Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

und durch die (symmetrische, positiv semide…nite) Kovarianzmatrix = ( ij )
Z
ij = (x i m i )(x j m j ) (dx)
festgelegt (Satz 2.24).
Ist X = fX t g t2T ein Gauss-Prozess, so sei die Funktion m : R + ! R de…niert durch
und die Kovarianzfunktion : R + R + ! R durch
m(t) = EX t ; (4.1)
(t; s) = cov(X t ; X s ): (4.2)
Die obigen Überlegungen führen direkt auf den untenstehenden Satzes.
Satz 4.4
a) Ist X ein Gauss-Prozess, so sind die e.d. Verteilungen festgelegt durch die Funktionen
m : R + ! R, : R + R + ! R.
b) hat die folgenden Eigenschaften:
(t; s) = (s; t), 8 s; t 2 R + .
Für t 1 ; : : : ; t n 2 R + is die symmetrische Matrix f(t i ; t j )g 1i;jn positiv semide…nit.
Es lässt sich nachweisen, dass zu Funktionen m und ; die die obigen Bedingungen
erfüllen, ein zugehöriger Gauss-Prozess existiert. Wir wollen das hier nicht beweisen,
da wir eigentlich nur an der Brownschen Bewegung interessiert sind und diese direkt
konstruieren werden.
Wir interessieren uns hier nur für stetige stochastische Prozesse. Ein derartiger Prozess
X de…niert o¤enbar eine Abbildung ! C (R + ) ; wobei C (R + ) die Menge der
stetigen reellwertigen Funktionen auf R + ist. Wir schreiben nachfolgend einfach C für
C (R + ) : Die Abbildung ist gegeben durch ! ! X (!) 2 C; die wir der Einfachheit
halber auch mit X bezeichnen. Auf C de…nieren wir die -Algebra C; die von den Auswertungsabbildungen
t : C ! R, C 3 f ! t (f) := f (t) 2 R; erzeugt wird. Es ist
o¤ensichtlich, dass X eine messbare Abbildung (X; F) ! (C; C) ist. Die Verteilung
des stetigen stochastischen Prozesses X ist dann das induzierte Wahrscheinlichkeitsmass
P X 1 auf (C; C) :
Lemma 4.5
Die Verteilung eines stetigen stochastischen Prozesses auf (C; C) wird durch seine e.d.
Verteilungen eindeutig festgelegt.
Beweis. Das ist das übliche Argument: Die Mengen der Form 1
t 1
(A 1 ) \ : : : \ 1
t k
(A k ) ;
k 2 N; t 1 ; : : : ; t k 2 R + ; A 1 ; : : : ; A k 2 B bilden ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem
von C: Die e.d. Verteilungen von X legen P X 1 o¤ensichtlich auf den Mengen
dieser Form fest.
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