11 Integralrechnen

11 Integralrechnen
11.1 Treppenfunktionen und ihre Integration
[ ab]
ϕ : , → C heißt Treppenfunktion, wenn es
Punkte x ,..., x mit a = x < x < ... < x = b Z
derart gibt, dass
0 n
0 1
ϕ in jedem offenen Teilintervall x
−
, x konstant ist.
( )
Die Funktionswerte in den Teilungspunkten ,..., unterliegen
keiner Einschränkung.
Z x0
x n
[ ab]
k
1
x0
x n
Eine Menge von Punkten ,..., wie oben angegeben nennt man
eine Zerlegung von , .
[ ab]
Den Vektorraum der Treppenfunktionen auf , bezeichnet
[ ]
man mit T a, b .
k
n
( )

Definition des Integrals einer Treppenfunktion
[ ab] → C
( x x )
Hat ϕ : , im Teilintervall , den konstanten
Wert
c
k
, so definiert man
k−1
k
b
∫
a
ϕ
n
x dx:
= ∑c x −x
( ) ( )
k = 1
k k k−1

Für Treppenfunktionen ϕψ , und Zahlen α, β∈C gilt:
a) Linearität: ( )
b b b
αϕ + βψ dx = α ϕ dx + β ψ dx
∫ ∫ ∫
a a a
b
b) Beschränktheit: ( )
∫
a
b
ϕ dx ≤ ϕ dx ≤ b −a
⋅ ϕ
∫
a
c) Monotonie:
sind ϕ und ψ reell mit ϕ ≤ψ, so gilt:
∫
a
b
ϕ dx ≤ ψ dx.
∫
a
b
In b) bezeichnet die Supremumsnorm bezüglich [ ab , ].

11.2 Regelfunktionen
Definition Regelfunktion:
Sei I ⊂ R ein Intervall mit dem Anfangspunkt a und dem
Endpunkt b.
Eine Funktion f : I → C heißt Regelfunktion auf
I,
wenn sie
() i in jedem Punkt x ∈ a, b sowohl einen linksseitigen
( )
als auch einen rechtsseitigen Grenzwert hat und
( ii) im Fall a∈
I in a einen rechtsseitigen Grenzwert
und im Fall b∈
I in beinen linksseitigen.
Den C-Vektorraum
aller Regelfunktionen auf I bezeichnet man
mit RI ( ).

Approximationssatz
[ ]
[ a b]
Eine Funktion f auf einem kompakten Intervall ,
ist genau dann eine Regelfunktion, wenn es zu jedem
ε > 0 eine Treppenfunktion ϕ∈T a, b gibt,
so dass
f −ϕ ≤ε
gilt,
d.h. es muss gelten:
f x x für alle x a, b .
( ) −ϕ( ) ≤ε
∈[ ]
Man nennt ϕ eine " ε-Approximation
von f "

alternative Formulierung des Approximationssatzes:
f
[ a b]
: , → C ist genau dann eine Regelfunktion, wenn es
[ ab]
eine Folge von Treppenfunktionen ϕ auf , gibt mit
Korollar:
k = 1
f
−ϕ
→0 für n→∞.
n
[ a b]
Eine Funktion f : , → C ist genau dann
n
[ ab]
eine Regelfunktion, wenn sie eine auf , normal konvergente
Reihendarstellung
besitzt.
f
∞
[ a b]
= ∑ψk
mit ψk
∈T ,

Folgerung:
Jede Regelfunktion f : I → C ist fast überall, d.h., mit
Ausnahme höchstens abzählbar vieler Stellen, stetig.
Insbesondere ist jede monotone Funktion auf einem
Intervall fast überall stetig.

11.3 Integration der Regelfunktionen über
kompakte Intervalle
Satz und Definition
[ ]
Sei f : a, b → C eine Regelfunktion.
Für jede Folge von Treppenfunktionen auf ,
( ϕ ) [ ab]
n
mit f −ϕ
→0, n→∞, existiert der Grenzwert
b
∫
a
f x dx: = lim ϕ x dx.
( ) ( )
b
∫
n→∞
a
n
Der Grenzwert hängt nicht von der Wahl der Approximationsfolge ab
[ a b]
und heißt Integral von f über , .

Korollar:
Das Integral ist für jede stetige und jede monotone Funktion
[ ab]
auf , definiert.
Satz:
[ ]
Für Regelfunktionen f, g auf a, b und Zahlen αβ∈C , gilt:
a)
b b b
∫( α f + β g)
dx= α ∫ f dx+
β ∫ g dx (Linearität)
a a a
b)
b
∫
a
b
f dx ≤ f dx≤ b−a ⋅ f
∫
a
( )
[ ab , ]
(Beschränktheit)
b
b
c) f dx≤
g dx,
falls f ≤ g ist.
∫
a
∫
a
(Monotonie)

Satz (Additivität bezüglich der Integrationsintervalle)
[ ]
Sei a< b<
c, und sei f eine Regelfunktion auf a, c . Dann gilt:
c
a
b
f x dx = f x dx + f x dx
( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫
Mittelwertsatz:
[ ]
[ a b]
a
Es seien f : , → R eine stetige Funktion und
p: a, b →R
eine Regelfunktion mit p≥0.
[ ab]
Dann gibt es ein ξ ∈ , mit
c
b
b
∫
a
f x p x dx f p x dx
( ) ( ) = ( ξ ) ⋅ ( ) .
b
∫
a

11.4 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Hauptsatz
Stammfunktionen zu Regelfunktionen
Es sei f : I → C eine Regelfunktion auf einem Intervall I.
Ein Punkt a∈I sei fest gewählt und für x∈I
setze man
Dann gilt:
F x
x
: = ∫ f t dt.
( ) ( )
( i) F ist eine Stammfunktion zu f auf I; genauer:
F ist an jeder Stelle x ∈ I
auch rechtsseitig differenzierbar mit
0
a
sowohl linksseitig als
F′ x = f x , F′
x = f x ;
( ) ( ) ( ) ( )
− 0 − 0 + 0 + 0

insbesondere ist F an jeder Stetigkeitsstelle x von f
differenzierbar mit
F ′ x = f x
( ) ( )
0 0 .
0
(ii)
Mit einer beliebigen Stammfunktion
Φ
zu f, auf
I
gilt für
ab , ∈
I
b
∫
a
f t dt b a
( ) =Φ( ) −Φ ( ) = : Φ .
b
a

Zusatz:
Zwei Regelfunktionen f , f : I → C, die bis auf höchstens
1 2
abzählbar viele Stellen übereinstimmen, besitzen
dieselben Integrale:
b
b
f x dx = f x dx bzw. f x dx = f x dx.
( ) ( ) ( ) ( )
∫ ∫ ∫ ∫
1 2 1 2
a
a

Fast überall stetig differenzierbare Funktionen
Definition:
Man nennt eine Funktion f : I → C
fast überall stetig differenzierbar,
wenn sie stetig ist und die folgende weitere Eigenschaft hat:
f ist außerhalb einer höchstens abzählbaren Menge A⊂
I
differenzierbar und
die auf I \ A definierte Funktion f ′ ist stetig und besitzt
in jedem Punkt aus A einen linksseitigen und einen
rechtsseitigen Grenzwert.

Definition:
[ ]
Eine Funktion f : a, b → C auf einem kompakten Intervall
stückweise stetig differenzierbar,
wenn sie außerhalb einer endlichen Menge A⊂
a, b stetig
differenzierbar ist und
[ ]
( )
heißt
die auf ab , \ Adefinierte Funktion f′
in jedem Punkt aus A
einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert besitzt.

Integrationstechniken
1. Partielle Integration:
Sind uv , : I→ C fast überall stetig differenzierbar,
dann ist es auch
uv
und es gilt:
b
b
b
∫ ∫ ∫ ∫ a
a
a
uv′ = uv − u′ v bzw. uv′ = uv − u′
v

2. Substitutionsregel
Es sei f : I → Ceine Regelfunktion und F eine Stammfunktion dazu.
[ ]
Weiter sei t: a, b → I stetig differenzierbar.
Dann ist Ft eine Stammfunktion zu f t ⋅t′
, und es gilt
( )
b
∫
a
( )
tb
( ( )) ⋅ ′( ) = ( )
f t x t x dx f t dt.
∫
( )
t a

11.6 Integration elementarer Funktionen
I. Integration der rationalen Funktionen
Satz:
Jede rationale Funktion mir reellen Koeffizienten kann
mittels rationaler Funktionen sowie des Logarithmus und
des Arcustangens integriert werden.

III. Elliptische Integrale. Reduktion auf Normalformen
Unter einem elliptischen Integral
versteht man eines der Gestalt
∫
( , )
R x P dx
wobei Rxy ( , ) eine rationale Funktion von xund
yist und Phier
ein reelles Polynom 3. oder 4. Grades ohne mehrfache Nullstellen.

11.7 Integration normal konvergenter Reihen
Einige Bezeichnungen für konkrete Integrale:
Satz:
2
x −t
2
( : = ∫ Gaußsches Wahrscheinlichkeitsintegr
0
W x) e dt
al
x dt
Li( x): = ∫ Integrallogarithmus
0
ln t
x sin t
Si( x): = ∫ dt Integralsinus.
0
t
[ ]
Eine auf ab ; normal konvergente Reihe f = : f von
Regelfunktionen stellt eine Regelfunktion dar, und darf gliedweise
integriert werden:
b
∫
a
∞
( ) = ( )
f x dx f x dx.
b
∑∫
n=
1 a
n
∑
∞
n=
1
n

11.8 Riemannsche Summen
Definiti on:
[ ]
[ x x ]
k k−1
k
[ a b]
Gegeben sei f : ; → C. Weiter seien eine Zerlegung
Z von a; b mit den Teilungspunkten x ,..., x und Stellen
ξ
∈
; beliebig gewählt.
Dann heißt die Summe f ξ ∆ x , ∆ x : = x −x
Riemannsche Summe
für
k=
1
1
( )
0
k k k k k−1,
bezüglich der Zerlegung
und der "Stützstellen" ξ ,..., ξ . Ferner heißen die f ξ
Stützwer
t e
Feinheit
n
f
und das Maximum der Längen
der Zerlegung.
∑
n
∆
n
x
k
die
Z
( )
k

Satz:
[ a b]
Es sei f : ; → C eine Regelfunktion. Dann gibt es zu jedem
[ ab]
[ x x ]
ε > 0 ein δ > 0 mit der Eigenschaft: Für jede Zerlegung von ;
der Feinheit ≤δ und jede Wahl von Stützstellen ξk ∈
k−1; k
gilt:
Folgerung:
1 2
n
∑
k=1
( ξ ) ( )
f ∆ x − f x dx ≤ε
k
k
b
∫
a
[ a b]
Ist Z , Z ,... eine Folge von Zerlegungen des Intervalls ; , deren
Feinheiten gegen Null gehen, und ist
für f zur Zerlegung Z , so gilt:
n
b
S
n
( )
lim Sn
= ∫ f x dx.
n→∞
a
eine Riemannsche Summe

Definition:
[ ]
Ist f : a; b →C
eine Regelfunktion und p eine Zahl ≥1,
so definiert man als p − Norm von f auf
p p
⎛ b ⎞
f : = f ( x)
dx
.
p ⎜ ∫
a ⎟
⎝ ⎠
Höldersche Ungleichung:
b
a
( ) ( )
[ ]
Sind f und g Regelfunktionen auf a; b und sind p und q positive
1 1
Zahlen mit + = 1, so gilt
p q
∫
f
x g x dx
1
≤ f
p
[ a;
b]
. Für p = q = 2 ist das die Cauchy - Schwarzsche Ungleichung
für Integrale
g
q
.

11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle
Definition uneigentlicher Integrale
Sei f eine Regelfunktion auf einem Intervall I mit den Randpunkten a, b, wobei −∞≤ a< b≤∞.
[ ) ∈R
( ) : lim ( )
1. Ist I = a; b mit a , so definiert man im Fall der Konvergenz f x dx = f x dx.
In diesem Fall heißt das uneigentliche Integral
( ]
2. Analog im Fall I = a; b mit b∈R.
b
∫
a
f
( )
x dx
b c b
( a b) ( ) : = ( ) + ( )
∫ ∫ ∫
3. Ist I = ; , so definiert man f x dx f x dx f x dx,
a a c
b
∫
a
β →b a
konvergent und der Grenzwert dessen Wert.
falls für ein c∈I (und damit für jedes c∈I) die beiden rechts stehenden Integrale konvergieren.
β
∫
Schließlich
heißt ein uneigentliches Integral über
f
absolut
konvergent, wenn das Integral
über
f
konvergiert.

Majorantenkriterium:
[ )
Es seien f und g Regelfunktionen auf a; b mit f ≤ g.
Existiert das Integral
Das Gammaintegral.
Für
b
∫
a
gxdx ( ) , so existiert auch f( xdx ) .
∞
x−1
−t
( ): .
x > 0 definiert man Γ x =∫ t e dt
Die damit definierte Funktion Γ: R →R
hat folgende Eigenschaften:
( ) ( ) ( )
( ii) Γ ( 1)
= 1,
i Γ x+ 1 = xΓ x für jedes x ∈R
+
,
( ) ( ) ( )
iii Γ n = n −1 ! für n ∈N.
+
0
b
∫
a

Uneigentliche Integrale und Reihen:
Integralkriterium:
[ )
Es sei f : 1; ∞ →R
eine monoton fallende
Funktion
mit f ≥0.
Dann konvergiert die Folge der Differenzen a : = f( k) − f( x) dx,
und für den Grenzwert gilt 0 ≤lim a ≤ f(1).
n→∞
Insbesondere konvergiert die Reihe
1
∞
k=
1 0
n
k=1
n
n
∑
n+
1
∫
k = 1 1
f( k) genau dann, wenn das
Integral f( x) dx konvergiert. Im Falle der Konvergenz gilt:
∫
∞
∑
∞
0 ≤ f( k) − f( x) dx ≤ f(1).
∫
∞
∑

Definition:
Es sei die (periodische) Funktion H : R→
R definiert durch
H x
( )
⎧ 1
⎪x − [ x]
− für x ∉ Z
: = ⎨ 2
⎪
⎩ 0 für x ∈Z
Eulersche Summationsformel (einfache Version):
[ ]
Ist die Funktion f : 1; n →C, n∈N, stetig differenzierbar, so gilt:
n
n
1
f ( k) f ( x) dx f (1) f ( n) H ( x) f ′( x) dx.
2
∑ = ∫ + ( + ) + ∫
k = 1 1 1
n

Definition:
Seien die Funktionen H : R→
R, k=1,2,... folgendermaßen
sukzessive definiert:
( )
i H ist Stammfunktion zu H , k ≥ 2, und H : = H;
( )
1
ii H ( x)
dx
∫
0
k
k
= 0.
Eulersche Summationsformel
k
k−1 1
n
n
n
1
(2 1)
n
∑
κ +
f( ν ) = ∫ f( x) dx+ ( f(1) + f( n)) + ∑H2κ
(0) f + R( f);
1
ν=1 2
1
κ=
1
n
(2κ
+ 1)
dabei ist R( f) = ∫ H2κ
+ 1f dx.
1
Stirlingsche Formel
n
n! ≃ 2 π n ⎛ ⎜
⎞ ⎟ für n .
⎝e
⎠
→∞
n