aufgabe 1 wird nun mit einer Regelung für Strom und Drehzahl
versehen. Dabei gibt die Stellung des Gashahns an der Fernsteuerung die Führungsgröße ω ∗ der
Kaskadenregelung vor - der maximal ausgelegte Hebel entspricht der Leerlaufdrehzahl ω l . Die
Ankerzeitkonstante T a soll diesmal nicht vernachlässigt werden. Als Regler werden in beiden
Fällen P-Regler verwendet und die Strombegrenzung ist durch ein Sättigungsglied im Signal
des Sollstroms realisiert.
k pω = 0.5 As
rad
k pi = 2 V A
1. Zeichnen sie das Strukturbild der geregelten Gleichstrommaschine von ω ∗ bis ω! (ohne
EMK-Kompensation)
2. Welcher stationäre Strom i a∞ stellt sich ein, wenn das Fahrzeug bei maximaler Gasstellung
festgehalten wird?
3. Welche bleibenden Regelabweichungen e i∞ und e ω∞ und welche zugehörigen stationären
Werte i a und ω stellen sich ein, wenn das Fahrzeug in der Ebene fährt?
4. Der P-Regler des Stromregelkreises wird nun durch einen PI-Regler ersetzt. Welche Auswirkung
hat das auf die bleibende Regelabweichung des Drehzahlregelkreises e ω∞ ?
5. Verändert sich e ω∞ auf einem Berg mit der Steigung der Schanze? Wenn ja, zu welchem
Wert?
6. Während des Betriebs mit neuem Regler fällt der Stromsensor aus. Bei der Reparatur ist
kein originales Ersatzteil mehr vorhanden und es wird ein Sensor mit halber Verstärkung
verbaut. Welche bleibende Regelabweichung des Drehzahlregelkreises e ω∞ stellt sich nun
auf dem Berg ein?
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