Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

Lemma 1.2
a) Sind A i ; i 2 I; Algebren in ; wobei I eine beliebige nicht leere Menge ist, so ist
T
i2I A i eine Algebra.
b) Sind F i ; i 2 I; -Algebren in ; wobei I eine beliebige nicht leere Menge ist, so
ist T i2I F i eine -Algebra.
Beweis. O¤ensichtlich nach den De…nitionen.
Beispiele 1.3
a) f;; g ist eine -Algebra
b) Die Potenzmenge von ; die wir mit P () bezeichnen, ist eine -Algebra:
c) Sei = R: Wir betrachten die Menge J der rechts o¤enen, links abgeschlossenen
Intervalle (inklusive R und der leeren Menge):
J := f;; Rg [ f(a; b] : 1 < a < b < 1g [ f( 1; b] : b 2 Rg [ f(a; 1) : a 2 Rg :
(1.1)
A sei die Menge aller endlichen Vereinigungen paarweise disjunkter dieser Intervalle.
Man überlegt sich leicht, dass A eine Algebra aber keine -Algebra ist.
Proposition 1.4
Zu jedem Mengensystem C in gibt es eine kleinste Algebra a(C) und eine kleinste
-Algebra (C), die C enthalten, d.h. a(C) hat die folgenden Eigenschaften:
a) a(C) C
b) Ist A eine Algebra mit A C so gilt A a (C) :
Entsprechende Aussagen gelten für (C) :
Beweis. Wir diskutieren den Fall von a (C) : Es gibt mindestens eine Algebra, die C
enthält, nämlich die Potenzmenge P () :
a (C) := \ fA : A Algebra; A Cg
erfüllt o¤ensichtlich a) und nach Lemma 1.2 auch b). Analog konstruiert man (C) : (Zur
Erinnerung: Ist X eine Menge von Mengen so ist T X der Durchschnitt der Mengen in
X):
Ist F eine -Algebra, so nennt man ein Mengensystem C mit F = (C) ein Erzeugendensystem
von F: In der Regel haben die uns interessierenden -Algebren viele
Erzeugendensysteme.
T
Ist fA i g i2I eine beliebige Familie von -Algebren auf derselben Menge , so ist
i2I A i nach Lemma 1.2 wieder eine -Algebra. Die Vereinigung S i2I A i ist jedoch im
allgemeinen keine -Algebra. Mit W i2I A i wird die -Algebra ( S i2I A i) bezeichnet. Im
Fall I = f1; : : : ; ng ist auch die Schreibweise A 1 _ _ A n gebräuchlich.
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