Kapitel 5: Impulssatz

Fluidmechanik Impulssatz
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5 Impulssatz.......................................................................................................................................2
5.1 Stromröhre und Stromfaden .......................................................................................................2
5.2 Sir Isaac Newton.........................................................................................................................3
5.3 Impuls .........................................................................................................................................5
5.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum.............................................6
5.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum ...........................................................................................9
5.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen........................................................13
5.7 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen ...................................................................16
5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes .....................................................................................17
5.9 Übungen zum Impulssatz .........................................................................................................19
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Folie 1 von 26

Fluidmechanik Impulssatz
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5 Impulssatz
5.1 Stromröhre und Stromfaden
Stromröhre
= Mantelfläche, welche durch die
Stromlinien gebildet wird, die durch Kurve K 1
verlaufen
kein Massetransport senkrecht zur Stromlinie
⇒ Massetransport nur über Ein- und
Austrittsflächen A 1 und A 2 möglich
Stromfaden (eindimensionale Stromfadentheorie)
Infinitesimale Querschnittsflächen dA 1 und dA 2 ⇒ Zustandsgrößen c, p, ρ, T = const.
⇒ Zusammenfassung aller durch dA 1 und dA 2 verlaufenden Stromlinien zu einem repräsentativen
Stromfaden ⇒ Strömung innerhalb der Stromröhre wird durch Stromfaden ersetzt
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.2 Sir Isaac Newton
04.01.1643 - 31.03.1727 (gregorianischer Kalender*)
25.12.1642 - 20.03.1727 (julianischer Kalender, wurde zu dieser
Zeit noch in England verwendet**)
* eingeführt 1583 durch Pabst Gregor XIII
** aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche 1534 unter
Heinrich VIII
Formulierung seiner drei Axiome 1687 in
'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica'
(Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie)
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Fluidmechanik Impulssatz
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Erstes newton'sches Axiom: Trägheitsprinzip (lex prima)
Gilt nur in Inertialsystemen und wurde bereits 1638 von Galileo Galilei aufgestellt
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange die Summe
aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist
Zweites newton'sches Axiom: Das Aktionsprinzip (lex secunda)
Grundgesetz der Dynamik
Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt
Drittes newton'sches Axiom: Reaktionsprinzip (lex tertia)
Wechselwirkungsprinzip
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus
(actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio)
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.3 Impuls
Berechnung der bei Strömungsvorgängen auftretenden Kräfte mittels Impulssatz, basierend auf dem
Newton'schen Grundgesetz der Dynamik
r
r r
r dc d( m ⋅c)
∑ F = m ⋅ a = m ⋅ =
dt dt
Impuls I r eines Körpers beschreibt das Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit c r
r r
I = m ⋅c
Impuls = vektorielle Größe mit der Richtung der Geschwindigkeit
Impulsänderung (bei konstanter Masse) kann nur durch eine Geschwindigkeitsänderung erfolgen
und entspricht einer Kraftwirkung
r
r
r
d( m ⋅c
) dI
∑ F = =
dt dt
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum
Eintrittsebene (1) Austrittsebene (2)
r r
r r
dI dm ⋅
dI = dm ⋅
1
=
1
c1
2 2
c2
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Fluidmechanik Impulssatz
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Impulsänderung des Gesamtsystems infolge Zu- und Abstrom der Massenelemente dm 1 und dm 2
r r r r r r r
d I = I ( t2
) − I ( t1
) = I0
+ dI
2
− ( I )
14243
1 4243 0
+ dI1
I r
0
r
I
( t )
2
= Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum
r
I
( t )
1
An den Stellen I und II befinden sich zur Zeit t 1 und t 2 unterschiedliche Massenelemente dm, jedoch
mit gleicher Geschwindigkeit (stationäre Strömung) ⇒ Gesamtimpuls I r 0 bleibt unverändert
Kontinuitätsgleichung
dm dm = dm
1
=
2
Zeitliche Impulsänderung im System
r r r
dI
dI − dI1
dm r r r
= = ⋅ c2
− c1
= m&
⋅ c2
dt dt dt
( ) ( − )
2 c 1
r
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Impulsstrom
r
dI
dt
r
r
= I & = m&
⋅c
[ N]
Impulssatz für stationäre Fadenströmung
∑
r r
F = I &
r
&
&
r
r
( c − )
2
− I1
= m⋅
2
c1
Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte ist gleich austretendem Impulsstrom
abzüglich eintretendem Impulsstrom
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum
freie oder körpergebundene Stromröhre A M körpergebundene Stromröhre A M ,die
mit dem Außendruck p a beaufschlagt
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wird

Fluidmechanik Impulssatz
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Freie oder körpergebundene Stromröhre A M ..
r r
F p
F
F r
G
F r
W
F r
S
1,
p2
Druckkräfte auf die Ein- und
Austrittsflächen A 1 , A 2
Gewichtskraft des Fluids im
Kontrollraum
Von der Stromröhre auf das Fluid
ausgeübte Kraft infolge Druck- oder
Reibung
Stützkraft, von einem festen Körper
innerhalb der Stromröhre auf das Fluid
F r
K Körperkräfte = Reaktionskräfte des
Fluids, von innen auf die Stromröhre
( F r Ki
) oder Einbauten ( F r KS
)
r r r r r r r
F Ki
= − F W , F KS
= − FS
, FK
= FKi
+ FKS
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Körpergebundene Stromröhre A M ,die mit dem Außendruck p a beaufschlagt wird
r
F
F r
a
r
F
, Δp1 Δp2
F r
H
F r
K
Druckkräfte auf die Ein- und
Austrittsflächen A 1 , A 2
Druckkraft infolge des Außen
drucks p a auf die Stromröhre,
ungleich Null, da sie nur auf die
Mantelfläche und nicht die
gesamte Oberfläche wirkt
Haltekraft der körpergebundenen
r r
Stromröhre, F H
= − F
Körperkraft des Fluids von innen
auf die Stromröhre unter
Berücksichtigung des Außendrucks
K
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Impulssatz unter Berücksichtigung aller Teilkräfte
∑
r r
F = I &
r
&
&
r
r
( c − )
2
− I1
= m⋅
2
c1
r r r
r r r r
∑ F = I & − I & = m&
2 1
⋅
2 1 1 2
( c − c ) = Fp
+ Fp
+ FW
+ FS
+ FG
r
r
r
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen
(1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft F r
KS
auf einen
umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper ist Teil der Stromröhre
(2) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche: Zu
bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils der
Stromröhre und auf evtl. Einbauten
(3) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche, die mit
einem Außendruck p a beaufschlagt wird: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft F r
K auf die
Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter Berücksichtigung der Außendruckkraft F r
a
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Fluidmechanik Impulssatz
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(1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft F r
auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre
oder der Körper ist Teil der Stromröhre
KS
r
F
K
r
r
&
( c − c ) + Fp
+ Fp
+ FW
+ FG
= FKS
= −FS
= − m⋅
2 1 1 2
r
r
r
r
r
r
Herrscht auf der Stromröhre und in den Ein- und Austrittsflächen A 1 und A 2 konstanter Druck
(Freistrahl), so gilt
r
F
r
r
p1 + Fp2
+ FW
=
0
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Fluidmechanik Impulssatz
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(2) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils der Stromröhre
und auf evtl. Einbauten
r r r r
F F + F = − F
r
r r
(
W
+ FS
) = − m&
⋅( c − c ) + Fp
+ Fp
+ FG
K
=
Ki KS
2 1 1 2
r
r
r
(3) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche, die mit
einem Außendruck p a beaufschlagt wird
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft F r
K auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter
Berücksichtigung der Außendruckkraft F r
a
r r r r r r r r r r r r
F F + F + F = − F + F − F = − m&
⋅ c − c + F + F + F
(
W S a
) ( )
p p G
K
=
Ki KS a
2 1 Δ 1 Δ 2
r
FΔ
pi
= ( pi
− pa
) ⋅ Ai
Differenzdruckkraft zum Außendruck p a
r r
F H
= − F K Haltekraft
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.7 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen
r
F
K
⎡
= −⎢
⎣
n
n+
m
∑( m&
⋅ci
) −∑( m&
⋅c
j
) ⎥ +
Austritt
∑
i=
1
r
m
j=
1
r
Eint
ritt
⎤
⎦
k=
1
r
F
Δpk
r
+ F
G
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes
Körpergebundene Stromröhre unter Berücksichtigung eines Außendrucks p a (Rohrkrümmer)
1. Skizze des Bauteils
2. Kontrollraum, strichpunktierte Linie
3. Ein- und Austrittsfläche kennzeichnen (1), (2)
4. Koordinatensystem festlegen
5. Winkeldefinition mathematisch positiv definieren
6. Geschwindigkeiten c r r
i , Druckkräfte F Δ pi ,
r
Impulsströme I &
i und Gewichtskraft F r
G einzeichnen
7. Berechnung von c r i ,
p
i , ρ
i und
m&
i in Ein- und
Austrittsflächen (1), (2) mittels Kontinuitäts-, Energie-
und thermischer Zustandsgleichung
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Fluidmechanik Impulssatz
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8. Berechnung der Beträge für
- Impulsströme I&
i
= m&
⋅ci
- Druckkräfte pi
(
i a
)
i
FΔ = p − p ⋅ A bzw. Fpi
= pi
⋅ Ai
- Gewichtskraft F = V ⋅ ρ ⋅ g
G
Kontrollraums
Fluid
9. Berechnung der Komponenten der Körperkraft F r
K
F
F
[ m&
⋅( c2 ⋅cosα2
− c1
⋅cosα1)
] + FΔ
p1
⋅cosα1
+ F
p2
⋅cosα
p
+ FG
⋅cosαG
[ m&
⋅( c2 ⋅sinα2
− c1
⋅sinα1)
] + FΔ
p1
⋅sinα1
+ F
p2
⋅sinα
p
+ FG
⋅sinαG
cosα
2
Kx
= FK
⋅ = −
Δ
Ky
= FK
⋅ α = −
Δ
sin
2
K
2
Kx
F = F + F
2
Ky
α
K
⎛ F
= arctan
⎜
⎝ F
Ky
Kx
⎞
⎟
⎠
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Fluidmechanik Impulssatz
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5.9 Übungen zum Impulssatz
- Rohrkrümmer mit Leitblechen
- Ebene angeströmte Platte
- Dampfturbinenschaufel
- Windkraftturbine
- Strahltriebwerk
- Raketentriebwerk
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Folie 19 von 26

Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Rohrkrümmer mit Leitblechen
geg.:
D1 = 300[ mm]
D2 = 200[ mm]
z − z 400 mm
2 1
=
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Folie 20 von 26
3
[ ]
[ ]
V = 0.024
m (Krümmervolumen)
α
1
=90[ grad]
α
2
=45[ grad]
3
⎡m
⎤
V&
= 0.35⎢
⎥
⎣ s (Wasser, t
H O
=12°
C )
2
⎦
⎡ kg ⎤
ρ
H
= 999.45
2O
⎢ 3
⎣m
⎥
⎦
p1 = 1. 3[ bar]
(Druck in Eintrittsebene)
p a
= 1. 0[ bar]
(Außendruck)
1. F r K Körperkraft auf den Krümmer mit Einbauten unter Berücksichtigung des Außendrucks p a ?
2. F r
H
3.
′
F r
K
Haltekraft an den Flanschen?
Körperkraft des Fluids auf Einbauten und innere Krümmerwand ohne Außendruck?

Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Ebene angeströmte Platte
geg.:
Platte wird unter dem Neigungswinkel δ
angeströmt
Potentielle Energien, Reibungskräfte und
Massenkräfte können vernachlässigt
werden ( F = 0)
G
ges.:
1. Strahlkraft auf die Platte bei δ =90°
(formelmäßig)
2. Strahlkraft auf die Platte, wenn diese mit u < c 1 in Strahlrichtung bewegt wird
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Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Dampfturbinenschaufel
geg.:
D G 1
= 950[ mm]
D N 1
= 530[ mm]
D G 2
= 1020[ mm]
D N 2
= 495[ mm]
[ m s]
c a 1
= 150 (Axialgeschwindigkeitskomponente)
c a 2
= 165[ m s]
3
[ kg ]
ρ
1
= 0.
127 m
p = 1
0. 1836
p = 2
0. 14
[ bar]
[ bar]
ges.: Axialschub F
ax auf Rotor und Schaufel im Bereich der Endschaufel
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Folie 22 von 26

Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Windkraftturbine
ges.:
1. Maximale ideale Turbinenleistung P Turb, max
2. Schubkraft auf den Rotor F Kx
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Folie 23 von 26

Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Turboluftstrahltriebwerk
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Folie 24 von 26

Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Turboluftstrahltriebwerk
ges.:
1. Schubgleichung für ein Einkreis-TL-Triebwerk
2. Schub in der Flughöhe H 15[ km]
= , angepaßte Düse d.h. p 2 = p a
⎡kg
⎤
m& L
= 77
⎢
⎣ s ⎥
⎦
Luftmassestrom
⎡kg
⎤
m& B
= 4. 13
⎢
⎣ s ⎥
⎦
Brennstoffmassestrom
⎡m⎤
c2 = 985
⎢
⎣ s ⎥ Strahlaustrittsgeschwindigkeit
⎦
H = 15[ km]
Flughöhe
M = 2.0
Flugmachzahl
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Folie 25 von 26

Fluidmechanik Impulssatz
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Bsp.:
Raketentriebwerk
ges.:
Schubgleichung für ein Raketen-Triebwerk
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