Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

Beweis. O¤ensichtlich gilt (;) = 0. Ist fA n g n2N eine Folge paarweise disjunkter Mengen
aus S, und ist A = S 1
n=1 A n, so gilt
Z
(A) =
=
A
Z
f d = lim
n!1 S
f d = lim
n
k=1 A n!1
k
1X
(A k ):
k=1
nX
Z
k=1
A k
f d
Es bleibt zu zeigen, dass -endlich ist. Sei f n g n2N eine Folge von messbaren Teilmengen
von mit n " und ( n ) < 1. Sei ferner A n := ff ng. Dann gilt n \ A n "
und (A n \ n ) n( n ) < 1 für alle n.
Ist A 2 S eine -Nullmenge, so ist 1 A f fast überall 0: Daraus folgt (A) = 0:
Eine wichtige Frage ist, ob sich ein Mass aus einem Mass auf diese Weise mit
Hilfe einer Funktion f darstellen lässt. In diesem Fall nennt man f eine Dichte von
bezüglich : Es ist nicht schwer zu sehen, dass f; wenn es überhaupt existiert, eindeutig
bis auf -f.s.-Gleichheit ist:
Sind f; g 0 zwei Dichten von bezüglich ; so gilt
Z Z
f d = g d
A
für alle A 2 S: Sei n 2 F eine Folge mit n " und ( n ) < 1 für alle n: Sei
A n := n \ ff < g ng : Dann ist
Z
A n
(g f) d = 0:
Wegen g > f auf A n folgt (A n ) = 0: Wegen n \ ff < g ng " ff < gg folgt
(f < g) = 0; d.h. f g -f.s.. Analog folgt g f -f.s.. Damit ist gezeigt, dass
eine Dichte, falls sie überhaupt existiert, eindeutig ist bis auf -f.s.-Gleichheit.
Wann existiert eine derartige Dichte? Nach der obigen Proposition ist eine notwendige
Bedingung, dass alle -Nullmengen auch -Nullmengen sind. Eine erstaunliche Tatsache
ist, dass dies auch eine hinreichende Bedingung ist.
De…nition 1.62
Es seien (; F) ein messbarer Raum und , zwei Masse auf F. heisst absolutstetig
bezüglich (Notation: ), falls folgende Bedingung erfüllt ist:
8A 2 F : (A) = 0 ) (A) = 0:
Satz 1.63 (Satz von Radon-Nikodym)
; seien zwei -endliche Masse auf (; F) : Es gilt genau dann, wenn eine nichtnegative,
messbare Funktion f : ! R + existiert mit (A) = R A
f d für alle A 2 F.
Diese Funktion ist eindeutig bis auf -f.ü.-Gleichheit.
A
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