Funktionale dreidimensionale Photonische Kristalle aus ...

1. Einleitung 4
1 ∂B
∇ ⋅ B = 0
∇ × E + = 0
(1a, 1b)
c ∂t
1 ∂D
4p
∇ ⋅ D = 4πρ
∇ × H − = J
(1c, 1d)
c ∂t
c
mit E (elektrisches Feld), H (magnetisches Feld), B (magnetische Induktion), D (Verschie-
bungsstromdichte), J (Leitungsstromdichte), c (Lichtgeschwindigkeit) und ρ (spezifischer
Widerstand)
In einem linearen und isotropen Medium sind sowohl D und E, als auch B und H proportio-
nal. Als Proportionalitätsfaktoren sind die dielektrische Konstante ε und die magnetische
Permeabilität µ definiert. Die magnetische Permeabilität ist für die hier betrachteten dielektri-
schen Materialien fast 1, so dass das magnetische Feld gleich der magnetischen Induktion ist.
Für diese Materialien sollen ebenfalls die folgenden Annahmen gelten:
- Die jeweiligen Feldstärken sind gering, so dass lineares Verhalten angenommen werden
kann.
- Das Material ist isotrop und makroskopisch, so dass das elektrische Feld proportional zur
Verschiebungsstromdichte ist und diese Proportionalität wirklich durch die skalare dielektri-
sche Konstante ausgedrückt werden kann.
- Die eigentliche Abhängigkeit der dielektrischen Konstante von der Wellenlänge als di-
elektrische Funktion wird vernachlässigt.
- Die dielektrische Konstante soll real sein.
Sind diese Annahmen erfüllt, und trennt man die komplizierten Formeln für E und H nach
Zeit und Raum auf, so ergibt sich durch Elimination von E aus den Maxwell´schen Gleichun-
gen:
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ ω ⎞
∇ × ⎜ ∇ × H(r) ⎟ = ⎜ ⎟ H(r)
(2)
⎝ ε(r)
⎠ ⎝ c ⎠
Für ein isotropes Medium ergibt sich aus Gleichung (2) folgender Zusammenhang:
c ⋅ k
ω(k)
=
(3)
ε
k: Wellenvektor