Methoden für die Ermittlung, Modellierung und Prognose der ...

Gleis
4
3
6
1
5
2
40 60
Zeit in Nanosekunden
80 100
Gleis
4
3
6
1
5
2
2.2 Totholzabbaumodell
−40 −20 0
Residuen
20
Abbildung 2.7: Beispiel gemischtes Modell: Links Durchlaufzeiten von Ultraschallwellen
in Bahngleisen und rechts Residuen des einfachen Mittelwertmodells (siehe
Gleichung 2.12, nach Pinheiro & Bates (2000)).
dann folgendermaßen dargestellt werden:
yij = βi + ɛij
Hier werden also sechs Parameter, für jedes Gleis also eine mittlere Durchlaufzeit
(βi) geschätzt. Die Residuen zeigen keine Tendenzen mehr zwischen den Gleisen.
Dieses neue Modell verringert den Standardfehler auf ein Sechstel des vorherigen
Wertes.
Da für jedes Gleis eine Anpassung von Parametern gemacht wird, repräsentiert
dieses Modell zwar die einzelnen Gleise, ist aber keine repräsentative Darstellung
der Gesamtpopulation von Durchlaufzeiten in Gleisen; denn ein Modell für die
Gesamtpopulation würde die Durchlaufzeit eines „mittleren“ Gleises darstellen. Das
Modell mit fixen Effekten liefert darüber hinaus keine Schätzung für die Variabilität
zwischen den Gruppen. Weiterhin steigt bei diesem Modellansatz die Anzahl der
nötigen Parameter mit den Gruppen. Ein Modell mit Zufallseffekten umgeht diese
Probleme, indem der Gruppeneffekt, der von den unterschiedlichen Gleisen stammt,
als eine Zufallsvariable aufgefasst wird:
yij = β + bi + ɛij
β ist wieder die mittlere Durchlaufzeit der Stichproben, die aber um bi für jedes
Gleis vom Mittelwert abweicht. Da hier Fehlerterme in zwei Ebenen (Gleise,
Gesamtpopulation) des Modells verwendet werden, spricht man auch von hierarchischen
oder Multilevel-Modellen.
Als Verteilung der Zufallsvariablen kann eine Normalverteilung mit Mittelwert 0
(bi ∼ N(0, σ 2 b ) und ɛij ∼ N(0, σ 2 )) angenommen werden. Die Varianz zwischen den
Gruppen wird als σ 2 b und die Varianz innerhalb der Gruppen als σ2 bezeichnet.
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