Dossier Teil 2 - Mathematik

untersuchen.: ist es nicht komisch, dass der Anstieg der Arbeitslosigkeit mit einem
Lächeln beschrieben wird? Zahlreiche weitere Beispiele findet man im Buch von HERGET
und SCHOLZ (1998).
2.2.2 Modellbildung und Modellierungsaufgaben
Mit Modellierungsaufgaben bzw. mit Modellbildung wird versucht, ein offeneres Bild von
der Mathematik zu vermitteln – ein Bild, das der Mathematik in ihrer realen Anwendung
in der Welt gerecht wird. Viele Schüler und auch Schülereltern könnten kaum Gründe
dafür benennen, warum Mathematik an der Universität gelehrt wird – außer vielleicht um
Mathematiklehrer auszubilden. Modellierungen sind eine Chance für den
Mathematikunterricht, dieses Missverständnis auszuräumen.
Mathematik durch Modellierungen zu unterrichten, bedeutet einerseits zu zeigen, wie die
Mathematik in die Umwelt kommt, andererseits aufzuspüren wo uns die Mathematik im
täglichen Leben gute Dienste leisten kann. Außerdem wird deutlich, dass man sich bei
Modellierungen von realen Problemstellungen nicht auf passende vorgefertigte Formeln
verlassen kann, sondern dass man das vorhandene mathematische Wissen geschickt
vernetzen muss, um zu einem Ergebnis zu gelangen. Es findet ein ständiges
fächerübergreifendes Arbeiten statt. HENN (2000) denkt bei Modellbildung an vier
Kategorien.
• Modelle die vorhersagen (z.B. wann Sonnenfinsternisse eintreten),
• Modelle die etwas beschreiben (z.B. die Flugbahn eines Balles)
• Modelle die etwas erklären (z.B. warum ein Flugzeug fliegt).
• Modelle die etwas vorschreiben (z.B. das Preismodell der Deutschen Telekom).
Mit der Frage der Anwendung von Mathematik und der Modellbildung beschäftigt sich
auch das
2.2.2.1 Das Stauproblem
Es soll nun ein Beispiel aus der Kategorie „erklärendes Modell“ ausgeführt werden.
Dieses Beispiel lässt sich gut im Bereich der Grundbegriffe der Differenzialrechung
ansiedeln und wurde so wie beschrieben im Unterricht erprobt. Es geht um die Frage,
wann bzw. wodurch ein Stau auf der Autobahn entsteht. Die Schüler nennen
verschiedene Gründe: Unfall, Baustelle und zu viele Fahrzeuge. Durch kurze
Überlegung kann man auch die Staugründe Unfall und Baustelle auf das Grundproblem
der zu vielen Fahrzeuge zurückführen. Die Frage, die sich die angehenden jungen
Autofahrer im Kurs nun stellen mögen, ist: Wie viele Fahrzeuge können überhaupt
maximal auf einer Autobahn fahren. Wir vereinfachen das Problem, indem wir eine
Autobahn mit nur einer Spur definieren und keine Überholvorgänge zulassen. Es gilt
also Kolonnenverkehr. Kolonnenverkehr heißt aber auch, dass jedes Fahrzeug
annähernd gleich viel Platz p braucht und alle Fahrzeuge mit der gleichen
Geschwindigkeit v fahren. Man sieht, dass wir viele vereinfachende Modellannahmen
gemacht haben. Dies ist aber ein typisches Vorgehen für eine Modellierung, um erst mal
einen einfachen mathematischen Zugang zum Problem zu gewinnen. Nun ist aber
zunächst einmal zu klären, was wir unter „maximal“ verstehen. „Maximal“ heißt in
diesem Zusammenhang wohl: möglichst viele Autos sollen pro Zeiteinheit an einem
Zählposten vorbeikommen.
Diese Größe: Anzahl der Fahrzeuge pro Zeiteinheit nennen wir n. An dieser Stelle
müssen einige Betrachtungen zu dem Verhältnis der Größen, n, p und v angestellt
werden. Offenbar hängen sie voneinander ab. An einigen rechnerischen Beispielen und
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