11 Integralrechnen

Uneigentliche Integrale und Reihen:
Integralkriterium:
[ )
Es sei f : 1; ∞ →R
eine monoton fallende
Funktion
mit f ≥0.
Dann konvergiert die Folge der Differenzen a : = f( k) − f( x) dx,
und für den Grenzwert gilt 0 ≤lim a ≤ f(1).
n→∞
Insbesondere konvergiert die Reihe
1
∞
k=
1 0
n
k=1
n
n
∑
n+
1
∫
k = 1 1
f( k) genau dann, wenn das
Integral f( x) dx konvergiert. Im Falle der Konvergenz gilt:
∫
∞
∑
∞
0 ≤ f( k) − f( x) dx ≤ f(1).
∫
∞
∑