Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

Unabhängigkeit von Zufallsgrössen ist äquivalent damit, dass ihre Verteilung die
Produktwahrscheinlichkeit mit den Einzelverteilungen ist. Der Einfachheit halber formulieren
wir das im Fall, dass alle Zufallsgrössen denselben Wertebereich haben.
Proposition 2.46
Seien X i ; i 2 I; (S; S)-wertige Zufallsgrössen. Seien i die Verteilungen der X i : i :=
P Xi 1 : Die Zufallsgrössen sind genau dann unabhängig, wenn für jedes n und i 1 ; : : : ; i n 2
I (alle verschieden) die Gleichung
gilt.
P (X i1 ; : : : ; X in ) 1 = O n
k=1 i k
Beweis. Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus Lemma 2.42 und der De…nition des
Produktmasses (siehe De…nition ?? und Bemerkung ??).
Aus Satz 2.45 und Satz 2.22 folgt , dass die Verteilung von X + Y für unabhängige
Zufallsgrössen X, Y nur von den Verteilungen von X und Y abhängt. Man nennt diese
Verteilung auch die Faltung der einzelnen Verteilungen.
Die Verteilungsfunktion von X + Y kann auch wie folgt berechnet werden: Seien
= P X 1 , = P Y 1 . Dann ist nach der obigen Proposition die Verteilung von (X; Y )
gleich und es gilt:
Z
P (X + Y t) = f t (x; y)( )(d(x; y))
R 2
mit f t (x; y) = 1 fx+ytg = 1 ( 1;t y] (x). Nach dem Satz von Fubini ist die rechte Seite
gleich
Z Z
Z
= 1 ( 1;t y] (x)(dx) (dy) = F X (t y)(dy);
R R
R
wobei F X die Verteilungsfunktion von X ist. Hat die Verteilung von X die Dichte f und
diejenige von Y die Dichte g bezüglich des Lebesgue Masses, so ergibt sich
Z Z
! Z Z
!
P (X + Y t) =
f(x) (dx) g(y) (dy) =
f(x y) (dx) g(y) (dy)
Z
=
R
( 1;t]
( 1;t y]
Z
f(x
R
y)g(y) (dy) (dx) :
R
( 1;t]
Demzufolge hat dann auch die Verteilung von X + Y eine Dichte bezüglich , nämlich
die Abbildung
Z
Z
x 7! f(x y)g(y) (dy) = f(y)g(x y) (dy) :
R
Charakteristische Funktionen sind für die Berechnung jedoch oft einfacher.
R
50