Funktionale dreidimensionale Photonische Kristalle aus ...

1. Einleitung 3
1.1. Photonische Kristalle
Photonische Kristalle werden oft als Analogon zu Halbleitern betrachtet. Im Prinzip entspricht
die Variation des Brechungsindexes in einem dielektrischen Medium für Photonen dem git-
terperiodischen Potential der Atome in einem Halbleiter für Elektronen. Um ein verständli-
ches Bild von photonischen Kristallen zu liefern, mag diese Analogie ausreichen, allerdings
gibt es fundamentale Unterschiede [35] . Während die Physik der bewegten Elektronen in Halb-
leitern von der Schrödingergleichung beschrieben werden kann, wird die Physik in photoni-
schen Kristallen am besten mit den Maxwell´schen Gleichungen dargestellt. Daraus folgt,
dass das elektromagnetische Feld skalaren Charakter hat, während das Wellenfeld von Elek-
tronen vektoriell beschrieben wird. Überdies sind in der Schrödingergleichung negative Ei-
genwerte als Lösung erlaubt. Bei den Maxwell´schen Gleichungen treten nur positive Eigen-
werte auf. In der Quantenmechanik sind die Übergänge zwischen einzelnen Energiebändern
wichtig, bei den photonischen Kristallen ist dagegen die Lage der Bänder bzw. der Bandlü-
cken von entscheidender Bedeutung. Die energetische Lage der Bänder eines Halbleiters be-
schränkt sich auf den Bereich des Bohr´schen Radius´. Dadurch, dass bei der Beschreibung
des elektromagnetischen Feldes keine fundamentalen Konstanten mit Längeneinheiten zum
Einsatz kommen, ist die Lage der Bandlücken eines photonischen Kristalls durch das gesamte
Spektrum variierbar. Dies eröffnet zum Beispiel die Untersuchung von photonischen Effekten
im Zentimetermaßstab, wobei die Ergebnisse auf den Submikrometerbereich übertragbar sind.
1.1.1. Eigenschaften
Wie schon angedeutet, besteht heute die Möglichkeit, Eigenschaften von Materialien nicht
nur experimentell zu ermitteln, sondern auch zu simulieren. Dies ist besonders in neuen For-
schungsfeldern sinnvoll, wenn die bestimmte Eigenschaft eines Materials durch Simulationen
postuliert wird. Diese Eigenschaft kann dann durch die experimentelle Forschung auf ver-
schiedenen Wegen realisiert werden. Die Eigenschaften der photonischen Kristalle soll im
Folgenden am theoretischen Hintergrund der Elektrodynamik erklärt werden [20,35] . Diese ist
die Grundlage der Simulation von Bandlücken, Dispersionsrelationen und Zustandsdichten
von Photonen.
Das Fundament der Elektrodynamik bilden die vier Maxwell´schen Gleichungen (1a bis d).
Dieser Satz von Gleichungen beschreibt die makroskopischen, elektromagnetischen Effekte
und damit auch die Ausbreitung von Licht.