Skript von Prof. Dr. E. Bolthausen

) Sei X ein n-dimensionaler Zufallsvektor mit Kovarianzmatrix (X) und Erwartungswert
a 2 R n : Sei ferner A eine m n-Matrix und b 2 R m . Wir de…nieren den
m-dimensionalen Zufallsvektor Y durch Y = AX + b: Dann gelten
EY = Aa + b
(Y ) = E((Y EY )(Y EY ) T ) = E(A (X a) (X a) T A T ) = A (X) A T :
Speziell sehen wir für die in De…nition 2.5 b) eingeführte allgemeine Normalverteilung,
dass die Kovarianzmatrix gleich AA T und der Vektor der Erwartungswerte
gleich b ist.
2.3 Charakteristische Funktionen
De…nition 2.21
Sei ein Wahrscheinlichkeitsmass auf (R n ; B n ). Die charakteristische Funktion ^
von ist die Abbildung von R n nach C, die durch
Z
Z
Z
^(t) = e iht;xi (dx) = cos(ht; xi) (dx) + i sin(ht; xi) (dx); t 2 R n ;
de…niert wird. Dabei bezeichnet i die imaginäre Einheit und ht; xi = P n
j=1 t jx j ist das
Skalarprodukt von t und x. Die charakteristische Funktion eines Zufallsvektors X ist
die charakteristische Funktion der Verteilung von X; sie kann nach Lemma 2.8 als
E(exp(iht; Xi)) geschrieben werden. Die charakteristische Funktion eines Zufallsvektors
X (oder einer reellen Zufallsgrösse X) bezeichnen wir oft mit X :
Die charakteristische Funktion ist o¤enbar für alle t 2 R n de…niert, da Sinus und
Cosinus beschränkt sind, und sie ist stetig in t nach dem Satz von Lebesgue.
Satz 2.22
Es seien ; zwei Wahrscheinlichkeitsmasse auf (R n ; B n ). Gilt ^(t) = ^(t) für alle t 2 R n ,
so gilt = .
Beweis. Da die Familie der kompakten Mengen in R n ein durchschnittstabiles Erzeugendensystem
von B n ist (Lemma 1.19 e)), genügt es nach Satz 1.13 nachzuweisen, dass
(K) = (K) für alle kompakten Mengen K gilt. Für eine derartige Menge K und m 2 N
sei
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>< 1 falls x 2 K;
f m (x) = 0 falls d(x; K) := inff jx yj : y 2 K g 1=m;
>:
1 m d(x; K) sonst.
Dann hat f m die folgenden Eigenschaften:
1. 0 f m (x) 1 für alle x 2 R n ,
2. f m ist stetig,
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