Methoden für die Ermittlung, Modellierung und Prognose der ...

2.3 Stärkeklassenmodelle
(θ) vorgenommen. Innerhalb einer Periode können neue Bäume hinzukommen (nE,
Einwuchs), Bäume können entnommen werden (h1,t) oder in eine höhere Durchmesserklasse
einwachsen. Die Übergangswahrscheinlichkeit zur nächsten Durchmesserklasse
wird als b1 dargestellt und die Gegenwahrscheinlichkeit, die den Anteil an
verbleibenden Bäumen in der Durchmesserklasse ausdrückt, als a1. Schließt man
natürliche Mortalität aus, so sind das die vollständigen Möglichkeiten, die für die
erste Durchmesserklasse eine Rolle spielen. Die Veränderungen innerhalb der ersten
Klasse können daher in einer Gleichung ausgedrückt werden:
y1,t+Θ = nE + a1(y1,t − h1,t)
Für die höheren Durchmesserklassen müssen die Übergänge, die von unteren
Durchmesserklassen stammen, addiert werden. Nimmt man an, dass innerhalb einer
Periode nur Übergänge zur nächsten Durchmesserklasse möglich sind und auch kein
Einwuchs direkt in höhere Durchmesserklassen stattfindet, können die Gleichungen
für die höheren Durchmesserklassen erweitert werden zu:
y2,t+Θ = b2(y1,t − h1,t) + a2(y2,t − h2,t)
. . .
yn,t+Θ = bn(yn−1,t − hn−1,t) + an(yn,t − hn,t)
Dieses miteinander in Verbindung stehende lineare Gleichungssystem kann mithilfe
der Matrixalgebra komprimiert formuliert werden (Buongiorno & Michie,
1980, Gl. 4). Dazu werden die Stammzahlverteilungen (yt), Stammzahlentnahmen
( ht) und der Einwuchs (nE) in Vektoren der Länge k (Anzahl der Durchmesserklassen)
dargestellt:
yt+Θ = G(yt − ht) + nE
(2.13)
Die Diagonalelemente der Übergangsmatrix G („Growth“) enthalten die Verbleibswahrscheinlichkeiten
ai der Durchmesserklassen, während die Übergangswahrscheinlichkeiten
direkt unter der Diagonalen angeordnet sind. Die Bedingung, dass
kein Baum in die übernächste Durchmesserklasse einwächst, kann durch die Wahl
der Durchmesserklassenbreite im Verhältnis zu Θ eingehalten werden. Da für die
letzte Durchmesserklasse kein weiterer Übergang vorgesehen ist, gilt akk = 1.
Die Nutzung ht wird als Entnahme von Bäumen der Durchmesserklasse i direkt
von der Stammzahlverteilung yt abgezogen. Anhand von Gleichung 2.13 wird unterstellt,
dass die Entnahme zum Zeitpunkt t anfällt, während der Einwuchs nE
erst nach dem Wachstum und der Entnahme neu hinzukommt.
Eine fast identische Modellformulierung erhält man, indem man den Erntevektor
ht durch die relative Entnahmemenge in Form einer Erntematrix H ausdrückt:
ht = Hyt
41