Methoden für die Ermittlung, Modellierung und Prognose der ...

2.1 Volumenexpansions- und Biomassefunktionen
Die logit-Transformation stellt sicher, dass beliebige Ausprägungen der Variablen
(x T β) im Intervall (0;1) vorhergesagt werden. Die Umkehrfunktion des logit lautet:
µ =
1
1+exp(−(x T β))
Tatsächlich aber zielt die Anwendung der Funktionen nicht auf das Verhältnis
DV /BV , sondern auf das Baumholzvolumen direkt. Man kann daher die Gleichung
so umschreiben, dass das Baumholzvolumen direkt geschätzt wird, oder man nimmt
einen Bias in Kauf, der durch die Parameterschätzung des inversen Baumholzvolumens
verursacht wird. In Kublin (1987) ist eine Schätzung des Korrekturfaktors
für die reziproke Transformation der abhängigen Variablen gegeben.
Ki = 1 + σ2 t
(x T β) 2
(2.3)
Hierbei stellt σ 2 t die Varianz der transformierten Zielgröße dar. Durch umformulieren
des logit erhält man folgende Darstellung des Baumholzvolumens:
BV =
DV
logit −1 (x T β) =
DV
1
1+exp(−x T β)
= DV + DV · exp(−x T β) (2.4)
Auf eine Parameterschätzung für das Derbholzvolumen wird verzichtet, um die
Bedingung DV < BV stets einzuhalten. Man kann die umgeschriebene Funktion
auch so interpretieren, dass das Baumholzvolumen mindestens dem Derbholzvolumen
entspricht, plus einem relativen Anteil ]0;1[ des Derbholzvolumens. Dieser
relative Anteil kann in Abhängigkeit von verschiedenen Variablen geschätzt werden.
Modelle mit der Zielgröße Baumholz
Die Parameterschätzung für die Gleichung 2.4 wurde mit dem Paket nls in R
(R Development Core Team, 2006) durchgeführt; mit diesem können nichtlineare
Regressionen berechnet werden. Wie standardmäßig vorgesehen, wurde zur
Schätzung der Parameter das Gauss-Newton-Verfahren angewandt.
Um den mittleren Expansionsfaktor für die Baumarten zu finden, kann eine einfache
Parameterschätzung für Gleichung 2.4 durchgeführt werden, indem ein konstanter
Exponent (x T β = β0) unterstellt wird. Diese Schätzung führt zu Expansionen,
die den einfachen linearen Regressionen (BV = β1DV , ohne Interzept) nach
Pistorius & Zell (2005) entsprechen.
Diese Schätzung kann man durch die Hinzunahme weiterer Variablen verbessern.
Fügt man der Reihe nach d1,3, h, I1 und I2 (Indikatorvariablen für die Altersklassen)
hinzu, so sind die neuen Modelle den alten jeweils deutlich überlegen. Das
Modell mit allen Variablen kann dann durch die Hinzunahme von Wechselwirkungen
zwischen den Variablen (z.B. d1,3 · h) oder Potenzen der Variablen (z.B. d 2 1,3)
noch weiter verbessert werden. Die Auswahl des besten Modells wurde anhand der
Residuenstreuung über den vorhergesagten Werten bestimmt. Die Variablen mussten
weiterhin einen signifikanten Beitrag zur Erklärung der Reststreuung beitragen,
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