11 Integralrechnen

11.9 Integration über nicht kompakte Intervalle
Definition uneigentlicher Integrale
Sei f eine Regelfunktion auf einem Intervall I mit den Randpunkten a, b, wobei −∞≤ a< b≤∞.
[ ) ∈R
( ) : lim ( )
1. Ist I = a; b mit a , so definiert man im Fall der Konvergenz f x dx = f x dx.
In diesem Fall heißt das uneigentliche Integral
( ]
2. Analog im Fall I = a; b mit b∈R.
b
∫
a
f
( )
x dx
b c b
( a b) ( ) : = ( ) + ( )
∫ ∫ ∫
3. Ist I = ; , so definiert man f x dx f x dx f x dx,
a a c
b
∫
a
β →b a
konvergent und der Grenzwert dessen Wert.
falls für ein c∈I (und damit für jedes c∈I) die beiden rechts stehenden Integrale konvergieren.
β
∫
Schließlich
heißt ein uneigentliches Integral über
f
absolut
konvergent, wenn das Integral
über
f
konvergiert.