Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

F ist rechtsseitig stetig: (1.3)
F ist nicht fallend; d:h: s < t =) F (s) F (t) : (1.4)
Wir de…nieren F ( 1) := lim s! 1 F (s) ; selbst im Fall, wo der Grenzwert in R nicht
existiert. In diesem Fall setzen wir F ( 1) := 1: Analog de…nieren wir F (1) :=
lim s!1 F (s) ; was gleich +1 sein kann. J die Menge der rechts abgeschlossenen, links
o¤enen Intervalle gemäss (1.1). Sei a (J ) die davon erzeugte Algebra. Nach Beispiel
1.3 c) besteht diese Algebra einfach aus den endlichen disjunkten Vereinigungen von
Intervallen in J : Für ein endliches Intervall (s; t], 1 s < t < 1 setzen wir
((s; t]) := F (t) F (s) ; (1.5)
(was 1 ist, wenn s = 1 und F ( 1) = 1 ist). Ferner setzen wir
((s; 1)) := F (1) F (s) : (1.6)
Wir können natürlich sofort auf die erzeugte Algebra a (J ) ausdehnen: Eine disjunkte
Vereinigung von Intervallen erhält als -Wert einfach die Summe der -Werte der Intervalle.
Es ist evident, dass ein Inhalt auf a (J ) ist. O¤ensichtlich ist ein -endlicher
Inhalt: R = S n
( n; n]; und (( n; n]) = F (n) F ( n) < 1:
Ein Spezialfall ist F (t) = t: In diesem Fall ist einfach die übliche Länge.
Lemma 1.21
ist ein Prämass.
Beweis. Das sollte aus der Vorlesung Analysis III bekannt sein.
Aus dem Satz von Caratheodory folgt, dass sich eindeutig zu einem Mass auf der
von J erzeugten -Algebra, d.h. der Borel--Algebra erweitern lässt. In Falle F (t) = t
ist dies das Lebesgue-Mass auf B: Wenn man zu Wahrscheinlichkeitsmassen gelangen
will. muss o¤ensichtlich F (1) F ( 1) = 1 sein. Da nur die Zuwächse von F für das
Mass wichtig sind, können wir annehmen, dass
lim F (t) = 1; lim F (t) = 0 (1.7)
t!1 t! 1
De…nition 1.22
Eine Funktion F : R ! R; die (1.3), (1.4) und (1.7) erfüllt, heisst Verteilungsfunktion.
Satz 1.23
Zu jeder Verteilungsfunktion F existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmass auf (R; B)
mit
(( 1; t]) = F (t) ; t 2 R:
Ist umgekehrt ein beliebiges Wahrscheinlichkeitsmass auf (R; B) gegeben, so ist die
Funktion t ! (( 1; t]) eine Verteilungsfunktion.
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