Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

De…nition 1.15
Sei (; F; ) ein Massraum. Eine Menge A heisst eine -Nullmenge, wenn eine
Menge F 2 F existiert mit A F und (F ) = 0: (Man beachte, dass wir nicht verlangen,
dass A 2 F gilt). Ein Massraum heisst vollständig, wenn F alle -Nullmengen enthält.
Lemma 1.16
Sind A i ; i 2 N; -Nullmgen, so ist auch S i A i eine -Nullmenge.
Beweis. Seien B i 2 F mit A i B i ; (B i ) = 0: Dann gilt natürlich S i A i S i B i 2 F
und
[
B i X (B i ) = 0:
i
i
Bemerkung 1.17
Jeder Massraum lässt sich sehr einfach vervollständigen. Ist nämlich (; F; ) ein beliebiger
Massraum, so betrachten wir
F := fA : 9B 2 F; AB ist -Nullmengeg F:
Man weist sehr einfach nach, dass F eine -Algebra ist. Ferner lässt sich auf G erweitern:
Ist B 2 G; so existiert nach De…nition eine Menge A 2 F mit der Eigenschaft, dass
AB eine Nullmenge ist. Wir setzen (B) := (A) : Natürlich muss man nachweisen,
dass die Festlegung nicht von der gewählten Menge A abhängt. Es stellt sich heraus,
dass ; F ; ein vollständiger Massraum ist. Man nennt ihn die Vervollständigung
von (; F; ) : Die obigen Eigenschaften sind alle sehr einfach nachzuprüfen.
Mit vollständigen Massräumen zu arbeiten hat manchmal Vorteile. Von daher ist
man versucht, Massräume immer automatisch zu vervollständigen. Anderseits muss man
bedenken, dass die vervollständigte -Algebra von dem vorliegenden Mass abhängt, was
manchmal nachteilig ist.
1.2 Beispiele von messbaren Räumen und Massräumen
De…nition 1.18
a) Es seien = R und sei J die Menge der rechts abgeschlossenen und links o¤enen
Intervalle (1.1). B = (J ) heisst Borel--Algebra in R: Die Mengen in B heissen
Borelmengen.
b) Es sei = R n und J n sei die Menge aller “Hyperkuben” der Form I 1 I n ,
I j 2 J : Dann heisst B n := (J n ) die Borel--Algebra in R n : Die Mengen in B n
heissen (n-dimensionale) Borelmengen.
Es sollte hier bemerkt werden, dass Borel-Mengen nicht durch irgendwelche “Eigenschaften”charakterisiert
werden. Eine o¤ene Menge etwa ist durch die Eigenschaft, dass
jeder Punkt der Menge eine Umgebung in der Menge besitzt, charakterisiert. Etwas
Ähnliches ist bei Borel-Mengen nicht möglich.
Die Borel--Algebra hat eine Reihe von anderen nützlichen Erzeugendensysteme.
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