Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

De…nition 2.18
a) Sind X und Y zwei Zufallsgrössen aus L 1 mit XY 2 L 1 , so ist ihre Kovarianz
cov(X; Y ) de…niert durch
cov(X; Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) = E((X EX)(Y EY )):
b) Ist X = (X 1 ; : : : ; X n ) ein Zufallsvektor mit X i 2 L 1 und X i X j 2 L 1 für alle
i; j 2 f1; : : : ; ng, so ist die Kovarianzmatrix (X) = ( ij (X)) de…niert durch
ij (X) = cov(X i ; X j ).
O¤enbar ist für eine eindimensionale Zufallsgrösse X : var (X) = cov (X; X) : Ist X
ein Zufallsvektor, als Spaltenvektor geschrieben, so ist (X) = E((X EX)(X EX) T ):
Lemma 2.19
a) Sind X; Y 2 L 2 , so ist die Kovarianz cov(X; Y ) de…niert.
b) Die Kovarianzmatrix ist symmetrisch und positiv semide…nit.
Beweis. a) folgt aus der Schwarzschen Ungleichung. b): Die Symmetrie ist o¤ensichtlich.
Ferner gilt alle 1 ; : : : ; n 2 R
X n
2
0 E i(X i E(X i )) =
i=1
Daraus folgt die De…nitheit.
nX
i=1 j=1
nX
i j cov(X i ; X j ):
Beispiel 2.20
a) Sei X standardnormalverteilt. Dann gilt für i 2 f1; : : : ; ng
1 X
E(X i ) = (2)
ZR n=2 n
x i exp
n 2 k=1 x2 k n (dx) = 0:
Für alle i; j 2 f1; : : : ; ng mit i 6= j gelten
1
E(X i X j ) = (2)
ZR n=2 x i x j exp
n 2
X n
k=1 x2 k
n (dx) = 0
und
1 X
E(Xi 2 ) = (2)
ZR n=2 x 2 n
i exp
n 2 k=1 x2 k n (dx)
Z
= (2) 1=2 x 2 i e x2 i =2 (dx i ) = 1;
R
das heisst, (X) ist die Einheitsmatrix.
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