Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

c) Sei die Standardnormalverteilung in (R n ; B n ). Dann folgt
1 X
n
^(t) = exp
2 j=1 t2 j = e ht;ti=2 für alle t = (t 1 ; : : : ; t n ) 2 R n :
d) Die allgemeine Normalverteilung ist das Bildmass = 1 der Standardnormalverteilung
unter einer a¢ nen Transformation R n 3 x 7! (x) = Ax + b 2 R n .
Bezeichnet A T die Transponierte von A, so gilt
Z
Z
Z
^(t) = e iht;xi (dx) = e iht;(x)i (dx) = e iht;bi e ihAT t;xi (dx)
= e iht;bi^(A T t) = e iht;bi e hAT t;A T ti=2 = exp
iht; bi
1
2 ht; ti ;
mit = AA T als der Kovarianzmatrix von (siehe Beispiel 2.20 b)).
Satz 2.24
Für jedes b 2 R n und jede positiv semide…nite, symmetrische nn-Matrix gibt es genau
eine Normalverteilung auf R n mit b als Erwartungswert und als Kovarianzmatrix.
Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 2.22 und der Rechnung im obigen Beispiel.
Die Existenz folgt daraus, dass mindestens eine n n-Matrix A existiert mit AA T = ,
wenn eine nicht negative symmetrische Matrix ist.
Korollar 2.25
Sei die Normalverteilung auf R n mit Kovarianzmatrix und a 2 R n als Vektor der
Erwartungswerte, und sei : R n ! R m eine a¢ ne Abbildung, d.h. eine Abbildung der
Form x ! (x) := Ax + b; A eine m n-Matrix und b 2 R m : Dann ist 1 die
Normalverteilung auf R m mit Erwartungswert Aa + b und der Kovarianzmatrix AA T :
Beweis.
Z
Z
[' 1 (t) = e iht;xi ' 1 (dx) = e iht;Ax+bi (dx)
Z
= e iht;bi e ihAT t;xi (dx) = e iht;bi exp ihA T t; ai
1
= exp iht; Aa + bi
2 ht; AAT ti :
1
2 hAT t; A T ti
Nun folgt die Aussage aus dem vorangegangen Satz und Beispiel 2.23 d).
2.4 Konvergenz von Folgen von Zufallsgrössen
Im folgenden sei fX n g n2N eine Folge von Zufallsgrössen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum
(; F; P ) de…niert sind. In der Wahrscheinlichkeitstheorie sind drei Konvergenzbegri¤e
besonders wichtig.
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